（计算数学专业论文）特殊符号模式矩阵.pdf

独创性声明 u li i ii ii il iii iii iill ! y 17 4 0 2 2 4 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名： 喻劢加年妇衫日 论文使用授权 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名： 日期：年 月 日 1 摘要 摘要 符号模式矩阵理论主要研究矩阵的仅与其符号模式有关的定性性质。符号模 式矩阵最早起源于经济学中对某些问题的定性性质的研究。符号模式矩阵的研究 来自于对线性动力系统的符号可解性与符号稳定性的的研究，其开创性工作是由 诺贝尔奖获得者、经济学家p s a m u e l s o n 作出的。1 9 9 5 年，r a b m a l d i 与b l s h a d e l 的关于符号矩阵论的专著m a t r i c e so fs i g n - - - s o l v a b l el i n e a rs y s t e m s ) ) 的问世极大 地推动了符号矩阵理论的发展，它全面系统地总结了在符号矩阵理论方面的研究 成果，同时给出了许多新的结论。从而使符号矩阵理论成为组合数学的一个新兴 研究热点。 符号模式矩阵a = ( 口；，l是指矩阵中的元素取值于集合 o ，+ ，一) 的矩阵。若 对a 2 = a ，就称彳是符号幂等的符号模式矩阵，同时若存在与a 的元素有相同符 号实矩阵b ，使得b 2 = b ，称彳是允许幂等的符号模式矩阵。口，= a 即a = a r ， 称a 是对称符号模式矩阵。本文主要研究了符号幂等矩阵和对称符号模式矩阵的 性质及它们之间的关系，特别是符号幂等矩阵的负元素的个数。主要内容如下： 介绍了符号模式矩阵研究的历史背景，给出了符号模式矩阵的基本概念和相 关结论，概述了符号模式矩阵的研究现状及主要研究的问题。 研究了一般符号模式矩阵的幂等，讨论了符号幂等与允许幂等之间的关系， 同时在这部分我们研究了符号幂等模式矩阵的主子矩阵及上、下三角矩阵，刻画 了主子矩阵的幂等，给出了一类上、下三角矩阵仍是符号幂等的符号幂等式矩阵。 通过幂等的定义，给出了两种符号幂等模式矩阵的结构。 研究了符号幂等模式矩阵的负元素的个数及对称符号模式矩阵的性质，包括 在对称情况下的幂等与允许幂等。给出了其负元素的最大个数。讨论了广义置换 相似的幂等结构和最小秩分解，得出了一些关于广义逆、允许三次幂等及允许幂 等的等价命题。 关键词：符号模式矩阵，符号幂等，允许幂等，对称符号模式，广义置换模式 a bs t r a c t t h em a t r i xt h e o r yo fs i g np a t t e r n sm a i n l ys t u d i e si t sq u a l i t a t i v en a t u r eo ft h es i g n p a t t e r nw h i c hi so n l ya b o u ti t se l e m e n t s t h es i g np a t t e r nm a t r i xo r i g i n a t e ds o m e i s s u e s i i lt h ee c o n o m i c so ft h eq u a l i t a t i v en a t u r eo ft h es t u d y t h er e s e a r c ho ns i g np a t t e r n m a t r i c e si sf r o ms o m eq u e s t i o n si nt h es i g n s o l v a b i l i t yo fal i n e a rs y s t e ma n dm g n s t a b i l i t y p i o n e e r i n g w o r ki nt h es i g np a t t e r nm a t r i c e sp r e s e n t e db y t h en o b e l e c 0 n o m i c sp r i z ew i n n e rp s a m u e l s o nw h op o i n t e dt ot h en e e d e dt o s o l v ec e r t a i n p r o b l e m si 1 1e c o n o m i c s i n19 9 5 ，t h eb o o ka b o u tm a t r i c e so fs i g n - - - s o l v a b l e l i n e a r s y s t e m sw o r k e db yr a b r u a l d i a n db l s h a d e ，c o m p r e h e n s i v e l ya n ds y s t e m