（应用数学专业论文）可转换公司债券的定价理论与实证研究.pdf

摘要 可转换公司债券是一种附加了转换权的公司债券，由于 兼具债权和股权于一身，使可转换公司债券的定价问题更具 挑战性。本文首先概述了可转换公司债券在国内外的发展情 况，接着分析了可转换公司债券的特性和价值构成，然后结 合b l a c k s c h o l e s 模型，重点研究了可转换公司债券的定价问 题和计算方法，最后对机场转债进行了实证讨论。 本文比较系统地阐述了可转换公司债券的定价问题，结 合机场转债的具体条款建立了定价模型，利用s - p l u s 对其价 值进行计算，分析了模型定价和市场价格的拟合情况。结果 表明，模型定价与市场价格的拟合较好，该模型对机场转债 有较强的定价能力。本文最后指出了目前市场价格的偏差所 在和投资可转换公司债券的风险。 【关键词】可转换公司债券定价模型期权定价数值计算 a b s t r a c t c b ( c o n v e r t i b l eb o n d s ) i sak i n do fc o r p o r a t i o nb o n d s w i t ha c o n v e r t i b l e r i g h t a t t a c h e d i ti s v e r yc o m p l i c a t e d t o p r i c e c b b e c a u s ei th a sb o n d ss i d ea sw e l la ss t o c ks i d es i m u l t a n e o u s l y f i r s t t h i sp a p e rr e v i e w sc b sh i s t o r y ，a n dt h e na n a l y z e si t sc h a r a c t e r i s t i c s a n ds t r u c t u r eo fv a l u e a f t e r t h a t ，t h i s p a p e rp u t se m p h a s i s o n s t u d y i n g c b s p r i c i n g a n dm e t h o do f c a l c u l a t i n g w i t ht h e b l a c k - s c h o l e sm o d e l a tl a s t ，t h i s p a p e r m a k e sac a l c u l a t i o no f p r i c i n go nj i c h a n g c o n v e r t i b l eb o n d s t h i sp a p e re x p o u n d st h ep r i c i n go f c b ，a n dc o n s t r u c t s ap r i c i n g m o d e lb a s e do n j i c h a n g c b ss p e c i l e a li t e m s t h e ni tu t i l i z e ss - p l u s t oc a l c u l a t e j i c h a n g c b s v a l u e c o n s e q u e n t i a l l y ，t h e m o d e l i m i t a t e st h em a r k e tw e l lb yc o m p a r i n gt h em o d e lp r i c e sw i t ht h e m a r k e t p r i c e s a tl a s t ，t h i sp a p e rr e p o r t st h em a r k e tp r i c e sd e v i a t i o n a n dc b r i s k k e y w o r d s c o n v e r t i b l e b o n d s p r i c i n gm o d l eo p t i o np r i c i n g n u m e r i c a lp r o c e d u r e s 5 - 1 ，可转换公司债券概述 1 1 可转换公司债券的产生和发展 可转换公司债券( c o n v e r t i b l eb o n d s ) ，是一种介于债券和股票之 间的可转换融资工具。自从1 8 4 3 年美国的n e wy o r ke r i e 铁道公 司发行了世界上第一例可转换公司债券以来，可转换公司债券独特的 金融性质逐渐为投资者们所熟悉并受到了广泛的欢迎。特别是在最近 的几年时间里，由于网络股泡沫破灭所导致的全球股票市场的震荡， 令可转换公司债券的优势凸现无疑；加上各国利率水平的不断下调， 可转换公司债券的融资成本大幅下降，全球可转换公司债券市场的资 本规模( m a r k e t c a p i t a l i z a t i o n ) 和发行金额因此不断创出新的纪录。 