（光学工程专业论文）非经典光场—两原子系统的熵演化及熵压缩特性研究.pdf

摘要 摘要 量子信息学是由量子物理学与信息学相结合而产生的一门新兴的交叉学科。 量子信息学主要包括：量子态制备、量子隐形传态、量子通信、量子光通信、量 子编码与量子密集编码、量子加密与量子解密、以及量子算法与量子计算等。 本文利用全量子理论，对非经典光场一两原子相互作用系统的量子场熵演化 特性和压缩特性、以及原子信息熵的演化特性和压缩特性进行了系统研究，由此 获得了一些新的结果和结论。主要结果如下： ( 1 ) 研究了二项式态光场与两个偶极一偶极力关联的等同二能级原子相互作用 系统中光场量子场熵的时间演化特性，并揭示出其一般特征。 ( 2 ) 研究了双模压缩真空态光场与两个偶极一偶极力关联的等同二能级原子相 互作用过程中光场量子场熵的熵压缩特性，并揭示出其非经典物理本质。 ( 3 ) 研究了与单模相干态光场相互作用的两等同二能级原子的原子信息熵的时 间演化特性，并对其演化特征进行了详细分析。 ( 4 ) 研究了与单模相干态光场相互作用的两个偶极偶极力关联的等同二能级 原子的原子信息熵压缩特性，并揭示出其非经典物理本质。 以上研究结果，在量子光通信领域具有重要的应用价值，并对相关的实验研 究具有一定的理论指导作用。 关键词：量子光学量子信息学场一原子相互作用系统量子场熵原子信息 熵 a b s t r a c t 3 _ _ l _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ i _ _ - - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - - - - - - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - 一 一 a bs t r a c t t h ec o m b i n a t i o no fq u a n t u m p h y s i c sa n di n f o r m a t i o ns c i e n c ey i e l d s an e w i n t e r d i s c i p l i n e ，n a m e l y , q u a n t u mi n f o r m a t i c s q u a n t u mi r l f o r m a t i c sm a i n l yi n c l u d e s p r e p a r a t i o no fq u a n t u ms t a t e ，q u a n t u mt e l e p o r t a t i o n , q u a n t u mc o m m u n i c a t i o n , l i g h t q u a n t ac o m m u n i c a t i o n ，q u a n t u mc o d i n ga n dq u a n t u md e n s ec o d i n g ，q u a n t u m e n c r y p t i o na n dd e c r y p t i o n ，q u a n t u ma l g o r i t h m sa n dq u a n t u mc o m p u t a t i o na n ds of o r t h i nt h i st h e s i s ，t h ec o m p l e t eq u a n t u mt h e o r yi su t i l i z e dt os t u d yt h e p r o p e r t i e so ft h e e v o l u t i o na n ds q u e e z i n go fq u a n t u mf i e l d e n t r o p y ，a n dt h ep r o p e r t i e so ft h ee v o l u t i o n a n ds q u e e z i n go fa t o m i ci n f o r m a t i o n - e n t r o p y , a n dt h e r e f o r eas e r i e so f n e wr e s u l t sa n d c o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e d t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： 1 t h et i m ee v o l u t i o np r o p e r t i e so ft h e q u a n t u mf i e l d e n t r o p yo fl i g h t f i e l di nt h e s y s t e mo fb i n o