（应用数学专业论文）关于pm空间中非线性算子若干问题的研究.pdf

关于p m 空间中非线性算子若干问题的研究 摘要 概率度量空问中元素之间的距离是用分布函数来度量的，并且通 常的度量空间都是概率度量空间的一个特殊情况，所以研究概率度量 空间中的非线性算子具有非常重要的意义本文主要研究概率度量空 间中非线性算子的理论与应用全文分为四章 第一章，介绍了概率度量空间中算子理论的历史背景、现状以及 概率度量空间中的预各知识 第二章，在概率赋范线性空间中用拓扑度的方法研究了紧连续算 - - t 三：r ( ：”的不动点存在性问题，并给出了一个微分方程的应用 第三章，研究了非线性算子r 的固有值与固有元问题，建立了紧 连续算子丁有大于1 的固有值y 和a 上存在对应于y 的固有元的一系 列充分条件，最后讨论了算子方程t x = 肛+ p o , z 1 ) 解的存在性问题 第四章，利用泛函在概率度量空间中引入半序，并利用此半序的 方法研究了概率度量空间中的非线性算子方程l x ：a x 的可解性问题， 得到t j l 个新的结论，同时推广了一系列重要定理 关键词：m e n g e rp n - 空间；紧连续算子；拓扑度；算子方程；半 序 r e s e a r c ho ns o m ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a ro p e r a t o r s i np m s p a c e s a b s t r a c c i np r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e s ，t h ed i s t a n c eb e t w e e nt w oe l e m e n t si sm e a s u r e db y ad i s t r i b u t i o nf u n c t i o na n da l lo r d i n a r ym e t r i cs p a c ec a nb ev i e w e da sas p e c i a lc a s eo f ap r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e c o n s e q u e n t l y , t h er e s e a r c ho fn o n l i n e a ro p e r a t o r si n p r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e si so fg r e a ts i g n i f i c a n c e i nt h i st h e s i s ，s o m ep r o b l e m sf o r n o n l i n e a ro p e r a t o r sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n si np ms p a c c sa r es t u d i e d i ti sd i v i d e di n t o t h ef o l l o w i n gf o u rs e c t i o n s i nc h a p t e ro n e ，t h eb a c k g r o u n d sa n dc u r r e n ts i t u a t i o no fo p e r a t o rt h e o r yi np m s p a c e sa r ci n t r o d u c e da n dt h ep r e l i m i n a r i e so fp ms p a c e si sg i v e n i nc h a p t e rt w o ，u t i l i z i n gt h et o p o l o g i c a ld e g r e em e t h o d ，t h ee x i s t e n c eo ff i x e d p o i n t sf o rc o m p a c tc o n t i n u o u so p e r a t o r s l t ( 肛1 ) i np ns p a c e si ss t u d i e da n da n 肛 a p p l i c a t i o nf o rac l a s so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sg