（发展与教育心理学专业论文）小学低年级数量估算策略训练促进数感发展的实验研究.pdf

小学低年级数量估算策略训练促进数感发展的实验研究中文摘要 中文摘要 学生估算能力的培养已成为数学教学的新课题，与此同时，数感也越来越被 人们所重视，在整理前人对估算和数感的研究中，我们发现它们都是儿童数学学 习领域中的重要方面，对儿童数学思维的形成和数关系的理解与把握有着重要的 作用。本研究从估算和数感两个视角，以小学低年级学生为研究对象。研究一通 过预先设计的数轴估算任务程序，测查小学低年级儿童数量估算中估算表征的特 点，并通过策略训练，考察数量估算策略训练对小学低年级学生估算表征及正确 率的影响。研究二将数感与数量估算相结合，运用自编问卷测查数量估算的策略 训练对数感的影响。得到如下结论： 1 城市小学低年级儿童在旺1 0 0 0 数字范围内，大部分学生在数量估算的表 征上，呈现出线性表征模式。 2 通过策略训练，实验班无论在数轴估算的准确度和估算表征方式的各个变 量上均有显著提高，与对照班有显著差异，表明了数量估算策略训练在提高数轴 估算方面的有效性。 3 数轴估算对学生数感某些方面有一定的促进作用。通过数轴估算训练，实 验班与对照班在理解数的意义，理解数与数之间的关系以及判别数与数之间的大 小，运用基准量解决问题等三个方面存在显著差异；在理解运算对数的影响，选 择适当的策略方法去解决问题并能对结果的合理性作出判断方面，实验班和对照 班没有出现显著差异。 关键词：小学低年级；数量估算；策略训练：数感 作者：张隽 指导教n - 刘电芝( 教授) 小学低年级数量估算策略训练促进数感发展的实验研究 英文摘要 r e s e a r c ho nt r a i n i n gs t r a t e g i e so fn u m e r o s i t ye s t i m a t i o n t oi m p r o v et h ed e v e l o p m e n to fp u p i l s n u m b e rs e n s e a b s t r a c t a b i l i t ym e ! 蚵n l a l es t u d e n t sh a sb e c o m ean e w t o p i c i nm a t ht e a c h i n g , a tt h es a m et i m e ， n u m b e rs e n s ea l s ob e e nm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n ，c o l l a t i o no fe s t i m a t i o na n dn u m b e r s e n s ei np r e v i o u ss t u d i e s ，w ed i s c o v e r e dt h a tt h e ya r eb o t h d o m a i ni m p o r t a n ta s p e c t si n t h ec h i l d r e nm a t h e m a t i c ss t u d y , h a v et h ev i t a lr o l et ot h ec h i l d r e nm a t h e m a t i c st h o u g h t f o r m a t i o na n dt h en u m b e rr e l a t i o n s u n d e r s t a n d i n ga n dt h ea s s u r a n c e t h i sr e s e a r c h f e e l st w oa n g l e so fv i e wf r o mt h ee s t i m a t i o na n dt h en u m b e rs e n s e ，t a k ee l e m e n t a r y s c h o o ll o w e rg r a d es t u d e n t sa so b je c to fs t u d y s t u d i e so n et h r o u g ht h ep r e l i m i n a r y d e s i g nn u m b e rl i n ee s t i m a t i o nt a s kp r o g r a m ，m e a s u r e dt h a tl o o k su pt h ee l e m e n t a r y s c h o o ll o w e rg r a d ec h i l d r e nq u a n t i t ye s t i m a t i o nb yn u m e r o s i t ye s t i m a t i o n ，t h r o u g h s t r a t e g i e st r a i n i n g ，t h ei n s p e c t i o nq u a n t i t ye s t i m a t i o ns t r a t e g i e st r a i n i