（地球探测与信息技术专业论文）小波变换的多尺度性在重力异常分离中的应用.pdf

桂林理工大学硕士学位论文 捅要 小波分析是近二十年来很受关注的一个领域，其中第一代小波已成为地球物 理领域进行数据处理的一个重要的工具之一，它是一种信号的时间尺度( 时 间频率) 分析方法，具有多分辨分析的特点，在时频两域都具有表征信号局部 特征的能力。提升小波作为第二代小波，以其独特的算法结构、快速运算能力以 及低存储需求，且适合于自适应、非线性、非奇异采样和整数到整数的变换等优 点，受到信息科学领域的广泛关注。但在地球物理领域还应用不多。 本文将第一代小波和第二代小波的多尺度性用于重力异常的分离上，从简单 的两层球体模型重力异常的分离，三层球体模型重力异常的分离到复杂的四层球 体模型重力异常的分离，得出各种模型异常分离的最佳尺度，以及异常多尺度分 离的各层球体间最小闻距；通过各尺度的分离，得出：第二代小波受数字离散化 截断引起的小波变换过程中的高频干扰和边缘效应的影响，要比第一代小波受到 的影响要小；第二代小波分离出的异常形态，比第一代小波失真小。总体表明， 第二代小波优于第一代小波。 利用第二代小波，对大厂矿田l ：5 0 0 0 0 布格重力异常进行了多尺度分离，通 过对分离出的局部异常进行分析，推断了隐伏花岗岩体的分布形态，同已有的地 质资料和其它物探资料相对照，证明了所分离的结果是令人满意的，也为后继的 数据处理准备了条件。从而说明：第二代小波，将是地球物理领域进行数据处理 的重要的工具之一。 关键词：第一代小波，第二代小波，多尺度性，重力异常分离。 桂林理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ew a v e l e ta n a l y s i si sad o m a i nw h i c hi nt h er e c e n t2 0y e a r sh a sr e c e i v em u c h a t t e n t i o n t h ef i r s tg e n e r a t i o no fw a v e l e th a sb e c o m eo n eo ft h ei m p o r t a n tt o o l st o c a r r yo nt h ed a t ap r o c e s s i n gi nt h eg e o p h y s i c sd o m a i n i t sam e t h o do fa n a l y s i so f s i g n a la b o u tt i m ea n df r e q u e n c y , w h i c hh a st h ec h a r a c t e ro f v a r i o u sa n a l y s i s i nt i m e a n df r e q u e n c y , t h ef i r s tg e n e r a t i o no fw a v e l e th a st h ea b i l i t yo fl o c a lc h a r a c t e ro f t o k e ns i g n a l w i t hi t su n i q u ea l g o r i t h ms t r u c t u r e ，f a s to p e r a t i o n a lc a p a b i l i t ya sw e l la s l o wm e m o 巧d e m a n d ，p r o m o t i n gw a v e l e t ，a st h es e c o n dg e n e r a t i o no fw a v e l e t ，h a s r e c e i v e dw i d e s p r e a da t t e n t i o ni nt h ef i e l do fi n f o r m a t i o ns c i e n c ef o ri t sa d v a n t a g e si n s u i t h a ga u t o a d a p t i n g ，n o n - l i n e a r i t y ，l i o ne x t r a o r d i n a r yc o l o rt y p ea n d t r a n s f o r m a t i o n f r o mi n t e g e rt oi n t e g e rm e r i t s i th a s n tb e e nm u c ha p p l i e di nt h eg e o p h y 7 s i c sd o m a i n t h i sa r t i c l eu s e st h em u l t i - c r i t e r i ao ft h ef i r s tg e n e r a t i o no fw a v e l e ta n