（机械电子工程专业论文）减振刀杆的研制与开发.pdf

墒黑 本文针对一般方法增加镗刀刀杆静刚度的局限性，采用了一种 新颖的增加刀杆动刚度的新颖的思维方法对内藏式减振刀杆进行了 分析，建立了减振刀杆的模型，提出了使用六个参数来分析刀杆振 动特性的方法，并运用材料力学和流体力学的知识对这六个参数作 了定量的计算，且对其中五个参数编写了计算程序，最后设计了长 径比为6 ：l 的减振镗刀刀杆，用m a t l a b 对此刀杆进行了仿真。本 丈另一个内容是设计了测试刀杆振动特性的测试系统，系统用 v is u a f c + + 编写了测试信号的处理软件。 关键字：减振 镗刀刀杆流体力学长径比 a b s t r a c t a i m i n ga tt h el i m i t a t i o n so f 廿1 ew a yt oa d ds t a t i cs t i f f n e s so f t h e b o r i n gb a r ，t h i sp a p e ra d o p t s an o v e l t h i n k i n gw a yt h a ta d d st h e d y n a m i c s i f f n e s so ft 1 1 e b o r i n g b a rt o a n a l y z e ab a rw i t har e d u c e v i b r a t i o ns y s t e mi nt h eb o r i n gb a r i nm y p a p e r ，t h em o d e l o f t h eb o r i n g b a ri sc o n s t r u c t e d m e t h o d st oa n a l y z et h ec h a r a c t e ro fv i b r a t i o no ft h e b o r i n gb a rw i t hs i xp a r a m e t e r si sp r o p o s e d ，r t r t h e r ，w i t ht h eh e l po f m m w l e d g eo f m e c h a n i c so fm a t e r i a l sa n dh y d r o k i n e t i c s ，q u a n t i t a t i v e c a l c u l a t i o ni sm a d eo nt h es i xp a r a m e t e r s ，t h ea r i t h m e t i co ff i v eo ft h e m w a sp r o g r a m m e d ，a n da t l a s t ，ab o r i n gb a rw h o s eo p e r a t i o n s h i p b e t w e e n o v e r h a n gl e n g t h a n dt o o ld i a m e t e ri s 6 ：li s d e s i g n e d a n d e m u l a t et h et h em o d e l w i t hm a t l a b a n o t h e rc o n t e n to ft h ep a p e ri s t h et e s t i n gs y s t e mo fv i b r a i o ni s d e s i g n e d ，a n dt h es y s t e mw r i t e st h e s o f t w a t 、et ot e s ts i g n