根据有关资料的统计，目前，全球可转换公司债券市场的资本规模已 经接近5 0 0 0 亿美元，而每年新发行的可转换公司债券规模( i s s u a n c e ) 也超过了1 0 0 0 亿美元。在美国、欧盟、日本和东南亚等国家和地区， 可转换公司债券市场已经成为金融市场中不可或缺的重要组成部分， 对这些国家和地区金融市场的繁荣和企业竞争力的提升，起到了积极 的推动作用。 一百多年来，受可转换公司债券设计原理的启发，成熟资本市场 国家在发展和创新的基础上，已经形成了庞大的可转换公司债券家族 ( c o n v e r t i b l es e c u r i t i e sc l a s s ) 。在这个家族中，首先出现的是不同特 质和用途的具有可转换性质的多种证券品种，最具代表性的有可转换 优先股、可转换零息债券等，在此后的实践中，还出现了各种具有特 定用途的结构性可转换公司债券，如可参与的转换优先股 ( p a r t i c i p a t i n ge q u i t y p r e f e r r e ds h a r e s ) 、零息可转换票据等。 作为一种在国际上比较成熟的金融产品，可转换公司债券引入我 国已有十多年的历史。1 9 9 2 年1 1 月，深宝安在全国第一次向社会公 开发行宝安可转换公司债券。2 0 0 1 年4 月，中国证监会颁布了上 市公司发行可转换公司债券实施办法和三个相关的配套文件，标志 着中国可转换公司债券市场的发展进入了一个新阶段。截止到目前， 已有超过6 0 家的上市公司提出了可转换公司债券的融资计划。然而 总的看，我国目前的可转换公司债券的规模与整个资本市场的规模相 比还较小，但可以肯定的是，它有着光明的前景。受一些现实因素的 制约，我国的股票市场尚处于幼稚阶段，投资者对股市扩容心存余悸， 而可转换公司债券为资本市场借贷双方都提供了更多的可供选择的 融资方式与投资机会，使发行者与投资者都能享受到其它类型债券所 不具备的优势，以可转换公司债券代替部分新股发行或配股，可以减 缓股市扩容的速度，减轻投资者的压力。这些都说明发行可转换公司 债券有着巨大的优势和需求。另外，通过可转换公司债券的海外发行， 还有助于我们熟悉国际证券市场的运行，从而加速我国证券市场的国 际化进程。总之，对比世界资本市场的发展轨迹，可转换公司债券一 定会对我国的经济发展起到重要的作用。 1 2 可转换公司债券的定义 按照1 9 9 7 年发布的可转换公司债券管理暂行办法：可转换公 司债券是指发行人依照法定程序发行、在一定期间内依据约定的条件 可以转换成股份的公司债券。从定义可知，可转换公司债券是一种被 赋有转换权利的公司债券，这里的转换权是指持有人可以选择有利的 时机行使转换权，而无必须转换的义务。当然这种权利的获得需要支 付一定的成本，对具体可转换公司债券来说，成本与权利的匹配形式 千差万别。 首先，可转换公司债券是一种公司债券，是典型的固定收益证券， 它具有确定的债券期限和定期息率。可转换公司债券的债券期限是指 其存续期间。同普通公司债券相比，灵活性较强，发行人可以根据自 己的具体财务情况设计。可转换公司债券的债券息率比一般的间期债 券低，可视为其转换权的成本。其次，可转换公司债券持有人有权按 照事先约定的条件转换成公司的股份，一般是公司的普通股票，这使 得持有人具有了分享公司增长的经济成果和股票增值的机会。可转换 公司债券的这种属性可以概括为一种以公司普通股票为标的的期权。 普通债券是债权和债务关系，对于普通债券的债权人来说，在一 定的时限内收益是固定的，同时也失去了分享公司增长获取更大收益 的机会，虽然通过持有公司股票也可以分享这个机会，但单纯的股票 投资风险较大。为了获得固定收益和较低的风险，投资可转换公司债 券是理想的选择。而普通债券的债务人在借入资金的同时就具有了按 时还本付息的义务，债务人必须有严格的财务设计来保证履行这个义 务。如果投资项目的收益期不能和债务期限完全匹配，发行人就会面 临财务风险。延长债务期限不总是理智的选择，因为债务期限和利息 成本成正比。可转换公司债券可以较好地解决这个问题，公司通过在 普通债券上附带了股票期权获得较低的利息支出成本，并且在转换成 功的前提下免除了还本付息的义务。为了促使转换的成功，公司必须 提高赢利水平，这在一定程度上促进了公司的治理。 可转换公司债券作为一个金融创新品种，受到投资者和发行人欢 迎的内在原因，就是可转换公司债券充分考虑双方的需求，经过金融 丁程专家的精心研究和计算，兼具债券和股票两者的功能和优势，进 而在一定程度上克服和弥补了单一性能金融工具的固有缺陷，充分适 应了筹资人动态化的资金需求和投资人追求利益最大化和风险最小 化的行为特征。 1 3 可转换公司债券的属性特征及分类 可转换公司债券被看做一个附加转股权的债券，正是这一特点使 其成为同时具有股性和债性的金融工具，两种属性的不同组合使可转 换公司债券具有不同的特征。根据股性和债性在可转换公司债券绩效 中的不同比例可以对可转换公司债券进行分类，大致分为股权式可转 换公司债券( e q u i t y n k e ) 和债权式可转换公司债券( d e b t - - l i k e ) ，在债 权式可转换公司债券和股权式可转换公司债券之间，还存在着很多中 问状态( 参见表1 ) 。 