i v e n i nc h a p t e rt h r e e ，s o m ep r o b l e m so ft h ei n t r i n s i cv a l u ea n dt h ei n t r i n s i ce l e m e n tf o r n o n l i n e a ro p e r a t o r ti np ns p a c e sa r ei n v e s t i g a t e d as e r i e so fs u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r w h i c ht h ec o m p a c tc o n t i n u o u so p e r a t o r th a si n t r i n s i cv a l u e syl a r g e rt h a n1a n dh a s i n t r i n s i ce l e m e n t so no w c o r r e s p o n d i n gw i t hya r ee s t a b l i s h e d ，f i n a l l y ，t h ee x i s t e n c e o fs o l u t i o n sf o ro p e r a t o re q u a t i o n s t x = 阿+ p ( 1 ) i sd i s c u s s e d i nc h a p t e rf o u r , ap a r t i a lo r d e ri si n t r o d u c e di np ms p a c e s b yu s i n gt h ep a r t i a l o r d e rm e t h o d ，t h es o l v a b i l i t yf o rac l a s so fn o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n sl x = a xi np m s p a c e si sd i s c u s s e da n ds o m en e w c o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e d ，w h i c ht u r n so u tt ob et h e i m p r o v e m e n ta n dg e n e r a l i z a t i o no fs o m ei m p o r t a n tt h e o r e m s y em e i y a n ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f z h uc h u a n x i k e yw o r d s ：m e n g e rp ns p a c e ；c o m p a c tc o n t i n u o u so p e r a t o r ；t o p o l o g i c a ld e g r e e ； o p e r a t o re q u a t i o n ；p a r t i a lo r d e r 独创性声明 本人声明所里交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成采。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得直邑盘堂或其他教育机 构的学位或证书面使用过的材料。与我一同二| = 作的同志对本研究所微的任何贡献 均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：驴卞齐每搀，签字日期： 功口g 年g 月多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌盔堂有关保留、使用学位沦文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阕鄹 借阅。本人授权直基态堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、维印或扫接等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位敝作者躲叶静燕 签字日期：珈年月6 目 导师签名：笨佟喜 签字嚣期：珈乡年6 胃衫曰 学位论文作者毕业后去囱： 彳三函名南昌中 酢靴。