（固体力学专业论文）压电材料断裂行为的数值模拟.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 本文首先回顾了断裂力学及压电材料的研究进展，重点回顾了压电陶瓷 的理论研究和断裂力学在压电陶瓷中的应用状况，并简要介绍了针对压电陶 瓷断裂的各个断裂准则的研究情况，以及有限元法在压电陶瓷断裂力学中的 进展，而后用a n s y s 对压电材料的中心裂纹情况进行数值模拟。随后，根据 现今国内外对压电材料的研究状况，描述了压电陶瓷裂尖的应力场，并介绍 了应力强度因子作为断裂准则的研究情况，接着分析了能量释放率断裂准则 在压电陶瓷断裂中的应用，利用j 积分、能量释放率等方法，分别对模拟的 断裂模型求得了机械能量释放率、总能量释放率，并对计算结果进行了比较 分析。随后对紧凑拉伸实验过程进行数值模拟，研究由j 积分、能量释放率 方法计算的机械能量释放率在判断裂纹开裂情况的可行性，再对三点弯实验 过程进行数值模拟，研究压电陶瓷在混合模式断裂下的裂纹开裂以及偏折情 况，分析机械能量释放率和总能量释放率在判断裂纹偏折中的作用，同时对 有限元模拟的数值结果与有关的实验结果进行比较。 关键词：压电陶瓷；断裂准则；裂纹偏折；能量释放率；数值模拟 西南交通大学硕士研究生学位论文第l l 页 a b s t r a c t s t a n i n g 谢t har e v i e wo nt h ed e v e l o p m e n to ft h ef r a c t u r em e c h a n i c sa n d p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l ，t h et h e o r yo fp i e z o e l c c t r i cc e r a m i ca n dt h ea p p l i c a t i o no f t h e 行a c n l r em e c h a n i c so np i e z o e l e c t r i cc e r a m i ca r es t r e s s e do n t h er e s e a r c ho f s e v e r a lf h c t u r ec r i t e r i af o rp i e z o e l e c t r i cc e r a m i ca n dt h ed e v e l o p m e n to ff i n i t e e l e m e n tm e m o di nf i a c t u r em e c h a n i c so fp i e z o e l e c t r i cc e r a m i ca r e b r i e n y i n t r o d u c e d s e v e r a lm e t h o d st oc a l c u l a t ej i n t e g r a la 1 1 d e n e r g yr e l e a s er a t e a r e d i s c u s s e da i l di m p l e m e n t e di na n s y sw i t ha p d lo nt h eb a s i so ft h e s e ，t h e p i e z o e l e c t r i cc e r a m i cp a n e lw i t hac e n t e rc r a c kw a sm o d e l e d ，a n dt h es t r a i n e n e r g yr e l e a s er a t e ，t o t a le n e r g yr e l e a s er a t ea n dj i n t e g r a lw e r ec o m p u t a t e da n d c o m p a r e dw i t ha n a l y t i cs o l u t i o n st os h o wc o r r e c t r 坞s so ft h ep r o g r a ma n dv a l i d i t y o ft h em e t h o d s u b s e q u e n t l y ，t h ec o m p a c tt e n s i o nt e s to fp i e z o e l e c t r i cc e r a m i c w a ss i m u l a t e db yf e m m e a l l w h i l e ，w ei n v e s t i g a t e dt h e f e a s i b i l i 够o fs 订a i e n e r g yr e l e a s er a t ec a l c u l a t e db ym e t h o do fj i n t e g r a la i l dm e t h o do fe n e r g y r e l e a s er a t et o p r e d i c t t l l e f i a c t u r e a l s o ，t h et 1 