（控制理论与控制工程专业论文）混沌反控制技术及多翼超混沌系统研究.pdf

摘要 摘要 近年来，混沌研究己经从传统的认识与分析混沌发展到在工程技术领域中 强化与利用混沌，例如混沌保密通信、混沌搅拌等，也即当混沌有用时我们需 要人为的强化混沌，称为混沌反控制。在目前，超混沌系统的设计和多翼( 多 涡卷) 吸引子的构造是强化混沌的两个研究热点。 本文在l o r e n z 系统族和混沌反控制思想的基础上，对如何通过反控制方法 由混沌到超混沌系统、双翼到多翼吸引子的设计技术方面进行了研究： 首先利用状态反馈方法设计了一个超混沌系统，利用l o r e n z 系统的原有变 量构造了一个线性控制器和一个二次项控制器，分别反馈给l o r e n z 系统的第一 和第二个方程中，构造出一个五维光滑自治系统；通过数字仿真和电路实现， 验证了该系统能产生具有三个正l y a p u n o v 指数的超混沌吸引子；由于该系统只 采用了l o r e n z 系统原有的乘积项，没有增加额外的变量二次项，所以电路实现 的难度和l o r e n z 系统的电路实现难度相当。 目前较少有高阶超混沌系统( 即具有很多个正l y a p u n o v 指数的超混沌系统) 的设计方案，本文探索了高阶超混沌系统的设计可能性。首先将时滞状态反馈 方法加入l o r e n z 系统，构造出一个时滞状态反馈混沌系统；然后从工程角度分 析了理想时滞状态反馈在电路实现上的困难性，提出一种新的可在工程上方便 实现的混沌反控制方法近似时滞状态反馈方法，该方法采用多移相器串联 的方式逼近理想时滞函数；最后通过数字仿真验证了近似时滞状态反馈方法可 以用于高阶超混沌的产生。文中还以一个实际电路验证了高阶超混沌系统的电 路可实现性。 由于经典的混沌系统和目前大部分存在的超混沌系统其吸引子均为双翼或 双涡卷结构，本文提出一种坐标变换方法，将一类具有相似方程的连续光滑自 治超混沌系统的吸引子结构由双翼转变为四翼结构，同时保留了原系统的超混 沌特性。该方法的主要缺点是只能针对特定结构方程的系统，不具有通用性， 而且无法构造多于四翼拓扑结构的混沌吸引子。 为解决更多翼吸引子的构造问题，在坐标变换方法的基础上，提出一种更 通用的多翼吸引子构造方法坐标平移、镜像映射、滞回切换三步法。任意 的超混沌系统在被施加该变换方法后，其吸引子的翼数量均可以被加倍；施加 摘要 n 一1 次相似操作到一个系统中可以构造出具有2 “翼的混沌吸引子。该方法同样 可以保留原系统的超混沌特性。 利用一个实际的工程实例井下定位系统的通信防碰撞问题，说明了混 沌反控制结果在工程中的应用。设计了一个参数扰动超混沌系统和一个简易的 电路噪声随机数据采集电路，将电路噪声随机数作为参数扰动量施加于一个四 翼三j 下l y a p u n o v 指数超混沌系统，构造出一个高质量的真随机数据发生器，并 将其用于通信防碰撞问题的解决，取得了较好的现场效果。 最后做了全文的总结说明，并对未来的研究作出展望。 关键词：混沌反控制，超混沌系统，多翼吸引子 a b s t r a c t a b s t r a c t r e c e n t l y , r e s e a r c ho nc h a o sh a se v o l v e df r o mt h et r a d i t i o n a l t r e n do f u n d e r s t a n d i n g a n d a n a l y z i n g c h a o s t oan e wd i r e c t i o no fe n h a n c i n g a n du t i l i z i n gt o w a r de n g i n e e r i n ga n dt e c h n o l o g i c a la p p l i c a t i o n ，s u c ha sc h a o sm i x i n g ， c h a o s - b a s e de n e r y p t i o na n ds e c u r ec o m m u n i c a t i o n ，i e ，g e n e r a t i n go rm o d i f y i n g e x i s t i n gc h a o sw h e ni ti su s e f u l n a m ea sc h a o sa n t i - c o n t r 0 1o rc h a o t i f i c a t i o n t h e r e a let w or e s e a r c hf o c u s e si n t h i sd i r e c t i o n ，d e s i g n i n go fh y p e r c h a o t i cs y s t e ma n d c o n s t r u c t i n gm u l t i w i n g ( m u l t i - s c r o l l ) a t t r a c t o r s b a s e