（固体力学专业论文）自然单元法在线弹性断裂力学中的应用研究.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 断裂问题一直是数值计算中的难点之一。常用的处理方法包括有限元法、 边界元法和无网格法。对于断裂问题而言，其计算的难点主要包括模型的建立、 边界条件的施加和不连续性的处理。有限元法在处理断裂问题时，为了得到更精 确的数值解，需要在裂纹尖端进行精确的网格划分，并且随着裂纹扩展，需要进 行网格的重新划分。这会导致计算精度和求解效率的降低。无网格法只依赖于节 点信息的优点使它成为目前处理大变形和不连续性问题的一种比较有效的方法。 自然单元法是一种新型的数值计算方法，属于无网格法。该方法基于整个 求解域内离散节点的v o r o n o i 结构，采用自然邻点插值方法在全域构造近似函数 应用于g a l e r k i n 过程。自然单元法的形函数构造简单，形函数及其导数的计算 不涉及人为因素，计算量大大减少。另外，由于自然单元法形函数具有d e l t a 函数的性质，在边界相邻节点间满足线性插值，从而可以准确地施加边界条件和 方便处理场函数及其导数的不连续性，因此自然单元法同时具备有限元法和无网 格法两者的优点。 采用l a p l a c e 插值构造近似场函数，代入弹性力学边值问题的变分弱形式， 由变分的任意性推导出离散控制方程。首先通过了分片试验，验证了方法的正确 性。然后分别计算了受单向拉伸作用下的正方形板，受集中力作用的悬臂梁，通 过数值计算结果验证了方法的正确性、计算精度和效率。根据断裂力学的基础知 识，以d e l a u n a y 三角形为积分背景，采用三角形高斯积分，在线弹性范围内， 通过，积分计算了矩形板单边i 型边界裂纹的应力强度因子，并对单边i 型边界 裂纹的应力强度因子和沿裂纹延长线扩展不同裂纹长度的应力强度因子进行了 计算，给出了边界i 型裂纹裂尖周围应力场的数值解与解析解对比图。根据最大 拉应力理论，应用围线积分法，计算了矩形板边界拉剪复合裂纹的应力强度因子， 及裂纹扩展趋势，结果与实际裂纹扩展中i 型裂纹占优的情况相符，裂纹扩展趋 势也与李卧东等计算结果相符。研究结果表明应用l a p l a c e 插值构造近似场函数 应用于g a l e r k i n 过程的自然单元法计算裂纹扩展是可行的，并且有较好的计算 精度和计算效率，为自然单元法在不连续体中的应用提供了研究的思路和方法。 关键词：自然单元法；l a p l a c e 插值；应力强度因子；裂纹扩展 v 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t f a c t u r ep r o b l e mi sad i f f i c u l t yi nn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n t h e r ea r es o m es t a p l e m e t h o d ss u c ha sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d 、b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o da n dm e t h l e s s m e t h o dt os o l v ei t m e t h l e s sm e t h o di sn o wf a rr a n g i n gu s e di nd i s c o n t i n u u m p r o b l e m s i n c en oe l e m e mc o n n e c t i v i t yd a t ai sr e q u i r e d ，b u r d e n s o m em e s h i n go r r e m e s h i n gc h a r a c t e r i s t i co ft h et r a d i t i o n a ln u m e r i c a lm e t h o d si sa v o i d e d ag r o w t h i n g c r a c kc a nb em o d e l l e db ys i m p l ye x t e n d i n gt h ef r e ec r a c ks u r f a c e so rf r e ec r a c kl i n e s c o r r e s p o n d i n g t ot h ec r a c k t h i sm e t h o ds i m p l i f i e st h ep r o c e s so ft h ep r o p a g a t i o no f c r a c k s ot h em e s h l e s sm e t h o di s p a r t i c u l a r l ya p p r o p r i a t et os o l v ef a t i g u ec r a c k p r o p a g a t i o np r o b