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中北大学硕士学位论文 符号模式矩阵的惯量与秩 摘要 符号模式矩阵是组合矩阵中当i i i 国际上十分活跃的一个研究课题，其重要原因之一 是它在经济学、生物学、化学、社会学、计算机科学等众多学科中具有广泛的实际应用 背景。符号模式矩阵是由诺贝尔经济学奖获得者p s a m u e l s o n 在他的著作 f o u n d a t i o n s o f e c o n o m i c a n a l y s i s ) 中首先提出的，他指出在经济与其他一些领域中解决某些问题时 仅依赖于矩阵元素的符号，而与其元素大小无关。从某种意义上说，对符号模式矩阵的 研究就等同于对矩阵的定性分析。r a b m a l d i ，b ，l s h a d e r 在专著m a t r i c e so f s i g n - s o l v a b l e l i n e a r s y s t e m s 中总结了到1 9 9 5 年为止在符号模式矩阵研究中所取得的 重要成果，将本课题的研究推向了一个新的层面。自1 9 9 5 年以来，出现了大量的关于 符号模式矩阵的文章并产生了许多新的概念，如复模式等。 本文主要是对一些特殊类型的符号模式矩阵进行了研究。 第一章概述符号模式矩阵研究的历史，介绍一些基本知识，提出本文所作的工作。 第二章介绍符号模式矩阵的惯量所具有的几类重要形式以及惯量研究的动态。 第三章介绍两类特殊符号模式最小秩的相关结论，刻划整数实现拧阶符号模式的最 小秩。 关键词：符号模式矩阵；惯量任意；惯量唯一：谱；秩 中北大学硕士学位论文 i n e r t i aa n dr a n ko fs i g np a t t e r nm a t r i c e s a b s t r a c t s i g np a t t e r nm a t r i xi sav e r yh o tr e s e a r c ht o p i ci nc o m b i n a t o r i a lm a t r i xt h e o r y , f o rw h i c h i ti so fg r e a t ev a l u ef o rp r a c t i c a la p p l i c a t i o n si nm a n ya c a d e m i cs u b j e c t ss u c ha se c o n o m i c s ， b i o l o g y , c h e m i s t r y , c o m p u t e rs c i e n c e ，e t c i t w a sf i r s tp r o p o s e db yp a s a m u e l s o ni n f o u n d m i o n s o f e c o n o m i c a n a l y s i s h e p o i n t e d o u t t h a t t h es o l u t i o n s t os o m e q u e s t i o n s i n e c o n o m i ca n do t h e rf i e l d sr e l yo nm a t r i xe l e m e ms i g nr a t h e rt h a ni t sd i m e n s i o n r e s e a r c ho n s i g np a t t e r nm a t r i x ，i nas e n s e ，i se q l l a lt oq u a l i t a t i v ea n a l y s i so fm a t r i x r a b r u a l d i ，b l ， s h a d e rs u m m a r i z e da l lt h ev i t a la c h i e v e m e n t sb y1 9 9 5i nh i sm o n o g r a p h m a t r i c e so f s i g n - s o l v a b i l i t yo fl i n e a rs y s t e m , t h u st u m e dan e wp a g eo ft h es t u d y s i n c e1 9 9 5 ，t h e r e a p p e a r sam a s so fa r t i c l e sa n dn o t i o n s ，s u c ha sr a ys i g np a t t e r n ，e t c 砸l ep a p e rm a i n l yd i s c u s s e ss o