（控制理论与控制工程专业论文）小波非bayesian滤波法比较及其阈值滤波算法研究.pdf

摘要 摘要 小波的出现在数学界引起了广泛的关注，其理论与应用得到了空前的发展， 已成为信号、图像处理领域一个主要的研究方向。作为小波理论与应用的重要分 支，十几年来，小波滤波的理论及应用也得到了很大的发展，标志着一种新的信 号滤波方法的出现。 小波滤波的机理是基于信号与噪声的小波系数的尺度上的不同性质，采用相 应规则，对含噪信号的小波系数进行取舍、抽取或切削等非线性处理，以达到去 除噪声的目的。小波滤波研究主要集中在三个方向，包括基于信号奇异性的模极 大值重构滤波、基于信号尺度间相关性的空域相关滤波和基于小波变换解相关性 的小波域阈值滤波，并且在医学图像和s a r 图像滤波、压缩等领域得到了较为 成功的应用。 小波域阈值滤波方法是实现最简单、计算量最小的一种方法，因而应用最广 泛。但其阈值的选取比较困难，虽然d o n o h o 在理论上证明并找到了通用阈值， 但实际应用中效果并不理想。因此本文研究的主要内容为分析比较小波域各种非 b a y e s i a n 滤波方法和小波域阈值方法的改进。在改进小波域阈值方法中有两个方 面的内容：其一，基于小波变换和灰色关联度，提出g i d 阈值方法，并将应用于 信号滤波和图像压缩；其二，主要是针对小波域阈值函数中的半软阈值函数参数 选取算法的研究，结合灰色关联度原理和模糊数学理论，提出一种新的参数算法， 降低算法的复杂度，并将其应用于不同性质的信号中，取得良好效果。 本文研究的g i d 阈值方法以及半软阈值函数参数的改进利用m a t l a b 对不 同的性质信号和图像进行仿真，都取得了良好效果。它们的深入研究和使用将对 小波变换在信号和图像处理的发展起到积极的作用。 关键词：小波滤波；图像压缩；g i d 阈值法：灰色关联度；模糊 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ea p p e a r a n c eo fw a v e l e th a sa r o u s e dt h ew i d e s p r e a di n t e r e s ti nt h ef i e l do f m a t h e m a t i c s ，i t st h e o r ya n da p p l i c a t i o no b t a i n e dt h eu n p r e c e d e n t e dd e v e l o p m e n t ，a n d i th a sb e c o m eam a i nr e s e a r c hd i r e c t i o no ft h es i g n a la n di m a g ep r o c e s s i n g t h e w a v e l e tt h e o r ya n da p p l i c a t i o na sa ni m p o r t a n tb r a n c h ，t h ew a v e l e tf i l t e r st h e o r ya n d a p p l i c a t i o na l s o o b t a i n e dt h ep r o d i g i o u sd e v e l o p m e n tf o rs e v e r a ly e a r s ，w h i c h s y m b o l i z e st h ee m e r g e n c eo fa “n do fn e ws i g n a lf i l t e r i n gm e t h o d t h ew a v e l e tf i l t e r sm e c h a n i s mi sb a s e do nt h ed i f f e r e n tp r o p e r t yo fw a v e l e t c o e f f i c i e n t ss c a l eb e t w e e ns i g n a la n dn o i s e ，i tu s e st h ec o r r e s p o n d i n gr u l ea n di t p r o c e s s e st h es i g n a lc o n t a i n i n gn o i s eb yn o n - l i n e a rm e t h o dt h a tc o n t a i n se x t r a c t i o n , c h o i c e ，c u t t i n gt h es i g n a lw a v e l e tc o e f f i c i e n t sa n ds oo n ，i no r d e rt oe l i