l e m s n a t u r ee l e m e mm e t h o di san e wt y p eo fm e t h l e s sm e t h o d i tu s en a t u r a l n e i g h b o u ri n t e r p o l a t i o n t os t r u c t u r e s h a p ef u n c t i o n t h e n a t u r a l n e i g h b o u r i n t e r p o l a t i o ni sam u l t i v a r i a b l ei n t e r p o l a t i o ns c h e m eb a s e do nv o r o n o id i a g r a mo f s c a t t e r e dn o d e s t h ea p p r o x i m a t i o ns c h e m ei su s e di nn a t u r e a le l e m e mm e t h o da n d n a t u r a ln e i g h b o u rg a l e r k i nm e t h o ds u c c e s s f u l l y t h el a p l a c ei n t e r p o l a t i o ni sak i n d o fn a t u r a ln e i g h b o u ri n t e r p o l a t i o nd e v e l o p e dr e l a t i v e l yr e c e n t l y ，a n dp r o v e dt ob e m o r ee f f i c i e n t a st h el a p l a c ei n t e r p o l a t i o ni sai n t e r p o l a n ti ns t e a do ff i t t i n g ， m e t h l e s sm e t h o d sb a s e do ni tc a ni m p o s et h ee s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o nd i r e c t l y i nt h i sp a p e r ，l a p l a c ei n t e r p o l a t i o ni sf i r s tu s e dt os t r u c t u r es h a p ef u n c t i o nt o a p p r o x i m a t es i m p l ep r o b l e m s ，s u c ha ss q u a r ep l a t ew h i c hi sb e a r e ds t r e t c h i n gf o r c e a n ds o c l eb e a mw h i c hi sb e a r e dc o n c e n t r a t e df o r c e g a u s si n t e g r a li su s e di n d e l a u n a yt r i a n g l ed u r i n gc o m p u t a t i o n a lp r o c e s s t h er e s u l to fn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n i sv e r yp r e c i s e ，a n dv e r ym a t c hu pt ot h ee x a c ts o l u t i o n t h i sp r o v et h ec o r r e c t n e s s a n df e a s i b i l i t yo ft h em e t h o da n dt h ep r o c e d u r e f r a c t u r ei so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tf o r mo fb o d yi n v a l i d a t i o n i nt h i sp a p e r ， t h el a p l a c ei n t e r p o l a t i o ni su s e di nn e mt oi m p o s et h ee s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s e x a c t l y t h ed i s c r e t ee q u a t i o n so fp l a n ep r o b l e mi ne l a s t i c i t ya r ea c q u i r e db yw e a k v a r i a t i o nf o r m c r a c kp r o p a g a t i o ni ss i m u l a t e db ys u c c e