m es p e c i a lf o r m so f s i g np a t t e mm a r r i e s i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r yo fd e v e l o p m e n to nt h es i g np a t t e r nm a t r i c e s ， s o m em e t h o di no u rp a p e rh a du s e d ，a n do u rr e s e a r c hp r o b l e m sa n dm a i nr e s u l t s i nc h a p t e rt w o ，i ti n c l u d e ss o m ei m p o n t a n tf o r m so fs i g np a t t e r nm a t r i xi n e r t i a sa n d r e s e a r c ht r e n d so fi n e r t i a i nc h a p t e rt h r e e ，i ti n c l u d e sp r e l i m a r yi n v e s t i g a t i o no fm i n i n u mr a n ko fs i g np a t t e r n m a t r i xa n ds o m es t u d yt a k e nb yt h ea u t h o r k e y w o r d s ：s i g np a r e mm a t r i x ；i n e r t i a l l ya r b i t r a r y ；u n i q u ei n e r t i a ；s p e c t r u m ；r 锻l k i i 原创性声明 本人郑重声明；所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名： 醛盘落 日期： 兰竺z ：! 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括： 学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可 以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学 位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位 论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内容一( 保密学位论文在解密 后遵守此规定) 。 签名： 导师签名： 磁叁蕴 忏 日期： 丝z 坌：董 日期：缒垒丝 中北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 符号模式矩阵研究的历史 元素耿自于集合 + 。- , 0 ) 或 l ，一l ，0 的矩阵，称为符号模式矩阵，简称为符 号模式( s i g np a t t e r n ) 。对于给定实矩阵彳= ( 嘞) ，由a ，的符号哟。为元素组成 的符号模式( 姆q ) 称为4 的符号模式，记为s g 叫。用q 表示全体月阶符号 模式所组成的集合， 对任意a q ，所有与a 有相同符号模式的实矩阵组成 的集合 占l b 为h 阶实矩阵，且s g n b = a 称为由a 所决定的定性矩阵类 ( q u a l i t a t i v em a t r i xc l a s s ) ，记为q ( a ) 。若彳是一个m ，z 实矩阵， 则a1 司样 可以决定一个定性矩阵类q ( a ) = b i b 为坍栉实矩阵，且s g n b = s g n a 。 符号模式矩阵主要研究符号模式矩阵或实矩阵所确定的定性矩阵类的组合 性质，即研究实矩阵所具有的仅与其符号有关而与元素的数量大小无关的组合 性质，其主要研究内容涉及线性方程组的符号可解性、符号稳定性以及具有特 定性质的符号模式矩阵类的组合性质，它与图论、组合矩阵论、矩阵分析、常 微分方程、算法理论和经济学有密切联系。 符号模式矩阵起源于2 0 世纪3 0 年代诺贝尔经济学奖获得者p a s a m u d s o n 为处理当时国际经济出现的经济问题而提出的经济数学模式一线 性动力系统，研究其符号可解性和符号稳定性，1 9 4 7 年p a s a m u e l s o n 系统总 结了他的经济数学理论，写成 f o u n d a t i o n se c o n o m i ca n a l y s i s ) ) 一书，由哈佛 大学出版社出版，并于1 9 7 1 年再版。