m i n a t et h e n o i s e t h er e s e a r c ho fw a v e l e tf i l t e r i n gm a i n l yh a st h r e ed i r e c t i o n s ，i n c l u d i n gt h e m o l dm a x i m u mv a l u er e s t r u c t u r i n gf i l t e r i n gb a s e do ns i g n a li r r e g u l a r i t y , t h es p a c e c o r r e l a t i o nf i l t e r i n gb a s e do nt h er e l a t i v i t yb e t w e e ns i g n a ls c a l e sa n dt h ew a v e l e t t h r e s h o l dv a l u ef i l t e r i n gb a s e do nt h ed e c o r r e l a t i o no fw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n ，a n d t h e yo b t a i nam o r es u c c e s s f u la p p l i c a t i o ni nm e d i c i n ei m a g ef i l t e r i n g ，s a ri m a g e f i l t e r i n ga n dc o m p r e s s i o n ，a n do t h e rf i e l d s t h em e t h o do fw a v e l e tt h r e s h o l dv a l u ef i l t e r i n gi sak i n do ft h e s i m p l e s t r e a l i z a t i o n ，t h es m a l l e s tc a l c u l a t i o n ，s oi th a sb e e nw i d e l ya p p l i e d b u ti t st h r e s h o l d v a l u e ss e l e c t i o ni sq u i t ed i f f i c u l t ，a l t h o u g hd o n o h oh a sp r o v e dt h e o r e t i c a l l ya n dh a s f o u n dt h eg e n e r a lt h r e s h o l dv a l u e ，t h er e s u l t sa r eu n s a t i s f a c t o r yi nt h ep r a c t i c a l a p p l i c a t i o n t h e r e f o r e ，t h ep r i m a r yc o n t e n to fr e s e a r c hi st oa n a l y z ea n dc o m p a r ee a c h n o n - b a y e s i a nf i l t e r i n gm e t h o da n dt h ei m p r o v e m e n tt h r e s h o l dv a l u em e t h o di nt h e f i e l do fw a v e l e ti nt h i sp a p e r a n dt h a tt h e r ea r et w oa s p e c t si nt h ei m p r o v e m e n to f t h r e s h o l dv a l u em e t h o d ：f i r s t ，i tp r o p o s e st h eg i dt h r e s h o l dv a l u em e t h o db a s e do n w a v e l e tt r a n s f o r m a t i o na n dg r e yi n c i d e n c ed e g r e e ，a n di tw i l lb ea p p l i e dt ot h es i g n a l f i l t e r i n ga n dt h ei m a g ec o m p r e s s i o n ；s e c o n d ，i tm a i n l yr e s e a r c ho nt h ep a r a m e t e r s e l e c t i o na l g o