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浙江t 业人学颅i ：学位论文 柔性机械臂的模态综合建模及其动力学分析 摘要 柔性机械臂建模要求所建立的动力学模型要足够精确，以真实反映柔性机械臂 的动力学特性：同时，模型的阶数又应足够低，以便于计算机进行数值求解，实 现其实时控制的要求。模念综合法以有限元方法为基础，采用子结构技术来获取 一组复杂结构的品质优良的“假设模念”，使其很好地覆盖系统的真实的低阶模念 空阃。这组模念集的数目远小于原结构的自由度数，这样可以达到模型降阶目标。 但是，传统的模态综合法没有考虑到控制系统设计技术的承受能力和激励的特 点，保留的大量低频予结构模态对于整体控制目标没有贡献。因此，本文考虑将 多柔体系统模型降阶方法与模态综合法结合，对典型双连幸t 柔性机械臂模型进行 建模研究，提出了部件两级降阶思想。即分别采用不同的子结构假设分支模态集 获取子结构模态特征，再利用模型降阶方法对所建立的子结构模型进行降阶研究， 去掉系统中弱能控和弱能观部分，迸一步降低模型的阶数。用分析较少自度的 整体结构综合建立系统整体低阶方程，使得大型复杂结构整体动力特征问题得以 求解。使所建立的模型从量级上大幅度缩减了整体结构的自由度，满足计算机动 态求解降低运算量的需要，实现机械臂实时模拟动力学过程。最后对系统进行 响应分析并与有限元结果比较，进行系统模型的验证。说明利用以上方法所建 立的系统模型能够保证足够的精确度。 关键词：柔性机械臂，模念综合，模型降阶准则，部件两级降阶 浙江t 业人学硕i ：学位论义 d y n a m i ca n a l y s i so ff l e x i b l em a n i p u l a t o r a r m sb yc o m p o n e n tm o d es y n t h e s i s a b s t r a c t t h et w om o s ti m p o r t a n ta s p e c t so ft h em o d e l i n go ff l e x i b l em a n i p u l a t o ra r m sa r e m o d e la c c u r a c ya n dm o d e lo r d e r i d e a l l y , o n ew o u l dl i k et oh a v eah i g h l ya c c u r a t e s y s t e mm o d e lo fv e r yl o wo r d e et h ew e l l k n o wc o m p o n e n tm o d es y n t h e s i s ( c m s li sa r a y l e i g h - - r i t z b a s e da p p r o x i m a t i o nm e t h o db o r no u to ft h en e e dt oa n a l y z el i n e a r s t r u c t u r a ld y n a m i cp r o b l e m so fu n u s u a l l yh i g ho r d e r b u tt h ed i s a d v a n t a g eo ft h ec m sm e t h o d si st h a tt h e yd on o td i r e c t l yc o n s i d e rt h e c o n t r o ls y s t e mo rt h el o c a t i o no fa c t u a t o r sa n ds e n s o r sw h e nr e d u c i n gc o m p o n e n to r d e r al a r g en u m b e ro fl o w f r e q u e n c ya p p e n d a g em o d e sd on o tc o n t r i b u t et o c o n t r o l - s t r u c t u r ei n t e r a c t i o na n d ，c o n s e q u e n t l y , t h e s es h o u l d b ed i s c a r d e da s t h e y u n n e c e s s a r i l yc o m p l i c a t et h em u l t i b o d ys i m u l a t i o nm o d e l t h r o u g ht h em o d e l r e d u c t i o n ，t h em o d e l st h a ta r el e a s tc o n t r o l l a b l ef r o mt h ea c t u a t o r sa n dl e a s to b s e r v a b l e f r o mt h es e n s