此后数学家及生物学家r m 。m a y ，c j e f f t i e s ，y u m s v i r e z e r 和d o l o g o 鼢等人先后发现生物学中的生态系统和 经济学中数学模型的许多定性性质是一致的，而符号稳定性概念也在化学家( 如 7 0 年代b l c l a r k e ，j j t y s o n ) 和社会学家( 如8 0 年代y s h i r a k u r a ) 的各自 研究领域中出现。这表明符号模式矩阵的研究在经济学、生物学、化学和社会 学以及理论计算机科学中具有广泛的实际应用背景。许多国际知名的数学家如 r a b r u a l d i 、vk l e e 、c 。r j o h n s o n 、j s m a y b e e 、c 。a e s c h e n b a c h 、c j e f f r i e s 等 在这一研究领域都有重要贡献。1 9 9 5 年r a b r u a l d i 和b l s h a d e r 的专著 中北大学硕士学位论文 ( m a t r i c e s o f s i g n s o l v a b l e l i n e a r s y s t 咖s 系统总结了到1 9 9 5 年为止这一领域 中所取得的研究成果，将本课题的研究推向一个新的层面。目前，国内在这方 面的研究尚处于起步阶段，但部分工作已处于国际领先水平，特别是同济大学 的邵嘉裕教授、中北大学的高玉斌教授、邵燕灵教授等的工作都引起了国际同 行的广泛关注1 4 川，娜”7 邝。 1 - 2 符号模式矩阵的基本概念 1 2 1 一般矩阵的有关知识 定义1 2 1a i n ( r ) 的k x t 主子矩阵是a 的具有相同行、列指标的k 阶予矩阵，而x 阶主子式是这个主子矩阵的行列式，彳= ( ) 有( ：) 个不i 司 的女k 阶主子式，用g k ( a ) 表示所有这些后x k 阶主子式的和。特别地 e ( 爿) = d 。称为a 的迹( 通常记为缸a ) ，e 。( a ) = d e t a 命题1 2 2 每个矩阵爿j | l 以( 月) 在复数范围内恰好有蚪个特征值( 重根 按重数束计) 。 命题1 2 3 若a m ( 月) ，且n 为奇数，则a 至少有一个特征值为实数。 定义1 2 4 a 影。( 足) 的特征多项式定义为p a ( f ) = 归一z 显然，若将a 蚝( r ) 的特征值记为 ，五，五( 其顺序是任意的，且重 根按其重数计算) ，则有p 。( f ) = o 一 ) ( ，一是) ( f 一九) 。 定义1 2 5 一个矩阵彳 ( 月) 是幂零的，是指对某个萨整数k 有一= 0 。 显然幂零矩阵的特征多项式为p a ( f ) = f ”。 定理1 2 6 u q 设ae 帆( c ) 是给定的h e r m i t e 矩阵，y c ”为给定的向量， a e r 是给定的实数，设j 以+ 。( c ) 是如下形式的矩阵 石= 眵 2 习 中北大学硕士学位论文 设4 和i 的特征值分别用 丑) 和 元) 表示，且假定它们按递增排序 五。九 五s 元s s t 毛。 那么工s 互2 t 毛纛。 以上定理称为特征值的交错定理。值得注意的是，其逆定理也是存在的。 定义1 2 7 设_ = ( ) e m a r ) a 0 ( 非负矩阵) 是指它的元素口。都是 非负实数，a 0 ( 正矩阵) 是指其元素a 。都是j 下实数。 定义1 2 8 如果矩阵p 鸩( r ) 在它的每一行和每列上j 下好有一个元 素等于1 ，而其余所有的元素均为0 ，则称p 为置换矩阵。 定义1 2 9 设a 以( r ) ，如果存在置换矩阵p m 。( r ) 使 p a p r = 瞄习， 其中b 和d 分别是七，阶方阵，t l ，抡i ，则称a 是可约矩阵( r e d u c i b l e m a t r i x ) ，否则称a 为不可约矩阵( i r r e d u c i b l em a t r i x ) 。 由定义知，每个一阶矩阵都是不可约矩阵。以后如没有特别说明，我们所 说的不可约矩阵都是非零的。 l2 2 符号模式矩阵中的一些基本概念 一、符号模式矩阵的运算 关于符号模式矩阵间的各种运算，可参照实矩阵的通常运算方式，但应该 注意以下运算律： ( + ) ( + ) = + ，( - ) ( 一) = + ，( + ) ( _ ) = 一，( + ) + ( + ) = 4 - ( + ) + ( 一) = 群，( 一) 十( _ = 一，( + 一( + ) = 撑 ( 其中撑表示不定元) 例如 ( ：) ( ：) = ( ：! ) 中北大学硕士学位论文 二、强迫与蕴含 设p 为实矩阵的一条性质，若在q ( a ) 中的每一个矩阵都有性质p ，则说符 号模式矩阵爿强迫性质p 。