通蕊：臀嵩大学占留喙阮】蛹乡翟篡孑 第一章引论 概率度量空间简称为p m 空间，m e n g e rp m 空间和m e n g e rp n 空间都是p m 空间的子空间，m e n g e rp n 空间简称为m p n 空间，m e n g e rp m 空间简称为m - p m 空间本章主要介绍概率度量空间中算子理论的历史背景、现状以及概率度量空 间中的预备知识 1 1 概率度量空间中算子理论的历史背景与现状 在传统意义的度量空间中，任何两点都对应于一非负实数，并定义其为两点 间的距离，这种结构对许多问题是很合适的，也是很自然的但是，由于自然界 许多量之间具有随机性，例如，在测量中存在随机洪差，又如在量子力学中，基 本粒子本身可以看成一随机变量，它们之间的距离就不适合用一个确定的实数来 描述因此，在许多情形，用一个统计量或用概率来描述集合内两点间的距离， 比用一个非负实数更符合客观实际正是基于这一思想，早在二十世纪四十年代 著名的几何与拓扑学家i c m e n g e r 首次提出统计度量的概念，将两点之间的距离 定义为一个分布函数( 即一个非负随机度量的分布函数) ，于是就产生了一门泛一 函分析与概率论的交叉学科1 9 6 4 年统计度量空f 司( s t a t i s t i c a lm e t r i cs p a c e s ) 更名 为概率度量空l g l ( p r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e s ，简称p m 空间) 通过引入t 一范数， k m e n g e r 和a n s e r s t n e v 定义了m e n g e rp m 空间及m e n g e rp n 空间在这方面 做奠基性工作的还有以首创序贯分析闻明于世的a w a l d ，他提出了继k m e n g e r 工作后的另一种三角不等式，从而导出所谓w a l d 空间的研究；还有布拉格学派 的重要人物a s p a c e k 和前苏联科学院院士a n s e r s t n e v 在概率度量空间理论及 应用方面也做了许多研究工作二十世纪六、七十年代，美国学者b s c h w e i z e r 、 a s k l a r 、e t h o r p 和h s h e r w o o d 等对概率度量空间的基本理论及其拓扑结构作 了很多深入的研究，取得了大量的重要成果 在我国，西安交通大学游兆永教授最先注意到这一方向1 9 7 9 年，游先生发 表了国内篇一篇关于概率度量空间的论文随后，我国有一批学者介入该领域 经过几十年的努力，我国学者在该领域取得了不少深刻而独具特色的成果同时 随着随机分析理论的进一步发展，概率度量空间中的理论和应用也有很大的发 展，国际上s e h g a l ，b h a r u c h a r e i d ，b o c s a n ，l s t r a t e s c u ，h a d i d 及国内的游兆永 等学者对概率度量空间的理论和应用，以及概率度量空间中映像的不动点定理及 其迭代逼近等问题均作过较为深入的研究 概率度量空间中的非线性算子理论是最近二十年发展起来的概率度量空间 中的非线性算子理论的研究不仅具有十分重要的理论价值，同时也具有广泛的应 用前景本文主要研究了概率度量空间中非线性算子的若干问题 1 2 概率度量空间中的预备知识 在本文中我们处处用尺表示一切实数之集合，尺+ 为一切非负实数之集合 定义1 2 1 “1 映射f ：r r + 称为分布函数，如果它是非减的，左连续的， 又满足下面条件：懋，( r ) ；s ，。u p f q ) = 1 用c d 表示一切分布函数的集合并用h ( t ) 表示一特殊的分布函数，其定义 如下： 2 ：，；美 定义1 2 2 概率度量空i 剧( 简称为p m 空间) 是一有序对( ，) ，其中e 是 一抽象集，f 是e x e 到c d 的映象( 记分布函数f 0 ，y ) 为c ，y f x ，( f ) 表示t ， 在f r 的值) ，并且假定只。，x ，y e 满足下面的条件： ( p m 1 ) c 。( 0 ) ；0 ； ( p m - 2 ) t ，0 ) = n q ) ，v t r ，当且仅当x = y ； ( p m _ 3 ) t 。；f v ，； ( p m - 4 ) 对任思- o , - 的工，y ，z e ，t l , t 2 r ，若只，o ，) = 1 ，：( f 2 ) = 1 ，则有： ，。