o r sc a nb ec a n d i d a t e sf o rt r u n c a t i o n t h er e s u l ti ss h o w e dt h a tt h ea b o v e m e t h o dt ob u i l dt h er e d u c t i o ns y s t e mi sf e a s i b l e k e yw o r d s ：f l e x i b l em a n i p u l a t o ra r m s ，c o m p o n e n tm o d es y n t h e s i s ，t h er u l eo f m o d e r e d u c t i o n ，t h et w o s t a g ec o m p o n e n tm o d e lr e d u c t i o n 浙江工业大学学位论文原创性声明 y7 4 9 5 9 1 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究 ： 作所取得的研究成果。除文中已经加以标注引用的内容外，本论文不包含其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得浙江工业大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体均 己在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 作者签名 墙吠 同期：嘶j 月r ，同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的j ；! i ! 定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被套阅和借阅。 本人授权浙江工业大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密圉 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：跨霉定闩期：埘年r 月哆1 导师签名：孑和岛悦同期：摊j 7 月哆f | 浙江t 业人学颁l j 学位论文 1 1 引言 第一章绪论 随着空间技术和机器人技术的发展，使得考虑部件柔性的系统动力学分析和 控制理论的研究倍受重视。由于运动过程中关节和连杆的柔性效应的增加，使结 构发生变形从而使任务执行的精度降低，所以，结构柔性特征必须予以考虑。航 天器、机器人、高速机构和机车车辆等诸多工业领域的应用和研究，逐步形成了 以多刚体动力学、连续介质力学、结构动力学、计算数学、图论、现代控制理论、 计算机软硬件技术、实验力学等多学科交叉的边缘性学科柔性多体系统动力 学研究和分析。 柔性机械臂是典型的柔性多体系统，因而被广泛用作研究模型，其具有简明、 易于计算机和实物试验实现的特点。并且由于当今机器人技术、航空航天技术的 发展，柔性机械臂的研究闩益受到重视，成为发展新一代机器人的关键技术1 2 】。国 内外众多的研究者已经在柔性机械臂的动力学分析方面取得很多进展，逐步向多 层次方面发展。井，r 始从实验室走向实际应用。 1 2 柔性机械臂动力学建模 i j j 于柔性机械臂本身具有的非线性、强祸合、时变的特点，它不仅是一个刚柔 耦合的非线性系统，而且也是系统动力学特性与控制特性相互耦合，即机电耦合 的非线性系统。动力学建模的目的是为控制系统描述及控制器设计提供依掘。建 模的困难不仅在于其结构的庞大和复杂，更在于其是受控物体要求有商的指向 精度、定位精度或精确的形状控制。这就要求所建立的动力学模型要足够精确， 以真实反映柔性机械臂的动力学特性：同时，模型的阶数又应足够低，以便二j ：l r 算机进行数值求解，实现其实时控制的要求( 3 l 。如何建立符合以：要求，且具有较 强通用性的动力学模型f 是本文的研究重点。 i f | f 江t 业人学坝l 学位论史 1 2 1 柔性体变形模化方法 按照对柔性体变形的不同描述方法，可主要分为以下几种： ( 1 ) 有限元法。有限元法其实质是连续弹性体变形的r a y l e i g h r i t z 解法的分 片形式。就是把无限个自由度的连续体理想化为有限个自山发的单元集 合体，单元之间在节点处以铰链相连。由于单元可以无限细分，即精度 可以任意逼近真实值，而且便于编制计算机程序进行计算，因此有限元 法得到了厂+ 泛应用。有限元法建模是以单元节点在系统总体坐标中的位 移为讨论系统运动的广义坐标建立动力学方程。同丽，有许多实用的有 限元分析程序( 如：n a s t r a n 、a s k a 、i d e a s 、a n s y s 以及s a p 等) ，用这些程序可以根据设计图纸建立结构系统的有限元模型，进行 结构固有特性分析、响应分析和设计修改。可是采用有限元法所得动力 学方程较为复杂。动态响应求解运算量也较大，其阶数往往超过了多变 量控制设计技术所能提供的设计能力，不能满足柔性机械臂系统实时控 制的要求，必须予以降阶。