（控制理论与控制工程专业论文）方向可调滤波器在图像边缘检测中的应用.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 图像的边缘检测是图像工程中的一种常见任务。检测图像边缘时常使用方向导数滤 波器来计算图像的梯度。经典的梯度算子大多仅包含两个正交方向上的滤波器。在图像 的特征提取和人脸识别等一些实际应用中往往需要将一个特定的滤波器旋转一定角度 来应用，或者计算一个滤波器对不同方向上边缘的响应。为此人们提出和设计了各种方 向可调滤波器。方向可调滤波器一般是根据一个或一组相关的方向导数滤波器来生成所 需角度上的滤波器，这一过程称作滤波器的旋转。此过程要求旋转前后的滤波器具有一 致性，即要求在改变滤波器方向的同时尽可能保持滤波器的其他特征不变。在最简单的 应用中可以直观地人为指定所需方向上的滤波器，这种方法一般仅适用于少数特定方 向，而且很难保证各个方向上的滤波器特性一致。更可靠的方法是使用一套规范的算法 来保证不同方向上的滤波器具有一致的特性。一般来说这类方法可以对符合其要求的滤 波器做任意角度的旋转，但传统方法往往计算复杂且对滤波器的形式有较严格的要求。 本研究旨在建立一种方向可调滤波器模型来简化对方向导数滤波器进行旋转的计 算过程。首先研究栅格图像上亮度方向导数的定义和计算过程，借鉴使用固定的梯度算 子来估计图像梯度的思路提出了十字点组的概念。将十字点组作为计算图像上任意方向 上方向导数的基本单元，则栅格图像上的方向导数滤波器可以被描述为一系列十字点组 的组合。为各十字点组规定可变的权值使这一模型可以解释不同的滤波器，这一权值的 变化规律则包含了不同滤波器的特征。实验结果验证了本文方法在滤波器的旋转和特性 分析问题上的有效性。 关键词：边缘检测；方向可调滤波器；梯度算子；十字点组；高斯微分算子 方向可调滤波器在图像边缘检测中的应用 a p p l i c a t i o no fs t e e r a b l ef i l t e r si ni m a g ee d g ed e t e c t i o n a b s t r a c t e d g ed e t e c t i o ni sac o 删n o nt a s ki 1 1i m a g ee n g i n e e r i n g t h ed i r e c t i o r 谢d e r i v a t i v ef i l t e r i su s e 允li ne d g ed e t e c t i o n c l a s s i cg r a d so p e r a t o ri sc o m p o s e dw i n ld i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e f i l t e r so nt 、v 0d i r e c t i o n s i ti so f t e nn e c e s s a r yt 0r o 谢c eaf i l t e rt 0d i f - f e r e ma 1 1 9 l e si n a p p l i c a t i o n sa sf e a t l l r ee x n a 戍i o na n dh 啪a nf 犯er e o r g a i l i z a t i o n s t e e r a b l ef i l t e ri sd e s i g n e d f b rt 1 1 i s s t e e r a b l ef i l t e r sa 】eu s u a u yg e n e 阳t e da c c o r d i n gt 0o n eo ras e to fk n o w lf i l t e r s ，t l l i s p r o c e s si sc a l l e dr o t a t i o no faf l l t e r i ti sr e q u i r e d 也a tt l l e 舳t e df i l t e rb ec o n s i 妣m 、) r i mm e o r i g i i l a lf i l t e r ，n a m e l yt l l ed i r e c t i o no f l e 行l t e ri sc h a i l g e dw i l i l eo m e rc h a r a c t i e r sr e r m i l l u n c h a l l g e d f i l t e r so nt h er e q u i r e dd i r e c t i o n sc a nb em a n u a n yd e 6 n e di ns i m p l et a s k s ，t h i s c e r t a i n l vl i m i t st 圭l ea v a i l a b l ed i r e c t i o n st os e v e r a lo n e ，a i l d 龇c o n s i s t e n c yi sn o ta