a l sw i t hv i s u a 】c + + k e y w o r d s ：r c d u c ev i b r a t i o n b o r i n gb a rh y d r o k i n e t i c s o p e r a t i o n s h i p b e a v e e n o v e r h a n gl e n g t h a n dt o o l d i a m e t e r d y n a m i c s t i f f n e s s 11 引言 第一章绪论 随着科学技术的发展，机械加工技术广泛地应用于各个领域， 并且要求越来越高，特别是对加工精度的要求也越来越严格。在很 多情况下，为了满足对加工的要求，对刀具的性能提出了更高的要 求，这种情况在轿车工业中体现得最为明显。从8 0 年代起，我国相 继从德国、美国、法国、日本等国引进了较先进的轿车车型和数控 自动生产线，这使我国轿车的制造工业得到了空前地发展。在轿车 制造工业中，决定轿车性能和技术水平的大多数关键零、部件是通 过刀具切d l l 加工最终完成的。并且，切l ! i l l 刀具的性能已戍了提高轿车 零、部件自动生产线加工工艺技术水平、生产效率、制造精度和降 低成本的重要保证。同样在加工航空航天等军品工件时，为了提高 工件的综合性能或达到某些特殊的要求，需要一次成型，所利用的 刀具必须实现特殊功能。刀具方面的问题经常是长径比不够或动刚 度不够，从而不能满足被加工工件的要求。最常见的疑难就是细长 车刀和镗刀。为解决此类问题，本文将提出一种方法，本方法利用 减振刀杆和刀头以及刀片组合而成的减振刀具可以有效的解决这方 面的问题。减振刀杆在机械行业的研究中，已经有很长的历史了。 其中比较成功的有日本的t o s h i b a 和三菱公司，瑞典的s a n d y i k 公司，美国的k e n a m c t a l 公司。日本和美国的公司研究时问较长一 些，但瑞典的s a n d y i k 公司却是最成功的。国内也有一些研究，但 减振效果和产品化的程度远远低于国外的水平。辽宁省高速切削工 程技术中心正在进行这方面的研究，虽然他们已获得了国家级奖励， 但还没有研制出成型的产品【2 j o 从9 0 年代起我国开始在数控机床 和轿车生产线上使用国产化刀具，前进的步伐非常迅速。成都刀具 研究所，在这方面作了很多努力。一汽大众和上海大众的轿车生产 线，已经有百分之十的刀具使用的是国产刀具。到目前为止，这些 已经国产化的刀具设计采用的方法一般都是增加刀杆的静刚度或者 提高刀片的刚度，还没有使用增加刀杆的动刚度这种方法。 在金属切削加工中，切削力的作用会使得刀杆产生弯曲和振颤。 在一定力的作用下，刀杆的弯曲程度主要取决于刀杆的静刚度，而 刀杆的振颤的幅度和频率取决于刀杆的静刚度和动刚度。一般情况 下，影响金属加工表面质量的因素有机床本身、刀具、被加工工件 以及其它的外界干扰等等。刀具方面的因素主要是刀具的动刚度和 刀片的几何参数。对于一般的刀杆，在长径比( l d ) 超过4 倍 3 】时 刀具自身将产生颤振，使得加工无法进行。也就是说，在刀杆的长 径比大于4 倍时，刀具本身的刚度已经明显达不到加工的要求。刀 秆的变形量由公式6 = f l3 13 b i 给出。( 其中6 为刀杆的弯曲变形量，f 为切削力，l 为刀杆悬伸长度，e 为刀杆的弹性模量，1 为刀杆的截面惯 性矩) 。根据此公式可知，减少刀杆悬伸长度和增加刀杆的直径对于 减少刀杆的变形量是有利的。但是，由于受加工工件尺寸的限制， 改变这两个参数是不现实的。另外，通过减少切削用量来降低切削 力也可以达到减少刀杆变形量的目的，但这样势必会导致生产效率 下降，而且在某些情况下，即使减小切削力也不能达到加工要求， 所以这也不是最好的方法。