若烈爿) 中仅有某些矩阵具有性质尸，则说符号模式 矩阵a 蕴含性质p 。 这样，今后我们若提到符号模式矩阵具有某一性质，实际上是指定性矩阵 类中所有矩阵都共有该性质。 例如，若符号模式矩阵a 称为符号非奇异，当且仅当对任一b 烈4 ) ，丑 是非奇异的。 对于a i f , ，若a2 = a ，则称4 为幂等的。 显然，判断符号模式矩阵的幂等性远比判断实矩阵的难。 三、相似变换 在下文的研究中，很多量是基于相似变换下的不变量，这蝗相似变换包括： l 、符号差相似 若p q 为一对角符号模式矩阵，每个对角元为“+ ”或“一”，则称p 为一 个符号差摸式矩阵( s i g n a t u r ep a t t e r nm a t r i x ) 。 定义1 2 1 2 两个符号模式矩阵r 与s 称为符号差相似的，是指存在符号 差模式p 使t = p s p 。 2 、置换相似 一个符号模式矩阵p 称为置换模式矩阵，如果其每行、每列恰有一个“+ ”， 其余元素为0 。 定义1 2 1 3 两个符号模式矩阵r 与s 称为置换相似的，是指存在置换模 式矩阵p 使t = p s p 7 。 若s 可由r 经过上述一系列变换得出，则称s 与r 是等价的。从等价的角 度，可对一些符号模式矩阵进行必要的分类。 1 2 3 符号模式矩阵的惯量、谱与最小秩 一个1 1 阶实矩阵占的惯量( i n e r t i a ) 是指三元有序数组 4 中北大学硕士学位论文 f ( 口) = ( f + ( 曰) ，f ( 口) f o ( b ) ) 。其中i a b ) ，f ( b ) ，j o ( 丑) 分别表示b 的具有j 下实部、负 实部、零实部特征值的个数( 重根按重数计) ，显然f + ( b ) + f - ( 召) + i o ( b ) = 行。 设a q ，称三元有序数组的集合x ( a ) = f ( b ) 1 b q ( 爿) 为符号模式a 的惯 量。若对任意县，芝q ( 彳) ，总有i ( b s ) 三f ( b 2 成立，则称符号模式么强迫唯一惯 量( r e q u i r eu n i q u ei n e r t i a ) ，简电为r u i 若对任意满足，+ j + f = 打的非负三元 数组( r ，s ，f ) ，都有( r ，s ，r ) ej ( 4 ) ，则称符号模式a 为惯量任意模式( i n e t t i aa r b i t r a r y p a t t e r n ) ，简记为i a p ；如果a 是惯量任意符号模式，且月有n 2 个菲零元或者用 + 或者用一替换掉a 中的一个或多个零元后所得的符号模式不再是惯量任意符 号模式，则称符号模式4 是最大惯量任意符号模式( m a x i m a li n e n i a l l ya r b i t r a r y p a t t e r n ) ，简记为m i a p 。 当a q 是对称符号模式时，称三元有序数组集合 s i ( a ) = j ( b ) l b = b q ( 彳) 为a 的对称惯量( s y m m e t r i c i n e r t i a ，简称为惯量) 。 若对任意对称矩阵e ，岛e q ( 爿) ，i ( b i ) = f ( 岛) 成立，则称a 是对称惯量唯一的。 易知，惯量具有以下性质： i 、对于所有的n 阶模式，有+ 1 ) 仰+ 2 ) 组三元数组作为其惯量。事实上， 若k = f + ( 丑) ，贝0 k s ”，0 f - ( 曰) h 一女，而f o ( b ) = n 一( f + ( b ) + t ( b ) ) 是被 ( 口) ，t ( b ) 唯一确定。 显然，不是这些圭0 + 1 ) 0 + 2 ) 三元数组集合的每一个予集都能做为某一个 上 符号模式4 的惯量i ( a ) 。例如：没有 阶对称模式a 具有 f ( 爿) = ( 打，0 ，o ) ，( o ，玎，0 ，) ，因为( ，z ，o ，o ) f ( 彳) 是指a 是i f 定的，而( o ，珂，o ) f 似) 是 指a 是负定的，显然矛盾。 2 、一个实对称矩阵口的秩等于i a b ) + f - ( b ) 。 3 、若一是一个对称符号模式，定义a 的对称最小秩s m r ( a ) s m r ( a ) = m i n r ( 暑) i 口= b q ( 4 ) j 中北大学硕士学位论文 类似地，一的对称最大秩s m r ( a ) s m r ( a ) = m a x r ( b ) b = b 7 q 【一) 显然，若a q 是对称的符号非奇异矩阵，则s m r ( a ) = s m r ( a ) = 万。 