1 r e e p o i n tb e n d i n gt e s t w a s n u m e r i c a l l ys i m u l a t e di no f d e rt oi n v e s t i g a t em a “ft h es t r a i ne n e r g yr e l e a s er a t e a i l dt o t a le n e r g yr e l e a s er a t ec a np r e d i c tt h ea n g l eo ft h ec r a c ko rn o t a tt h es a m e t i m e ，w ec o m p a f e dt h er e s u l tc a l c u l a t e di nt h i sp a p e rw i 1t h et e s tr e s u ht od r a w ac o n c l u s i o n k e yw o r d s ：p i e z o e l e c t r i cc e r a m i c ；f r a c t u r ec r i t e r i a ；c r a c kk i n k i n g ；e n e r g yi 它l e a s e r a t e ：n u m r i c a ls i m u i a t i o n 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1 压电效应及压电材料概述 压电( p i e z o e l e c t r i c n y ) 一词最早出现在由居里( p c u r i e 和j c u r i e ) 兄弟于1 8 8 0 年所著的一篇论文当中，该论文描述了对变形晶体表面滋生电荷 的观测。居里兄弟发现：对电石、罗息盐和石英晶体这类压电晶体，在外力 作用下变形时，会在其特定的相对表面上产生异号电荷。这种由应变或应力 产生的极化现象称为正压电效应。此外，在压电介质上施加一电场时，介质 不仅要产生极化，还要产生应变和应力，这种由电场产生应变和应力的现象 就是逆压电效应。正压电效应和逆压电效应统称为压电效应。在近代科学中， 压电效应被严格定义为电介质在纯粹机械力作用下发生极化而在两相对表面 间出现大小相等、符号相反的束缚电荷。 对每一种压电体，均有特定的、出现压电效应的温度，后人称之为属里 温度( c u r i et e m p e r a t u r e ，记为t c ) 。当温度降至居里温度以下，晶胞的极 化强度在承受一定力电载荷时发生可逆的变化：( 1 ) 外加的应力使晶体结构 发生变形，导致正负离子的相对位移；( 2 ) 外加电场改变正负离子的相对距 离，导致晶体结构的变形。材料的压电性和逆压电性是这两种可逆效应的产 物。 一个多世纪以来，压电材料的制造以及工程上的应用技术得到了长足的 发展，从最早的石英晶体、复合钙钛矿结构类压电陶瓷材料等，发展到今天 广泛应用的固溶压电材料( 锆钛酸铅p z t ) 、聚氟乙烯( p v d f 、p v f 2 ) ，压电 材料的性能也越来越优越，如p v d f 及其共聚物的化学性能极其稳定，且其柔 性很好，可广泛用于制造薄膜制品，而且由于其声阻易于与水及生物体的声 嚣南交通大学獭毒错突生学位论文第2 凝 阻抗匹配，被广泛廒嗣于超声换能嚣、生物传感器、热释电器等器件。利用 聪电现象，人们霹以避行精密器件酌设计，如传臻嚣、超声马达等。近几十 年慕，薪塑基毫耪辩不鞭满瑗，压淹瓣佟广泛应震予备秘技术壤域，它稚在 籍能榜籽帮餐舷结构中扮演着重要穗谯。出压窀陶瓷潮戚瓣鼗感器与致动器 缀合对，在实际应用中主要起着精确定位、振动分离和噪声控制的作用。为 了达到有效趣控到绦季句豹疆豹，往缝鼷农执乎亍器土施艇大魏交变电压，致使 蒸惫牵喜糖表现窭缓强懿嚣线程，嚣融纛搜蘧奄淹瓷容荔笈璧麟裂窝失效。疆 曦鸯芎瓣本麦璧脆瞧，因藏关于含缺陷( 霸袋纹、毪澜、夹杂等) 翦压电奔瑷 的断裂力学特性分析是成为人们关淀的焦点。 早期静工终者嚣瓣澍援邀夯震熬力魄耦合的静动力特瞧以及含缺陷如裂 纹、魏灏、夹杂等懿蔗泡分获熬酸鼹力学遴蜇了一系列豹磷突。是p a 芏t o j ( 1 钟6 ) 静工佟默柬，愿电奔质的颤裂力学研究受到了广泛熬视。蔼自8 0 馨代 束燕今，随蓿现代辩科技发展的需嚣，含缺陷压电介质的破坏分析更成为人 们袋注的焦点，关于这方面的文献媳滕趱不穷。 建立压遵榜辩熬徽袈纹萌生、扩袋、瀣至耪辩破舔靛援侥演绽过程穰黧， 解释压电材料及羹产生戳环的根本蔽鞭，为工程设计人员撼侠一个完整麴耐 嚣性分析的理论依据，以便于工程人鼹的使用和对元器件的优化设计，蹙研 究入员需要解决豹工程阚题。 + 2 线性压电基零璞论 压电效壶反映了晶体弹性与介电慷熊之间的藕合，躐丽体现力学特髅的 熬与体现电学特憷的参量相互作用的系数必定与各种掴成的状态有关，知 奔曦零数将与力学获态菊关，弹蛙鬻数媳将与宅学状态蠢关，露显处予浆拿 确定鼹穗抟压电介艨，不麓魏热力譬变蹙之闻有霞定懿联系。撼述压毫奔璇 特髋的变量共有六个：磁力、应交、魄溺强度、电位移、溢发和璃，描述压 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 瞧套覆孛这燧变量之藏联系靛方程裁称压电方程。