n ge s t i m a t e st h e a t t r i b u t ea n dt h ea c c u r a c yi n f l u e n c et ot h ee l e m e n t a r ys c h o o ll o w e rg r a d es t u d e n t s s t u d yt w ow i l lc o u n tt h en u m b e rs e n s ea n dn u m e r o s i t ye s t i m a t i o nu n i f i e s ，t h e u t i l i z a t i o nf r o ma r r a n g e st h eq u e s t i o n n a i r et om e a s u r et h a tl o o k su pn u m e r o s i t y e s t i m a t i o nt r a i n i n gi n f l u e n c en u m b e rs e n s e t h em a i nr e s u l t so ft h i sr e s e a r c ha r et h e f o l l o w i n g ： 1 u r b a ne l e m e n t a r ys c h o o ll o w e rg r a d ec h i l d r e ni n0 10 0 0n u m e r i c a lr a n g e s ， m a jo r i t yo fs t u d e n t si nq u a n t i t ye s t i m a t i o na t t r i b u t e ，p r e s e n t st h el i n e a ra t t r i b u t ep a t t e m 2 t h r o u g hs t r a t e g i e st r a i n i n g ，r e g a r d l e s s o ft h e e x p e r i m e n t a l c l a s sh a v et h e r e m a r k a b l ee n h a n c e m e n ti nt h en u m b e rl i n ee s t i m a t i o na c c u r a c ya n di ne s t i m a t e a t t r i b u t ew a y se a c hv a r i a b l e ，h a st h er e m a r k a b l ed i f f e r e n c ew i t ht h ec o m p a r i s o nc l a s s h a di n d i c a t e dq u a n t i t ye s t i m a t i o ns t r a t e g i e st r a i n i n gi se n h a n c i n gt h en u m b e rl i n e e s t i m a t i o na s p e c tt h ev a l i d i t y 3 t h en u m b e rl i n ee s t i m a t i o nh a sc e r t a i np r o m o t e ra c t i o nt on u m b e ro fs t u d e n t s n u m b e rs e n s e t h r o u g hn u m b e rl i n ee s t i m a t i o n t r a i n i n g ，e x p e r i m e n t a l c l a s sa n d c o m p a r i s o nc l a s si nu n d e r s t a n d i n gn u m b e rs i g n i f i c a n c e ，u n d e r s t a n d sb e t w e e nt h e n u m b e ra n dt h en u m b e rb e t w e e nt h er e l a t i o n sa sw e l la st h ed i s t i n c t i o nn u m b e ra n dt h e i i 小学低年级数量估算策略训练促进数感发展的实验研究英文摘要 n u m b e rt h es i z e ，i ns o l v e si nt h eq u e s t i o nm a j o r i t yo ft o p i c su s i n gt h ed a t u mq u a n t i t yt o h a v et h er e m a r k a b l ed i f f e r e n c e i nu n d e r s t a n d i n go p e r a t i o nl o g a r i t h mi n f l u e n c e ，c h o o s e s t h es