s s u r e d i ti s m o r er e l i a b l et os e tu paa r i m m e t i ct 0e n s u r e 也ec o n s i s t e n c yo f 吐l er o t a t e d 矗l t e r s m o s to f 也e s ea r i t h m e t i cc a nr o t a t eaf i l t e rt oa n ya i l g l ep r o v i d e dt h a t l ef i l t e rm l f i l l s 甜lr e q u i r e m e n t s o ft l l ea r i t l l i l l e t i c t h er e q u i r e m e n t so f 伽i t i o r 扭la r i 仕l m e t i ca r eu s u a l l ys 仃i c t t 1 1 i sp a p e re x p l o r e sam o d e lo fs t e e r a b l ef i l t e rt 0s i i n p l i 囟t h ec a l c u l a t i o no ff i l t e rr o t a t i o n t h ed e f i n j t i o na n dc a l c u l a t i o no fd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v eo na 霉靠di i i l a g ei sm ef o u n d a t i o no f t ：1 1 i sr e s e a r c h i l l 啪i n a t e db y 吐1 ep r o c e s so fc a l c u l a t i n gg 阳d s 、啊t 1 1c l a s s i c a l 伊副a so p e r a t o r s ， t l l ec 0 n c e p to fc m c i a t ep i x e l 蓼o u pi sp r o v i d e d ac 1 1 l c i a t ep i ) ( e 1g r o u pi sab a s i cu 1 1 i tf o r 也e c a l c u l a t i o no fm ed i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e a n dad i r e c t i o n a ld e r i v a t i v ef i l t e rc a nb ed e s c d b e da s ac o m b i n a t i o no fs e v e r a lc r u c i a t ep i x e l 伊o u p s d e f m i n g 删a b l ew e i g h _ t sf o re a c hc m c i a t e p i x e lg r o u pe n a b l e st l l em o d e lt of i td i 艉r e n tf i l t e r s ，a 1 1 dt l l e 劬c t i o no ft l l ew e i 曲t sc o n t a i l l s t l l ec h 锄? a c t e r i s t i c so fd i 任e r e n t 丘l t e r s e x p e d m e n t a lr e s u l tv e r i f i e st l l ee f f e c t i v e i l e s so ft 1 1 e m o c l e li 1 1t h er o t a t i o n 锄da n a l y z i n go fm ef i l t e r s k e yw o r d s ：e d g ed e t e c t i o n ：s t e e r a b i ef i | t e r ：g r a d i e n to p e r a t o r ：c r u c i a t ep i x e l g r o u p ：f r s td e r i v a t v eo fg a u s s i a no p e r a t o r i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：当刍j 翅遗蘧翌玺豳盎垫毖纠圭蛔 作者签名：盔星里日期：主翌! 年l 月j l 日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：之盎丑通远i 起姿益1 虱终姗! 篁螽磕圈 作者签名：盗隍日期：塑丝年丝月盟日 导师签名： 熟 硷 日期：吐年j 羔月上堑日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 图像的边缘检测的主要目的是确定图像的内容和图像中目标的特征和参数。