a t i c a l l y s u m m e d u pt h er e s e a r c hr e s u l t so ns i g np a t t e r n s ，m e a n w h i l e ，o b t a i n e da n u m b e ro fn e w c o n c l u s i o n s s ot h a ts i g np a t t e r nm a t r i c e sb e c o m ean e wr e s e a r c hf o c u s a m a t r i x a ：f a u l ，w h o s e e n t r i e s a i + ，一，)ai a r ef r o mt h es e t 0i sc a l l e d s i g n p a t t e mm a t r i x ( s i g np a t t e r n ) i fa = a 2h o l d s ，t h e nai sc a l l e ds i g ni d e m p o t e n ts i g n p a t t e r nm a t r i x i ft h e r ee x i s t sar e a lm a t r i xb = ( 6 f ，) - ，w h o ss i g n o fe n t r i e s a r e s 锄ew i t h 口。，s ot h a tb 2 = b ，t h e nai sc a l l e daa l l o w sr e a li d e m p o t e n t f u r t h e r , i f a = a r t h e nai sc a l l e das y m m e t r i cs i g np a r e r n i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h e s i g ni d e m p o t e n to fs i g np a t t e r n s ，s y m m e t r i cs i g np a t t e r n sa n d t h e i rr e l a t i o n s ，e s p e c i a l l y t h en u m b e ro fn e g a t i v ee n t r i e st h a to c c u ri ns i g ni d e m p o t e n ts i g np a t t e r n i ns e c t i o n1 ， w ei n t r o d u c et h es t u d yo fs i g np a t t e r nm a t r i xo ft h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n d ，g i v em g n p a t t e r nm a t r i xo ft h eb a s i cc o n c e p t sa n dr e l e v a n tc o n c l u s i o n s ，o u t l i n et h es i g np a t t e r n m a t r i xo fr e s e a r c ha n dm a j o rr e s e a r c hi s s u e s i ns e c t i o n2 ，w es t u d yt h er e l a t i o n s b e t w e e nt h es i g ni d e m p o t e n ta n dt h ea l l o w a n c eo fi d e m p o t e n t ，a n dt h e nm a i n l y c h a r a c t e r i z et h ei d e m p o t e n to fp r i n c i p a ls u b m a t r i c e sa n df i n dac l a s so fs i g ni d e m p o t e n t s i g np a t t e m sw h o s eu p p e r ( 1 0 w e r ) t r i a n g u l a r m a t r i c e sa r es t i l ls i g ni d e m p o t e n t m e a n w h i l e ，w eg i v et w os t r u c t u r e so ft h es i g ni d e m p o t e n tb y t h e d e f i n i t i o no f i d e m p o t e n t i ns e c t i o n3 ，w ed e t e r m i n et h em a x i m u mn u m b e ro fn e g a t