（固体力学专业论文）压缩载荷下纳米尺度薄膜材料破坏机理的实验研究.pdf

中文摘要 微尺度力学和m e m s 系统中的低维材料性能研究是当今国际多学科交叉研究 的热门课题。涉及力学问题有薄膜材料在残余应力和外载荷作用下的变形、应力、 断裂和屈曲等。薄膜材料的力学性能，尤其在纳米尺度上的力学性能的研究具有 重大的学术价值和广阔的应用前景。 在本文中，我们选择信息工程中使用的具有代表性的薄膜基底组合形式： 一类是钛聚碳酸脂，另一类是钛有机玻璃；利用真空对靶磁控溅射镀膜技术制 作了5 0 - 1 5 0 纳米间不同厚度的薄膜。需精确设置仪器参数，如：初始压力( 真 空度) 、工作压力和沉积速度等，这样才能精确控制薄膜的沉积厚度。 本文定性分析了皱折屈曲传播的机理，进行了屈曲分层的数学分析：薄膜中 届曲分层的稳定增长条件，可以用一个简单的方法计算得来，前提条件是增长的 前端部分不做要求。这种方法的准确程度，依赖于对沿着屈曲传播前端分布的载 荷相角的估计精度 设计了新的差动式机械一对中受压加力装置，对薄膜施加均匀的轴向载荷。 基底的加工精度、薄膜的镀膜技术、加力装置的加工精度等都会影响实验的结果。 在外加单向压缩应力和残余应力的联合作用下，研究了薄膜和基底之间由脱 粘到屈曲，屈曲又驱动脱粘，进而散裂的全过程。用o l y m p u s 显微镜对屈曲形成 的过程进行了详细的观察，观察了皱折屈曲成长、传播的全过程，并且对不同应 力下的屈曲尺寸作了标定。 利用有限元软件h n s y s 模拟屈曲的形成过程：特别是讨论不同屈曲结构共存 的状态。 关键词：屈曲分层；薄膜；失稳；屈曲；缺陷；纳米尺度 a b s t r a c t n l es t u d ya b o u t t i n ys c a l em e c h a n i c sa n dm a t e r i a lp e r f o r m a n c ei nm e m ss y s t e m t o d a yi sah o tt o p i ci nt h ei n t e r c r o s si n v e s t i g a t i o na m o n gm a n yi n t e r n a t i o n a ls u b j e c t t h em e c h a n i c sb e h a v i o ro fm e m b r a n em a t e r i a lu n d e rr e s i d u a ls t r e s sa n dc o m p r e s s i v e s t r e s sh a sb e e ns t u d i e d d e f o r m a t i o n ，s t r e s s ，f r a c t u r ea n db u c k l ea r ei n v o l v e d t h e m e c h a n i c sb e h a v i o re s p e c i a l l ya m o n gn a n os c a l ei si m p o r t a n ta n dh a sw i d e l y a p p l i c a t i o nf o r g r o u n d i nt h i sp a p e rw es e l e c tt h er e p r e s e n t a t i v ef i l ma n ds u b s t r a t ec o m b i n a t i o n o n ei s t h ec o m b i n a t i o no ft i t a n i u ma n dp o l y s a c c h a r i d ea n o t h e ri st i t a n i u ma n do r g a n i c w e h a v es a m p l e sw i t hd i f f e r e n tt h i c k n e s sf r o m5 0n a n o m e t e rt o15 0n a n o m e t e ra l lt h e s a m p l e sw e r ed e p o s i t e d d u r i n gt h ed e p o s i t i o np r o c e s sw en e e dt oc o n t r o lm a n y p a r a m e t e r s w h i c hi n v o l v ei n i t i a lv a c u u ma n dw o r kp r e s s u r ea n dt h e s p e e do f d e p o s i t i o n s ot h a tw e c a r lg a i nt h ee x a c tt h i c h n e s so f f i l m i n t h i sp a p e rw ea n a l y z e dt h em e c h a n i s mo fs t r a i g h t s i d e db u l k i n ga n dt h e p r o p a g a t i o no