do nt h ec h a o sa n t i c o n t r o lt e c h n o l o g y0 1 1l o r e n - l i k ef a m i l y , s o m e i n v e s t i g a t i o n s o nd e s i g n i n gm e t h o df o r c o n t r o l l i n g c h a o st o h y p e r c h a o s o r c o n s t r u c t i n gm u l t i w i n ga t t r a c t o r sf r o md o u b l e - w i n ga t t r a c t o r sa r ep r e s e n t e di nt h i s p a p e r f i r s t l y , v i aa d d i n gal i n e a r s t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ra n daq u a d r a t i ct e r m f e e d b a c kc o n t r o l l e rt ot h ef i r s ta n ds e c o n de q u a t i o n so fl o r e n zs y s t e mr e s p e c t i v e l y , a h y p e r c h a o t i cs y s t e mi sc o n s t r u c t e d ，w h i c hi saf i v ed i m e n s i o n a ls m o o t ha u t o n o m o u s s y s t e m w ef i n dt h a th y p e r c h a o t i ca t t r a c t o r sw i t ht h r e ep o s i t i v el y a p u n o ve x p o n e n t s c a nb eg e n e r a t e db yt h i ss y s t e mv i an u m e r i c a ls i m u l a t i o na n dc i r c u i ti m p l e m e n t a t i o n b e c a u s eo n l yt w om u l t i p l i e r so w n e di no r i g i n a ll o r e n zs y s t e ma r eu s e di nt h i ss y s t e m ， n om o r eq u a d r a t i ct e r m sa r en e e d e d ；t h ec i r c u i ti m p l e m e n t a t i o no ft h i ss y s t e mi sa s e a s ya sl o r e n zs y s t e m t h e r ea r ef e wr e p o r t sd i s c u s sh y p e r c h a o so fh ig h e ro r d e r ( w i t hm a n yp o s i t i v e l y a p u n o ve x p o n e n t s ) ；t h ep o s s i b i l i t yo fd e s i g n i n gh i g h e ro r d e rh y p e r c h a o t i cs y s t e m i se x p l o r e di n t h i sp a p e r at i m e d e l a ys t a t ef e e d b a c kc h a o t i cs y s t e mi sg o t t e nv i a a d d i n gt i m ed e l a y e ds t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e rt o l o r e n zs y s t e m ；t h ed i f f i c u l t yo f c i r c u i ti m p l e m e n t a t i o nf o rt h i ss y s t e mi sa n a l y z e di nv i e wo fe n g i n e e r i n g ，a n dan e w a n t i c o n t r o lm e t h o d ，a p p r o x i m a t et i m e d e l a ys t a t ef e e d b a c k ，i sp u tf o r w a r d e d t h i s m e t h o du s e ss e v e r a ls e r i e s w o u