i v ee n t r i e st h a t o c c u ri ns i g ni d e m p o t e n ts i g np a t t e m sa sw e l la ss y m m e t r i cs i g np a t t e r n s a n dp r o v i d e t h es i g np a t t e r nt h a ta c h i e v e st h i sm a x i m u mn u m b e r f u r t h e r , w ei n v e s t i g a t eg e n e r a l i z e d p e r m u t a t i o n a l l ys i m i l a ri d e m p o t e n tc o n f i g u r m i o na n dm i n i m u mr a n kf a c t o r i z a t i o n i n i i 符号说明 符号说明 m 。表示以刀的实矩阵类。 q ( 么) 表示与符号模式矩阵的元素符号相同的实矩阵类。 q 表：示n x n 的符号模式矩阵类。 盯表示符号幂等的符号模式矩阵类。 一7 7 i d 表示允许幂等的符号模式矩阵类。 么- b 表示符号模式矩阵彳是符号模式矩阵b 的子模式。 彳山b 表示符号模式矩阵么与符号模式矩阵召是相容的。 五表示广义符号模式矩阵。 4 表示n x n 的符号模式矩阵彳的后k 的主子矩阵。 jf 匀) 表示符号模式矩阵的上( 下) 三角子模式。 l 表示n 阶单位符号模式矩阵。 以表示n 阶元素全为正的符号模式矩阵。 g ( i ，) 满足m p 广义逆定义第i 和第条件的广义逆类。 么r 表示矩阵么的转置。 ( 彳) 表示矩阵彳中负元素的个数。 表示符号模式矩阵中符号不定的元素。 口表示定理证明完毕。 目录 目录 第一章绪论l 1 1 选题背景1 1 2 符号模式矩阵的基本概念2 1 3 符号幂等的符号模式矩阵的相关概念5 1 4 符号模式矩阵的研究概况及主要研究的问题8 1 4 1 符号模式矩阵的最小秩8 1 - 4 2 符号模式矩阵的惯量9 1 4 3 特殊符号模式矩阵9 1 5 本文的主要工作1 1 第二章一般符号模式矩阵的幂等1 2 2 1 不可约符号模式矩阵的幂等1 2 2 2 符号模式矩阵的主子矩阵和上( 下) 三角子符号模式矩阵的幂等1 4 2 3 一类符号幂等模式矩阵的结构2 0 第三章符号幂等的负元个数与对称符号模式矩阵的性质2 2 3 1 符号幂等模式矩阵的负元素的个数2 2 3 2 对称符号模式矩阵及其广义逆2 8 第四章总结及展望3 4 4 ，jj 暂结钾 4 2 展望3 4 致谢3 5 参考文献3 6 攻硕期间取得的研究成果4 0 v 第一章绪论 1 1 选题背景 第一章绪论 在科学技术迅速发展的今天，矩阵理论已成为研究者的必备理论和工具，特 别是作为数学工作者，矩阵理论已成为数学的一个重要的分支，它在数值分析、 微分方程、数学模型、控制理论、计算机代数、运筹学与最优化方法等分支及各 种数学背景的工程领域中都有极其重要的应用。矩阵理论已成为科技领域中不可 缺少的数学工具。由于利用矩阵理论与方法能够把很多错综复杂的工程问题转化 成比较简洁的数学实质问题，通过它的转化使问题更加简单而一般化，从而用矩 阵理论来处理科学技术中的各种问题越来越受到科研工作者的极大关注。 组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是 算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了 计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。组合数学的发展 改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。在1 9 9 7 年1 1 月的南开大学组 合数学研究中心成立大会上，吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使 得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是 在时代的要求下产生的。最近，吴文俊院士又指出，信息技术很可能会给数学本 身带来一场根本性的变革，而组合数学则将显示出它的重要作用。杨乐院士也指 出组合数学无论在应用上和理论上都具有越来越重要的位置，它今后的发展是很 有生命力，很有前途的，中国应该倡导这个方面的研究工作。万哲先院士甚至举 例说明了华罗庚，许宝禄，吴文俊等中国老一辈的数学家不仅重视组合数学，同 时还对组合数学中的一些基本问题作了重大贡献。迫于中国组合数学发展自身的 需要，以及中国信息产业发展的需要，在中国发展组合数学已经迫在眉睫，刻不 容缓。 符号模式矩阵是组合矩阵论的一个新兴研究分支，是近年来在组合数学中较 为活跃的一个研究方向。