t o k h im o 1 4 1 、f a t t a ha 【引、t h e o d o r e r j 【6 1 等学者利用有限元法作了大量的研究工作。 ( 2 ) 有限段法。是一种集中参数离散化方法。其基本思想是：将柔性体分成 有限刚段，以其表示物体的惯量特性，外力向刚段的质心移植：而将柔 性引入到系统的各接点中，其刚度和阻尼向接点等效移植。即把柔性系 统描述为多个刚体，以含有弹簧和阻尼器的接点相连。h u s t o n 、张大钩 1 7 1 、蒋铁英8 1 等采用有限段法对柔性多体系统进行了建模和实验研究。 有限段法适合于含有细长零件的系统，系统刚段内线性( 小应变) ，整 体非线性( 大应变) 因此只要将段分的合适。完全可自动计及几何非 线性变形的影响。此方法物理概念清晰，原理简单明确。但是建模方法 l 精度较低，同时如何确定刚体的数量、弹簧刚度及组尼系数还没有一个 恰当的准则，因而该方法在现实中未被广泛应用。 ( 3 ) 模念综合法。i 亥方法在建立大型复杂结构系统的动力模型时，可以从量 级上大幅度缩减整体结构的自山度。它把大型复杂结构划分为若干个子 结构首先分析研究每个子结构的动力特性，通过求解自j 振动的特征 值即可得到动态模态。并保留其低阶主要模态信息，通过模念分析和模 浙江丁业人学倾i 学位论义 念截断技术对动力学方程进行模态变换，用模念坐标代替节点位移，然 后再根据各予结构交界面的协调关系，组装成整体结构的动力特性。此 方法以r a y l e i g h ，r i t z 法为基础，用分析较少自由度的整体结构，使得大 型复杂结构整体动力特征问题得以求解。其中利用结构动力学的模念分 析方法是目f i i 获得模念信息的主要手段。这样求解的结构。不俺具有足 够的精度，也能满足工程中各种问题求解的要求，在柔性多体系统动力 学建模中得到广泛应用。王大龙f 9 l 、陆佑方1 2 j 、殷学纲等学者在这方 面做过大量的研究。 ( 4 ) 集中质量法】。用于离散节点上的集中质量代替原来系统中的分布质 量，即全部质量都集中各节点上，杆系结构的离散化刚度阵能够直接得 出整个动力方程都能直接通过对质量的近似离散化处理得到。 1 2 2 动力学建模方法 向量力学和分析力学的理论及方法在柔性机械臂动力建模中得到充分利用。 推导系统动力学方程的基本原理和方法主要有l a g m n g e 方程和n e w t o n e u l e r 办 程。另外比较常用的还有变分原理、虚位移原理以及k a n e 方程等方法。 ( 1 ) l a g r a n g e 方程或h a m i l t o n 原理。由l a g r a n g e 方程或h a m i l t o n 原理出发， 求出能量函数或h a m i l t o n 函数，以能量的方式建模，可以避免方程巾出 现内力项。适用于比较简单的柔性体动力学方程。丽对寸二复杂结构。 l a g r a n g e 函数和h a m i l t o n 函数的微分运算将变得非常繁琐，但是变分原 理又有其特点，出于它是将系统真实运动应满足的条件表示为某个函数 或泛函的极值条件，并利用此条件确定系统运动，因此这种方法可结合 控制模型的转化。f u n g ，r f ，c h a n g ，h 一c 0 2 1 利用h a m i l t o n 原理得出带有 末端质量的非线性受限柔性机械臂的运动方程。动态方程式以广义坐标 的形式来表示表达机械臂的动能和势能。g es s l e e ，一h1 1 3 1 利用有限元 分析法和l a g r a n g e 方法建立了柔性系统的非线性动态模型。 ( 2 ) n e w t o n e u l e r 公式。应用质心动量矩定理写出隔离体的动力学方程，在 动力学方程中出现相临体问的内力项，其物理意义明确，并且表达了系 统完整的受力关系：但是这种方也存在着方程数量大、计算效率的低等 浙江t 业人学烦l 学位论文 缺点。不过许多模型的规范化形式最终都是以该种模型出现，井凡陔方 法也是目前动力学分析用于实时控制的主要手段。e r i ch k f u n g 和 c e d r i ck m l e e i 。4 1 利用n e w t o n e u l e r 公式对柔性梁进行建模时，首先假 定：柔性梁的变形和柔性梁的长度比较起来非常小，梁是具有均匀 截面和稳定性质的e u l e r - b e r n o u l l i 粱，梁的转动惯量和剪切变形忽略 不计空气阻力和粱的内阻尼忽略不计。g a m a r r a r o s a d ov o 1 15 1 ， b r u n os i c i l i a n o i 6 j 等学者成功的利用n e w t o n e u l e r 公式建立了柔性机械 臂的动力学方程。 ( 3 ) k a n e 方法和虚功原理。k a n e 方法采用相对能量的形式，该方法从约束 质点系的d a l e m b e r t 原理出发，将各体的主动力( 矩) 和惯性力( 好! ) 乘以偏速度、偏角速度矢量，再对整个系统求和，可得与系统自由度数 目相同的方程组。