r i t h mo fs e m i s o f tt h r e s h o l df u n c t i o ni nt h ew a v e l e tt h r e s h o l dv a l u e 小波非b a y e s i a n 滤波法比较及其阈值滤波算法研究 f u n c t i o n c o m b i n e d 州t ht h eg r e yi n c i d e n c ed e g r e et h e o r ya n df u z z yt h e o r y ，an e w p a r a m e t e r s a l g o r i t h mw i l lb ep r o p o s e d ，a n di tc a l lr e d u c et h ec o m p l e x i t yo fa l g o r i t h m ， f i n a l l y ，i tw i l lb ea p p l i e d t ot h ed i f f e r e n ts i g n a l s ，a n dt h er e s u l t sa r es a t i s f a c t o r y i nt h i sp a p e r , t h eg i dt h r e s h o l dv a l u em e t h o da sw e l l 弱t h ei m p r o v e m e n to f s e m i s o f tt h r e s h o l dv a l u ef u n c t i o np a r a m e t e rh a so b t a i n e df a m o u se f f e c t b y s i m u l a t i n gt h ed i f f e r e n tp r o p e r t ys i g n a la n di m a g eb ym e a n so fm a t l a b t h e i r i n d e p t h r e s e a r c ha n d a p p l i c a t i o n w i l l p l a y ap o s i t i v er o l e i nt h ew a v e l e t t r a n s f o r m a t i o n 、析t ht h ep r o c e s s i n go ft h es i g n a la n di m a g e k e y w o r d s ：w a v e l e tf i l t e r i n g ；i m a g ec o m p r e s s i o n ；g i dt h r e s h o l dv a l u em e t h o d ； g r e yi n c i d e n c ed e g r e e ；f u z z y 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果，均 在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究生学 术活动规范( 试行) 。 另外，该学位论文为() 课题( 组) 的研究成果，获得() 课题( 组) 经费或实验室的 资助，在() 实验室完成。( 请在以上括号内填写课 题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特 别声明。) 声明人( 签名) 魂，扬 1 “小 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦门大学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办 法等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交 学位论文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进入厦门大学图书 馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国 博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和 摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于： () 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文， 于年 月日解密，解密后适用上述授权。 () 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打“”或填上相应内容。