符号模式矩阵是指矩阵中的元素取值于集合 o ，+ ，一) 的矩 阵，比如：矩阵 电子科技大学硕士学位论文 b = 1 8 06 3o2o 015 1 7 179 b 矩阵所对应的符号模式矩阵为： a = + + 一o 0 0一 +o + + + + 符号模式矩阵理论主要研究矩阵的仅与其符号模式有关的定性性质。符号模 矩阵最早起源于经济学中对某些问题的定性性质的研究。对于符号模式矩阵的 究已成为组合矩阵论中当前国际上十分活跃的一个研究课题，其重要原因之一 它在经济学、生物学、化学、社会学、计算机科学等众多学科中具有广泛的实 应用背景。 符号模式矩阵的研究起源于研究线性动力系统的符号可解性与符号稳定性， 其开创性工作是由诺贝尔奖获得者、经济学家p s a m u e l s o n 作出的( 参见文献 1 ，2 ，3 】) 。由于符号矩阵理论在经济学中有着重要的应用背景，从而引起了经济学 家、数学家及计算机理论专家的广泛关注。19 9 5 年，r a b m a l d i 与b l s h a d e r 的关 于符号矩阵论的专著( ( m a t r i c e so fs i g n - - s o l v a b l el i n e a rs y s t e m s ) ) ( 文献 4 ) 的问世 极大地推动了符号矩阵理论的发展，它全面系统地总结了在符号矩阵理论方面的 研究成果，同时给出了许多新的结论。从而使符号矩阵理论成为组合数学的一个 新兴研究热点。 1 9 8 7 年，c e s c h e n b a c h 和c r j o h n s o n 弓i 出并研究了符号模式允许和强迫某种实 矩阵的性质，c e s c h e n b a c h ，e h a l l 和李忠善及他们所在的g e o r g i a 州立大学的同行 们对符号模式矩阵的好多性质进行了研究，并从实符号模式推广到复符号模式及 射线型符号模式( 见文献 1 8 3 0 】) 。我国对符号模式矩阵的研究起步比较晚，而且 研究的人也不多；近几年，同济大学的邵嘉裕教授在这方面作了许多工作，得出 很多国际上比较关注的结论，特别是对符号广义逆的研究( 见文献 5 1 1 】) ；另外， 中北大学的高玉斌教授，邵燕灵等对符号模式的惯量，肛次幂等，允许对角化等进 行了研究( 见文献 1 2 1 7 】) 。 1 2 符号模式矩阵的基本概念 2 第一章绪论 首先我们介绍一般矩阵的有关知识。 定义1 2 1f 5 8 】一个刀阶方阵a m 。( r ) 的k x k 主子矩阵黝的具有相同行、列 指标的鼢子矩阵，用4 表示彳的k 阶主子矩阵，其中鸩( r ) 为所有t l xn 的实矩阵 构成的集合。 定义1 2 2 5 s ) 我们把第一类初等矩阵称为置换矩阵，即一个n 阶实矩阵p ，若 它的每一行和每一列上只有一个元素等于1 ，而其余元素都等于0 ，则称p 为置换矩 阵。 定义1 2 3 【5 8 1b 是，l n 的矩阵，如果b 2 = 召，则称b 为幂等矩阵。 定义1 2 4 t 5 8 1a 是胛n 的矩阵，如果存在一个置换矩阵尸，使得 脚r = 身 其中b 和d 分别是k ，阶方阵，k 1 和，1 ，则称彳是可约矩阵( r e d u c i b l em a t r i x ) ， 否则称矩阵彳为不可约矩阵( i r r e d u c i b l em a t r i x ) 。 由定义容易得到，不可约矩阵不可能有0 行和o y 0 除一阶零矩阵外，如果a 是，z 阶可约方阵，则存在n 阶置换矩阵p ，使得p 舻r 有上三角块形式 b = p a p l = 4 。4 ： 0 4 2 oo 4 。 4 如 其中4 ，是不可约得方阵( 包括一阶零矩阵) ，f = 1 ，2 ，k 。 定义1 2 5 1 5 8 a 是复聊n 的矩阵，如果n m 的矩阵g 满足 ( 1 )a g a = a ： ( 2 )g a g = g ： ( 3 ) ( 例) r = g a ； ( 4 ) ( 彳g ) r = a g 。 则称矩阵g 为矩阵4 的m o o r e p e n r o s e 逆。 定义1 2 6 t 1 习彳是实，l 刀矩阵，把满足f ( 彳) = ( 咒。，l + ，n ) 的三元数组称为实矩阵 彳的惯量，其中表示实部为零的特征值的个数，以表示实部为正的特征值的个数， 2 _ 表示实部为负的特征值的个数，+ + n = 栉。 现在我们来介绍符号模式矩阵的基本概念。 定义1 2 7 t “1 符号模式矩阵( s i g np a t t e t nm a t r i x ) 是指矩阵中的元素取值于 集合 o ，+ ，一) 的矩阵。给定实矩阵雪，s g n p ) 表示与矩阵b 的符号相同的符号模式 3 电子科技大学硕士学位论文 。所有，l 以的符号模式矩阵构成的集合我们用q 表示。 对于一个忍咒符号模式矩阵彳，有一个实矩阵的类，其中的矩阵的元素与么有 的符号，这样就有? l x n 符号模式矩阵4 的一个定性矩阵类，记为 q 0 ) = 徊a m 。 ) l s 黟( ) = a g , 其中f ，j = 1 ，2 ，以) 若么是一个实m x ? 矩阵，则彳同样可以决定一个定性矩阵类，记为 q 【彳) = b m 。，。他_ 】l s 盟( b ) = s g n ( a ) ) 类似于布尔代数的运算，我们先给出符号模式矩阵元素的运算，如下： + ( + ) = ，一( + ) = ( - ) ，( + ) + ( + ) = + ， ( + ) + ( - ) = 舟，( _ ) + ( - ) = 一，( + ) 一( + ) = 撑， j f i 表示不定元，其余运算一般的运算类似。例如： ( ：) ( ：二) = ( ：) ；( 二：) ( 二二) = ( ：二) 。 关于符号模式矩阵问的各种运算，可参照实矩阵的通常运算方式，只要注意 运算律即可。 定义1 2 8 1 5 4 单位符号模式矩阵指是将单位数字矩阵中的1 用+ 代替所得到的 模式矩阵，用，。表示聆n 的单位符号模式矩阵。 定义1 2 9 t 5 4 1 子符号模式矩阵彳是指将符号模式矩阵4 中的某些( t g 许没有) 非零元素用0 元素代替而得到的符号模式矩阵，称彳是么的子模式，记作j _ 4 ， 此时我们又把么称为是五的超模式的符号模式矩阵。 从此定义我们可以得出：0 _ l 。若符号模式矩阵4 ，b ，c 满足a + b = c ， 则a c ，b c 。 定义1 2 1 0 【“】置换模式矩阵( p e r m u t a t i o nm a t r i x ) p 是指一个n 阶符号模式矩 阵矩阵p ，若它的每一行和每一列上只有一个元素等于+ ，而其余元素都等于0 ，则 称p 为置换模式矩阵。 定义1 2 1 1 【蚓符号差模式矩阵( s i g n a t u r ep a t t e mm a t r i x ) s 是一个对角线上 的元素只有+ 或的对角符号模式矩阵，即只有主对角元素为+ 或一，其余元素都为零 的符号模式矩阵。 在符号模式矩阵中，我们用j f j 表示了两个同号的元素作减运算时所得的结果为 一个不定元，通过这个符号下面我们引入广义符号模式矩阵。 定义1 2 1 2 t 州广义符号模式矩阵( g e n e r a l i z e ds i g np a t t e r nm a t r i x ) j 是一个 矩阵，其中它的元素取自 + ，一，0 ，撑 ，其中撑表示一个不定元。 定义1 2 13 【划对角符号模式矩阵( d i a g o n a ls i g np a t t e r nm a t r i x ) 是一个方符 4 第一章绪论 号模式矩阵，它的所有非对角元素都是零。类似地，我们有三对角，上、下三角 符号模式矩阵的定义。 定义1 2 1 4t 5 4 】置换相似( p e r m u t a t i o n a ls i m i l a r i t y ) a ，b 是两个方符号模式 矩阵，我们说矩阵彳，b 是置换相似的是指，存在置换模式矩阵p 使得b = 户舻r 。 定义1 2 1 5 【5 4 】置换等价( p e r m u t a t i o n a le q u i v a l e n c e ) a ，b 是两个符号模式 矩阵，我们说矩阵么，召是置换等价的是指，存在置换模式矩阵层，罡使得 b = 眉鹆。 定义1 2 1 6 【5 4 】符号差相 以( s i g n a t u r es i m i l a r i t y ) a ，b 是两个符号模式矩阵， 我们说矩阵a ，b 是符号差相似的是指，存在符号差模式矩阵s 使得b = s a s r 。 类似于文献 5 4 ，我们引入广义置换模式的定义。 定义1 2 1 7 删广义置换模式p 指一个置换模式矩阵或符号差模式矩阵中的 某些( 也可能是全部) 非零元素用负元素代替而得到的符号模式矩阵，此时p = p r ， 当然，若a = p b p r ，则称符号模式矩阵爿广义置换相似于符号模式矩阵b 。 定义1 2 1 8 【5 4 】符号模式的强迫性( r e q u i r e ) 如果p 是实矩阵对应的某一个 性质，我们说一个符号模式矩阵a 强迫性质p 是指对于任意的实矩阵b q ( a 1 都 有这个性质尸。 定义1 2 1 9 t 5 4 】符号模式的允许性( a l l o w ) 如果p 是实矩阵对应的某一个性 质，则称一个符号模式矩阵a 允许性质p 是指存在实矩阵b q ( a ) 有这个性质p 。 定义1 2 2 0 【2 l 】允许广义逆给定一个符号模式矩阵么，若存在数字矩阵 召，c q ( a ) ，使得它们满足定义1 2 5 中的( f ) ( j ) ，0 ) ，则称彳允许o ，z ) 一广 义逆，记作g g ，) ，此时，也就是a g ( i ，歹，z ) ；若满足( 1 ) 和( 2 ) ，则称 a g ( 1 ，2 ) ；若满足( 1 ) ( 4 ) 的所有等式，则称a g ( 1 ，2 ，3 ，4 ) ，此时，我们说4 允许彳+ 。 