fb u l k i n gd r i v e nd e l a m i n t a i o n c o n d i t i o n sf o rs t e a d y - s t a t eg r o w t ho f b u c k l i n g d r i v e nd e l a m i n a t i o ni nt h i nf i l ms y s t e m sc a nb ec a l c u l a t e db yas i m p l i f i e d m e t h o dw h e r ed e t a i l sa r o u n dt h eg r o w i n gf r o n ta r en o tr e q u i r e d t h es i m p l i f i e d m e t h o dr e l i e su p o ne s t i m a t e so ft h ep h a s ea n g l eo fl o a d i n ga l o n gt h ep r o p a g a t i o n f r o n to fd e l a m i n a t i o n i nt h i sp a p e rw eh a v ed e s i g n e dn e wc o m p r e s s i v ed e v i c e t h ef i l mn e e d sa x i a l c o m p r e s s i v es t r e s s t h ea c u u r a c yo fe x p e r i m e n t a lr e s u l t sr e l i e so nt h em a c h i n i n go f t h es u b s t r a t ea n dt h em e t h o do fd e p o s i t i o n t h e m a c h i n i n ga c c u r a c y o ft h e c o m p r e s s i v ed e v i c ec a na l s oa f f e c tt h er e s u l t s u n d e rt h ec o n d i t i o no fc o m b i n a t i o ne f f e c to fa x i a lc o m p r e s s i v es t r e s sa n d r e s i d u a ls t e s sw es t u d yt h ew h o l ep r o c e s sf r o md e l a m i n a t i o nt ob u l k i n g a l lt h e r e s u l t sc a nb eg a i n e db yt h eu s eo fo l y m p u s w ea l s oo b s e r v e dt h ew h o l eg r o w i n g p r o c e s so fs t r a i 曲t e d s i d e db u l k i n g i nt h i sp a p e r ，w em e a s u r e dt h eh e i g h to fb u l k i n g u n d e rd i f f e r e n ts t e s sa n dd i s c u s s e dt h ec o e x i s to fd i f f e r e n tb u l k i n g i nt h ee n db yt h e u s eo f t h ea n s y ss o f t w a r ew es i m u l a t e dt h ep r o c e s so f b u l k i n g k e y w o r d s - b u c k l i n g d r i v e nd e l a m i n a t i o n ；t h i nf i l m ；i n s t a b i l i t i e s ；b u c k l i n g ； d e f e c t ；n a n o s c a l e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得盘盗盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：连胀呻签字日期耖，年月叫日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解叁鲞盘茎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者虢毫席卵 签字日期刎年7 月叫日 导师签名 耖形吣 签字目期：埘年z 月叫日 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 屈曲问题研究的意义及研究概况 应力( 残余应力和外加应力) 对于沉淀在基底上薄膜的影响研究已经得到了 广泛的关注。