对于q ，定义一的最小秩 加( 彳) = r a i n r ( b ) i b g ( 爿) 类似地，么的最大秩m r ( a ) m r ( a ) = m a x k ( 占m b q ( 爿) 4 、谱集a ( b ) 是矩阵占的所有特征值( 计算重数) 的集合。研究矩阵的惯 星是与谱密切相关的。 设a 为n 阶符号模式，若对于任意的1 实系数多项式都存在一个实矩阵 丑q q ) ，使得昱的特征多项式为绘定多项式，则称4 是谱任意模式( s a p ) 。 若a 中的任一个非零元用零替换后所得模式都不是谱任意的，则a 是最小谱任 意模式( m s a p ) 。 设疗阶模式a = 缸，) 、s = b ，) ，则s 为a 的超模式是指若o ，$ i js ，= 。 1 3 符号模式矩阵理论在社会学中的应用 鲡前所述，符号模式矩阵的研究在经济学、生物学、化学和社会学以及理 论计算机科学中都具有广泛的应用背景。本节，我们简要介绍符号模式矩阵在 社会学中的应用。 设4 = ( ) 为 阶符号模式矩阵ta q o 当且仅当q ，o ，则称爿是组合 对称的。进步，当4 = ( 4 。) 是组合对称时，若a 。a ，芝0 ，i j ，则称彳是对称符 号模式，烈彳) 中矩阵是符号对称矩阵；若玎，o ，f j ，则称a 是反对称符号 模式，q ( a ) 中矩阵是符号反对称矩阵。 很多社会现象可以用一个定号无向图来表示。对于给定的定号图，必有一 个符号模式与其对应。图的顶点可以代表人、团体、企业、民族、国家和事件 6 中北大学硕士学位论文 等，统称为成员。设“和v 是定号图的两个顶点。若“喜欢与v 合作，则“v 是 定号图的j 下边，若不喜欢与v 合作，则”v 是定号图的负边。若“与v 之1 日j 没 有合作关系，则在与v 之间没有边相连。这样就把成员之间的关系用一个定 号无向图表示出来。我们通常称定号图所表示的社会现象为一个系统。如果定 号图是平衡的，我们也说它所表示的系统是平衡的或稳定的，我们可以通过研 究定号图的性质来分析一个系统是否稳定，研究系统中成员之b j 的关系是否和 谐，他们是否能很好地相处。如果不能，则要设法改变他们之删的关系，从而 使系统达到平衡，使衽会稳定。 早在1 9 4 6 年f h e i d e r 就利用定号图来研究一些社会问题。定号图的概念 是由d ，c a r t w r i g h t 和fh a r a r y 于1 9 5 6 年提出的1 ，但当时研究定号图的人很 少，直到1 9 世纪7 0 年代，h f t a y l o r t ”l ，r z n o r m a n i 圳和e s r o b e r t s l 3 3 1 等人 才开始进一步研究定号图的性质和平衡理论，使定号图在社会学中有了广泛的 应用。 目前，定号图理论在社会学中有着越来越广泛的应用，许多社会问题可以 利用定号图去研究、解释，最终找到解决的办法。35 1 ”l 。 1 。4 本文研究的主要问题 本文将主要介绍以下三个方面的问题：l 、综述符号模式矩阵的惯量的相关 问题，刻划了惯量任意与惯量唯一的符号模式，并对凡类特殊德号模式的惯量 集进行了分析；2 、介绍两类特殊符号模式最小秩的帽关结论；3 、对整数实现 h 阶符号模式的最小秩进行刻划。 l4 1 惯量任意、惯量唯一与惯量集 研究矩阵的惯量是与谱密切相关的。显然，若a 为一s a p ，则彳是一i a p ， 但反过来的问题需作进一步研究。有关实矩阵的惯量的研究，目前已取得很多 结果，然两，对于笱号模式矩阵的惯量。现在知道的结果很少。j e w e t a l 研究了 如下一类特殊的栉阶三对角符号模式矩阵 中北大学硕士学位论文 l = 一l - 一o+ 一o+ 一 o 十 的惯量，证明了当2 刀7 时，乃是惯量任意的，并猜想当h 2 8 时t 瓦也是惯 量任意的。这个猜想引发了新一轮符号模式矩阵惯量的研究。 j c w e i z 还证明了着符号模式a 是可约的且其任一不可约部分是谱任意的， 那么4 是谱任意的符号模式，并猜想其逆命题是对的。在文 3 7 1 中，作者对此 问题进行了举例说明， 另外，t b r i t z e t c 提出猜想：任一n 阶谱任意符号模式至少含有2 疗个非零元 素。 目胁，对符号模式惯量的研究，国际上主要集中在以下几方面：确定特殊 符号模式矩阵类的惯量集，刻划惯量唯一的符号模式矩阵，刻划惯量任意的符 号模式矩阵刻化谱任意的符号模式矩阵以及对称惯量的相关问题。且在上述 几个方面均己取得一些好的结果。本文第二章将介绍符号模式的惯量及谱研究 中获得的一些结果。 1 4 z 符号模式矩阵的最小秩 目前，符号模式矩阵的最小秩的相关结论并不是很多，本文在第三章的前 两节分别介绍树符号模式、广义星符号模式的最小秩。 对于任意的厅阶符号模式矩阵4 ，若m r ( a ) = 是否一定存在一个整数矩 阵占q ( a ) ，使得r a n k b = k 在第三章的第三节，我们证明了当 m r ( a ) = l ，2 。