u i t a b l es t r a t e g ym e t h o dt os o l v et h ep r o b l e ma n dc a nm a k et h ej u d g m e n ta s p e c tt o t h er e s u l tr a t i o n a l i t y , t h ee x p e r i m e n t a lc l a s sa n dt h ec o m p a r i s o nc l a s sh a sn o th a dt h e r e m a r k a b l ed i f f e r e n c e k e y w o r d ：p r i m a r ys c h o o ls t u d e n t ；n u m e r o s i t ye s t i m a t i o n ；s t r a t e g i e st r a i n i n g ； n u m b e rs e n s e i i i w r i t t e nb yj u nz h a n g s u p e r v i s e db yd i a n z h il 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承 担本声明的法律责任。 研究生签名：吐日期： 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：监一日期： 导师签名：邋日期： 小学低年级数量估算策略训练促进数感发展的实验研究 1 绪论 1 绪论 l ，1 研究背景 数学教学的内容，在过去的几十年中进行了很大的变革。在这个计算机普及 的时代，数学中的近似理论和合理推理日益进入人们的视野，学生估算能力的培 养成为数学教学的新课题，与此同时，数感也被认为是人与计算机相区别的一个 重要特征( m c i n t o s h & r e y s ，1 9 9 2 ) 。 美国国家数学教师研究委员会( n c t m ) 是一个致力于提高数学教学质量的组 织。它提出两类数学标准：过程性标准和内容性标准。其中内容性标准关注具体 的数学主题，包括估算、数感、几何和空间感、测量、统计和概率、小数和分数、 模型和关系( 2 0 0 0 ) 。从而把数感和估算引入到数学课程中，激起了数学教育领域 和认知发展领域对这两个主题的研究热潮。 我国2 0 0 1 年7 月新版全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 将估算列 为小学数学的必学内容，并指出：估算在日常生活与数学学习中有着广泛的应用， 培养学生的估算意识，发展学生的估算能力，让学生拥有良好的数感，具有重要 的意义。另外，在总体目标中还提出，要使学生“建立数感 ，并且在内容标准的 几个阶段中都阐述了培养学生数感的问题。 1 2 研究意义 1 2 1 理论意义 估算和数感之所以被引入到数学学习领域中，因为它们顺应了时代发展，同 时也对数学教育提出了新的要求。 国外对于估算的研究，按照操作任务的差异将估算划分为三个类别：计算估 算、测量估算和数量估算。计算估算，研究者( d o w k e r ，1 9 9 2 ) 把它定义为，在 不能进行精确计算的情况下对算术问题的近似答案做出一个合理的猜测。测量估 算则被看作是没有工具的物理测量( j o r a r n ，s u b r a h m a n y a m & g e l m a n ，1 9 9 8 ) 。而 数量估算，是指在不进行数数的情况下，对数量集合给出一个近似的基数值。 国外研究，从内容上多集中于计算估算和测量估算的研究，对数量估算的研 究相对较少。从年龄范围来看，对小学低年级的研究相对较少。本研究对低年级 儿童的数量估算进行研究和策略训练，以期为小学低年级儿童估算方面提供相关 小学低年级数量估算策略训练促进数感发展的实验研究l 绪论 研究和资料支持。 国内对于估算和数感的研究，主要集中于数学教学等经验性研究，缺乏实证 研究。本研究拟考察我国小学低年级儿童的估算和数感，为认识和研究小学低年 级儿童的数学认知发展提供实证性的资料，为开展估算和数感的教育活动提供理 论上的依据和实践上的支持。 1 2 2 现实意义 数学是一个人生学业成长的重要方面，学生学习数学，一方面是为进一步 的学习打下基础，另一方面是要学生学会用数学的方法和数学的观点，认识和理 解周围的事物，处理有关的问题。 随着社会的发展，人们对计算的要求也发生着变化，由纸笔计算转向大致的 估计，估算的意义被凸显出来。 但在目前的学校教育中普遍存在着对数学教育的狭义性理解，把数学教育理 解为算术教育或计算教育，而忽视了学生对数概念和数关系的真正理解，即忽视 了对数感的培养。 我国数学课程标准( 教育部，2 0 0 1 ) 中，首次明确地把“建立初步的数感 和“发展学生的数感 作为新的数学教学理念指导下的新的数学课程目标和重点 学习内容标准提出来。而且把估算作为数感的表现之一，“培养学生估算意识，发 展学生的估算能力，让学生拥有良好的数感，具有重要的价值。”因此研究低年级 儿童的数感和估算具有很强的现实意义。 