对薄膜中应力的研究是m e m s ( m i c r o e l e c t r om e c h a n i c a ls y s t e m s ) 研究中的一个热门力学问题。作为一项突破性技术m e m s 有着众多的应用领 域，使以前毫无联系的学科产生了关联，比如生物学和微电子学。更多的m e m s 技术不断出现，使m e m s 的前景更加广阔。 受载薄膜的研究不仅仅是局限在m e m s 领域内，更由于在很多重要技术领域 的关键作用，它们的力学特性在固体力学领域、材料科学领域、统计物理学等 领域都被研究过。例如研究镀在基底上的薄膜的屈曲、分层、裂缝等。在材料科 学和冶金学中，残余应力大小取决于薄膜的形成过程。例如用阴极喷涂的方法喷 涂在基底上的金属薄膜，极容易形成应力集中，从而可以导致屈曲、分层，进而 能够引起各种各样的形状：泡、电话线状、直边状。 三十多年前，f e o p p l - - v o nk t 3 r r n o n 在他的薄层理论中已经研究过这些屈曲 组织的问题。例如屈曲的临界应力及其结构的周期性变化，是由泊松比的不同决 定的。同时在固体力学领域内，一直在研究接触面之间裂纹的传播。可以通过实 验的方法，运用显微镜和加载装置，研究在压应力( 包括残余应力和外加载荷) 的 条件下屈曲图形是如何变化的。通过观察可以看到从最初有缺陷的位置可以产生 直边皱折，并且可以清楚的观察到皱折的成长过程。直边皱折的演变可以在f 6 o p p i - v o i qk o r m o n 的薄层理论中找到。分层的驱动力是沿着最初皱折的纵向释 放的应力。这些关于最初皱折的稳态线形分析，基于能量是随着薄层形态变化而 变化的。这些线性的分析适用于最初的屈曲薄层变化，但是并不适用于有残余应 力释放的非线性薄层的演变过程。 薄膜和接触面问有裂缝成长的屈曲分层，被认为是一种重要破坏模型( w a n g 和e v a n s1 9 9 8 ) 。薄膜被认为是轴向均匀受压，这取决于薄膜和基底等的加工精 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 度。并且认为在整个薄膜上都是无差别的。如果薄膜和基底间存在初始裂缝，则 压应力就能引起薄膜产生屈曲。粘结剂和薄膜问的边界是有裂缝的。特别典型的 是当基底和薄膜间发生小的分离，薄膜中就会产生屈曲。并且如果能量释放的速 度超过了接触面间的临界点，屈曲就会在薄膜中传播。在随后产生的屈曲有好几 种形态，有圆形的、线型的和电话线型的。分层是沿着曲线的前端成长的，在它 的后面是没有发生变化的裂缝。如果曲线的前端沿着一条线性的路径，则在它身 后的裂缝就会成为直边皱折。 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 1 2 用实验的方法研究缺陷对于薄膜屈曲的影响 1 2 1 简介 应力( 包括残余应力和外加压应力) 对于沉淀在基底上的压薄膜的影响，好多 资料都有记载。特别典型的是当基底和薄膜问发生小的分离( 我们称之为缺陷) ， 在应力的作用下薄膜中就会产生屈曲。并且如果能量释放的速度超过了接触面间 的临界点，屈曲就会在薄膜巾传播。在随后产生的屈曲有好几种形态，有圆形的、 线型的和电话线型的等等。图1 - 1 中列出了它们的形状。都是在受了一定的外加 载荷得到的图像，其中( a ) 图是椭圆形的泡，( b ) 形状不规则的泡，( c ) 是电话线状 的屈曲，( d 、是直边皱折。对于薄膜中屈曲的传播机理和屈曲的形态，很多人已 经做了大量的工作，但是对于屈曲的形成原凼却没有得到过多的关注。本节的重 点讨论各种不同的缺陷，可以演变成何种屑曲形状。 由于镀膜过程中由于工艺问题，基底和薄膜之间不可避免的存在微小的分 离，形成缺陷。在研究屈曲组织的问题上，缺陷的作用是非常明显的。正是因为 这样，所以现在对于几何上的缺陷对于屈曲彤成的影响，成为一个很受关心的话 这样，所以现在对于几何上的缺陷对于屈曲形成的影响，成为一个很受关心的话 题。 a ( 3 0 # m x 3 0 u r n )m 7 0 p m 7 0 p r o ) 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 1 2 用实验的方法研究缺陷对于薄膜屈曲的影响 1 2 1 简介 应力( 包括残余应力和外加压应力) 对于沉淀在基底上的压薄膜的影响，好多 资料都有记载。特别典型的是当基底和薄膜问发生小的分离( 我们称之为缺陷) ， 在应力的作用下薄膜中就会产生屈曲。并且如果能量释放的速度超过了接触面间 的临界点，屈曲就会在薄膜中传播。在随后产生的屈曲有好几种形态，有圆形的、 线型的和电话线型的等等。图1 1 中列出了它们的形状。都是在受了一定的外加 载荷得到的图像，其中( a ) 图是椭圆形的泡，( b ) 形状不规则的泡，( c ) 是电话线状 的屈曲，( d ) 是直边皱折。对于薄膜中屈曲的传播机理和屈曲的形态，很多人已 经做了大量的工作，但是对于屈曲的形成原因却没有得到过多的关注。本节的重 点讨论各种不同的缺陷，可以演变成何种屈曲形状。 由于镀膜过程中由于工艺问题，基底和薄膜之间不可避免的存在微小的分 离，形成缺陷。在研究屈曲组织的问题上，缺陷的作用是非常明显的。