( f 】+ t2 ) = 1 ； 定义l 2 3 集爿c 但，) 称为的概率有界子集，如果：s u p w i n 。f f z ，y o ) = 1 为了研究p m 空间的性质，k m e n g e r 还引入了三角范数的概念，并利用三 角范数构造了m e n g e rp m 空间 定义1 2 4 映像： o ，1 i x 0 ，1 】一【0 珈称为三角范数( 简称为t 一范数或t 一 模) ，如果满足下面的条件，对切的a , b ，c ，d 【o ，1 】： ( a 一1 ) a ( a ，1 ) 一a ，a ( o ，0 ) = 0 ； ( a 一2 ) a ( a ，b ) = a ( b ，口) ； ( a 一3 ) z x ( c ，d ) ( 口，b ) ，当c 口，d b 时； ( a 一4 )( ( ，6 ) ，c ) = a ( a ，p ，c ) ) ； 定义1 2 5 m e n g e r 概率度量空间( 简称m p m 空间) 是一三元组( ，f ，) ， 其中怛，f ) 是一p m 空间，a 是f 一范数，而且满足下面的m e n g e r 广义不等式： ( p m - 5 ) 对溉，y ，2 e ，t l ，t 2 r ，有：c ，：( r 1 + r 2 ) ( c ，y ( f 1 ) ，：( f 2 ) ) ： b s c h w e i z e r ，a s k l a r 在m e n g e rp m 空间中引入了拓扑佤并研究了其中的 拓扑性质 设嵋，f ，) 是具有连续f 一范数的m e n g e rp m 空间，则口，f ，) 是由邻域 系 【，0 ， ) ：y e ， 0 ，a 0 ， ( 1 2 1 ) 其中u ，( s ，a ) = x e e ：，( s ) 1 一a ) ，所导出的拓扑丁的h a u s d o r f f 空间 按照这拓扑可以在陋，f ，a ) 中引入以下概念： 定义1 2 6 啪设( 占，f ，) 是具有连续f 一范数的m e n g e r p m 牢 i b q ， 石。) 是e 中的任意一点列，恤。) 被称为车收敛于石e ，如果对v ，o ，a ，0 存在正整数 n = ( ， ) ，当n n 时，都有。p ) 1 一 定义1 2 7 “1 设口，f ，) 是具有连续f 一范数的m e n g e rp m 空间，仁) 被 称为e 中的c a u c h y 列，如果对v o ，z ，0 存在正整数= ( ， ) ，当m ，n 时，都有。南0 ) 1 - a 定义1 2 8 m e n g e rp m 空间，f ，) 称为是完备的，如果对e 中的每一 c a u c h y 列都收敛于e 中的某一点 定义1 2 9 。1m e n g e r 概率线性赋范空间( 简称为m p n 空间) 是一三元组 怛，f ，) ，其中e 是一实线性空间，f 是e 到的映像( 记分布函数f 0 ) 为六， 又 ( f ) 表示正在t e r 的值) ，并且假定丘，z 满足下面的条件： ( p n - 1 ) l ( 0 1 = 0 ； ( p n - 2 ) ( f ) ；h ( t ) ，v t 月，当且仅当z = 0 ： ( p n 一3 ) 对任一实数a ，0 ，厶0 ) = f xc d l ； ( p n 一4 ) 对任意的z ，y e ，f 1 ，t 2 r ，若丘o 。) 一1 ， ( t 2 ) = 1 ，则有下式 成立：l 。0 。+ f 2 ) = 1 ； ( p n 一5 ) 对任意的x ，y e ，及一切的t 1 ，t 2 r + ，则有下式成立： 丘。o ，+ f z ) z ( 正( f - ) ，f y ( t ：) ) - 1 9 8 9 年，文献 3 在概率线性赋范空间中建立了l e r a y s c h a u d e r 度，这种拓 扑度理论借助于概率度量就有其自身的特色，这是一般的局部凸空间上的拓扑度 理论所不能取代和包含的 定义1 2 1 0 ”1 设陋，f ，) 是m e n g e rp n 空间，是e 的非空子集，映像 a ：w 一称为紧的，如果a ( w ) 是e 中的紧集 引理1 2 1 设( e ，f ，) 是m e n g e rp n 空间，a ( t ，f ) t ，t ( 0 ，1 ) ，设 w c e ，t ：一e 是紧连续映像，则对零点0 的任一邻域u ( ， ) ，s ，0 ， ，0 ， 存在有限维的紧连续算子t 啊) ，使得a - v ( 啊) x u ( e ，a ) ， 4 定义1 2 。