（大地测量学与测量工程专业论文）半参数回归分析及其在gps数据处理中的应用.pdf

f i i i iirillii iir l li iiii y 1717 4 6 7 s e m i p a r a m e t r i cr e g r e s s i o na n a l y s i sa n d i t sa p p l i c a t i o n o fg p sd a t ap r o c e s s i n g m a j o r ： g e o d e s ya n ds u r v e y i n ge n g i n e e r i n g d i r e c t i o no fs t u d y ：s u r v e y i n gg p sd a t ap r o c e s h i n g a n dse m i p a r a m e t r i cm o d e l g r a d u a t es t u d e n t ：l ih u a n b o s u p e r v i s o r ：p r o f l i l o n g l i u c o l l e g eo f c i v i le n g i n e e r i n g g u i l i nu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y a p r i l ，2 0 0 9t om a r c h ，2 0 10 研究生学位论文独创性声明和版权使用授权书 独创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料。对论文的完成提供过帮助的有关人员已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者( 签字) ： 叁巫救 签字日期：2 芝车6 骂1 5 弱 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解( 学校) 有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的印刷本和电子版本，允许论文被查阅和借 阅。本人授权( 学校) 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国 科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过 网络向社会公众提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：孝夼沫j 签字日期：二d 声年6 月心日 导燃字乡i 西 导师签字：少yv 签字日期：尹f o 年6 月罗日 桂林理工大学硕士学位论文 摘要 半参数回归模型是二十世纪八十年代发展起来的一种重要的统计模型，这种模型既含 有参数分量又含有非参数分量，其优点就在于它集中了主要部分( 即参数分量) 的信息，又不 忽略干扰项( 非参数分量) 的作用：方面解决了单纯参数模型与非参数模型难以解决的问 题，增强了模型的适应性：另一方面克服了非参数方法信息损失过多的问题，用它描述实际 问题，更接近于真实，更能充分利用数据提供的信息，是一套解决实际问题的工具，有着广 泛的应用前景。因此，它是一个在实用上有重大意义且在理论上富有挑战性的现代测量数据 处理理论。 本论文结合半参数回归模型的理论研究和测绘界的实际需要，较为系统研究了半参数 的几种模型( 补偿最小二乘法、核估计法、非线性半参数最小二乘核估计法) 和g p s 的系统 误差，主要研究内容及成果如下： 1 、重点研究半参数模型的补偿最小二乘法，讨论了经典模型的解算方法，通过实例加 以验证；讨论了正规化矩阵和平滑冈子的选取方法；然后通过实例来对最小二乘法和补偿最 小二乘法加以应用：最后简单介绍了最小二乘配置模型，并把最小二乘法应用到重力异常的 求解。 2 、针对数据处理中的系统误差，研究了半参数平差模型的核光滑估计，讨论了非参数 核估计、半参数偏残差估计、偏光滑核估计和偏差优化方法，分别得到了参数分量；然后采 用模拟数据比较对半参数模型的最小二乘补偿方法和正核则方法进行了比较；最后简单介绍 了非线性半参数的模型的最小二乘核估计。 3 、针对g p s 数据处理，重点对g p s 系统误差进行了分析，讨论了g p s 系统误差的来源， 针对与卫星有关的误差、信号传播的误差、多路径效应进行了分析；然后用具体采集数据分 析了卫星高度角和电离层延迟之间的关系。 4 、研究了半参数模型在g p s 数据处理中的应用，重点研究了半参数模型在g p s 高程拟 合中的应用、在g p s 变形监测中的应用、在g p s 系统误差方面的应用；分别用实测的数据验 证了半参数模型在这些方面应用的可行性。 5 、最后对本文工作做了总结，并给出几个有待下一步要解决的问题。 