dt h e s e c o n dg e n e r a t i o no f w a v e l e ti nt h eg r a y l ya n o m a l ys e p a r a t i o n f r o ms i m p l et w o s p h e r o i dm o d e lg r a v i t ya n o m a l ys e p a r a t i o na n d t h r e es p h e r o i dm o d e lg r a v i t ya n o m a l y s e p a r a t i o nt oc o m p i e xf o u rs p h e r o i dm o d e lg r a v i t ya n o m a l ys e p a r a t i o n ，w ec a n o b t a i n t h eb e s tc r i t e r i o nw h i c he a c hk i n do fm o d e le x c e p t i o n a l l ys e p a r a t e s ，a sw e l la st h e s m a l l e s ts p a c i n gb e t w e e ne a c hs p h e r o i do f e x c e p t i o n a lc r i t e r i o ns e p a r a t i o n s t h r o u g h v a r i o u sc r i t e r i as e p a r a t i o n s , t h ef o l l o w i n gi so b t a i n e d ：t h es e c o n dg e n e r a t i o no f w a v e l e tr e c e i v e sl e s se f f e c tt h a nt h ef i r s tw a v e l e to w i n gt ot h eh i g hf r e q u e n c y i n t e r f e r e n c ea n dt h ee d g ee f f e c t ，w h i c hi sc a u s e db yt h ed i g i t a ld i s c r e t ei n t e r r u p t i o n , i n t h ew a v e l e tt r a n s f o r m a t i o np r o c e s s t h es e c o n dg e n e r a t i o no f w a v e l e ts e p a r a t e st h e u n u s u a ls h a p e ，c o m p a r e st h ef i r s tg e n e r a t i o no fw a v e l e tl o wd i s t o r t i o n t h eo v e r a l l i n d i c a t e dt h a t ，t h es e c o n dg e n e r a t i o no f w a v e l e ts u r p a s s e st h ef i r s tg e n e r a t i o no f w a v e l e t u s i n gs e c o n dg e n e r a t i o no f w a v e l e t ，t h em u l t i - c r i t e r i o ns e p a r a t i o nt ob i gp l a n t m i l l ef i e l d1 ：5 0 0 0 0b o o gg r a v i t ya n o m a l yh a sb e e nc a r r i e do n t h r o u g ht h ea n a l y s i s o f t h el o c a la n o m a l ys e p a r a t e do u t ，w i t ht h ea k e a d yg e o l o g i c a ld a t aa n dt h ep h y s i c a l p r o s p e c t i n gm a t e r i a lc o m p a r i s o n , h a si n f e r r e dt h eu n d e r l y i n gg r a n i t eb o d yd i s t r i b u t e d s h a p e t h er e s u l to fs e p a r a t i o n sh a sp r o v e ds a t i s f y i n ga n dh a sa l s op m p a r e dt h e c o n d i t i o nf o r