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多刚体系统运动分析及基于a s 的建模与动态模拟 摘要 多刚体系统动力学是在经典力学的基础上发展起来的一个新的学科分支， 它的研究对象是由多个刚体连接构成的系统，它的首要任务是研究建立系统的 适用于计算机的动力学模型的方法。本文就是在这一基础上对多刚体系统的方 程进行一定的研究，然后根据它的数值解，选定方便的数值算法，进行形象的 建模和仿真动态模拟。本文中在对多刚体机构进行分析的同时巧妙地结合了连 杆机构中的一些原理和比较方便的公式，使得在算法分析和程序设计上更加方 便。通过本文可以对多刚体系统机构之间的关系以及协同工作的原理有更进一 步的认识。 文章首先对开式链机构做了系统的分析和动态模拟，这是因为开式链机构 是反向运动学的典型机构，有了对它的系统认识，才能更好地理解本文的许多 工作。文章最后将运用运动学中的正向运动学原理对机器人机构进行了一定的 分析和动态模拟。 关键词：多刚体系统动力学连杆机构动态模拟 m u l t i r i g i d b o d ym o t i o na n a l y s i ss y s t e ma n d t h e a s b a s e dm o d e l i n ga n dd y n a m i cs i m u l a t i o n a b s t r a c t m u l t i r i g i d b o d ys y s t e md y n a m i c sa r ea tt h e b a s i so fc l a s s i c a lm e c h a n i c s d e v e l o p e dan e wi n t e r d i s c i p l i n a r yb r a n c ho fi t so b j e c to fs t u d ya r ec o n n e c t e db ya n u m b e ro fr i g i db o d yc o n s i s t i n go fs y s t e m s ，i t sp r i m a r ym i s s i o ni st os t u d yt h e e s t a b l i s h m e n to fs y s t e md y n a m i c sa p p l i e dt ot h ec o m p u t e rm o d e l t h i sa r t i c l e1 s b a s e do nt h em u l t i r i g i d b o d ys y s t e me q u a t i o n sm u s ts t u d y ，t h e nt h eb a s i so f i t s n u m e r i c a ls o l u t i o n ，s e l e c t e dt o f a c i l i t a t et h en u m e r i c a la l g o r i t h m f o rt m a g e m o d e l i n g a n ds i m u l a t i o no fd y n a m i c s i m u l a t i o n i nt h i s a r t i c l eo nt h e m u l t i r i g i d b o d ya n a l y s i so fi n s t i t u t i o n s a tt h es a m et i m ec l e v e r l yc o m b i n e st h e l i n k a g ep r i n c i p l ea n ds o m eo ft h em o r ec o n v e n ： e n tf o r m u l a ，m a k e st h ea l g o r l t n m a n a l y s i sa n dp r o g r a md e s i g no nm o r ec o n v e n i e n t t h r o u g h t h es t u d yo ft h i sa r t l c i e c a nb em u l t i r i g i d b o d ys y s t e m o fr e l a t i o n s h i p sb e t w e e n i n s t i t u t i o n s ，a n d c o l l a b o r a t i v ew o r kh a sf u r t h e rr e c o g n i z et