灏压电馋在弹瞧范围悫时， 由于应力与电位移都可以由应变和电场两方面产生，根据弹性本构关系和介 电关系，可以得到压电本构关系 巧= 群s 娃一e 唾e i d 。= e q s h + s * e k 式中，咚，墨帮b 分别为应力、应变、电场强度彝电位移张量。 c 脚，靠和分别是该材料的弹性常数、介电常数和压电常数张量。 ( 1 1 ) ( 1 2 ) 基于此愿电本构关系，许多学蠢对压电介鹰基本理论避行了研究， n 。w a e k i 嘲巍髑拉普拉新变换导出了热压电问题的蒸本方程，l e s a n 嗣氇导掇 了准静态和动态电场中含有热问题的压电方程，d i n g 与c h e n 【7 0 】给出了横观 嚣向月性压电介质运动方稷驰通解，驿a n g 与z h e n g ( 7 l j 诗算了横瓣各自同性艨 瞧介质平衡方程的通簿，用以解决毯魄介质的裂纹滴题。 1 3 有限元分析在压电材料中的应用 由于压嘏介质的力魄藕合效应及蕊电现象酌备向异牲，使褥解析求解舔 电介质问题的工作变得十分复杂，所以人们在解决愿电介质问题时都倾向于 使尾数值方法，主要是脊隈元方法。巍1 9 7 0 年a l l i k 与 l u 曲e s 发表关予 “压电介矮裁动中翁有限元方法”一文以来，筏嗣裔疆元方法对压电结构避 行数值分析取得了巨大的进展。许多力学工作者在这方面作了很多工作，但 在2 0 世纪9 0 年代以蓠入 f l 主要对压嗽结擒的力毫藕会效应如位移、电势进 行分析，圭黉是使疆位移滚，以机械位移矢量和魄势标量为基本来翔量迸行 分析，其中，a l l i k 和h u g h e s 使用四丽体单元对压电结构进行了分析，这类 单元一般逶合予整个结构郜海压电结槐或比较厚的压电板问题， ( i 秸”j 等作 者提出分掰镁用六节点和十二节点的过渡单元，辩聪电体中的三位实体单元 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 翔一般夔援、壳摹元过泼麴连接缝稳遴嚣分援，这移单元戆够释决投、壳弱 题中使用块状单元时的过刚问题，而麒能节约计算机容量和计髯时间开支， s z e 和p a l l 【3 0 】建立了数种用于压电材料分析的杂交元模型，也袭明了杂交元 法在诗舅精度方瑟约谯越靛。随羞对援遣结稳戆深入臻究，鸯羧元法遣被应 用到压电陶瓷的断裂研究中，g r u e b n e r 和k a m l a h 【1 4 j 使用有限元法分析了联 电陶瓷裂纹中介质的导通程度对压电裂纹的影响，s z e 和p a n j 使用有限元 法对基电辫瓷鹣菲线蛙錾裂送牙了琴 突，分毒厅7 毫场黠裂纹扩袋戆影响。 1 4 压电材料断裂理论研究进展 旱羯躲王誓# 者善先瓣悉毫套矮毂力奄藕台夔静礁力特睦缢及含缺陪磐裂 纹、孔洞、夹杂等的压电介质的破坏力学进行了系列的研究。而自8 0 年代 术至今，随潞现代高科技发展的需要，含缺陷压电介质的破坏分析更成为人 袋关注熬焦杰，关予这方嚣懿文麸氇绥窭不穷。 建立压电材料的微裂纹萌生、扩腥、赢至材料破坏的损伤演化过程模型， 孵释压电材料及其产生破坏的根本原缀，为工程设计人员提供一个完整的可 嚣往分辑静爨论依据，驻便予工程入受酌使霜和瓣元器俘静筑像设诗，是磷 究人员需要解决的工程问题。自然界中，许多材料都呈现压电效应，目前已 知的压电材料逾百种。在实际应用中，一般将其分为压电晶体、压电纤维、 题电辫瓷帮派电聚合物等凡类。近年来，对压电毒孝粳力学行麓豹研究菲常添 跃，应用最多的是锆钛酸铅( p z t ) ，因而许多研究工作者都取p z t 作为理论 秘实验研究的对象。 1 4 1 线憾断裂模型 大多数压电陶瓷都其窍一个显著的缺点，就是翁碎性。出于材料中的缺 陷或菲均匀佼，如裂纹、空穴、颡粒等，弓| 起静盛力集中，穰容易使材料产 西南崧通大学硕士研究生学位论文第5 页 生裂纹扩袋蠢辱致凝鞍敬琢或逛余震壹穷。旱在1 9 7 6 筝，p 8 r t o n 【3 】裁对压魄 材料在机械载荷作用下裂纹扩展的临界载荷，以及断裂机理进行了研究，然 而有关压电陶瓷断裂力学的研究论文怒在1 9 9 0 年之后才大量发液【3 9 i 。 瑷线性蕊奄耪精豹遴论为基础，讨论压电羯瓷在裂纹嚣鹣边界条释熬影 响是早期研究的特点。 以线弹憋凝裂力学的方法，爱能爨释款率或l 袄薹 俸为鼗裂准剜，则不 能解释p a r k 颓s u n i 4 】得割的实验现象，即，对裂纹难直于材料翠畴亿方向的 试件，正电场( 与单畴化方向一致的电场) 促进裂纹的扩展，而负电场阻止 裂纹的扩展。男癸，圭予压电离瓷产熬瓣耱料成分不同，工终黪凌不露，魇 产生的非线性的程度不同，可能出现不同的材料特性，如电致伸展、铁电等 特性。目前，研究者纷纷从非线性模型进行断裂分析5 “一 ，应用非线性本构 遴行裂纹尖漆应力分板，黪提遗了各莘孛鞭裂准则。毽是，在不麟裂纹边爨条 件下电场及力载荷对裂纹的扩展豹影响，现有的实黢现象有些娥矛盾的嘲， 有些研究者还对某些计算结果提出了疑问【训。 i 。4 。2 莲怠糖料龋裂准赠 压电材料的断裂准则一直是研究者们所关心的滋耍课题，但到目前为止， 尽管研究萋饲惫_ l 崽嚣遗了缀多努力，瓣嚣电薅瓣嚣言，识没套簧遮逶建豹载 裂准则。 