t h es u c c e s s o rd a t ap r o c e s s i n g ，t h u se x p l a i n i n gt h a tw a v e l e t t r a n s f o r m a t i o ni sa ni m p o r t a n tt o o lt oc a r r y o nt h ed a t ap r o c e s s i n gt h eg e o p h y s i c s d o m a i n k e y w o r d s ：f i r s tg e n e r a t i o no f w a v e l e ts e c o n dg e n e r a t i o no f w a v e l e t m u l t i - c r i t e r i a g r a v i t ya n o m a l ys e p a r a t i o n 桂林理工大学硕士学位论文 研究生学位论文独创性声明和版权使用授权书 独创性声畴 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我 所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究 成果，也不包含为获得其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。对论文的完成提供过帮 劲豹有关人员已在论文中终了翡确嚣说骥并表示谢意。 学位论文作者( 签字) ：垄盔堑b 签字目期：2 翌至。奄。! z 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解( 学校) 有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有 关部门或机构送交论文的印刷本和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权( 学校) 可以 将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学 位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适用 本授权书) 学位论文作者签名：鸶痞凡 签翱期删7 年彳簏t 佣 导师签字：j 发、i ，髟冬 签字日期：弘砖7 年易月l 占西 桂林理工大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 研究的目的和意义 重力资料处理是重力勘探的重要组成部分，是伴随着重力学的发展和重力测 量手段的不断提高而发展的，是物探工作者致力于研究的一项重要课题。随着仪 器精度的不断提高，高精度重力异常数据处理新方法、新技术的研究最得更为重 要。 但是在进行重力资料的数据处理时，存在着两个重大的问题：一是位场反问题 的多解性：重力瓷料反演的多解性是位场方法本身固有的，只能通过增加来自地 质和其它地球物理方法的信息才能克服。如何方便有效的利用约束信息是重力反 闯题解法的重要研究内容；二是重力异常的分离：由于地球物理场空间分布重力 异常是由不同层次、不同物性、不同规模和不同形态地质对象所产生场的叠加， 所以采用适当的数据处理方法，正确合理的进行重力场的分离，提取与研究对象 有关的部分是利用重力资料进行反演和解释的关键步骤。 重力学的理论己经很成熟了，但在实际应用中还有很多方面需要研究和改 进，需要不断的弓 入薪方法和新技术。譬蓠，利用小波多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 的方法对位场进行分离就是一种最新的方法，对其在重力场 分析中应用的探索和研究具有非常重要的意义。 小波变换是近十几年发展起来的一个新的数学分支。它是一种信号的时间 尺度( 时间频率) 分析方法，具有多分辨分析( m u l t ir e s o l u t i o na n a l y s i s ) 的 特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的麓力。是一种窗目大小固定不 变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法，即在低 频部分具有较高的频率分辨率和较低靛时阀分辨率，恧在高频部分具有较高的时 间分辨率和较低的频率分辨率。很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并 展示其成分，被誉为分析信号的数学显微镜。小波分析的这些特长决定了它是进 行地球物理数值分析的有效工具，并且取得了相当可观的成绩。在本论文中我们 把这种传统意义上的小波叫做第一代小波或传统小波。 1 9 9 5 年s w e l d e n s 提逝了一种不依赖于傅量时变换的新的小波构造法一提 升格式( l i f t i n gs c h e m e ) ，也称为提升小波，即第二代小波。