保密学位论文 应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密 委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权。) 声明人。签名，：彳融孛易 1 “月日 第一章绪论 第一章绪论 2 0 世纪8 0 年代初，m o r l e t 和a r e n s 等人首次提出了“小波”的概念。小波 分析的出现和发展，源于许多不同科学领域信号处理的需要。作为一种数学工具， 小波分析己广泛应用于信号分析、图像处理，理论物理，军事对抗，模式识别、 医学成像诊断、音乐人工合成等方面，而这些应用中产生的问题进一步激发了人 们研究小波分析的兴趣。由此，带来了小波分析的迅速发展。 1 1 引言 傅里叶分析的不足之处在于：它在将时域信号转换为频域信号后，时域信息 则失去了。通过这种变换，不能确知事件发生的确切时间，而大多数信号含有趋 势、突变、事件的开始与结束等特征。这些特征通常是信号所包含的最重要的信 息，傅里叶分析在检测它们时便显得无能为力。而小波分析是一个范围可变的窗 口方法，小波分析可以用长时间间隔来获得更精确的低频信息，用短时间间隔来 获得高频信息。 小波分析的主要优点就是提供了时频局部分析与细化的能力。对于一个实际 中容易产生，并具有极少不连续性的正弦信号，其傅里叶系数图没有任何特别的 地方，然而小波系数图却能清楚地显示时间不连续的精确位置。小波分析可以揭 示其它信号分析方法所丢失的数据信息，如趋势、断点、高阶导数不连续、自相 似性等。与传统的信号分析技术相比，小波分析还能在没有明显损失的情况下， 对信号进行压缩和消噪。 几乎一切信号都较难只根据原始数据来作解释，总要提取它的某些特征来表 征它。提取什么特征要根据信号特点和分析目的来决定，但也不排斥提取一些具 有共性的特征，如信号的过零点、极值点以及过零间隔等。信号的急剧变化之处 常是分析特性的最关键之处。例如，脑电图中的尖波和棘波、心电图中的o r s 波群、图像中各物体的边沿等。由信号的小波变换的奇异点在多尺度上的综合表 现来表示信号( 特别是它的突变或瞬态特征) 是小波变换引人注意的应用领域。 随着多媒体应用的普及和数字视频技术的发展，以及网络上图像传输的增 小波非b a y e s i a n 滤波法比较及其阈值滤波算法研究 多，对图像的处理变得越来越重要。图像的数字化是必然的趋势，但是经过数字 化的图像所占的数据量相当庞大，而信道带宽和存储空间的限制又给实际应用带 来了很大的困难，所以图像压缩已成为现代信息社会亟待解决问题。 近年来小波滤波这一概念不断见之于有关信号及图像处理研究的文献中。这 标志着种新的信号滤波思想的出现。在早期的多尺度信号处理工作中，人们就 已注意到信号和噪声在不同尺度上有不同的特征表现，并试图有效地利用这些特 征，而小波变换的出现正好为这一想法提供了一个自然而完美的工具，使信号图 像的多尺度处理技术得到迅速发展。 小波域阈值滤波算法是实现最简单、计算量最小的一种方法，因而应用最广 泛。但其阈值的选取比较困难，虽然d o n o h o 在理论上证明并找到了最优的通用 阈值，但实际应用中效果并不十分理想。另外，阈值的选取还依赖于噪声的方差， 因此需要事先估计噪声方差。而本文研究的重点正是小波域阈值滤波。 1 2 课题研究背景与意义 随着信息科学与技术的飞速发展，随着信息技术深入到各个领域而得到广泛 的应用，信号与信息处理也作为前沿技术而发生着重大的变化。从银河系天文学 到分子光谱学，从s a r 图像到医学图像，直至计算机视觉等领域，我们都需要 从不完备的、直接或间接测量的，而且往往是被噪声污染的数据中恢复信号、曲 线、图像、频谱或密度。这就使得利用各种信号处理理论、数学分析方法以及计 算机技术对各种信息在一定准则下进行滤波、分析的技术得以迅速发展。 傅里叶变换是分析平稳信号的理想工具。在被分析的信号具有一定的奇异 性，而是非平稳信号时，将这种信号中噪声去除用传统的f o u r i e r 变换的方法己 无能为力，而小波变换由于具有空间和频域上的自适应局部性，它能够有效地区 分信号中的突变部分和噪声，从而实现这种非平稳信号的去噪。 正因为传统傅里叶分析只在频率作变化的优点，使得f f t 对信号降噪方法中 对系数进行处理的手法相对单一，不能很好的体现信号的相似性。而小波变换是 傅里叶变换的新发展，它既保留了傅罩叶变换的优点，又弥补了傅里叶变换在信 号分析上的一些不足。 小波分析作为- f - i 新的数学学科，包含了丰富的数学内容，并推动了泛函分 2 第一章绪论 析和调和分析理论的发展，同时，在诸如信号去噪、自适应滤波、数值分析和物 理学等领域得到了广泛的应用，是当前最为活跃的应用领域之一，并逐渐成为一 门极具生命力的新学科。 从通常意义上，滤波的两个准则，光滑性和相似性在时间和频率两个空间上 体现得比重不同。