厅一1 ，n 时，上述问题的答案是肯定的。 8 中北大学硕士学位论文 第二章符号模式的惯暑和谱 研究符号模式矩阵的惯量与矩阵的稳定性及特征值反问题有密切的联系。 有关实矩阵惯量的研究，目前已取得很多结果，然而，对于符号模式矩阵的惯 量，现在知道的结果并不是很多。 符号模式矩阵的惯量的研究与谱密切相关。显然，若a 为一s a p ，则a 是 一i a p 。已知任意的3 阶i a p 一定是s a p ，但并不是所有的n 阶l a p 都是s a p 。 且= b 4 = b 7 = 0o - 一 0 o 一一 ，由于下面的矩阵b ，b ：，岛q ( 爿) ： 110 0 1f ? ? ：斗- 1 00 1 1 j i 2 20 0 、 o o一1 一li 。 1loop 2 oo l lj 33001 00 2 1 l 。 34ool ，玩。 。o0 2 一1 ) 220 0 、f ：0 ：0 ：斗= | o o一1 一l jl 12 0 01 ：苫爿鼠= 。00 1 一l r 1 2 0 0 、 苫苫k 1 00 一l 一1 j 120 0 、 00 1 2 i 11oo o ol一1j r i 20 0 、 00 1 1i l1o o l 卜0 1 - 1 j r 43 0 0 00 3 2 3 30 0 1 00 2 1 所以，( o ，o ，4 ) ，( 1 ，0 ，3 ) ，( 1 ，1 ，2 ) ，( 2 ，o 2 ) ，( 2 ，2 ，o ) ，( 2 ，l ，1 ) ，( 3 ，0 ，1 ) ，( 3 ，l ，o ) ( 4 ，0 ，o ) f ( 4 ) 。又因 为只要“，肛2 ，) f ( 4 ) ，必有( 拧2 ，月i ，一) f ) ，那么f o ) 包含了所有的三元数 组( ，z i ，珂2 ，玛) ，其中n l + n 2 + = 4 ，则模式a 是l a p ，但不是s a p 。这一结论 在文 8 中已得到证明。 本章的主要内容如下： l 、对一类惯量任慈符号模式以及谱任意符号模式的相关结论进行了总结； 2 、对强迫唯一惯量的三类特殊符号模式进行了介绍； 3 、介绍非负三对角模式、对称星符号模式等几类对称符号模式的惯童集。 9 + o + o+ 0 + o，_【 = d如咧 中北大学硕士学位论文 2 1 惯量任意的符号模式 z 1 ，1 惯量任意的符号模式 首先考虑如下一类反对称符号模式矩阵 s ，= 一+ 一0 一 ： 一一 _ - + + 0+ ： 。 + + 。 + ： o+ 一 + 疗2 为简单起见，分别用、影表示从符号模式矩阵最中把( 月) 元素用 0 代替，把( 1 ，1 ) 元素用0 代替，把( 1 ，1 ) ， 押) 元素都用0 代替后所得矩阵。显然。 酹、研、睇均为反对称模式。 引理2 1 1 7 1 月2 时，存在矩阵占9 ( ) ，使得f ( b ) = ( o ，n o ) 。 令b = 口( 岛) ，则口q ( ) 。 引理2 1 2 7 1 对珂2 ，存在c q ( 嚣) ，使得，( c ) = ( 行，0 ，0 ) 。 引理2 1 3 【7 对 2 ，存在4 ，幺q ( s 。) ，使德i ( a ) = ，月，o ) j ( 鸽) = ( n ，0 ，0 ) 。 引理2 1 4 设k 2 2 ，4 ，q ( ) 且( 4 ) = ( 0 ，k ，o ) ，则对任意讵整数 i 晰，存在如下( k + 1 ) x ( k + m ) 分块阵 4 = 陵孟：甜 使得 ( 1 ) r a n k ( a ) = r a n k ( 以) = k ； ( 2 ) 魁。 0 ，啊， 0 ，魁：是f 阶具有零对角线且对角线以 上所有元素全正的符号反对称阵。 弓l 理2 1 5 ”1 1 设z 露h ，刚存在a 瓯) ，使得j ( 4 ) = ( o ，女，n - k ) ， 中北大学硕士学位论文 引理2 l6 ”1 1 设2 ，d i q ( 譬) 且j ( d 1 ) = ( 女，0 ，o ) ，则对任意j 下整数 ，s 册，存在如下矩阵。= 瓮3 瓮2 篇 ，使得 ( 1 ) r a n k ( d l i ) = r a n k ( d 1 1 ) = 七。 ( 2 ) p d l 3 o ，d 1 3 0 姒，默见，) 中北大学硕士学位论文 记4 7 表示由4 ，中的( 珂，一) 元换作。后所得矩阵。 显然，若r = ”，则掣为如下矩阵： e = 一o l 1 - - a 2 0 一a 3 0 ： 一0 0 0 1 。i o 0 。1 oo 令a 。= l ，熙其特征多项式为 月 l x 一e | _ q 。 1 - 0 当n 2 2 ，珥，彼定义时，矩阵e 当n l 时也被定义。为方便起见，令 陋一c o i = 1 。 