其特点也是可消除方程中的内力项，避免繁琐的微分 运算，使推导过程较为系统化。虚功原理与k a n e 方法类似。 a m i i o u c h e l l ”、h u s t o n l l 引、张大均f 9 i 等均用k a n e 方法建立柔性多体动力 学模型。 1 3 动力学模型的降阶 考虑到柔性机械臂系统动力学特性与控制特性相互耦合，交互作用的特性， 而现有的控制技术只能实现对低阶模型的控制设计，因此，必须对动力学模型进 行降阶。动力学模型的降阶研究包含两方面的内容：一个内容是模型的离散化， 即选择一组合适的模念向量，对原系统的变形进行模态展丌，从而得到一组降阶 动力学方程。为了能用较少的模态表示变形，选择合适的模念集十分重要，可采 用模态综合法巾有关的模态集表示柔性部件的变形。它们包括1 2 0 l ： ( 1 ) c r a i g b a m p t o n ( c b ) 模态集；( 2 ) m a c n e a l - - r u b i n ( m r ) 模态集；( 3 ) b e n d f i e l d - h r u d a 模态集。采用上述模态集来构造近似程度较高的利兹基向量，即假设模态，这组 模态集的数目远小于原结构的自由度数可达到系统动力学方程降阶e 标。 另一个内容是保留模态的截取。在已求得模态而应用于模念展j i ：时，为了进 一步降低动力学模型的阶数，应在模型中去掉一些模态特别是系统中的弱能控 和弱能观部分，而剩下的模态仍可使后继分析有必要的精度。从8 0 年代丌始，众 浙江t 业人学颅i 。学位论文 多学者便致力于这方面的研究，并提出了一系列选取保留模态的准则，概括起来 主要有以下几种： ( 1 ) 惯性完备性准则2 1 - 2 5 1 。它根据各阶模念质量在总质量中所占的份额和各 阶模态惯矩在总惯矩中所占的份额的大小束决定该阶模念的取舍。惯性 完备性准则具有明确的物理意义理论发展比较成熟。其一确性和有效 性得到了证明和检验。此外，它不需要系统的其他信息，如控制器、观 测器的配置矩阵。同时，它不能略去系统中的弱能控和弱能观部分，所 能降阶的阶数也是有限的。所以，其适宜于建模初期应用。 ( 2 ) 基于输出响应或传递函数的模念选取准则1 2 “。包括频率准则、模态影响 系数准则、传递函数准则等。如由传递函数知，可去掉那些频率远高于 控制系统带宽的模念。但对于那些具有低频密集模态的大型柔性体，它 们接近或处于控制系统带宽，使频率密集准则难于应用。 ( 3 ) 模念价值分析准则2 7 - 2 9 1 。模念价值分析准则是根据各阶模态的模态价值 对系统价值函数的贡献来决定对该阶模念的耿舍。按模态价值的大小对 模态进行排列保留那些价值高的模态，略去那些价值低很小的模态。 ( 4 ) 基于内平衡理论的准则3 0 , 3 1 i 。把在模态空州描述的系统通过柏似变换化 为内平衡系统，然后按其输出决定模态的选取。 卜述准则有的适用丁部件模态选择，有的适用于系统模态选择，或将两者结 合起水，从部件级到系统级进行两次保留模态的截取。 1 4 论文的目的、主要工作及方法 1 4 1论文的目的 近年来，随着机器人技术的发展，应用轻型、高速、高精度、高负载自重比 的机器人机构受到l ：业和航窄航天领域的关注。存机器人领域，特别足机械臂的 运动学、动力学、逆动力学和逆动力学控制题，人们早已进行了火量研究i 份， 但是过去所见到的人多是低速、较笨重的结构。随着商效、精密机器人运作的： i 要，部件的弹性效应已成为日i j i 工程界普遍关注的问题，机械臂的研究已经被列 为机器人学的h 大专题之。 浙江t 业人学碘i 学位论文 柔性机械臂是一个非常复杂的动力学系统，其动力学方程只有非线性、强耦 合、时变等特点。由于运动过程中，系统的刚性位移和弹性振动同时发生、相旺 耦合。关节和连杆的柔性效应的增加，使结构发生变形从而使任务执行的精度降 低，甚至系统的整体失效。因此，柔性机械臂不仅是一个刚柔耦合的非线性系统， 而且也是系统动力学特性与控制特性相互祸合的非线性系统。就这类系统建立有 效的数学模型并进行诈确的快速仿真是目前动力学领域研究的热点之- - o 1 4 2 论文主要工作及采用的主要方法 模念综合法【3 2 _ 3 8 1 是解决大型复杂结构动力学分析问题的强有力工具，它的基本 思想是r a y l e i g h r i t z 分析和假设模念法。按工程观点或结构的几何轮廓，并遵循一 定的原! i ! i j 和要求，把完整的结构分为若干子结构。然后对子结构作动力特性分析得 到予结构的模态资料。由于在一般情况下，部件的高阶频率几乎小被激发，因而它们 对部件位形变化的贡献是相当小的，作重要贡献的是部件的低阶频率摸态。因此我 们可以采用舍去部件高阶模态的办法，把部件的物理坐标转换到保留的部件低阶模 念坐标所形成的低维空间中，然后综合部件在模态坐标下的方程成总体方程，从而 使总体系统运动方程的阶次大幅度降低。 模态综合技术采用自由界面法和固定界面法。就其计算精度而占，固定界面法 优于自由界面法，但自由界面法便于对各子结构进行独立设计、计算和实验分析。 