正是因为 这样，所以现在对于几何上的缺陷对于屈曲形成的影响，成为一个很受关心的话 题。 “3 0 u r n 3 0 t t m ) b ( 7 0 t i n 7 0 m ) 天津大学硕士学位论文第一章绪论 c ( 2 0 , a m 2 0 a m ) d ( 3 0 a m x 3 0 , a m ) 图1 1 图1 - 2 0 一w c h a n g ，2 0 0 1 ) 中展示了表面的一个突起缺陷对于能量释放的理论 影响。可以注意到能量的释放速度，g ，与没有突起缺陷的平面薄层，有显著的 变化。特别需要指出的是，由于垂直与接触面的法线方向的拉应力的影响，即使 最初有微小分层缺陷，都可能引起有限的能量变化。能量的释放速度存在一个最 小的数值g m 当分层缺陷在尺寸上与突起缺陷相似的时候，此数值逐渐变大。 在此最小值之后，g 迅速上升，意味着一个不稳定的状态的到来。也就是说：如 果最小值超过了接触面间的断裂韧度，7 ：n f ，屈曲组织就会不稳定，屈曲组织会 沿着一定的路径增长，从而在薄膜中传播起来，由此可能形成图1 - 1 中的各种屈 曲组织，也可能形成其它的屈曲组织。 本节的目的就是通过实验的方法，研究缺陷对于屈曲组织形成的影响，并与 图1 - 2 0 一w c h a n g ，2 0 0 1 ) 中的理论值相比较。 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 0 y ( j h 、 i 卜龊陷元约柬响应 1、l，h 图1 - 2 能量释放速度与上h 间的函数关系 定义薄膜的厚度为h ，缺陷的波长为三，振幅为万。 薄膜的厚度约是7 0 n m 1 4 0 n m 残余应力约是1 4 g p a ，能够产生电话线状屈 曲组织、直边皱折屈曲组织、泡屈曲组织等。波长范围在1 - - - 2 5t t m 间( 波长的范 围可以用光栅进行准确的标定，在后面的章节将详细的阐述) 。产生的屈曲形状 可以为图1 - 1 中的各种形状，也可以在本文第五章中看到更为详尽的图例。各种 各样的屈曲组织的产生，可以看作是有不同的缺陷引起的。这些缺陷组织都是因 为在薄膜沉淀在基底的过程产生的。 ，；詹 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 1 2 2 标定屈曲的高度 分别对各种不同的缺陷，进行测量。用原子力显微镜观察了四种缺陷，它们 的振幅和波长都总结在表1 1 中。在图l 一3 集中展示了四种组织。两个比较小的 缺陷组织( 标号为i 和i i ) 振幅大约是1 3 0 n m ，波长约是6 2 u m ( 图卜3 ( a ) 和( c ) ) ， 可以和第三章有限元计算结果对比。它们不规则的轮廓表明薄膜仍然紧紧和基底 接触。两个稍微大的缺陷组织( 标号为i 和) 拥有完全不同的轮廓。在图1 3 ( c ) 中，右边的不规则的轮廓( 与缺陷i 和i i 的轮廓相似) 看上去像是重叠在平滑的圆 弧上的曲线，这表明有薄膜和基底间的某个接触面已经剥离，并且发生了屈曲。 通过构建一个和右边轮廓相匹配的圆弧，右边轮廓和圆弧间的间隙，可以近似估 计最初缺陷的尺寸。通过这样的方法可以知道，缺陷的尺寸，振幅占= 2 4 0 h m ， 波长l o = 1 5 o u m 。圆弧的轮廓尺寸，表明了紧随其后的屈曲的振幅是w “7 6 0 h m 。 最大的缺陷组织( 标号是，如图卜3 ( b ) 和( d ) ) ，是电话线状屈曲组织的起源。 在屈曲的区域用一个圆弧去度量，可以得到缺陷的振幅占= 3 5 0 n m ，波长是 l o = 2 0 o u m ( 如表卜1 ) 。 表卜1 缺陷参数艿( 门m ) 厶( 聊)厶矗6 f l a 矗 i 1 3 26 14 3 5 70 0 2 2 1 4 0 n m n 1 3 3 6 5 4 6 4 3 0 0 2 01 4 0 h m i2 4 01 5 o1 0 7 1 4o 0 1 61 4 0 n m 3 5 02 0 o1 4 2 8 6o 0 1 8 1 4 0 n m 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 ( a ) 此丕厢r 划悭端 l 竖一| o d ) 2 0 ( 微米) 振 幅 o 2 5辩 ( c ) ，r 、 、毒： 彩。鼍7 。 舢蝴露冷 表面轮廓 蘸百，； | 位显e # 哪l l ，_ 一 图卜3 - 7 - 5 0 ( b ) 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 1 2 3 缺陷的测量 测量了大量所提到各种缺陷的尺寸，在每一种情况下，都测量了缺陷的振幅 和波长。测量的结果被分成三种类型。当缺陷的形状非常不规则，外形轮廓如图 卜3 中的i 、i i ，我- f f n q 这样的状态为次临界状态。当缺陷( 如图卜3 中的i 、 i v ) ，可以演变成一个比较典型的电话线状屈曲组织的时候，称这样的状态为超 临界状态。所有的介于这两者的状态，都叫做稳定状态，在这种状态下缺陷可以 转变成屈曲组织，但是只能在缺陷的周围，并且保持稳定。