关键词：半参数模型；补偿最小二乘法；核估计；g p s ：系统误差；数据处理：电离层延迟： 对流层延迟 桂林j e _ x 大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h es e m i - p a r a m e t r i cm o d e lh a v eb e e na l li m p o r t a n ts a t i s f i e sm o d e ls i n c e1 9 8 0 s ，t h i sk i n do f m o d e li n c l u d e sn o to n l yap a r a m e t r i cc o m p o n e n t , b u ta l s oan o n p a r a m e t r i cc o m p o n e n t i t s a d v a n t a g eb r i n g st o g e t h e rt h em a i np a r to fi n f o r m a t i o n ( t h ep a r a m e t e rc o m p o n e n t ) ，w i t h o u t n e g l e c ti n t e r f e r e n c et e r m s ( n o n - p a r a m e t r i cc o m p o n e n t ) t h eo n eh a n d ，i tr e s o l v e sd i f f i c u l t p r o b l e m sb e t w e e nt h er o l eo ft h es e t t l e m e n to fas i m p l em o d e la n dn o n - p a r a m e t r i cm o d e l p a r a m e t e r s ，t h u se n h a n c i n gt h ea d a p t a b i l i t y ；t h eo t h e rh a n d ，t h en o n - p a r a m e t r i cm e t h o do v e r c o m e t h el o s so fi n f o r m a t i o nt o om a n yp r o b l e m s ，d e s c r i b et h ep r a c t i c a lp r o b l e m s ，c l o s et ot h er e a l i t y , m a k ef u l l yu s eo fp r o v i d e dd a t ai n f o r m a t i o n i ti sas e to ft o o l st os o l v ep r a c t i c a lp r o b l e m s ，w h i c h h a v eb r o a da p p l i c a t i o np r o s p e c t s t h e r e f o r ei ti sap r a c t i c a la n dg r e a ts i g n i f i c a n c ec h a l l e n g i n g m e a s u r e m e n td a t ap r o c e s s i n gt h e o r yi nt h em o d e r n i nt h i st h e s i s ，i th a v ec o m b i n e dt h es e m i - p a r a m e t r i cm o d e lo ft h e o r e t i c a ls t u d yw i t hp r a c t i c a l n e e d so fs u r v e y i n ga n dm a p p i n gc o m m u n i t y , s y s t e m a t i c l ys t u d y s e v e r a ls e m i - p a r a m e t r i c m o d e l s ( p e n a l i z e dl e a s ts q u a r e sm e t h o d ，k e r n e le s t i m a t i o nm e t h o d ，s e m i p a r a m e t r i cl e a s ts q u a r e s k e m e le s t i m a t o r ) a n dg p st h es y s t e me r r o r , t h em a i nr e s e a r c hc o n t e n t sa n dr e s u l t sa l e 嬲f o l l o w