本研究拟从数感和估算两个视角进行研究，以期为义务教育阶段学校数学教 育提供参考和启示。 2 小学低年级数量估算策略训练促进数感发展的实验研究 2 文献综述 2 文献综述 2 1 概念界定 2 1 1 估算 估算是指个体懂得在什么情况下无法或不必做出精确的数字处理或数字运 算，而应用相关的数字知识和策略给出近似答案的能力( c a r p e n t e r ，1 9 7 6 ) 。简单 来说，估算是近似的猜测事物数量的行为，在日常生活中我们经常使用估算来解 决一些不需要精确计算的问题。 研究者( h a n s o n & h o g a n ，2 0 0 0 ；m o n t a g u e & g a r d e r e n ，2 0 0 3 ；h o g a n & b r e z i n s k i ，2 0 0 3 ) 。通常把估算按照操作任务的差异划分为三个类别：数量估算 ( n u m e r o s i t ye s t i m a t i o n ) 、测量估算( m e a s u r e m e n te s t i m a t i o n ) 和计算估算 ( c o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o n ) 。 多克( d o w k c r ，1 9 9 2 ) 把计算估算定义为，在不进行精确计算的情况下对算 术问题的近似答案做出一个合理的猜测。雷斯等人( r e y s ，r y b o l t ，b e s t g e n & w y a r ， 1 9 8 0 ) 把计算估算定义为是心算，四舍五入技能，位值等数概念，以及快速形成 合理计算结果的心理补偿等知识和能力之间进行相互作用的过程。 测量估算被看作是没有工具的物理测量( j o r a m ，s u b r a h r n a n y a m & g e l m a n ， 1 9 9 8 ) 。大多数测量估算研究是在线性测量的特征上展开，如长度和距离估算。 本研究中的数量估算，我们将其定义为：在不进行数数的情况下，对数量集 合给出一个近似的基数值。 2 1 2 数感 现有文献表明，数感( n u m b e rs e n s e ) 是一个有价值，但很难概括出具体特征 的概念。d a n t z i g ( 1 9 5 4 ) 首次提出数感的概念，认为数感是对微小数量变化的一 种直觉感受。 德汉尼等人( d e h a n e n e ，1 9 9 7 ；g a l l i s t e l & g e l m a n ，1 9 9 2 ) 提出人类成人的数 字表征和数学思维部分是依赖于一种近似的数量感觉“数感。 桑德( s o w d e r ，1 9 8 8 ) 把“数感”定义为一个具有良好组织的概念网络，它 能够把一个数字与和它相关的操作具体而有效的连接起来，并以灵活而有创造性 的方式解决数学问题。台湾学者杨德清( y a n g ，2 0 0 2 ，2 0 0 3 ) 把“数感”表述为： 小学低年级数量估算策略训练促进数感发展的实验研究 2 文献综述 一个人对数字和运算的一般性的理解，以及处理那些包含数字的日常生活情景的能 力。 2 0 0 1 年7 月我国新版的全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 解读在 第二章中对数感的解释是：数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解和运用数 的态度与意识。 对数感概念的界定有多种提法，但基本上认为：数感是一种从所用的各种数 字意义中提取出数特征及数关系的直觉能力( n c t m ，2 0 0 0 ) 。 结合上述文献和我国课程标准中的描述，本研究将数感用5 个方面构成 要素进行定义： ( 1 ) 理解数的意义。 ( 2 ) 理解数与数之间的多种关系： ( 3 ) 能运用基准数字去解决问题。 ( 4 ) 理解运算的意义和运算对数的影响。 ( 5 ) 能灵活运用适当的策略去解决问题并能对结果的合理性做出判断和解释。 2 2 相关研究 2 2 1 估算的相关研究 2 2 1 1 估算的心理表征研究 估算的理论研究主要集中在估算的心理表征研究方面。 表征分为内部表征和外部表征：内部表征指记忆系统中的诸如概念、命题、 图式语义网络、生成规则及其他类型的知识和结构。外部表征指对内部认知活动 有直接影响、甚至是有决定性影响的信息的外部表达和环境的结构( 傅小兰， 2 0 0 6 ) 。在儿童估算表征的研究中，一部分研究者提出儿童的估算表现反映出他们 对数字的内部表征。 s i e g l e r ( s i e g l e r , 1 9 9 6 ) 提出了幼儿估算的对数表征模式，并认为数轴估算是研 究表征模式最有效的方式。对数表征指数量估算按照对数形式的一种表征，即在 估计中夸大了低端范围内的数的大小之间的距离，而缩小了高端数字范围内的数 之间大小的距离。 在估算表征模式研究基础上，研究者进一步研究了表征模式在儿童估算中的 发展。s i e g l e r 和b o o t h ( 2 0 0 4 ) 发现从幼j d 至u - 年级的儿童，在估算表征中存在相 似的变化趋势。