这样的划分结果在图 卜4 ( j w c h a n g ，2 0 0 1 ) 中用图像的方法展示出来了，坐标轴分别是占厶，厶 。从 图中可以知道，超临界状态的缺陷有比较大的工n h 值，而次临界状态有比较小 的厶，h 。 o 2 0 o 1 5 0 。1 0 o 。0 5 0 01 02 03 04 05 06 07 08 0 图l 一4 中f 。= 4 1 0 j m 。2 图卜4 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 1 2 4 数学分析 上述的缺陷组织，可以近似的认为是准轴对称组织。所研究的薄膜沉淀在平 面基底上，有准轴对称屈曲组织，并且有压残余应力。薄膜和基底的接触面间有 分离，直径厶为： l = 2 2 l e 盯r 其中e 是薄膜的应变模量三= e 。( 1 一p 2 ) ，e m 是y o u n g s 模量，o - 。是残 余压应力。当一个振幅是d 波长是l 的屈曲重叠在平面基底上的时候，能量的释 放规律就如同图卜2 中所描述的那样。最小的能量g 满足如下的条件： g g o “o 4 ( l l b ) 其中瓯是分层能量的释放速度： g o = 盯；h 2ed ( 卜2 ) ( 卜3 ) 当0 0 5 万l 墨0 2 时，结果和缺陷振幅的关系不大。必须在这个范围以外进 行分析。在表卜1 中的各种缺陷恰好在这个范围外( 如图卜1 ) 。公式( 卜2 ) 来合理 化所观察的结果。为了这个目的g 。，。等于界面间的韧度。r 。在一个比较适合 的范围。这样的结果是产生了一个临界缺陷波长，厶，如果缺陷的尺寸超过了 厶，就会产生一个屈曲组织，并且会扩展成为一个电话线状的屈曲组织。所用 的公式为： l f h = 11 ( r 。盯月矗) ( e 盯r ) “2 ( 1 4 ) 当所需要的参数都能知道，可咀由公式( 卜4 ) 可以确定临界波长。模数的范 围为e = 1 0 0 , 1 3 0 g p a 残余应力从屈曲的波长中可以知道= 1 9 g p a 。钛的厚度 h = 1 4 0 r i m 。接触面间的韧度是未知的，但是可以假设小于基底玻璃的， r 曲。，= 8 j m 。可以从r 。= 4 lo j m 。中取值。在图卜4 中，形成电话线状 屈曲的缺陷在超临界区域，而那些形不成屈曲的缺陷主要在次临界区域。 天津大学硕士学位论文第一章绪论 1 3 本文的主要工作 1 3 1 用实验的方法确定缺陷对于薄膜屈曲的影响 本章的目的就是通过实验的方法，研究多种缺陷对于屈曲组织形成的影响， 并与理论值相比较。 研究屈曲组织的问题上，缺陷的作用是非常明显的。由于垂直于接触面的法 线方向的拉应力的影响，即使最初有微小分层缺陷，都可能引起有限的能量变化。 能量的释放速度存在一个最小的数值g m 一当分层缺陷在尺寸上与突起缺陷相似 的时候，此数值逐渐变大。在此最小值之后，g 迅速上升，意味着一个不稳定的 状态的到来。也就是说如果最小值超过了接触面间的断裂韧度，。，潜在的屈 曲组织就会不稳定，并且传播起来，由此可能形成屈曲组织。 在本章中，实验所用的平面玻璃试件( 2 x 3 x 4 5 r a m ) ，其表面镀钛薄膜 ( 7 0 1 4 0 n m ) 。用原子力显微镜对缺陷进行定量的分析。对大量的缺陷进行测量， 并且按照能量释放的速度，将缺陷分为；次临界状态、稳定状态和超临界状态。 我们已经知道，产生电话线状屈曲的缺陷是超临界状态，而不产生屈曲的缺陷是 次临界状态。 1 3 2 屈曲分层的数学分析 在屈曲分层中，裂纹前端的载荷角等各种参数，对裂纹的传播起重要的影响 作用，在分析中就必须考虑裂纹成长前端的受载相角。接触面裂纹前端的力学状 态是不能忽略的。 1 3 3 用有限元的方法模拟薄膜的翘曲 本章中用有限元的方法模拟了薄膜的翘曲。给定薄膜的力学参数、几何参数， 假定薄膜和基底之间存在初始缺陷，用有限元模拟计算薄膜在外加载荷的作用下 的翘曲。 本章运用有限元的方法，计算出沿着接触面裂纹前端的力学状态。将有限元 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 的方法得到的结果和理论的结果进行比较，验证了此方法的精确度。对沿着直线 形路径和沿着曲线路的稳定状态能量释放速度进行比较。 1 3 4 实验仪器及设备 介绍了实验所用的装备，包括显微镜、对中加载装置等。在本章中主要是展 示了部分实验器材的设计图纸，另外就是实验所用的电测部分的原理图。 1 3 5 实验的部分图像 最后列举了实验中所观察的部份典型现象。 天津大学硕士学位论文第二章屈曲分层能量释放的数学分析 第二章屈曲分层能量释放的数学分析 2 1 引言 薄膜中屈曲分层的稳定增长条件，可以用一个简单的方法计算得来。这种方 法的准确程度，依赖于对沿着屈曲传播前端分布的载荷相角的估计精度。而且此 种方法的准确程度，可以和有限元计算的方法进行对比，后者可以对屈曲分层传 播方向的组织力学性能进行计算。对于有不同成长前端的分层进行对比，这些分 层的成长前端都是圆弧形且宽度相同，但圆弧的曲率不同。可以认为凹率不同的 路径，它们的分层成长前端载荷角是相同的，而和曲率无关。 2 2 简介 薄膜和接触面间有裂缝成长的分层，被认为是一种重要破坏模型( w a n g 和 e v a n s1 9 9 8 ) 。