这种分类只是一种定性的分析，通过对可转换公司债券的定价 研究，分析可转换公司债券价值中纯粹价值和期权价值的不同比例可 进行定量分类，另外，可转换公司债券的股性和债性不是绝对的，随 着市场环境的改变，其属性会发生相应的改变。 表1 可转换公司债券股性、债性及中间状态 e q u i 旷l i k e + i l 股票 强制性转股 低息低溢价 高息高溢价 零息债券 债券 1 4 可转换公司债券的附加条款 可转换公司债券作为一种金融工具经历了不断的创新和发展。特 别是在合约上附加的赎回条款和回售条款，使发行人和投资者在可转 换公司债券的存续期间的权利具有了某种对称性，丰富了可转换公司 债券的属性。使得可转换公司债券成为一种不可替代的具有丰富内涵 的金融品种。 赎回条款包括赎回条件和赎回期权，是发行人具有的一种权利。 它更多的考虑了发行人所面临的利率风险，提供了规避的手段。一般 来说，可转换公司债券的存续期间较长，发行人有可能面临市场利率 下调的风险。如果利率下调的范围使得发行人可以采用更低成本的融 资时，赎回已发行的可转换公司债券就是理智的选择。与此相对，可 转换公司债券持有人在赎回条件下只有义务，赎回条款限制了持有人 获得更多可能利益的机会。当然，赎回条款的设置也可能有其它的考 虑，如发行人希望转换发生，以避免到期兑付的现金压力等。 与赎回条款相对应，回售条款包括回售条件和回售期权，是持有 人具有的一种权利。回售条款考虑了在股市低迷时，持有人虽有转换 k卜bed ；。，丫 的权利却没有转换的机会，这对投资者来说是一种损失。回售条款使 得投资人可以较合理的价格把可转换债券回售给发行人，这是对投资 人转换权利的一种补偿，发行人设计回售条款有利于发行的成功。 赎回条款和回售条款的设计是对可转换公司债券的完善，更好地 满足了发行人和投资者的需要，这使得可转换公司债券在不同的市场 环境中都有较强的生命力。 另外，有些可转换公司债券还有特别向下修正条款，规定在股价 持续低迷的情况下，董事会有权向下调整转股价格。这项条款对发行 人和投资者均有吸引力，投资者在这种情况下扩大了赢利空间，发行 人则可以借此促使转换的实旌，避免到期兑付的财务风险。 2 、可转换公司债券的基本组成要素 2 1 债券面值 指债券的到期值，是票面所标明的金额的大小和币种。发行人可 以根据发行需要选择，一般是1 0 0 或1 0 0 0 货币单位。 2 2 票面利率 指可转换公司债券的每年债券利息除以债券面值的报酬率。一般 的可转换公司债券都有规定的票面利率，这是一个基本要素，是其债 券性的一个重要指标。可转换公司债券的票面利率是由发行时的市场 利率水平、公司的资信等级及债券的要素组合决定的。一般情况下， 比同等级风险水平的债券利率低。票面利率是固定的，同等情况下， 票面利率高，则可转换公司债券价值高，反之则价值低。 2 3 债券期限 指可转换公司债券从计息开始到支付本金的时间跨度( 需要注意 的是，债券期限和债券的转换期限并不一致) 。债券期限越长，债券 的转换期限也长，对应的期权价值越大，可转换公司债券的投资价值 也越大。债券的期限是由发行人根据公司的财务和投资情况设计的， 附加的回售条款和赎回条款会缩短债券的有效期限。 2 4 转换期限 可转换公司债券指明的持有人可以行使转换权利的时间跨度。一 般米说，转换期限从发行结束开始，直到债券的兑付。附加条款会影 响转换期限。 2 5 转股价格 指可转换公司债券转换为每股普通股票所需要的可转换公司债 券的票面金额。转股价格是可转换公司债券要素中最为重要的，它决 定着投资人的直接收益，也决定着转换权的顺利实施。转股价格的确 定一般有两种方法：直接定价和时价。直接定价是指发行公告中直接 约定的转换价格。直接定价容易操作但缺少灵活性，对于定价和转换 有一一定时间间隔的可转换公司债券来说，容易造成转股价格和实际可 转股价格( 转股时对双方都比较公平的价格) 的背离。时价是以一段 时间的相应股票价格的简单算术平均数为基础，上浮一定的比例作为 转股价格。时价完全依赖于市场状况，使得转股价格与市场的走势合 拍。但是，如果市场的状况与公司的未来发生偏离，时价也会与实际 可转股价格发生偏差。比较公允的转股价格应该结合时价方法同时考 虑发行公司的状况进行定价，这是目前较多采用的方法。 转股价格一经确定，便不再变更，除非遇有送红股、配股和增 发新股等股权变更情况，在这种情况下，为使可转换公司债券持有人 的潜在利益得到补偿，调整转股价格以反映因此所引起的股票价格的 预期变化是非常必要的。股票派发红利也会降低股票的价格，严格的 说相应的转股价格也应该调低，但因为影响幅度较小，我国目前不做 调整。 下面是转股价格的调整方法： 用p l 表示调整后的转股价格 p o 表示调整前的转股价格 s 表示增股前股票时价( 可以用当时平均价) n o 表示调整前的总股数 n ，表示新增加的股数 a 表示新增股的股价 目前有两种调整转股价格的公式 ( 1 ) p 1 = ( p o n o + a n l ) ( n o + n 1 ) ( 2 ) p i = 【p o ( n o + a n l s ) ( n o + n 1 ) 如何评价这两个公式呢? 