s ： t h ef i r s tp a r tp r i m a r i l ys t u d y st h es e m i - p a r a m e t r i cm o d e lo ft h ep e n a l i z e dl e a s ts q u a r e s m e t h o d ，d i s c u s s e st h ec l a s s i cm o d e lo fs o l u t i o nm e t h o da n dt h er e g u l a r i z a t i o nm a t r i xa n dt h e s m o o t h i n gf a c t o rs e l e c t i o nm e t h o d s ，w h i c ha ne x a m p l ei sv e r i f i e d t h e nt h el e a s ts q u a r e sm e t h o d a n dt h em i n i m u mc o m p e n s a t i o nt w om u l t i p l i c a t i o nc o u l db ea p p l i e d ；f i n a l l yi tb r i e f l yi n t r o d u c t s t h el e a s t - s q u a r e sc o l l o c a t i o nm o d e l ，t h el e a s t - s q u a r e sm e t h o da p p l i e st ot h es o l u t i o no fg r a v i t y a n o m a l y t h es e c o n dp a r ts t u d y st h es e m i - p a r a m e t r i ca d j u s t m e n tm o d e lo ft h en u c l e a rs m o o t h e s t i m a t e sf o rd a t ap r o c e s s i n gs y s t e me r r o r , d i s c u s s e st h en o n - p a r a m e t r i ck e r n e ld e n s i t ye s t i m a t i o n ， s e m i - p a r a m e t r i cp a r t i a lr e s i d u a l si se s t i m a t e dt h a tp a r t i a ls m o o t hk e r n e le s t i m a t i o na n db i a s o p t i m i z a t i o nm e t h o d , t h ep a r a m e t e r sw e r eo b t a i n e dw e i g h t ；a n dt h e nc o m p a r e su s i n gs i m u l a t e d d a t ao ft h es e m i - p a r a m e t r i cm o d e lo ft h el e a s ts q u a r e sm e t h o da n dc o m p e n s a t i o nm e t h o d s ；f i n a l l y i tb r i e f l yi n t r o d u c e st h en o n - l i n e a rs e m i - p a r a m e t r i cm o d e lo ft h el e a s ts q u a r e sk e r n e le s t i m a t i o n t h et h i r dp a r tf o c u s e d l ya n a l y z e st h eg p ss y s t e me r r o r sf o rt h eg p sd a t ap r o c e s s i n g ，a n d d i s c u s s e st h es o u r c eo fg p s s y s t e me l t o r sf o rs a t e l l i t e - r e l a t e de l l o r s ，s i g n a lp r o p a g a t i o ne r r o r s ， a n da n a l y z e sm u l t i - p a t he f f e c t s ；t h e nu s et h ea n a l y s i so fs p e c i f i cd a t ac o l l e c t i o ns a t e l l i t