1 1 嘲设( e ，f ，) 是m e a g e rp n 空间，a ( t ，f ) 2 f ，f 【0 ，1 ，设是 e 中的开集，t ：w e 是紧连续映像，令s = ，一r ，设p e s ( a w ) ，n s 是 闭映像，故s ( o w ) 是e 中的闭集，从而存在0 的任一邻域u ( e ，a ) ，o ， ，0 使 得( p + u ( 5 ， ) ) n s o w ) = 庐，故由引理1 2 1 知存在e 的有限维子空间e ， p e o 及紧连续算子l ：旷一e ，使得，h 一孙( ) l - a ，地旷令 呒= w a e ，5 。= ，一l ，易得p 隹s 。o w n ) ，又因( ，一( ，一l ) ) ( ) 为紧集， 故有限维空间e ( “1 中的拓扑度d e g 。岱。，p ) 有意义定义s 的l e r a y s c h a u d e r 度为： d e g ( s ，w ，p ) = d e g 。( s 。，职，p ) ( 1 2 2 ) 定理1 2 1 ”1 ( 1 2 2 ) 式中所定义的k e r a y s c h a u d e r 度具有如下性质： ( 1 ) d e g ( i ，w ，p ) = 1 ，坳； ( 2 ) d e g ( s ，w ，p ) 0 ，则s ( x ) = p 在中有解； ( 3 ) 若h ( s ，工) 是【o ，1 】旷上的连续紧映像且p 隹( ，一h ( s ，- ) ) ( d ) ，y s o ，1 】i 则d e g ( 1 一h ( s ，) ，w ，p ) 与s 【o 娜无关 ( 4 ) 设啊，是彤的开子集且p 隹s ( 旷( 啊u w o ) ，则 d e g ( s ，w ，p ) = d e g ( s ，暇，p ) + d e g ( s ，p ) ； ( 5 ) 设是的开子集且p 隹s ( 旷) ，则 d e g ( s ，w ，p ) = d e g ( s ，k ，p ) 在本文中，处处表示连续的t 一范数，根据文献 2 具有连续t 一范数的每一 m e n g e r 空间都有一仁完备化空间，而且在等距的意义下唯一因此，不失一般性， 对具有连续t 一范数的m e a g e r 空间都可以认为它是q - _ 完备的 s 第二章m e n g e rp n 空间中一类非线性算子的不动 点及应用 本章在概率线性赋范空间中用拓扑度的方法研究了紧连续算子不动点的存 在性问题并据此给出了一个微分方程的应用，得到了若干新的定理，同时对已有 的一些结论进行了推广 2 1m p n 空间中非线性算子三t “苫1 ) 的不动点 “ 定理2 1 1 设是m p n 空间( e ，f ，a ) 的开子集，a ( t ，t ) t ，v t e o ，1 又 设t ：旷一e 是紧连续算子且0 e w 若存在线性算子b ：e e 满足h o w 有 凰一日，且使得丁满足下面的条件 ( h 1 ) f b m ) ( t ) 丘( f ) ，v x e o w ，t 0 1 则非线性算子土r ( 1 ) 毛e w 中必有一个不动点 “ 证明因为b ：e e 是线性算子，所以，m o 有意义同时，t ：旷一e 是 紧连续算子，则凡r a 、( f ) o 也是有意义的 可设t x p x ，对v x o w ，p 1 ( 否则，定理己获证) ，由己知条件t ：旷一e 是紧连续算子，显然对肛1 ，三丁：旷一也是紧连续算子令 ，0 ) ：z 一三t x ， 卢 s o ，1 】，慨旷，肛1 下面证明0 睡 ，( a ) ，s e o ，1 】事实上，假设日 ；( o w ) 即存在 0 ，1 ，z 。a 使得：日；一生a 。，即：艇。一j 。t x 。：8 ，则s 。o ( 否 “ 则肛o = 口，从而工o = 0 o w ，矛盾丁- 占) ，且s o 1 ( 否则戤o = 肛o ，a 彤 这与比d 形，肛1 ，n n r x ；肛相矛盾) ，故s 。( 0 ，1 ) 令口。：垒，则0 ca 0c 1 ， 由r e o s o t x o ；0 可得：x o = a 0 t x o ，其中0 a o 1 ，x o o w 则有：k 。o ) 2 厶( 。毋。) ( r ) ，即：f b x o ( t ) 2 厶( 砜) ( 寺) 又由已知条件( h 1 ) 可得： 丘。( f ) = 允c “z ( a 。厶砜( 专苫丘。