对于柔性机械臂系统，出于各相对运动部件之间存在弹性连接( 关节弹性和关节1 5 h 尼1 ，而这种弹性连接的刚度较之部件小得多，所以各关节连接可以处理为弱耦合件， 对界面出弱耦合件连接的结构，用自由界面法已能达到足够的精度。 本文分别运用固定界蕊和自由界面法，把机械臂系统的各部件隔离成两个子结 构在已导出的有限元动力学方程的基础上，把其投影到各自的实模念坐标中，建立 了柔性机械臂整体系统的动力学方程，使之大幅度降阶，将两种方法所得的结果与 有限元结果进行比较。 本文主要对柔性机械臂动力学建模的基本模化方法和建模方法进jj 二比较研 究。结合模念综合法和模型降阶准则，对机械臂模型进行建模研究，提出了一种 基于模态综合法的部件两级降阶方法。即分别采用不同的子结构假没分支模态集 获取子结构模态特征，再利用模型降阶方法对所建立的机械臂动力学模型进行降 浙江t 业人学硕i 学位论义 阶研究，进一步降低模型的阶数。用分析较少自由度的整体结构综合建立系统整 体低阶方程，使得大型复杂结构整体动力特征问题得以求解。使所建立的模型从 量级上大幅度缩减了整体结构的自由度，满足计算机动态求解降低运算量的需要 实现机械臂实时模拟动力学过程。最后，对系统进行响应分析，并与有限元结果 比较进行系统模型的验证。说明利用以上方法所建立的系统模型能够保证足够 的精确度。 浙江t 业人学钡i ：学位论义 2 1 引言 第二章模态综合方法建模 早在6 0 年代初，人们为了解决大型复杂结构系统整体动力分析困难问题就提 出了动态子结构方法。当时具有代表性的是h u r r y w c 1 3 9 , 4 1 】和g l a d w e l1 g w l l 4 2 l 提出的部件模念综合法( c m s ) 思想。它首先确立了模态坐标的概念，奠定了模念 综合法的理论基础。尽管当时这些古典的模态综合技术今天看起来有很大的局限 性但当时却提供了研究大型复杂结构动力特性的一种崭新的分析方法，为后人 的研究和改进指明了道路。 经过8 0 年代的研究高潮，这种方法已经得到了很大的发展。通过多年的实践 证明，动态子结构方法已成为解决复杂结构动力分析的有效方法。它不仅能够火 幅度降低动力方程的阶数，而且能够保证结构分析的精度。 从解决问题所采用方式来看，一般可将动态子结构方法分为： ( 1 ) 模态综合法( 分支模态综合法) ( 2 ) 界面位移综合法 ( 3 ) 迁移予结构法 ( 4 ) 超币元法 在这四类方法中，目| j f 模念综合法使用的最为普遍。浚方法在建立大型复杂 结构系统的动力模型时，可以从量级上大幅度缩减整体结构的自由度。它把大犁 复杂结构划分为若干个子结构，首先分析研究每个子结构的动力特性，并保昏f 其 低阶主要模念信息，然后再根据各子结构交界面的协调关系，组装成整体结构的 动力特性。用分析较少自山度的整体结构，使得大型复杂结构整体动力特征f 3 题 得以求解。这样求解的结构，不但具有足够的精度，也能满足上程各种问题求解 的要求。 2 1 1 模态综合法的提出及意义 在求解整体系统的动力特性时，力学工作者已经研究出许多可靠、高效的多 自由度系统特征值问题的计算方法，如：子空间迭代法、l a n c z o s 法、基于s t u r m 浙江t 业人学坝i j 学位论文 序列性质的方法、矢量迭代法等等。求解运动方程的数值解主要有线性加速度法、 n e wm a r k 口法、w i l s o l 3 口法、t l o u b o t 法、r u n g e k u t t a 法等直接积分法。另外 还有模念叠加法、假设模念法等坐标变换法。 然而，随着现代工程技术的飞速发展，使得结构系统越束越庞大、越来越复 杂，譬如，飞机结构、大型轮船结构、高层建筑结构、大型机械、机车、和各种 航天器等等。在复杂结构的振动分析中，利用有限元的离散化方法1 4 3 1 ，建立结构 的离散化力学模型。即把一个无穷多自由度的系统，通过离敖化的方法，转变成 为一个近似的多自由度系统来进行研究。在有限元方法中，我们以单元节点在系 统总体坐标中的位移为讨论系统运动的广义坐标，用有限元离散后，其自d j 度往 往都和数干阶以一卜，对于这样一个庞火多自由度系统的求解，仅按上述方法求解 往往是十分困难的有时是不可能的。它不仅受到计算机容量的限制而导致太大 的误差，而且也存在要花费大量的机时而出现经济性问题。另外，复杂结构对。 般激励的响应之主要成分是系统的若干低阶主振动，对此。通常无需解出复杂结 构的全部特征对，只需求出其若干低阶特征对，就足以对结构的振动进行能满足 工程精度要求的各种讨论了。 另一方面，f 是由于结构的庞大与复杂。使得一个完整的结构往往不是在同 一个地区生产完成，许多部件常常山不同的部门设计与生产，因此整体结构以合 适的方式装配成为一种有限元模型可能是困难的。而且出于实验条件的限制只能 进行部件的模念实验。而无法对整体结构进行模态实验。 由于这些原因，近年来发展了动态子结构方法。即：把结构再分成部件或r 结构，在较小的部件上完成大量的分析，为整个结构体系建立一种近似的数学模 型，这种方法就可称为模态综合法。