n dp h a s e - s h i f tu n i t st oa p p r o a c ht oi d e a lt i m e d e l a y u n i t v i an u m e r i c a ls i m u l a t i o ni ti sp r o v e dt h a ta p p r o x i m a t et i m e d e l a ys t a t ef e e d b a c k c a nb e u s e df o r c o n s t r u c t i n g h ig h e ro r d e r h y p e r c h a o t i cs y s t e m a c i r c u i t ii i 塑1 1 m p l e r n e n t a t o ni sa l s op r e s e n t e dt ov e r i 母t h eh i g h e l o r d e rh y p e r c h a o s b e c a u s et h ea t t r a c t o r sg e n e r a t e db yt h ec l a s s i c a lc h a o t i cs y s t e ma n dm o s to f e x l s t m gh y p e r c h a o t i cs y s t e ma red o u b l e w i n go rd o u b l e s c r o l l ，an e wc o o r d i n a t i o n t r a n s f o r m a t i o nm e t h o di sp r o p o s e df o rc h a n g i n gd o u b l e - w i n ga t t r a c t o r st 0 南- w i n g a t t r a c t o r s ，a n dt h eh y p e r c h a o t i c p r o p e r t y i s k e p t i nn e ws y s t e n l s t h em a i n s h o r t c o m i n go ft h i sm e t h o di ss h o r to fg e n e r a lp u r p o s e ，w h i c hc a no n l vb eu s e do n c e r t a i n s y s t e m s p a r t i c u l a r l y ,a t t r a c t o r sw i t hm o r et h a nf o u r w i n g sc a nn o tb e c o n s t r u c t e db yc o o r d i n a t i o nt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d 。 i no r d e rt oc o n s t r u c ta t t r a c t o r sw i t hm o r ew i n g s ，am o r e g e n e r a lc o n s t r u c t i o n m e t h o d ，c o n s i s t so ft h r e es t e p s ( c o o r d i n a t em o v i n g , m i r r o rm a p p i n ga n d h y s t e r e s i s s w i t c h i n g ) ，i sp u tf o r w a r d e db a s e do nt h ec o o r d i n a t i o n 仃a n s f 0 1 1 n n a t i o nm e t h o d a p p l i e dt h i sm e t h o dt oa n yh y p e r c h a o t i cs y s t e m ，t h en u m b e ro fw i n g si na t t r a c t o r s w i l lb e d o u b l e d a p p l i e dt h i sm e t h o d 甩一1t i m e st os a m es y s t e m ，a 2 一w i n g n y p e r c h a o t i ca t t r a c t o rc a nb ec o n s t r u c t e d t h eh y p e r c h a o t i cp r o p e r t yc a l lb ek e p ti n n e w s y s t e r nt o o 。 