图2 一l 是屈曲驱动分层的示意图：薄膜的厚度是h ，并且沉淀在基 底上。薄膜被认为是轴向均匀受压，这取决于基底的加工精度和加载装置的精度， 并且认为在整个薄膜上所受的载荷都是无差别的。由于镀膜工艺等影响因素，基 底和薄膜间是有裂缝的，也就是薄膜和基底间存在初始缺陷，则压应力( 包括残 余应力和外加载荷) 就能引起薄膜产生屈曲。在发生屈曲之后裂缝要承受载荷， 受载的模型是i 、i 的混合体。 分层是沿着曲线形前端成长的，在它的后面沿着分层成长的路径产生了裂 缝。远离裂缝成长前端的应力状态独立与成长方向的坐标。如果分层沿着曲线形 的前端成长，并且其成长路径是线形的，则它身后的裂缝就会成为直边皱折。由 于薄膜的高度是纳米量级的( 7 0 1 4 0 n m ) ，而分层的宽度是微米量级，所以面内 的分层尺寸为2 b ，远大于薄膜的高度h 。这就允许能量的释放速度和应力强度因 子可以通过两个相互独立的方法计算出来：远离分层成长前端的分层薄膜中应力 天津大学硕士学位论文 第二章屈曲分层能量释放的数学分析 和变形，是运用几何非线形理论，并且认定薄膜和基底是沿着裂缝前端紧贴在一 起而得到的；裂缝前端的不连续应力，是运用断裂力学的中的j 一积分方法和载 荷角的方法得到的。 沿着x 轴方向成长 的裂纹 图2 - 1 直边皱折屈曲分层 卜 k 风n 刀1 。j x l ， 、 、 b i 久 、 图2 2 裂纹成长前端 屈曲驱动分层的理论分析( h u t c h i n s o n 和s u o ，1 9 9 2 ：c h o ie ta 1 1 9 9 9 ) 考 虑的是屈曲传播的稳定状态。其成长裂缝前端的能量释放速度的计算，仅考虑远 离成长前端的分层薄膜中的应力。这样关于稳定状态能量释放的公式就可以有一 个简洁的形式了。但是如果断裂准则仅仅取决于能量的释放速度，裂缝成长前端 的形状和裂缝前端各种的应力强度因子都就不需要了，这显然不符合事实。裂缝 前端主要是i i 型载荷模型。实验结果表明，载荷角对于接触面问裂缝的断裂标准 是非常重要的( c a o 和e v a n s ，1 9 8 8 ) 。载荷角取决于裂缝成长前端的形状( h u t c h i d s o r 和s u o ，1 9 9 2 ) 。 天津大学硕士学位论文 第二章屈曲分层能量释放的数学分析 本章的工作是运用有限元的方法，计算出沿着接触面裂纹前端的资料。图 2 2 展示的是接触面间分层的俯视图。在有限元计算中，x 轴和y 轴方向都认为 是对称的。将有限元的方法得到的结果和理论的结果进行比较，从而来验证此方 法的精确度。对沿着直线形路径的稳定状态能量释放速度进行计算。 2 3 分层的断裂力学性质 薄膜和基底之间的裂纹的能量释放速度g ，可以用如下方法得到。其中是 薄膜的垂直应力，是薄膜的剪切应力，m 是薄膜中裂缝的弯曲力矩( j e n s e n e ta l ，1 9 9 0 ：s u o 和h u n t c h i n s o n ，1 9 9 0 ) 。 g = g l ，n + g ，g i ，n = ( 1 一v 2 2 e h 3 ) ( 1 2 m 2 + 矗2 矗2 ) ，g r a = ( 1 2 1 t h ) j 凸, t 2 ( 2 1 ) e ，v 是薄膜的扬氏模量和泊松比，t 是其弹性剪切模量。与薄膜的厚度h 相 比分层的尺寸要大的多，所以可以忽略不均匀的应力状态。已经通过实验的方法 知道，接触面问的断裂强度，主要受应力强度因子问的比率的影响( c a o 和 e v a n s ，1 9 8 9 ) 。正因为这个原因，所以根据应力强度因子墨、将能量的 释放分为模型i 、i i 、i l l ，同时考虑基底的弹性参数e 、k 和从。载荷角度妒，m 可以通过下面的公式得来( r i c e ，1 9 8 8 ：s u o 和h u t c h i n s o n ，1 9 9 0 ：j e n s e ne t a l ，1 9 9 0 ) ： t a n 妒 = 岛k i = ( 厄m c o s c o + h n s i n o ) ( 一t 泐s i n 国+ 从n c o s c a ) ( 2 2 ) c o s m = 瓦而 其中已经把( ) 和弹性参数间的关系绘成表格( s u o 和h u t c h i n s o n1 9 9 0 年) 。 从公式( 2 2 ) 中可以知道y = 0 0 时，是在单纯的模型i 条件下：i ：f ，= 9 0 0 时，是在 单纯的模型条件下。这种方法的计算结果也适用于有振荡奇异点的情况，前提 条件是，接触区域靠近裂缝成长尖端的尺寸，比薄膜厚度要小。由于有了上述假 天津大学硕士学位论文 第二章屈曲分层能量释放的数学分析 设，分层间的变形和应力可以应用平面理论来计算。薄膜和基底间有重叠的情况， 也可以通过旋加接触条件应用这种理论。但是如s t r i n g f e l l o w 和f r e u n d 研究 的大面积接触的情况，不能简单的运用平面理论，这得需要更全面的弹性公式。 大面接触的情况要运用平面理论的公式，必须考虑接触面间的断裂标准。经过上 述的分析可以认为，振荡型裂纹前端奇异点对计算结果不产生实际的影响。