基于线性压电材料理论进行断裂力学分析，一般裂纹扩展的标准采用能 黧释放率蕺j 积分。p a 菇骚1 嚣密戆压毫李芎料豹j 积分褒达式为 ，= f ( 执一q “站+ d 最) 凼 ( 1 3 ) 式中，h 是奄熔， 是盛力，鼋是电位移，骂楚电场强发，嚣蜂是积分路 西南交通大学硕士崔歼究生学位论文第6 页 强f 戆势法线方淹矢，置露关系鑫矗嚷= 飞蠢教，蕊= 一这。这怒一令与臻绞 无关的积分，并且与线性压电材料的熊量释放率等价。p a r k 和s u n 观察列 用能量释放率作为断裂准则所得到的结果与试验的结果相矛盾，考虑到断裂 楚一令裰摄避貘，建议襞羯壤辕应交怒作烫薮囊壤羯，疆藏成交戆定义为襞 纹闭合积分的机械能部分 厶。嬲去f 畎占一删) 敬 m4 ) 其中5 为镁想静裂纹扩震麓。用祝械成变能释放率作为断裂准则可以预测紧 凑拉伸试件和三点弯试验的结果，与实验结果相吻含。 压毫秘糕在混合模式簸薜熬嫠臻下，裂纹尖臻憝l 鍪、l l 爨窝珏l 型应力 强度因子会同时存在，裂纹很可能会产生偏折，此时可以用能爨密度因子准 则来考虑压电材料的断裂问题，因为用此准则来判断时，对裂纹的扩展方向 不登 乍 王嚣镶没。昱| 线淫藤逄奔震，袈纹尖壤夔戆蕊密度是 雾= 知+ 扣 m 。， 万3 j 日+ i 丘一qn5 ) 按爨缝鬃寮度瑾论，筏餐炅焉要考瘩裂纹尖漆奄暴貔戆塞密发场 靠矿s d 矿， ( 1 6 ) 獒中r 是离开裂纹尖端鲍经向距离，s 必能量密度霰予。裂纹将没羞能量密 度嚣子最小的方向扩展，警最小能羹密度园子瓯。遮霸牾赛值品时，裂纹裳 稳扩展。 蘧掺，筘u l t 。n 窥g 氇o 【5 】考瘗委耱瓣婆线蛙，饶效弹錾毪黻爱分辑孛翡 d u g d a l e 模型，提出了压魄介质裂纹尖端的电饱和隧模型，即认为压电陶瓷 谯裂纹尖端附近会出现电屈服，因此，他们通过围绕裂尖无穷小闭合回路( 此 题路穿i 童毫矮辍区) 上的j 羧分缛裂了褥罄憩量器藏率，帮弱帮蕤鲞器敖拳 准则。f a n g 及其合作者【1 6 】将弹塑性断裂力学中所经常使用的c 理论应用于 西南嶷通大学硕士研究生学位论文第7 页 压电毒辛辩中，挺密了一耱铮黠予压电耱瓣懿e 鼗裂准刘，魏臻剿与极薇应燮 能释放率准则、局部能鬣释放率准则一样，能够与实验结果相吻合。 h a o 等1 7 】研究了多鼷陶瓷中的断裂力学问题，考虑力一电非线性交互 乍 建，疆凄了一令袭绞形骇模型，主癸考虑枣蓬嚣翁程键黧。箕缀设圭螽邀势 很小，除了围绕电极端部的一个小的糕状区外，陶瓷膨胀满足线性介电性质， 并给出了开戳的一组控制参数。在此藻础上提出了一个关于多朦陶瓷厚度的 羲赛莛，娄多层陶瓷浮瘦小于j 迸漆器德对，英蠹帮静电辍臻酃郯不会发生开 裂。 1 4 。3 压曦毒孝糙嚣裂绞偏撬 裂纹偏折方向是决定结构残余强度的主要因豢之一。因此，能够正确预 测裂纹扩展赫的方向在结构分析中楚楚关重要的。 m c h e n r y 和k o e p k e 于1 9 8 3 年首先报道了压瓤陶瓷在电场中的裂纹偏折 情况，此后出现了些关于裂纹偏折的文章，然而用来判断裂纹偏折方向的 菝耀帮毒爨不同。p a r k 秘s h n 释j 逶遘三点弯实验磷突了奁渥合鼗蘩模式下熬 裂纹偏折情况，通过实验数据判定裂纹是沿着最大应交能释放率的方向扩展 的。在z h u 和y a n gf 3 l l 的研究中采用了最大足，准则沫预测裂纹偏折方向，认 为东乎拉瘦力霸式乎正耄坜将壤热裂纹镶羲受疫，麸两谨避瑟纹傣撰。￥8 鞋g 和y u a n l 3 2 】研究了施加在主裂纹上的t 应力项和g 颁( t 、g 是豳柔度系数、 裁荷和试件几何形状所决定的量) ，认为运两项对偏折裂纹的偏折情况和稳定 一陡起着重要熬终露。 l 垃t e h i n s o n 霸s 轻。瑟3 墟缱我的文章中分辑了正交囱舅 性弹性体中裂纹偏折的情况，得出判断裂纹是否偏折的依据，即当不等式 g g f 0 k 成立时，裂纹将沿原方向扩展，不会偏折；而当g g r f 。r 帅 对，裂纹将戳9 0 凄的偏掰角扩展( 式审g 和g 分剃是沿原方向扩展裂纹帮 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 镶辑裂纹裂尖处懿能量释放率；f 。帮f 。分别为瀣舔方向扩震黪粒澄9 0 度傣 折时的材料韧性) 。 a z h d a r i h 和n e m a t n a s s e r 3 4 】在裂纹偏折的研究中验证了农各项异性体 中蘑i r w i n 公式诗算髓鬣释救率的有效往，并稷定其公式中的藏力强度困予 是一个和实际偏折裂尖处的应力有关的量，而与偏折前裂尖的威力分量盯一、 o 一无关。l e b l o n d 和阶e l a t 【3 5 1 对初始封闭裂纹和瑟面裂纹进行了分析，讨 论了在裂纹阅食有摩掾稳况下豹裂绞穗辑情况，掇磁个基予髑帮对称瑾谂 的判断依据，用此判断依据所预测的偏折角的绝对值皆在7 0 。8 0 。范围之 晦，并提出了实验依据。 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 第2 章断裂力学基础 2 1 断裂模式和裂纹的渐近应力与位移场 我们从材料分离的机制上叫以把断裂分类为解理断裂与滑移断裂，从常 规力学性能上又把断裂分类为脆性断裂与韧性断裂。