s s i v el i n e a ri n c r e m e n t sa n dt h e v i 山东大学硕士学位论文 e q u i v a l e n ts t r e s si n t e n s i t yf a c t o ri sg i v e na c c o r d i n gt om a x i m u mp r i n c i p a ls t r e s s c r i t e r i o n t h ea p p l i c a t i o no fn e mt oc r a c kg r o w t hi sg i v e n t h ec r a c kg r o w t ho f r e c t a n g u l a rp l a t ei sp r e s e n t e ds u b j e c t e dt oc y c l i cl o a d i n g t h ep r o c e s so fc o m p o u n d c r a c kg r o w t ha l eg i v e nu s i n gn e m ，a n dt h e nt h ec r a c kp a t ha n df a t i g u el i f el i n ea r e g i v e n k e yw o r d s ：n a t u r a lm e t h o d ；n a t u r a ln e i g h b o u ri n t e r p o l a t i o n ；l a p l a c ei n t e r p o l a t i o n ； s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r ；c r a c kg r o w t h v i l 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：盏超迪日期：塑2 ：丛：! 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人 授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：地煎导师签名： 山东大学硕士学位论文 1 1 选题背景 第一章绪论 断裂、腐蚀、磨损是机械零件和工程构件的三种主要失效形式。其中断裂问 题爆发突然，常常招致生命财产的重大损失。断裂问题也相当普遍，尤其是在能 源、交通、建筑等方面尤为突出。因而，在结构的断裂问题的研究尤为重要。目 前用于裂纹扩展模拟的主要数值计算方法有：有限元法、边界元法以及近年来兴 起的无网格法。 和整个固体力学领域一样，对于裂纹扩展而言，有限元法是一种比较成熟的 数值计算方法。它的基本思想是将连续的求解域离散成一组有限个、且按一定方 式相互联结在一起的单元的组合体，用单元内的近似来表示全域上待求的未知场 函数。在具体模拟裂纹扩展问题时，又分为节点释放法和运动网格法。在节点释 放法中，裂纹的运动是通过逐渐释放裂纹面上的节点力来模拟的，它研究的区域 一般是静态的。运动网格法中，有限元网格与移动裂尖保持相对静止，即有限元 网格的运动速度与裂纹尖端的运动速度是相同的，这一方法对裂纹尖端场尤其是 静态裂纹扩展问题的模拟是很有效的，它也是弹塑性体静态裂纹扩展模拟中最常 用的数值计算方法。但对于高速冲击等动态问题，显式时间积分的步长取决于有 限元网格的最小尺寸，而网格的畸变使得时间积分的步长过小，大幅度地增加了 计算工作量；对裂纹的动态扩展问题，由于裂纹的扩展方向事先不能确定，有限 元法为了得到解析解，需要在裂纹尖端进行十分精细的网格划分，而且一旦裂纹 发生扩展，相应的网格就需要重新划分，这使得计算精度和求解效率大为降低。 有限元近似基于网格，因此必然难以处理与原始网格线不一致的不连续性和大变 形，而只适用于处理直线型裂纹扩展，或者需要人工干预。 边界元法只需要把问题所涉及的区域边界离散化，而区域本身并不需要离散 化，因而与有限元法相比，该方法的工作量大为减少。它把三维问题转化为二维 问题，把二维问题转化为维问题，不仅使计算工作量减少，而且大大减少了数 据准备和输入的工作量，因而大大减少了出错的可能性。在处理裂纹扩展问题时， 边界元法只需在边界上或者裂纹表面布置节点，避免了区域上网格重新划分的问 山东大学硕士学位论文 题。但在求解偏微分方程时需要用到格林函数，因而在处理多介质问题，复杂非 线性问题以及在施工模拟过程中遇到许多困难，这势必限制了边界元法的应用范 围，使得大多数的边界元解只适用于弹性材料各向同性问题。并且由边界元法得 到的方程既不稀疏也不呈现带状，对于大体系还容易产生病态矩阵。这就阻碍了 边界元法在工程问题中的进一步应用。 无网格法的出现为裂纹的扩展计算开辟了新的途径。无网格法只需要节点信 息和计算域的几何边界，从而避免了网格的生成和重构。由于无网格法只需要节 点和边界信息的优点，无网格法在处理裂纹扩展问题时具有一定的优势。与有限 元法相比，无网格法既不需要网格重构，也不需要应用任意拉格朗日一欧拉公式， 因而在处理裂纹扩展这类动态问题时具有很高的精度和效率，且二者的基本方程 的数学基础相同。