幼儿的中数( m e d i a ne s t i m a t e s ) 估算更符合对数函数，一年级学生 4 小学低年级数量估算策略训练促进数感发展的实验研究 2 文献综述 的估算既符合对数函数也符合线性函数。二年级比一年级的学生的估算更符合线 性函数。相对而言，从幼儿到二年级的估算，更符合对数函数的人数从8 1 下降 到4 5 。 s i e g l e r 和o p f e r ( 2 0 0 3 ) 提出，儿童是从对数表征发展到线性表征。儿童在较 小的数字范围内先出现线性表征。要求二、四、六年级的学生以及成人在旺1 0 0 或旺1 0 0 0 的数轴( n u m b e rl i n e ) 范围内估计数字的位置。结果二年级学生在旺1 0 0 数轴上的中数估计任务，对数函数的符合达到9 5 ，然而，线性函数的符合仅达 到6 3 。相反，六年级学生和成人的估算符合线性函数的达到1 0 0 。不同被试的 估计显示了相同的发展顺序。 叠波理论( o v e r l a p p i n gw a v e st h e o r y ) 以及s i e g l e r 和b o o t h ( 2 0 0 5 ) 提出的实 验结果一致认为：绝大多数5 二1 0 岁儿童在数字估计上有困难的原因是不能正确 选择数值表征的方法。尤其认为这一年龄阶段的儿童拥有多重数值表征，他们总 是在应该使用线性表征的情况下使用对数表征。 s i e g l e r ( 2 0 0 6 ) 的研究，总结以往研究，利用数轴估算任务，探索了影响儿童 估算表征的因素。 为了避免研究任务的要求对儿童估算表征产生影响，研究尝试运用儿童注意 的焦点( f o c u so f a t t e n t i o n ) ，呈现不同顺序。如，升序( 数字以从小到大的顺序) ， 降序( 数字以从最大到最小的顺序) ，或者随机呈现从小到大的数。这可以使儿童 的注意指向最小或最大的结点，同时调节自己在任务中对数字的表征。 研究结果显示，幼儿在o 一1 0 0 数轴估算的对数表征，是由于他们对对数表征 的偏爱和偏向于关注单一特征的结合，而不是由于他们仅仅拥有一定范围内数字 的对数表征或仅仅由于他们倾向于关注单一特征。 该研究关注了注意对儿童表征的影响，认为倾向关注某一特征会影响儿童的 数轴估算任务。幼儿在数字以随机顺序呈现时的估计，夸大了在升序条件下较小 数间的差别，同时缩小了在降序条件下较大数间的差别。幼儿也更倾向于从他们 所熟悉的结点数起。然而，四年级学生，在所有三种条件下都产生了线性模式， 并且无论何种条件，都更可能从不同结点数起。 。 对于表征与策略选择间的关系，s i e g l e r 认为以往对儿童数轴估计的研究关注 儿童数数策略和他们估计准确性的关系( n e w m a n & b e r g e r ，1 9 8 4 ，p e t t i t o ，1 9 9 0 ) ， 但对于可能指导儿童策略选择的知识结构探讨的比较少。他将策略归纳为三类： 小学低年级数量估算策略训练促进数感发展的实验研究2 文献综述 有效策略，无效策略，中性策略。通过数数的单位和方向来考察每一策略的特点， 在数数的方向和单位中都不按正常顺序数的策略给2 分( 以1 0 为单位的降序数) 。 遵循常规数数策略的给0 分，( 如，以1 位单位升序数数) 。不按一般数数，以单 位数或按方向数的给1 分，( 如，从中点开始以1 为单位数或升序以1 0 位单位数) 。 得到了2 分被归为有效的策略，0 分的被归为无效的策略，得1 分的相关方法被归 为中性策略。在研究中他发现，有效的策略是与更准确和更线性的估计有关，无 效策略正好相反。由此s i e g l e r 得出：儿童在旺1 0 0 数轴上是产生线性还是对数表 征，是由儿童对数字大小的表征、已有知识经验以及策略选择共同决定的。 2 2 1 2 计算估算 对于计算估算是一种基本的数学能力，数学教育工作者己形成广泛的共识。 ( r u b e n s t e i n ，1 9 8 5 ) 。 r e y s 等人( r e y s ，r y b o l t ，b e s t g e n & w y a t t ，1 9 8 0 ) 认为计算估算是心算，四 舍五入技能，位值等数概念，以及快速形成合理计算结果的心理补偿等知识和能 力之间进行相互作用的过程。1 9 8 2 年，他们访谈了在7 1 2 年级和成人中5 9 名较 为熟练的估算者，界定出三个主要的计算估算过程：重组，转换和补偿。 多克( d o w k e r ，1 9 9 2 ) 把计算估算定义为，在不能进行精确计算的情况下对 算术问题的近似答案做出一个合理的猜测。他使用心算的熟练度任务，计算估算 的评价任务，和开放的计算估算三种任务对2 1 5 名4 岁9 个月到9 岁1 0 个月的儿 童进行了测试，先用心算任务把儿童划分为五个水平的估算任务。结果表明，估 算的熟练程度依赖于算术能力水平和问题的难度，估算熟练度随算术能力而增加， 随问题难度而降低。这就说明计算估算不是独立于精确计算能力的。 