h ep r i n c i p l e a r t i c l ef i r s to fa ns t a r to f fc h a i na g e n c i e st o d oas y s t e m a t i ca n a l y s i sa n d d y n a m i cs i m u l a t i o n ，b e c a u s eo p e n c h a i ni n v e r s e k i n e m a t i c sa r et y p i c a li n s t i t u t l o n s ， h a v et h es y s t e mr e c o g n i z ei t ，t of a c i l i t a t et h eu n d e r s t a n d i n g b e h i n dt h ep r i n c i p l eo f p r o d u c t i o nb yr e v e r s ek i n e m a t i c st h ec r a n k r o c k e rm e c h a n i s m ，a n df i n a l l yt h e u s e o ff 0 刑a r dk i n e m a t i c so fr o b o tk i n e m a t i c sp r i n c i p l ea g e n c i e sm u s ta n a l y s i s a n d d y n a m i cs i m u l a t i o n k e yw o r d s ：m u l t i r i g i d 。b o d ys y s t e md y n a m i c s ；l i n k a g e ；d y n a m i c ；s i m u l a t i o n 插图清单 图2 1 平面两连杆关节型操作器3 图2 2 平面两连杆关节型操作器工作空间7 图2 3 单一杆件模型一8 图2 4 单一铰模型9 图2 5 单一工作空间模型1 0 图2 - 6 单一铰支座模型1 2 图2 7 两连杆模拟图1 4 图2 8 两连杆位形图1 5 图2 - 9 两连杆等长模型图1 5 图3 1 曲柄摇杆机构运动模型1 6 图3 2 局部方法示意图1 8 图3 3 曲柄摇杆机构说明图：k 1 9 图3 4 曲柄摇杆机构死点位置2 0 图3 5 曲柄与摇杆角度2 0 图3 - 6 曲柄与摇杆角度关系2 1 图3 7 曲柄角速度2 1 图3 8 摇杆角速度2 2 图3 - 9 曲柄与摇杆角速度2 2 图3 1 0 摇杆角加速度图2 3 图3 11 曲柄与摇杆切线速度方向2 3 图3 1 2 曲柄与摇杆速度2 4 图3 1 3 曲柄加速度2 4 图3 1 4 曲柄与摇杆加速度方向2 5 图3 1 5 摇杆加速度2 5 图3 1 6 曲柄与摇杆加速度：2 6 图3 1 7 连杆模型2 8 图3 1 8 支座模型3 1 图3 1 9 铰链四连杆机构的速度瞬心。3 2 图3 2 0 确定瞬心p 坐标示意图3 2 图3 2 1 动态模拟效果3 5 图4 1 ( a ) 和( c ) 是树状结构，( b ) 是非树状结构4 4 图4 2 机械手示意图4 5 图4 3 腾空的运动员示意图4 5 图4 4 人体多刚体系统的有向系统图4 6 图4 5 所有弧u 。都背离顶点s o 的有向系统图5 0 图4 - 6 人体简化成1 0 个刚体的多刚体系统图5 2 图4 7 平面运动中的拟人体5 2 图4 8 机器人系统动态模拟效果5 4 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得金胆至些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 靴敝储婵静器辨嘲：哆年争肌妒 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 金起王些太堂 有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人 授权 金胆王些盔堂 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签辄岛们镩 导师签名： 签字日期： 口夕年牛月f4 日 签字日期： 工作单位：乏渗萎术冷诧 通讯地址：杀i 蒡本歹厕磷杉形丢乞i 岁济中专 电话；一8 6 6 7 容弓) 石弓 邮编。t 卑，l 7 f 心 参 胡 倒 乏哆 致谢 在这里我要深深的感谢我的导师王左辉教授，王老师待人热情随和的性格， 治学严谨踏实的态度，以及渊博的学术知识，精益求精的敬业精神，诲人不倦 的高尚品格都使我深受感动和教育。