1 3 符号幂等的符号模式矩阵的相关概念 定义1 3 1 【1 8 】符号幂等( s i g ni d e m p o t e n c e ) ，a 是一个聆门的符号模式矩阵， 若对任意b q ( a ) ，b 2 q ( 彳) ，则称彳是符号幂等的，通过定义了符号模式矩阵 的运算，即a 2 = a ，就称彳是符号幂等的符号模式矩阵，所有符号幂等的符号模 式矩阵的集合我们用口表示。 定义1 3 2 【1 8 】允许幂等( a l l o w e di d e m p o t e n c e ) ，a 是一个r n 的符号模式矩 阵，我们说彳是允许幂等的是指存在b q f 彳1 ，b 2 = b ，所有允许幂等的符号模 5 电子科技大学硕士学位论文 一 j l ，b = l o j +一 一+ 00 oo + + + + +一 一+ 通过计算可知，a 2 = a ，所以彳是符号幂等的，即a 5 。而对于符号模式 矩阵b 而言，我们可以找到一个与b 符号相同的实矩阵c 如下： c ：三 2 11 11 o0 oo 使得c 2 = c ，故符号模式矩阵曰是允许幂等的，即b d 。 定义1 3 3 【3 1 1 强符号模式( c o n s t r a n t l ys i g n e d ) ，a 是一个符号模式矩阵，如 果么可以表示成a = 0 j - ，其中a + ，一，0 1 ，j 是每一个元素都为+ 的符号模式矩阵， 那么就么为强符号模式矩阵。类似地，我们可以定义行、列强符号模式矩阵。 定义1 3 4 【5 4 】相容符号模式矩阵( c o m p a t i b l es i g np a t t e r nm a t r i x ) 是指两个广 义符号模式矩阵a 和互，若存在曰q 魄) n q 魄) ，则称a 和互是相容的，此时我 们记作：4 山4 。 例如： 五= 一4 定义1 3 5 【2 1 1 符号模式矩阵的最小秩( m i n i m u mr a n k ) 指彳是一个符号模式 矩阵，与a 有相同元素符号的矩阵中，秩最小的矩阵的秩，即 m r ( a ) = m i n 朋刀k b b q ( 彳) ， 我们通常用m r ( a 1 表示符号模式矩阵彳的最小秩。类似地，符号模式矩阵么的最 大秩可定义为 m r ( a ) = m a x r a 刀kb i b q ( 么) ， 我们通常用m r ( a 1 表示符号模式矩阵彳的最大秩。 定理1 3 6 t 2 1 】集合口和d 在以下的运算中式封闭的， f i l 符号差相似； f i i l 置换相似； f f f f l 转置。 6 示 + 一栽r弋 西 彳 用们我& 口集 ：的如 阵例 第一章绪论 定理1 3 7 【3 1 1a 是不可约的n x n 的符号模式矩阵，若么是符号幂等的，即 爿s ，那么么的元素全部非零。 引理1 4 3 3 1 1a 是可约的以以的符号模式矩阵，则a 可置换相似为f r o b e n i u s 标准型，也就是 4 。4 ： 0 4 2 oo 4 。 4 女 ： 如 其中4 ，是不可约的方阵( 包括一阶零矩阵) ，扣1 ，2 ，k 。 定理1 3 8 【3 1 】彳是可约的n n 的符号模式矩阵，如果4 ，和彳，都是正块，且以 是强符号时，则么是一个符号幂等的符号模式矩阵。 定理1 3 9 【3 1 】a 是可约的以玎的符号模式矩阵，如果4 是正块且么。是零块， 当4 ，是强符号时，则a 是一个符号幂等的符号模式矩阵。 定理1 3 1 0 【3 ”彳是可约的以n 的符号模式矩阵，如果4 ，是零块且彳，是正 块，当4 ，是强符号时，则么是一个符号幂等的符号模式矩阵。 引理1 3 1 1 【3 1 1a 是可约的，z r l 的符号模式矩阵，且a 是符号幂等模式矩阵则 么可置换相似为f r o b e n i u s 标准型，也就是 4 。4 ： 0 4 2 00 4 。 4 女 ： 如 其中4 f ，是全为正或零方阵，f = l ，2 ，k 。 定理1 3 1 2 【2 1 1 给定彳是一个方的非负符号模式矩阵，m r ( a 1 = ，则4 允许 一个实幂等矩阵当且仅当彳可以置换相似下面这种形式 f 41 l 44 4 j 其中4 4 是i 的一个子模式。 定理1 3 1 3 【2 l 】彳是一个f i x 甩的非负符号模式矩阵，m r ( a 1 = ，则4 是符号 幂等的当且仅当彳可以置换相似下面符号模式形式 f44 4 、i l 4 44 4 4 j 其中4 是r 阶符号非奇异幂等模式矩阵，且4 4 4 。 7 电子科技大学硕士学位论文 显然，如果彳是- - + n n 的非负符号模式矩阵，聊，( 彳) = 厂，a 就可以在置换 相似条件下具有如下形式 ( 主) ( 4 4 4 ) ， 我们把它称为a 的一个最小秩分解。 定理1 3 1 4 嗍a 是一个，z 刀的非负符号模式矩阵，且彳= a r ，m r ( a ) = ， 则彳是符号幂等的当且仅当么可以霉换相似下面符号模式形式 v 甜 其中4 4 。 