检测图 像边缘常需要使用方向导数滤波器( 梯度算子) 。但是，传统的方向导数滤波器仅适用 于若干特定角度，许多情况下不能满足需求。为此，本研究以栅格图像上的方向导数滤 波器为研究对象，提出方向导数滤波器的十字点组模型，讨论了用模型对方向导数滤波 器模版进行拟合的问题和用以评价方向导数滤波器性能的参数以及分析步骤。最后给出 了对栅格图像上的方向导数滤波器进行旋转的方法。本章首先阐述论文的研究背景和研 究意义，然后介绍目前国内外图像识别问题和方向可调滤波器的研究进展和现状，并对 其作简要的分析，最后给出本文的主要研究内容。 1 1 课题背景和研究意义 图像工程是各种图像理论、技术和应用的总称。研究方法上，它与数学、物理学、 生物学、生理学、心理学、电子学、计算机科学等许多学科可以相互借鉴；研究范围上， 它与模式识别、计算机视觉、计算机图形学等专业交叉。图像工程的近期研究进展与神 经网络、遗传算法、模糊逻辑等理论和技术都有密切的联系，其发展和应用涉及生物医 学、材料、遥感、通信、交通管理、军事侦察、文档处理和工业自动化等许多领域。 一般认为，图像工程可以分为三个逻辑层次：图像处理，图像分析和图像理解f 1 1 。 图像处理强调在图像之间进行的变换。狭义的图像处理主要指对图像进行各种加工 来时图像更适于观看和自动识别，或对图像进行压缩编码以利存储空间和传输。它一般 是比较低层的操作，主要在像素级别上进行处理，处理的数据量一般较大。 1 图像分析是对图像中的目标进行检测和测量，以获得其特征和参数从而建立对图像 中目标的描述。这是一个从图像到数据的过程。这里数据可以是对目标特征测量的结果， 或是一组基于识别结果的符号表示。图像分析属于中层，它通过分割和特征提取把原来 以象素描述的图像转变成比较简洁的非图形式的描述。 图像理解是在图像分析结果的基础上，进一步分析图像中各目标的性质和相互关 系，以得到对图像内容的理解和对客观场景的解释。图像理解是高层操作，般是对从 描述抽象出来的符号进行运算，具有较复杂的算法。处理过程中数据被重新组织，引入 语义等概念，使操作对象改变，数据量大为精简。 图像的边缘检测是图像分析中的一项重要内容。检测图像边缘时通常假设边缘点对 应较高的亮度梯度【2 】。梯度计算一般使用图像上的方向导数滤波器通过模板运算来实 现，这时也可以把配合使用的一组方向导数滤波器称作一个梯度算子。模板操作 方向可调滤波器在图像边缘检测中的应用 ( t e l n p l a t e0 p e r a t i o n ) 是一种重要的图像处理方法，常用于栅格图像的边缘检测、锐化、 去噪等方面。 经典的梯度算子大多仅包含两个正交方向上的滤波器。在图像的特征提取和人脸识 别等一些实际应用【3 7 】中往往需要将一个特定的滤波器旋转一定角度来应用，或者计算 一个滤波器对不同方向上边缘的响应【8 】。简单的情况下可以直观地人为指定所需方向上 的滤波器【4 ，5 】，这种方法仅适用于少数特定方向，而且很难保证各个方向上的滤波器特 性一致。更规范的算法保证了不同方向上的滤波器具有一致的特性，并能对符合其要求 的滤波器做任意角度的旋转，但传统上这类方法往往计算复杂且对滤波器的形式有较严 格的要求8 1 。 本研究旨在建立一种方向可调滤波器模型来简化对方向导数滤波器进行旋转的计 算过程。以栅格图像上的方向导数滤波器为研究对象，首先提出了一种方向导数滤波器 模型，然后讨论了用模型对方向导数滤波器模版进行拟合的问题，并给出了用以评价方 向导数滤波器性能的两个参数和方向导数滤波器的分析方法。最后结合模型和分析方法 给出了对栅格图像上的方向导数滤波器进行旋转的方法，并进行了实验验证。 1 2 图像边缘检测和方向导数滤波器的研究现状 边缘检测是最早应用的图像分割方法 9 】。它通过检测图像上不同区域交界处的亮度 变化实现图像中不同对象的分割。按数据的处理顺序可以将边缘检测方法分为串行方法 和并行方法。前者从特定的初始点的邻域中按一定方向和规则寻找边缘点，再将找到的 边缘点作为新的初始点继续寻找。重复这一过程可以得到连续的边缘线条。后者则仅凭 借目标点及其周围若干像素的亮度来判断边缘点。梯度计算法是最简单的边缘检测方 法，它利用方向导数滤波器计算图像梯度借以判断边缘位置，是一种并行方法。其他的 图像边缘检测方法包括曲面拟合方法【1 0 1 2 】，基于边界曲线拟合的方法【1 3 】，基于反应 扩散方程的方法【1 4 】等。经典的梯度算子如r o b e r t s 交叉算子【1 5 】，s 0 b e l 算子 1 6 】和p r e 谢t t 算子【1 7 等一般具有2 阶或3 阶方阵的形式，因此可以根据其直观意义给出在相隔9 0 0 的2 个基本方向上算子。对于典型的s o b e l 算子如下图所示： 圈 图1 10 0 和9 0 0 方向上的s o b e l 算子 f i g 1 1 s o b e lo p e r a l o r so no o a n d9 0 。 大连理工大学硕士学位论文 在这种情况下，为了得到其他方向上的方向导数，需要使用矢量合成的方法 8 】，其 原理如下： 分别适用0 0 和9 0 p 方向上的算子计算两个方向上的方向导数，分别记作d o 和d 9 0 。 