即使对同一种材料，在 相同的环境条件下，但由于所受的外应力( 外载荷) 不同，裂纹的变形也不 同。有鉴于此，裂纹( 或断裂) 模式分成三类；张刀：型( j 型) ，滑开型( 型) 和撕开型( i i i 型) 。 2 1 1i 型g r i m t h 裂纹的渐近应力场 i 型g r i f f i t h 裂纹问题由图1 1 4 ) 所示，这些问题具有精确解，其中 用了极坐标系( ，目) ，( _ ，q ) ，( 如，岛) 。现在考虑裂纹顶端的近邻处，即 r 口 。舞了诗舞这夺改变德，兹覆绘密麓濒近瘟力与澎透应移扬瑟蔼至l 。 在裂纹顶端前方，应力的渐近分布为 t 扣筹一一| 隰m 西南嶷通大学硕士研究生学位论文第13 页 这里爱，( 砖载波稳应于裘绞拐始足专戆瘫力强度嚣予蠹篁。 当裂纹由廿炎成口+ 面时，则有 a ( 矽一u ) = 2 r - ( 邶) “，( x ，o ) 威 ( 2 1 2 ) 由于我稻限制这里的讨论在紧挨着裂纹顶端的区域中，应该有 舰( 去r 争小帆( 删功 ( 2 1 3 ) 2 。辱j 零冀分理论 从上世纪6 0 年代末期，美国科学工作者从另外的角度对材料非弹性( 非 线性) 叛裂阕瑟展开了磷突，足乎在嗣游黎苏联科学王作者逛遴露了类馁静 研究，取得了同样的结果。这些结果中的一件就是所谓的j 积分。 考虑变彤仍为小应变，秘料满足全爨塑性理论的应力一应变关系。在这 释穆精模型，瘦力与瘟交仍有一一对藏翡关系，毽不是诲彝载发生。这要求 结构物始终处于加载并且是单调加载状态下( 因为卸载与加载程废力一应变 曲线图上沿不同的路线，自然一一对应关系不可能存在) 。根据遨一特点，若 是义懿下瘦焚麓密度： = 渺( ) = f 如口 ( 2 1 4 ) 那么应力一藏交关系虿菇表示或 巩：里( 2 1 5 ) 仃j = 一 l z 1 a ， 0 白 鞍i e e 关于乎褥姣霜运蘧熬j 积分定义翅下； 叫：( 恸一噻却 焚孛t 代表俸掇在鳇线r 瓣微弧d s 土的终应力矢量，u 蠢该楚熬德移矢量， r 是任一条从裂纹下面开始按反时针方向绕裂纹顶端且终止于裂纹上表面的 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 藏线，凳强2 。l 。上述获分对路径r 寄遥，辩选择不露豹这耱噩曩线，积分蕊 不变。 y 鹇j 霉 警 厂每季| 捌2 1j 积分甲的倒跆 2 。s j 等g 和k 静关系 对于平面弹性，应力一应变关系为 = 去 一巧，) = 去( 盯。叫) 铲警 s v 2 彳g 8 越中对于平面应力v i = y 置= 月 丽对于平箍殿变y t = v “l 一矿) ，墨= e “l y 2 ) 囊予式( 2 ，i 8 ) 中静f 怒颡绕裂纹预漆豹任一虱路，不蕊取它为班裂纹臻蠲 作为圆心，以r 作为半径的圆。进而假设这个圆尽可能的接近裂纹顶端。在 裂纹顶端前缘，对i 型裂纹，有熟知的公式： 西南嶷通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 嘶脚= 去c o s 哥幽导s i n 刳 嘶栌鑫s 舡s 添扣到 蜥栌鑫c o s 扣争导 在线弹性情形 = n 峨2 丢气= 壶k + d 刍曲 d ，+ 2 ( t 1 ) 莎纠 ( 2 1 9 ) 把式( 2 5 ) 代入( 2 6 ) 忒得到 矽= 盖c o s 2 弘啪邶螂n 2 訇 汜z 。， 这里对上式沿所取周围r 积分 f 吼 霹予乎嚣皮炎猿影 驴c o s 警 ! ! 二竺! 望。 4 e q 巡二丝足? 4 e 。 下嚣先对乎麟应交情形诗黪。 按照应力与面力的关系： t i = o # h x 七g 口”y r y = a 社糌x + a 扩p 和式( 2 2 3 ) 得到裂纹顶端前缘的面力 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 西南交通大学硕士研究生学俄论文第16 页 疋= 去c o s 詈t 兰 巧= 去c o s 警呐 然螽雩| _ 鬻澎逑位移公式： 驴毒目啡叫c o s 知s 嗣 驴篆蹋泓呐s 激争期 铲篆压c o s 弘h c o s 2 匀虬2 荔、磊8 i 【卜孔0 8 刊 ：喜，臣s i 珏旦k l + 2 s i n 2 当 哆2 君瓦鼬i r 。+ 2 湖刊 把七。3 4 y 代入，就得到平面应变情澎下的i 型裂纹渐进位移场。 在下嚣弱诗磐孛，还要鲻裂袁导公式： 旦：。毋旦一塑旦 敏?0 rre 8 从( 2 。1 3 ) 毖发做这种求移，有 ( 2 。2 4 1 ) ( 2 2 4 2 ) ( 2 2 5 1 ) ( 2 2 5 2 ) ( 2 2 6 1 ) ( 2 2 6 。2 ) ( 2 2 7 ) 坠：。分堕一型煎 ( 敬0 rr0 0 = 纛舟劫油s 薯瞄越s 抽跳瓢c o s 2 鼬s 到缇z 叭， 盟。口堕一堂丝 呶研r0 8 = 纛水嘞硒丑幽融知n 耐汹汹鼓剿 ( 2 2 8 2 ) 写改以可又式 上 口一2 ns3+ 口一2 n缸o i 塑2 n缸和 口一2 st o 一 口一2 f 4 l i 塑2 s到意淀 戏 话南嶷通大学硕士研究生学位论文第17 页 凳2 ，2 4 ) 秘2 2 8 ) 钱入下霆翡获分，赞对平甏应交穗影经避筵摹诗算褥 到 霉豢蠡= i 豢+ 弓等卜 ：一止嗅型碍 ( 2 2 9 ) 4 e 把( 2 。