1 4 符号模式矩阵的研究概况及主要研究的问题 所谓符号模式矩阵就是将所给的矩阵a 中的元素用相应的符号代替所得的矩 阵，我们将这类矩阵用q ( 彳) 表示为： q 0 ) = 即l 口 f = s 初j 口口为彳的元素，b o 为一般矩阵b 的元素) 众所周知，一般实矩阵的研究起源于线性方程组的求解，从而符号模式矩阵 也同样来源于经济学中的一个符号可解的线性方程组，即对a x = 6 而言，仅知勘， 6 的元素符号能否确定出满足次方程组解的符号，这是一个符号可解的线性系统， 这个问题在1 9 9 5 年r a b r u a l d i 和b l s h a d e r 所写的符号可解的线性系统进行 了研究，并得到许多比较广泛的结果和结论。 最初大多数的学者主要是针对来自于实矩阵的符号模式进行研究，比如符号 模式矩阵的奇异性，三一矩阵，行符号矩阵，符号模式矩阵的相似等；而自从九十年 代末期后，人们开始对复模式矩阵也进行研究，即将彳改为a = 4q - 鹃， q 0 ) = b b = 骂+ 峨，蜀q ( a 。) 岛q 【4 ) ) 详见文献 2 5 ，2 6 。由于符号模式矩阵 本身就是组合矩阵论的部分，所以好多学者又把它与图论联系起来研究，比如最 小秩，惯量等，使得符号模式也来也广泛，见文献 2 8 ，2 9 ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 8 ，3 9 。 下面开始介绍特殊符号模式矩阵的进展情况。 1 4 1 符号模式矩阵的最小秩 在最小秩的研究方面，最开始来源于一般矩阵的秩，对于符号模式矩阵而言， 它的秩显然是不固定的，从而很多学者研究了它的最大秩与最小秩，并且引入了 第一章绪论 组合矩阵论中的项秩的概念，从组合矩阵论的极大极小定理得出了最大秩等于项 秩的结论。但是，对于如何计算一个符号模式矩阵的最小秩问题仍然是一个公开 问题，见文献 3 4 ，3 5 ，3 6 ，3 9 - 4 2 。最近几年，人们主要研究最小秩的有理数实现问 题和最小秩与幂等矩阵等特殊符号模式矩阵相关的性质。现在已经有很多文章在 研究这方面的问题，比如：文献 2 1 ，3 1 4 8 ，5 3 ，5 6 。特别是在文献 3 6 实现符号模式 的最小秩已经用在神经网络中。在文献 3 3 ，3 4 ，3 8 ，4 0 作者还研究允许自由对角元的 最小秩问题，然而一般模式的最小秩的有理数的实现仍然是一个很困难的问题， 在2 0 0 5 年的文献 4 1 e p 只证明了最小秩为2 的有理数实现，而最小秩为k 的却无法给 出，在2 0 0 8 年的文献 4 2 1 q u ，作者得出了在一般情况下最小值得有理数实现是不成 立的。 1 4 2 符号模式矩阵的惯量 对于一个n 阶实矩阵而言，定灿的惯量为f 佃) = ( f + p l t p ) f o 佃”，其中) ， t 佃) ，厶( 召) 分别表示b 的正、负、零实部的特征值( 包含重数) 的个数。设a 是一 个n 阶符号模式，称三元数组的集合为符f 0 ) = f 皓l 占q ( 么) ) 号模式的惯量。 惯量是共轭转置下刻划符号模式矩阵的很重要的不变量。对于符号模式矩阵 的惯量，我们主要针对的是对称符号模式矩阵，它是从对特征值( 谱) 的研究中 提出来的，重点研究的是符号模式矩阵强迫唯一惯量，惯量任意，谱任意，以及 在符号模式矩阵下如何计算惯量的问题( 见文献 1 3 1 6 ，2 0 ，4 3 4 7 1 ) 。最近几年，文献 4 5 1 高玉斌教授对惯量任意的有理数实现进行了研究，得出了某一类具有这样性质 的特殊符号模式矩阵，在文献 4 3 1 0 0 ，作者研究了带状符号模式矩阵具有惯量任意 允许任意共轭谱的性质，同样文献 1 3 ，1 5 ，1 9 ，2 0 ，4 7 也刻划了特殊符号模式矩阵的 惯量；在文献 1 5 0 p ，作者给出了谱任意的符号模式矩阵。虽然对惯量的研究已经 有很多的文章，但是仅从一个矩阵的元素符号所得到的关于惯量的知识是很少的， 因而惯量的研究有待进一步的发展。 1 4 3 特殊符号模式矩阵 特殊符号模式矩阵主要包括非负符号模式，幂等模式，幂零模式，可对角化 的模式，允许广义逆模式等。它一直是符号模式矩阵研究的热点，最近几年，对 于幂等，幂零的结论的文献已经很多，比如：文献 2 3 ，3 1 ，4 8 ，5 0 ，5 1 】；在文献 5 6 1 q b ， 黄容给出了幂等的一些充分条件和必要条件，但对幂等的刻划仍然还有好多方面 9 电子科技大学硕士学位论文 研究，比如：符号幂等与允许幂等和强迫幂等之间的关系，如何刻划符号幂 充要条件等仍然是公开性的问题，允许幂等的符号模式的最小秩的实幂等矩阵 。 符号模式矩阵的允许对角化在文献 4 9 1 中c a e s c h e n b a c h 和c r j o h n s o n 给 必要条件：z 0 ) d 0 ) ，并猜想这也是充分条件，然而在文献 1 2 q b 高玉斌 给出了这个充分条件的反例，否定这个充分条件，他还给出其他一些充分非 的条件，比如c 0 ) = m r ( a ) 。