则臼方向上的方向导数计算值为： 岛= d 0 c o s 乡+ 岛o s i n 秒 ( 1 1 ) 而梯度大小的计算值为： 广_ ： g = 掰+ 瑶( 1 2 ) 求d o 和d 9 0 都需要对于整幅图像进行模板运算，所以用这种方式求取风就需要两 次模板运算。模板运算的运算量相当大，由此产生了直接计算任意方向上的方向导数的 需求。满足这一需求的方法是直接构造任意方向上的方向导数滤波器。( 如k i r s c h 滤波 器，具有8 个基本方向) 。w 。t f r e e m a l l 和e h a d e l s o n 8 】在1 9 9 1 年的杰出工作中提 出的方向可调滤波器理论是解决这一问题的一个有效途径，在理论上可以生成任意方向 上的方向导数滤波器。该方法需要一组已知的基滤波器来构造所需方向上的滤波器。在 其研究中所需的基滤波器的数量和线性组合的参数依赖于给定基滤波器的连续函数的 形式，这使得该方法在应用于以离散形式给出的梯度算子时存在一定问题。其它研究进 展包括：s i m o n c e l l ie p 等人 1 8 】在1 9 9 6 年扩展了w t f r e e m a n 和e h a d e l s o n 的工作， 设计了楔形方向可调滤波器用于图像上的局部各向同性分析，m j a c o b 等人 1 9 】在2 0 0 4 年利用c a n n y 给出的边缘检测准则作为限制条件配合一组描述算子特征的参数导出了 一组别具特色的方向可调的方向导数滤波器。李军侠等人 2 0 在2 0 0 7 年使用基滤波器组 和小波分析技术实现了在图像任意方向上的导向滤波。a l e x i a d i sd s 等人 2 1 】在2 0 0 8 年 设计了扩展到三维空间的窄角度方向可调滤波器来进行动作估计。 上述的方向可调滤波器理论大多对目标滤波器有以下两个基本的要求： ( 1 ) 滤波器必须以连续函数形式给出，这意味着它难以适用于以模板方式直接给 出的滤波器。 ( 2 ) 传统方法使用已知方向上的滤波器的代数和的形式来定义所需方向上的滤波 器。这就需要预先给定多个方向上的已知滤波器。 对于通常以模板形式给出的经典梯度算子，这些条件很难满足。这些条件限制了方 向可调滤波器的使用，这也是本研究试图改进的方向。 1 3 论文主要内容及结构 本研究得到国家重点基础研究发展计划9 7 3 项目( 2 0 0 6 c b 4 0 3 4 0 5 ) ：“基于水循环的 水资源利用效用评价基础理论与方法”的资助。本文在已有方向导数滤波器理论的基础 方向可调滤波器在图像边缘检测中的应用 上，提出从计算机图形学的原理出发建立一种新的方向导数滤波器模型，针对方向导数 滤波器的特点简化滤波器旋转的计算过程，并且提出一种对已有方向导数滤波器的特征 进行量化分析的方法，为后续研究中的对这类工具取舍和比较提供了依据。本研究的目 标是在对方向导数滤波器进行方向角的旋转，同时保持滤波器的其他特征( 如对噪声的 响应，边缘的定位精度等) 不变。论文的具体结构如下： 第1 章绪论。首先阐述论文的研究背景和研究意义，然后介绍目前国内外图像识 别问题和方向可调滤波器的研究进展和现状，并对其作简要的分析，最后给出本文的主 要研究内容。 第2 章基于十字点组的方向可调滤波器模型。通过分析栅格图像上的方向导数计 算过程导出以十字点组作为计算任意角度上的方向导数的基本单元计算公式，并以此为 基础建立了一种新的方向导数滤波器模型，通过代入参数和比较初步验证了该模型的有 效性。十字点组模型是本文的核心内容。 第3 章方向导数滤波器的拟合和分析。讨论应用该模型对给定的方向导数滤波器 进行分析和拟合的方法和步骤，确定了方向导数滤波器的评价指标。其中评价指标的作 用是检验旋转前后的滤波器特征是否一致，和作为对滤波器特征做定量分析的依据。最 后给出了使用第二章中模型对方向导数滤波器性能进行分析的方法。 第4 章方向导数滤波器的旋转。根据条件不同按大模板和小模板两种情况给出了 旋转梯度算子的所需的条件和具体方法，通过仿真实验和对比验证了本文提出的十字点 组模型在方向导数滤波器旋转的问题上的有效性。 大连理工大学硕士学位论文 2 基于十字点组的方向可调滤波器模型 本章首先介绍了图像识别和方向导数滤波器的基础知识，随后通过分析栅格图像上 的方向导数计算过程导出以十字点组作为计算任意角度上的方向导数的基本单元计算 公式，并以此为基础建立了一种新的方向导数滤波器模型。此模型是旋转滤波器方向的 理论基础。通过代入参数和比较初步验证了该模型的有效性。十字点组模型是本文的核 心内容。 2 1 图像识别和方向导数滤波器的基础知识 2 1 1 计算机上图像的表述方式 数字图像按其对色彩和空间信息描述方式的不同一般可以分为两类一矢量图和 栅格图像。 栅格图像( r a s t e rg r 印k c s ) 又称，位图( b i 乜1 1 印) ，是使用像素阵列来表示的图像， 像素的坐标描述空间位置，每个像素的色彩信息则由某种颜色向量或者灰度值表示。根 据显示颜色信息所需的精度使用1 、4 、8 、1 6 、2 4 或3 2 位2 进制数表示，位数越高颜 色越丰富，相应的数据量越大。