t h er e s u l to fc h a o sa n t i - c o n t r o li su s e d i nap r a c t i c a le n g i n e e r i n ge x a m p l e ， c o m m u n i c a t i o na n t i c o l l i s i o ni n p o s i t i o n i n gs y s t e mo fp e r s o n n e lu n d e rm i n e a n y p e r c h a o t i es y s t e mw i t hp a r a m e t e rp e r t u r b a t i o na n da s i m p l ec i r c u i t r yn o i s ec i r c u i t a r ed e s i g n e di nt h i s p a p e r ,a n dah i g hq u a l i t yt r u er a n d o md a t a g e n e r a t o ri s c o n s t r u c t e db ya p p l i e dc i r c u i t r yn o i s ed a t aa sp a r a m e t e rp e r t u r b a t i o nt oa t h r e eo r d e r h y p e r c h a o t i cs y s t e mw i t hf o u r - w i n ga t t r a c t o r s i ti sp r o v e dt h a tg o o dr e s u l tc a nb e g o t t e ni nf i e l de x p e r i m e n t i nt h ef i n a l i t y , s u m m a r i e sa leg i v e na n dt h ep r o b l e m sr e q u i r i n gf u r t h e rs t u d i e s a r ed i s c u s s e d k e yw o r d s ：c h a o sa n t i 。c o n t r o l ，h y p e r c h a o t i cs y s t e m ，m u l t i w i n ga t t r a c t o r i v 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 删：究! 作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 彩p 国刃 切多7 年弓月 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位敝储虢髫旧 渺户月7 日 第1 章引言 1 1 概述 第1 章引言 混沌现象是一种确定性的非线性运动。混沌运动轨迹非常复杂，类似随机 运动，但由于其本质是受确定的非线性方程控制，所以其输出只能是一种伪随 机信号。混沌运动具有许多特殊的性质，如对初始条件和系统参数的微小变化 极端敏感、运动的相空间轨道有界但却有着一个或多个正的l y a p u n o v 指数、具 有有限的k o l m o g o r o v 熵、连续的功率谱、常伴随分俞和分形的出现等。 自1 9 6 3 年e n l o r e n z 发现第一个混沌吸引子以来，混沌理论及其在 工程中的应用研究取得了巨大进展。近2 0 年来，随着混沌研究的不断深入，人 们对混沌运动规律及其在自然科学和社会科学中的表现有了更广泛和更深刻的 认识，对诸多混沌现象的研究已从当初作为一种科学上的探索逐步转入到极具 潜力的实际应用方面来，比如混沌的类随机、宽带功率谱、快速衰减的关联函 数特性，保证了其在数据保密通信应用方面，具有抗干扰性强、截获率低、信 号隐蔽和保密性能优等方面的潜在优势。近年来的研究表明，混沌可以在电子 工程、控制工程、信息工程、流体搅拌、生物工程、计算机工程等广泛领域有 较大的应用前景他一7 1 。 由于在利用混沌的领域有目的地产生混沌和强化混沌己成为一个关键性课 题，本学位论文将以混沌的工程应用为背景，研究了混沌的反控制技术，包括 超混沌系统的设计以及多翼( 多涡卷) 吸引子系统的构造技术研究。 1 2 混沌系统基础 1 2 1 经典混沌系统 1 l o r e n z 系统 美国著名气象学家e n l o r e n z 在1 9 6 3 年提出的用来刻画热对流不稳定性 的模型，即l o r e n z 混沌模型，可以简单用下述方程表示： 第1 章引言 子： 匡x = 荔- o x + ：o y ( 1 1 ， 当参数取仃：1 0 ，：2 8 ，= 8 3 时，系统可以产生如图1 1 所示的双翼吸引 图1 1l o r e n z 吸引子相图 计算该吸引子的l y a p u n o v 指数谱为( 1 5 ，o ，一2 2 5 ) 。 本性质如下： ( 1 ) 对称性和不变性 系统( 1 1 ) 在变换( x ，y ，z ) 专( - x ，一y ，z ) 下具有不变性， 具有对称性，且这种对称性对所有的系统参数都成立。 ( 2 ) 耗散性 对于系统( 1 1 ) 有： l o r e n z 系统的几条基 即系统( 1 1 ) 关于z 轴 v y ：譬+ 譬+ 譬= 一( 仃+ l + ) o a x执8 z 所以系统( 1 1 ) 始终是耗敞的，并以指数形式 盟：p 巾仍” d t 2 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 第1 章引言 速度收敛。 ( 3 ) 平衡点 当r l 时，系 统具有如下三个平衡点： s o = ( 0 , 0 ，0 ) s = ( 、i f l ( r - 1 ) ，、i p ( r - 1 ) ，r 一1 ) ( 1 4 ) s 2 = ( - 4 p ( r 一1 ) ，一( ，一1 ) ，一1 ) 且当1 1 ，则迭代会使得两点分开；若隆l a t ) on = i n - 剖，0 0 n 型d xl m 9 ， l 式( 1 9 ) 可以简化为： 兄= ! 受1 剥n - i n 型d xl i x = ， ( 1 1 0 ) 一。篙l。 式( 1 1 0 ) 中的旯与仞始值的选取没有关系，称为原动力系统的l y a p u n o v 指 数，它表示系统在多次迭代中平均每次迭代所引起的指数分离中的指数。 显然，若五 0 ，则意味着相邻点最终要分离，这对应轨道的局部 不稳定，如果轨道还有整体的稳定因素( 如整体有界、耗散等) ，则在此作用下 反复折叠并形成混沌吸引子。故五 0 可作为系统混沌行为的一个判据。 对于一般的，z 维动力系统，定义l y a p u n o v 指数如下： 设f 是吼”专孵”上的，l 维映射，一个n 维离散动力系统表示为： 毛+ l = f ( 吒) ( 1 1 1 ) 将系统的初始条件取为一个无穷小的n 维的球，由于演变过程中的自然变形，球 将变成椭球。将椭球的所有主轴按其长度顺序排列，那么第f 个l y a p u n o v 指数 根据第f 个主轴的长度只( 玎) 的增加速率定义为： 五= 珐l n 器，( j = 1 2 ( 1 1 2 ) 月_ o 刀f i u l 这样l y a p u n o v 指数是与相空间的轨线收缩或扩张的性质相关联的，在l y a p u n o v 指数小于零的方向上轨道收缩，运动稳定，对于初始条件不敏感；而在l y a p u n o v 指数为j 下的方向上，轨道迅速分离，对初值敏感。 目前，计算l y a p u n o v 指数方法很多： ( 1 ) w o l f 方法n9 j ，这是种基于相轨线、相平面、相体积等演化来估计 l y a p u n o v 指数的方法；w o l f 方法适用于时间序列无嗓声，切空间中小向量的演 变高度非线性的场合； ( 2 ) j a c o b i a n 方法瞳0 ，直接利用系统的j a c o b i a n 矩阵计算l y a p u n o v 指数 谱，这种方法适用于时间序列嗓声大，切空间中小向量的演变接近线性的情况； ( 3 ) p 一范数方法脚，这种方法的目的是在w o l f 方法和j a c o b i a n 方法之问架 桥。如果选择适当的参数p ，可以避免w o l f 方法和j a c o b i a n 方法对轨道分布不 均匀情况和对生物系统计算效果差的弱点； ( 4 ) 小数据量方法瞳，这是- l 中t k 算最大l y a p u n o v 指数的方法。实际应用 中，有时并不需要计算出时间序列的所有l a p u n o v 指数谱，而只要计算出最大 的l y a p u n o v 指数就足够了。如判别一个时问序列是否为混沌系统，只要最大的 l y a p u n o v 指数是否大于0 就能作出结论； ( 5 ) 奇异值分解方法心引等。 2 p o i n c a r e 截面法 在相空i n j 中适当选取一截面( 要有利于观察系统的运动特征和变化，截面 8 第l 章引言 不要与轨线相切，更不能包含轨线) ，将此截面称为p o i n c a r e 截面。相空间的 连续轨迹在演化过程中，穿越p o i n c a r e 截面，将轨迹与截面的交点记录下来 ( r ，日，只，) 。这样，就在p o i n c a r e 截面上出现了低维的离散点映射： e + 。= 咒 ( 1 1 3 ) 上述r 称为p o i n c a r e 映射。 观察p o i n c a r e 截面上的离散点情况可以判断系统状态： ( 1 ) 当p o i n c a r e 截面上只有一个不动点和有限个数的离散点时，可判定运 动是周期的； ( 2 ) 当p o i n c a r e 截面上是一封闭曲线时，可判定运动是准周期的： ( 3 ) 当p o i n c a r e 截面上是成片的密集点，且有层次结构时，可判定运动处 于混沌状态。 图1 6 ( a ) 和( b ) 分别是l o r e n z 系统和c h e n 系统在x y 平面上的p o i n c a r e 映射，显然c h e n 系统的p o i n c a r e 截面上的点分散的多。 