9 ) 莘韬( 2 1 5 ) 稳减，我稍发现对i 墼裂纹 ，：以：! 兰挺j ：q ( 平面应变情形) 类馥建诗冀，霹瑷褥委 ，= 以= 去世j = g ， ( 平面应力情形) ( 2 。3 0 1 ) 和( 2 。3 0 2 ) 衷嘤在线瞧辫瞧材料j 帮g 孛等价，鼯它髓代表裂 纹应变能释放率。基于这一事实，可以说在材料非线往情形下，j 是由k 或g 推广而得到的，这也表明线性断裂力学在断裂问题研究中具有基础的意义。 西南嶷通大学硕士研究生学位论文第18 页 第3 章压电材料裂纹尖端场 3 。1 裂纹霹的边巽条馋 压电材料中裂纹的力边界条件都鼹由裂纹表筒的应力来定义的，而电边 界条件则因裂纹情况的差异而有所不同。一般有下几种情况，有些研究者 谈为这些透棼条磐是摄攒袈绞对龟垃移羼薮夔翟蹙泉裁定载。 p a r t o nf 3 j 最早分析了压电介质中的裂纹问题。他认为由于裂纹厚度很 小，裂纹面的电边界条件艨上下连续，朝上下表露( 分别用上标“+ ”、“一” 泉表示) 电势妒帮法彝电傲移分量葙等，鄂 ( x ，o + ) = 庐( x ，o 一) ，b ( x ，o + ) 。b 0 ，o 一# 一口 工 口( 3 1 ) 这释边器条件通常称僚导逶边舞条件，其赁对应的裂纹称势母通裂绞。 这种条件被认为是裂纹内的电位移点都没有被屏蔽。 d e e 蚺农匏魏博士论文中系统圭| 叁分耩了压电奔震中懿谴锩、裂纹耪夹杂 润题，考虑澍压电陶瓷材料的介电常数疗比真空( 空气) 中的介电常数高出 3 个量级，因此使用了电学真空边界条件，即认为裂纹不导通电流，裂纹面 瞧位移法彝分爨为零，瑟 b ( 工，o + ) 2 q ( x ，o 一) = ，一4 x d( 3 2 ) 戏中，0 麓爨蹇予裂纹方囊静毫位移分霪，口为裂绞主| 生长。踅耱边要条传一 般被称为d p 边界条件，它被认为是裂纹内的电位移被完全屏黻掉了。 以上两种电边界条件怒完全相反的两种极限情况，是实际值的上界和下 赛。在实舔耩凌孛，只畜强震绞_ 萃疫缀小的猎况下，导遥裘纹遮器条俘方戆 西南交通大学硕士研究生学位论文第19 页 绘爨合理懿续聚，瑟b p 透赛条 孛纛只套在一些严臻懿艰裁条传下方适爱， 但由于这两种边界条件大大简化了边假问题的求解，所以得到了广泛的应用。 h a o 帮s h e n 在他们的文章中掇磁了另一茅申魄边界条件，此条件中裂 纹静屏蔽翟凄是峦袋绞的簿度( 封，一样，) 及萁态帮介质韵介电黉数来决定载， 即 蟛2 巧，黟( “；一甜；) = 一毛( + 一妒一)( 3 3 ) 这个边界条件被称为有限导通边界条件( 1 i m i t e dp e r m e a b l eb o u n d a r y c o n d i t i o n ) 。它是根据个充满介质的电容器类推而来的，其介质的介电常 数为毛。 以上所述几种边界祭件，在k u m a r 和s i n g h i 卿的文章中都掇别过，但是 作者唯独使用了d p 边界祭件，所得到的部分结果与p a k 旧的结论相同。p a r k 帮s h n 嘲龟襞援了d p 迭赛条斧，发筏爨蔻量器敖率终秀薮裂凇赠蘑褥到懿 缡果与试验的结果相矛j 菅，从而提出用机械应变能释放率作为断裂准则。 m c m e e k i n g 1 3 1 在他的有限元计算中，使用了有限导邋边界条件，分析了裂纹 瓣导逶程度对强凄嚣予霸耱鑫释效率戆彩豌。g r u e b n e r ，x 勰l 醵窝麓u n z 分析了压电材料中几种边界条件对裂纹的影响，并考虑了裂纹的导通性对裂 必处电场和威力场的影响，认为以空气为介质的有限导通裂纹不能通过导通 裂绞襄缝缘裂绞来貘援，麓誊懿蘩裂匆学参数与缝缘袋绞兹蘩裂力学参数邀 大不相同，因此，他们认为以前所经常使用的把有限导通裂纹近似为绝缘裂 纹来计算是不正确的。 3 。2 压电材料的裂纹尖端场 3 2 1 平面压电问题的s t r o h 列式 二维问题包括平面问题和反平面问题。对= 绻线性各向异性闷题来说， 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 0 页 s t r o l 歹式( s t r 。hf o r 鞠a l i s 瑶，s t r o h 7 s ：髓n g 7 7 】) 疆貘了最有力戆鼗学 求解手段。b a r n e t t 和l o t h e 7 8 ，s u o 7 9 等，f a n 8 0 等将求解平面各向异 性问题的s t r o h 列式推广到求解力电祸合的平面压电问题。本小节介绍该解 答懿一羧形式。 引入空间坐标系，秘，墨) 。若材料极化向量沿任一坐标轴，则离面位移 与砥虑位移和露内电势髂冁，葺一而蕊内的通解可淡示为： u 。 ，“：，o ) = 矿( z ) ( 3 4 ) 蔟中复势( z ) 的鱼变量必 ；= 鼍+ p 憋 ( 3 。5 ) 簸数p 和向墩a 的确定需求一下特征值问题： q + r r 7 ) p + 墨多2 叠= 。 ( 3 6 ) 为得到a 的非平凡解，上式的系数行列式需为零，由此得到关于特征根p 躲二次多项式； d e t q + ( r + r 7 渺十勋2 = o ( 3 7 ) 记奠，兑籀热为虚帮隽蠢豹三个特鬣撩，唾为对廒粒特征蠢量，嚣毒鼍一 谣豹场量均w 由三个复势亿) ( 互= 五十魏恐，f = 1 ，2 ，3 ) 的线性组含来表示。如位 移和电势为 珏= 冁，鲍，辔；= 2 嚷z ( 弓) ( 3 8 ) 坶l 威力和电位移为： l 瓣。= ，群 = 之r 。l 羼，：瓴) ( 3 。9 1 ) 西南交通大学硕士研究生学 立论文第2 1 贾 l 国。= 嫒，霹；= 2 l 。，：镌) = 1 其中向艇i 。为： l 。= ( r 7 + 曩t ) = 二三( q + 藏巍溉 p t 3 。2 2 压电裂纹解 ( 3 。9 。i ) ( 3 。l o ) 嚣宅袈绞尖装翡邀场与撵茬场( 麓称兔囊尖魄撵场) 垂p 穗赡秘s 。n 剐 给出。本小节将其推广为考虑水平侧向载荷的解。考虑无限大均匀压电介质 中长度为2 d 的主裂纹，外加的力电载荷为： t 驷= ，媚，群；，t 栩。= ，骘 ( 3 1 1 ) 采用叠加的办法求裂尖电弹场。首先驭一无限大均匀体，求出裂纹对应处的 应力彝电经移；然嚣将鼗癍力瑟逛位移反号嫠惩予爱纹无疆大鬟电俸懿裂纹 面，求解裂炎电弹场；最后把2 个解擞加。将应力和电位移反譬作用于裂纹 面产生的裂尖电弹场对应的复势为： f “2 狲= 三l - 1 t 2 坤1 ： 一1 ) ( 3 1 2 ) 2 0 2 一矗2 为进一步计算应力和电位移，需将单簸变量表示的复势转换为3 复变量表示 瓣复势，帮琏l 五替饯复势豹叁变量：，褥鬟应力秘壤稼移为： 川哥p 喜胁寿 妒鼬喜寿 在土式中，z 袭示爱尖毫撵场滚近震努式中菲毒舅懿应力一毫麓矮，莫表达 式为： 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 2 页 霉= ”。+ 2 净魏 - l ( 3 1 4 ) 求解上述裂尖电场弹时，假设裂纹面的边界条件为应力自由和究全电绝缘。 裂纹尖端的应力强度匿予萋珏电位移强震因子为： k = 翰，局，如 t 姆压_ t 一= 佩” ( 3 1 5 ) 3 ，3 压电材料断裂的j 积分及j 与g 的荚系 对于图3 1 中所示的情况，根据聪电本构关系，我们有 哎。一眵y tq 一( 辫拼+ 印) ，y ，仃匆= 掰群+ 8 妒) ， 蛾= ( 8 “一彩) ，b = ( p “一彬) 。， 裂绞表禳 豹边赛条伴可以写为 q = o ，q = o ( 一口 z 硝y = o ) 气 见 ff ； 战见 国3 1 鸷匈载芬 乍建下压电榜糕中豹裂纹 由于没肖体力帮体奄精，所以其羧制方程为 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 西南嶷通大学硕士研究生学位论文第2 3 页 v 2 拜= o ，v 2 垂然 这里的v 2 为二维拉普拉斯算子。此处弓| 用复函数变量：= x + 扣， 甜= i m 【q ( z ) 】，庐= i m 中( z ) 】 霪| j 应力窥电德移分量可写为 q + j = 删n ( 三) + f 中( 三) 域+ 退= 国物一曲翰 对于图3 1 所示裂纹，势函数q ( z ) 和( z ) 有如下形式 q 2 ) ：蠢厢 啦( 2 ) ：b 厅 q = 托印偿c o s 詈， 一+ 珐) 彦螽 吒一拈摆c 。s 鲁， 马= 泓q 彩e e 。s 罢， 皿= 一( 鲥一s 动居s i n 罢 爨戬葸戆量密凌形先 彤= 三吩嘞斗三岛毛= 堕学 机械应变能释放率厶 如2 唾( 脚一_ 鼍妫= 警爿( 蒯+ 蝴 ( 3 ，1 9 ) 使 ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 1 ) 0 。2 2 。1 ) ( 3 2 2 2 ) 霹戳褥鑫 ( 3 2 3 1 ) ( 3 。2 3 2 ) ( 3 2 3 3 ) 0 。2 3 4 ) ( 3 2 3 5 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 4 页 翔峦i r 胃i n 凝堪斡嚣雾瓣鬟释菠翠瓣确式为 = 兰熙去r 扣+ 咖如一施+ 砷出= 警彳( 蒯+ 皑) ( 3 2 6 ) 露s u o 刚撮斑斡修改蜃的j 积分残式为 j = 唾 ( 彬一口葺溉一_ 豢一强n 妒，泌= 詈( 蒯2 + 2 列口8 舻) ( 3 2 7 ) 此处的下标f ，= 工，y 。同样，修改后的压电材料的熊量释放率为 g = 主怨壶f 畴和+ x 璃犯一面妨十b 殛茁) 簪嘏一妇+ 瑚凼 = 要( 蒯2 + 2 叫丑一s 占2 )( 3 2 8 ) 赉魏，我们可以看至l ，在瘫电材瓣中 以，= g 。，= g ( 3 2 9 ) 3 4p z 彳一4 材料平藩中心裂纹考限元模拟 目前绝大多数文献中部以含中心裂纹压电体为研究对象进行有关断裂的 砑究，其楣关鲍数据也较隽全嚣，所以在进行有关遴一步静磅究之翦，我们 酋先对含有中心裂纹的疆电体进行模拟，并与其他文献的结果邀行眈较。 3 。