关于子结构技术，在大型结构的静力分析中 曾有过应用，即将结构划分为若干个子结构，先进行各予结构的局部分析，然后 再综合组装成整体结构，这种先局部后整体的分析方法是我们科学研究中常用的 方法。有限元方法本身也是这种思想方法的具体应用。 2 1 2 模态综合法的理论基础 对于系统无阻尼自出振动方程 ( 卅凇 + 0 = 0 - 9 一 ( 2 11 ) 浙江t 业人学硕i j 学位论文 利用模态叠加法，系统的物理坐标矢量都可以用以模念坐标代表其份额多少的系 统主模态的叠加来表示即： 龇) = i x 】妇( ，) ( 2 1 2 ) 由上式所定义的坐标白( ，) ，称为系统的“主模念坐标”，防】称为系统的“主模念 矩阵”。 在对工程结构进行动力特征分析时，人们所关心的主要是系统的若干低阶动 力特征，因此，在应用模念叠加法进行复杂结构的动力响应分析时，一般都w 以 使用截断的模念叠加法在n 维物理空间中，任意选择m ( n m ) 个独立的矢量， 构成一个n 维空问的不完备的基矢量由这m 个基矢量构成了一个m 维空问，它 是原n 维空问的一个子空i b j 只要这一个子空间能较紧密的覆盖住系统的k 维低 阶模念子空删则在这个由m 维假设模念为基矢量所定义的m 维子空问中，可以 求出系统的k 个低阶特征值很好的近似值。这种方法的最大优越性在于在求解近 似特征对时降低方程阶数。当m = l 时，即为瑞利一利兹法( r a y l e i g h r i t z ) 。 由瑞利商特性，有 2 , = 2 , i = r a i n r ( x b 刊n 蹦器( 2 1 - 3 ) 选取已知线性无关量 r ( 利兹基) ，令似) 为利兹基的线性组合，有 程 = n k ) + 臼： 匕) + j = 【y 】( 爿) 记陋】= y r 瞳p l 阻】+ = 阱阻i y 】 ( 2 卜d ) 将( 2 1 - 4 ) 式带入( 2 卜3 ) 式，则可得原系统特征值的近似值p ，满足力 k 】臼 = p m 】+ ( 2 1 5 ) 假设某一振动系统的某一主模态形状为陋】，取为利兹暴代入上式，则可得该 系统具有定精度的频率值。若假设的振型愈接近其真实模念，) 频率值也愈精 确。动念子结构方法】下是用各予结构的低阶主模态集，来构造近似程度较高的利 兹基向量，即假设模念，这组模念集的数目远小于原结构的自由度数，且构成的 子空间逼近于原结构的低阶模态所在的子空问。 浙江t 业人学坝f 。学位论文 就力学原理而占，模态综合法是基于瑞利一利兹法的理论基础。和以往不同 的是，利兹基的选取不是凭经验，而是通过有限元计算或实验得到的。目前， 些著名的大型有限元分析程序，如：n a s t r a n ，s a p 5 ，a n s y s 等，都可以通过各种方 法提取保留主模念。 讵因为模念综合方法实际上是采用子结构技术来获取一组复杂结构的品质优 良的“假设模念”，而此假设模态作为r i t z 基所张成的模态空间可以很好地覆盖 住系统的真实的低阶模态空问，所以，用模念综合法不但可以简化复杂结构的动 特性计算。而且也可以简化其响应计算。 2 1 3 模态综合法分类 根据对子结构模念集选取的不同，模念综合法分为自由界面模念综合法、固定 界面综合法和混合界面综合法。 自由界面模态综合法 4 5 - s 1 1 是将部件从整体系统中分割出来后，解除全部界面约 束，使其处于自由状念选取自由界面保留主模态为分支模态集，利用界面的位 移协调条件进行综合。这种方法计算简便，易于进行部件模态试验以获取部什自 由界面主模态信息。但是由于完全不考虑相邻部件的影响，冈而计算精度很差， 特别是低阶模念，收敛很慢。为此许多人对这种方法进行了改进，如c r a i g & c h a n g 以及王文亮等人提出了修改的自由界面法( 即双协调子结构法) 。这种方法将自山 界面主模态与剩余附着模态作为分支模态集，在最终的方程中有引入了力协调条 件，以消去界面力这组广义坐标，在很大程度上提高了系统综合效率及计算精度。 固定界面综合法 5 2 4 4 1 与自由界面法相反，它将子结构在界面坐标上完全同定， 然后逐一释放界面自由度构成约束模念，选取约束模态和固定界面保留主模念作 为分支模态对系统进行综合。这种方法概念简单，编程方便，且计算精度较高。 但由于要保留全部界面自由度，故当界面坐标很多时，综合效率不高。另外由 于界面固定很难实现，故不易从试验获取子结构的模念信息。为此，人们针对 定界面综合法效率1 i 高的问题，提出了一种多重子结构方法，使得特征方程求解 建立在更小的矩阵阶数基础上，并用多级综合，使得最后装配成的整体系统的运 动方程大为压缩从而提高了综合效率。但是予结构分层越多，累计误差越人。 因此，如何提商汁算精度使这种方法面临的一个主要问题。 浙江t 业人学坝l j 学位论文 除了上述两个基本方法，人们针对具体的对象采用不同的手段，又陆续捉 了 一些有效的计算方法，如b e n d f i e l d l 5 5 , 5 6 1 提出的混合界面模态综合法，它是指首先 从结构中选取一个比较庞大而峰实的部件作为主体。把与此相邻的“弱小”子结 构视为从体。对于主体是用自 界面主模态，对于从体使用固定界面主模态与约 束模念。