其中使用1 位表示一个像素颜色的位图只能表示两种颜 色，所以又称为二值位图。通常使用2 4 位组合数据表示r g b 三种颜色的位图称为真彩 色位图。般的数字图像采集工具包含某种传感器阵列，其输出的最终结果常是某种能 量的样本阵列，所以常用矩阵或数组来表示，其中每个元素的坐标对应场景点的位置， 而元素的值对应场景点的某个物理量。可以看到，栅格图像的描述方式符合数字图像采 集方式的特点，方便了图像的获得和显示，因此成为应用最广泛的数字图像类型。 矢量图像，也称为面向对象的图像或绘图图像，在数学上定义为一系列由线连接的 点序列。矢量图像使用直线和曲线来描述图形，这些图形的元素是包括点、线、矩形、 多边形、圆和弧线等，它们一般是通过人工或程序描绘获得的。当需要使用矢量图模拟 栅格图的时候则需要使用特定算法来实现。矢量文件中的图形元素称为对象。每个对象 都自成一体，具有颜色、形状、轮廓、大小和屏幕位置等属性。因为每个对象都是一个 自成一体的实体，并且对象的空间位置属性是以几何方式描述的，所以对其进行多次和 多种数学变换时可以在维持它原有清晰度和弯曲度，并且不会影响图中的其它对象。这 些特征使基于矢量的图形特别适用于绘制图例和进行平面或三维建模。这是因为这些应 用通常要求能创建和操作单个对象。基于矢量的绘图同分辨率无关。这意味着它们可以 按最高分辨率显示到各种输出设备上。由于矢量图形可通过公式计算获得，所以其文件 方向可调滤波器在图像边缘检测中的应用 体积往往较小。矢量图形最大的优点是无论放大、缩小或旋转等不会失真。a d o b e 公司 的f r e e h a n d t i l l u s 缸，a t o r 、c o r e l 公司的c o r e l d r a w 是众多矢量图形设计软件中的佼佼者。 著名的f l a s hm x 制作的动画也是矢量图形动画。 现将矢量图的优点和缺点归纳如下： 优点：( 1 ) 数据量小：( 2 ) 图像对象易于单独编辑；( 3 ) 图像的数学变换不影 响图像的分辨率；( 4 ) 图像的分辨率与输出设备无关； 缺点：( 1 ) 描绘图像的算法复杂；( 2 ) 使用矢量图再现栅格图像时的逼真度低， 要获得自然度高的图像需要复杂的技术。( 3 ) 一般不能从硬件直接采集。 在图像识别的实际应用中，因为图像采集设备的输出结果一般是栅格图像，所以研 究对象也以栅格图像为主。 2 1 2 模板运算和方向可调滤波器 一般认为模板操作对应于连续图像函数上的卷积运算，如公式( 2 1 ) 所示： p ( ，蜘) = f j 正( x ，y ) g ( 一x ，一y ) 出咖 ( 2 1 ) z 其中丘( 墨y ) 是描述模板的函数，g ( x ，y ) 是描述图像的函数，皖是( ，) 的一个邻 域，作为模板函数的作用范围。栅格图像是对g ( x ，y ) 采样的结果，按临域屯内原图像 采样点的分布对五( 一x ，叫) 进行采样就可以近似地获得所需算子的模板权值。 边缘检测中常见的梯度算子包括r o b e r t s 交叉算子【1 5 】，s o b e l 算子【2 2 】，各向同性 s o b e l 算子，p r e 诚t t 算子【1 7 】，r s c h 算子 4 】等。 表2 1 典型的梯度算子 t a b 2 1 够p i c a lg r a d so p e r a t o r s 算子名称举例方向数 一l01 s o b e l 算子【2 2 】 2o 22 10l 一l0l 各向同性s o b e l 算子 一压 0压2 一10l 大连理工大学硕士学位论文 lol p r e w i t t 算子【l7 】1012 101 33 5 k i r s c h 算子 4 】3058 335 r 。b e n s 交叉算子c ，5 ， f 兰l ；l 2 以上的经典梯度算子全部是直接以模板形式给出的。它们仅包含若干固定方向上的 方向导数滤波器。另些梯度算子具有明确的函数形式。倒如高斯微分算子： 岛( 训) = 一赤船七2 + ，伽2 ( 2 2 ) 是对二维高斯函数作偏微分得到的。公式( 2 2 ) 是其在水平方向上的形式。二维高斯函数 是图像平滑时常用的函数。根据卷积运算的性质可知，应用高斯微分算子相当于对图像 的偏微分做高斯平滑。这类梯度算子的函数需要保证在距离原点较远处的函数值趋于0 以便在较小的范围内进行采样获得模板。尽管如此，其模板规模一般是相当大的，并且 需要根据参数和精度进行调整。对于这类算子，实际上可以用坐标变换的方式得到其对 应的极坐标形式，在极坐标系下调整角度，再还原到直角坐标系下计算得到所需的模板。 长期以来，人们直在研究高通滤波器的设计方法。1 9 9 3 年，d e n gg 和c a h i l ll w 2 3 】提出了一种自适应高斯滤波方法，该方法的主要思想是在图像边缘的过渡区和平 滑区采用不同尺度的高斯滤波器进行计算。其不足之处是高斯滤波器的选取受图像噪声 这一不确定因素的影响很大，因此通用性不强。2 0 0 3 年，g e u s e b r o e k 2 4 】提出了一种快 速各向异性高斯滤波方法。