ee l e v a t i o n a n g l ea n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ei o n os p h e r i cd e l a y t h ef o u r t hp a r ts t u d y st h es e m i - p a r a m e t r i cm o d e li nt h ea p p l i c a t i o no fg p sd a t ap r o c e s s i n g ， f o c u s e so nt h es e m i - p a r a m e t r i cm o d e li nt h ea p p l i c a t i o no fg p se l e v a t i o nf i t t i n g ，i nt h eg p s d e f o r m a t i o nm o n i t o r i n ga p p l i c a t i o n s ，t h ea p p l i c a t i o no fg p ss y s t e m e r r o r s ；r e s p e c t i v e l ym e a s u r e d d a t av a l i d a t i o no ft h es e m i - p a r a m e t r i cm o d e lt h ef e 舔i b n 时o fa p p l i c a t i o n si i l t h e s ea r e a s f i n a l l y , t h i st h e s i ss u m m a r i z e dt h ew o r kd o n e ，a n dg i v e ss o m ep r o b l e m t ob es o l v e dt h en e x t s t e p k e yw o r d s ：s e m i - p a r a m e t r i cm o d e l s ；t h ep e n a l i z e dl e a s ts q u a r e sm e t h o d ；k e r n e le s t i m a t i o n ；g p s ； s y s t e me r r o r s ；d a t ap r o c e s s i n g ；i o n o s p h e r i cd e l a y ；t r o p o s p h e r i cd e l a y i i i 桂林理工大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 目录 第l 章绪论l 1 1 引言j 1 1 2 半参数模型的简介2 1 3 国内外研究现状2 1 4 研究的主要内容3 第2 章半参数模型补偿的最小二乘法5 2 1 补偿最小二乘法及有关估计5 2 1 1 间接平差模型的解算方法8 2 1 2 模拟实例分析8 2 1 3 补偿最小二乘估计法估计线性半参数模型8 2 2 正规化矩阵和平滑因子的选取方法1 2 2 2 1 正规化矩阵得确定1 2 2 2 2 平滑因子的选取办法1 3 2 3 补偿最小二乘法的应用1 7 2 3 1 模拟实例分析1 7 2 4 、最小二乘配置模型的参数估计1 9 2 4 1 、引言1 9 2 4 2 最小二乘配置公式的推导2 0 2 4 3 实例比较2 2 第3 章半参数平差模型核光滑估计2 5 3 1 半参数核估计及其应用2 5 3 1 1 非参数核估计2 5 3 1 2 半参数偏差估计2 6 3 1 2 1 半参数模型中参数和非参数的估计方法2 6 3 1 3 偏差优化方法2 7 3 1 3 1 参数估计量偏差的优化2 7 i v 桂林理工大学硕士学位论文 3 1 4 、算例与分析2 8 第4 章g p s 系统误差的分析一3 1 4 1g p s 系统误差的来源3 l 4 2 1 与卫星有关的误差3 1 4 2 1 1 卫星钟钟差3 1 4 2 1 2 卫星星历误差3 1 4 2 1 3 地球自转的影响3 2 4 2 1 4 相对论效应的影响3 3 4 2 2 信号传播误差3 4 4 2 2 1 电离层延迟3 4 4 2 2 2 对流层折射的影响4 0 4 2 3 多路径效应4 1 4 2 4 算例分析4 2 第5 章半参数模型在g p s 数据处理中的应用4 5 5 1 引言4 5 5 2 半参数在g p s 高程拟合中的应用4 5 5 3 半参数在g p s 变形监测数据中的应用4 8 5 4 半参数在g p s 系统误差方面的应用4 9 5 4 1 相对定位模型4 9 5 5 算例与分析5 3 第6 章结论与展望5 6 6 1 本文研究工作总结5 6 6 2 进一步研究的设想5 6 致谢5 7 参考文献5 8 个人简介6 2 v 桂林理工大学硕士学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 在处理测量数据过程中，通常假设观测值中不含有系统误差，即只含偶然误 差。