m i a l s t a t e l i g h t f i e l di n t e r a c t i n gw i t ht w oi d e n t i c a l d i p o l e d i p o l ec o u p l e d t w o l e v e la t o m sa r e s t u d i e d ，a n di t s g e n e r a l c h a r a c t e r i s t i ci sa l s or e v e a l e d 2 t h es q u e e z i n gp r o p e r t i e so ft h eq u a n t u mf i e l d - e n t r o p yo fl i g h t f i e l di nt h e s y s t e mo ft w o m o d es q u e e z e dv a c u u ms t a t el i g h t f i e l d i n t e r a c t i n gw i t ht h e t w oi d e n t i c a ld i p o l e d i p o l e c o u p l e dt w o 1 e v e la t o m sa r es t u d i e d ，a n di t s n o n c l a s s i c a lp h y s i c a le s s e n c ei st h e r e f o r ee x p o s u r e d 3 t h et i m ee v o l u t i o np r o p e r t i e so ft h ea t o m i ci n f o r m a t i o ne n t r o p yo ft w o i d e n t i c a lt w o l e v e la t o m si n t e r a c t i n gw i t has i n g l e m o d e c o h e r e n ts t a t e l i g h t f i e l da r es t u d i e d ，a n di t st i m ee v o l u t i o nc h a r a c t e r i s t i ci sf u r t h e ra n a l y z e d 4 t h es q u e e z i n gp r o p e r t i e so ft h ea t o m i ci n f o r m a t i o ne n t r o p yi nt h es y s t e mo f t h et w oi d e n t i c a ld i p o l e d i p o l ec o u p l e dt w o - - l e v e la t o m si n t e r a c t i n gw i t ha s i n g l e 。m o d ec o h e r e n ts t a t el i g h t f i e l da r es t u d i e d ，a n di t sn o n c l a s s i c a lp h y s i c a l e s s e n c ei sa l s or e v e a l e df u r t h e r l y t h er e s e a r c h e sm e n t i o n e da b o v ea r eo ft h e i m p o r t a n ta p p l i c a t i o n sf o rt h ef i e l do f l i g h t - q u a n t u mc o m m u n i c a t i o n ，a n da r eo ft h et h e o r e t i c a lg u i d a n c ef o rt h ef u r t h e r e x p e r i m e n t a lr e s e a r c h e sr e l a t e dt ot h i st h e s i sc l o s e l y k e y w o r d ：q u a n t u mo p t i c sq u a n t u mi n f o r m a t i c s l i g h tf i e l d a t o mi n t e r a c t i o n s y s t e mq u a n t u mf i e l de n t r o p yi n f o r m a t i o ne n t r o p yo fa t o m 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或其 他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所作的 任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：料谢痔 关于论文使用授权的说明 日期：沙仁歹- 5 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部和部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文 在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在一年解密后适用本授权书。 