与边界元法相比，由无网格法得到的离散方程是带状稀疏，对 称的，适用于非线性及各向异性材料和其他复杂问题的求解。所以无网格法兼有 边界元法和有限元法特点，但应用范围比这二者要广泛。但是，无网格法在应用 的过程中，有很多人为因素的干扰，例如在无网格伽辽金法中，权函数的选取、 影响半径的确定等，在一定程度上降低了精度和计算效率。 自然单元法是近十年来兴起的一种新的数值方法，该方法基于整个求解域内 离散节点的v o r o n o i 结构，采用自然邻点插值方法在全域构造近似场函数。自然 单元法的形函数构造简单，形函数及其导数的计算容易，计算量大大减少，另外， 由于自然单元法形函数具有d e l t a 函数的性质，在边界相邻节点间满足线性插 值，从而可以准确地施加边界条件和方便的处理场函数及其导数的不连续性。自 然单元法是同时具备有限元法和无网格法两者的优点，是一种极具发展前景的方 法。 1 2 无网格法国内外发展现状 对无网格法的研究可以追溯到2 0 世纪7 0 年代对非规则网格有限差分法的研 究，由于当时有限元法的巨大成功，这类方法没有受到重视。1 9 7 7 年l u c y t 等提 出了一种新的数值计算方法光滑质点流体动力学法( s m o o t h e dp a r t i c l e h y d r o d y n a m i c s ，s p h ) ，该方法在天体物理领域里得到了成功应用。j o h n s o n 等【3 】 提出了归化光滑函数算法，提高了s p h 法的精度，并使其能够通过分片试验， 2 山东大学硕士学位论文 可以正确模拟常应变状态。n a y r o l e s 等【4 1 于1 9 9 2 年提出了一种新的方法模糊单 元法( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ，d e m ) ，它首次将移动最小二乘近似用于g a l e r k i n 方法，并用其分析了p o s s i o n 方程和弹性力学问题。t b e l y t s c h k o 等【5 6 1 对d e m 作 了部分改进，计算形函数导数时保留了被n a y r o l e s 忽略掉的所有项，并利用拉格 朗日乘子法引入本质边界条件，提出了无网格g a l e r k i n 法( t h ee l e m e n t f r e e g l e r k i nm e t h o d ，e f g m ) ，给出了误差估计，掀起了无网格法的研究热潮。这类方 法比s p h 方法计算费用高，但具有较好的协调性及稳定性。1 9 9 5 年，m k l i u t 7 8 1 基于再生核( r e p r o d u c i n gk e r n e l ) 思想及小波变换理论提出了再生核质点法 ( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r i c l em e t h o d ，r k p m ) ，并结合“小波 分析的伸缩尺度 平移、多分辨率等特点，提出了多尺度再生核质点方法( m u l t is c a l er e p r o d u c i n g k e r n e lp a r t i c l em e t h o d ，m r k p m ) 和“小波质点方法”( w a v e l e tp a r t i c l em e t h o d ， w p m ) ，并实现了该方法的自适应分析。j t o d e n 等【9 l 提出了h p 云团法，该方法 利用移动最小二乘原理建立单位分解函数，进行场量的近似表达，然后通过 g a l e r k i n 变分，建立离散代数模型。波兰学者l i s z k a 等1 1 0 】提出了h p 无网格云团 法( h p m e s h l e s sc l o u d sm e t h o d ：h p m l m ) ，与h p 云团法不同之处是它采用了 配点形式，无需背景网格作积分域，是一种纯无网格法。刘欣等【1 1 1 结合h p 云团 法和数值流形方法，提出了基于流形覆盖思想的无网格方法。b a b u s k a 等 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 】 将单位分解法与有限元法相结合，提出了单位分解有限元法和广义有限元法。该 方法在标准有限元空间中加入一系列能够反映待求边值问题特性的函数，并将这 些特殊函数与单位分解函数相乘后和原有的有限元形函数一起构成了新的增广 协调有限元空间。e o n a t e 等【1 6 】提出了有限点方法( t h ef i n i t ep o i n tm e t h o d ， f p m ) ，这是一种无需背景网格的真正的无网格法，采用移动最 b - 乘近似构造 形函数，主要用于流体空气动力学领域。l i u 和g u 1 刀于2 0 0 1 年提出了基于径向 点插值和局部弱形式的局部径向点插值法( l o c a lr a d i a lp o i n ti n t e r p o l a t i o n m e t h o d ，l r p i m ) ，由于径向点插值近似通过节点数据，因而形函数具有d l e t a 函数性质，本质边界条件可以直接引入。