司继伟和张庆林( 2 0 0 3 ) 对2 1 0 名小学六年级学生的估算能力进行了研究， 结果表明小学六年级儿童具有一定的估算能力，但估算成绩明显受到数字类型和 运算规则的交互影响，六年级儿童能够运用多种估算策略，但各种策略的使用频 率、执行速度和准确性都存在明显的个体差异。 l e f e v r e 等人( l e f e v r e 、g r e e n h a r n ，& w 如e e d ，1 9 9 3 ) 让4 、6 、8 年级的5 6 名儿童和2 0 名成人估算乘法问题的答案。结果表明：4 年级的儿童很少有能力进 行估算的。大多数六年级和八年级的儿童能够进行合理的估算。估算表现随年龄 而提高。六年级儿童能够运用多种估算策略，但各种策略的使用频率、执行速度 和准确性都存在明显的个体差异。 6 小学低年级数量估算策略训练促进数感发展的实验研究2 文献综述 m u r p h y ( 1 9 8 9 ) 考查了2 4 5 名8 年级学生的计算估算能力。得出结论：学生 能通过系统的教学获取估算技能，经历过估算技能教学和实践的学生比没有接受 过这种教育的学生估算能力更强。 蒙塔古等人( m o n t a g u e & g a r d e r e n ，2 0 0 3 ) 研究了1 3 5 名学习困难，平均成 就和智力超常的四、六、八年级学生的数学成就，估算技能，估算策略的使用， 与学业成就和自我知觉之间的关系。发现学习困难和平均成就的学生在所有估算 测查上的分数显著低于智力超常者，他们在估算策略的使用上相互之间也有显著 的差异。学习困难学生明显的很少使用有效的估算策略。这个研究结果表明所有 能力水平的学生都需要提高他们的估算技能。 2 2 1 3 测量估算 测量估算被看作是没有工具的物理测量。绝大多数关于测量估算的研究是在 线性测量的特征上展开，如长度和距离估算。 测量估算形成的先决条件包含了两个类属，即皮亚杰描述的逻辑推理过程和 具体的测量概念知识。一般认为长度守恒和转换这两种逻辑推理过程和线性测量 十分相关( h i e b e r t ，1 9 8 4 ) 。 j o r a m 等人( j o r a m ，s u b r a h m a n y a r i n & g e l m a n ，1 9 9 8 ) 在回顾以往研究后， 概括指出早期测量估算的研究中，研究者仅感兴趣于积累儿童和成人如何估算的 资料；之后的研究中，研究者关注于个体估算的各种特征( 重量或高度) 的能力 差异。这一时期相比早期研究先进的是，估算的物体都是实物呈现，保证了估算 物体的同一性；接下来，研究者开始考查人们如何做出判断，使用了什么样的策 略等方面。研究揭示出测量估算是一种非常不稳定的过程，很容易受被估算物体 的特征所影响。 s i e g l e l 等人( s i e g l e r ，g o l d s m i t h & m a d s o n ，19 8 2 ) 开展了一项研究，被试为 2 0 个2 到8 岁的儿童和1 0 个成人( 2 0 到4 0 岁) ，对他们进行估算问题测试，问 题类型涉及到测量估算和数量估算。他们想评价儿童估算技能的发展差异。要求 他们解释如何得到估算值。结果表明儿童的估算准确度和他们报告的策略使用之 间的联系不如预想的那样强。 教师常常推荐学生使用诸如参照点策略进行测量估算。j o r a m 等( j o r a m ， g a b r i e l ，b e r t h e a u ，g e l m a n & s u b r a h m a n y a m ，2 0 0 5 ) 研究者通过对4 4 名三年级学 生平均分成两组，教授不同的策略，考查学生在测量估算中对策略的使用、对标 7 小学低年级数量估算策略训练促进数感发展的实验研究2 文献综述 准测量单位的表征与估算精确度之间的关系。分析表明，儿童的策略使用预示了 他们对标准性测量单位的表征精度以及他们的估算精度。与没有使用参照点策略 的学生相比，使用了参照点策略的学生对长度的估算和对标准单位的表征更加精确。 2 2 2 4 数量估算 在对估算的研究进行整理的过程中发现，在估算的三个类型中，数量估算得 到的关注最少。 数量估算不同于计算估算和测量估算。在桑德( s o w d e r , 1 9 9 2 ) 有关估算研究 的概要中，提到“计算估算、测量估算和数量估算每一种估算均需要不同的 理解和不同的技能测量估算和数量估算需要某些相关的技能”。 本研究中的数量估算，是指在不进行数数的情况下，对数量集合给出一个近 似的基数值。 当要求儿童进行估算而不是数数时，他们依赖于对数表征。儿童在较小数量 上估算值的分布与成人的相似，儿童与成人之间具有相似性( h u n f l e y - f e n n e r & c a n n o n ，2 0 0 0 ；x u & s p e l k e ，2 0 0 0 ) 。也就是说，儿童数量估算答案的分布与所估 算的值成一定规律变化。这些结果也确定，儿童的内部表征是稳定的、系统的 ( m i l l e r & g e l m a n ，1 9 8 3 ) 。 克里蒂斯( c r i t e s ，1 9 9 2 ) 以希格勒等人( 1 9 8 2 ) 的研究为基础考察有关估算 能力熟练的和不熟练的3 、5 、7 年级学生在数量估算中所使用的策略。