本人签名：秭淡萌 导师签名： 日期： 日期： 第一章绪论 第一章绪论 1 1 量子光学的发展 光的量子学说最初是由a e i n s t e i n 于1 9 0 5 年在研究光电效应现象时提出来 的。从1 9 0 6 年到1 9 5 9 年这5 0 多年时间内，有关光的量子理论的研究工作虽然也 曾取得过许多重要成就，但就其总体发展而言，仍然是比较缓慢的。其最明显特 征就是光的量子理论尚未形成完整的理论体系。自1 9 6 0 年国际上诞生第一台红宝 石激光器以来，有关这一领域的科学研究进入到了空前活跃的快速发展时期。由 此，直接导致了量子光学的诞生与发展 1 3 , 8 2 】。真正将量子光学的理论研究工作引 上正轨并推向深入的，是e t j a y n e s 和f w c u m m i n g s 两人。1 9 6 3 年， e t j a y n e s 和f w c u m m i n g s 两人提出了表征单模光场与单个理想二能级原子 单光子相互作用的j a y n e s c u m m i n g s 模型( 以下简称标准j c m ) ，这标志着量子 光学的正式诞生。此后，人们围绕着标准j c m 及其各种推广形式，做了大量的而 且是富有成效的理论与实验研究工作。随着研究工作的深入和深化，随着研究对 象、研究内容和研究范围的拓展，以及随着研究方法和研究手段的更新与改进， 今天的量子光学领域已经出现了一系列全新的、重大突破性进展【l 7 引。 量子光学是研究光场的量子统计性质以及光与物质相互作用的量子特征的学 科。人们曾经构造并研究了各种各样的量子光场态，例如：在过去四十年里，量 子光学研究取得了一系列重大进展，光子数态、g l a u b e r 相干态、多光子相干态、 偶相干态、奇相干态、压缩态、s c h r 6 d i n g e r 猫态、相位态、压缩数态以及中间态 等。这些态都有许多非经典性质，它们中的有些已经从实验上制备出来【4 j 。光场 本质上是量子场，在光与物质的相互作用过程中，特别是非线性作用过程中，出 现很多新的量子效应。例如光子反聚束效应、亚泊松光子统计分布和光场压缩态 等【5 7 1 。其中具有压缩效应的光场量子态，由于其某个正交相位分量的量子涨落低 于相干光场中相应分量的量子涨落，因而使得它在光通讯、高精度干涉测量及弱 信号和超弱信号检测等方面具有广阔的应用前景【l 妒1 2 j 。 量子光学最初是从量子电动力学理论中发展、演变而来的。它既是量子电动 力学理论的一个重要分支，又是激光全量子理论深入发展的结果。同时，量子光 学还构成一门新兴的应用基础性学科光子学的理论基础。量子光学的主要任 务就在于，研究光场的各种经典和非经典现象的物理本质、揭示光场的各种线性 和非线性效应的物理机制、揭示光场与物质相互作用的各种动力学特性及其与物 2 非经典光场一两原子系统的熵演化及熵压缩特性研究 质结构之间的关系、揭示光子自身相互作用的基本特征、机理、规律以及光子的 深层次结构等。尽管目前量子光学领域已取得了一系列重大进展和辉煌成就，但 就量子光学理论本身的结构来看目前还很不完善。主要是人们仅仅只对平面波场 成功地进行了量子化的研究工作，而对于球面波场、柱面波场和高斯激光束等非 平面波场的量子化问题却一直无能为力，现今的量子光学理论，仅仅只是非相对 论性理论，而真正的相对论性量子光学理论目前尚未建立，这在深入研究微观高 速或超高速运动粒子的量子光学性质时，就表现出了明显的局限性，并且对光子 的自身相互作用及光子的结构问题研究的还很不够，至今未能产生并形成行之有 效的研究方法和研究手段等 1 , 2 , 8 2 】。 量子光学目前正处在更大的辉煌发展前夕的一个重要的十字路口，它曾经取 得过一系列重大进展和一些辉煌成就，但在2 l 世纪，量子光学领域的成绩和成 就将会更加炫丽多彩，特别是有关光子结构问题的研究将把量子光学领域的科学 研究工作推向顶峰1 1 , 2 , 8 2 。 1 2 量子信息学的兴起 量子信息学是近十几年来量子理论和信息科学相结合的产物【l 引，是- - f 3 刚刚 崛起、同时又具有十分广阔应用前景的新型交叉学科，也是当前国际前沿热点研 究领域之一，它的引入之处在于许多经典信息无法比拟的优越性j 。量子信息 学主要包括：量子信息论、量子通信、量子光通信、量子算法与量子计算、全光 量子计算机的开发与研制等等。