引理2 1 8 若n s 2 ，且= l ，那么础的特征多项式为 r - in” q 矿“+ h ( q ) x ”卜 f l o，t z 出弓j 理2 1 8 易得如下引理： 引理2 1 9 若疗兰2 r ，a o = l ，a i = 0 ，则以，的特征多项式为 艺( q d f - 1 ) “+ ( 窆q 一) ，一，+ h - r ( 主q ) 一q 一。( 艺以) 】，一， ，- o ，t i- li - f l 定理2 1 1 0 若 2 ，则乜，是谱任意的。 由于该定理的证明方法是证明某一模式为谱任意的常用方法，所以下面做 简单介绍： 首先给出下列变量q ，d 2 ，a n ，岛，6 2 ，吒的函数的定义： z = q q 1 6 ，1 s f s ，一l f = ( q a ，) 一啡 七+ l 茎f 胛 厂十1 f 仃 ， 6 一 一 h 唧 q = 叶 1 - q q 一 一 ) ) 吼 q r厶h。r厶 吼 q i l = f ， 中北大学硕士学位论文 其中a o = 1 。 由于对于任意给定的b = ，) r ，存在证实数q ，啦，a n 使 z = 0 ，i = l ，2 ， 。 因此，对于h 2 r ，鸥，可有任意的特征多项式，所以，以，是谱任意的 二、三对角模式l 猜想2 1 1 l 7 一是一个谱任意模式( s a p ) 。 研究表明，该猜想当2 n 7 时是正确的。 定理2 1 1 2 7 i 对于2 i s 7 和任意实数，1 ，- l ，存在a g l ) ， 使得 l z l - a n l = = ”+ i = 肛。十矗一2 2 一_ 2 + + r i z + r o 该定理表明，q 可被适当选择使碍是，以，4 有任意特征多项式t 即瓦当 2 疗蔓7 时，是一s a p ( 从而也是一l a p ) 。而4 ，又恰有2 胛个非零元，因此瓦又 是一m s a p 因而对2 h 7 ，瓦也是一m i a p 。要将该定理的证明推广到更 大的n 值，需找到一个幂零的4 q ( 瓦) ，且满足以0 ，这在雎增大时，都将 变得相当困难。因此，有以下猜想： 猜想2 1 1 3 1 7 1 聆28 时，瓦是一个谱任意模式( s a p ，从而也是i a p ) ， 后来，l e i s n e r 等人利用m a p l e 将上述论断推进了一步，从而说明当 2 r 5 1 6 时。猜想2 1 1 l 是成立的。 定理2 1 1 4 1 9 i8 r 1 6 时，【是谱任意模式( s a p ，从而也是i a p ) 。 定理2 1 1 5 8 1 若玎s 2 r ，则最，是一个谱任意模式( s a p ，从而也是i a p ) a 三、2 疗一猜想 由于谱任意的胛阶不可约模式a 至少存在2 n 1 个非零元，于是 l u z m d e a l b a e t c 提出2 n - 猜想：任意丹阶的谱任意符号模式至少存在2 h 个 非零元， 中北大学硕士学位论文 引理2 1 1 6 呻1 设a 是, 阶符号模式，又设置q ( 4 ) 是幂零的。且至少有n 例2 1 1 7 设月= ( ： ，那么8 = ( ： 烈一，是幂零的。又设 x = ( _ = j 三) ，那么p ，c 石，= x 2 一口。x + 口：，其中，a i - - x i 4 - x z , c z 2 - - - - x i x 24 1 , ，= 渊e c x = 仨三) 且a e t 协，1l ，工2 )l x 2工- j 令( 一，2 ) = ( i , - 1 ) ，9 1 1 d e t j ；2 0 由引理2 1 t 6 得：a 是谱任意的符号模 4 。= ；i ； ，：= ii ! ，4 = ij ； ，爿。= ；i ： ，则任一 在文( 3 8 中，l ，c o u z 豇c 证踢了谱任意的4 阶非零模式至少有8 个菲零 在文【3 7 中，l u z ，m d e a l b a e t c 利用图形分类的方法证明了当1 i = 5 时，2 n 一 已知对任一实矩阵成立，那么( b ) 州一( b ) 当b = b 7 q ( a ) 时最大值是多 引理2 2 1 1 若爿= a 7 ，那么对任意匹配，= 气 4 在一中存在一个 不小于_ j 的主匹配多，指标集包含子 i i , j ：，) u 几：，。) 中北大学硕士学位论文 若= a7 q ，那么由定义知m a ) c f + ( b ) + t ( 曰) ：口= b 7e g ( 爿) = s m n ( a ) ，并且一般地，s m r ( a ) m r ( a ) ，假定m r ( a ) = ，等价地a 的最大匹配为r 由引理2 2 1 可知存在一个主匹配，其大小为k ，不失一般性，若主匹配恰 为r = 口，z 口b q _ l j q i ，这晕的元素全为+ 丽若为k 奇数，赆 o+do+ +o+o o 0 + 0 ! io o oi + +oo+o 为符号菲奇晃。