嗉净t 嗉) 即：厂o ) 氐( j ) ，由于o ca ot 1 ，因此k p ) = x 4 ( t ) ，l l f i d a b x o = 口( 其 “n 中x o a ) ，这与条件比o w7 f f b x * 0 相矛盾所以0 诺 。( a ) ，j o ，1 由文 3 中的拓扑度的同伦不变性与可解性得到 d e g ( 1 一i r ，w ，口) ：d e g ( 1 ，w ，疗) ：1 口 即三r ( 2 1 ) 在l g 中必有一个不动点 则非线性算子三丁( 卢：1 ) 在旷中必有一个不动点 岸 定理2 1 2 设是m - p n 空问( e ，f ，a ) 的开子集，( f ，t ) t ，v t 【o ，1 】又 没t ：w 一一e 是紧连续算子且0 若r 满足下面的条件 ( h 2 )九+ f l n ( ) 丘0 ) ，帆o w ，0 a 0 则非线性算子三丁( ：1 ) 在旷中必有一个不动点 证明可设a 一肛，对v x o w ，肛1 ( 否则，定理获证) 由已知条件 t ：w 一e 是紧连续算予，显然对“1 ，三r ：矿e 也是紧连续算子令 ， ) = z 一言a ，其中5 n 1 ，眠旷，肛苫1 下面证明臼圣丸( a ) ，j 【o ，1 事实 上，假设0 e h 。( a w ) ，即存在e o ，1 ，x o o w 使得 且s 。1 ，则( o ，1 ) 0 = x 0 一垒砜即为：x o ：垒a 。，z 。a ，s 。( 0 ，1 ) ，苫1 肛 又由己知条件( h 2 ) 可得： k + 0 一 ) 矾o ) 氐( f ) ，y 冲v x e o w ，0 0 将：生a 。代入上式得 如州o ) 厶。( f ) ，其中x o e o w , o o ，s 。e ( o ，1 ) ，肛1 即：，( ( ) + 巫( f ) ( f r - r o ( t ) ，其中o w , o a o ，s 。( o ，1 ) ，肛1 也就是：厶i j 巫 厶0 ( 。，其中。o 0 ( 0 国1 由于厶。e c d ，由分布函数的非减性得 二一 t ，其中“苫1 , 0 o , a e ( o ，1 ， j g 么d e g ( i r ，p ) = 0 引理2 。1 2 设是m p n 空间但，f ，) 的开子集，且( f ，f ) f ，v t e 0 , 1 又设r ：旷一 e 是紧连续算子且日如果丁满足下面条件之一： 允( 1 圳，q ) o ，o ( f ) ，其中v f o ，o 凡 1 , x o w 2 ( 2 1 - 4 ) 那么非线性算子三r 似z 1 ) 在藏中必有不动点- u 证明因为0 。声1 ，则由实数的性质必存在一实数口，o c 。s 1 ，使得 | 9 ：口弘( p 1 ) ，则条件( h 3 ) 中的( 2 1 1 ) 式即为： f o 。( f ) f z a t ) ，其中0 o ) 的任意性，2 。1 5 式即等价于：丘o ) 2 名n o ，其中 0 。as 1 ，肛1 , x a 噬，f ，0 显然对肛l 三丁：厩一也是紧连续算子故三丁 lp 在露上也是紧连续的因此可用三r 来代替引理2 1 1 中的r ，则显然引理2 1 1 1 i z 中的全部条件都满足，故有：d e g ( 1 一三7 ，彬，日) ：0 又由条件( h 3 ) 中的( 2 1 2 ) u 式及已知条件，根据引理2 1 2 可得d e g ( ，一三r ，口) ：1 故由【3 中的拓扑度的 肛 可加性得： d e g ( i a t ，厩，目) ：d e g ( 1 一l t ，日) 一d e 占( ，一三r ，暇，口) ；1 0 ，0 肛肛 又由 3 】中拓扑度的可解性知三丁在暖中至少有一个不动点，即非线性算予 z 1 三r ( 苫1 ) 在暖中必有不动点 在条件( h 4 ) 满足的情况下，同理可证其结论成立，因此定理得证 2 2 一类微分方程的应用 设( e ，f ，) 是m e n g e r 概率线性赋范空间，c ( 【0 ，6 】，e ) 为关于( e ，f ，a ) 上的 拓扑彳连续的映像集工( ：f o ，6 一e ，定义一映像：，：c ( 【o ，6 ，e ) 一。如下 丘( _ ) ) 2 墨罂暑乐】 ( s ) ( ) 记厂o ( ) ) 为五( ) ，无【) 在点f 只的值汜为无( ) 0 ) 引理2 2 1 。设仁，f ，) 是m p n 空间，则( c ( 【o ，6 ，e ) ，厂，) 也是m p n 空 间；若仁，f ，) 是完备的m p n 空间，则( c ( o ，6 】，e ) ，) 也是完备的m p n _ 空i s q + 下面证明在完备m p n 空间中( 其中f 一范数满足o ，f ) 苫f ，v t o ，1 】) 一类 减分方程p i x ( 。