从时域分析的角度，更容易体现信号的相似性，而不太好处理 信号的光滑性，因为时域的分析可以很好的判断信号的动态性质，而在频域中， 可以很方便地过滤掉高频的噪声信号，使得信号无限光滑，但是在原信号中能量 比重很小的很多有用的信号成分也可能因此被过滤掉。 在这个意义上，小波分析的多分辨概念有了广泛的应用空间，展开之后的小 波系数，既可以根据某些频段的系数做滤波，更重要的是可以根据某些频段分离 出来的系数随时间的变化，通过某些准则来确定其是信号本身所包含的信息，还 是在统计上无规律的噪声。有了这些非常符合实际应用的特性，小波变换才会被 誉为“数学显微镜”。 1 3 小波滤波研究的现状和难点 1 3 1 研究现状 早期，l uj i a n 和m a l l a t 几乎是同时提出了基于小波分析和子带分解的边缘 检测与滤除噪声的方法n - 刳。w i t k i n 首先引入了利用尺度空间相关性来对信号滤 波的思想h 1 。对含噪信号经过子带分解后，从粗尺度到细尺度逐步确定信号的主 要边缘，最终从噪声背景中得到真实信号。1 9 9 2 年，m a l l a t 等人提出了基于信 号奇异性的信号和图像多尺度边缘表示法，利用l i p s c h i t z 指数在尺度上对信号 和图像及噪声的数学特性进行描述，提出模极大值重构滤波方法n 引。l uj i a n 等 人直接将小波变换理论与传统的多尺度信号处理方法相结合，给出了一种性能优 良的小波滤波方法，并在医学图像处理领域得到应用。1 9 9 4 年，根据r o s e n f i e l d 所提出的思想，x u 提出了基于信号尺度间相关性的空域相关滤波算法( s s n f ) 啼1 ， 就是在进行数字图像处理时，直接将相邻频带上的数据相乘，可以准确地定位信 号边缘。随后，d o n o h o 提出y 4 , 波域阈值滤波算法，取得了大量的理论及应用 成果。1 。与此同时，k r i m 等人运用最小描述长度准则，得到了相同的阈值。 小波非b a y e s i a n 滤波法比较及其阂值滤波算法研究 p m o u l i n 提出了小波谱滤波算法n 引。此外，还有基于极大验后概率m a p 的自适 应收缩法以及许多学者对各种方法的改进等等，都丰富了小波滤波的理论和应 用。 小波域滤波可按以下几个特征进行分类n 引： ( 1 ) 按所采用的变换方法分为进行基变换( 快速小波变换、r i d g e l e t s 、局部 余弦基等) 、利用框架来变换( 非抽取小波) 和通过选取最优基来变换( 如小波 包、自适应提升变换) 。 ( 2 ) 按所利用的小波性质分为能量集中性( 阈值滤波算法) 、多分辨率特性 ( 尺度问相关性、树结构算法) 、尺度问相关性( 使用m a r k o v 随机场模型) 和 时间频率定位特性。 ( 3 ) 按使用的模型分为b a y e s i a n 方法( 全b a y e s 模型或经验b a y e s 模型) 、 非b a y e s i a n 方法( 逼近理论、函数集合、平滑方法) 等。 目前存在的小波滤波方法主要可分为贝叶斯( b a y e s i a n ) 方法和非贝叶斯 ( n o n b a y e s i a n ) 方法，而n o n b a y e s i a n 方法应用最广泛，这也是本文研究的重 点。 1 3 2 研究难点 很多学者研究发现，作为小波滤波的理论基础，l i p s c h i t z 指数理论仅仅通过 对信号奇异性的数学描述来解释信号和噪声经小波变换后在不同尺度下所表现 出来的不同性质。但无论是这种性质真正的本质含义还是目前小波系数幅值对 l i p s c h i t z 指数度量的近似性，都很难令人满意。 目前为止，对于不同的信号、图像的处理没有一种通用的小波滤波方法，只 能针对不同的信号和图像特征采用不同的小波滤波方法。 因此，对小波系数随尺度变化所呈现的特有性质进行更为科学、严谨的数学 表述是小波滤波理论完备与有效应用的一个重要课题。本文主要针对阈值滤波中 小波系数随尺度变化所呈现的关系用灰色关联度来度量，提出一种新的阈值法一 g i d 阈值法。但是g i d 阈值法不是一种通用的方法，它只是对于大部分的信 号和图像处理效果较佳。 4 第一章绪论 1 4 本文的内容组织与创新点 1 4 1 本文的内容组织 第一章为绪论，介绍了小波滤波及其阈值滤波的研究背景、研究意义、研究 现状，以及其研究的难点。 第二章简要地介绍了小波变换、多分辨率分析、m a l l a t 算法及其小波滤波理 论等。 第三章主要对第四、五章所涉及到的模糊数学以及灰色系统理论中的灰色关 联度等问题进行了简要的介绍与分析。最后，分析小波在m a t l a b 中的实现问题。 