医此存在一实对称矩阵昱q ( a ) ，镬置( b ) 2 r ，若老为偶数， 利用对称强调上述奇数i 时的元素口，。和口。，可得对称矩阵b ，尺( b ) k ，因 此总有s m r ( a ) m r ( a ) 。所以s m r ( a ) = m r ( a ) 。即 m a x + ( 召) 十f ，( b ) ：b = b 7 q ( 彳) ) = s m r ( a ) = m r ( a ) 。 与上述结论不同，s m r ( a ) = m r ( a ) 常不成立。 例2 2 2 取a = +o o+ + + + + + 十+ 一o o一 ，贝o s m r ( a ) = s m r ( a ) = 4 。有后面的结论我 们将看到强迫唯一惯量f ( 4 ) = ( 2 ，2 ，o ) ，但彳不是符号非奇异，因为在h 的一半 展开式中， 口j i a 2 2 6 3 3 a 4 4 = + ，一口1 4 a 2 3 口，l 口4 2 = 一 其符号相反，又因为a 的左上角三阶主子式符号非奇异，则有m r ( a ) = 3 。 定理2 2 3 嘲令a 岳幺为一具有菲零对角元韵对称移号模式，则a 为 r u i ，当且仅当a 置换相似于下模式： ( 嘉一 叫， 妒_ 一。j u 2 1 中北大学硕士学位论文 其中。为的4 正对角元数。l = ( + 。+ 。，为一些t x 加一幻符号模式， 已知；一对称模式a 强迫唯一惯量当且仅当s m r ( a ) = s m g ( a ) 。并且，若 特别地若a 是一非奇异对称模式，则a 为r u 但应注意：一q 强迫 彳= 4 强迫三个不同的特征值，通过强调1 - 圈( 对角元) ，可得( 3 , 0 ，0 ) e f ( 彳) ，同 过对称强调圈i 2 a 2 l 砰j ，可得( 2 ，l ，o ) l ( 4 ) ，显然a 不是r u 定理2 2 4 1 “1a q 为一对称符号模式，a 中( 复合) 圈的最大长为m i ， 则爿强迫唯一惯量当且仅当对于所有日= q ( 一) e 。( b ) 有相同的符号，特 别地，若对任意b q ( “) ，邑( 占) 的所有项都有相同的符号，则彳为r u i 。 注意：对于b e g ( 爿) ，玩( 口) 中的所有项有相同的符号并不是a 强迫唯一 惯量的必要条件。例如：a = +o o+ + + + + + + + 一0 0一 为一r u i ，但对于任意b q ( a ) ， e ( 雪) 有相反的符号项仇1 6 2 ：屯，虬 o ，- b w 。b 4 2 b ：，也l ( 0 a 2 2 1 对称树符号模式 若a 是对称的且d ( a ) 是一棵树( 可能有一个环) 。则说模式a 是一对称树符 号模式。下面考虑什么样的对称树符号模式强迫唯一惯量? 出予一个n 阶对称二分块模式a = ( 二等 强迫唯一镁量t ，拈一2 t ，当 中北大学硕士学位论文 且仅当a 强迫秩k 。 命题2 2 5 m a q 为一对称树模式且无环，则a 强迫唯一惯量，且 f ( 爿) = ( 女，k ，行一2 k ) ，k 为正整数。 定理2 2 6 邺1 在各种相似下，一对称树( 星) 模式 厂+ i + 。 a = i +o 卜0 + + o o o o + ( 2 2 1 ) 强迫唯一惯量，当且仅当彳的对角线有下列形式之一： ( ， ，0 ) ， ( o ，+ ，+ ) ，( + ，一，一) 2 2 2 双星符号模式f ”i 出定理2 2 4 知，对称符号模式a 强追唯一惯量当且仅当 s m r ( a ) = s m r ( a ) ，但确定对称模式a 的s m r ( a ) 是困难的，因此这罩给出了新 的刻划。 考虑模式 a = ( 2 2 2 ) 其中m ，厅 2 , a ， + ，一，0 ) ，f = 1 , 2 ，刀，这时d ( 彳) 为双星的，其中顶点1 和棚是 中心顶点，其它顶点i ( i 1 ，肌) 是悬挂点，顶点l 和m 之间的边为中心边。 若a 见为( 2 2 2 ) 所示的双星模式，记a 的对角为 ( 吼，口2 ，口。一i ，口m ，口。+ i ，) 。 7 + + 肿 口 + + ：+ + + 唧 q + ：+ + 中北大学硕士学位论文 对于一个r 阶模式和一个 l ，2 ，一 的子集，爿陋】表示4 的基于口中的指标 的主子矩阵，。z 表示集合石中元素的个数。 引理2 2 7 令a q 为双星模式。且彳中圈的最大长度为r 则 o ) s m r ( a = r ( 2 ) a 强迫唯一惯量当且仅当a 中所有的，圈有相同的符号。 引理2 2 8 令ae q 为形如( 2 2 2 ) 的双星模式，若a 强迫唯一惯置，那么 从爿中删去中心边所得星符号模式是强