这一方法通过将某一方向上的滤波器沿两个非正交方向分解 为两个1 维滤波器来分别对图像进行卷积运算实现方向导数的计算。由于1 维滤波器的 运算量远小于常用的2 维滤波器，该方法可以使计算简化。它的不足之处在于滤波器的 长轴方向固定，这将会影响滤波的效果。在g e u s e b r o e k 工作的基础上，王怀野等人也于 2 0 0 5 年提出了一种自适应各向异性高斯滤波器的设计方法，该方法具有以下特点： ( 1 ) 滤波器的长轴尺度由独立强度传播模型确定；( 2 ) 长短轴比例由邻域的灰度分布 决定；( 3 ) 长轴方向由所在位置的灰度值梯度方向决定。该方案设计的滤波器不仅能 很好地去噪，同时滤波后的图像也很清晰。 另一方面，也有使用较复杂的数学方法设计滤波器的例子。1 9 9 5 年，p e r o n a 2 5 】提 出了基于奇异值分解( s v d ) 方法实现导向滤波器，其中的基函数和插值函数分别是方向 方向可调滤波器在图像边缘检测中的应用 滤波器的左右奇异矢量。该方法实际上是借鉴用来解决无穷维空间奇异值分解问题方法 来解决有限维上的实际图像的方向导数滤波器的问题。1 9 9 8 年s o m i i 】e r 2 6 】针对有限维 空间提出了更适用的奇异值分解方法。李军侠等人 2 7 】在2 0 0 8 年将该算法扩展应用到 数字方向滤波器上。李军侠的方法是将滤波器中同一方框上的点作为个基本运算单 位，通过方框上点的依次旋转来实现滤波器方向的旋转。此方法以直观的方式实现了滤 波器方向的旋转，但由于栅格图像的特点，滤波器模板的各点绕模板中心旋转改变角度 的过程伴随着距离的变化，因此旋转后滤波器的精度受到影响。 许多研究者在更一般的情况下讨论了滤波器的旋转问题 8 ，2 0 】。以w t f r e e m a n 【8 】 的方向可调滤波器理论为例。使用极坐标系，= x 2 + y 2 ，= a r g ( x ，y ) ，令待旋转的滤 波器的连续函数为厂( ，矽) ，则旋转后滤波器的基本形式为： m 厂9 ( ，- ，矽) = 一( 曰) ( ，) ( 2 3 ) = l 其中，厂9 ( ，矽) 为方向角旋转至护后的滤波器，乃( ，矽) 为与厂( ，矽) 对应的一组不 同方向上的基滤波器。令厂( r ，痧) 具有的方向角为臼，则系数函数后，( 护) 可以由下述方程 导出： 1 e 。q ： e t n 8 i 1 p 码 ： e l n 8 1 毛( 护) 如( 目) ( 目) ( 2 4 ) 可以证明，保证公式( 2 3 ) 有效，m 的最小值由下述方法确定将厂( r ，矽) 视为妒的函 数做傅立叶变换： 厂( r ，矽) = ( ，) p 哪 ( 2 5 ) n = 一 m 的最小值应为所有( r ) 中非。项的个数。显然，为了解出t ( p ) ，( 2 4 ) 中的n 也应 不小于这一数值。 可以看到，此方法旋转一个方向导数滤波器的方向角需要：滤波器的连续函数、对 解析函数进行傅立叶变换和若干个方向上的该滤波器模板。求解过程复杂，运算较量大， 并且难以在没有连续函数表达式的经典算予上的应用。其他针对连续函数的方法也存在 类似问题。 懈 e 妒 大连理工大学硕士学位论文 2 2 栅格图像上的方向导数计算 一般可以将栅格图像视为对连续的图像亮度函数，( x ，) ，) 按均匀栅格采样的结果。 栅格图像上的象素点的空间位置是离散的，基于栅格图像的这一特点，在计算机图像上 的空间计算也只能在离散的基础上进行。对于方向导数的计算而言，最简单的情况是在 给定位置附近的所需方向上找到两个相邻象素点，使二者的连线方向恰好与所需的方向 相同。令口方向上相邻两点a ，b 的有向距离为匕占，则图像亮度函数，( x ，少) 在a 点处 目方向上的方向导数可以近似表述为： 乃( _ ，虬) 生些卓捌 ( 2 6 ) l b 使用公式( 2 6 ) 这一表达式的典型是如图2 1 所示的r o b e r t s 交叉算子。 田圈 图2 14 5 。和1 3 5 6 上的r o b e r t s 交叉算子 f i g 2 1 r o b e r t so p e r a t o r0 n4 5 。锄d1 3 5 。 上述计算过程将公式( 2 6 ) 的计算结果作为点a 处的方向导数计算值。如图2 2 所示， 显然将它记作点b 处的方向导数计算值也是同样合理的。进一步，取与点a 关于点b 对称的点c ( 在栅格图像中，若点b 不在图像边界上则这样的点c 一定存在) ，则可以根 据点b 和点c 处的亮度推出点b 处的另一个方向导数计算值。事实上，根据微分中值 定理，公式( 2 6 ) 的计算结果可以描述为g ( x ，y ) 在a b 之间上某点处的方向导数。一个合 理的方法是在计算b 点处的方向导数时同时考虑g ( x ，y ) 在a 、b 、c3 点处的取值。这 样做的另一个优点是可以明确无疑地将计算结果作为中心点( b 点) 的方向导数值，这 显然在结果的表述上更加方便。基于同一理由，常见的梯度算子如s o b e l 算子、p r e 晰t t 算子和飚r s c h 算子均使用了3 3 方阵的形式，而高斯微分算子等由连续函数采样计算得 到的梯度算子也使用同样奇数阶方阵作为计算时的模板。 一9 一 方向可调滤波器在图像边缘检测中的应用 ，一 ” | i ：兰葱| ： 、一， ： i ；，7i 图2 2 在2 点上计算方向导数 f i g 2 2 c a c u l a t ed i r e c t i o n a ld e r i v a t i v ew i t h2p i x e l s 下面考虑使用3 点计算方向导数的情形。在直线上，根据泰勒级数可以得到点 处函数厂( x ) 的导数的中心差商估计如下： 厂( ) 坐之掣 ( 2 7 ) 由公式( 2 7 ) 可以导出根据直线上3 点的亮度估计中心点方向导数的方法。一般地， 在二维图像平面上，任取点么，以彳为中心建立极坐标系，= x 2 + y 2 ，= a r g ( x ，) ，) ， 则对于给定的方向b 和距离，i ，可以得到图像亮度函数，( r ，目) 在彳点处p 方向上的方向 导数： 乃( 彳) ：塑韭掣 ( 2 8 ) ( 吒，b ) 图2 3 在3 点上计算方向导数 f i g 2 3 c a c u l a l ed i r e c t i o n a ld e r i v 2 i t i v ew i t h3p i x e l s 计算栅格图像上的方向导数时，点a 附近可以取得的像素点的数量有限。因此q 的可能取值也是有限的。以3 3 邻域为例，幺的取值只能是椭的整数倍，即只有8 种 大连理工大学硕士学位论文 取值。相应地，使用3 3 方阵的典型梯度算子一般也只包含不多于8 种方向【4 ，5 ，2 2 】 ( 鼬r s c h 算子是8 种) 。 本文第一章中提到，利用两个正交方向上的方向导数可以用公式( 1 1 ) 计算得到任意 方向上的方向导数计算结果 8 】。这里参考上述方法来构造任意方向上的方向导数计算方 法。 根据公式( 2 8 ) ，同理可以得到口+ 万2 方向上的方向导数： 如( 彳) ：业生丝毕业邕型 ( 2 9 ) 二，l 这样，由公式( 1 1 ) ，对于任意方向驴，在彳点处伊方向上的方向导数l ( 爿) 就可以用和 乃圳：( 彳) 表示： l ( 彳) = 乃( 彳) c o s ( 伊一秒) + 乃+ ，：( 彳) s i n ( 伊一p ) ( 2 1 0 ) 再将( 2 8 ) 和( 2 9 ) 代入( 2 10 ) ，可以得到： e ( 彳) ：生业业盟幽竺刿 ( 2 11 ) 。，( ，日+ 万2 ) s i n ( 缈一q ) 一，( ，岛+ 3 万2 ) s i n ( 缈一q ) 2 据此可以得到a 点处方向导数的一个估计值。下面公式( 2 1 1 ) 对进行简化。 函数的性质，有： s m s ( x 一三) 一。s ( x 一孚) 因此，由( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) ，可以得到： ( 彳) ：血坐业盟铵坐坐捌 考虑到三角 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ! ! 兰：刍! ! 三! ! 竺! 【竺二璺二! ! 兰! ! ( 至：刍! 三! 三! 1 2 1 ( ! 二垒二三三! 三1 2 再依次令岛，岛，和吼等于q + 万2 ，q + 万和q + 妨2 ，注意到同一十字点组内r 值 相等，则( 2 1 3 ) 可以化为： 4 ，( ，引c o s ( 9 9 ) l ( 彳) = 丑- 一 ( 2 1 4 ) 可以看到，只要获得了十字点组中每一个点相对于中心点的倾角口和距离，即可计算 出该点对应的象素在计算a 点处方向导数时的权重。 根据公式( 2 1 4 ) ，为了对，在么点处9 方向上的方向导数( 么) 做出估计，需要获得 彳附近与彳距离相等且与彳连线倾角依次相差万2 的四个点处的图像亮度值，这些点的 方向可调滤波器在图像边缘检测中的应用 相对位置如图2 4 所示。这就是计算任意方向矽上的方向梯度所需要基本条件。这里把 满足上述条件的四个点的集合称作彳的一个十字点组。每一个这样的十字点组对应着 c ( 么1 的一个估计值。值得注意的是，这里的十字点组的初始角度可以任意选取，因此 可以在一个比较小的邻域内得到多组方向导数估计值。事实上，可以证明，对于像素行， 列间距相等的典型栅格图像，可以将a 的一个正方形邻域内除a 以外的全部象素点不 重复地归入a 的若干个十字点组内，从而可以最大限度地利用模板运算提供的信息量对 a 点处的方向导数做出尽可能可靠的估计。 图2 4 利用周围四个点的处的亮度估计a 点处任意角度上的方向导数 f i g 2 4 e s t i m a t ed i r e c t i o n a ld e r i v a t i v eo fa0 n 砒i t 珊y 锄g l ew i m4p i x e l s 2 3 栅格图像上的方向导数滤波器模型 上文中给出了在一个十字点组上计算4 点处方向导数的方法。下面考虑在栅格 图像上将此方法描述为模板形式的方向导数滤波器。 大连理工大学硕士学位论文 图2 5 栅格图像上的十字点组 f i g 2 5 ac r u c ia ：t e p i x e lg r o u p o n a 鲥d i m a g e 利用十字点组的概念构造方向导数滤波器需要将目标点的一个邻域内的象素点不 重复地归入若干十字点组，并将各个十字点组的计算结果统一归纳为简单明确的形式。 注意到栅格图像上的滤波器通常定义在以目标点彳为中心的正方形窗口内，这里也按正 方形的特点对邻域内的点进行分组。将栅格的间距定义为单位长度，则窗口内以目标点 彳为中心，边长为2 七( 七= 1 ，2 ，珂) 的正方形将恰好经过8 七个像素点。从其中任意一 个像素点开始将这些点按逆时针方向依次记作4 ，彳：，4 。，则对于任意的f ( f = 1 ，2 ，2 七) ，点集 44 埘4 以 是彳的一个十字点组。如图2 5 所示。 按这种方式可以将正方形经过的8 七个像素点全部且不重复地分成2 七个十字点组。 这样，在边长为2 n 的正方形窗口内除中心点彳以外的( 2 ，2 + 1 ) 2 1 个点可以构成，? 2 + ，z 个 十字点组。如前文所述，利用其中韵任意一个十字点组可以使用公式( 2 1 4 ) 得到c ( 么) 的 一个估计值。再取所有十字点组上估计值的平均值，得到在窗口内定义的，在彳点处矽方 向上的方向导数： 砌) = 熹缸( 班熹萼喜毯叱钆) ( 2 1 5 ) 其中，下标f ，_ ，表示第个十字点组的第f 个点，( 彳) 表示第歹个十字点组上对c ( 4 ) 的计算结果。根据( 2 1 5 ) 式可以对图像上的一组像素点的亮度估计中心点处的图像方向导 数。因此( 2 1 5 ) 式定义了一种图像上方向导数滤波器模型，根据其计算的基本单元可以称 其为十字点组模型。 方向可调滤波器在图像边缘检测中的应用 下面对( 2 1 5 ) 式进行简化。从公式( 2 1 5 ) 的右半部分可以看到，对所有十字点组的结果 进行简单平均时，每一点的权值仅与点的坐标有关，因此公式( 2 1 5 ) 可以整理成以下形式。 ( 4 ) ：志q 窆譬型m ，舅) ( 2 1 6 ) 删2 方葡善攀尸m ，舅) ( 2 1 6 ) 其中，( ，口) 是邻域内a 以外各个点的极坐标。实际应用中一般只要求获得图像梯度和 方向导数的相对结果，并且往往会把计算结果线性调整到规定的值域中，因此可以略去 仅与聆有关的固定系数，并设公式中未出现的中心点的权值为o 。这样公式( 2 1 6 ) 定义的 方向导数估计方法可以表述为以下的基本方向导数滤波器： 聃= j 掣例 ( 2 1 7 ) ( ，9 ) = 了一，刘 ( 2 1 7 ) i or = o 其中( ，臼) 是边长2 玎的正方形窗口( 含边界) 内所有栅格点相对于中心点的极坐标，伊是 求方向导数的目标角度。 公式( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 隐含了所有十字点组具有相等权值的假定。实际应用中往往需要 根据各种情况为不同的十字点组设定不同的权值，这时的方向导数估计值为： c ( 彳) ：艺p ( 棚川：窆p ( ) 壹掣吨谚，) 产1，1 问 甜f ( 2 1 8 ) p ( ，) = l 其中，p ( ，) 为第，个十字点组的权值。特别地，当使用点与中心的距离作为确定权 值的依据时。权值函数可以用p ( ，1 来表示。这样的方向导数估计方法可以表述为以下 形式的滤波器： ，：( ，目) p ( ，) ：! ! 三! 掣p ( ，) ，o ( 2 1 9 ) ( ，- ，目) p ( ，) = 了一p w ，刘 ( 2 1 9 i o，= o 进一步，当p ( r ) 为幂函数时，可以定义距离指数加权的方向导数滤波器： 眦铲f 掣= 掣例 亿2 。， lo ，= o 大连理工大学硕士学位论文 图2 。6 十字点组模型的结构 f i g 2 6 s t m c t u r eo fc r u c i a t ep i x e l 伊o u pm o d e l 共性 特性 公式( 2 1 8 ) 是使用十字点组模型计算方向导数的最一般表达式。如图2 6 所示，十字 点组描述了各种方向导数滤波器的共性特征，多数方向导数滤波器都可以用图2 5 的方 法分解为符合公式( 2 。1 4 ) 的十字点组。而权值函数p f ) 则集中描述了每个滤波器的特点。 这样，只需要适当地构造权值函数即可得到具有所需性能的滤波器。公式( 2 1 9 ) 是方向 导数滤波器的一般形式，确定距离权值函数p ( r ) 和目标方向角驴后，可以据此计算出相 应的滤波器的模板。公式( 2 2 0 ) 是公式( 2 1 9 ) 在p ( r ) 为幂函数时的特例。 2 4 模型的初步验证 以下是根据公式( 2 2 0 ) 计算得到的不同的距离指数s 下的方向导数滤波器在0 。方向 的3 3 模板( 这里选取3 3 模板是由于大多数典型梯度算子是以这种形式定义的) 。 此时七= 1 ，矽= o ，结果如表2 2 。 表2 2 不同衰减指数下的o 。方向导数滤波器的3 3 模板 t a b 2 23 3t e m p l a t e so f o 。d i r e c