目前，比较先进的增加静刚度的方法是 采用硬质合金钢、陶瓷或氮化硼等材料来增加刀杆的弹性模量，速 到减少刀杆弯曲变形的目的。利用硬质合金钢作为刀具材料的方法 现在被大量使用，他们主要是用来代替以往一般的刀杆，但对于长 径比比较大的刀具这种方法也是无能为力的，特别是在要求工具具 有比较复杂的形状结构的情况下，其造价特别高。以上的主要方法是 用来增加刀杆的静刚度。由此可见，增加静刚度的方法有一定的局 限性，而增加动刚度则是解决此问题的关键途径。本课题采用内藏 减振系统的防振刀具，它可以在造价相对比较低的情况下，实现较 大长径比。 本课题提出的方法，填补了国内此类刀杆研究的不足，能够更好 地发挥机械加工的基础作用，使加工过程更简捷、h a z - # l 率更高， 还可以提高刀具加工的精度、延长刀具的寿命。在机械加工中，利 用减振刀具，可以提高表面加工质量、大大提高工作效率，特别是 在镗刀中运用此减振刀杆，对深孔镗切，提高内表面质量以及加快 镗切速度都会有很大的帮助。在汽车生产线、军工产品的生产线以 及其他一些特殊的生产现场，运用本课题提出的刀杆，可以简化生 产工艺、降低加3 - 成本、带朱直接的经济效益。 1 2 镗刀的工作特点 镗刀对孔进行加工的方式在传统上称为镗孔加工鸭镗孔加工可 以在镗床上进行，也可以在普通车床或者在数控车削加工中心进行 加工。 镗孔加工与一般的轴类加工有所区别。一般车床车削轴类零件 时，为了使刀具的刚度达到要求，并保证加工的质量，刀具形状可以 选择得比较粗、比较短。但在进行镗孔加工的时候，刀具是在被加 工的工件内，刀具的尺寸和形状都要受到一定的限制，造成了刀具 的刚度较低，特别是在孔径较小、孔深值比较大的情况下，镗杆的 刚度将会更小。由于，在切削时，刚度较低的情况下很容易引起切 削振动，因此为了减少振动应尽量增大刀杆的刚度。 现在以车床上的镗孔为例具体分析。 图卜1 镗切刀具受力 如图卜1 所示：刀杆受三个方向的作用力根据材料力学悬臂梁 的受力特性分析，轴向作用力f 。对刀杆的径向位移影响比较小，切 向力f 的扭矩对刀杆的径向位移影响也比较小，而径向力f r 和切向 力f ，对刀杆的径向位移影响却较大。因为镗刀在切削过程中影响表 面加工质量的主要因素是刀具径向跳动量，所以在计算的时候，只 需考虑切向力和径向力所引起的刀杆弯曲的程度，这两个力可咀合 成一个力f 。 1 3 国内外研究现状和发展趋势 减振刀杆的研究和发展是比较缓慢的。到目前为止，世界上只 有为数不多的几家厂商能生产出性价比较好的刀具。以下分别说明 在国外，日本三菱公司和东芝公司已经有系列化的产品。三菱 公司( 刀杆最大长径比l d = 6 ) 的设计思想是减轻刀具的头部重量 一般这种刀的刀头和刀杆是一体的，刀片一般使用可转位刀片，刀杆 的头部被切掉一部分制成特定的形状来改变刀具的性能( 如下图所 示) 黪：黟 从材料力学的角度进行分析可以知道，这种刀具利用了细长杠 杆的端鄙应力的边缘效应，即杠杆端部受垂直于杠杆的作用力时， 杠杆端部靠上的那部分的内应力比较小，因此可以忽略不计。当刀 杆头部所受的作用力偏离f l , 心时，头部远离作用力的部分内应力比 较小。所以当刀杆受到偏心力时，刀头的那两部分可以切掉一些， 这样不仅刀杆头部的重量减少了很多，而且静刚度的减：p - 量也较小 同时刀杆的动刚度在很大程度上的得到了改良。但是应当指出这种 刀具并不完善还存在很多问题，其的主要问题是采用头部切除法有 很大的局限性，即其长径比不可能达到太大。 东芝公司的减振刀( 刀杆最大长径比l d = 6 ) 是在刀杆的两边 平行的切掉一部分，再用刚度和强度大的材料嵌在这两部分。