但是，这种假定存在着一定程度的缺陷。因此，在实际问题中我们可以通过 建立数据模型来对数据函数近似表达。对于在大地测量中有各种常规的静态模 型，这种假设与实际比较一致。这是因为常规仪器在地面静态测量中通过完整的 观测程序和严密的校检方法而把系统误差消除。如：在角度观测中，通过合理 配置度盘消除度盘分划不均匀误差：在水准测量中，把水准仪架设在两水准尺子 中问从而消除i 角差的影响。在这种严格的条件下，同时观测数据量也不是很 大，可以把残余的偶然误差和系统误差忽略，在测量经典平差的过程中，得到相 对比较正确的解算结果。但是随着测绘事业的发展，尤其是g p s 的发展和普及， 我们处理的数据中既含有偶然误差，也含有系统误差，基于经典的平差模型，已 不能把偶然误差和系统误差分开，而是把粗差和系统误差混为一体。系统误差已 经成为提高测量精度的一个重要影响因素，这就迫切的需要研究一种新的数学模 型来处理这类测量中问题旧川h 1 。 2 0 世纪8 0 年代发展起来的一种重要统计模型一半参数回归模型为我们研究 误差问题提供了一个全新的方向h 1 。它既含有参数分量，也含有非参数分量：是 参数模型和非参数模型的综合模型h 1 ：从模型构成来看，它既不同于古典的参数 模型，也不同于非参数模型。因为它是一个综合模型，所以它可以模拟更多的实 际模型，有着比较广泛的应用h 1 ；它不仅涉及了经济学、教育学等统计领域还涉 及了测量学、地质学等领域；综合了参数模型和非参数模型的优点，更能根据实 际情况，解决实际模型中的问题h 1 。 目前，半参数模型仍然是正在发展的领域，并没有完整的模型；针对半参数 模型的研究所取的成果，都需要进一步的加深和推广疆1 。本论文就是针对半参数 模型在g p s 数据处理方面的应用，进一步加深和推广的；具体是把半参数模型应 用到对g p s 系统误差的处理；进一步推广到对g p s 变形监测数据的分析和重力异 常数据的推估等方面的研究。 半参数模型有很多种估计方法，其中补偿最小二乘法是最常用的也是最重要 的一种估计方法呻1 。这种方法就是在最小二乘法的基础上加上一个补偿项口炽j ， 通过选取恰当的平滑因子q 和正规化矩阵r 而得到参数估计的唯一解h 1 ；要想取 得比较理想估计结果最重要的还是r 和q 的选择，本论文对r 的选择介绍了三种 桂林理工大学硕士学位论文 方法：按自然样条光滑法确定r 、由时间序列的特性确定r 和距离法n 1 ；对a 的 选择介绍了两种方法：l 曲线法、交叉核实法与广义交叉核实法船3 。 1 2 半参数模型的简介 在实际问题中，影响参数估计的因素可以分为两种，种是因素是与参数估 计的函数关系是已知的，另一种是与参数估计的函数关系是未知的“1 ；采用参数 模型和非参数模型中的任何一种处理数据方法都存在着一定的缺陷；2 0 世纪8 0 年代提出了一种偏线性回归参数模型，是将这两种模型的优点进行综合，弥补了 这两种模型的缺陷。这种模型又称为半参数回归模型，其模型为盥1 ： 三= 匠宕+ 意+ ( 1 1 1 ) 和间接平差的函数模型相比较，观测方程中增加了一项雪= | - s ，s 2 ，爱1 2 。 式( 1 1 1 ) 由三部分组成：参数部分厨、系统误差s 和偶然误差；若口= o ， 那么式( 1 1 1 ) 就只含有系统误差s 和偶然误差，就和非参数模型相同【8 0 j ，如 果将系统误差j 和偶然误差两部分看成是偶然误差，那么式( 1 1 1 ) 就和间接 平差的函数模型相同。这就是半参数模型的特点，不但同时含有参数模型和非参 数模型的优点，而且也弥补了两种模型的缺陷【4 】；但是半参数模型的发展只有短 短的3 0 年时间；虽然可以尽可能多的利用经验、实验结果及理论分析的结论等 等【8 0 1 ；但是它还没有完整的数学模型，需要更多的人对它进行坚持不懈的研究。 1 3 国内外研究现状 半参数模型是将参数模型和非参数模型融合到一起的一个模型，其复杂程度 和难度都超过了单一性质的回归模型d 3 。无穷维多余形状参数的点估计问题，在 其一般框架上的早期工作可见s t e i n ( 1 9 5 6 ) ，但对于半参数回归模型的研究则始 于八十年代乜1 。w a h b a ( 1 9 8 4 ) 证明了：当t 为非随机时，e 的偏样条估计是，l 一 的相合估计乜1 ；r i c e ( 1 9 8 6 ) 则在x ，t 为随机且不相关时，口可达到以1 心的收敛速 度瞳1 。s p e c k m a n ( 1 9 8 8 ) 基于核估计及最小二乘法估计得到b 的以一相合估计， 在x 和t 相依的情况下，证明了0 的估计是渐近有效的，而且g 的估计也达到非 参数项最优的收敛速度心。