目前这一方法已成功用于固体力学问题 和流形问题的求解。a t l u r i 和z h u 1 5 1 在局部边界积分方程的基础上，采用局部子 山东大学硕士学位论文 域上的积分方程的等效弱形式和采用移动最小二乘函数进行插值，所有的积分都 在规则形状的子域及其边界上进行，从而得出了一种不需要任何有限元或边界元 网格的新的无网格法一一无网格局部伽辽金法( m e s h l e s sl o c a lp e t r o v g a l e r k i n m e t h o d ，m l p g ) 。目前这一方法已成功用于弹性力学平面问题、弹性地基梁以 及线弹性动力学平面问题的求解。t z h u 等【l9 】提出了无网格局部边界积分方程方 法，这一方法采用移动最小二乘( m l s ) 函数作为插值函数，采用局部边界积分方 程来表示所考虑点的未知函数的值并包含该点的影响域内其他点的值。田荣，栾 茂田【2 0 】将流形方法有限覆盖思想与无单元g a l e r k i n 法的无网格技术相结合，提 出和发展了一种适用于连续与非连续变形问题统一的无单元法有限覆盖无 单元法，并将其应用于解决岩土类弱拉型材料摩擦接触问题、裂纹扩展追踪问题 和脆性材料损伤断裂演化行为的细观研究。张雄等【2 l 】基于最d - 乘法提出了最 小二乘配点无网格法和加权最小二乘无网格法。这类方法的计算精度远高于配点 法，而计算量远小于g a l e r k i n 法，兼有g a l e r k i n 法和配点法的优点。 1 3 自然单元法国内外的研究进展 1 9 9 5 年b r a u n 和s a m b r i d g e t 3 0 1 提出自然单元法，以v o r o n o i 图为几何基础的 数值方法在国内外得到了极大的关注。 b r a u n 和s a m b r i d g e 等【3 0 】将基于s i b s o n 插值的自然单元法应用于求解基于高 度不同的不规则的网格的偏微分方程，并应用于地球物理的研究。 s u k u m a r 等【3 1 3 3 1 对s i b s o n 和l a p l a c e 插值的形函数及其导数的性质和数值计 算方法作了详细的研究，给出了形函数及其导数的计算公式；并把s i b s o n 插值 格式的自然单元法应用于二维弹性力学问题的研究，通过标准的g a l e r k i n 过程得 到离散的线性方程组，给出计算实例。s u k u m a r 等【3 4 1 将s i b s o n 的c o 自然邻点插 值形函数嵌入b e m s t a i n b e z i e r 多项式，构造出c 1 的插值格式；g r o s s 和f a r i n 3 5 】 将s i b s o n 插值推广到一组函数曲线的插值。b o i s s o n n a t 等 3 6 , 3 刀提出曲面上自然邻 点坐标，并应用于光滑表面的重构。a n t o n 等【3 8 】将自然邻点插值应用于二维图像 的重构。w a t s o n 等【3 9 】提出了n 维球面上的自然邻点插值。o w e n s 【4 0 】研究了自然 邻点插值在三维问题的算法。 4 山东大学硕士学位论文 蔡永昌等【4 1 1 基于自然邻点近似位移函数提出了一种用于求解弹性力学平面 问题的无网格局部p e 仃o v g a l e r k i n 方法，该方法用加权残数法推导控制方程，采 用的是s i b s o n 插值格式，得到的系统矩阵是带状稀疏的。 朱怀球、吴江航【4 列对s i b s o n 插值基函数的性质进行了研究，给出了基函数 一阶导数的一种数学表达式及其数学性质，并将其应用于计算流体力学的研究 中。 1 9 9 7 年b e l i k o v 及其合作者【4 3 q 6 1 从数据近似和偏微分方程的角度提出新的 插值形函数，命名为非s i b s o n 插值，并详细讨论了该插值格式的相关性质，给 出了许多重要的结论。 1 9 9 9 年s u g i h a r a 和h i y o s h i 4 7 - 5 0 1 从计算几何的角度提出了与b e l i k o v 等形式 的插值形函数，采用了和b e l i k o v 不同的方法证明l a p l a c e 插值形函数的性质， 改进了l a p l a c e 插值在d e l a u n a y 球上的连续性；将l a p l a c e 插值推广到任意维 空间和曲面上的连续分布数据；将l a p l a c e 插值推广到基于线段v o r o n o i 图插值； 将自然邻点的概念推广到星形邻点，给出了基于星形邻点的插值格式，其形式与 l a p l a c e 插值格式完全相同，其优点在于即使节点集合的v o r o n o i 图的构造是不 准确的，星形邻点的格式依然是有效的。 1 4 本文的主要研究内容 自然单元法以其计算效率高、精度好等优点正在引起越来越多的学者的关 注，人们开始用于其解决、计算工程中的各种问题。本文在前人研究工作的基础 上，将这一方法用于裂纹的扩展模拟，并用算例验证其正确性和有效性。