如下 图所示： 这种刀具的原理很简单，其嵌在刀杆内的两条硬质材料和刀体 粘结的紧密程度是影响刀杆质量的关键因素。同时由于受到两条加 固材料的刚度、厚度和它与刀体粘结的紧密程度的影响，因此长径 比的值也受一定的局限。 瑞典s a n d v i k 公司的减振刀具( 刀杆最大长径比l d = 1 2 ) 是 目前最先进的刀具，它所采取的方法是给刀杆加内置减振系统。这 虽然提高了刀体的动刚度，但也有它的局限性，例如减振块的密度 不可能太大，阻尼器的寿命严重地影响这种刀具的使用寿命。 美国的k e n a m e t a l 公司生产的减振刀具( 刀杆最大长径比l d = 8 ) 主要是采用特殊的材料制成，也属于提高刀杆静刚度的一种。 国内的一些减振刀具很多都处于研究阶段，采用的都是增加刀 体静刚度的方法，例如镍基重合金防振刀具等。但是大部分的减振 措施都是在工艺上进行改良或是在加工过程中采用一些技巧。 到目前为止，国内的工具厂商还没有在车刀和镗刀方面有大的 进展，特别是在制造长径比比较大的镗刀方面基本没有，而且内置 减振系统防振刀杆方面的开发工作也还很少。 1 ，4 课题主要研究内容 本设计是在瑞典s a n d v i k 公司减振刀具的设计原理的基础上作 了进一步的改善。课题的主要研究内容如下所示： 减振刀杆的结构设计； 减振块的材料选择，结构设计； 减振弹簧的结构设计，材料选择； 阻尼器的设计： 刀杆的材料，刀头、油路设计，减振系统在刀杆内的安装位置， 刀头与刀杆的连接设计： 刀杆振动测试系统设计； 加速度传感器的选择，a d 采集卡的选择，采集数据的处理程序 的编写： 刀杆振动模型建立与分析； 减振刀杆的特性分析与评价； 刀杆振动测试系统的精确度、分辨率、可重复测量性分析： 减振刀杆振幅收敛时，最大振幅，特定被加工表面的粗糙度， 与其他硬质刀具的比较，与其他减振刀具的比。 6 第二章臧振刀杆的模型 2 1 减振刀杆的模型 把刀杆的外壳体看作是一根悬臂梁一一端固结，另一端连接弹 簧和阻尼，如图2 - 1 所示，这里假设刀杆设计为圆的。 peld k ；j 4 u m r 图2 - 1 减振刀杆的原始模型 其中：p 刀杆材料的体密度 e 一刀杆材料的弹性模量 l 刀杆装卡之后的悬伸长度 d 一刀杆的外直径 k 。一减振系统中弹簧的弹性系数 “一减振系统中阻尼器的阻尼系数 m 一减振质量块的质量 2 2 模型的简化和参数公式 2 2 ，l 减振刀杆模型简化 从上一节我们知道，减振刀杆的模型是由一个连续体和一个振 动单元组成的。根据振动力学的理论分析可以知道，这样的系统建 立方程很不方便，必须进行简化。 先从刀杆的受力看，从t 2 节对刀杆的受力分析知道，刀杆的 受力可以分解为径向力和扭矩，如果选择刀杆的头部或靠近头部位 置进行分析，扭矩相对于径向力的影响比较小，可以忽略不计。这 里先把它忽略，在扭矩也比较大的情况时，可以对所取模型进行修 正。 为简化模型的方便，选取减振块中心所对应刀杆的位置作为研 究振动的点，刀杆的质量将被集中在这一点可以认为有一个质量 块都等效地加在这一点，等效质量块的质量就是刀杆的质量当量， 刀杆在此点的刚度被看作是弹簧的弹性系数，空气摩擦和冷却液的 阻尼影响假设为线性阻尼。这样减振刀杆的模型就变为如图2 - 2 所 示 一1 。一一 r ， 一 kj - j _ u 。， i 一 m i 。 、 t ， 一 “ 、， 一u 图2 2 减振刀杆的简化模型 其中 m 一减振刀杆在研究点的集中质量 m 一一减振系统的减振质量块质量 k 一一弹性系数，也是刀杆研究| 董的刚度 k ，一一减振系统的弹性系数 “一一减振刀杆外部阻尼 “，一一减振系统的内部阻尼 这样就把减振刀杆的模型简化成了具有两个自由度的阻尼振动系 统。