王老师对工作兢兢业业，对科研一丝不苟 的作风深深地影响了我，从王老师身上我不但学习到了很多专业上的知识，更 加学会了为人处世的道理，使我更加明确了将来要如何做人。论文从立题开始， 到最后完成，无不浸透着王老师的心血。近三年的时间里，王老师把多年来教 学科研工作中积累的宝贵经验无私的传授给我，对我的谆谆教诲使我永生难忘。 除了学习以外，王老师还非常关心我的生活，使我对生活更加充满了自信，在 此我再一次向王老师表示深深的感谢和诚挚的敬意。 感谢牛忠荣教授、盛宏玉教授、周焕林副教授、刘一华教授、高玉华书记 他们对我学习上的指导和帮助，感谢我的师兄周华聪、李宏、师妹刘洁瑾、师 弟吴纪军、好友徐宏波、李耀、林正祥、涂漫燕、对我学习和生活上的帮助。 非常感谢父母的养育之恩，他们勤劳朴实的作风、善良坦诚的品德深深的 影响着我，是我一生的榜样。 最后忠心感谢本文引用的参考文献的作者们以及将审阅作者论文的老师， 感谢他们为本文所付出的辛勤劳动。 作者：高树清 2 0 0 9 年3 月1 4 日于合肥 第一章绪论 1 1 多刚体系统动力学简介 多刚体系统动力学是在经典力学基础上产生的新学科分支，其理论和研究 方法多分散于各种文献中。对于刚体的平面运动或定轴转动的主要研究对象是 单个刚体，研究成果可以解释一些重要的力学现象。但对于相互联系的两个以 _ l ：l 习l l 体的研究只有如双复摆、陀螺体及万向支架陀螺仪等几种特珠问题。 1 2 多刚体系统动力学的几点研究 1 2 1 研究内容 在本篇论文中刚体系统指的是任意有限个刚体的组合，它们之间以某种形 式的接头相连结，这些接头可以是理想完整约束、非完整约束、定常约束或非 定常约束。研究这些系统的动力学需要建立非线性运动方程、能量表达式、运 动学关系式以及其它一些量的公式。 1 2 2 研究任务 对于复杂机械系统人们关心的问题大致有三类。一是在不考虑系统运动起 因的情况下研究某个部件的位置与姿态以及它们变化速度与加速度的关系，称 为系统的运动学分析。二是当系统受到静载荷作用时，确定在运动副制约下的 系统平衡位置以及运动副静约束力，这类问题称为系统的静力学分析。三是讨 论载荷与系统运动的关系，即动力学问题。 1 2 3 研究特点 多刚体系统动力学不同于一般力学研究的对象，它是由两个或两个以上刚 体通过铰链等约束互相联系在一起而构成的力学系统。自行车通常可看成一个 多刚体系统；人体在某种意义上也可以简化成一个多刚体系统。 对于多刚体系统，利用图论的工具可以一般地分析多刚体系统的构造，建 立系统的数学模型和动力学方程组。也可从分析力学中的高斯原理出发，用求 极值的优化算法直接求解系统的运动和铰链反力。由于问题复杂，无论采用哪 一种方法，多刚体系统的研究都离不开电子计算机。 现代航天器、机器人、人体和仿生学中关于动物运动规律的研究等等都提 出了多刚体系统的一系列理论模型作为研究对象。依照多刚体系统动力学的理 论和方法，广泛采用电子计算机对这些模型进行研究，对于精确地掌握这些对 象的运动规律是很有价值。 1 2 4 研究方法 现代科学技术的发展，尤其是车辆、航天器、机构、机器人等工业技术的 发展，使多刚体动力学的研究受到极大的冲击。这种新情况可以概括为两个方 面： 出现了由大量刚体组成的工程对象，各个刚体部件作不受限制的大位移 运动。 出现了计算能力飞速增长的数字计算机，从而使对复杂系统进行大规模 数字仿真计算的可能性成为现实。 处理由多个刚体组成的系统，原则上都可利用传统的经典力学方法，即以 牛顿一一欧拉方程为代表的矢量力学方法或以拉格朗日方程为代表的分析力学 方法。但随着组成系统的刚体数目增多，刚体之间联系状况和约束方式变得极 其复杂。对作为隔离体的单个刚体列写牛顿一一欧拉方程时，铰约束力的出现 使未知变量的数日明显增多。因此即使直接采用牛顿一一欧拉方法，也必须加 以发展。制定出便于计算机识别刚体联系状况和约束形式的程式化方法，并致 力于自动消除铰的约束反力。 矢量力学的另一个发展方向是b j h a u g 和p e n i k r a v e s h 提出的最大数量坐 标法。这种方法对系统内单个刚体列写动力学方程，并利用拉格朗日乘子以处 理刚体之间的完整或非完整约束。虽然系统的坐标数量远远大于自由度，且增 加了待定的以拉格朗日乘子形式出现的约束反力，但由于方程建立过程的高度 程式化，适合计算机处理，近年来在机器人和车辆动力学中得到广泛应用。 在分析力学方法中，应首先想到拉格朗日方程。由于采用了广义坐标，且 不出现铰的理想约束反力，可使未知变量的数目减少到最低程度。但随着刚体 数和自由度的增多，动能和势能函数的项数急剧扩张，求导数的计算工作量庞 大，且容易出错。