参考文献中也有一些基于最小二乘估计及f o u r i e r 级 数估计的工作，如e u b a n k ，s p e c k m a n ( 1 9 9 0 ) ，但其计算结果都不如前面提到的那 些估计来得理想口。 半参数回归模型的应用也很广泛，多是应用在经济学、心理学，工业、农业 ；等统计领域。如：f a na n dg i j b e l s ( 1 9 9 6 ) 用局部多项式近似的方法建立了非线 2 桂林理工大学硕士学位论文 性回归模型，x i aa n dh 邑r d l e ( 2 0 0 6 ) 用核方法研究了香港( 1 9 9 4 1 9 9 6 ) 医院每 天接纳血液循环和呼吸有问题的病人数等等。在测绘领域也有广泛的应用，如： 丁士俊教授将参数估计的稳健估计的思想应用到半参数估计模型中h 1 ，然后结合 测绘方面实例对所提出的模型进行了计算与分析，验证了该模型的实用性；潘雄 教授比较系统的研究了半参数模型的各种估计方法，并与测量数据相结合，验证 了各种模型的实用性口1 ；张松林教授将非线性模型的估计理论应用到半参数模型 中，初步建立了非线性半参数模型，并提出了用非线性半参数模型来解决g p s 数 据中的系统误差n 们：胡宏昌教授提出了抗差两阶段估计的思想，并把它应用到水 准网的解算中n 。可以看出半参数模型在测绘领域也取得了不少的成果：但是半 参数回归模型在g p s 数据处理方面，以及在g p s 定位系统误差方面的应用还是很 少。一方面是因为半参数回归模型正在发展中的领域，它还没有完整的模型，其 难度和复杂程度都超过单一的回归模型；另一方面g p s 数据处理也是一个比较复 杂的过程。 本论文就是针对半参数回归模型进行研究，介绍几种半参数回归模型的几种 估计方法，先从模拟数据进行分析，然后进一步的将半参数回归模型应用到g p s 数据处理中，最后试着用半参数回归模型解决g p s 定位中的系统误差。 1 4 研究的主要内容 本论文基于测绘处理数据的需要，对半参数回归模型进行了研究，并将半参 数估计的几种模型应用到g p s 数据处理中。具体的研究的内容可以概括为： l 、重点研究半参数回归模型的补偿最小二乘法，讨论了间接平差模型的解 算方法，并通过模拟数据加以分析验证；介绍了正规化矩阵r 和平滑因子q 的选 取方法，并采用模拟数据对最小二乘法和补偿最小二乘法进行比较，结果证明补 偿最小二乘法优于最小二乘法，最后简单介绍了最小二乘配置模型，并把最小二 乘配置模型应用到重力异常估计的解算中。 2 、针对数据处理中的系统误差，研究了半参数回归模型的核光滑估计，讨 论了非参数核估计、半参数偏残差估计、偏光滑核估计和偏差优化方法，分别得 到了参数分量；然后采用模拟数据对半参数模型的最小二乘补偿方法和正核则方 法进行了比较；最后简单介绍了非线性半参数的模型的最小二乘核估计。 3 、在g p s 数据的误差中，重点对g p s 数据的系统误差进行了分析，讨论了 g p s 系统误差的来源，具体可以概括为：与卫星有关的误差、信号传播过程中的 误差、多路径效应引起的误差，分别对它们进行了分析；最后采用实测的g p s 数据分析了卫星高度角和电离层延迟之间的关系。 4 、研究了半参数模型在g p s 数据处理中的应用，具体内容包括：半参数回 桂林理工大学硕士学位论文 归模型在g p s 高程拟合中的应用、在g p s 变形监测数据中的应用、在g p s 系统误 差方面的应用；分别用实际观测的数据验证了半参数模型在这几个方面的应用的 可行性。 5 、最后对本论文的所做的工作进行了总结，并给出几个有待下一步要解决 的问题。 4 第2 章半参数模型补偿的最小二乘法 2 1 补偿最小二乘法及有关估计 测量平差的基本任务就是处理带有偶然误差的观测值，求出未知量的可靠 值n 刳。在实际问题中，观测数据中不仅含有偶然误差，也含有系统误差，而且对 所求未知量的精度要求也越来越高，经典的测量平差方法往往不能满足实际的需 要。为了建立比较符合实际的函数模型，通常要把偶然误差和系统误差一起考虑。 2 0 世纪8 0 年代提出半参数回归模型伫，为我们提供了一个全新的方向。本章就 由间接平差模型引入，介绍半参数回归模型。 2 1 1 间接平差模型的解算方法 最小二乘平差模型n 2 1 为： l = b x + a( 2 1 1 ) 式中l = ( ，l ) r ，a = ( l ，一a 。) r ，b = ( 且，e ) r 均为r l 维列向量i s o 在上述 模型中如果e ( a ) = s 0 ，那么该模型中就包含有系统误差；为了将系统误差从 偶然误差中提取出来，可以在( 2 1 1 ) 模型中引入非参数分量s ，a = s + ， 则式( 2 1 1 ) 可改写为： l = b x + ( s + i ) ( 2 1 2 ) 式中为偶然误差，e ( t ) = o ，d ( ) = d ( ) = 爵q = o - o ：p 一，s = s i ，是，最】7 其中墨( 扛l ，2 ，以) ，称它为非参数分量，表示第i 个观测量的系统误差口3 。 