它是个常见的振动系统，用这个系统来分析刀杆的动态特性将 得到简化。 2 2 2 研究点的刚度和集中质量 上一节简化了减振刀杆的模型，本文在这一节将对减振刀杆的 各个参数的计算方法加以分别说明。 1 刚度的计算： 首先，确定刀杆的基本形状，由上一节知道，刀杆的一部分被 刀架卡紧，外露的部分相当于是一个悬臂梁，我们只需研究悬伸部 分( 以下刀杆长度周悬伸长度代替) 即可。7 7 杆内部将要安装减振 系统，因此，刀杆中间必然要被掏空一部分，这一部分应该尽量靠 近刀杆的头部，以便更好地起到减振的作用。减振系统安装完后， 在使用的过程中难免性能发生变化，这样就需要我们去调节它，为 了能方便地调节刀杆特性，在刀杆的中心位置再掏空一部分作为预 留部分，把以上结构用图表示出来如图2 - 3 所示： 圈2 3 刀抒形状图 其中：过a 点垂直于轴线的面是刀杆被卡具卡紧的z 临界面 b 点是减振系统安装的起始位置： c 点是刀杆与刀头衔接的位置； e 点是研究点： c t ，一预留被掏空部分的直径： 中d ，安装减振系统的刀杆内径； d 一一减振刀杆的外径。 然后，根据材料力学对刚度的定义我们进行计算，由于减振系 统的中心点和b c 之间的中点非常接近，为计算方便，取b c 中点( 假 设为e ) 为研究点进行计算，计算方法如下 f j ) 在e 点加一单位力f ，如图2 - 4 所示： 图2 - 4 从图2 - 4 我们可以看出力f 在刀杆上产生的弯矩将是一条直线 如图2 5 所示： m ( 园 4 + l ) 2 图2 5 力f 在e 引起的挠度( 6 。) 与e 点的刚度( k ) 的关系为： k = l 6 “ ( 2 2 1 ) ( 2 ) 由于减振刀杆的a b 段和b c 段所切去的部分不一样多，因此 7 杆在这两段所对应的惯性矩不相等，这里分别用i 。和i 。表示，因 此，在求挠度时需要分别计算，先求b 点的挠度6 。、b 点的转角e 。 和e 点相对于b 点的位移量6 。，别e 点的挠度 6e = 6 日+ e 日x b e + 6 以下对上诉三个量分别进行计算： ( 2 2 - 2 ) 0 。的计算：将一个单位转矩加到b 点，如图2 - 6 所示 图2 - 6 单位力矩严生的弯矩图如图2 - 7 所示 j 缸互工d l 图2 - 7 二寺固2 7 与图2 5 的弯矩图利用图乘法( = 竺塑2 e i ) 相乘，图 2 7 的重心点对应图2 - 5 的值为m ( c ) = l 2 ，图2 - 7 的面积= l ，则： 0 产兰 (2，2-3)2 e 1 4 月 、 。7 6 。的计算：将一个单位力加载到b 点，如图2 - 8 所示 a x j 同 b |e 图2 - 8 力f 在a b 段引起的弯矩图如图2 - 9 所示，a 点被定义为坐标起 文，则a b 段弯矩为，m ( x ) = 卜x abe m ( ：0 幽2 - 9 将图2 - 5 与图2 - 9 也利用图乘法相乘，图2 - 9 的重心点所对应 的图2 5 的值是 m ( c ) ；型，图2 - 9 的面积：1 232 6 。：塑圭塑( 2 2 4 ) 1 2 e i q 8 6 。的计算：取b e 段作为研究对象，可以假设b 端固接，e 端 施加一个单位力，然后，将b 端的约束去掉，用等效力来代替，根 据材料力学对杆件的受力分析方法对b 点列方程： f f ( b ) = 0 l z m ( b ) = 0 解方程得如图2 - 1 0 所示： r = 1 m ( x ) 奥乒 f = i 图2 - 1 0 设e 点是原点，x 轴指向b 点，则单位力f 在b e 段上的弯矩方 程是为m ( x ) = x ，如图2 - 1 1 所示： m ( x ) m ( x ) - x 图2 1 1 5 。