从理论上来说，提 升小波大大拓展了小波分析的研究领域，从应用上来说，我们也可以搬据自己的 需要用提升结构来构造小波。相对于第一代小波而言，l i f t i n gs c h e m e 则是 种比m a ll a t 算法更快，更简便，更易操作的小波变换方法。辔于其计算复杂度只 是原有卷积方法的一半左右，因而成为计算离散小波变换的主流方法。提升方案 具有“继承了第一代小波的多分辨率的特性、不依赖傅里叶变换、允许完全的原 桂林理工大学硕士学位论文 位计算、反变换很容易由正变换得到和很容易实现整数小波变换芹等特点。正因 为提升小波具有比一代小波更加突出的这些特点，所以提升小波已经被用到地球 物理领域的地震信号的去噪中，但在重力异常的多尺度分离赢用上还没有成果见 于报端。本论文就是在前人的成果基础上系统地研究传统小波和提升小波在重力 异常多尺度分离上的应用。 1 2 小波变换与重力异常多尺度分离国内外研究现状 在缀场数据处理中，小波分析( 一代小波) 的应用集中在异常识别、异常分离、 信号去噪、重磁下延、反演成像等方面。胡宁( 1 9 9 6 ) 将小波变换应用到分解重力 异常中，通过东昆仑地区实际资料处理，认为这种方法在重力资料处理解释中， 具有快速、简捷的特点。李宗杰等( 1 9 9 7 ) 将小波变换引入位场信号处理，利用小 波分析理论将重磁异常进行分解、滤波、重建，从而提取区域异常和局部异常， 尤其是提取微弱信号作用明显，显著提高了信嗓比。他们证明二维小波变换对于 提取面积性区域异常、局部异常及消除高频弱磁干扰具有重要意义。l i y a o g u o ( 1 9 9 8 ) 应用小波交换快速反演大型磁数据，恢复三维磁纯率。何继善，温 佩琳等( 1 9 9 7 ) 在频率域电磁测深静态效应的自动识别和压制、重磁异常分离的高 精度方法、电阻率函数的奇异性分柝和深度反演等方面成功地应用了小波分析理 论。侯遵泽，杨文采等( 1 9 9 7 ，2 0 0 1 ) 利用小波分析方法原理，在对中囡布格重力 异常多尺度分解的基础上，反演了各种尺度意义下中国大陆地壳的密度差异，给 出中国大陆缝壳中相对密度差异的空闻分布。利用离教小波变换迸辛亍重力异常多 重分解为研究中国大陆地壳构造，进行深部地质研究捍供了新成果和新方法。 麓f e d i 和t 。o u a r t a ( 1 9 9 8 ) 把离散小波交换应用到馕场区域剩余分离和局部异常 的过滤。李健( 2 0 0 1 ) 在分析小波分析技术的本质和小波母函数性质的基础上，考 虑重力场数据的特性，从藤给出一种小波母竭数的选取方法。l u d e kv e c s e y 对 全球范围内的多个地区大地水准面数据，利用小波多分辨的性质进行了分析，为 小波分析与大地水准面在地质构造研究中的应用提供了新的思路。 第二代小波( 提升小波算法) 在位场数据处理中的运用还较少，但在其它方 面有所应用：陈香朋，曹思远( 2 0 0 4 ) 将第二代小波用于地震信号的去噪中，通过 对模拟数据和实际资料的处理，证明了它对地震信号去嗓具有缀好酶效果。冯琳 等( 2 0 0 4 ) 采用第二代小波变换对测井信号进行不同分辨率下的分解处理，第二代 小波的变换结果与传统小波变换的结果对比表明第二代小波变换的处理效果优 于传统小波变换，而且运算速度快，占用内存少。徐亚，郝天珧( 2 0 0 4 ) 在提升 小波：可用于重磁资料处理的新方法中通过分析提升结构构造的第二代小波优 于第一代小波的特点和好的属性，系统阐述了第二代小波在未来重磁资料处理中 的应用前景。 2 桂林理工大学硕士学位论文 1 3 本文的研究目的、内容、方法、及所做的工作及结果 第一代小波变换在位场数据处理中已经取得了非常好的成果，但基于提升算 法的第二代小波在这个领域还少有人涉足。正因如此，所以本文的目的就是探讨 在利用第一代小波对重力异常进行多尺度分离基础上，能不能利用第二代小波的 多尺度特性，对重力舅常进行分离，是不是也能取得或优于使用第一代小波进行 多尺度分离所取得的效果。这也是本论文研究的重要内容。 本文主要傲了以下凡方面的研究工作和得出的结果： l 、建立了三个物理模型：五个均匀球体构成的两层地质体模型( 浅层四个球 体，深层个球体) ；四个均匀球体构成的三层地质体模型( 浅层一个球体，中闻 层两个球体，深层一个球体) ；八个均匀球体构成的四层地质体模型( 第一层一个 球体，第二层四个球体，第三层两个球体，第四层一个球体) 。 2 、用m a t l a b 编制了剥餍一代小波和二代小波的多尺度性，分离蠢上述球体 模型产生的重力异常及分离大厂l ：5 万布格重力异常的计算程序。 3 、在对具体不同的物理模型运行妻孽基础上，得出不同层数的球体最佳的分 离间距，比较一代小波和二代小波的分离效果，以及可取之处。 4 、讨论了对两层、三层和四层重力异常分离的最佳分离尺度的闻题。 5 、通过分离模型体重力异常表明，在较小窗口的情况下，第二代小波变换 对数据截断的影响小，优于第一代小波变换。 