图1 6 石吵平面p o i n c a r e 截面图 ( b ) c h e n 3 功率谱法 谱分析是研究振动和混沌的一个重要手段。根据f u o r i e r 分析，任何周期 运动x ( t ) 都可以展为f u o r i e r 级数，其系数与相应的频率的关系为离散的分离 谱，而非周期运动的频率是连续谱。对于随机信号的样本函数，x ( t ) 的功率谱 密度函数定义为： 墨( c o ) = i r ( f ) p 7 d r ( 1 1 4 ) 其中尺。( z ) 为x ( r ) 的自相关函数，即 9 第1 章引言 驯= e 工( ) ) 2 舰亭腓) 狮r 渺 ( 1 1 5 ) 2 ( t ) = x ( t ) 一! i m 【x ( t ) d t 棚 其中：为f 采样间隔。 ( 1 ) 对于周期运动，功率谱只在基频及其倍频处出现尖峰； ( 2 ) 准周期对应的功率谱在几个不可约的基频以及由他们叠加的频率处出 现尖峰； ( 3 ) 混沌运动的功率谱为连续谱，即出现类似噪声的背景和宽峰。 由于砖( f ) 与s a ( o ) 互为f u o r i e r 正、反变换，它表示序列相关程度。因此 在规则运动情况下，表示运动的函数的序列的自相关函数尺。( f ) 具有常数数值和 周期振荡，在混沌运动情况下，r ，( _ r ) 将指数地迅速减到零。 4 分维数分析法 分形理论是描述混沌信号的另一种手段。分形是没有特征长度但具有一定 意义的自相似图形的总称。混沌的奇怪吸引子具有不同于通常几何形状的无限 层次的自相似结构，这种几何结构可用分维来描述，因此可以通过计算奇怪吸 引子的空间维数来研究它的几何性质。分维定义很多，常有以下几种： ( 1 ) h a u s d o f f 维数 它可以用来描述空间、集合以及吸引子的几何性质。n 维空间中的子集的 h u a d s o r f f 维数定义为： d ： (1h l i m l n n ( a )1 6 ) n + oi n ( 1 a ) 其中，n ( a ) 是覆盖集合j 所需边长为a 的n 维超立方体的最小数目。 t t a u s d o f f 维数的计算一般相当困难，因此其理论意义远大于实际意义。 ( 2 ) 盒维数 盒维数是应用最广泛的维数概念之一，因为这种维数的数学计算及经验估 计相对容易些。设s 是n 维空i 、日j 中的任意非空有界子集，对每一厂寸0 ，n ( s ，r ) 表 示用来覆盖s 的半径为，的最小的闭球数，若 l i m i n n ( s , r ) r o l n ( 1 ，) 存在，则s 的盒维数为： 1 0 第1 章引言 耻l 川i m 篙箬 ( 1 1 7 ) ， ul n ll ，i ( 3 ) l y a p u n o v 维数 线性系统中各种运动模式可以独立地激发，它们的数目决定了相空间维数。 非线性系统中各种运动“模式”互相耦合，特别是存在耗散时，系统的长时间 行为发生在维数低于相空间维数的吸引子上。从几何直观考虑，具有正l y a p u n o v 指数和负l y a p u n o v 指数的方向都对张成吸引子起作用，而负l y a p u n o v 指数对 应的收缩方向，在抵消膨胀方向的作用后，提供吸引子维数的非整数部分。设 l y a p u n o v 指数按从大到小的顺序排列为： 丑如乃厶 则混沌吸引子的l y a p u n o v 维数定义为： d l = k + 南 o 1 8 其中& = 4 o ，k 是保证& 0 的最大后值。 ( 4 ) 关联维数 非线性系统的相空间维数可能很高，甚至无穷，但吸引子的维数一般都低 于相空间的维数。1 9 8 3 年，g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c i a 提出了从时间序列计算 吸引子的关联维的g p 算法。 对于，l 维重构混沌动力系统，奇怪吸引子由点y ，= ( x ，x ，例工j + 2 ，x ，+ 川) ，) 所构成。定义两个矢量的最大分量差作为距离l y i y l = m a x y i k - y 业l ，并且规定， 凡是距离小于给定f 数厂的矢量，称为有关联的矢量。 设重构相空间中有个点，计算其中有关联的矢量对数，它在一切可能的j v 2 种配对中所占的比例称为关联积分 啪) 5 击磊一l y j - y j ( 1 1 9 ) 其中秒为h e a v i s i d e 单位函数 第1 章引言 口c x ，= o 二；善 关联积分e ( ，) 在，寸0 时与，存在以下关系 1 i 职g ( 厂) o c ，d ( 1 2 0 ) 其中d 称为关联维数，恰当地选取，使得d 能够描述混沌吸引子的自相似结构。 则关联维为： d e e ：_ i n c ( r ) ( 1 2 1 ) 其他还有自相似维、信息维、点形维等，在此不一一介绍。 5 k o l m o g o r o v 熵 k o l m o g o r o v 熵是用来度量系统运动的混乱或无序的程度。