第一 个d u n d u r s s 参数( d u n d u r s ，1 9 6 9 ) 被定义为： 2 e e s 1 一伊1 一p 2 e 巨 l _ v 2 。| - - v s 2 能量释放速度g 和应力强度因子间的函数关系如下： g = t k l 2 + k ac 半+ 警e ，+ 堡4c 去+ 专2、e 7 、f“ ( 2 3 ) ( 2 - 4 ) 综合公式( 2 - 1 ) 、( 2 - 2 ) 、( 2 - 3 ) 和( 2 - 4 ) 应力强度因子可以表示为： k 叫差c o s 居s i n ，瓜 k n = k i 切n p ( 2 - 5 ) k m = n t 层跞 其中t a n p , 的数值是由公式( 22 ) 确定的。 天津大学硕士学位论文 第二章屈曲分层能量释放的数学分析 2 4 直边分层的稳定成长 假设一个长度为2 b 的分层沿着直线传播如图22 那样。如果在分层中的能 量释放速度( g 。) 和成长前端能量的释放速度( g ) 相互独立，则g 。为 ( h u n t c h i n s o n 和s u o ，1 9 9 2 ) ： 瓯6 = r g ，。( 6 ) 藤 ( 2 6 ) 其中g 。是沿着远离分层成长前端的直边分层能量释放速度，可以用一个简 单的一维分析方法得到，但是要忽略分层成长前端( 也就是裂缝前端) 的资料。 单位宽度的窄带边界固定，发生沿x 轴方向的变形，并且薄膜与基底问的接 触面有热压应力，在这种条件下求解v o nk a r m a n 方程。得出薄膜的垂直方向应 力和施加在裂缝前端的力矩( h u t c h i n s o n 和s u o ，1 9 9 2 年) 。 1 2 ( 1 - v - 2 ) t , n b 2 ：万2 ( 旦一1 ) e h 、， 。 坠e 掣h = 垂4 3 ( 后- 1 ) 4 、毋 7 m ，的定义为： 疗2 e h 2 矾t2 1 2 ( i - v 2 ) b 2 综合公式( 2 1 ) ，和公式( 2 6 ) 一( 2 - 8 ) ： ( 2 7 ) ( 2 8 ) 天津大学硕士学位论文第二章屈曲分层能量释放的数学分析 e 。：g o ( 1 一马( 1 + 3 马 盯 u 瓯：g o ( 1 一生) 2 ( 2 9 ) 盯 ，1 盯( 1 一y 2 ) 矗 u 0 一1 f 一 由于妒接：近- 9 0 0 ，所以仅仅根据瓯确定屈曲分层的g r i f f i t h 断裂标准是 不完整的。并且根据实验的观察，可以知道接触面间的断裂强度与妒密切相关。 再者如果根据g r i f f i t h 断裂强度标准，那么g 。总是比g i 大，也就是说分层的 成长，更容易发生在裂缝的边上而不是裂缝前端，这与实验观察的结果不一致。 更进一步，如果按照g r i f f i t h 断裂强度标准，g 。女是分层的宽度，2 b ，的单调增函 数，并且由于能量释放会因为分层的尺寸的增大而增大，故不存在典型的分层宽 度。这也与实验观察的结果不一致，因为在实验中可以看到典型的分层宽度。由 于上述的原因，在分析中就必须考虑裂纹成长前端的受载相角。 裂纹成长前端的受载相角v 由c h o l e ra l ( 1 9 9 9 年) 给出，考虑半径是b 的圆 形泡，并且认为能量的释放速度为g 。具有残余应力。由于变形是轴对称的， 所以对于圆形包的数学计算就变简单了。从公式( 2 9 ) 中知道，当应力和分层宽 度趋向无穷的时候，g 。瓯都趋向g o 。这一极限使储存在薄膜中的能量，在平 面应变状态下释放的速度，有了一个极限值( h u n t c h i n s o n 和s u o ，1 9 9 2 ) 。这一 能量当然比储存在整个薄膜中的能量g i 小，g i 由下面的公式给出： 。盯2 ( 1 一v ) h q 2 f 2 5 有限元计算 ( 2 1 0 ) 对图22 中的直边分层模型，通过有限元的方法进行数学分析。假设在x 轴 的方向和y 轴的方向都是对称的( 对于x 轴方向的变形奇异变形，不是对称变形 的情况，由j e n s e n 和s h e i n m a n 在2 0 0 1 年已经作过研究) 。在分层增长前端的 后面，直边部分的长度是3 b 。所得的结果是假设分层增长前端的形状是椭圆状。 天津大学硕士学位论文 第二章屈曲分层能量释放的数学分析 在计算中所选的元是七节点矩形单元。所得的计算结果有两种，一种是选了9 6 0 单元进行计算，另外一种就是选了1 5 0 0 个单元进行计算，对两种计算结果进行 比较。从比较的结果可以知道，对于圆形的分层增长前端，这两种计算的结果差 别是比较小的；但是对于椭圆形分层增长前端，这两种计算的结果差别就比较大。 在计算中，取矿= 0 2 。与接触面相垂直的分层区域的一个小的缺陷，就可能产生 离面变形。与h 相比，分层变形区域比较大，能产生非线性的结果。需要逐渐的 增加应力和变形，这样才能有一个稳定的状态。由于薄膜和基底之间没有弹性错 配，所以裂纹前端的应力求解可以运用公式( 2 - 1 ) 、( 2 - 2 ) 和( 2 6 ) ，取= 5 2 1 0 。 由于薄膜和基底间不同的弹性常量，所以公式( 2 2 ) 和( 2 6 ) 中要修正口。