这是指一种既克服了固定界面法综合自由度过大的缺点，又克服了自山 界面方法较复杂的缺点的尝试。实例计算表明，这种综合方法使得计算精度人为 改善。 2 2 柔性体的模态综合建模 柔性多体系统动力学方程是非线性、时变、强耦合的微分方程组，必须采用 有效措施尽可能的缩减求解规模，才可能在那些大型、复杂、高速运动的实际多 体系统问题中得到应用。 模念综合建模采用绝对坐标法，将柔性体的大位移及弹性变形都用相对惯性 坐标系的单元结点坐标表达。 z j uj 3 u n ?办? 蚕 幽2 2 - l 用一个实际结构做分析，如图2 2 一l 。为了简明起见，先考虑一个没有刚体自 由度的简单结构的无阻尼自由振动并且只有两个子结构的情况，并将每个子结 构的自山度分为内部自由度和界丽自由度。对d 与两个子结构，用矢量形式表 浙江t 业人学坝l 。学位论史 叫孙书 其中下标i 表示界面坐标集，j 表示内部坐标集。 根据截面位移连续条件，显然有 0 ，4 j = 0 ，4 界面力的对接条件，有 k 。j + k j _ 0 整个结构的动能为： 7 1 = 7 1 4 + r 芦 = 岳。rk 4 4 + 每，) 7k ，妊，j 而系统的势能为： 矿= 矿“+ y 口 = 吉i 。 ”k 4 舡。 + 圭0 4 。k 4 弛4 对各子结构作动力特性分析，选取恰当的子结构保留模态柬构成予结构的利 兹基陋】，并以此作为子结构模态坐标变换，即第一次坐标变换 “ = 陋b ( 2 2 2 ) 其中扫 为子结构的模念坐标。通常子结构保留模念个数少于它的自由度数，即 p 的分量数小于缸 的分量数。将坐标变换代入( 2 2 - 1 ) 得 r = 扫。舫“酗。 + p 一舫一b ， = 扣声 y = 吉 p 。狂。弘“ + j 1 p 4 弦4 怕9 ) = 圭排b 其中 ( 2 23 b ) 浙江t 业人学颀t 学位论文 - a 】= 瞳a i m 。i h s l _ ，】= 陋一k i ，】 陋。】：h 4 k 。i h 8 l 防，】= 陋一k i h ，】 由于系f n j 的模态坐标中，并非所有的坐标都是独立的，故不能使用第二类 l a g r a n g e 方程以求得系统的运动方程。 每个子结构的界两自 = j 度缸，) 不相互独立，利用界面连续条件 k 。“帖4 = k 4 协， 或写成为： 川一州升 简记为： c 】 p = o ( 2 2 - 4 ) 其中：【c 】_ 峪，“j k ，4 l 。式( 2 2 4 ) 就是一般的线性约束方程的形式。山 ( 2 2 - 4 ) 式可以方便地进行第二次坐标变换独立坐标变换。 设 p ) 中的独立广义坐标为 p ， ，非独立的广义坐标为伽。 ，即： 阱 于是，( 2 2 - 4 ) 式可写成为： 蚓= 0 由此可得： 扫。) = 一【c 。】。【c 0 】 p ，) 因而有： = 书嗡忙( 2 2 - 5 ) 式中陋】称为独立变换矩阵有： 阱卜i 妒】 浙江t 业人学颂i ：学位论立 式中p 】为独立变换矩阵， g ) 为独立广义坐标。 利用独立的广义坐标白) 来表示系统的功能与势能为： t = 去埘m 】矗) ( 2 26 a ) v = 委抽y k ( 2 2 - 6 b ) z 其中 m 】= i s 7 防i s 】 = i s ”防b 】 将( 2 2 - 6 ) 代入得： m 】倍) + 【k 】白) = f ( 2 2 - 7 ) 式( 2 2 7 ) 就是经过各子结构的模念综合后的新方程。显然，新方程的阶数 等于所选取的全部保留模态的总数再减去对接自由度数，大大减少了原系统运动 方程的求解运算量。 2 3 模态综合法各种模态集的生成 在使用模态综合法时，关键的一步是要如何构造和获取子结构的保留模态来 构成利兹基，对子结构进行模态坐标变换，以保证模型必要的精度，又无需花费 大量的计算消耗。 各种不同得获取方法，便形成了不同的模态综合技术，在近代模态综合法中， 常取子结构的模态集为如下形式： 陋】= 一；叫 ( 2 3 一i ) 式中，甲是子结构的静力模念集，它主要的类别有：约束模态、附着模念、惯性 释放附着模态、和剩余惯性释放附着模态；o 是子结构的动力模态集。它般山 子结构的固定界面或自由界面的低阶主模态组成。 2 3 1c r a ig - b a m p t o n 模态集 在6 0 年代初，w c h u r r y 首先提出固定界面模念综合法。1 9 6 8 年，c r a i g 和 b a m p t o n 对t l u r t y 法进行了部分修正。c r a i g b a m p t o n 模态集定义一组含剐体模念 浙江t 业人学顾i 学位论史 在内的约束模念，来取代固定界面主模念的高阶部分，即选取固定界面保留主模 态中。和约束模念皈构成假设分支模态。 部件运动方程可记为： 嗽糊憾心= 料( 2 3 - 2 ) 假定内部坐标上没有附加力，前k 阶保留主模态巾。为在子结构的全部界面加 上约束后子结构的动力特性，可出特征方程计算获得；静力模念集虬采用约束模 惫，即对子结构的全部界面自出度引入附加约束，然后让这些界面自由度依次产 生单位位移，其他约束则保持不变，由此产生的一系列予结构静变形位移。