本文的 主要内容是： ( 1 ) 详细介绍了自然邻近插值中的l a p l a c e 插值，给出了l a p l a c e 插值形函 数及其导数的数学表达式，对形函数的性质进行了阐述，并对场函数的不连续性 处理及离散化实现等问题进行了详细的阐述。 ( 2 ) 详细阐述了断裂理论知识中裂尖应力位移场计算，应力强度因子的内 容，和计算裂纹应力强度因子的，积分理论及其应用范围。 ( 3 ) 给出了i 型裂纹应力强度因子计算具体的过程和，积分计算公式，并给 出了实际数值计算的程序实现过程。给出了复合裂纹应力强度因子的围线积分法 5 山东大学硕士学位论文 的具体计算过程和计算公式，给出了具体程序实现过程。根据最大拉应力理论对 复合裂纹扩展的判断和计算给出了计算公式和程序实现过程。 ( 4 ) 通过分片实验表明了近似函数的正确性，随后计算了受单向拉伸的正方 形板和受集中力作用的悬臂梁简单算例的应力位移场。计算了矩形板i 型边界和 中心裂纹的应力强度因子，并且沿裂纹的延长线扩展了边界工型裂纹。计算了较 为复杂的矩形板i - i i 复合裂纹的应力强度因子，根据最大周向应力理论，采用 围线积分法复合裂纹的扩展做了模拟，追踪了1 2 步，得到了复合裂纹的扩展趋 势。 ( 5 ) 进行总结和展望。总结本文的工作和创新，并对进一步发展自然单元法 进行展望。 6 山东大学硕士学位论文 第二章自然邻近插值 自然邻近插值是一种多变量的插值方案，由s i b s o n 最早提出，它基于离散 点集的v o r o n o i 结构和d e l a u n a y 三角化信息，广泛地用于计算几何及可视化，应 用于无网格法是从自然单元法【3 2 1 开始。由于这种插值方案构造简单、不需要人 为的参数，构造的近似函数具有插值特性，因而可以方便无网格法中边界条件的 处理、提高无网格法的计算效率。目前应用于无网格法的自然邻近插值有s i b s o n 插值、n o n s i b s o n i a n 插值( 也称为l a p l a c e 插值) 以及t h i e s s e n 插值。其中t h i e s s e n 插值只有o 阶完备性，用于克服体积闭锁问题的混合近似中，没有单独用于构造 试探函数( t r i a lf u n c t i o n s ) 。s i b s o n 插值形函数具有良好的特性，被用来构造试探 函数与测试函数，如基于全局伽辽金法的自然单元法、口自然单元法 5 4 】以及约 束自然单元法【5 6 】等都使用了这一近似方案。l a p l a c e 插值形函数与s i b s o n 插值形 函数特性相近，而计算时所需的勒贝格测度( l e b e s g u e m e a s u r e ) 却低一阶，具有较 高的计算效率。 为了构造计算高效的无网格法，使用具有插值特性的近似方案具有独特的优 势，它可以避免因处理边界条件而引起的额外计算花费，提高无网格法的计算效 率。本章以构造无网格法中的近似函数空间为目的，对l a p l a c e 插值的函数特性 及构造方法进行全面地研究。 2 1 自然邻近插值 2 1 1v o r o n o i 结构和d e i a u n a y 三角化 v o r o n o i 结构是基于邻近原则形成的一种空间剖分结构，由空间剖分后形成 的多边形区域构成。以二维问题为例，对于在区域及边界上布置的一组离散节点， 任意节点i 的v o r o n o i 结构是与节点，有关的一个区域乃，在乃中的任意一点与 节点i 的距离d ( x ，一) 满足小于该点到其他节点的距离d ( x ，而) 。 乃= x r 2 ：d ( x ，而) d ( x ，x j ) v j i ( 2 1 ) 以二维情况为例，该区域乃是由节点，与其邻近节点连线的垂直平分线组成 7 山东大学硕士学位论文 的多边形区域，如图2 一l 所示。内部节点的v o r o n o i 结构是封闭的有界区域，而 边界节点的v o r o n o i 结构是无界的。对于一组离散节点，其v o r o n o i 结构剖分是 唯一的，在n 个离散点的情况下，任何一点的v o r o n o i 结构最多有2 n 一5 个顶点 和3 n 6 条边。 d e l a u n a y 三角化作为v o r o n o i 结构的对偶，是把有公共v o r o n o i 结构边界的 节点连接起来将整体域划分成三角形区域，如图2 1 所示。这种三角划分最大程 度地保持了均衡性，避免狭长三角形的出现，是最接近于规则化的三角剖分。显 然，v o r o n o i 结构的顶点就是d e l a u n a y 三角形外接圆的圆心。通过d e l a u n a y 三 角形顶点的外接圆都不会包含其他的节点，这是d e l a u n a y 三角化的重要特性， 被称为空圆准则。在自然邻近插值的构造中，利用空圆准则来搜索待求点的邻近 节点。 8 图2 1v o n o r o i 结构和d e l a u n a y 三角化 山东大学硕士学位论文 2 1 。2l a pia c e 插值 l a p l a c e 插值【5 2 】也称n o n s i b s o n 插值【5 3 】，是一种基于v o r o n o i 结构的插值方 案，利用待求点的自然邻近节点信息构造而成。