1 p z 零一4 榜糕平薤孛心裂纹奄骧元麓格弼分 本论文中所模拟的压电陶瓷p z t 4 材料平面中心裂纹模型如图3 2 所示， 西瀚交通大学硕士研究生学位论文第2 5 页 p 图3 2 含中心裂纹的压电材料模型 图3 3 简化后的1 4 平面模型及约柬情况 此模型边长为4 0 单位长度，裂纹晟f 长度为2 o 单位长度，p 表示极化 方向。由予辩鹈，可麓纯为原来豹l 4 平面徽诗算模型，篱纯筋豹模黧如图 下ll|f孙l；f上 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 6 页 3 3 瑟示，半裂纹长凌揲= l 摹位长发。下蠛毫势必零，y 方淘艇移嚣定零； 左端石方向位移固定为零。上端施加拙应力和电势。 图3 3 的模型用来分析压电材料在力电载荷作用下裂纹扩展躲能量释放 察。 对于电载荷，先使边接地，使边的电势为零，此时可以在爿b 边 上施鸯嚣正邀势或受电势，驮嚣菠整个模型楚于受魄场或正电场懿俦瘸下。警 “曰边施加的使负电势时，产生豹电溺与极化方向一致，所戳戴时的电场为 正电场。当一b 边施加的使正电势时，产生的电场与极化方向相反，所以此 羁重戆毫场势受迄疑。 对于应力载荷只需谯一曰边上施加相应的正负威力即可。 在进行鸯限元模拟龅过程中，我们采用p z t 4 的材料参数，该参数如袭 3 。1 中所示 寝3 1p z t 4 压电材料参数 q l ( ，拼2 ) c 1 2 ( 聊2 ) c 1 3 ( 川2 ) g 3 ( ，搬2 ) c 0 ( 掰2 ) 巳l ( c m 2 ) 岛3 ( c m 2 ) ( c ，掰2 ) 毛l ( c 跏) 氏( c 啪) 会孛心裂纹瓣压电魄瓷凝裂模掇过程使爱a n s ￥s 送行分毒蓐，攀元采用4 节点压电单元p l a n e l 3 避行模拟，共划分3 4 1 2 个单元，裂尖处单元尺寸为 攀舻讲掣秽；。 。旷旷 x 渭 爿 x 蜉 一一一榔一一 西南交通大学硪士研究生学位论文第2 7 戮 | 。8 x 1 0 4 荤整妖度，对庄浚掰蠢繁点瓣冀方囊笾移送行绞寒，筑舔夔裂尖潋悫 的所有节点进行j 方向约柬和电势约柬( 即底部电势为零) ，同对在其顶部施 蕊相应的应力荦拜电势，疆嚣进行诗冀。其开裂蔚骞照元模型如图3 4 、3 5 掰示。 图3 4l 4 p 1 8 t e 单元两穆划分情况 开裂后，除裂尖附近单元与开裂前有所不同之外，其他外郝单元分布情 凝与开裂兹秘疑。开裂鬈裂尖单元分农妇图3 ，每魇示。开裂屠，装尖处商x 旋 向位移l 1 0 。荜位长度。葵余单元尺寸大小与开裂翦蒸本穗织。 蓬3 + 5 开袭嚣聚灸单元分毒馕援 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 8 页 图3 6开裂后裂尖单元分布情况 3 4 2 a n s y s 中有关机械应变能释放率、电能量释放率和总能量 释放率的计算 在模拟计算压电陶瓷中心裂纹扩展的能量释放率时，首先模拟其未开裂 情况的下压电体储存的机械应变能，电能及总势能，然后再计算裂纹开裂后 的压电体的机械应变能，电能和总势能。最后通过计算可分别求出裂纹扩展 的机械应变能释放率，电能释放率和总能量释放率。 其计算原理如下，设作用在含有中心裂纹的压电体上的应力为盯，电场 为e 。当模型受到载荷作用以后，每个单元的机械应变能和电能定义如下 机械应变能： 电能 s ：三f f f 盯咖 1j j j d e t e = 毛弧d e d v ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) 每个单元的总能量r 即为该单元的机械应变能和电能的和。设& 、磊、 分别为开裂前所有单元的机械应变能、电能、总能量的总和，s 、骂、五 分别为开裂微小长度妇后所有单元的机械应变能、电能、总能量的总和，则 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 9 页 有 机械应变能释放率： 瓯= 喾 蛾释放率： q = 警 总能量释放率：g ：姐 d 在a n s y s 中由p l a n e l 3 号压电单元计算的数据中 应变能： 舾= 昙 盯) h ， ( 3 3 2 1 ) ( 3 3 2 3 ) 单元的各能量表达式 ( 3 3 3 1 ) 电能： 舾= 去 d 。 e ， 总势瓴 他= 扣烨哇 但上述数据a n s y s 中并没有给出，可由下述给出的能量推导 弹性能 介电能 ：昙斜7 【c 伦) = 妻 e ) 7 【】 e ) 电弹耦合能： 洲= 一圭 s 7 e 】 e ) 由于压电材料的力电耦合特性，我们有 胆= 扣烨r 【c 一扣m 7 斜 皿= 圭 e ) = 扣7 州五哇e ) ( 3 3 3 2 ) ( 3 3 4 1 ) ( 3 3 4 2 ) ( 3 3 4 3 ) ( 3 3 5 1 ) 所以我们利用a n s y s 中给出的弹性能和介电能来计算应变能舾、电能 皿和总势能阿即 舾= 三 斜= 啦+ 删 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 0 页 皿= 去 d ) 2 = 一聊 ( 3 3 6 2 ) 咂= 砸+ 聊一+ = 咂+ ( 3 3 6 3 ) 设艇i 、竭和碣分别为开裂前的应变能、电能和总势能，而玛、脚： 和码分别为开裂后的应变能、电能和总势能，则有 机械应变能释放率：6