他用三种 策略解释了所有三个年级的学生中所使用的策略的2 3 ：基准比较( b e n c h m a r k c o m p a r e ) ，眼球效应( e y e b a l le f f e c t ) ，分解- 重组( d e c o m p o s i t i o n - r e c o m p o s i t i o n ) 。 结果发现，成功的估算者趋向于使用分解一重组和多重基准策略，而不太成功的估 算者使用基于知觉的策略。并且，在涉及到大数量( 大于1 0 0 0 ) 的问题上，熟练 的估算者超过不太熟练的估算者。因此，当被估算的数量相对较大时，好的估算 能力可以更明显或更有用。 布拉德( b r a d e ，2 0 0 3 ) 的研究考察了计算机活动背景下幼儿数量估算技能的 发展。结果发现在策略和估算准确度之间有正相关，即运用策略有助于提高估算 的准确度。 2 2 3 数感的相关研究 对于数感的研究，集中在对于数感的定义与主要成分、发展、教学等方面。 2 2 3 1 数感的定义与主要成分 小学低年级数量估算策略训练促进数感发展的实验研究2 文献综述 c a s e 等( 1 9 9 1 ) 在研究6 岁儿童对数的理解时指出，数感包含对数的顺序的 双向理解、不同的研究者有不同的理解、对数的一一对应关系的理解、数的集合 的知识、加减一个单位能产生新的物体数量的知识、数量相对大小的知识、数学 可用性的知识。后来c a s e 等人( 1 9 9 8 ) 3 己尝试利用数感良好学生的特征来解读数感， 他们认为数感良好的学生能在现实世界的数量和数学世界的数字和数字表达间游 刃有余；他们能创造自己解决数学问题的方法；他们能根据情境和目的的不同， 用多种方法灵活地表征同一个数字；他们能辨识基准数( b e n c h m a r kn u m b e r s ) 和数型 ( n u m b e rp a t t e r n ) ：他们能对数量大小关系有很好的理解；他们还能以一种合理的方 式思考和谈论数学问题，而不需要借助精确的数学计算；适宜的发展不同的策略。 杨德清( y a n g ，2 0 0 3 ) 认为数感的组成成分包括：理解基本的数字意义；认 知数字的数量；适宜的使用基准；理解运算对数字的相关作用。 j o r d a n 等人( 2 0 0 6 ) 总结了幼儿数感的主要成分，包括数数、数知识、数量转 换、数量估计、数字组型五个方面。 卡彭特等人( c a r p e n t e r ，c p b u r n ，r e y s & w i s l o n ，1 9 7 6 ) 在分析国家教育发 展评价( n a e p ) 的数据在估算上的作用之后，得出结论：在学生能很好进行估算 之前，他们一定发展了一种数量的直觉，一种用数字表现数量的感觉。后来这种 关于数量的直觉被称为数感。如果学生理解数感和心算的关系，它们就能发展在 内心解决问题和估算各种问题的有效策略( m a r k o v i t i s & s o w d e r ，19 9 4 ) 。 美国国家数学教师研究委员会( n c t m ，2 0 0 0 ) 提出数感，包括对数字意义较 好的理解，对多重数字关系的理解和把握，对数字的相关数量的认知，对运算给 予数字相关作用的认识，对生活环境的普通物体在情境测量中作为参照物的使用。 我国的数学课程标准( 教育部，2 0 0 1 ) 中提到了六个方面的表现“理解数 的意义；能用多种方法表示数；能在具体的情景中把握数的相对大小关系；能用 数表达和交流信息；能为解决问题选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结 果的合理性作出解释。 可以看到，对于数感的构建，研究者往往对关注点有所偏侧，所以目前还没 有形成也很难形成一种公认的一般的数感结构。 在总结以往研究的基础上，本研究从以下五个方面对数感进行分析： ( 1 ) 理解数的意义。 ( 2 ) 理解数与数之间的多种关系。 9 小学低年级数量估算策略训练促进数感发展的实验研究2 文献综述 ( 3 ) 能运用基准数字去解决问题。 ( 4 ) 理解运算的意义和运算对数的影响。 ( 5 ) 能灵活运用适当的策略去解决问题并能对结果的合理性做出判断和解释。 2 2 3 2 数感的发展 数感并不是一个有或没有的两极化概念，是随着经验和知识逐渐发展与成熟 的过程。 研究发现，早在婴儿期，儿童已经表现出对小数量数字和数量变化的敏感性。 到3 、4 岁时，儿童已经能掌握数数的基本原则和比较两个小数量数字的大小。大 部分儿童在接受小学正规数学教育之前就已经建立了最基本的数感。 派克和弗雷斯特( p i k e & f o r r e s t ，1 9 9 7 ) 用6 2 名年龄在6 1 1 岁的小学儿童。 研究目的在于揭示幼儿数感和测量估算之间的发展关系。结果表明，在估算能力 中没有显著的年龄差异。然而，儿童的长度估算总体上好于面积估算。在心算能 力上也没有显著的年龄差异。尽管年龄对儿童的数感有发展的效应，但是没有发 现对长度和面积的估算能力有这种效应。数感随年龄而提高，估算能力随数感而 提高，而估算能力本身却没有随年龄而提高。 