设任意待求点x 有n 个自然邻近 节点。图2 - 2 为x 点的二阶v o r o n o i 图，图2 - 3 为l a p l a c e 插值。 图2 - 2 关于x 点的二阶v o r o n o i 图图2 - 3l a p l a c e 插值 任意自然邻近节点，的l a p l a c e 插值形函数办( x ) 定义为： 办( x ) ：掣，x r ： ( x ) j = 1 ( 2 2 ) 形函数对坐标的一阶导数力，( x ) 为： 厂n- 1 ，砖) 一力l ( x ) i 办，_ ，( x ) = - 生l 上，x r 2 ( 2 3 ) ( x ) ，= l 其中，a ! t ( x ) ，。，( x ) 分别为： 吣) = 糕 协4 ) 啪，= 等等= 等一等 协5 ， 式中，刀为节点个数，( x ) 为待求点x 到节点，的距离，在二维问题中，岛( x ) 表 9 山东大学硕士学位论文 示与节点相关v o r o n o i 结构的边长。 2 2 形函数的性质 由l a p l a c e 插值的定义可知，插值形函数的计算仅仅利用了离散结点的位置 信息，不涉及任何人为的参数和复杂的矩阵求逆运算，比移动最小二乘法及核函 数近似计算简单且更具客观性。任意点x 的l a p l a c e 插值形函数均由其邻近节点 的信息构造而成，具有局部特性。这可以方便地捕获待求解的局部特性，能够得 到稀疏的刚度矩阵并且容易控制自适应计算的收敛速度。 l a p l a c e 插值形函数随待求点的自然邻近节点数量的不同而有不同的形式。 以二维问题为例，如果待求点x 有3 个自然邻近节点，l a p l a c e 插值形函数是坐 标的线性函数；如果待求点x 具有4 个自然邻近节点，l a p l a c e 插值形函数是坐 标的双线性函数；在其他情况下形函数为有理函数。除此之外形函数还具有如下 性质： ( 1 ) 非负函数 由l a p l a c e 插值形函数的定义可知，任意节点，的l a p l a c e 插值形函数是节 点，的l a p l a c e 插值权函数c t ，( x ) 与所有自然邻近节点的插值权函数之和( x ) 的比值，因而l a p l a c e 插值形函 数是不大于1 的非负函数： 0 力( x ) 1 ( 2 6 ) ( 2 ) 插值特性 l a p l a c e 插值形函数具有k r o n e c k e rd e l t a 函数性质，即 办( _ ) = 妨= 0 ；三二 c 2 7 ， 这表明在域内及凸域边界上l a p l a c e 插值具有严格的插值特性。这是l a p l a c e 插值优于移动最小二乘法、核函数近似的主要特点之一。 ( 3 ) 单位分解特性 由l a p l a c e 插值形函数的定义可知，各节点的l a p l a c e 插值形函数之和为1 ， 即形函数满足单位分解的特性： 1 0 山东大学硕士学位论文 力( x ) _ - - 1 ( 2 8 ) i = 1 该特性表明近似函数可以精确重构常数项，因而使用l a p l a c e 插值构造结构 分析中的位移场时，近似位移场具有精确重构刚体位移的能力，这是使数值方法 可以收敛到精确解的必要条件之一。 ( 4 ) 线性完备性 x = 办( x p ， ( 2 9 ) 完备性，是指能够精确重构一定阶次多项式的能力。l a p l a c e 插值形函数具 有线性完备性，在求解弹性力学边值问题时，不仅能够重构刚体位移而且还能够 重构常应变，因此具备收敛条件。 ( 5 ) 光滑性 l a p l a c e 插值形函数节点及d e l a u n a y - - - 角形边上具有c o 连续性，在其他位置 都具有c 。连续性。 形函数的所具备的这些特性表明，l a p l a c e 插值是一种构造无网格法中近似 函数的较为理想的方法，可以提高无网格法的计算效率。使用l a p l a c e 插值形函 数， 2 3l a pif l o e 插值的计算 从l a p l a c e 插值形函数的定义可知，计算l a p l a c e 插值形函数首先要确定待 求点x 的自然邻近节点，然后借助自然邻近多边形构造待求点的v o r o n o i 结构， 通过求解v o r o n o i 结构边长s ，( x ) 和待求点与自然邻近节点间的距离( x ) ，利用 式( 2 4 ) 及式( 2 5 ) 计算各自然邻近节点的l a p l a c e 插值权函数嘶( x ) 及其一阶导数 ，j ( x ) ，最后利用式( 2 2 ) 及式( 2 3 ) 求得各自然邻近节点的l a p l a c e 插值形函数 力( x ) 及其一阶导数力。，( x ) 。 由v o r o n o i 结构的定义可知，待求点的v o r o n o i 结构顶点是由待求点x 与 相邻两自然邻近节点组成的三角形外接圆圆心，v o r o n o i 结构的边长_ ( x ) 实际 “ 山东大学硕士学位论文 是圆心间的距离。对于任意三角形aa b c ，设其顶点坐标为a = ( q ，a 2 ) 、 b = ( 翻，6 2 ) 、c = ( q ，c ：) 则该三角形外接圆圆心y = ( 叱，b ) 可用下式确定： v 。