大学物理(第二版)中国矿业大学出版社(1).doc

1.1有一质点沿着轴作直线运动，时刻的坐标为，试求： 第2秒内的平均速度 第2秒末的瞬时速度 第2秒内的路程。解： 当时， 当时，平均速度为 第2秒末的瞬时速度 第2秒内的路程：（在此问题中必须注意有往回走的现象）当时，速度，;当时， ;当时，;所以路程为：1.8一艘正在沿直线行驶的电船，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，即dv/dt=-kv2,试证明电艇在关闭发动机后又行驶x距离时的速度为v=v0e-kx式中，v0是关闭发动机后的速度。证明：由题可知： 所以有： 变换为： 两边同时积分就可得到： 即 所以有1.9迫击炮射击山顶上的一个目标，已知初速度为v0，抛射角为,上坡与水平面成a角，求炮弹的射程及到达山坡时的速度。 解：炮弹的运动轨迹如上图的虚线所示，如图建立坐标轴。将初速度沿坐标轴分解可得 加速度沿坐标轴分解可得 在任意时刻的速度为 任意时刻的位移为 炮弹射程为时，所对应的。对应的时刻，代入可得 将代入方程组可得 速度的大小为 = 方向可以由 1.14一质点沿半径为0.1（m）的圆周运动，其角坐标可用下式来表示：=2+4t3请问：（1）当t=2(s)时，法向加速度和切向加速度各是多少？（2）当角等于多少时，其总加速度与半径成45角。解：，角速度为 角加速度为 当时， 在时刻，法向加速度与切向加速度分别为 总加速度与半径夹角为时，可得 ，即 2.1 质量为的质点的运动方程为，求证质点受恒力而运动，并求力的方向和大小，采用国际单位制。解：质点的运动方程为， 那么通过对上式两边求导，便可得到速度加速度为： 因此质点所受的力为2.2 质量为的质点在平面内运动，质点的运动方程为，为正常数， 求质点的动量； 证明作用于质点的合力总指向原点。解： 由质点的运动方程可得质点的速度为： 质点的动量为： 质点的加速度为： 作用于质点的合力为： 方向为的方向，也就是总指向原点。2.3 圆柱重，半径，圆柱重，半径，都放置在宽度为的槽内，各接触点都是光滑的。求，柱间的压力及，柱与槽壁和槽底间的压力。解：分别以，为研究对象，受力分析如图所示，建立坐标系如图。对列方程有：轴： 轴： 对列方程有：轴： 轴： 在三角形中 通过解上述方程组，可以得到，2.5 质量m=2kg的均匀绳，长L=1m，两端分别连接重物A和B，ma=8kg, mb=5kg, 今在B端施以大小为F=180N的竖直拉力，物体向上运动，求张力T(X)解： 对整体进行受力分析，加速度向上为，根据牛顿第二定律有： 即 对进行受力分析，根据牛顿第二定律有： 得到 对一小段绳子受力如图，根据牛顿第二定律得： 两边积分得到2.6 在图示的装置中两物体的质量各为，物体之间以及物体与桌面间的摩擦系数都为，求在力的作用下两物体的加速度及绳内张力。不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。 解：对，分别进行受力分析如上图所示，取方向向右为正方向，轴方向向上为正方向。根据牛顿第二定律列方程，对有轴： 轴：对有方程，轴： 轴：方程组可以变为可得到 最后可以解得：， 2.9 一个半径为R的光滑球面顶点A放一滑块，滑块质量为m,从静止开始沿球面下滑，小滑块的位置可用角表示，求滑块对球面的压力与角的关系，并问滑块在何处离开球面？解：对滑块进行受力分析如图，建立自然坐标系： 根据牛顿第二定律列方程为：方向： 方向： ，式两边同乘可得：，两边同时积分可以得到： 代入式可得： 当滑块离开球面时，即，2.12 升降机中水平桌上有一质量为m的物体A，它被细线所系，细线跨过滑轮与质量也为m的物体B相连，当升降机以加速度a=g/2上升时，机内的人和地面上的人将观察到AB两物体的加速度分别是多少？