推导过程虽然繁琐却十分程式化，便于用计算机代替手工操 作。以m a c h a c e 为代表的研究工作即致力于使拉格朗日方程推导过程的计算 机化【2 】 【5 1 。 1 3 关于a s 的说明1 6 j 。1 1 0 1 a s 是动作脚本语言的简称，全名为a e t i o n s c r i p t 。它的功能十分强大，这 里简单说明。a s 当今已经发展成真正的面向对象程序设计语言，它除了有着和 其他语言同样的强大功能，更具有独特且出色的动画制作功能，可以用于各种 动画制作，也是日渐兴起的多媒体c a i 课件制作软件。多媒体课件能将教学中 抽象、微观和宏观的知识，以动画的形式表现出来，提高了学生对内容的理解 和认识，增强了学习兴趣。利用a s 语言，可以制作出各类复杂的交互性教学 软件，大大丰富和增强了教学软件的功能。 ， 由于用a s 绘制的图形均为矢量图形，所以这类课件进行缩小和放大，将 不会影响画面的质量。利用a s 既可以制作适宜网络上运行的丰富媒体，还可 以制作所谓的a d o b ea i r ( a d o b ei n t e g r a t e dr u n t i m e ) ，它是一个跨操作系统 运行的平台，利用现有的w e b 开发技术( f l a s h ，f l e x ，h t m l ，j a v a s c r i p t ， a j a x ) 来构建富i n t e r n e t 应用程序并部署为桌面应用程序。 2 第二章开式链机构 2 1 开式链机构的运动 下图所示为一平面两连杆关节型操作器的简图。其中o a 和a b 两直杆通过 彳铰连接，d 为固定铰1 1 1 。 图2 1 平面两连杆关节型操作器 2 1 1 正向运动学问题 在正向运动学问题中，已知的是各关节的位置坐标岛，岛及其各阶段导数 岛，幺( 关节速度) 和巨，晓( 关节加速度) 需要求解的是操作器臂端点b ( 即 目标点) 的位置、速度和加速度。 首先分析正向运动学的位置问题。在图2 1 中，若用只表示从各关节中心 到相应连杆末端的矢量，用只表示从固定直角坐标系的原点到第f 个连杆末端 的位置矢量，则由图中可以看出 只= 只只= 只+ 片 而矢量p ，可以写成如下的矩阵形式： 只= 三：善p z = z 2 兰譬：鲁二乏； 由图中可知，操作器臂端b 点的位置，可以用矢量尸2 或占点的直角坐标 ，yb 表示，即 如巩 + + 邮吣 + + 秒9 = x y e 而固连在臂端的末端执行器的姿态角伊，可以用连杆2 在直角坐标系中的方位 来表示，即 缈= 0 l + 0 2( 2 2 ) 下面分析正向运动学的速度问题。将式( 2 1 ) 式两边对时间求导，即可得到其 速度的求解公式 之= ；： = - 1 1 0 , si n 0 l + - ，：1 2 。( 痧o 。l + + 痧o ：2 ，) c s 。i s n 。( 秒o 1 二乏； = z 厶s l n ：1 + - ：1 2s i n ( o 。, + + 0 ：2 ；- ：1 2s i n ( o 。l + + 0 秒2 i c o s0l c o s ( o 0 ie o s ( e02 ) 7 爱 = ， 雪： c 2 3 ， l ll + 2l +2 )21) jl 矽2j l 痧2j l 二。j 7 式中，矩阵 一，2s i n ( # l + 乡2 ) l ，2e o s ( o l + 0 2 ) j 8 x a 幺 a y a 乡1 a x a 秒2 a y a 秒2 ( 2 4 ) 称为操作器的雅可比矩阵。在机器人学领域，雅可比矩阵是关节速度和操 作器臂端的直角坐标速度之间的转换矩阵。 至于操作器臂b 点的加速度，可通过将式( 2 3 ) 两边对时间再次求导得到。 2 1 2 反向运动学问题 在反向运动学中，已知条件是工作所要求的操作器末端执行器的位置、速 度和加速度，需要求解的是操作器各关节的运动参数。 首先来分析反向运动学的位置问题。如果工作要求的臂末端的位置坐标为 ，虼，则由式( 2 1 ) 可得 2 + 少；= 【c o so l + 乞c o s ( o , + 幺) 】2 “s i no l + 2s i n ( a 1 + 吼) 】2 = l j + l j + 2 l , 1 2c o s0 ， 一 由此可得 c o s 吼= 掣 ( 2 5 ) 为了使( 2 5 ) 式有解，等式右边的值应该在1 到+ 1 之间，在求解计算时，必 须要检验这一约束条件，以判断是否有解存在。事实上，如果不满足这个约束 条件，那么说明所给定的臂端的目标位置过远，已超出了该操作器的工作空间。 