要根据具体的市场环境判断。一般情况下， 调整前的转股价格反映了过去的股市情况，股票时价反映了现在的股 市情况。假设用两种方法计算的调整后的转股价格分别为p l ，p 1 瞳 则计算p 1 1 = ( p o n o + a n l ) ( n o + n 1 ) = ( p o n o + a n l + p o n j - - p o n l ) ( n o + n 1 ) = p o + ( a p o ) n l ( n o + n 1 ) p l 孙= p o ( n o + a n l s ) ( n o + n 1 ) = p o ( n o + a n l s ) + p o n l - - p o n i ( n o + n 1 ) = 【p o ( n o + n 1 ) + ( a p o s - - p o ) n 1 】( n o + n 1 ) = p o + ( a p o s - - p o ) n l ( n o 十n i ) p i 一p 1 2 = p o + ( a - - p o ) n i ( n o + n 1 ) - - p o + ( ap o s - - p o ) n i ( n o + n i ) 】 = ( 1 - - p o s ) a n l ( n o + n 1 ) 当股市上升时，p o 0 ，用第一种方法计算的 转股价格较高，降低了可转换公司债券的投资价值，用第二种方法计 算对投资者有利。 当股市下降时，p o s ，p l 一p l 晓 0 ，用第一种方法计算的 转股价格较低，提高了可转换公司债券的投资价值，用第一种方法计 算对投资者有利。 当股市的股票时价与转股价格相等时，即p o = s 时，用两种方法 计算的结果相同。 在我国一般采用第一种方法，可以看出这种方法在股市下降时， 对投资者比较有利1 。 例1 ：公司原有股份1 0 0 0 股，按1 0 ：2 的比例配股，配股价是5 元，原来的转股价格是6 元。按方法二计算的转股价格为： p = ( 1 0 0 0 6 + 2 0 0 5 ) ( 1 0 0 0 + 2 0 0 ) = 5 8 3 ( 元) 参考可转换公司债券的融资和投资p 4 5 4 6 例2 ：公司原有股份1 0 0 0 股，按1 0 ：2 的比例配股，配股价是5 元，同时按1 0 ：1 的比例送股，原来的转股价格是6 元。按方法二计 算的转股价格为： p l = ( 1 0 0 0 6 + 2 0 0 5 ) ( 1 0 0 0 + 2 0 0 + 1 0 0 ) = 5 3 8 ( 元) 上述四个要素是可转换公司债券最基本的要素，另外有些可转换 公司债券还有回售条款、赎回条款、特别向下修正条款等，这些要 素的不同组合构成了不同的可转换公司债券。虽然这些要素的匹配 是由发行人设计的，但是为了发行的成功，也必须考虑市场的情况 和投资人意愿，正是发行人和投资人双方的利益均衡，促使可转换 公司债券的品种千姿百态。 3 可转换公司债券定价理论 3 1 可转换公司债券的价值构成 可转换公司债券是公司债券的特殊形式，也是一种混合型的金融 产品，它兼有债权性和期权性。它的债权性体现在转换以前，享有定 期获取固定利息的权利，若在可转换公司债券到期后未被转换为股 票，投资人有权收回债券的本金。它的期权性表现在持有者在转换期 内可以按确定的价格转换为普通股票的权利，这种权利实质上是一种 以公司股票为标的资产的看涨期权( 买入期权) ，看涨期权为投资人 提供了分享公司长期增长和股票上涨的潜在价值的机会，它和发行公 司获取利润的能力和公司股票的表现有直接的关系。可转换公司债券 的票面利率一般较相同等级债券的利率低，低的部分可以看作是股票 买入期权的成本。因此可转换公司债券的价值由两部分组成：债券纯 粹价值和可转换为股票的买入期权价值。 3 2 可转换公司债券的纯粹价值 可转换公司债券的纯粹价值是指可转换公司债券在存续期限内 的按票面利率计算的现金流入总量的贴现值( 有些专家称做直接价 值或债券价值1 。债券纯粹价值是指发行人向投资人提供的固定收益， 由票面利率明确定义。前面提到，可转换公司债券的票面利率比同等 条件下普通债券低，低的部分实际上是转换权利的期权费，那么这里 的纯粹价值就是即使不实行转换也有的价值可转换公司债券的 保底价值。要计算贴现值需要选择合适的贴现率，一般选择相同经营 业绩和资信等级的公司债券的收益率或市场平均收益率。因此影响可 转换公司债券的纯粹价值的因素有：债券有效期限、票面利率、市场 平均利率。计算可转换公司债券的纯粹价值，可以采取与普通固定收 益债券相同的方法。 用v b 表示纯粹价值 t 表示存续期间( 从今天至债券到期的时间跨度) c i 表示各期的现金流量( 利息) i 表示各期( 年) r 表示贴现率 m 表示到期收到的面值 v b = e c i ( 1 + r ) 1 + m o + r ) 1 可转换公司债券的纯粹价值主要受市场利率的影响，当市场利率 升高，可转换公司债券的纯粹价值降低；反之，可转换公司债券的纯 粹价值升高。