解：（一）以升降机为参考系，和的受力如图所示：水平向右为轴的正方向，竖直向上为轴的正方向，根据牛顿第二定律列方程为：对： 对：解方程可得： 因此对机内的人来说，的加速度为：，的加速度为：（二）以地面为参考系， 建立坐标系与上边相同，根据牛顿第二定律列方程：对： 对： ，的加速度为：，的加速度为：2.13在一与水平方向成a=10的斜坡上，一辆车以a=0.3m/s2的加速度向上行使，车内有一质量为m=0.2kg,以地面参考系和车为参考系，求绳子的方向和张力。 解： （一）以地面为参考系。对小球进行受力分析。 小球相对于小车的加速度为，所以就是小球的绝对加速度。根据牛顿第二定律列方程： 方向： 方向：即：， （二）以加速度为的小车为参考系，则小球所受的力应该加一个沿着斜面向下的非惯性力。根据牛顿第二定律列方程： 同样得到上边的结果。2.14 抛物线形弯管的表面光滑，可绕竖直轴以匀角速率转动，抛物线方程为y=ax2,a为常数,小环套与弯管上。求（1）弯管角速度多大？（2）若为圆形光滑弯管，情形如何？求 解： 受力分析如图所示，根据牛顿第二定律有： 所以可得： 可以解得： 受力分析如图所示，根据牛顿第二定律有：但此时曲线方程变为： 2.15质量为m1的木块静止在光滑的水平桌面上，质量为m,速率为v0的子弹水平射入到木块内并与其一起运动。（1）木块的速率和动量，以及子弹的动量。（2）在此过程中子弹施与木块的冲量. 求 解： 在水平方向不受外力作用，所以在碰撞前后动量守恒。碰撞前只有子弹的动量；碰撞后子弹嵌入木块一起运动，设速度为。可得到方程： 子弹的动量为：，木块的动量为： 在此过程中，子弹施于木块的冲量为：2.16 已知绳子的最大强度T0=9.8N，m=500g,l=30cm.开始时m静止。水平冲量I等于多大才能把绳子打短？ 解：设绳子断时，的速度为。则有： 所以冲量为：2.17 一力F=30+4t作用在质量为10kg的物体上求：（1）在开始的两秒内，此力的冲量是多少？（2）要使冲量等于300N.S,此力的作用时间是多少？（3）如果物体的初速度为10m/s,运动方向与F相同，在（2）问的时间末，此物体的速度是多少？ 解： 可以解得时间为： 3.5 在半径为的光滑半球状圆塔的顶点上有一石块。若使石块获得水平初速度，问： 石块在何处脱离圆塔？ 的值为多大时，才使石块一开始便脱离圆塔？解：图略。 石块脱离圆塔时，只受重力作用。法线方向：由动能定理可得：代入可得： 所以用机械能守恒也可以。 石块一开始便脱离圆塔。则要求： 3.6 重量为的物体系于绳的一端，绳长为，水平变力从零逐渐增加，缓慢地拉动该物体，直到绳与竖直线成角，试用变力作功和能量原理两种方法计算变力做的功。 解：（一）变力作功。对物体进行受力分析如图，根据牛顿第二定律列方程：方向：方向：，因此变力所作的功为： （二）能量原理（机械能守恒，动能和势能相互转换）3.7 轻质不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体。圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向。框架质量为200g，自悬线静止于铅直位移开始，框架在水平力F=20N作用下移至图中位置，求圆柱体的速度，线长20cm。 解：以轻绳，圆柱体和框架组成质点组。 质点组所受外力有：圆柱体重力，框架重力，轻绳拉力和作用在框架上的水平力。其中和不做功。 质点组所受内力有：框架槽和小球的相互作用力，由于槽面光滑，所以，二力做功之和为零。 