如果所给定的目标点在操作器的工作空间内，则可以得到 s i n 吼= 扛丽( 2 6 ) 然后即可用这两个变量的反正切公式计算关节角0 ： 4 )办巩 + + 限 n s 酊 乞： 一 “ 枷峨 s 0c 一，q pl = ， ”a r c t a n 器 ( 2 7 ) 这里，在确定乡2 时，采用了同时确定所求关节角的正弦和余弦，然后求 这两个变量的反正切的方法。这样，既可以保证求出所有的解，又保证了求出 的角度是在正确的象限内。 ( 2 7 ) 式有两个解，它们大小相等，正负号相反，这说明到达所给定的目标 点的位形有两个，一个如图2 1 中的实线所示( 0 2 为正，肘向上) ，另一个如图 2 1 中的点线所示( 臼：为负，肘向下) 。需要指出的是，在两个自由度平面关 节型操作器的情况下，这两组解所对应的末端执行器的姿态是不同的。 关节角秒2 求出后，即可以进一步来求解关节角幺。为此，首先来确定图 2 1 中的角和口角，由图可知 1 ，一 = a r c t a n 业( 2 8 ) x b 。 角可以在任一象限内，它取决于所给定的目标点的坐标和的符号。 而口角可通过余弦定理求得 譬= x 占2 + y ；+ 印一2 x ；+ 少三c o s 口 即 口= c 。s 蔓羔藿丝 2 l 。x 三+ j ，； 很显然，0 。口180 。 由此可得 0 1 = 口 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 式中的正负号按下述原则确定：当0 ： o 时取负号。 反向运动学的速度问题，可通过将( 2 3 ) 式两边同乘一个j 。( 雅可比矩阵 的逆矩阵) 来求解，即 引一倒 亿 该式表明：操作器各关节的速度，可以通过其雅可比矩阵的逆矩阵和给定的操 作器臂末端在直角坐标系中的速度求得。 当已知操作器臂末端在直角坐标系中的速度，利用上式来求解各关节速度 时，首先需要判断其雅可比矩阵是否可以求逆。由线性代数可知，一个矩阵有 逆的充要条件是其行列式的值不为零。对于平面两连杆关节型操作器，由( 2 4 ) 式可知，其雅可比矩阵的行列式的值为 i ，i = 一，l ，2s i n 口lc os ( e l + 臼2 ) 一z ；s i n ( 秒l + 秒2 ) c os ( a l + 臼2 ) + 1 1 1 2c o sbs i n ( t 9 1 + 幺) + 譬s i n ( o l + 吼) c o s ( e , + 色) 整理后得 i j i = i i z 2s i n 口2 ( 2 1 2 ) 该式表明，当岛= 0 。或1 8 0 。时，雅可比矩阵的行列式的值为零，此时其逆矩阵 不存在。从物理意义上讲，当岛= 0 。时两连杆伸直共线；当岛= 18 0 。时，两连 杆重叠共线。在这两种情况下，臂末端只能沿着垂直于手臂的方向运动，而不 能沿着连杆2 的方向运动。这意味着在该操作器工作空间的边界上，操作器将 不再是一个2 自由度的操作器，而变成了仅具有1 个自由度的操作器。这样的 位置称为操作器的奇异位置。在奇异位置，有限的关节速度不可能使臂末端获 得规定的速度，这同曲柄滑块机构中的死点位置相类似，在死点位置，滑块的 速度为零，有限的曲柄转速不能使滑块获得其它规定的速度。 为了进一步了解奇异位置的特点，下面分析关节速度求解的一般表达式 j0 | _ 广降i l 幺jl 儿j 1 r 乞c o s ( o , + 岛) 一乞s i n e 2l c o s 8 l 一乞c o s ( o , + 岛)镒s i no , 鼍s i n ( e lj 刘 一乞+ 岛) - | l 弗j 。“。7 该式表明：在奇异位置( 岛= 0 0 和易= 1 8 0 。) ，为了使臂末端具有规定的速 度，要求关节速度必须达到无穷大；在奇异位置附近，为了使臂末端具有规定 的速度，需要有限的但是非常高的关节速度日，幺。奇异位置的这一特点将会 给机器人的控制带来麻烦。 2 2 工作空间 该2 自由度平面关节操作器的工作空间可以用下式来描述 i 厶一乞l + 以( + 厶) ( 2 1 4 ) 其工作空间为一圆环面积，该圆环的中心同固定铰链点0 重合。圆环的内 半径和外半径分别为l ，l z ：i 和+ 乞，如图2 - 2 ( a ) 所示。在该工作空间内的每 一点，末端执行器可取得两个可能的姿态；而在工作空间边界上的每一点，末 端执行器只能有一个可能的姿态。因此，该工作空间为操作器可达到的工作空 间。 若对于给定的z l + z 2 ，设计时取毛= 乞= z ，即让两连杆等长，则此时工 作空间可用下式来表示 0 x 三+ y 三2 1 6 赋0 泛； ( a ) 焉弧一 蔫罗 图2 - 2 平瑟两连杆关节型操作器工作空闯 工作空间为一圆面积，如图2 - 2 ( b ) 所示，在圆心点，末端执行器可取得任 意姿态， 有了上面的对两连杆关节型操作器的理论认识，和运动过程的精确分析， 我们来对其进行模型的建立以及运动模拟【1 2 h 16 1 。 