特殊符号模式矩阵与组合图论结合是比较紧的， 符号模式矩阵的非奇异，行列式秩，惯量等相关概念都可以用图论相应的 来表达，然而对允许对角化而言，找出刻划它的充分必要条件到目前为止仍 一个公开性问题。 在的符号模式矩阵的广义逆研究中，。文献【2 1 中，对非负符号模式矩阵的广义 以刻划，作者根据非负实矩阵的广义逆给出了非负符号模式的各种广义逆的 描述。对一般符号模式的广义逆而言，在文献 9 ，1 0 d p ，邵嘉裕教授给出了一些相 关的结论，它主要是针对特定实矩阵的符号模式广义逆进行了研究，对符号模式 的彳+ 仍然没有相应的结论。最近，文献 5 1 ，5 2 ，i j k j m ，d d o l e s k y , b l s h a d e r 根 据符号模式的线性系统：a x = b 的符号解研究了符号模式矩阵允许和强迫正和非负 左逆的情况。 符号模式矩阵很多性质都是一般实矩阵性质的推广，因此在整个研究过程中， 一般是矩阵的性质是相当重要的。另一方面，符号模式矩阵是组合矩阵论的一部 分，从而它与组合矩阵论中的好多概念是一致的，我们可以借助已有的好多性质 对符号模式进行研究。由于在文献 4 】中，r a b r u a l d i 和b l s h a d e r t o m 通过( ( m a t r i c e s o f s i g ns o l v a b l el i n e a rs y s t e m s ) ) 专著对符号模式矩阵系统总结了至u 1 9 9 5 年为止这一 领域中所取得的研究成果，因而主要是利用这些结论并借助线性代数，组合矩阵 论对符号模式矩阵进行研究。 以上我们介绍了符号模式矩阵的相关概念及当前的研究状况；通过以上的分 析及介绍，我们可以知道符号模式矩阵的理论仍然有好多东西值得进一步的研究， 特别是一些公开性问题到至今还没有解决，所以对符号模式矩阵理论的研究是十 分必要的。+ 目前关于符号模式矩阵，主要研究问题有： 1 符号模式矩阵的惯量研究，给出一般符号模式要求唯一惯量和具有惯量任 意的刻划； 2 寻找计算一般符号模式矩阵的惯量的方法，怎么通过一个实矩阵的符号来决 l o 第一章绪论 定它的惯量； 3 寻找计算最小秩的算法，并找出哪一类符号模式矩阵的最小秩可以有理数实 现( 最小秩超过2 ) ； 4 找出符号幂等矩阵及允许幂等的刻划； 5 在幂等的条件下，是否存在幂等的实矩阵使得它实现最小秩； 6 给出n 次幂零矩阵矩阵的相关性质及刻划； 7 寻找一般符号模式的( 1 ，2 ，3 ，4 ) 广义逆( a + ) ：， 8 是否存在一般符号模式的左逆，使其符号与原转置的符号一致。 1 5 本文的主要工作 本文主要研究了符号幂等矩阵和对称符号模式矩阵的性质及它们之间的关 系，特别是符号幂等矩阵的负元素的个数。本文的创新点有：给出了符号幂等矩 阵的主子矩阵幂等的刻画，找出了符号幂等矩阵中负元素的最大个数，研究了对 称符号模式矩阵的性质及其广义逆。主要内容如下： 第一章介绍了符号模式矩阵研究的历史背景，给出了符号模式矩阵的基本概 念和相关结论，概述了符号模式矩阵的研究现状及主要研究的问题。 第二章主要研究了一般符号模式矩阵的幂等，讨论了符号幂等与允许幂等之 间的关系，同时在这部分我们研究了符号幂等模式矩阵的主子矩阵及上、下三角 矩阵，刻画了主子矩阵的幂等，给出了一类上、下三角矩阵仍是符号幂等的符号 幂等式矩阵。通过幂等的定义，给出了两种符号幂等模式矩阵的结构。 第三章主要研究了符号幂等模式矩阵的负元素的个数及对称符号模式矩阵的 性质，包括在对称情况下的幂等与允许幂等。给出了其负元素的最大个数。讨论 了广义置换相似的幂等结构和最小秩分解，得出了一些关于广义逆、允许三次幂 等及允许幂等的等价命题。 电子科技大学硕士学位论文 第二章一般符号模式矩阵的幂等 不可约符号模式矩阵的幂等 本节主要介绍一些关于不可约符号模式矩阵的符号幂等与允许幂等的相关结 从而得出它们之间的一些关系。 引理2 1 1 【删集合盯，g o ，z ) 和在以下变换中式封闭的： ( 1 ) 符号差相似； ( 2 ) 置换相似； ( 3 ) 转置。 从这个引理，我们也可以得出集合口，g ( f ，z ) 和d 在广义置换相似下也是 封闭的。所以，当我们讨论符号模式矩阵的幂等时，引理2 1 1 允许我们在f r o b e n i u s 标准型下来进行研究符号模式矩阵。 在文献 3 1 中，我们知道：若一个方的非负符号模式矩阵么是允许幂等的，即 a d ，则彳是符号幂等的，即a s 。然而，对一般的n 以符号模式矩阵4 d ， 我们却不能得出a s 。这是因为在彳2 的运算中会出现j f i 元素，所以我们得到的是 彳2 与a 是相容的，即彳2 山彳。例如： 我们有 a = 彳2 = +一 + oo 0o + 一+ oo oo + + + +一 - l - 撑襻 撑群 +一 一- - 所以a a 2 ，但是彳2 山么，同时，我们取 r 一1 d 一一 2