假定p 为观测值l 的权，即对称的正定矩阵d 1 。 下面来对该模型的误差方程进行解算，该模型对应的误差方程为： v = b x l( 2 1 3 ) 若控制网在测量平差的计算中具有足够起算数据，则满足最小二乘法的基本 条件，此时误差方程中的系数矩阵属于列满秩矩阵，将其它的待定点作为平差参 数1 ，根据最小二乘准则： v r p v = m i n 组成法方程： b r p b x = b r p l 得到x 的估计值和协因素阵如下： p = ( 占r p b ) 。1 b r p l ，级= ( b r p b ) 一 ( 2 1 4 ) 这就是经典的间接平差形式。 由( 2 1 4 ) 式得 5 。 ： 。： 。 桂林理工大学硕士学位论文 e ( j ) = ( 曰r p b ) 一b r p ( b x + s ) = 彳+ ( 刀r p b ) 1b r p s 从( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 式可以看出，j 是x 的有偏估计，即当e ( ) 0 时，最小 二乘估计不具有无偏性。模型( 2 1 2 ) 对应的误差方程变为： v = b x l s( 2 1 5 ) 再利用( 2 1 2 ) 式可得 e ( 矿) = b x + b ( b r 尸8 ) 叫b r p s b x s = 一( q b ( b 丁p b ) q b r ) e s ( 2 1 6 ) 协方差阵为： 鳓= ( 召( 召r p b ) 一b r p e ) q ( p b ( b7 p b ) 叫b r e ) = q b ( b r p b ) 1 b r e ( v7 b y ) = 护( p q 力) + e ( y 1 ) p e ( y ) = 爵( 刀一f ) + s r p q 力尸s ( 2 1 7 ) 其中锄p 为幂等阵，事实上 鳓p q 门, p = ( e b ( b ，p b ) 。1b r p ) ( e b ( b r p b ) 一b 7 p ) = e b ( b r 胎) 。1b r p b ( b r p b ) 。1b r p + 口r p b ) 一1b 7 p b ( b r p b ) 一1 b 7 p = e b ( b r p b ) 1 b r p = 锄p ( 2 1 8 ) 劬p 为幂等阵 根据最小二乘原理： v 7 p v = r n i n( 2 1 9 ) 对于模型( 2 1 2 ) ，由经典间接平差可知方程有n 个，但是未知量包括参数估计 岩和非参数估计量雪总共有n + t 个，因为，l n + t ，所以很难得到未知量的唯一 解，因此要对平差的准则进行修改。根据( 2 1 7 ) 式，要使模型方差蠢达到最 小，由下面公式可知： 爵= e ( 矿r b y ) 一s r 尸9 r 尸g ，p s ( n 一，) 为了与( 2 1 3 ) 区别，y 记为矿，我们采用如下的规则 v 1 p v - s 1 p 鳓p s = m i n ( 2 1 1 0 ) 对于模型( 2 1 2 ) ，根据( 2 1 1 0 ) 式中采用的规则，使用拉格朗日乘法，构造 如下函数： = v r p f 一雪r p q 力尸雪+ 2 k r ( b 2 + g l 一矿) 分别令雾v - 0 鬈o s - 0 ，鬈= o ，可得到如下方程 a凹 。 。一。 6 一 ： 。 桂林理工大学硕士学位论文 p 矿一k = 0 p 鳓p s - k = 0 口r k = 0 在( 2 1 - 1 ) 式两边左乘，将( 2 1 5 ) 、( 2 1 1 3 ) 式代入得 b tp b 文= b t p ( l 一孰 由( 2 1 1 1 ) 、( 2 1 1 2 ) 及( 2 1 5 ) 式可得 ( p - p q w p ) s = p ( l - - b x ) 由于，一鳓p 为幂等阵，事实上， ( 2 1 1 1 ) ( 2 1 1 2 ) ( 2 1 1 3 ) ( ，一鳓尸) ( ，一鳓尸) = ，一q 品p q 力p 一9 y p 9 r p = ，一q i 缈p 由式( 2 1 1 4 ) 和式( 2 1 1 5 ) 可以看出由于缺乏系统参数s 所需要的外部条件， 是求不出未知数的唯一解的：为了获得未知参数的唯一解，可以将该问题归结为 秩亏网平差；采用秩亏网平差模型的解算方法口1 ，对s 给定了d 个基准约束的条 件，具体的基准约束条件曲1 如下： g r 尸：(116)s 0 21 6 g 1 只 = ( 1 d x nh 三n x i 式中r a n k ( g ) = d 。d = 以一r a n k ( q e r p ) ，而且 纵尸g = 0 式中，g 是矩阵p 的d 个零特征值所对应的d 个互不相关的特征向量所 构成的特征矩阵口3 ，这个矩阵可以由鱿p 的d 个特征方程所求出。还可以看出b 取值不同，所对应的基准约束条件也不相同，称只为基准权；换句话说就是不 同的最对应了所取的基准束也不相同。在最小二乘原理的基础上对拉格朗日函 数进行重新构造，具体公式口3 如下： = v 1 p v s 7 p q 阿p s + 2 k 1 ( g 7 9 s ) = m i n 矽= ( b x + s 一) 1p ( b x + s - l ) 一s 7 p g y 尸s 十2 k 1 ( g 7 s ) = m a n 分别令雾- 0 ，詈o ，豢_ o ，可得到如下法方程 由( 2 1 1 8 ) 得 b 1 p ( b x + s 一) = 0 p ( b x 七s u p q w p s + p ；g k = 0 g 。尸s = 0 d x n 磊n x l b r p b 露= b r p ( l 一) 7 ( 2 1 1 8 ) ( 2 1 1 9 ) ( 2 1 2 0 ) 桂林理工大学硕士学位论文 即j = ( 曰r p b ) 一b r p ( l 一雪) 将( 2 1 2 1 ) 入( 2 1 1 9 ) 式，化简得， b g k p 劬p l = 0 对( 2 1 2 1 ) 式两边左乘g r ，顾及( 2 1 1 6 ) 式得 g r p , c x = o 因二次型g r 尸g 不能为0 ，则必有 k = 0 因此拉格朗日函数变为： = ( b x + s 一) 7 尸( b 。y + s - l ) - s 7p q 力p s = v a i n 基于上面的公式，n - i n 看出，g r p i ) 一雪r p 锄西是一个衡量，未知参数附 加的基准约束条件和自由网在半参数模型下平差的最& - - 乘原则无关，也就是说 所取的基准约束条件不同不会对平差后的改正数矿有所影响口1 。 在k = 0 的条件下，式( 2 1 2 0 ) 左乘只g ，然后把相乘的结果与式( 2 1 1 9 ) 相加，可得： ( g o o r p + p 一尸鳓p ) 雪= p ( 三一雪) ( 2 1 2 5 ) 为了计算方便，不妨设矿= g g r p + p p q , p ，由于系数列满秩，则得非参数 分量的估计值为 雪= 矿p ( l b 2 ) ( 2 1 2 6 ) 将( 2 1 2 6 ) 代入( 2 1 1 8 ) 式得 b r p ( i 一形一1 p ) 放= b r p ( i w 一1 p ) l 岩= ( 占r p ( i w 一1 尸) b ) 一1b r p ( i w 一1 p ) l 2 1 2 模拟实例分析 这里采用相应的m a t l a b 软件对上面介绍的平差模型进行验证，具体方法是： 采用该软件对相应的模拟数据进行抽样检验。假设有一个线性模型y = b x ， x = 【13 1 1 ，b = ( ) 2 慨2 ，6 f l = i 4 0 ，6 f 2 = ( i 4 0 ) 2 ，i = l ，2 ，2 0 0 ，观测的误 差a n ( 0 ，1 ) ，则观测向量l = y + s + 。在这里不妨设权阵p 为单位阵，利用 最小二乘平差得： x - - ( b 7p b ) 1 8 1p l = ( 4 6 9 0 3 ，1 7 6 5 2 ) 应用式( 2 1 2 7 ) 岩= ( b 7 p ( i w 1 尸) b ) 叫b r p ( i w 。1 p ) = ( 4 6 9 0 3 ，1 7 6 5 2 ) t 从上述计算结果可以看出，经典的平差方法无法将系统误差和偶然误差分离 开来，只有引入新的信息，修改一下平差的准则，才有可能将非参数分量分离出 来，得到理想的结果。 2 1 3 补偿最小二乘估计法估计线性半参数模型 桂林理工大学硕士学位论文 通过上面的分析我们知道经典平差方法无法分离出参数分量，我就考虑线性 半参数模型或称之为部分线性模型盯1 。 s t o n e ( 1 9 7 7 ) 提出了半参数回归模型n 阳： l = b x + s + a( 2 1 2 8 ) e ( ) = 0 ，g ( 6 ，) = 0 ，d = q = 尸叫 式中l = ( ，厶) r ，a = ( l ，h 。) r ，b = ( 骂 oo 色) 7 均为n 维列向量 上，露是单位权中误差，s 是r l 维向量，用来描述系统误差的1 ：其中p 为的 单位权阵，d 为的方差阵，q 为的协因素矩阵h 1 。该模型中，参数x ，方程因 子露和函数s 都是未知的；提出该模型就是可以利用观测数据l 去估计它们的 值。 统计学上称观测方程中既含有非参数分量又含有参数分量的模型为半参数 回归模型，也称为偏线性回归方程n 引，由( 2 1 2 8 ) 式，可得半参数回归模型的 误差方程为： 矿：丑宕+ 一 ( 2 1 2 9 ) 由最小二乘原理v r p v = m i n 得到法方程 ( ? 曰嘲= b t p l 弦 方程( 2 1 3 0 ) 中共有t + n 个未知