2 3 平面两连杆模型的制作 所有模拟都要来源于程序，而所有的程序编写都要有理论基础。本文面向 构件开发程序，所有的模拟都从简单构型开始，花大力气制作各种元件，即构 造各种构件类，使这些类具有重用性，这样好为搭建各种机构作铺垫，让复杂 机构以简单机构的复合或者继承来实现。下面主要介绍各种类代码中的构型部 分。 绘制思路：首先绘制圆角矩形杆件，然后在杆件两端绘制两个圆形来作为 杆件的铰，圆形的半径取杆件宽度的一半，以此作为连接杆件转动的铰模型【l 7 1 。 2 3 1 圆角矩形模型的绘制方法 圆角矩形模型具体绘制应用到了a c t i o n s c r i p t 3 0 语言中的绘制圆角矩形的 语句： d r a w r o u n d r e c t ( x ：n u m b e r , y ：n u m b e r , w i d t h ：n u n b e r , h e i g h t ：n u m b e r , e l l i p s e w i d t h ：n u m b e r ，e l l i p s e h e i g h t ：n u m b e r ) ：v o i d 关键程序如下： p r i v a t ef u n c t i o nc r e a t e b a r ( w i d t h ：n u m b e r ，h e i g h t ：n u m b e r ) ：v o i d r e c t g r a p h i c s c l e a r ( ) ；清除原先的图形 7 r e c t g r a p h i c s 1 i n e s t y i e ( 15 o x o o o o o o ) ；h 黑色的线 r e c tg r a p h i c sb e g i n f i l l ( 0 x 0 0 f f f f ) ；填充颜色 f e e t g r a p h i c s d r a w r o u n d r e c t ( - h e i g h t 2 ，一h e i g h t 2 ，w i d t h + h e i g h t ，h e i g h t ，h e i g h t , h e i g h t ) ；画圆角直径等于高度的圆角矩形，用于表现具有圆角的杆 r e e tg r a p h i c s e n d f i l l o ；结束填充 闰2 - 3 单一杆件摸型 23 2 铰模型的绘制方法 铰模型具体绘制应用到了a c t i o n s c r i p t 30 语言中的绘制圆圆形的语句 d r a w c i r e l e - ( x ：n u m b e r ，y ：n u m b e r , r a d i u s ：n u m b e r ) ：v o i d 关键程序如下； p r i v a t ef u n c t i o nc r e a t e c i r c l e ( r a d i u s ：n u m b e r ) ：v o i d c i r c l eg r a p h i c sc l e a r o ；请原先的图形 c i r c l eg r a p h i c sl i n e s t y l e ( 1 5 0 x 0 0 0 0 0 0 ) ；黑色的线 c i r c l e g r a p h i c sb e g i n f i i l ( 0 x o o f f f f ) ；，填充颜色 c i r c l eg r a p h i c sd r a w c i r c l e ( o ，0 ，r a d i u s ) ； c i r c l eg r a p h i c se n d f i l l o ；结束填充 c i r c l eg r a p h i c sb e g i n f i l l ( o x o o c d f f ) ；i 填充颜色 c i r c l e g r a p h i c sd r a w c i r c l e ( 0 ，0 ，r a d i u s 2 ) ； c i r c l e g r a p h i c s e n d f i l l ( ) ；结束填充 图2 - 4 单一饺模型 2 3 3 工作空间模型的绘制方法 工作空间模型的绘制应用到了理论当中的两个连杆之间的公式关系，用上 面所述的画圆形的方法绘制两个圆形图形，在这两个圆形图形之间填充上颜色， 这两个圆形的半径以理论中推出来的h 一如l 和z l + 屯为基础，两个圆形重叠 后以i z 。一f 2 l 为半径的圆形则没有了颜色，剩下的带有颜色的图形即为我们想要 的两连杆关节型操作器的工作空间 关键程序如下： p d v m ef u n c t i o ne r e a t e s p a c e ( _ r a d i u s i n ：n u m b e r , 一r a d i u s o u t ：n u m b e r ) ：v o i d s p a c eg r a p h i c s c l e a r ( ) ；清除原先的图形 s p a c e g r a p h i c sl i n e s t y l e ( o 5 ，0 x 0 0 0 0 f f ) ；黑色的线 s p a c e g r a p h i c s b e g i n f i l l ( 0 x 0 0 0 0 f f a l p h a = 02 ) ；填充颜色 s p a c eg r a p h i c sd r a w c i r e l e ( 0 ，o , _ r a d i u s o u t ) ；画# s p a c e g r a p h i c s d r a w c i r c l e ( o o , r a d i u s i n ) ；h 画内圆 s p a c e g r a p h i c s e n d f i l i o ；结束填充 田2 - 5 单一工作空问模型 234 支座模型的绘制方法 在支座的绘制中应用到了上述的绘制矩形，绘制圆形以及a c t i o n s c r i p t 3 0 语言中的画线功能，首先在纸上把自己想要绘制的支座模型用笔把大体的轮廓 画出来，这样有利于我们进行下一步的思考 关键程序如下： p u b l i cc l a s ss u p p o r t s p r i t ee x t e n d ss p r i t e p u b l i cf u n c t i o n s u p p o n s p r i t e ( r a d i u s ：n u m b e r , b o r d e r ：n u m b e r , b o r d e r c o l o r ：u i n t ，c o l o r ：u i n t 。a l p h a ：n u m b e r ，t h i c k n e s s ：n u m b e r , s p a c e ：n u m b e r ) ( 生成杆的外框和背景色 面地基开始 v a ts u p p o n b g ：s p t e = n e ws p r i t e ； v a tf i l l t y p e ：s t r i n g = g r a d i e n t t y p e l i n e a r ； v a rc o l o r s ：a r r a y = 【0 x 3 0 0 f f f f , 0 x 0 0 f f f f ； v 盯a l p h a s ：a r r a y = 【1 ，0 】； v a tr a t i o s ：a r r a y = 【0 ，2 5 5 ； v a tm a t r ：m a t r i x = n e wm a t r i x o ； m b t r c r e a t e g r a d i e m b o x ( 1 0 0 ，2 * r a d i u s ，m a t h p i 2 , 0 ，2 4 + r a d i u s ) ； v a ts p r e a d m e t h o d ：s t r i n g = s p r e a d m e t h o d p a d ； s u p p o r t b g g r a p h i c sb c g i a g r a d i e n t f i l l ( f i l l t y p e ，c o l o r s ，a l p h a s ，r a t i o s ， m a t r , s p r e a d m e t h o d ) ； s u p p o r t b g g r a p h i c s 1 i n e s t y l e ( 0 ，b o r d e r c o l o r , 0 ) ： s u p p o r t b g g r a p h i c s m o v e t o ( - r a d i u s 謇3 ，2 8 半r a d i u s + r a d i u s 3 ) ： s u p p o r t b g g r a p h i c s 1 i n e t o ( r a d i u s 3 ，2 8 木r a d i u s + r a d i u s 3 ) ： s u p p o r t b g g r a p h i c s c a r v e t o ( r a d i u s 宰2 3 ，4 5 * r a d i u s ，r a d i u s 3 ，4 母r a d i u s ) ： s u p p o r t b g g r a p h i c s c u r v e t o ( - r a d i u s 牛2 ，5 木r a d i u s ，r a d i u s 幸3 ，2 8 * r a d i u s + r a d i u s 3 ) ； 画地基结束 画梯形开始 s u p p o r t b g g r a p h i c s 1 i n e s t y l e ( b o r d e r , b o r d e r c o l o r ) ； s u p p o r t b g g r a p h i c s b e g i n f i l l ( c o l o r ) ； s u p p o r t b g g r a p h i c s m o v e t o ( o ，o ) ； s u p p o r t b g g r a p h i c s 1 i n e t o ( r a d i u s * 8 9 ，o ) ： s u p p o r t b g g r a p h i c s 1 i n e t o ( r a d i u s * 3 2 ，2 8 * r a d i u s ) ： s u p p o r t b g g r a p h i c s 1 i n e t o ( - r a d i u s * 3 2 ，2 8 * r a d i u s ) ： s u p p o r t b g g r a p h i c s 1 i n e t o ( r a d i u s * 8 9 ，o ) ； s u p p o r t b g g r a p h i c s 1 i n e t o ( 0 ，o ) ； s u p p o r t b g g r a p h i c s e n d f i l l o ； 画梯形结束 画矩形 s u p p o r t b g g r a p h i c s 1 i n e s t y l e ( b o r d e r , b o r d e r c o l o r ) ； s u p p o r t b g g r a p h i c s b e g i n f i l l ( c o l o r ) ； s u p p o r t b g g r a p h i c s d r a w r e e t ( 一r a d i u s 牛7 3 ，2 8 木r a d i u s ，r a d i u s * 14 3 , r a d i u s 3 ) ： 画两个螺帽 s u p p o r t b g g r a p h i c s d r a w r e c t ( - r a d i u s 幸2 2 ，2 6 母r a d i u s ，r a d i u s 木0 4 ，0 2 * r a d i u s ) ： s u p p o r t b g g r a p h i c s d r a w r e e t ( r a d i u s 幸1 8 ，2 6 幸r a d i u s ，r a d i u s ，i c 0 4 ，0 2 * r a d i u s ) ： s u p p o r t b g g r a p h i c s e n d f i l l 0 ； 画圆 s u p p o r t b g g r a p h i c s b e g i n f i l l ( e o l o r ) ； s u p p o r t b g g r a p h i c s d r a w c i r c l e ( 0 ，0 ，r a d i u s ) ； s u p p o r t b g g r a p h i c s e n d f i l l 0 ； l i 画辘 s u p p o r t b g g r a p h i c s b e g i n f i l l ( o x o 0 0 0 0 0 ，0 3 ) ； s u p p o r t b g g r a p h i c s d r a w c i r c l e ( 0 ，0 ，r a d i u s 2 ) ； s u p p o r t b g g r a p h i c s e n d f i l l 0 ； 画地基线 1 l s u p p o r t b g g r a p h i c s 1 i n e s t y l e ( 15 b o r d e rb