是图2 - 1 1 所示的弯矩图和它本身图乘，所以 j w = 丽( l - 磊1 ) 3 将式2 2 - 3 、2 2 - 4 、2 2 - 5 代入式6e _ 6b + o 。s b e + b 。可得 6e = z2 ( 3 l - i - ，) 1 2 e d 口 刀杆在e 点的目4 度k = i 6 。 j l 。型+ 缈 2 e i 日 2 2 4 e 8 c 这样就求得了刀杆在e 点的刚度值，即振动模型中k 的值。下 面计算刀杆在e 点的质量当量m 。 2 减振刀杆在e 点的质量 - 3 量m 从图2 - 3 分析，假设刀杆的自重看作是外界分别施加给刀杆a b 段和b c 段的均匀载荷q l 和o ，如图2 - 1 2 所示。玑和乳将在刀杆的 e 点引起一定的位移，我们记这个位移为6 。再假设在e 点放置一 个适当的集中质量块m ，使得b 点的位移等于6 。则质量块m 就是 e 点的质量当量，记作m 。下面根据以上分析，进行计算求m 的值。 图2 1 2 如图2 - 1 2 所示g ，和q 。，分别可以用下式表示 扩掣( 2 2 - 7 ， 栌婴哩二塑( 2 2 - 8 ) 斗 为求得质量当量m 必须先求出刀杆在e 点引起的位移6 。这样 就需要先计算口和玑引起的弯矩，以下先计算c h 和。引起的弯矩。 ( 1 ) 刀杆上不同直径情况下各处的弯矩及坐标定义 b c 段设c 点是b c 段原点，指向b 点是x 轴正方向，此时，b 点相当于固接，c 端悬空，这样b c 段的弯矩m 。( x ) = 去口：x 2 。 a b 段为计算简便选b 点作原点，x 正向指向a 点，把b c 段的 作用力集中在b 点，a 点固接，再加上玑的作用，取a b 上任意一点 x 作研究，x 点的弯矩由b 点的受力和x b 之间的受力来求解，解得： m b ( x ) = 击q 2 ( 三- 1 ) 2 + q 2 ( 一1 ) x + ：1g i x 2 。 图2 13 1 4 _ 二 一 彘 一!。 一 曲 酉， 一 ( 2 ) 计算8 点挠度、转角以及e 点相对于b 点的挠度 同计算e 点的刚度方法相同，由于a b 段和b c 段的惯性矩不一 样所以需要进行分别计算，从上图取出a b 段，分别与图6 、图8 ( 其中图8 需要重新定义x 轴方向，这样m ( x ) - - x ) 所示方程进行莫 尔积分，得 沪f 掣出 ! ! ! 圭二尘兰塑! 圭二鲨垡! 至b 2 e i bi ：! ! ! ! 圭二蔓! ：! 丛塾! 墨二塑 2 4 e i 8 ”? 迎等磐 3 q 2 l i ( l 1 ) + q l l 。 6 e 月月 再取b c 段作计算，b 点所受力可由b c 上的载荷求得。为求e 点相对于b 点的位移，先假设b 点固接，在e 点施加一单位力f = i ， 如图2 - 14 所示： r = l ：b ，ep 一一一 f c 鹰2 - 1 4 单位力在杆b c 上的弯矩图为如图2 - 15 所示 l = o 扎 m ( x ) b e 图2 一l5 知道了弯矩图就可以利用莫尔积分法对图2 - 15 和图 b c 段所示弯矩方程进行积分求得6 。具体解法如下： ：i 拳出：掣 在前面我们已经知道e 点的挠度，可以由b 点的挠度，b 点的转 角，以及e 点相对于b 的位移求得，它们的关系是 6 。= 6 。+ 0bx b e + 6b e( 2 2 - 9 ) 将以上所求值代入式( 2 2 9 ) 解得： 一6 9 2 ( 三一，) 2 ，2 + 3 9 l ，4 + 8 9 2 ( 三一) 3 1 7 q 2 ( l 一，) 4 f ) 一十一 。 2 4 e 口3 8 4 髓b c 3 q 2 l l ( l f ) + 窜l ，3 。