以地面为参考系，根据质点组动能定理： 表示绳长，表示圆柱体的绝对速度，表示框架的绝对速度，有关系式为： 投影可得：， 代入数据可得圆柱体的速度为：4.8 一均匀圆柱体半径为R，质量为m1,可以绕固定水平轴旋转，一细绳索长l，质量m2单层绕在圆柱体上，若悬线挂在圆柱体上的长度为x，求其角加速度与长度x的关系式，解：圆柱体相对于其中心的转动惯量为： 围绕在圆柱体上的绳索的长度为，质量为，相当于小圆环，其相对于中心的转动惯量为： 转动部分总的转动惯量为： 对转动部分以及悬挂在圆柱体外的绳索部分进行受力分析，根据牛顿第二定律和刚体的转动定律列方程为： 可得： 4.9 一半径R=15cm质量m=16kg的均质实心圆柱体。一条绳绕在圆柱体上，另一端系一质量m1=8kg的物体，求：（1）由静止开始1秒后物体下降的距离。（2）绳的张力解：图略。对圆柱体与物体组成的系统进行受力分析，圆柱体受绳子拉力形成的顺时针力矩；物体在重力与向上的拉力的作用下，有一向下的加速度。 根据牛顿第二定律和刚体的转动定律列方程为 联立方程可得： 代入数据得：，4.10 在阶梯形滑轮上绕两根细绳，下挂质量为m1和m2的两物体，滑轮半径为R和r，转动质量为I，求m1下降的加速度和两边绳中的张力？ 解：图略。对滑轮和物体分别受力分析。受向下的重力与向上的拉力，具有向下的加速度；受向下的重力与向上的拉力，具有向上的加速度；滑轮受、反作用力产生的逆时针力矩。 根据牛顿第二定律和转动定律列方程可得： 最后联立解方程可得： 4.12 质量为2.97kg，长为1m的均质等截面细杆可绕水平光滑的轴线O转动，最初杆静止于铅直方向，一弹片质量为10g，以水平速度200m/s射出并嵌入杆的下端，求杆的最大摆角。 解： 以弹片与细杆组成的系统为研究对象。弹片嵌入细杆前后角动量守恒。 弹片嵌入之前，系统的角动量为： 弹片嵌入细杆之后，一起运动时的角速度为，整体的角动量写为： ，角动量守恒等式为：，即 若先求出细杆与弹片组成系统的转动惯量：，那么角动量守恒等式可以写为： 弹片与细杆一起运动到停止的过程中，只有重力做功，所以可以运用机械能守恒或动能定理列方程。 弹片质心上升的高度为 细杆质心上升的高度为 根据动能定理可得方程： 或者 联立解方程可得： ，4.13 一质量为m1，速度为v1的子弹沿水平面击并嵌入一质量为m2=99m2,长度为L的棒的断点，求角速度 解： 子弹与细杆碰撞前后角动量守恒，碰撞前只有子弹以速度运动，碰撞后子弹嵌入细杆，并绕其中心轴转动。由于在碰撞过程中对中心轴的合力矩为零，所以角动量守恒。可列方程为： 最后可以得到：4.14 某经典脉冲星，半径为几千米，质量与太阳大致相等，转动角速度很大，试估算周期为50ms的脉冲星的转动动能？ 解：动能，其中转动惯量（球相对于中心轴的） 相关数据有：， 5.4 一质量为10g的物体作简谐振动，其振幅为24cm，周期为4s，当t=0时，位移为24cm,求：（1）在t=0.5s时，物体所在的位置；（2）在t=0.5s时，物体所受力的大小和方向；（3）在x=12cm处，物体的速度； 解： 已知条件： ， 当时， 运动学方程为： 时， 弹力的表达式为： 当时， 当，代入可得 根据运动学方程可知速度的表达式为： 由可知，从起始位置运动到处所转过的角度为或 所用的最少时间：5.5 一质点质量为2.5*10-4kg，它的运动方程为x=0.06sin(5t-pi/2),求：（1）振幅和周期;(2)初速度；（3）质点在初位置时所受的力；（4）在pis末的位移，速度和加速度； （5）能动的最大值； 解：运动学方程：， 振幅为：；周期为： 初位置为： 速度与加速度的表达式分别为： 5.10 