桑德( s o w d e r ，1 9 9 2 ) 把估算和数感联系起来，她认为估算教育和心算能为 儿童的数感发展提供一个途径。估算和心算不仅是日常生活中有用的工具，它也 有助于数感的更好发展。 估算的知识可以引导学生发展数感( g r e e n o ，1 9 9 3 ) 或对数字的理解。数感 是一种情景化的认知形式( g r e e n o ，1 9 9 1 ) ，是一种在新的数学背景中创造性活动 的能力或潜力。从这个观点出发，把估算看作是一种表现数感的背景更适当，而 事实上估算已经被承认是一种发展数感的实践手段( s o w d e r ，1 9 9 2 ) 。 赵振国( 2 0 0 6 ) 考察了3 - 6 岁学前儿童的数量估算能力和数感发展的状况和年 龄特点，以及数概念发展，数感发展和数量估算能力三者的相互关系。研究表明， 3 6 岁的儿童已经具备一定的数量估算能力，但其合理估算的水平较低，受所估算 的数量大小的影响也比较大，他们的数量估算能力在各项任务和估算总数上均存 在显著的年龄差异；这个年龄阶段的儿童在数量估算中已经使用多种估算策略， 但在使用上也存在年龄差异。3 6 岁儿童的基数概念能力，数感发展和数量估算能 力三者之间具有显著的正向相关。 2 2 3 3 数感的教学 l o 小学低年级数量估算策略训练促进数感发展的实验研究2 文献综述 数感的教与学被认为是国际数学课程的重要主题。几个研究( m a r k o v i t s & s o w d e r ，1 9 9 4 ；y a n g ，2 0 0 2 ；y a n g & r e y s ，2 0 0 1 ) 已经证明了所设计的用来促 进数感发展教学的有效性的研究。他们证明有效的数学教学应该集中于学习过程。 研究者( y a n g ，2 0 0 3 ) 设计了过程导向的教学模型，帮助教师有效的把数感活动 整合进课堂中。杨德清( 2 0 0 2 ) 进一步证明六年级学生的数感能通过过程导向的 教学模型而得到发展。雷斯( r e y s ，1 9 9 4 ) 提出，给班级提供过程导向的活动， 并建立一种能够鼓励有意义的讨论、探索、思考和推理的课堂环境，是发展学生 的数感的最好途径。 总之，研究者为数感教学归纳了三个教学原则：提供丰富的能进行数字和数 量关系连接的活动；探索和讨论概念；确定一个适宜的概念理解顺序( g r i f f i n ， 2 0 0 4 ) 。但数感并不是直接的教学目标，它应该被看作是其它学习的副产品 ( g r e e n o ，1 9 9 1 ) 。它是在培养好奇心的环境中，通过在各种背景下探索数字和观 察数字而逐渐发展的( h o w d e n ，1 9 8 9 ) 。 2 3 已有研究的不足 在整理前人对估算和数感的研究中，发现它们都是儿童数学学习领域中的重 要方面，对儿童数学思维的形成和数关系的理解与把握有着重要的作用。 就目前关于估算研究的文献来说，从内容上来看，对测量估算和计算估算涉 及的比较多，对数量估算的关注较少。现有文献中对计算估算的策略分析的比较 多，但关于数量估算的策略研究比较少。卡特( c a r t e r ，1 9 8 6 ) 提出需要开展关于 幼儿进行合理的数量估算的策略和能力的研究。从霍根等人( h o g a n & b r e z i n s k i ， 2 0 0 3 ) 的研究结果来看，数量估算和测量估算似乎比计算估算更能够从一般的数 学能力中区分开来，更能够体现估算能力的发展特征。从年龄范围来看，对小学 低年级的研究相对较少。 而目前对于数感的研究，主要集中于数学教学等经验性研究，缺乏实证研究。 2 4 研究问题及思路 本研究拟解决的内容包括： ( 1 ) 小学低年级儿童数量估算中估算表征的特点； ( 2 ) 小学低年级儿童数量估算策略训练对其估算表征及正确率的影响； ( 3 ) 小学低年级儿童数量估算的训练对数感的影响。 小学低年级数量估算策略训练促进数感发展的实验研究2 文献综述 研究思路： 本研究通过自编测查试卷对被试儿童的数感方面进行测查，了解被试数感状 况；在此基础上，运用数轴估算的方式，对被试的估算表征进行分析，并通过数 量估算策略训练，考查其对数量估算表征及正确率的影响；最后，经过数轴估算 训练之后，再通过数感测查，了解数量估算对被试数感方面的影响。 小学低年级数量估算策略训练促进数感发展的实验研究3 研究一 3 研究一小学低年级数量估算的策略训练 就目前关于估算研究的文献来说，对测量估算和计算估算涉及的比较多，对 数量估算的关注较少。现有文献中对计算估算的策略分析的比较多，但关于数量 估算的策略研究比较少。本研究通过对小学低年级学生进行数轴估算测试，观察 小学低年级儿童数量估算表征情况；通过数量估算的策略训练，观察学生数量估 算表征和正确率的变化。 3 1 研究假设 ( 1 ) 小学低年级儿童数量估算表征在数轴估算测试中呈对数函数； ( 2 ) 小学儿童估算正确率可以通过策略训练提高，并能促进其估算表征向线 性函数转变。 3 2 研究方法 3 2 1 被试 青岛市四方区鞍山二路小学二年级2 、5 班学生共6 0 人，其中2 班3 0 人，5 班3 0 人。其中2 班学生平均年龄7 8 岁，男生1 6