6 、模型实验表骧，第二代小波变换分离后的信号失真程度小，优于第一代 小波。 ? 、利用第二代小波对大厂董：5 万布格重力异常进行了多尺度分离，并徽了 相应的效果分析和地质解释。 3 桂林理工大学硕士学位论文 第二章小波变换的多尺度分析与重力异常的分离 2 第一代小波变换 2 1 1 小波的定义 设￥2 ( 冀) l ，b o 0 ，则有夸波变换的离教形式 略( i n ，1 ) = a o - - ii ，o 矽( ”x - b o ) d x 此时，o ) = a o i 缈( 口o x - n b o ) ，m ，力z 特别取a o = 2 ，b o = l ，有 ( 2 5 ) 杪棚( 曲拦22 缈( 2 嘲x 一刀) ， 群+ 一 野( 撒，n ) = 2 2 | ，o ) u ( 2 - x - n ) d x ( 2 8 ) 由( 2 。国式所确定的饥( 砧；构成r ( 震) 空闻的一组标准正交基，即有 4 桂林理工大学硕士学位论文 。一妒j ( x ) d x = 硝= p i 嚣埘 像7 ， 于是，有相应的小波逆变换 厂( 砷= 野( 掰，功妙黼( 功 ( 2 8 ) 2 1 2 小波的数学特性”滞z 在小波分析中，小波基函数有非常多的选择。不同的小波函数往往具有不同 的性质，在实际应用中需要选择适合分析隧的的小波函数。因此，这星篙单介绍 些用于衡量小波数学性质的概念。 l 、正交性 正交性是小波的重要特性，早期研究的小波大多是正交小波。利用正交小波 基对函数进行多尺度分解得到的备子带数据分别落在相互正交的子空间内，使各 子带数据相关性减小，这有利于数值计算和数据莲缩。正交小波对应的低遥滤波 器和高通滤波器系数之间存在着直观的联系，这对正交小波的构造和实际应用都 带来了缀大的方便。苁垂交性角度出发霹以把小波分为正交小波、半正交小波、 平移正交小波和双正交小波。其中正交小波和双正交小波最为常用。 2 、消失矩 对于小波函数缈( x ) ，如果满足 lx 掰矽( x ) 矗= o ( m = o l ，撵- 1 )， 一 ( 2 鳓 则称缈( z ) 具有n 阶消失矩。消失矩描述了小波的振荡性质，阶数越大振荡就越 剧烈。对于一般的小波，由于必须满足容许性条馋，所以至少具有一阶消失矩。 从数值计算角度看，消失矩的作用体现在压缩矩阵上，高的消失矩可使矩阵变得 更加稀疏。在信号检测的应用中，为了能够有效地检测奇异点，小波基也必须具 有足够的阶数，它与l i p s h c z t i 指数密切相关。而为了分析突变信号，消失矩的 阶数不能太高，过高的阶数将使分析结果变得模糊。另外，从计算量的角度考虑， 消失矩的阶数与紧支撑区闯相关，消失矩阶数的增加将导致计算量的增加。 3 、正则性 若存在一个常数k 0 和一个m = 窿j 阶多项式秘，使得v x r 有 i ( x ) 一p ，( 力klx vr ( 2 1 0 ) 则称函数f ( x ) 在v 点处具有l i p s h c t i z 撬数半0 。如果对予所有的y 陋，嬲， ( 2 1 0 ) 式都成立，其中k 与v 无关，贝l j 称f ( x ) 在区间 a ，b 上是一致l i p s c h i z t 指数a 的，并称f ( x ) 具有l i p s h c t i z 正则性，其正则性阶数定义为a 的上确界。 正则性在数学上表现为函数的可微性或光滑性，因此l i p s h c i z t 指数刻画了 函数的奇异性类型。连续可微的小波基对于在小波变换中有效地发现信号的奇异 5 桂林理工大学硕士学位论文 点是必要的，对于大部分正交小波，正则度越高就意味着有更高的消失矩。在实 际应用中，要求小波具有一定的光滑性，但这与紧支性和快速衰减性相矛盾，在 此之间需要进行平衡。 4 、紧支性 若函数1 i r ( x ) 在区间e a ，b i l l 恒为零，则称该函数在这个区间上紧支，具有 该性质的小波称为紧支撑小波。紧支性是小波的重要性质，支集越小的小波，局 部化能力越强，紧支撑小波不需作人为截断，应用精度高。在信号的突变检测中， 紧支撑小波是首要选择，支撑区间越小，越有利于确定信号的突交点，但是同时 失去好的正则性。由于时域和频域中的紧支性是矛盾的，一般更希望时域有紧支 性，所以通常所指的紧支性为时域紧支性。 5 、对称性 若认a + 曲= 伊0 一x ) ，则称畎x ) 具有对称性；若烈a + 功= 一矿( a - x ) ，称认x ) 具有反对称性。对称性是刻画小波性能的一个基本特征。对称或反对称的小波函 数具有线性相位特性，它能避免信号分解和重构中的相位失真。对称和反对称小 波在检测信号的奇异性时具有不同的表现，例如，对于阶跃边缘，对称小波变换 在该处表现为过零点，而反对称小波则表现为极大值点：而对峰值跳变信号情况 刚好相反。 但是，d u a b e c h i e s 证明，除t t a a r 小波基外，不存在对称的紧支正交小波基。 所以，为了得到对称的小波基，就要放弃小波基的一些其他特性，或者在保持小 波基的紧支性、正交性时就只能得到近似对称性。 2 1 3 多尺度分析与麓a i i a t 算法 1 、多尺度分析 多尺度分析( m s a ：m u l t i s c a l ea n a l y s i s ) 也称为多分辨分析( m r a ：m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) ，是m a l l a t 在总结前人工作的基础上于1 9 8 8 年提出 的构造正交小波基的一般方法。其主要思想是将l 2 ( r ) 分解为一系列具有不同分 辨率的子空间，该子空间序列的极限就是l 2 ( r ) ，然后将l 2 ( r ) 中的函数f 描述为 具有一系列近似函数的逼近极限，其中每一个近似函数都是f 在不同分辨率子空 间上的投影。通过这些投影可以分析和研究f 在不同分辨率子空间上的性态和特 征，这也就是多分辨率分析这个名称的由来。 定义2 1 称平方可积空间l 2 ( r ) 中的一个闭子空间序列 n ，j z 以及一个 函数烈x ) 为l 2 ( r ) 的一个多尺度分析，如果满足条件： 1 ) 单调性：形c - l j z 2 ) 逼近性：2 巧。 o ，茹巧2 l 2 ( r ) 3 ) 伸缩性：厂( 石) 营f ( z x ) 巧一。 6 桂林理工大学硕士学位论文 4 ) 平移不变性：f ( x ) 巧f ( x 一七) 成，v 七毯z 5 ) r i e s z 基存在性：存在尺度函数鼬) 虼，使德 烈x 一破n gz 是虼的 r i e s z 基。 函数系 2 0 心妒( 2 。x 一捍) ，捍z 构成空间一的一组标准正交基，缈( x ) 称为尺 度函数，为尺度空闯或近似空闻。 设杉关于的正交补空间为，即上巧，且髟o = v j - ! ，则有空间 r ( 灭) 的完全正交分解 r ( r ) ；蚤氍 * 一 ( 2 1 1 ) 形为小波空闻，又称缨节空闻。根据多分辨分析的性质可以证明，存在小 波函数缈ew o ，且耖o 一以) ，l z 是的一个标准正交基，而 妒珈( 力= 2 - i 2 缈( 2 x - n ) ，辫z 为氍的标准正交基。尺度函数和小波函数满足 双尺度方程： 烈x ) = 压h ( n ) q ，( 2 x - n ) ， 菲z 少( 小= 压g ( n ) q , ( 2 x - n ) ， n e z ( 2 。1 2 ) 其中，板拧xg ( 忍) 为滤波器系数，有 纛( 撑) 至：9 ( x ) 认2 x 一撑) 出，且丕磊2 ( 拜) = l ( 2 1 3 ) g ( n ) 揣( 一1 ) ”一h ( 1 一刀) 双尺度方程的频域形式为 。 烈2 彩) = 办( 彩) 祆国) 痧( 2 彩) = 雪( 翻) 多( 翻) 其中 ( 2 1 4 ) 五( 仞) = 去办( h ) e 删 l * z ：去黼删 二n e z 尺度函数和小波函数还具有下列性质： ( 1 ) i # ( w + 2 m r ) 1 2 誊l z ( 2 ) l h “( w ) 1 2 + l 矗( 彩+ 硝) 1 2 = l ，l 营( 彩) 1 2 + l 蓉( 彩+ 万) 1 2 = l ( 3 ) 反翻) 蚕( 国) + 五( 国+ 硝) 承国+ 彤) = 0 利用这些性质可以证明，对于给定的多尺度分析( e k z ，烈x ”，取 喜( 彩) = g 砌磊( 彩+ 露) 7 ( 2 1 6 ) 桂林理工大学硕士学位论文 则由式( 2 1 2 ) 所确定的函数少o ) 的伸缩平移系- 1 1 2 缈( 2 x - n ) j 庳z 构成r ( 火) 的标准菠交基。 由个给定的多尺度分析可以确定一个小波函数和相应的小波空间溉j 俺z ， 因此，可以将一个函数分解到任一尺度空间以便研究它在该尺度上的性质，也可 以由函数在各个尺度上的信息重构该函数，这两个过程可利箱m a l l a t 算法快速 实现。 2 、m a l l a t 分解与重橡算法 根据多尺度分析，对于任意( 曲r ( r ) ，有 = 岛= t ，蠹毁j 或- ( 2 1 7 ) 上式是厂( x ) 的正交小波分解。在实际中，任何信号都只有有限的细节，因为观 测仪器记录下的信号总是只有有限的分辨率。不妨将最精细的近似空阂记为虼， 假设厂( 曲虼，由于 霉甄+ 暇= 虼+ 磁端= 巧专酩+ + 氍 所以 ( = 乃( x ) + 岛( 功+ 幻一l ( x ) + + 9 1 ( x ) 鼯 ，( 砖= 乃j 纷j 似+ j 或j 缈绉 ，走z ( 2 2 0 ) 珥j = ，k z 式( 2 。1 9 ) 中的第一项五 ) 影( 审在尺度歹下的一种逼近，歹越大逼近的程度裁越 差，而第二项中的蜀( x ) 影( 功的频率在2 - 1 到2 。+ 1 之间的细节成分。式( 2 1 9 ) 对 所有的歹1 ) 成立，也就是说，我们可以得到不丽尺度歹下的逼近式。通常， 我们称 力( x ) = 荟c j , i , 卿，( x )( 2 2 1 ) 为厂o ) 的的尺度，的连续逼近，称其系数为厂o ) 的离散逼近；称 敲( 曲= 磊毒辨毒o ) ( 2 2 2 ) 为厂( x ) 在尺度- 下的连续细节，称其系数为f ( x ) 的离散细节。 壹上述讨论知，要想得到丞数， ，未z k e z ( 2 2 3 ) d j + l ，量= 巳。七烈刀一2 七) ，k z 8 桂林理工大学硕士学位论文 上面两式就是著名的m a l l a t 算法。根据此算法，如果已知双尺度方程中的 滤波器系数，就可由kk 快速计算出各尺度下的逼近和细节。与( 2 2 3 ) 快速 分解公式相对应，存在由b mt 。z 和讧wt 蛇重构b ，。欠。z 的快速算法： c i j = 脒一玉( 毒一2 撵) + 一g ( k - 2 n ) ，素z ( 2 。2 4 ) r e zh e z 3 、二维空间多尺度分析及其算法 设 v ，) 是一个维多尺度分析，其尺度函数为巾，其小波函数为1 i ，则 v ，2 l 是一个二维多尺度分析，其中以2 燃t 圆，它的尺度菡数定义为 烈毛y ) = 认功伊) ( 2 2 5 ) 1 ( 墨力= f p ( x ) c y ( y ) 小波函数为矽2 瓴力嚣沙( x 砌( 力( 2 2 6 ) o ，力= 妒( 功沙o ) 若丞数，( x ，y ) 吆。，则有 ( x ，力：4 ；( 毛力拦巳丸如办， 先( x ，y ) ( 2 2 7 ) 羲，妻2 将( 2 2 7 ) 式两端分别与竹朋愚，晾。，帆，爵：， 一l ，2 3 ) 做内积，则有 f ( x ，y ) = a j ，f ( x ，罗) ；a j r + ! f ( x ，y ) + 珥，+ 。f ( x ，y ) + d ，2 。+ l f ( x ，y ) + d ，3 。+ l f ( x ，y ) ( 2 2 8 ) 其中 ( 硼2 搠酱| + l , , m l , m 2 | + l 期惑 ( 2 2 9 ) 磁+ ，f ( x ，y ) = 呓+ l ，肿。，弛蚝峨嗍，恍，( 占= l ，2 ，3 ) 乞以，两施茹氏一：挑k 锄： 惫 而d 3 i + l 焉，盹尝以觏- 2 嘞q ，南南 吒+ ，一 & 一衲k 五嘞g ， 南 ( 2 3 。) d 妒3 骗恐一受；嘲- 2 孵2 g ； 岛 毛，k 2 设无穷矩阵h r 和也为对成于一维情形时的矩阵h 分别作用于行和列的算子，g r 和g c 是对应于一维时的矩阵g 分别作用于行和列的算子，则( 2 3 0 ) 可写戒 c 3 l n = h r h c c j l 磁越= h , q g ； d ，2 。+ l = q h 。g 。 0 删3 ：g ，q q ( 2 3 1 ) 9 桂林理工大学硕士学位论文 这样，一直进行下去，求得石步的结果 ，瓴力： 似力+ j 2 3 群瓴力 ( 2 3 2 ) j j l + ic = l 其中j 习；+ l ，羡啦。3 3 ) 相应麓矩阵形式为 c ，+ l 鬻h ，h 。c ， d ；+ l = h ，g c c ， d j 2 + l = g ，h 。c _ ，户以z 啊”石o ( 2 3 4 ) d l 嚣g ，g 。c ， 可得二维m a ll a t 重构算法 q ：h ；h * c t + ，+ 日：谚+ 。+ 尉：d 知+ 礤；，j = 以一l ， ( 2 3 5 ) 2 2 第二代小波变换 2 2 。 第二代小波变换提升过程 二维离散小波变换最有效的实现方法之是m a l l a t 算法，通过图像的水平 和垂直方向交替采用低逶和高通滤波实现。这种传统的基于卷积的离散小波变换 计算量大，计算复杂度高，对存储空间的要求高，不利于硬件的实现。提升算法 是一种更快速有效的小波变换实现方法，被誉为第二代小波变换。它不依赖于傅 里叶变换，继承了第一代小波的多分辨率特征，采用原位计算，计算速度快，计 算无需额外的存储开销。d a u b e c h i e s 已经证明，任何离散小波变换具有有限长 的滤波器的滤波变换都可以分解成为一系列简单的提升步骤，所有能够震 m a l l a t 算法实现的小波，都可以用提升算法来实现。 提升算法给出了双正交小波简单 嚣有效的构造方法，使用了基本的多项式插 补来获取信号的高频分量，之后通过“保持源信号的均值和高阶矩不变的有限 条件来获取信号的低频分量。“提升算法的基本思想是，将现有的小波滤波器 分解成基本的构造模块，分步完成小波交换。 基于提升算法的小波变换被称为第二代小波变换。它使我们能够用一种简单 的方法去解释小波的基本理论，丽第一代小波变换都霹找到等效的提升方案。提 升方案把第一代小波变换过程分为以下三个阶段：分解( s p l i t ) 、预测( p r e d i c t ) 、 更新( u p d a t e ) 。提升算法的分解和重构，如图2 - l 所示。 1 0 力谚 仅 做 怍 戌虼 。 娶娶 鸭 力 协 双 x 似 毽 一 j 4 骘 桂林理工大学硕士学位论文 图2 - 1 提升算法的分解和重构 王、分解。