o ) = 。o 占b z 解的存在性定理 对v ，0 和a ，0 ，记【，。( ，a ) = 缸e ：厶0 ) 】一册，设 g ( s ，x ) ：r x 瓦i 丽一e 连续，且满足下面的条件： ( 1 ) 厶( 。) o ) o ) 其中v t ，o , x o ( u d ( s ，九) ) ( 2 ) 对每一s 尺，g ( 5 ，玩百两) 为e 中的相对紧集 定理2 2 1 在上述删岍口( 2 ) 下，微分方程尉一在c ( 【0 川固 ( 其中0c6s 1 ) 中必有解 证明易知定理中的微分方程等价于下面的积分方程： 工( j ) = 石g ( 七，z ( 七) ) d 七 设缈= n ( ) c ( 0 ，6 】，e ) ：x ( 0 ) = o , f x ( ，) 0 ) 1 一 ，5 【0 ，6 】) ，则显然为 c ( o ，6 1 ，e ) 的开子集，且0 设戤( s ) ；岳占( t ，x ( k ) ) d k ( 2 2 1 ) 其中w ( ) e c q o ，d 】，) ，工 ) 云彳；两，w c 0 ，d 】 由条件易知算子t ：旷一c ( 【o ，6 】，e ) 是紧连续算子，设工( ) a ，则由 2 2 1 式可得： 丘( ，) ( f ) 2 名g ( 船( ”出( f ) 对任一给定的s o ，6 】，f ，0 ，必存在幺p ( 邢) ) 诎o ) 的连续点列 f p l ) c f o ，d 】 使得当一。时有f ：“) 一t 一，因此有 缸m ”m o 2 红m 忡。蛤：拐。毫吣州钏屿( 其中0 ；昴 岛 亭2 0 则非线性算子丁有大于1 的固有值y ，且在o w 上存在对应于y 的固有元 证明作h ， ) z x 一( 1 一s ) r x s q ，x ，5 【o ，l 】 下面证明，0 诺 。( a ) ，s 【0 1 事实上，假设日 ，( o v v ) ，即存在 s o 【0 ，1 ，z o o w 使得：0 = x o 一( 1 - s o ) r x o s o q ，即 z o = ( 1 一j o ) r x o + s o q ( 3 1 1 ) 因此s o 0 ( 否则( 3 1 1 ) 式为t x o = x 0 这与t 在o w 上没有不动点矛盾) ，k s o 1 ( 否则( 3 1 1 ) 式为= q 趴矿，这与a 矛盾) 故o 丘。一。( r ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 由l o g 回，可知上。一。是非减的，根据( 3 1 3 ) 式z 一一i 忆一s o ，1 ，即得到5 0 c0 这与0cs oc 1 矛盾所以0 隹 ，0 ) ，s 0 ，1 由文献 3 】中拓扑度的同伦不变性 得：d e g ( 1 一t ，w ，0 ) = d e g ( i 一9 ，w ，0 ) f 扫z j z q e e 旷，故q 岳，所以根据文献【3 】知 这里q 硭，所以 由( 3 1 4 ) 式知 。曙( i - q , w , o ，2 仁髫 d e g ( i q ，w ，日) = 0 d e g ( 1 一丁，w ，0 ) ；0 又因为0 w ，因而 d e g ( i ，w ，口) = 1 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 t 7 ) 作 ， ) = z s t x ，x e w 一，s e o ，1 】由( 3 1 6 ) 式和( 3 1 7 ) 式可知，与，一r 不 同伦，故必存在0s 5 0 s 1 ，e o w ，使得 h s 0 0 0 ) = 0 ，目 j x o s o t x o = 0 ( 3 1 8 ) 在( 3 1 8 ) 式中，s o 0 ，y s o 1 ( 否则( 3 1 8 ) 式为t x o = x 0 这与t 在o w 上 1 4 没有不动点矛盾) 故( o ，1 ) ，因此由( 3 1 8 ) 式得到：a 。；土z 。，记y ；一1 ，1 ， j 0 o 0 则有缸。o ) ；1 、1 ( r ) ， 0 ，即岛。( ) = ，m 0 ) ， o ，x 。o 这就证明 y ：一1 ，1 是算子z 的固有值且是丁在a 上对应于y 的固有元 定理3 1 2 设是m - p n 空间( e ，f ，) 的一个有界开子集，( f ，t ) t v t e o ，1 又设r ：旷一e 是紧连续算子，0 e w 且存在非零元e ，t o = 0 若丁在o w 上没有不动点，同时满足下面的条件 ( 6 2 ) 如一。