弹簧下面悬挂质量为50g的物体，物体沿铅直方向的运动方程为x=2*10-2sin10t,平衡位置为势能零点，求(1)弹簧的弹性系数（2）最大动能（3）总动能 解：根据已知条件有：， 动能表达式为，其最大值为： 总能量为：5.11 两同向的谐振动，已知运动方程为x1=5cos(10t+0.75pi),x2=6cos(10t+0.25pi),式中x单位为厘米，t为秒，（1）求合震动的振幅和初相位；（2）若另有谐振动x3=7cos(10t+),则为何值量x1+x2的振幅最大？为何值时x2+x3的振幅最小？ 解： 根据已知条件有：， 合振幅为： 的振幅最大应满足条件： 的振幅最小应满足条件：5.12 有两个同振向，同周期的谐振动，其合震动的振幅为20cm,相位与第一振动的相位差为30，若第一振动的振幅为17.3cm，求第二振动的振幅及第一，第二两振动的相位差. 解： 根据余弦定理：，所以第一与第二振动的相位差为6.5 已知波源在质点的平面简谐波方程为：，均为常数，试求： 振幅、频率、波速和波长。 写出在传播方向上距波源处一点的振动方程式，此质点振动的初相位如何。 解： 振幅：, 周期： 频率： 波长：，波速为： 处质点的振动方程式为： 该质点振动的初相位为：6.6 一横波的方程为：，若，。试求：时，处的一点的位移、速度和加速度。解：， 频率为： 横波的方程为： 位移： 速度： 加速度：6.7 平面简谐波的方程为：，波源位于原点，求： 时波源及距波源处的相位。 离波源及两处的相位差。解： 时波源的相位： 距波源处的相位： 离波源及两处的相位差： 因此，离波源及两处的相位差为。6.8 有一频率为的平面简谐波，在空气中以速度的速度传播，到达人耳时，振幅为，试求耳中声音的平均能量密度及声强。解：频率，角频率： 平均能量密度为： 声强：6.9 同一介质中的两个波源位于两点，其振幅相等，频率都是，B比A的相位超前。若两点相距30m，波在介质中的传播速度为，试求连线上因干涉而静止的各点位置。解：以A点为坐标原点，AB连线为x坐标轴。波长： 设A点的振动方程为：，B点的振动方程为： 在A,B连线上的一点x处，A波源的方程为： B波源的方程为： 干涉时的相位差为： 干涉加强的条件为： 干涉减弱的条件： 通过计算可以得到： 在A,B两点之间因为干涉而静止的点为：，也就是在之间所有的奇数，因此也可以写为： 在A,B两点之间因为干涉而加强的点为：，也就是在之间所有的偶数。6.10 两点为同一介质中的两相干波源。其振幅皆为，频率皆为，但当A点为波峰时，B点恰为波谷。设在介质中的波速为，试写出由两点发出的两列波传到P点时干涉的结果。解：由题可知，所以：，波长：A 点为波峰时，B点为波谷，则A,B两相位差为。A,B两相干波源传到P点时的相位差为： 相位差为的奇数倍，所以干涉之后的结果是减弱的。合振幅为：7.2 一气球在17时，球中氢气的压强为2atm，求该气球内氢气的密度和分子数的密度。 解： 氢气的密度： 7.5 在容积为V的容器中盛有被试验的气体，其压强为p1，称得容器连同气体的重量为G1，然后放掉一些气体，气体的压强降至p2，再称得重量为G2，为在1大气压下气体密度是多少 解：已知条件：，；，为容器的质量。 根据理想气体的状态方程有： ， 7.6 一系统有图中的a态沿abc到达c态时，吸收了350J的热量，同时对外作126J的功，（1）如果沿adc进行，则系统作功24J，问这时系统吸收了多少热量。（2）当系统由c态沿曲线ca返回a态时，如果外界对系统作功84J，问这时系统是吸热还是放热？热量传递是多少？ 解：图略。根据已知条件，当系统沿过程进行时，可以得到 过程：，可以得到过程中吸收的热量为 过程：，外界