另外，存续期限越长其纯粹价值也越大。对于具体的可 转换公司债券，赎回条款、回售条款缩短了可转换债券的存续期问， 作为对缩短存续期限所引起的债券投资价值的补偿，赎回条款和回售 条款一般都包括对债券利率的提高，两者作用相反。所以可转换债券 的纯粹价值可视为其保底价值。 3 3 可转换公司债券的期权价值 可转换公司债券的期权价值，是指持有人拥有的以约定价格转换 为公司股票的权利，而没有必须转换的义务。根据期权理论，可转换 公司债券转换权是以公司的普通股票为标的资产的买入期权( 看涨期 权) 。且因为这个期权可以在一段时间内选择执行，所以这个期权是 美式期权。影响这个看涨期权的因素有转股价格、股票时价、可转换 公司债券的转换期限、股票红( 股) 利率、股票变动程度、无风险利 率等。 a 可转换公司债券的期权价值与其转股价格( 交割价) 有直接的 关系，转股价格越高，相应的期权价值越低，反之则越高。 b 可转换公司债券的期权价值与股票时价也有直接关系，在转股 价已经确定的情况下，股票的时价越大，股票的买入期权价值越大， 反之则越低。 c 可转换公司债券的期权价值与转换期限成正比关系，这是因为 转换期限越长，在此期间期权不但有较多的执行机会，而且它的获利 或有空间更大。 d 可转换公司债券的期权价值与股票价格的波动率同向变动。股 票价格的波动率衡量未来股票价格变动的不确定性，随着波动率的增 加，股票上升很高和降低很多的机会也随着增加。对于股票持有者来 说，这两种变动趋势互相抵消。但对于看涨期权持有者来说，他可以 从股价上升中获利，但当股价下跌时，他的最大损失是期权费一只有 有限的损失。因此随着波动率的增加，看涨期权的价值增加。 e 可转换公司债券的期权价值与无风险利率的关系比较复杂。当 无风险利率上升时，股价的预期增长率也倾向上升，股票的买入期权 价值上升，而对应的适用贴现率也相应增大，降低了股票期权的当前 值，可以证明第一种作用将起主导作用。即随着无风险利率的增加。 看涨期权的价值也随之增加。 f 可转换公司债券的期权价值与股票的红利率反向变动，股票红 利率越高其对应的股票买入期权的价值越小，反之则越大。目前我国 的情况是红利率普遍较低，很多股票没有红利分配。 上述各因素对期权价值都有影响，除此以外它们之间也不是完全 独立的，加上附加条款的影响，所以对可转换公司债券的股票买入期 权进行估值是一个比较复杂的过程，首先要选择建立定价模型，再对 各相关参数进行估计，计算结果，最后对结果进行实际检验。 3 4 可转换公司债券的价值 可转换公司债券的价值用v 表示：v = v b + v 。 v b 表示纯粹价值；v 。表示看涨期权价值 可转换公司债券的价值最小值不会低于其纯粹价值，其价值和其 对应的普通股票价格有联动效应，所以对于投资者而言，可转换公司 债券是一种“下可保底，上不封顶”的金融产品。 3 5 附加条款的影响 可转换公司债券作为一种合约，合约双方的利益互为对方的风 险，很爹可转换公司债券为规避风险，附加了赎回条款和回售条款。 赎回条款是发行人的权利，它使发行人在定的条件下可以提前兑付 债券，缩短了债券期限，减少了可转换公司债券的期权价值。虽然赎 回价格般较高，对此略有补偿，但总的趋势是降低了可转换公司债 券的价值。回售条款是持有人的权利，它使持有人在一定的条件下可 以提前兑付债券，具有回售条款的可转换公司债券的票面利率较低， 比同等条件下没有回售权的纯粹价值少。在回售条件下，可转换公司 债券的期权价值降低，尽管回售价格对期权的损失略有补偿，总的来 说回售条款对可转换公司债券的价值影响较小，对投资人来说，回售 条款只是在不利情况下的调整损失的权利。 4 可转换公司债券的期权定价模型与数值计算 4 1 可转换公司债券定价问题 综上所述，可转换债券的定价问题的关键是解决它所隐含的期权 定价问题。本节我们考虑用不同模型模拟该期权并进行理论分析，下 一节将对这些模型进行实证研究，比较它们的差异，从而探讨我国的 可转换债券的定价问题。 正如前面讨论的那样，可转换债券隐含的期权是一个复杂期权： 首先，它的执行时间是可转换债券发行后至它的到期日之前，故它不 是标准的美式期权；其次，可转换债券的期权执行后，它可改变公司 的资本结构，故它也不是标准的期权；此外还有其它象赎回条款的影 响等，使得可转换债券定价问题变得较复杂。本节我们试图用几种简 单模型来近似。 由于我国发行的可转换债券规模相对较小，因此在忽略转股后对 股东权益的稀释影响后，它可被看成一个纯期权。在此假设下可以利 用b l a c k s c h o l e s 模型对期权定价。 4 2b l a c k s c h o l e s 模型 b l a c k s c h o l e s 模型和其它的许多定价模型一样，是建立在一系列 的假设条件基础之上的，该模型的主要理论假设有如下几点： ( 1 ) 期权标的物是一种风险资产，可以被自由地连续买进或者卖 出。 ( 2 ) 期权标的物的价格x 变动遵循一个几何布朗运动，即其价格过 程( x t ) o t t 满足以下随机微分方程： r d x t = x t ( d t + 甜z 0( 0 t t ) t x 挪 q 其中p 、o 为常数，( 砧( 0 t 锄为标准布朗运动，直观上p 为股票 的瞬时收益率，o 为股票的瞬时收益率的标准差。 我们假设： ( 1 ) 在权利期间，不考虑标的资产的任何收益，如股利、利息等 ( 2 ) 存在个固定的无风险利率，对所有的到期日都相同 ( 3 ) 不存在交易费用和税收 根据上述假设条件和影响期权价值的主要相关因素，布莱克和斯科尔 斯建立了著名的b l a c k s c l l o l e s 期权定价模型。即若期权在t 时刻价 格满足c 。= f ( t ，x 。) ，则函数绯，x ) 满足以下的热方程： o f ( t ，x )o f ( t ，x ) + + ao x 和边界条件： f f r , x ) = ( x x ) + 用x 表示交割价格 。表示股价的波动率 t 表示期权到期曰 t 表示现在时刻 1 f 【t ，x ) 一0 2 x 2 = r f ( t ，x ) ( 2 ) 2掰 r 表示无风险利率 x = s 表示t 时刻股票价格 c 。表示t 时刻买入期权的价值 解上述偏微分方程得： c t = s n ( d 1 ) - - x e 。( t - t ) n ( d 2 ) ( 3 ) 其中：n 是标准正态分布变量的累积概率分布函数 i n ( s x ) + ( 什孑2 ) ( t - - t ) d l = d 2 = o4t t i n ( s x ) + ( r 0 2 2 ) ( t - - t ) 4 3 可转换公司债券期权价值的数值计算 在上述的布莱克斯科尔斯模型中有严格的假设条件，但是完全 满足这些条件是比较困难的，实际应用过程中可以适当放宽条件以适 用不同的期权类型。 ( 1 ) 可转换公司债券包含的期权不是严格的欧式期权。我国的股 票的红利率很低，可以忽略，根据期权投资理论：不支付红利的美式 买入期权在到期前执行不是最优的，故我国的大部分可转换公司债券 包含的期权可近似视为欧式买入期权。而对于在期权期问有明确红利 支付的可以进行如下调整：假设在t j 时刻支付红利明确为d ，则这个 确定的因素不会影响o ，通过调整股票t 时的价格，从s 中减去d 在 t 时的贴现值作为股票价格，这个价格就是无红利支付的股票价格。 综上所述，对于我国的可转换公司债券包含的期权可以利用欧式期权 近似，即用公式( 3 ) 进行计算。 在用b l a c k - - s c h o l e s 公式计算时，还有o ( 波动率) 参数有待确 定，这可以根据历史数据用以下方法获得： 采用时间间隔相同的一组股票价格s i ( i = 0 ，l ，2 n ) ( 1 ) 计算u i = l r l ( s 。s “) ( i = t ，2 n ) 是第i 个间隔的连续复利收益率 ( 2 ) 计算r 1 个u i 的标准差s s = 门丙i 甲币订) = i 孑而可i 哥订呵丽 ( 其中i 是1 1 个1 1 ，的平均值) ( 3 ) o = s f 甄( t 是一年的实际交易天数) 把。代入上述解析式得到欧式买入期权的价值。 2 实际中可转换公司债券的期限往往超过一年，在这种情况下分 红问题不能再做上述的简单化处理，分红的存在使投资者考虑提前执 行转换也许是最优选择。在考虑提前执行的情况下可转换公司债券包 含的期权应作为美式期权处理。美式买入期权没有确定的解析解，但 可以用树图的方法求数值解。美式期权的执行期是一段时间，可根据 其标的资产的特征构造股票价格树图，再根据t 时期权价值倒推求 解。我们可以按如下程序计算期权值： ( 1 ) 把t t 等分成n 个间隔，得到r l 一1 个分割点t | ( i = ，1 ，2 n - 1 ) ( 2 ) 根据股票价格的波动率a 构造股票价格的树图1 ( 3 ) 计算t 时交割的欧式期权值 ( 4 ) 计算t 。l 点交割的欧式期权值( t 。1 时刻股价与执行价之差) 和t 时交割的欧式期权值在t n 。点的贴现值，取其大者为t 1 1 - 点的期权 值。 ( 5 ) 重复( 4 ) 计算各点的期权值 ( 6 ) 直到t 时的期权值c 。( t = t ii = ，1 ，2 n - 1 ) 3 、现在的可转换公司债券大部分含有赎回条款，达到赎回条件时债 券将被赎回，在这种情况下期权的权利期限被缩短，获利空间被缩小。 包含赎回条款的可转换公司债券的期权的权利期限有更多的变化，再 采用上述方法处理使计算很繁琐，可以根据微分方程( 2 ) 求解不同 参考期权、期货和其它衍生产品p 3 1 3 边界条件下的差分方程得到对应的数值解。 赎回条件一般分为两类：无条件赎回和有条件赎回。无条件赎回 直接设定赎刨起始时间，可以直接调整期权的权利期限，利用差分方 程求解。有条件赎回比较复杂，赎回条件很多是用股票价格的行为变 化来描述，只能根据具体条件区别对待。 利用差分方程求解的具体步骤如下： ( 1 ) 把从现在时刻( o 时刻) 到期权到期日( t 时刻) 分成n 个相 等的小时间段a t = t n ，得到n + 1 个时间点：0 ，a t ，2 a t ，t 同时 把可达到的股票价格s 。