第四章主要对小波域非贝叶斯( b a y e s i a n ) 滤波各种方法进行比较分析，分 别从算法思想，原理和优缺点等进行分析概况，同时，选择一些典型的滤波算法 和一些常用的信号，分别从信噪比( s n r ) 和均方误差( m s e ) 两个方面进行实 验分析。 第五章考虑到d o n o h o 的通用阈值在实际应用中效果不佳，本章提出一种基 于灰色关联度的小波阈值方法g i d 阈值法，并应用于信号滤波以及图像压 缩，取得了良好效果。 第六章由g a oh o n g y e 提出的半软阈值法，因其参数实现算法的复杂度大而 没有得到有效的应用，本章提出一种基于模糊数学的小波半软阈值滤波，在性能 几乎不变的同时，较大降低算法的复杂度。 第七章总结与展望，总结了本文对小波滤波及其阈值滤波的研究工作，包括 所取得的成绩与有待改进的地方，并提出下步的努力方向。 1 4 2 本文的创新点 小波域阈值滤波因其实现最简单，计算量最小而得到广泛的应用，本文结合 模糊数学、灰色理论以及小波变换理论，对阈值滤波进行了改进。 g i d 阈值滤波在信号的光滑性和相似性两大准则上都有很大的提高；同样， g i d 阈值法在图像压缩应用中不论是压缩比还是失真度也样得到了提高。它可 以根据不同信号和图像的特征，能够白适应地折衷处理抑制噪声和保留信号细节 这两大对立问题，并取得了良好效果，从而进一步为处理信号和图像的小波阈值 小波非b a y e s i a n 滤波法比较及其阈值滤波算法研究 方法提供了一种更好的选择。 由g a oh o n g y e 提出的半软阈值法，因其参数实现算法的复杂度大而没有得 到有效的应用。结合小波理论与模糊理论对半软阈值函数的参数提出一种新的计 算算法，从而减少了算法实现的复杂度，取得了良好的效果。 6 第二章小波变换及其滤波原理 第二章小波变换及其滤波原理 本章首先简要介绍小波变换原理；其次，讨论多分辨率分析以及m a l l a t 算 法；最后，介绍小波滤波原理及其滤波过程。 2 1 小波变换 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师j m o r l e t 在1 9 7 4 年首 先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时 未能得到数学家的认可。正如1 8 0 7 年法国的热学工程师j b j f o u r i e r 提出任一 函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家 j l l a g r a n g e ，p s l a p l a c e 以及a m l e g e n d r e 的认可一样。幸运的是，早在七十 年代，a c a l d e r o n 表示定理的发现、h a r d y 空间的原子分解和无条件基的深入研 究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且j o s t r o m b e r g 还构造了历史上非 常类似于现在的小波基；1 9 8 6 年著名数学家y m e y e r 偶然构造出一个真正的小 波基，并与s m a l l a t 合作建立了构造小波基的同样方法及其多尺度分析之后，小 波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家i d a u b e c h i e s 撰写的小波十 讲( t e nl e c t u r e so nw a v e l e t s ) 对小波的普及起了重要的推动作用。它与f o u r i e r 变换、窗口f o u r i e r 变换( g a b o r 变换) 相比，这是一个时间和频率的局域变换， 因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行 多尺度细化分析( m u l t i s c a l ea n a l y s i s ) ，解决了f o u r i e r 变换不能解决的许多困 难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式 的进展。 1 小波函数 小波函数的确切定义为：设v ( t ) 为一平方可积函数，也即g t ( t ) l 2 ( r ) ，若其 傅里叶变换( 国) 满足条件：止蛐 o ，r r ，则称，f ( ，) 为连续小波基函 数。其中，a 为伸缩因子，f 为平移因子。 