：坠叠蔓鱼坠掣掣l 塑蔓造型( 2 - 1 0 ) 1 4 彳 v ：坠亟竖鱼虹霉华蔓蔓业y ( 2 - 1 1 ) 4 彳 式中，以为 。 1 及= i 二 a l a ， 1 上 6 l6 2 1 c 1 乞1 ( 2 - 1 2 ) 外接圆的半径r 为外接圆圆心到三角形任意顶点的距离： ，= 再i 矿砑 ( 2 - 1 3 ) 设v o r o n o i 结构任意一条边的相邻两端点为k = ( 叱。，。) ，k = ( 屹：，b ：) ，则 曲( x ) = 厄了历可而 “x ) ：坠兰巡业旦止亟1 遨趔 w j ， 2 4 不连续性的处理 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 无网格法处理裂纹扩展问题的主要优点为裂纹的扩展可以用裂纹面或裂纹 线的延伸来代替。但在实际计算中，经常要处理场函数不连续或场函数的导数不 连续的问题。对于断裂问题，裂纹两侧的位移场是不连续的，如何处理这种不连 续是无网格计算的一个关键问题。在有限元法中，处理这类不连续问题的方法很 简单，直接在不连续处设置为单元边界，这样位移函数的插值、能量泛函的积分 都限制在单元内，而自然单元法则不同，其形函数的构造是基于求解域内节点值 的拟合，在遇到不连续问题时需要做相应的处理。一般的无网格法都采用光衍射 1 2 山东大学硕士学位论文 原理来处理这类问题。本文用d e l a u n a y 空圆准则求点x 周围的自然邻节点，即 计算插值点x 与某个d e l a u n a y 三角形外接圆圆心的距离是否小于该外接圆的半 径来确定点x 周围的自然邻节点。在处理位移不连续问题时，应将其中跨越了不 连续边界的邻节点排除。为此，只需在确定了点x 的自然邻d e l a u n a y 三角形后， 再计算点工与该三角形形心点连成的线段是否与裂纹界面所在的线段相交，若两 线段相交，则该三角形所含的点不是点x 的自然邻节点，应予以删除。 2 5g aie r kin 离散方案 在无网格方法中，主要有两种离散方法被使用：配点法和g a l e r k i n 法。其中 配点法多用于s p h 方法。 ( 1 ) 配点法 配点法通过要求方程在一组点上成立，从而得到相应的离散形式，即 l u 6 ( ) = f ( x s )v x ，q f ( 2 - 1 6 a ) u h ( 巧) = 万( )地，l ( 2 - 1 6 b ) u h , n ( ) = 万。( 而) 坛，l 一 ( 2 - 1 6 c ) 配点法具有实现直接、求解过程快等特点。 ( 2 ) g a l e r k i n 法 本文中的无网格伽辽金方法及r k p m 等众多无网格方法均采用g a l e r k i n 法 的离散化方案。g a l e r k i n 方法基于变分原理，与微分方程相应的变分弱形式为 a ( s u ( x ) ，“( x ) ) - - ( s u ( x ) ，f ) ( 2 1 7 ) 其中万甜( x ) 是测试函数，“( x ) 是近似函数。在本质边界l 上，甜= 历，。8 u ( x ) = 0 甜( x ) 和万甜( x ) 必须至少满足c o 的要求。 一旦选定某一种形函数近似方式，则利用( 2 - 1 6 ) 式可以得到如下离散方程 ( l 纺f 纺，d q ) 吩= 乃( 2 - 1 8 a ) 其中 兀= l 纺。郧2 一l 纺可。d 厂 ( 2 - 1 8 b ) 山东大学硕士学位论文 对于无网格伽辽金方法，其困难之一是如何处理上两式中所涉及到的积分。 通常有三种方式： ( a ) 节点积分 即积分通过节点值实现 l f ( x 归2 蔷f ( _ ) 巧( 2 - 1 9 ) 这种积分方案最快，但是类似于配点法，可能不稳定，文 5 5 在能量泛函中增加 了一稳定项，得到相应的控制方程，缺点是计算过程复杂，而且还要选择稳定系 数。 ( b ) 背景网格积分 利用规则分割产生的背景网格来形成积分单元，称为e e l l 结构( 如图2 4 所示) 。 j r、 ，、 ft k j 图2 - 4g a l e r k i n 方法中的背景网格积分方案 ( c ) 利用有限元网格作为积分网格。 b 、c 两种积分方案最大的缺点是没有彻底地抛弃网格。但是，背景网格并 不影响无网格方法的本质，因为它仅用于积分的计算，没必要与节点相关联。第 b 种积分方案似乎很粗糙，因为在某些积分单元内部存在不连续界面或区域的边 界，这些边界与背景网格的边界不一致。但是实际计算表明，积分单元内部包含 的不连续性对结果的影响是很小的。第c 种积分方案对于那些与有限元耦合的无 网格方法有很重要的意义。用户可以按照需要，划分有限元近似区域与无网格近 似区域。背景网格在有限元区域作为单元划分，在无网格区域可作为积分计算单 元。 ( d ) 利用d e l a u n a y 三角形作为背景网格积分 1 4 山东大学硕士学位论文 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 苎! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !