（光学工程专业论文）部分相干光传输特性的研究.pdf

西南交通大学硕士学位论文第1 页 摘要 近年来，部分相干光束引起了人们极大的研究兴趣，部分相干光源也可产生 与激光一样的远场光强分布，而其光强均匀度优于完全相干的激光光束。但目前 这部分的研究主要集中于高斯谢尔模型( g s m ) 光束，该光束的光强分布及复空间 相干度均为高斯型分布。本文介绍了另两类新的部分相干光模型，即部分相干修 正贝塞尔高斯光束( m b g b ) 和第一类零阶贝塞尔谢尔模型( j s m ) 光束，同时介绍 了研究部分相干光传输变换的基本理论和主要分析方法。在实际应用中，激光光 束的传输常常受光阑的限制，因此对受光阑限制的部分相干m b g b 和j s m 光束 的传输特性研究是必要的。然而，当光束具有较大的发散角或光束束腰可与波长 相比拟时，傍轴近似不再有效。随着二极管激光器、光子晶体、微光学元件和微 腔激光器等研究的进展，部分相干光束在非傍轴领域内的传输已引起人们的广泛 关注，因此研究部分相干m b g b 和j s m 光束的非傍轴特性具有重要的理论意义 及实用价值。本文进行的主要研究工作包括： 1 对部分相干m b g b 和j s m 光束通过有硬边光阑的近轴a b c d 光学系统的 传输进行了研究，采用将硬边光阑窗口函数展开为有限个复高斯函数之和的方法， 推导出了近似的解析传输公式。以部分相干m b g b 在有光阑情况下自由空间的传 输为例作了数值计算，对所得解析公式的计算误差和适用范围进行了讨论。结果 表明，用复高斯函数展开法可快速、解析地研究部分相干m b g b 通过圆孔光阑自 由空间的传输特性，分析了菲涅尔数、截断参数对部分相干m b g b 经光阑后光强 分布的影响。并对j s m 光束通过圆孔光阑薄透镜系统的聚焦特性进行了分析和讨 论。数值计算结果表明，相对焦移与菲涅尔数、截断参数有关。 2 利用广义瑞利衍射积分公式和部分相干光理论，推导出任意阶非傍轴部分 相干m b g b 和非傍轴j s m 光束在自由空间解析的传输方程。作为特例，给出了 非傍轴部分相干m b g b 的远场公式和傍轴部分相干m b g b 的传输公式。数值计 算和分析表明，厂参数对部分相干m b g b 的非傍轴特性有重要影响；此外，谱相 干度参数f 也影响光束的非傍轴行为。对于非傍轴j s m 光束，给出了非傍轴j s m 光束在远场和傍轴近似下的解析传输方程以及相位的解析公式。研究表明，参 数和厶参数对j s m 光束的非傍轴行为有重要影响，且厂参数还影响着非傍轴j s m 光束的相位分布。 西南交通大学硕士学位论文第1 l 页 3 通常情况下，聚焦光束的焦点位置用轴上光强最大值点的位置来定义的。 当轴上光强为零时，轴上光强法就失去了意义，此时可采用环围功率法来讨论光 束的焦平面位置：再者，由于非平面波导因素，焦点位置与焦平面位置也不一定 重合。从实际应用和能量集中度来看，以光束束腰位置所在平面( 光斑尺寸最小 平面) 来定义实际焦面更为合理。以余弦高斯光束为例，对光束的实际焦平面及 其位置进行了分析和讨论。在余弦高斯光束通过薄透镜聚焦系统的场分布函数的 基础上，利用二阶矩定义导出了聚焦余弦高斯光束的光斑函数的解析表达式，由 此求得束腰宽度及位置，进而给出了余弦高斯光束的相对焦移的解析表达式。分 析了光学系统参数以及光束参数对实际焦平面位置的影响并作了数值计算。 关键词：部分相干光束；传输特性；复高斯函数；非傍轴传输 西南交通大学硕士学位论文第f i l 页 a b s t r a c t r e c e n t l y , t h ec h a r a c t e r i z a t i o na n dp r o p a g a t i o no fp a r t i a l l yc o h e r e n tb e a m sa r e t o p i c so fc o n s i d e r a b l ei n t e r e s t n l ep a r t i a l l yc o h e r e n ts o u r c e sc o u l dp r o d u c et h es a m e f a r - f i e l di n t e n s i t yd i s t r i b u t i o n 嬲al a s e r m o r e o v e r , t h ep a r t i a l l yc o h e r e n tb e a m sa r e d e m o n s t r a t e dt oh a v ea d v a n t a g eo v e rt h es p a t i a l l yc o m p l e t e l yc o h e r e n tb e a m s a t y p i c a le x a m p l eo f t h ep a r t i a l l yc o h e r e n tb e a m si sg a n s s i a ns c h e l l m o d e l ( g s m ) b e a m , w h i c hh a sb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l y b o t ht h ei n t e n s i t yd i s t r i b u t i o na n dt h ec o m p l e x d e g r e eo f c o h e r e n c eo f t h eg s mb e a ma r eg a n s s i a n d i s t r i b u t i o n t h i st h e s i si n t r o d u c e s a d d i t i o n a lp a r t i a l l yc o h e r e n tb e a mm o d e l s w h i c h 撇p a r t i a l l yc o h e r e n tm o d i f i e d b e s s e l - g a u s s i a nb e a m s ( m b g b ) a n dja - c o r r e l a t e ds c h e l l - m o d e lq s m ) b e a m s t h e b a s i ct h e o r i e sa n da n a l y t i c a lm e t h o d sf o rt h eb e a mt r a n s f o r m a t i o na l ea l s oi n t r o d u c e d i np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s , t h ee f f e c to fa p e r t u r ed i f f r a c t i o no nb e a m si sn o ta b l et o n e g l e c t e db e c a u s et h ea p e r t u r ec o n f i n e st h ep r o p a g a t i o no fl a s e rb e a m s ，t h es m d yo f p r o p a g a t i o na n dt r a n s f o r m a t i o no fp a r t i a l l yc o h e r e n tm b g ba n dj s mb e a m sw i t ha n a d e r t u r ei sn e c e s s a r y h o w e v e r , i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ep a r a x i a la p p r o x i m a t i o ni sn o l o n g e rv a l i df o rt h eb e a m sw i t hl a r g ed i v e r g e n c ea n g l eo rs m a l ls p o ts i z ec o m p a r a b l e w i t ht h ew a v e l e n g t h w i t ht h ea d v e n to f d i o d el a s e r s 。p h o t o n i cc r y s m l 。m i c r o a p p a r a t u s a n dm i c r o - c a v i t i e se t c ，c o n s i d e r a b l ei n t e r e s th a sb e e np a i dt ot h ep r o p a g a t i o no ft h e p a r t i a l l yc o h e r e n tb e a m si nn o n p a r a x i a ld o m a i n i tw o u l d b eo fi m p o r t a n ts i g n i f i c a n c e t os t u d yn o n p a r a x i a lp r o p e r t i e so f p a r t i a l l yc o h e r e n tm b g ba n dj s mb e a m s t h em a i n w o r k so f t h et h e s i sa r e 髂f o f l o w s ： 1 1 1 1 ep r o p a g a t i o np r o p e r t i e so fp a r t i a l l yc o h e r e n tm b g ba n dj s mb e a m s p a s s i n gt h r o u g hap a r a x i a la b c do p t i c a ls y s t e mw i t hh a r d - e d g ea p e r t u r ea r es t u d i e d b ym e a n so fe x p a n d i n gah a r d - e d g e da p e r t u r ef u n c t i o ni n t oaf i n i t es u mo fc o m p l e x g a u s s i a nf t m c t i o i l s ，t h ea p p r o x i m a t ea n a l y t i c a lf o r m u l a sa r ed e r i v e d a sa l la p p l i c a t i o n e x a m p l e n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n s a r ep e r f o r m e df o r p a r t i a l l yc o h e r e n tm b g b p r o p a g a t i n g i nf r e e s p a c ew i t hh a r d - e d g ea p e r t u r e 1 1 h ec o m p u t a t i o ne 】f f o r sa n d a p p l i c a t i o nr a n g e so ft h o s ea n a l y t i c a lf o r m u l a sa d i s c u s s e d i ti ss h o w nt h a tt h e m e t h o dp r o v i d e st h ea d v a n t a g eo fr e d u c t i o no fc o m p u t i n gt i m ea n da n a l y z i n gt h e p r o p a g a t i o np r o p e r t i e so fp a r t i a l l yc o h e r e n tm b g bt h r o u g ht h ea p e r t u r e do p t i c a l s y s t e m s t h ei n f l u e n c e so ff r e s s n e ln u m b e ra n dt r u n c a t i o np a r a m e t e ro rt h ei n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n sa r ei n v e s t i g a t e d i na d d i t i o n ，t h ef o c u s i n g p r o p e r t i e so fj s mb e a m s t h r o u g hat h i nl e l l ss y s t e mw i t hc i r c l e - a p e r t t t r ea r ea n a l y z e da n dd i s c o s s e d n u m e r i c a l c a l c u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h er e l a t i v ef o c a ls h i f t so ff o c u s e dj s mb e a m sd e p e n do n 西南交通大学硕士学位论文第1 v 页 f r e s s n e ln u m b e ra n dt r u n c a t i o np a r a m e t e r 2 b yu s i n gt h eg e n e r a l i z e dr a y l e i g hd i f f r a c t i o ni n t e g r a lf o r m u l a t i o na n dt h e o r yo f p a r t i a l l yc o h e r e n tl i g h t , t h ea n a l y t i c a lp r o p a g a t i o ne q u a t i o n sf o rn o n p a r a x i a lp a r t i a l l y c o h e r e n tm b g bo fa n yo r d e ra n dn o n p a r a x i a lj s mb e a m si nf l e es p a c ea r ed e r i v e & t h ef a r - f i e l de x p r e s s i o no fn o n p a r a x i a lp a r t i a l l yc o h e r e n tm b g ba n dt h ep r o p a g a t i o n e q u a t i o no fp a r a x i a lp a r t i a l l yc o h e r e n tm b g ba l ep r e s e n t e d a ss p e c i a lc a s e so f n o n p a r a x i a lp a r t i a l l yc o h e r e n tm b g b n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n sa n da n a l y s i ss h o wt h a t , t h ef p a r a m e t e rp l a y sa ni m p o r t a n tr o l e i n d e t e r m i n i n gt h e b e a mn o n p a r a x i a f i t y , w h e r e a st h es p e c t r a ld e g r e eo fc o h e r e n c ea d d i t i o n a l l ya f f e c t st h en o n p a r a x i a lb e h a v i o r o fp a r t i a l l yc o h e r e n tm b g b f o rn o n p a r a x i a lj s mb e a m s ，t h ea n a l y t i c a lp r o p a g a t i o n e q u a t i o n su n d e rt h ef a r - f i e l da n dp a r a x i a la p p r o x i m a t i o n , a sw e l la st h ec l o s e d - f o r m e x p r e s s i o no f t h ep h a s ea r ep r e s e n t e da ss p e c i a lc a s e s i ti sf o u n dt h a tt h e f p a r a m e t e r a n dt h ef pp a r a m e t e rp l a yi m p o r t a n tr o l e si nd e t e r m i n i n gt h en o n p a r a x i a lb e h a v i o r o f j s m b e a m s b e s i d e s ，t h ef p a r a m e t e ra l s oa f f e c t st h ep h a s ed i s t r i b u t i o no f n o n p a r a x i a l j s m b e a m s 3 u s u a l l y , t h ef o c a lp o j n to ff o c u s e db e a m i sd e t e r m i n e db yt h ea x i a lm a x i m u m i r r a d i a n c e w h e nt h eo n - a x i si r r a d i a n c ei sz e r o ，a ne n c i r c l e - p o w e rc r i t e r i o ni s i n t r o d u c e dt od e f i n et h ef o c a lp l a n e f u r t h e r m o r e ，o w i n gt on o n - p l a n a rw a v e g u i d e ，t h e f o c a lp o i n ti sn o tl o c a t e da tt h ep o s i t i o no ft h ef o c a lp l a n e s t a r t i n gf r o mp r a c t i c a l a p p l i c a t i o n sa n dt h ec o n c e n t r a t i v ed e g r e eo fe n e r g y , t h er e a lf o c a lp l a n ei se q u a lt ot h e p l a n eo fb e a mw a i s t ( t h em i n i m u l np l a n eo fb e a mw i d t h ) a sa na p p l i c a t i o ne x a m p l e ， t h ef e c a lp l a n ea n dt h ep o s i t i o no f t h ep l a n ei nc o s i n e - g a u s s i a nb e a m sa l ea n a l y z e da n d d i s c u s s e d b a s e do nt h ef i e l d d i s t r i b u t i n ge x p r e s s i o n f o rc o s i n e - g a n s s i a nb e a m s p a s s i n gt h r o u g hat h i nl e n ss y s t e m , t h ea n a l y t i c a lf o r m u l af o rt h eb e a mw i d t ho ft h e f o c u s e dc o s i n e g a u s s i a nb e a mi sd e r i v e du s i n gt h es e c o n d - o r d e rm o m e n td e f i n i t i o n b o t hw a i s tw i d t ha n dt h ep o s i t i o no f t h ew a i s ta r eo b t a i n e d t h ec l o s e d - f o r me x p r e s s i o n f o rt h er e l a t i v ef e c a ls h i f to ft h ef o c u s e dc o s i n e - g a n s s i a nb e a mi sp r e s e n t e d t h e d e p e n d e n c eo ft h er e a lf o c a lp l a n ep o s i t i o nf o rt h ef o c u s e dc o s i n e - g a n s s i a nb e a mo n o p t i c a ls y s t e mp a r a m e t e r sa n db e a mp a r a m e t e r s a r ea n a l y z e da n di l l u s t r a t e dw i t h n u m e r i c a le x a m p l e s k e yw o r d s ：p a r t i a l l yc o h e r e n tb e a m s ；p r o p a g a t i o np r o p e r t y ；c o m p l e x g a u s s i a n f u n c t i o n ；n o n p a r a x i a lp r o p a g a t i o n 西南交通大学硕士学位论文第1 页 1 1 国内外研究现状 第1 章绪论 1 9 6 0 年7 月t h m a i m a n 博士发明了世界上第一台红宝石激光器后，激光 科学技术得到了飞速的发展，从而极大地推动了相关基础和应用学科研究的 进展，包括光束变换光学的形成和发展。光束变换光学即激光光学就是一门 以研究光束传输与变换为主题的年轻学科，而现代科学技术的突飞猛进发展 加速了相干光学的发展。相干光学是光学工作者长期的、重要的研究课题， 它以研究光束相干特性的传输、变换和控制为主题。 众所周知，激光束具有良好的方向性，发散角可小到1 0 4 r a d 以下。以前 这一特性归结于它的完全相干性。1 9 7 8 年以后，美国著名光学专家w o l f 在 “c o h e r e n c ea n dr a d i o m e t r y ”一文【1 】中的工作对相干性和辐射度学之间相关性 的研究得到了不同结论：( 1 ) 相干性不同的光源可产生相同的远场光强分布； ( 2 ) 要光束产生象激光一样的方向性，完全空间相干并非必要。大量研究也证 明了某些部分空间相干的光源可以产生象激光一样方向性极好的光束 2 q 2 】。 在强激光技术中，很难遇到理想的完全相干的基模高斯光束，比较合乎实 际情况的是采用部分相干光束模型【3 a , 7 , 1 3 - i7 】，用空间时间域中的互强度或者 空间频率域中的交叉谱密度函数为特征量，研究它的传输变换特性。最早用 来描述这类具有良好方向性但只有部分空间相干性的多模激光光束的数学物 理模型是高斯谢尔模型( g s m ) 光束【4 , 1 3 - 1 7 】，其光强分布和复空间相干度都是 高斯函数。最近，p o n o m a r e n k o 引入了一类新的部分相干光模型，该光束可由 拉盖尔高斯光束非相干叠加而成，称为部分相干修正贝塞尔高斯光束 ( m b g b ) 【1 8 ，吲。部分相干光中另一类重要的光束是第一类零阶贝塞尔谢尔模 型( j s m ) 光束【2 m 2 4 1 ，该光束光强分布呈贝塞尔高斯形，而其相干度为第一类零 阶贝塞尔函数形式。 西南交通大学硕士学位论文第2 页 在实际激光传输与变换光学系统中，光束受到有限孔径光阑的限制是不 可避免。近年来，已有许多文献对多种光束通过受光阑限制的近轴a b c d 光学 系统进行了广泛地研究【2 5 。4 1 ，研究方法主要有：对广义惠更斯菲涅尔衍射积 分公式( 即c o l l i n s 公式) 进行直接积分【2 7 2 引，傅立叶级数展开以及将门函数用 复高斯函数展开等方法 2 9 啦】。由于直接数值积分所耗机时较长，对内含多光 阑的复杂光学系统的处理非常困难。j j w e n 在文献 3 5 ，3 6 中给出了用有限项 复高斯函数的和来描述门函数的方法，为激光束通过有限孔径的近轴a b c d 光 学系统传输的求解提供了一条解析地得到输出面上场分布函数的有效途径， 并且可大大地节约计算机时，并能较好地应用于多光阑复杂a b c d 光学系统的 传输与变换的求解。 随着激光技术的进展，特别是强聚焦光束和半导体激光光束( 有大发散角) 描述、光子带隙晶体和稳定腔的非傍轴本征模问题的求解 3 7 , 3 k ，使入们开始 了对非傍轴光束的传输变换的研究。最早系统地对非傍轴光束的传输理论的 研究始于七十年代l a xe ta 1 【3 9 1 的开创性工作，后经d a v i s ，a g r a w a l ，p a t t a n a y a k ， c o u t u r ea n db e l a n g e r , t a k e n a k a ，w u n s c h e 等人的工作，建立起了研究非傍轴光 束在自由空间、介质( 非均匀介质，增益介质) 中传输的几种主要研究方法： 1 级数展开方法；2 角谱方法；3 衍射积分方法；4 算符方法；5 虚点源方 法。迄今，绝大多数文献研究的是完全相干光束的非傍轴传输特性4 0 4 3 1 ，但 对部分相干光束的非傍轴传输特性的研究却很少。 1 2 部分相干光的基本理论 1 2 1 空间一时问域 部分相干光的经典理论是以光场的统计特性为基础。在空间时间域中用 互相干函数r 慨，磊，f ) 来描述部分相干光，其定义为【4 4 1 西南交通大学硕士学位论文第3 页 r 慨，卢：，办= 缈p 。，t + r ) v 佤，f ) ) ( 1 1 ) 式中，矿眵。，f + f ) 和矿溉，f ) 分别为光场在空间点磊、l 搠j t + t 和在空间点厦、 时刻t 的复解析信号( 复振幅) ，( ) 表示系综平均，t 表示复共轭。为了清楚 起见，本章中空间位置矢量用声= k y ，z ) 表示，而z = c o l o r 平面上的位置矢量 用尹= k y ) 表示。 令a = 声：= 卢，f = 0 ，由( 1 1 ) 式得到空间点芦处的平均光强 ，p ) = ( 矿舻，f 矿+ p ，f ) ) = r ，声，0 ) ( 1 2 ) 归一化的互相干函数称为复相干度旭，磊，f ) ，即 航如) 2 而黔触丽= 拷赫 m s ， 光场的相干性可用复相干度来度量，它的模j 施，厦，纠确定了干涉条纹的 可见度通常，o i 加。，厦，f l 1 ，当l 咖。，芦：，f 】= 1 时为完全相干， l 旭，磊，f 1 = o 为完全非相干，o l x - x l ，工 l y - y 1 ( 1 - z 1 ) 西南交通大学硕士学位论文第7 页 时，( 1 2 0 ) 式成为傍轴近似条件下的惠更斯菲涅尔衍射积分公式( 简称为菲涅 尔衍射积分公式) k y ) = ( 去) e 冲( - 魁) l g ：y ) 叫一差k 一工，) 2 + ( y y ，) 2 】 出匆，( 1 啦) 如果进一步增大工，使满足夫琅禾费条件 l 要0 ”+ y ”k ( 1 - 2 3 ) s u ( 1 2 2 ) 式简化为夫琅禾费衍射积分公式 驯= ( 刳斗砖( “百x 2 + y 2 眦唯训州m ：4 ， ( 1 2 0 ) 、( 1 - 2 2 ) 和( 1 - 2 4 ) 式是经典标量衍射理论的基本公式。但当衍射面和观察 面之间不再是自由空间而是复杂光学系统时，菲涅尔衍射积分公式( 1 2 2 ) 不再 适用，需要推广。 1 3 1 2 柯林斯公式 柯林斯( c o l l i n s ) 对经典衍射理论进行了有方法性意义的推广m 椰j 。他证 明：当衍射面和观察面之间不是自由空间而是用变换矩阵( 三三 表征的复杂 光学系统时，惠更斯菲涅尔衍射积分公式应推f 为 如小唧( _ 酬- f 凰) 斗盖2 ) - 2 ( 蕊锄，) + 。g 2 ) 】) 砌，( 1 彩) 式中，l 为沿轴上的光程。上式就是广义惠更斯菲涅尔衍射积分公式，也称 柯林斯公式。 存梓举标下可改写为 西南交通大学硕士学位论文第8 页 砘咖临) 唧( - 酬i 扇( r ：) 斗盖妒砌7 c o s 一力+ 伽2 】 ， d r d e m 2 e ， 式中，( ，：9 7 ) 和( ，妒) 分别为源点和场点位置坐标 1 3 2 复高斯函数展开法 在实际工作中，遇到的光束传输问题常常或多或少受到光阑的限制，光 阑的衍射效应对光束特性影响是应当考虑的。通常的方法是从菲涅尔衍射积 分或者柯林斯( c o l l i n s ) 公式出发，直接进行数值积分，往往费时甚多且得不 到解析公式。为了节省计算时间和便于进行直观的物理分析，人们己发展了 多种解析或近似的快速计算模拟方法，典型例为复高斯函数展开法 3 5 1 、矩阵 法【4 9 1 以及光束模式展开法【5 0 1 。这里只介绍本论文应用的复高斯函数展开法， 复高斯函数展开法是用复高斯函数叠加的形式来模拟硬边光阑的窗口函数。 1 9 8 8 年，w e n 和b r e a z e a l 3 5 1 将半径为a 的圆孔光阑的窗1 2 函数c 护( r ) 用有 限个复高斯函数之和来逼近，即 c i , ( , ) - - e 茎a je 十等】 ( 1 2 ，) e 叫一= 争i ( 1 2 7 ) 式中，彳；和口，分别为展开系数和复高斯函数系数，它们可由计算机优化得到。 当m = 1 0 时，4 ；和b ；取值见表1 - 1 。显然，这一方法也能推广用于矩形光阑， 对应窗口函数为r e c t ( x ) 。( 1 2 7 ) 式的主要优点是：( i ) 已作最佳化处理，即用 较少的系数拟合c 护p ) ，误差最小，耗机时也少；( i i ) 用( 1 2 7 ) 式代替硬边光阑 窗口函数代入c o l l i n s 公式后，对常见光束，例如乎顶高斯光束，贝塞尔光束， 贝塞尔高斯光束和部分相干光等通过含有一个或多个硬边光阑a b c d 光学系 统的传输公式都能写为解析的形式 3 2 , 3 6 , 5 1 , 5 2 】，使计算机时大为减少，并保证足 西南交通大学硕士学位论文第9 页 够的计算精度，仅在靠近光阑的近场( 小于o 1 倍的菲涅尔区) ，有较大误差。 ja ，b j l1 1 4 2 8 + o 9 5 1 7 5f4 0 6 9 7 + 0 2 2 7 2 6f 20 0 6 0 0 2 0 0 8 0 1 3f1 1 5 3 1 2 0 9 3 3f 3- 4 2 7 4 3 8 5 5 6 2 f4 4 6 0 8 + 5 1 2 6 8 f 41 6 5 7 6 + 2 7 0 1 5f4 3 5 2 l + 1 4 9 9 7f 5- 5 0 4 1 8 + 3 2 4 8 8f4 5 4 4 3 + 1 0 0 0 3f 61 1 2 2 7 0 6 8 8 5 4 f3 8 4 7 8 + 2 0 0 7 8 f 71 0 1 0 6 - 0 2 6 9 5 5f2 5 2 8 0 1 0 3 1 0 f 82 5 9 7 4 + 3 2 2 0 2f3 31 9 7 - 4 8 0 0 8f 9- o 1 4 8 4 0 - 0 3 1 1 9 3f1 9 0 0 2 1 5 8 2 0 f 1 00 2 0 8 5 0 0 2 3 8 5 1f2 6 3 4 0 + 2 5 0 0 9 f l 2 l 位8 o 6 o 4 饥2 o o 。2 0o 5ll 。52 图1 - 1c 驴( r ) 与拟合函数的实部和虚部 西南交通大学硕士学位论文第1 0 页 ( 1 - 2 7 ) 式与c i r ( r ) 的拟合见图1 - l 。由图知，复高斯函数展开式的振幅和位 相都不能完全与c 驴( ，) 拟合，特别是在光阑边界( ， a ) 处相差较大。这是产 生计算误差的物理原因。可以针对这一问题做一些改进，例如将c f r ( ，) 展开为 傅里叶级数和有限个复高斯函数之和的乘积形式【5 3 1 ，这样拟合误差可以进一 步减小，因此，计算精度得以提高。但因拟合公式的复杂化会造成计算时间 的增加。 1 3 3 非傍轴衍射积分方法 在实际应用的大多数情况下，傍轴近似都是成立的。但是，对二极管激 光器输出发散角很大的光束，或者强聚焦光束光斑尺寸为波长量级时，傍轴 近似不再有效，本论文使用瑞利索末菲衍射积分公式和广义衍射积分公式分 析部分相干光束的非傍轴特性。 1 3 3 1 瑞利索末菲衍射积分公式 自由空间中单色电磁场满足波动方程 2 + 七2 归( 厂) = o ( 1 2 s ) 在边界条件e b z ，y i ，o ) ，e b ，y ，o ) 给定的条件下，自由空间亥姆赫兹波动方 程的解可表为瑞利衍射积分形式m 】 珧y 一= 一去肛加) 未 竺掣卜奶 ( 1 - z ，) 珧y 一= 一去肛幻) 丢阱砌( 1 - 3 。) 酏粥，= 击啦。去f 掣卜。告p 掣 卜m s - ， 式中， ，：瓜i 再石i ：再7( 1 3 2 ) 西南交通大学硕士学位论文第1 1 页 将( 1 3 2 ) 式代入( 1 2 9 ) ( 1 3 1 ) 式在， 五处，略去f 斑一三1 中的后一项，得 ， t k y ，z ) = 一塑2 ，t ：f j 睦g y i , o ) 曼譬盟戤砂， ( 1 3 3 ) 髟k 乃z ) = 一罢肛k 拂，o ) ! 兰警盟凼，砂， ( 1 3 4 ) t 阮弦二) = 芸m e g ，拂，o 一薯) + e y ( x i 戊，o ) 一y ，) 】! 兰譬盟出，砂，( 1 3 5 ) 实际上在边界条件e k ，y i ，o ) ，e y ( x ，y ，o ) 给定时，直接计算上述积分十分困 难需喜作沂似虚卜殚。押，展开为塞勤级数。仅保留前两项有 式中， 嘲+ 盘学 = 扛巧：再 ( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) ( 1 - 3 3 ) - ( 1 - 3 5 ) 式中的指数项中的rj 丑( 1 - 3 6 ) 式代替，其余的rj 书( 1 - 3 7 ) 式代替，得 酏舻) - - 堡嚣掣肛，0 ) d 访盘芷辛立卜( 1 - s s ) 髟班一生曩掣肛川唧卜盘警卜m s 9 ， e 帆加笔掣肛。b 刊+ 髟蛳嘿) 】 e x p ( 琥盘等也卜 ( 1 - 4 0 ) ( 1 - 3 8 ) ( 1 - 4 0 ) 式为用衍射积分方法研究非傍轴光束的传输特性的主要计算公 式。衍射积分方法的优点是适用范围广，可用于研究高度非傍轴光束的传输 特性，也可用于研究非傍轴部分相干光束的传输特性，但计算过程繁琐，有 时存在着数学运算上的困难。 1 3 3 2 广义瑞利衍射积分公式 非傍轴部分相干光的交叉谱密度函数在z 0 的半平面上传输遵从广义瑞 利衍射积分公式【5 4 】 w ( , s 1 ，历，z ) = 砉耻) 矽佤。死，o ) ! ! 鼍詈鱼而- 焉) d 2 岛i d 2 如( 1 - 4 1 ) 式中，磊= “，乃) 和厄= ( x 2 , y ：) 分别表示出射平面z = z 和入射平面z = o 上点 的坐标；k 为与波长彳相关的波数，即k = 2 n 2 ；e o s o ，= z r ，( ，= 1 , 2 ) ， b = i 幻- - x o j ) 2 + 幻一，) 2 + z 2 l ”。( 1 - 4 1 ) 式成立条件是r ， a 。 将足，展开为泰勒级数，仅保留第一和第二项，有 式中， r j = r j4 垫监挚c 蚴 ，：，= 也2 + y ，2 + z ，2 y ” ( 1 - 4 3 ) 将( 1 - 4 1 ) 式中的指数项中的嘭用( 1 4 2 ) 式代替，其余吩用，：，代替进行计算。 1 4 部分相干修正贝塞尔高斯光束和第一类零阶贝塞尔谢尔 模型光束 本论文研究的部分相干光束模型为部分相干修正贝塞尔高斯光束 ( m b g b ) 和第一类零阶贝