分成m 个相等的小价格段a s = s 。m ，得到 m + 1 个价格点：0 ，a s ，2 a s ，s 。，构造一个以时间为x 轴，以股 票价格为y 轴的( n + 1 ) ( m + 1 ) 的网格， ( 2 ) 用f i d 表示( i t j s ) 点的期权值 用差分代替微分：o f f i j + l 一屯1 挑2 s 部 n 1 j 一屯 a 一 t 伊f f i j + l + j 一1 2f i j 二 0 s 2s 2 代入上述微分方程得到如下差分方程 a ：i j l + b j 氐+ c j f i j + 1 2f i + i j 其中a j = ( r j a t - - 0 2 j 2 a t ) 2 b i = i + c j 2 t + r a ti = 0 ，l ，2 n 1 ，j = o ，l ，2 m 1 c j - - - ( 一r j a t 一2 j 2 a t ) 2 边界条件：l 、f i o = o当股票价格为0 时，对应的买入期权为0 2 、f n j 2 m a x ( j a s - - p ，0 ) 在时刻t 时，买入期权价值 p 是转股价格 3 、当包含赎回价格时，取s 一= 赎回价格 上述三种情形基本概括了可转换公司债券期权的情况，但可转换公司 债券的具体条款不是标准化的，对于具体的可转换公司债券需要有针 对性的计算。 5 。可转换公司债券定价的实证研究 5 1 可转换公司债券的价值计算 本节基于上节的理论分析，以上海国际机场股份有限公司发行的 可转换公司债券( 1 0 0 0 0 9 ) 为例，来探讨可转换公司债券理论价值的 确定。 该债券面值1 0 0 元，票面利率o 8 ( 债券期限内每年2 月2 4 日 付息) ，初始转股价格1 0 元，债券期限：2 0 0 0 2 2 5 2 0 0 5 2 2 4 ，转换 期限：2 0 0 0 8 2 5 2 0 0 5 2 2 4 ， 赎回条款：赎回期：上市六个月之后。赎回条件：“2 0 0 0 8 2 5 后 任何连续4 0 个交易日中有至少3 0 个交易日的收盘价不低于该3 0 个 交易曰内生效转股价格的1 3 0 ”。赎回价格：面值与上一个付息臼 到赎回日的利息之和。 回售条款：2 0 0 4 8 2 5 日，回售价格1 0 7 1 8 元 ( 1 ) 纯粹价值 以2 0 0 3 2 2 5 为基准点，债券的存续期限还有两年。考虑到我国 目前对可转换公司债券发行企业的要求较高，其债券的风险很低，因 此可以当前的两年期银行贷款利率5 4 9 作为年实际复利率，则对应 年连续复利率r = l n ( 1 + 5 4 9 ) = 5 3 5 可作为债券的贴现利率，该债券 有效期还有2 年，利用前述公式计算得： v b = c i ( 1 + r ) + m ( 1 + r ) 1 = o 8 1 0 5 3 5 1 + o 8 1 0 5 3 5 2 + 1 0 0 1 0 5 3 5 2 = 9 1 5 8 ( 元) ( 2 ) 期权价值 在下面的计算中，分三种情形计算可转换公司债券的价值。 a 计算欧式期权价值 根据投资者理性和无套利假设，如果投资者计划持有可转换公司 债券的标的资产普通股票，那么即使期权的实值额很大，立即执 行不付红利股票的看涨期权也不是最佳的策略。因为在可转换公司债 券有效期内，股票的价格可能下降，拥有股票的风险大于拥有债券， 而且债券持有人同时享有债券的利息和般票的内在收益。如果投资者 认为现在股票价格被过高估计，那么立即执行是理性的最佳选择。也 就是说，在投资者理性和无套利假设情况下，对不付红利股票的可转 换公司债券的期权价值可以近似按欧式看涨期权来计算。 以2 0 0 2 8 1 至2 0 0 2 1 2 3 0 的机场股票价格为计算股票波动率的参 考数据，t = 2 4 5 6 = o 1 3 4 7 5 2 0 0 3 2 2 6 的收盘价x = 9 8 8 元，转股价格p = l o 元，以目前的国 债利率( 2 5 5 ) 为参考，以年连续复利率表示的无风险利率r 取值为 2 5 2 ，机场转债从2 0 0 2 2 2 6 计算距到期日t t = 2 年 已知：r = 2 5 2 o = 0 1 3 4 7 5s = 9 8 8 元，x = l o 元t = 2 i n ( 9 8 8 1 0 ) + ( 0 0 2 5 2 + 0 1 3 4 7 5 2 2 1 2 d l = d 2 = = 0 2 9 6 4 0 1 3 4 7 5 _ i n ( 9 8 8 1 0 ) + ( 0 0 2 5 2 0 1 3 4 7 5 2 2 ) x 2 = 0 1 0 5 8 0 1 3 4 7 5 2 查正态数值分布表得：n ( d i ) = o 6 1 6 5n ( d 2 ) = o 5 4 2 1 计算得c = 9 8 8x 0 6 1 6 5 - - 1 0 x e - 0 - 0 2 5 2 ”x 0 5 4 2 1 = 0 9 2 2 6 所以每张机场转债包含的欧式期权价值c = 9 2 2 6 ( 元) ， 每张机场转债得理论价值为v = 9 1 5 8 + 9 2 2 6 = 1 0 0 8 1 ( 元) b 计算基本可转换公司债券( 不考虑赎回条款) 的美式期权价值 用差分方程计算的美式期权的价值c = i 0 1 8 所以每张机场转债包含的美式期权价值c = 1 0 1 8 ( 元) 每张机场转债的理论价值为v = 9 1 5 8 + 1 0 1 8 = 1 0 1 7 6 ( 元) c 、考虑包括赎回条款的可转换公司债券期权价值 根据机场转债的赎回条款，当股票价格到每股1 3 元时，股票将 被赎回，以此价格作为边界条件，用差分方程计算的美式期权的价值 c = o 9 1 9 。