o ) c 如一：。o ) ， s u 啦8 e o w , t 0 , 舯”首 则非线性算子r 有大于1 的固有值y ，且在o w 上存在对应于y 的固有元 证明作h ，0 ) = x 一( 1 5 ) a s a e ，x 旷，s e o ，1 下面证明，口隹 。( a ) ，s 【0 ，1 】事实上，假设0 e h ；( o w ) ，即存在 s o e o ，1 ，x o a 使得：0 = x o 一0 一s o ) 孤。一s o a e ，即 ( 3 1 9 ) 因此5 。0 ( 否则( 3 1 9 ) 式为a o ；x 0 这与t 在o w 上没有不动点矛盾) ，k s o 1 ( 否则( 3 1 9 ) 式为嘞= a e ，即有肛o | | = 忙e 0 = 4 ，s u p 矛盾) 故 捌 0 屈一2 q 0 ) ，v x o w ，t 0 则非线性算子丁有大于l 的固有值y ，且在o w 上存在对应于y 的固有元 定理3 1 5 设是m p n 空间( e ，f ，a ) 的一个有界开子集，a ( t ，t ) t ， v t 【o ，1 】又设僻，f ，) 是m p n 空间，t ：旷一e 是紧连续算子，0 且存在 非零元e ，t o = 0 若t 在o w 上没有不动点，同时满足下面的条件： s u | | 5 f i r ，- 4 机a 小i i 沌矾b0 0 舯”首 则非线性算予r 有大于1 的固有值y ，且在o w 上存在对应于y 的固有元 证明从已知条件中得到：e 旦r 二，记f ( ) 为 m 且有几l i 又 m 膨) 表示嘞i 在f r 的值，仿照定理3 1 - 2 的方法证明 采用定理3 1 5 的证明方法可证得下面的定理3 1 6 、定理3 1 7 均成立 定理3 1 6 设是m - p n 空间陋，f ，a ) 的一个有界开子集，o ，) ， v t e o ，1 】又设僻，f ，) 是m - p n 空间，t ：旷一e 是紧连续算子，口且存在 q e 旷，t o = 8 若丁在o w 上没有不动点，同时满足下面的条件： g 6 乍口p ) f f l r x - 4 a + h n o ) ，执。，o ，a o 则非线性算子丁有大于1 的固有值y ，且在o w 上存在对应于y 的固有元 定理3 1 7 设是m p n 空间( e ，f ，) 的一个有界开子集，a ( t ，t ) t v t 【o ，1 】又设俾，f ，) 是m p n 空间，t ：旷一e 是紧连续算子，o e w 且存在 非零元e ，t o ：目若丁在o w 上没有不动点，同时满足下面的条件： s u 啦! | ，机( f ) 礼训_ 一旷( f ) ，怔洲p0 一0 舯”首 则非线性算子7 1 有大于1 的固有值y ，且在o w 上存在对应于y 的固有元 注定理3 1 1 中的条件( g 1 ) 可用下面的条件( g 1 ) 来代替，定理的结论 依然成立 ( g 1 ) 丘一q 0 ) 厶( x - q ) p ) ，其中v x o w ，f 0 ，a ( o ，1 】 3 2m - p n 空间中算子方程t x = p x + p ( 肼1 ) 的解 在m p n 空间中研究算子方程取= 肛+ p ( 肛1 ) 解的存在性问题 定理3 2 1 设是m p n 空间( e ，f ，a ) 的开子集，a ( t ，f ) t ，v t 【o ，1 】 又设t ：旷一e 是紧连续算子且日再设p 且对v x o w 都有t x p 若 r 满足下面的条件： ( y 1 ) 厶一。( f ) 厶( f ) ，其中蜥o w ，t ，o ，a ( o ，1 】 则非线性算子方程戤= 肛+ p ( 其中1 ) 在旷中必有解 证明可设对比o w ，1 都有t x 埘+ p ( 否则定理获证) 设彳为旷 上的一个常值算予，即对搬旷都有血= p 由已知条件r ：旷一e 是紧连续算 子可知，当：1 时，三仃一爿) ：旷。三也为紧连续的令 ，0 ) ；z 一三( a 一出) 肛 即：h s 0 ) = 工一三( n p ) ，其中觇旷，s o ，1 ，肛1 下面证明目甓 。( a ) s 【o ，1 事实上，假设日 ；0 ) ，e p 蒯e x 。o w ，5 。 o ，1 使得： 口：x 。一s 。( t x 。一p ) ， ( 否贝l j x 。；0 这与 x 。a 相矛盾) ，又5 。；1 ( 否则；l ( t x 。一p ) 即：r 。雕。+ p ，其