它不仅包含了将量子力学基本原理应用于信息科 学的主体部分【4 5 】，甚至还涉及到量子理论本身一些重大基础问题的研究【3 6 , 4 6 , 4 7 】。 譬如，量子计算机可实现大数的因子分解。大数的因子分解是经典计算机无法解 决的难题，但s h o r l 4 8 】已证明，利用量子计算机可轻易地攻破这一问题。量子计算 机的另一个重要功能是g r o v e r 4 9 】搜索。譬如：量子力学中的或然性( 即几率性、 概率性) 、量子时空的内禀性、量子纠缠现象、光子的空间非定域性、以及量子测 量和量子波包塌缩等问题，量子密码为绝对安全的保密通信提供了物理上的保证 【5 0 】，利用量子通信网络则可实现多端保密通信【5 1 】等等。因此量子信息学将为信息 科学的发展丌辟新的道路。 量子信息学是以量子态作为信息和能量载体的，一个纯量子态中各个叠加成 分的系数模值、内部相因子和纠缠方式等等都可以承载一定的信息。近几年来， 量子信息学在理论和实验研究上都取得了巨大成就。譬如：服从量子力学规律的 量子计算机可以支持新类型的量子算法【5 2 1 。目前已经发现了它可以在指数加速、 非指数加速和相对黑盒指数加速三个方面上超过经典计算机。在量子通信方面， 第一章绪论 以量子不可克隆定理例为基础的量子密钥分配【5 4 1 为绝对安全的保密通信提供了 物理上的保障；利用量子纠缠现象【5 5 1 ，并通过量子密集编码 5 6 , 5 7 】，可以实现只传 送一个量子位来传输两个比特的量子信息；量子隐形传态【5 引，可以实现不发送任 何量子位而实现未知量子态的远程传送等等。总之，量子信息由于自身独特的优 点，引起了学术界、信息产业界和各国政府的广泛关注。 以量子通信和量子计算为主要内容的量子信息学，是最近几年迅速发展起来 的两个新兴交叉学科领域。由于它潜在的应用价值和重大的科学意义，正在引起 各方面越来越多的关注【l 州1 1 3 关于熵的历史回顾 3 一 虽然早在1 8 2 4 年，法国年轻军官沙迪卡诺研究热机时就发现了熵的基本原 理，但熵作为一个科学概念是由德国物理学家克劳修斯于1 8 6 5 年才正式提出来 的。1 8 6 5 年克劳修斯提出并证明了熵增加原理。其表述为“孤立系统中的可逆过 程其熵不变，不可逆过程其熵增加。孤立系统中不可逆过程总是朝着熵增加的方 向进行，直至达到熵的最大值。 1 5 9 , 7 4 继而b o l t z m a n n 和p l a n e k t 6 0 】给出熵的微 观统计公式，用熵代表系统的无序度，为熵的重要地位的确立及其发展奠定了基 础。 1 8 7 2 年奥地利玻尔兹曼在研究气体分子运动过程中，把熵和热力学概率联系 起来，首先对熵的物理实质作出了微观解释。玻尔兹曼证明了，孤立系统内发生 的过程，总是从热力学概率小的状态向热力学概率大的状态进行，这样熵就可以 看成是热力学概率的大小表示。热力学概率还可以用无序性的概念来描述，而无 序性又是分子热运动混乱程度的描述。因此熵又可以看成是系统分子热运动无序 性和混乱程度的量度，这是熵的微观统计意义。 1 8 7 7 年玻尔兹曼进一步阐述了熵和热力学概率间的定量关系。他推导出，熵 是按概率的对数变化的，即so ci n 矿，形为热力学概率。后由普朗克写成 s = k l n 形，k 为玻尔兹曼常量【6 1 】。 1 9 0 0 年德国普朗克在推导黑体辐射定律过程中，从熵的概率解释出发提出了 能量量子化的假设，揭开了2 0 世纪物理学革命的序幕，为全部物理学找到了一个 新的概念基础。 1 9 4 8 年s h a n n o n 6 2 】将统计熵作为基本组成部分推广用于信息理论中，给熵以 新的意义，以表示系统( 信源) 的不确定性；在此基础上j a y n e s 提出最大信息熵原 理，用以确定各种系统的随机态变量的概率分布函数。 4 0 多年前，e v e r e t t 和h i r s c h m a n 6 3 】提出了具有普遍意义的熵测不准关系。这 个关系后来由b e c k n e r 、b i a l y n i c k i b i r u l a 和m y c i e l s k i l 6 4 , 6 5 j 等人所证明。由于熵包 生非经典光场一两原子系统的熵演化及熵压缩特性研究 含了密度矩阵的高阶统计矩，从熵测不准关系可以导出海森堡测不准关系即海森 堡测不准关系只是熵测不准关系的一个特例。因此，可以类比方差压缩的做法， 用熵量度光场正交分量的量子涨落，根据熵测不准关系，建立光场熵压缩的概念。 光场与原子相互作用时的熵压缩规律，通过将方差压缩与熵压缩两者对比，证明 了熵压缩实现了对光场压缩效应的高灵敏量度【l h 6 】。 熵概念的建立，是1 9 世纪科学思想的巨大贡献，它使人们的注意力从物质转 向物质间关系，改变了经典力学定律建立的一切在时间上都是可逆的、无进化、 无历史可言的观念。历经了一百三十多年的发展，熵理论在物理学领域里从平衡 态拓广为非平衡态，成为研究系统演化中有序与无序的一个使人注目的焦点。