一f 6 e i d 8 2 6 9 ! ( e f ) 2 f2 + 3 q l l4 + 8 92 ( 工一，) z 3 = “- - - - - _ - - - - - - - - - - - - - - - 一 2 4 e 8 1 7 92 ( l 一 3 8 4 e i b ( ， 3 q 2 l l ( l - ) 2 + g l z 3 ( 三一f ) 一。1 。1 。1 1 + 。“。一 1 2 e 口 ( 3 ) 质量当量m 的计算 根据牛顿力学和所求得的k 和6 。可以求得质量当量，质量当量 与k 和6 s 的关系式如m g = k + 屯 6 则m ：k * s s 将以上所求各式代八式( 2 2 一1 0 ) 求得m 。 为了表示方便，使m 的表达式更直观一些 下表示， 令：= p ：p ：= 凸 ( 2 2 ，1 0 ) 将其中一些量作如 另外，刀杆的惯性矩也需要进行化简，这里把刀杆不同部分的 惯性矩分别表示，根据材料力学对惯性矩的定义我们容易求得： a b & 自q 惯叫旷一z ( d 翼 b c 段的傍陛矩k = 掣 将( 2 2 1 1 ) 式4 弋x j , 上两式中解得 k = 警 ，。= z d 4 面( 1 - p ；) 将式( 2 2 1 1 ) 代入k 和5 。的表示式中，进行化间，然后代入 ( 22 6 ) 和( 2 2 1 0 ) 中求得k 和m 分别为： m = + + 可3 d 4 e z 4面高高等而(22-126p2 pp 1 p 1 p ， 4 f ( ，+；) ( 1 一；) + ( 一3 ) 3 ( 一? ) 3 p d 2 l z 1 1 6 1 旦i ! 堡i ! ! 二翌j ! ： 1 一p ? 1 一p ； 3 ( 1 一p ? ) p ；+ 2 p ；( 1 一p ) ( 1 一p 3 ) + ，1 7 ( 1 一p ；) ( 1 一p 3 ) 4 。4 8 ( 1 一p ；) p 3 ) 2 p ； 3 ( 1 一p ? ) ( 2 2 一1 3 ) 这样的式子看起来也很烦琐，仔细分析一下，其中有些项影响 1 7 l b c ，础? ，；都 是正值，这样系统的运动是由两种频率的简谐振动叠加而成，这两 个固有频率是由系统的质量、弹簧弹性系数、阻尼系数确定的。 因而当出= 国，或国= 甜：时，即激振力频率等于系统第一或第二 阶自然频率时，系统将会出现共振，其振幅x 。，x z 趋于无穷大。所 以此系统有共振区，在跨越共振区时、x ，x z 反号，即出现倒相。 下面求振幅比r i 、r 2 z !a 一?c 1 x 1 1 b d 一? x ?a 一jc _ 5 剪2 广5 万蕊 由此得出无阻尼振动系统的运动公式为： 乏翟 = c l j ) c 。s c 出z 一。，+ c ： c 。s c ：r 一：，( 2 3 - 1 4 ) 其中，c 、c ：、山、c l j ：是常数，由初始条件定。 分析上式，可知振动系统的自由振动是两个振动模态的叠加， 即是两个不同频率的简谐振动的叠加。c ，、c ：决定了在系统的总振动 中第一阶模态与第二阶模态的振动所占比例的大小，而r l 、r 2 表示在 第一阶模态和第二阶模态中，两个自由度的振幅之比 41 。 ( 3 ) 有阻尼系统的振动方程 再看有阻尼系统，为计算简便设= 0 。并对以上各个量作如 下假设f & = x 。，l = 拓面，：= 佤而 p = m m ， d = 出2 o ) l ，r = 刎脚1 ，f = l ( 2 t o o ) 1 ) 把( 2 3 1 1 ) 式中的x 1 取模得： 1 x l = f 1 ( ( r l - - 0 ) 2 m ) 2 + 。2 2 1 ) )