和伽。 图2 3 能量释放速度和残余应力间的函数关系 图2 3 是沿着成长前端，对不同角度口( 图2 2 中) 下能量的释放速度进行计 算，所褥结果与压应力闻的函数关系。纵坐标是以g 。( g 。= 仃2 ( 1 一v 2 ) ，e ) 为参 考量的，横坐标为盯正。其中g 。g 。是准确的结果( 根据公式( 2 - 9 ) ) ，可以和 计算所得到的结果进行对比。在增长前端和非受载裂缝之间的区域，也就是口接 近0 。的区域，能量的释放速度有一个峰值。峰值的大小和此区域的增长前端曲线 曲率密切相关。如果增长前端是椭圆形曲线，并且x 轴方向是长轴，那么g 的峰 值就会随着增长前端曲线的曲率减小而降低。i 型能量释放速度也由公式( 2 一1 ) 天津大学硕士学位论文第二章屈曲分层能量释放的数学分析 计算得出，计算结果在口= 0 0 时和形状密切相关。对于圆形的增长前端，i 型能 量释放模型在盯田，= 8 时，能量释放速度小于g 0 5 。更有特色的是i i i 型能量释 放速度能够影响界面断裂标准，使它的值为标准数值的1 6 ( j e n s e ne ta l ，1 9 9 0 ) 。 g 。有特别明显的局部特征，并kl i t g i 或g 。要小的多，所以在断裂标准中可以 忽略型因素的影响。 图2 4 是能量释放速度g 和裂缝不同位置间的函数关系图像，分别给出了在 三种应力状态下不同的图像。图中s 代表的是皱折的横坐标，b ( 定义如图22 ) ， 图2 4 中展示了直边( 0 s ，b 3 ) 和半圆形裂纹前端( 3 j b 4 5 7 ) 之问的变形 区域能量释放速度的最大数值。可以将远离裂纹传播前端能量释放速度的数学计 算结果和实际的数值做完全比较。对半圆形传播前端，从图中可以看到在传播前 端( 也就是3 7 9 s b 4 5 7 和4 5 0 口 9 0 ”的区域) 能量的释放速度g 的变化非 常小。这种现象从图2 - 3 中也可以得到证明。图2 - 4 中的有限元网格划分方法是 一神经典的方法，应用于分层的区域。 图2 4 对图23 中的g ( u ) 有限元的计算，其计算结果和实际结果之间的差别在图 2 5 中详细给出，所比较的就是瓯和f 。g ( 口) s i n 口d 口的数值差别。由公式( 2 9 ) 天津大学硕士学位论文 第二章屈曲分层能量释放的数学分析 的得到的结果6 0 和裂纹成长前端的形状没有关系。所以对于任何形状的成长前 端，f g ( 口) s i n 口d 口都应该和瓯相等。对于圆形裂纹前端，计算的结果和瓯比 较接近。对于不同椭圆形状的成长前端，当网格尺寸划分的比较小的时候，所得 的数学计算结果就趋向于瓯。 图2 5 实际裂纹成长前端的形状，应该是那些在整个裂纹前端都满足断裂标准的形 状。j e n s e ne la l ( 1 9 9 0 年) 给出了一组关于断裂标准的公式： g = g “( 1 + ( 五- 1 ) s i n 2v s i n 2 庐+ ( 五一1 ) c o s 2 痧) ( 2 1 1 ) 其中五，取0 到1 之间的数值，用于对i i 、i 断裂标准的修整。g 。是i 型 的断裂韧度。w h i l ej e n s e ne ta l ( 1 9 9 0 年) 是对任意形状裂缝前端给出了上述 公式，本文中我们是对不同椭圆形裂纹传播前端进行对比。由上述的讨论，对于 公式( 21 1 ) 中的i 型可以不用考虑，8 5 0 矿 2 5 时，分层前 端比分层边界更容易成长。 如果界面间的断裂标准不是i 型或者应力水平大于仃矿= 5 时，增长前端就 不可能是纯圆形了。 天津大学硕士学位论文第二章屈益分层能量释放的数学分析 图27 2 3 天津大学硕士学位论文 第三章用有限元的方法模拟薄板的屈曲 第三章用有限元的方法模拟薄板的屈曲 3 1 矩形薄板稳定问题的基本方程 3 1 1 弹性系统平衡稳定性的基概念 平衡状态有稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡的区别分。在理论力学中讨论 的刚性小球的平衡状态如图所示：( a ) 在凹面的最低点，小球的平衡是稳定的；( 坊 在凸面的最高点小球的平衡是不稳定的；( c ) 在平面上任意点，小球的平衡是随遇 稳定的。可以从两方面判断小球的平衡位置是稳定的还是不稳定的，一是考察小 球在平衡位置邻近的运动形态，二是考察小球在平衡位置邻近的能量特征。 渺广弋 ( a ) 稳定( b ) 不稳定平衡 图3 1 3 1 2 矩形薄板稳定问题的基本方程 q q ( c ) 随遇平衡 研究薄板弹性平衡的稳定性时仍沿用克希霍夫一勒夫基本假设和边界条件， 但是由于失稳时常常i ：e i 现较大的挠度和转动，同时中面产生的面r u i 力和位移，几 何关系将不再是线性的，平衡方程必须考虑变形的影响，所以问题的本质是非线 性的。下面将从板的非线性方程出发，f 瞧后；l l i c i 以简化，得到线性稳定理论的基本 方程。 矩形薄板非线性理论认为板的挠度，以及0 o c 、a m 砂与面内位移、 v 、劫撕、即砂一o v l 砂相比比较大，故在几何关系上只保留o o j l m 、a 加 的非线性项，在对平衡的影响中只考虑a m 缸、a