所以每张机场转债包含的美式期权价值c = 9 1 9 ( 元) 。 为了计算赎回条件出现的概率，用m o n t ek a r l o 方法模拟风险中 性世界中股价的可能路线，得到赎回条件成立的概率p ，对应的期权 ，7 为c i ；赎回条件不成立的概率是1 一p ，不考虑赎回条款的期权为c 2 ， 则包含赎回条款的期权值为： c 2 p 。c i + ( 1 - - p ) c 2 用前述的无风险连续复利率r - 2 5 2 作为基础收益率，一般来说取股 票的预期收益率“= r + 0 0 8 = 0 1 0 5 2 1 ，i l y a t = 1 3 6 5 ，则有： a s s n ( o 0 0 0 2 8 8 2 ，0 0 0 7 0 5 3 )n ( ) 是正态分布 模拟股票价格过程1 0 0 0 次，赎回条件出现9 4 0 次。 p = 赎回条件出现的次数模拟的总次数 = 9 4 0 1 0 0 0 = 0 9 4 已知：p = 0 9 4 c l = 9 1 91 - - p = 0 0 6c 2 = 1 0 1 8 所以赎回期权价值为： c 2 p 。c l + ( 1 - p ) c 2 = o 9 4 9 1 9 + 0 0 6 1 0 1 8 = 9 2 5 ( 元) 所以包含赎回条件每张机场转债的理论价值( 2 0 0 3 2 2 6 ) 为 v = 9 1 5 8 + 9 2 5 = 1 0 0 8 3 ( 元) 三种方法计算的机场转债的价分别为：1 0 0 8 1 ，1 0 1 7 6 ，1 0 0 8 3 ，可 以看出用第二种方法计算的结果较高，因为美式期权比同等条件下的 欧式期权有更多的获利机会：当考虑了赎回条款的影响，美式期权价 值降低了0 9 3 元，也就是说赎回条款的价值是0 9 3 元。 参考期收、期货和其它衍生产品p 1 9 7 表2 是用差分方程计算的( 2 0 0 3 2 2 6 2 0 0 3 4 2 ) 机场转债的理论价值 和市场价格的对比表。 表2 机场转债的理论价值和市场价格的对比表 |日期基本可转含赎回可赎回条款可转换公司债转换价值普通股票 换公司债转换公司的价值券的市场价格价格 券理论价债券的理 值论价值 2 1 1 0 3 0 2 2 61 0 1 7 61 0 0 8 3o 9 31 0 3 7 49 8 89 8 8 2 0 0 3 0 2 2 71 0 1 5 31 0 0 8 s0 6 81 0 3 8 09 8 49 8 4 2 0 n 3 i 2 2 81 0 1 3 71 0 0 7 80 s 91 怕8 29 8 19 8 l 2 1 3 0 3 0 31 0 1 8 71 0 0 7 91 0 81 0 4 0 69 99 9 0 2 0 0 3 0 3 0 41 0 2 7 21 0 0 7 81 9 41 0 4 8 01 0 0 41 0 0 4 2 0 0 3 0 3 0 51 1 1 3 0 l1 0 0 8 02 2 11 0 4 9 91 81 0 0 8 2 0 0 3 0 3 0 61 0 3 7 61 0 1 1 22 6 41 0 5 4 01 0 1 81 0 1 8 2 0 0 3 0 3 0 71 1 1 3 9 01 0 0 9 s2 9 51 0 5 2 11 0 21 0 2 0 2 0 0 3 0 3 1 01 0 2 7 21 0 0 。7 81 9 41 0 4 9 0 1 41 0 0 4 2 0 0 3 0 3 1 11 0 3 1 61 0 0 8 32 3 31 0 4 9 l 1 0 11 0 1 0 2 0 0 3 0 3 1 21 0 3 8 31 0 0 8 33 01 0 5 2 01 0 1 91 0 1 9 2 ( 1 0 3 0 3 1 31 0 4 5 01 0 0 8 03 7 01 艏3 51 1 1 2 81 0 2 8 2 0 0 3 0 3 1 41 0 4 6 51 0 0 8 23 8 31 0 5 3 21 0 31 0 3 0 2 0 1 1 3 1 1 3 1 71 0 4 8 71 0 0 8 74 01 0 5 4 91 0 3 31 0 3 3 2 3 【1 3 1 81 0 5 3 11 小1 8 54 4 61 0 5 8 51 0 3 91 0 3 9 2 0 0 3 0 3 1 91 0 5 3 91 0 0 8 34 5 61