考虑一个以维动 力系统，将它的相空间分割成一个个边长为s 的刀维立方体盒子，对于状态空间 的一个吸引子和一条落在吸引域中的轨道工( f ) ，取时间间隔为一个很小量_ ，令 p ( i o ，“，) 表示起始时刻系统轨道在第i d 个格子中，t = f 时在第f 1 个格子中， t = d r 时在第个格子中的联合概率，则k o l m o g o r o v 熵定义为 k = 一觋觋5 受去荟以乇 ，易) l n p ( 乇，“，) ( 1 2 2 ) 由k o l m o g o r o v 熵的取值可以判断系统运动的无规则运动的程度。 ( 1 ) 对于确定性系统规则运动( 包括不动点、极限环、环面) ，其k = 0 ； ( 2 ) 对于随机运动，其k 哼0 0 ； ( 3 ) 当k 为一正数时则为混沌运动，且k 值越大，混沌程度越高。 1 3 课题研究背景、意义及目标 由于混沌系统对初始条件的极端敏感性，在相当长一段时问早，混沌曾经 被认为是既不可预测也无法控制，因而是一种有害的运动形式。2 0 世纪9 0 年代 以来，人们在混沌控制与反控制领域的大量研究表明，混沌不仅是长期可控制 的和短期可预测的，而且可以在很多领域得到有益的应用。一些典型例子包括： 1 在多媒体信息安全与保密方面的应用。在数据保密通信中，通常需要将 原始数据与某种伪随机数据相调制，因而选择一种高质量的伪随机信号发生电 1 2 第1 章引言 路或算法是其核心内容，混沌信号的宽带功率谱特点正好满足这方面的要求； 2 在柔性系统设计中的应用。混沌吸引子中蕴含稠密的不稳定周期轨道， 对于须在多种工作状态间灵活切换的柔性系统，可以将混沌吸引子中的极限环 和期望状态做对应，利用混沌控制原理，通过微小控制扰动使得系统在不同状 态之间做切换； 3 在控制系统中的应用。反馈混沌化可用于具有输入约束的非线性系统的 全局稳定化，即先用反馈混沌化使受控系统进入混沌状态，当系统状态因混沌 的遍历特性而接近期望状态时，再用局部稳定化方法使系统稳定在该期望状态 上： 4 流体及超细粉末混合。从动力学的观点来看，流体混合需要物质线和面 的充分拉伸和折叠，因而在两种液体需要充分混合而所需要的能量要尽可能小 的情况下，混沌是很有用的。这种流体混合称为“混沌对流”。 既然混沌具有这么多重要的潜在应用，我们有必要在某些特定的场合产生 或强化混沌。混沌反控制的目的就是： 1 通过外部扰动或内部参数调整等方法使原本非混沌的系统变为混沌； 2 将原来的弱混沌加以强化。 香港城市大学的陈关荣教授是最早开始从严格的数学意义下来研究混沌反 控制的，并称之为混沌化( c h a o t i f i c a t i o n ) 或混沌反控制( c h a o s a n t i - c o n t r 0 1 ) 。目前，数学意义上严格的混沌反控制方法主要用于离散或连续 系统混沌的产生，即通过设计合适的控制器“。施加于系统，使得整个受控系统产 生有界的混沌行为。然而，在强化混沌方面还没有一种系统的理论设计方法被 提出，下述两个方向( 或强化的目标) 是目前关于强化混沌方面的研究热点： 1 具有多个正l y a p u n o v 指数超混沌系统的设计； 2 构造多涡卷或多翼拓扑结构吸引子。 描述混沌信号复杂性的一个重要特征量是l y a p u n o v 指数，它表达了混沌运 动轨道的分离速度。经典的混沌系统如l o r e n z 系统、c h e n 系统、c h u a 系统一 般只具有一个j 下l y a p u n o v 指数，这种系统相轨迹比较简单。与经典混沌系统相 比，超混沌系统由于具有两个或两个以上的正l y a p u n o v 指数，也即具有两个或 两个以上的轨迹分离方向，其轨迹在相空间中表现出的动力学行为更为复杂， 所以超混沌系统的设计是强化混沌的一个主要方向。 经典的混沌系统其吸引子一般为双翼、单涡卷或双涡卷结构，拓扑结构比 1 3 第1 章引言 较简单。为了增加吸引子的结构复杂性，通过一些特定方法设计出能产生具有 多翼或多涡卷结构吸引子的混沌系统也是强化混沌的一个主要方向。 本文将以这两个强化混沌方向为主要目标，探索更好的反控制方案和设计 出更高性能的多翼( 多涡卷) 超混沌系统。 1 4 研究进展 1 4 1 超混沌系统研究进展 在连续的自治系统中，能够出现混沌的非线性常微分方程的最低维数为三 维，而包含超混沌吸引子的相空间维数至少是四维，其需要的一阶耦合自治常 微分方程的数量至少为四个，且引起系统不稳定的项的数量至少为两个，其中 至少一个含有非线性函数1 。超混沌系统无论在代数结构还是动力学行为上都 比混沌系统复杂的多。 1 9 7 9 年r o s s l e r 发现了第一个利用计算机仿真获得的超混沌系统窿引， m a t s u m o t o 等则在一个四阶的电子电路中首次实现了超混沌实验瞳4 | 。之后，人们 利用不同的方法实现了一些超混沌系统： 1 状态反馈方法瞳 卅3 ，取原混沌系统的状态变量，构造出一个或一个以上 线性或非线性控制器反馈入原系统中，此时系统的维数大于等于四，具备了产 生超混沌的基本条件；