与 此同时熵理论从物理学领域拓展进入了化学、生命科学、天体物理学乃至信息科 学、经济学等社会科学领域【1 帕6 1 。 1 4 压缩态概念的建立与实现 1 9 5 6 年，由汉堡、布朗及退斯等人完成了光学关联实验。这一实验又常以三 人姓氏第一字母打头，被称为h b t 实验。他们把发自放电管的辐射，经滤波后， 由半透半反光学分束，其中一束经时间延迟器。两只光电倍增管分别接收两束光 后，再把其输出信号馈送到一个相关器中。这样，相关器测量到的将是两个不同 时空点光场强度起伏的关联，不再是过去的相干实验中所测的光场强度自身的相 位关联。通过这一实验，他们首次证实了光场存在有高阶相关效应，这是过去任 何经典干涉与衍射实验都无法观察到的。就相干光的频率而言，光场的强度起伏 关联是一个缓慢变化的量，它的测量值受到外界的扰动要比测量相位关联微弱得 多。h b t 实验给相干性带来了全新的概念。根据经典理论，传统光场的随机性只 用一个一阶相关函数描述就够了，这就是一阶相干度为l 时，即对应完全相干性 情况。然而，h b t 实验测出的光场起伏却表明，上述相干性的描述并不完备，还 必须补充二阶或更高阶的相关函数。只有当一阶、二阶或更高阶的相干度均为1 时，才能称为完全相干光。在普通光源情况下，不可能获得这种真正的完全相干 光。然而，一台理想的激光器所产生的光场就处于相干态，其任意阶相干度都相 等，并且都等于1 。可见只有激光诞生之后，人们才获得真正的完全相干光源。 h b t 实验还表明，相干态光场并不是无噪声的光场，它包含了真空场的量子 涨落，因而具有经典体系所不具有的统计性质。这种光场的量子性又导致人们对 压缩态的研究。根据量子场论，处于真空中，各量子场的每一个振动模式仍会不 停地振动，这种振动称为真空零点振荡。与此同时，真空中各量子场间还会相互 作用，不断有各种虚粒子产生、消失或转化，这就是真空的量子涨落。从这种意 第一章绪论 义上看，真空本身就是一种极其复杂的媒质。因此，当用量子场论的观点、方法 研究光的传播时，一束具有确定频率、确定偏振态和传播方向的单模光场，其振 动的模量与相位角均为互不对易的算符，根据测不准原理，完全相干光条件下的 量子相干态，在振幅平面上不再对应于一个点，而是一个圆斑。圆斑的大小等于 电场的真空涨落，称为零点振动。这意味着，即使在“完全黑暗”之中，光场仍 存在微小的起伏。普通光场是经典光场与这种真空起伏的叠加，这种量子起伏便 构成噪音场，从而使测量的精度从根本上受到限制。如何使这种无规则的起伏压 缩至最小，是人们十分关注的问题。近年来，研究人员发现，在某些情况下，光 束中的这种量子噪音可以被压缩到很小，而且，当光波的一部分噪音被压缩至很 小时，另一部分光波噪音却被放大，而对被压缩噪音的光波进行测量时，其精确 度可以超出测不准原理给出的限制。为了得到压缩光，最初设想使用一种周期性 泵浦的方法。令谐振腔一端的反射镜往返运动，当腔长变化的频率达到光频的两 倍时，到达反射镜上的光波能量会周期性地被放大和缩小。这意味着，腔体靠长 度的变化，不断地向光波放出或从光波抽取能量。若反射镜振动相对光波具有一 定的相位时，光波则被放大，电磁振荡趋于增强；反之，光波被衰减，电磁振荡 趋于减弱。真空噪音是由许多无规则的波构成的，它们具有相同的频率，但振幅 与相位却呈现无规则变化。当一定相位的波被放大时，另外一些波则被衰减。能 量重新分配的结果，腔内的真空噪音将由一部分高振幅波与一部分低振幅波组成， 这两部分波的强弱又交替变化着，这种光波即称为压缩态。上述设想虽然很巧妙， 但是事实上，不可能使反射镜以光频数量级振动。1 9 8 5 年，美国贝尔实验室的斯 鲁施尔( s l u s h e r ) 研究小组在上述原理的基础上，提出了一种代替反射镜振动的实 验方案。他们在谐振腔中放入一个充满钠原子蒸气的容器。由于在钠原子蒸气中 光速比真空中低，光经过钠蒸气室的光程加大。当用激光激发钠原子时，由于激 光的激发，钠原子蒸气室的光程迅速变化，这种变化的频率又恰好与光频相当， 因而代替了反射镜的往返振动。他们的这一实验获得了成功，首次利用所形成的 驻波场的激光，周期地激发钠原子而获得了压缩光，使压缩后的真空场噪音下降 了7 。这一实验的成功带来了积极的反响。美国i b m 的艾尔马丹( a l m a d e n ) 研究 中心的谢尔l l , ( s h e l b y ) 、麻省理工学院的夏皮洛( s h a p i r o ，i ) 等人利用不同的方法 也得到了光场的压缩态。目前世界上最高压缩量的单模压缩态是由德克萨斯大学 的基布尔( k i m b l e ，j ) 与中国科学院物理研究所的吴令安、山西大学的彭望墀等 共同获得的，他们得到的压缩光噪音水平较真空场的情形下降了近7 0 【1 , 8 2 l 。 在以往研究光场压缩的学术文献中，一般是从海森堡测不准关系出发，用光 场的某一正交相位分量的均方偏差来量度光场的量子涨落，并根据其是否小于真 空极限来判断光场的该正交相位分量是否出现压缩效应t 2 , 2 1 。但从统计物理学的 理论可知，在很多情况下，由于均方偏差只涉及光场密度矩阵的二阶统计矩而未 5 一 亘非经典光场一两原子系统的熵演化及熵压缩特性研究 计入高阶统计矩信息，因而不能精确量度量子涨落。由于信息熵包含了密度矩阵 的高阶统计矩，因而将其作为量子涨落的量度更为适合【1 抛6 1 。 1 5 本文结构及主要研究内容 本文主要研究了非经典光场与两等同二能级原子相互作用系统的熵演化特性 和熵压缩特性。工作内容如下： 第一章绪论部分； 第二章介绍了论文相关的一些基本概念和基础知识，如非经典光场、光与 物质相互作用等； 第三章介绍了熵概念的建立、发展和泛化，以及熵理论在光学中的应用、 物理熵和信息熵的意义和表达式的统一、冯诺依曼熵； 第四章对非经典光场与两等同二能级原子相互作作用系统的量子场熵演化 特性和熵压缩特性进行了研究； 第五章对与相干态光场相互作用的两等同二能级原子的原子信息熵的演化 特性和压缩特性进行了研究； 第六章对整个论文工作进行了总结，找出了不足之处，同时提出了展望。 第二章基本概念和基础知识 第二章基本概念和基础知识 2 1 非经典光场一光场的纯量子效应 光的量子理论应追溯到p l a n c k e i n s t e i n 年代，但直到1 9 6 0 年激光器问世前， 在光学研究上并没有更多的新现象、新概念出现。六十年代初发明了激光器完全 改变了这个局面，迎来了量子光学蓬勃发展的新时代。1 9 9 7 年度的n o b e l 奖授予 激光冷却原子的发明者朱棣文等是这一情景的标志。今天，量子光学的研究己密切 关系到量子力学本身许多基本问题，所以它的进展就更引人注目。在过去四十年 里，量子光学研究重大进展之一，是构造出许多非经典态。 为了明确什么是非经典光场，我们有必要了解一些基本概念： 2 1 1 光场的压缩特性 7 一 大家知道，在量子力学中电磁辐射场的每个模式对应于一个谐振子，所以单模 式光的电场可用下面标量算符表示 e ( r ，f ) = ( 矗国2 s o y ) ae x p i ( k r 一埘) 】+ 而d ( 2 1 ) 这里a 和a + 分别是谐振子的湮灭和产生算符，满足大家熟知的玻色子对易关系。 矿是边长为三的立方体光场腔的体积，y = f 。h c 代表厄密共轭。k 是波矢，它 的方向为波的传播方向。电场偏振( 极化) 方向垂直于波矢k ，磁场垂直于电场和波 矢：电场、磁场和波矢三者构成右手螺旋。可以证明相互垂直的电场和磁场是不 对易的。占。和z 。分别是真空介电常数和磁导率：满足o z 。= c 。2 ，c 是真空光速。 由于物理上的需要，常将电场算符( 2 1 ) 分写成正、负频率两部分， e ( r ，f ) = e ( r ，f ) + e ( r ，f ) - ( 2 2 ) 其中正频部分e ( r ，f ) = 4 h c o 2 e o v ae x p i ( k r 一研) ，负频部分是它的厄密共轭。 下面定义两个分别与谐振子的位移g 和动量p 对应得算符 x l = ( 口+ 口+ ) 2 ，x 2 = ( 口一a + ) 2 i( 2 3 ) 那么r = 0 处的单模电场为 e ( f ) = e 0 ( x l c o s ( a t + x 2 s i n c a t ) 其中e o = 4 2 h c o 6 0 r 。 这意味着在相空间中电场有两个相互垂直的振动组成，他们的振幅分别正比于x 。 和x ，。 墨 非经典光场一两原子系统的熵演化及熵压缩特性研究 因为 x 。，x ： = i 2 ，故按量子力学基本原理，对任意态有 a x l a x 2 1 4 如果等号成立，则称这个态为最4 , n 不准态。而如果能找到一个态使 舣l ( 或a x 2 ) 1 时，则光子数的分布 比泊松分布要宽，称它为超泊松分布；而当f l ( 2 8 ) 再借助s c h w a r z 不等式i 1 2 ，对稳定光 场又可以证明 g 2 ( f ) g 2 ( o )( 2 - 9 ) 转到量子力学，首先要问不等式( 2 8 ) 和( 2 9 ) 是否成立? 为回答这个问题，让 我们先看个例子。假定h b t 实验中只有一光子，当这个光子到达镜子m 后，按 量子力学基本假设它或者被反射或者透射两者必居其一，不会有半个反射半个透 射，所以必有g g ( o ) = 0 ，亦即不等式( 2 8 ) 被破坏，这完全是一种量子力学效应。 所以在量子力学中，对某些光场的态不等式( 2 8 ) 和( 2 9 ) 有可能被破坏，对这类态 通常称为非类经典态：否则称为类经典态。另外，在量子力学中g 2 ( f ) 的定义也 要改变，对稳定的单模光场可简化为 g ( f ) ：垒塑掣( 2 - 1 0 ) 这里 = 乃( 夕) 也与经典不同，是对量子态的平均。由此可见，g 2 ( f ) 是 度量时间t 和t + f 之间光子的关联。当光场满足不等式( 2 9 ) 时，且f f 。，光子呈 现出超关联，称此为光子聚束效应，f 。称关联时间。而对某些光场如果有不等式 g 2 ( f ) g 2 ( 0 )( 2 ii ) 则称它是反聚束的，例如共振荧光。又因 g ( 0 ) ：1 + 旱( 2 1 2 ) 蚀非经典光场一两原子系统的熵演化及熵压缩特性研究 所以g 2 ( o ) 大于等于或小于1 是与f 的分布一一对应的。于是，若 g 2 ( o ) op ) = e x p ( 一p 2 )( 2 2 6 ) 刀 将( 2 2 5 ) 式、( 2 2 6 ) 式代a ( 2 1 5 ) 式、( 2 1 6 ) 式发现，真空态位置熵和动量熵相等， 其值为 s o ，= s o p = ( 1 + i n 万) 2 1 0 7 2 3 6 ( 2 2 7 ) 相应的熵指数为 西c o = 印o = 万p 2 9 2 2 6 7( 2 - 2 8 ) 由于熵可以用来作为物理量量子涨落的量度，因此蹴。和印。分别为位置熵和动量 熵的真空极限。由( 2 1 9 ) 式可知 缸o = a p 。( 2 膨) 一i 2 疣。= 1 芝( 2 2 9 ) 上式意味着鲋。仍为鹳提供上限( a o = x op 。) ，即海森堡测不准关系所确定的 削。过高的估计了实际的真空涨落极限。因此有海森堡测不准关系定义的方差压 缩不能精确度量光场的压缩效应。 非经典光场一两原子系统的熵演化及熵压缩特性研究 类比方差压缩的概念，可以引出熵压缩的概念：当任一量子态的a 分量 ( 么= z ，p ) 的熵小于熵的真空极限时，即 翻 0 ，则过程是可能 的；若d s 0 ，则过程是不可能的。由于熵增加原理描述了不可逆过程，因此人 们认为它也是热力学第二定律的一种表述。有时又把热力学第二定律称为熵增加 原理。 熵概念的建立，立即引起人们的关注和研究。尽管克劳修斯对熵作了严格的 数学推导，但人们对熵的物理实质仍感到困惑不解。克劳修斯曾提出熵和能量有 相似之处。从宏观来看，一个系统的做功本领叫做这个系统的自由能【7 5 1 ，也可以 用能量密度来描述。而只有在特定的系统中，能量密度参差不齐时，能量才会转 化成功。能量倾向从密度高向密度低的方向流动，直到一切都均匀为止。因此熵 1 8 非经典光场一两原子系统的熵演化及熵压缩特性研究 实际上是表示任何一种能量在空间分布的均匀程度，能量分布越均匀，熵值就越 大。这样，如果说能量是从正面量度运动转化的能力的话，熵则是从反面，即运 动失去转化能力或转化已经完成程度的量度。 1 8 7 2 年奥地利玻尔兹曼在研究气体分子运动过程中，把熵和热力学概率联系 起来，首先对熵的物理实质作出了微观解释。玻尔兹曼证明了，孤立系统内发生 的过程，总是从热力学概率小的状态向热力学概率大的状态进行。这样熵就可以 看成是热力学概率的大小表示。热力学概率还可以用无序性的概念来描述，而无 序性又是分子热运动混乱程度的描述。因此熵又可以看成是系统分子热运动无序 性和混乱程度的量度，这是熵的微观统计意义。 1 8 7 7 年玻尔兹曼进一步阐述了熵和热力学概率间的定量关系。他推导出，熵 是按概率的对数变化的，即s o ci nw ，w 为热力学概率。后由普朗克写成 s = k i nw ，k 为玻尔兹曼常量。 由于熵是系统内分子无序性的量度，因此熵增加原理又可以称为无序性加剧 原理。也就是说孤立系统内部自然变化的过程进行方向都是朝着无序性增加的方 向进行，即趋向热力学概率的状态，使熵到达最大值。这时系统内分子位置、速 度等都完全无规则地分布着，任何使它的运动变成有序的做法都会引起熵的减少。 1 9 0 0 年德国普朗克在推导黑体辐射定律过程中，从熵的概率解释出发提出了 能量量子化的假设，揭开了2 0 世纪物理学革命的序幕，为全部物理学找到了一个 新的概念基础。 普朗克早期在克劳修斯的不可逆性、熵增加原理等热力学观点的影响下，对 熵进行了深入研究。他把熵看作和能量一样是物理过程最重要的特征，熵增加原 理和能量原理同样是物理学中不可缺少的独立定律。这些观点决定性的影响到他 处理黑体辐射问题的方式。为此他把熵的概念从热力学推广到电磁学领域，引进 了共振子的概念并论证了热辐射过程的不可逆性。由于他认为热力学第二定律适 用于自然界的一切过程，所以他要寻求“振子的能量和熵之间的关系”【7 引，而不 像大多数人那样去寻找振子能量和温度的关系。普朗克的黑体辐射公式是用熵对 能量的二阶导数的两个极限值内插维恩公式而得到地，这就促使他直接考虑熵的 概率解释和能量间的关系。玻尔兹曼在推导出s i n w 关系式后，还用形表示配 容数来计算能量的分布。配容表示能量在分子中的一种分配方式，每种配容出现 的概率相等。玻尔兹曼讨论了p 个能量值s 在n 个分子中间的分配，并导出了求 得配容数的方法。但在计算时，他却用f i - 一o ，这是为了使计算成为可能而使用的 数学技巧，也符合分子能量是连续的要求。然而普朗克是要寻找一组谐振子确定 的配容数形的方法，很显然不能让s o 。因此，普朗克就很自然的引入了能量不 连续的假设，只有把能量分成一份份的才能计算出确定的配容数目，即所有可能 的配容的总组合是分立的组合。一个系统的每一个宏观状态对应完全确定的配容 第三章熵与量子熵 1 9 数目。这样就奠定了普朗克辐射公式的理论基础，普朗克也迈出了从连续到量子 化的具有历史意义的一步。在这个由熵与概率的关系推导出的普朗克公式中，他 还引出了一个与振子特性无关的常量h ，普朗克称为作用量子，后人们称为普朗 克常量。正如普朗克所说：“为了获得熵的正确表达式，基本作用量子是必不可 少的，因为只有借助于它，才能确定一定条件下概率的基本区域或无作用 区的大小，与此同时，它又是难以捉摸的，很难使它符合于经典理论。“作 用量子在物理学中起根本性作用，它是一种崭新的、前所未闻的事物，它要求从 根本上修改我们自从牛顿和莱布尼兹在一切因果关系的连续性基础上创立了微积 分依赖的全部物理概念。 7 6 1 而正是基于这一点，人们创建了量子力学这一全新 理论。 我们知道，大多数物理定律和时间的符号无关，即当时间f 变为一r 时，这些 定律仍然保持不变。但在考虑和热力学第二定律有关的现象，如摩擦、扩散、能 量转移等则出现了时间的不可逆性。熵增加原理使世界带上了时间的不对称性， 使“过去”和“未来 有了区别。而生命的出生、成长、衰老和死亡也显现了时 间的不可逆性，并且和人类的体验；时间是有方向性的，总是从过去向未来流动 是相一致的。 熵概念的建立，是1 9 世纪科学思想的巨大贡献，它使人们的注意力从物质转 向物质间关系，改变了经典力学定律建立的一切在时间上都是可逆的、无进化、 无历史可言的观念。熵和热力学第二定律第一次把演化的观点引入物理学，向人 们展示了一幅动态的物理图像。 3 2 熵概念的发展与泛化 熵这个词在希腊文中是发展演化的意思。它的概念起源于物理学。c l a u s u s 在 1 8 6 5 年引入经典热力学熵的概念，并以孤立系统的熵增加原理的形式来表述热力 学第二定律；继而b o l t z m a n n 和p l a n c k 也分别给出熵的微观统计公式，并用经典 统计熵来代表系统的无序度( 或有序度) ，从而为熵概念的重要地位的确立奠定了 坚实的理论基础；1 9 4 8 年s h a n n o n 将物理学领域中的经典统计熵作为基本组成部 分将其进一步推广并应用于信息理论中，以确立各种系统随机态变量的概率分布 函数，由此导致经典信息论的诞生。这样，熵不仅是物理学中极为重要的概念和 物理量，而且在数学、化学、宇宙学、生物学、信息学、控制论、经济学、社会 学乃至各种工程科学领域中崭露头角。为区别起见，通常将统计物理学中的经典 统计熵叫做物理熵，而将信息理论中的统计熵称为信息熵【77 缁j 。 2 0 非经典光场一两原子系统的熵演化及熵压缩特性研究 一百多年来熵概念在众多学科中的泛化过程，实际上是人们不断认识熵概念 深刻而丰富的内涵和不断扩展熵概念外延的过程，也是在熵概念基础上不断引发 新概念，开拓新研究领域，创立新的交叉学科的过程。 熵的概念，通俗来说，就是系统有序程度的量度。由熵理论可以得到这样的 推论，即孤立系统总是从有序到无序的方向发展的，这是熵增原理的实质。这个 理论在一定条件下可以解决大到星系的产生和灭亡，小到微生物的寿命，以及许 多社会的经济的问题。 奥地利著名物理学家，量子力学创始人之一薛定谔于1 9 4 4 年在生命是什么 一书中，以物理学家的眼光审视和研究细胞，最后提出负熵流的概念及其与生物 生长进化的关系。生命的特征在于它在运动和新陈代谢，生命不仅表现为他最终 将死亡，使熵达到最大值，也就是最终从有序走向无序，更在于它要努力避免很 快的衰退为惰性平衡态，因而要不断地进行新陈代谢，这恰恰是负熵流的作用。 自然界正在进行着的每一种自发事件，都意味着它在其中的那部分世界的熵值增 加，生命体要摆脱死亡，就要不断地吸收负熵流，以抵消它在生活中产生的熵增 加。薛定谔把上述论点生动的以“生命赖以负熵为生概括。 生命过程是生物不断与外界交换物质和能量、摄入有序的物质和能量、排除 无序的物质和能量、从而获得负熵流的新陈代谢的过程，不仅如此，在与外界发 生物质和能量交换的同时，生命体与外界之间还存在着信息交换。生物从外界吸 收负熵流是以更大范围的正熵的增加为代价的，它和与之相互作用的周围环境组 成的孤立系统的熵总是不可逆转的增加。在物种进化过程中，生物的种类繁衍越 来越多，生物群的演化熵越来越大。 在人体科学中，熵可以用来描述人体的健康状况。新陈代谢是生命的基础， 人体作为一个远离平衡态的、动态的、开放的非平衡系统，主要依靠调节负熵流 速率从而使人体处于非平衡态一健康态。 行为熵是人的行为对社会道德规范和法律的偏离程序的量度。在不同制度的 社会中，同一人的行为熵可以具有不同的量值。通过社会道德规范的宣传和法律 的制约，减少人的行为熵。使人的行为更符合社会道德规范和法律。而熵值整体 上是不断增加的，道德法律只能一定程度上抑制熵增的速度。 此外一些历史学家尝试从熵理论出发对历史现象进行解释，在人类社会演进 过程中，危机产生，社会