因此， 约束模念满足矩阵方程： = ( 到 ：7 5 - 程可解出约束模态： 叫州毫， ( 2 3 - 3 ) 山此，c r a i g 一8 a m p t o n 模态集将约束模念取代固定界面主模念的高阶部分后可 表示为： 阱( ( 2 3 - 4 ) 利用已得到的假设分支模态矩阵进行从物理坐标到模态坐标的变换。 i j _ r 假 设模态只保留了k 阶主模态于是 p 。 中的分量数就远小于扭，j 的分量数，模念综 合法实质就是做利兹降阶，以达到系统自由度缩减的e l 的。 将模念坐标变换代入运动方程，与模念坐标扫 相对应的子结构质量与刚度等 矩阵分别为： 浙江t 业人学坝1 学位论文 【- 】：i n 7 m l n ：f ! l 掰“ 弦】= f 订 k i 卧限 驴】= p 】7 沙】 其中 。】= 扣2 tj 为对角阵 可见，在这种方法中，主模念坐标l o , 与 段 之间存在着惯性耦合，但不存 在弹性耦合。 由于各子结构是界面连续的，所以，还需要根据各个界面的唯一连续条件： ) = 弛b 每? ) ( 2 3 - 5 ) 将各子结构的方程组集为整体方程，其中仁k 是由于子结构所选取的坐标系不同， 在界面位移相等的方程中，所必须的坐标旋转矩阵。再由分支界面连续条件消去 不独立的广义坐标故最后剩余独立的广义坐标系为： 叮 = p 尹 p ： p 2 ( 2 36 ) c r a i g b a m p t o n 模念集由子结构的固定界面主模态和对于界面坐标的约束模 态组成，由通常的动力学综合步骤可导出系统的动力学方程。存结构变形中引入 界面坐标的约束模态以减少略去的高阶弹性模态的影响，提高了建模的精度。但 方程最后包含有主模态坐标及界面约束模态坐标，无论保留主模态取多少，系统 动力学方程的阶数也不能低于界面的自由度数。如果界面自由度数较多，则方程 阶数就会相当大，仍会造成计算上的困难。这就是固定界面子结构模念综合法的 一个不足之处，如何进一步降阶便是一个新课题。 【算例2 3 1 】 浙垃丁业人学坝i 学位论史 如图所示，一长为l ，质量为m ，张力为t 的弦。用几种质量法等分为8 段 在7 个分点上各集中研= i m 的质量。计算其低阶自振频率。 纠= t e 弘士埘 1 1 1 其中，k = 等，m = i m 。取前两阶模念为主模态，郎 h 。士 p a 】： 10o 1 411 2 4 压0 3 4 1 1 与之相应的位移矢量为 p = 卜。x x ：x ，r 浙江t 业人学颂i 学位论史 子结构的刚度与质量矩阵分别为 肛a 】： 防。j = k 。fb 8 i h “j h ：f 0 5 j【 2 + 4 2 4 o 对于口子结构可以作同样的处理，可得 防一】_ 陋一佧，k 一】= 离，】：k 一 ，k p 一】 o 8 4 4 2 o 0 5 2 + 2 。 一一u ) ， 40 o2 结构未经耦合的广义刚度、质量矩阵，可出两个子结构的刚度阵和质量阵简 单拼装起来，即 阱r j 9 一o 一2 o o 2 一 o 2 o o ，o o rl1il有 i i 1li 吖 足 k r 、， 0 o 4 厄 o 4 o 一8 一o o ，l ，石 f f 口 h t l 口 k 口 ， k 0 2肛压厂晒 1一冀i ，。l 叭到 一o d ，i“ 胆压厂”墨i rifl吲i【 l 400 08 4 4 20 004 1 4 00 08 4 4 20 004 ，k f f ， 芦 一女 陆( 矿两，) = 浙江t 业人学硕i ：学位论文 与之相应的广义位移矢量为 叫爿 p 。p 1 2 “p 。口p t l pp 2 4y 其中，仇。，p 。：8 和p k j , p 。9 分别是d 与子结构的两个主模态相应的广义 位移坐标。p 。“和p 。4 分别是a 与子结构的约束模念相应的广义位移。子结构界 面连接几何协调条件为静，。= 封。9 ，即n “= p c 9 ，从而有 即 别为 p ? 口 | 口 l p 2 8 p 。， i p p 1 2 p 纠= 陋m p 。4 口 纯1 口 p i 】 p p 2 口 由上述独立变换矩阵p 】，便可求得结构的耦合形式的刚度矩阵和质量矩阵分 4 学一o ，s 攀4o ， 一。0 502 ，l s 半一c 堡鱼 4c 2 0 5 02 rjjlijll，lil o o o 0 0 ， o o o o ，o o o 0 0 o o ，o 0 o o o o o o 斗 压 4 8 2 ，k j i s ，rip 悻 ，陋 = k 浙江t 业人学颅i 学位论史 2 + 2 4 0 0 o o ，5 堂- 0 5 2 000 200 040 002 由上述得到的k l m 】所确定的广义特征值问题，解得 铲卿辱旷们s s 。仨 已知此间题原系统的前二阶频率为 娟- o 枷z 拦鸬原一o ，s s 。拦 由此可见，利用c r a i g b a m p t o n 模态集进行模态综合得到的结果十分理想， 第频率偏高，第二频率得到精确解，这是因为原结构的二阶频率具有中点不动 的振型，它恰可以出固定界面子结构的基本振型精