小波函数多以开发者的名字命名，常用的如图： 图2 - 1m o r l e t 小波函数 图2 - 2d b 6 小波函数 第二章小波变换及其滤波原理 图2 - 3s y m 6 小波函数 图2 - 4c o i f 2 小波函数 3 连续小波变换 将任意r ( r ) 空间中的函数厂( f ) 在d 、波基，( f ) 下进行展开，称这种展开为 函数厂( f ) 的连续小波变换( c o n t i n u ew a v e l e tt r a n s f o r m ，简称为c w t ) ，其表达 式为 啊( 叩) = ( 巾) 帆删= 万1i 巾炒+ ( 等) 衍 协- ) 4 二进小波 设函数， ( ，) t 2 ( r ) ，若存在常数彳，b ，且o a 5b 佃，使得几乎处 处有 小波非b a y e s i a n 滤波法比较及其阈值滤波算法研究 彳薹f 汐( 2 ) 1 2 召，则称沙是一个二进小波。 5 二迸小汲变换 对于小波函数，t ( ，) ，令y ：，( f ) = 歹1y 歹t ) ，厂在尺度2 。和f 位置的小波变 换为，厂( r ) = f 木，( r ) 称序列= ，厂( ，) ) 成为二进小波变换，厂( ，) 是 厂( f ) 在尺度2 。上的细节信号。 6 多分辨率分析 多分辨率分析是指满足下列性质的一系列闭子空间 _ ) e z ，即 ( 1 ) 一致单调性：c ckc c v _ l c 圪ck j ( 2 ) 渐近完全性：n 巧= o ，u 巧= r ( 尺) ( 3 ) 二进伸缩规则性：厂( 专) 巧饨) ( 4 ) 平移不变性：厂( r ) v o f ( t 一刀) k ( 5 ) 正交基存在性：存在( f ) ，b 吏得 o ( t - n ) 腕成为v o 的正交基，即 即 v o = 印口门 矽( f _ 门) ) 且( f k ( t - n ) ，f k ( t - m ) ) = 万( 刀一m ) 通常称为尺度是的尺度空间，( r ) 称为多分辨率分析的尺度函数。 7 m a ll a t 算法 ( 1 ) 双尺度方程 设尺度函数为痧( 石) ，则对应的小波函数为( ，) ，它们应满足如下双尺度方程， f 矽( x ) = h ( n ) q k ( 2 x 一 ) k ) ：壹咖) 矽( 2 x - n ) q 屯 其中g ( n ) = ( 一1 ) 1 一”h ( 1 一甩) ( 2 ) 尺度空间的分解 从多分辨率分析的知识中，可以知道对于厂( ，) r ( r ) ，可以分解为若干个小 1 0 第二章小波变换及其滤波原理 波分量的直和，即 k + 。= ko 圪= 形o 一。ok l = = 睨0 呢一。0 ow oo ( 2 3 ) 其中，o 表示子空间直和关系，尺度空间分解示意图如图2 - 5 所示。 图2 - 5 尺度空间v o 分解 ( 3 ) 分解算法 对于f ( t ) r ( r ) ，其频谱为( 缈) 。在实际应用中，信号的频谱总是有限的， 即只要选择足够大的m 使得厂( f ) 圪+ 。，那么，( ，) 就可用圪+ 。中的标准正交基 来展开，即 邝) = + l 。丸+ l ，( f ) ( 2 - 4 ) 其中：c m + l 。= 。 由于+ ，= 0 既，即圪上既，因此，f ( t ) p - t 1 3 日圪和中的基共同来展 开，即 厂( f ) = ，。丸，。( ，) + 丸，女( f ) ( 2 5 ) 式( 2 5 ) 中，右边的第一部分是厂( ，) 的低频分量，即f ( t ) 的近似轮廓部分， 第二部分是f ( t ) 的高频分量，即f ( t ) 的细节部分，其系数为 ，t = _ 一 z c m 扎。 = + l ，。瓦i ( 2 6 ) f” 小波非b a y e s i a n 滤波法比较及其阂值滤波算法研究 同理可得 以，七= = 。一g m - z k ( 2 7 ) 当已知大的子空间圪+ 。中的系数m 时，便可计算出小的子空间圪和既中 的系数气和以这就是m a l l a t 分解算法，如图所示。 + l ，七- ，七叶一1 ，七_ 一玎，七 吒，七吨，七 ( 4 ) 重构算法 m a l l a t 重构算法实际上是分解算法的逆运算，将式( 2 - 6 ) 和式( 2 - 7 ) 带 入式( 2 5 ) 可以得到 们) = c 卅，。屯，。( t ) + zd m , k v m , k ( f ) = c m , k ( 岛埘屯“) ) + 一”k， 厂1 丸，。( z g 心。丸+ l ，) ) = l ，。均m + 以，。g l mk + ，) ( 2 9 ) kii lk k j 将，一k ，k 一玎，于是得到 c m + l 女= c m ，。魂勘+ 以，。咖 ( 2 1 0 ) 因此，很显然，重构是由小的子空间圪和既中的展开系数气，。和以，。来计 算大的子空间圪+ ，中的系数，重构过程如图所示。 图2 7m a l l a t 重构图 1 2 吨 文 一 惦 o 噱 ， 0 其分布曲线如图3 1 所示。 ( 2 )f 型 u ( x 图3 - 1 正态型曲线图 c x ，= 。嘉，曼p ，一i x x 0 ，矿 0 。 其分布曲线如图