将输入信号麓分为2 个较小的子集艮，翔蠢，矗也称为小波子集。 最简单的分解方法是将输入信号s ；根据奇偶性分为2 组，这种分裂所产生的小波 称为懒小波( l a v yw a v e l e t ) ，分解过程表示为f ( s ，) = h 盔。) ，其中f ( s ；) 为分 解过程。 2 、预测。在基于原始数据相关性的基础上，用偶数序列s 洲的观测值p ( ，) 去预测( 或内插) 奇数序列硅圳即将滤波器p 对偶数信号作用以后作为奇信号的 预测值，奇信号的实际值与预测值相减得到残差信号。重复分解和预测过程，经 1 1 步以看，原信号集可用k ，焉，盔；来表示。 3 、更新。为了使原信号的某些全局特性在子集簟，一中继续保持，必须进行更 新。更新的思想是要找个更好的子集s j 。，使得它保持原图的某标题特性 q ( x ) ，即有烈q ) = 烈& ) 。可以利用已经计算的小波子集一。对墨一l 进行更新， 从而使得后者保持特性q ( 曲，即要构造一个算子去更新s 。 从上述可以知道，提升方法可以实现原位计算，即该算法不需要除了前级提 升步骤的输出之外的数据，这样在每个点都可以用新的数据流替换旧的数据。当 重复使震原位提升滤波器对，就获褥了交织的小波变换系数。 2 2 2 提升法理论 如图2 - 2 所示为m a l l a t 算法的z 变换表示。矗( z 和季( z ) 分别代表分解滤波 器艿( 疗) 和季( 砂的传递函数，j l ( z ) 和9 0 ) 分别是综合滤波器联，1 ) 和g ( 功的传递函数， d 纠是原始信号的z 变换。 d ( z 图2 - 2m a l l a t 算法的z 瓷换表示 离散小波变换的快速算法等价于使用有限长滤波器的子带变换。正变换使用 滤波器菇( 低通) 和季( 高通) ，接下来进行二抽取。反变换先进行插值，然后使用 综合滤波器| l i ( 低通) 和g ( 高通) 。原始信号d 可以得到完美重构，当且仅当 桂林理工夫学硕士学位论文 i ，季，矗和g 满足完美重构条件： f 荔 z 一1 ) 磊( z ) + 岔( z 一1 ) g ( z ) = 2 1 i ( 一z 一) 矗( 2 ) + 季( 一z t ) g ( z ) ：o ( 2 3 6 ) 将滤波器写成奇偶分量的求耩形式 f ( z ) = 6 ( z 2 ) + z - 1 只( z 2 ) ，f = 办，g ，艿，季 ( 2 3 7 ) 这里，p 和o 分别是滤波器的偶分量和奇分量，有 e ( 彳2 ) ：丝掣塑，咒( z ：) ：下f ( z ) - f ( - z ) ( 2 3 8 ) e ( z ) = 互七z - k 曩( z ) = 互彳蠢 通过分解和综合滤波器的奇偶分裂，我们构造如下的多项矩阵以z ) 和f ( z ) 尸。，端 乏 耄耋芝3 。，= 乏 耄耋墨妇 c 2 3 9 ， 完美重构条件( 2 3 6 ) 可以重写为如下的矩阵形式p ( z ) 芦( z 一1 ) r = i ，这里，r 代表 p ( z 一1 ) 的转置，是单位矩阵。对于正交小波变换，藏z ) = 域力，营( 力= g ( z ) 翻 芦q ) = 以_ z ) 。 假设p ( z ) 是可逆的，使用克莱姆法则计算它的逆，如下 p ( z - i ) t _ = e - i ( z ) = 瓦磊历j 1 丽 一( z ) l 吃( 彳) _ | ( 2 4 0 ) 假设p ( z ) 的行列式的值为l ，这样不但尸( z ) 可逆，而且 薏( z ) = q 一1 ) ，茏( 力= 嘎( z 一1 ) ，藐( 力= 一h o ( z 一1 ) ，磊( z ) = 恕( z 一1 ) ( 2 4 1 ) 把( 2 4 1 ) 代入( 2 3 7 ) 季( z ) = z - l 晟( 一2 1 ) ，i ( z ) = 一z g ( 一2 1 ) ( 2 4 2 ) 由互补滤波器族积，g 潮每，营；构成的多项式矩阵能够通过提升步骤被分解。采用 矩阵乘积的形式，小波正变换可以通过分解段z ) 和它的对偶矩阵声( 力实现。 p ( z ) p ( z ) 毒气二0 ， k 。，o 像4 3 ， 鬈：z 。) 求_ 。i 。1 常0k 。鬈( z 。) l 盅。且 这里，膨代表提升步骤，s ( z ) 和f ( 力是罗朗级数，k 是非零常数。 1 2 l o 一 _。，。l_。，。l 射n随m随 桂林理工大学硕士学位论文 通过交换加法和乘法和除法，并将正变换的过程逆序，可以得到反小波变换 的提升公式。 心，= 1 竽啦匕1 ，墨一矧 p = 吾l 瑚p z l _ 似。，0 像4 4 ) 用提升法做一层二维小波变换的复杂度为o ( 5 n 2 ) ，而m a l l a t 算法的复杂度 为o ( 8 n 2 ) 。大约一半时闻被节省。我们知道二维快速傅里叶变换的复杂度为 伙n 2l o g ，枘。当矩阵或图像的尺寸中足够大时，小波变换的复杂度低于快速 傅里叶变换。 2 。3 小波母函数的选择 2 3 1 小波母函数选择的原则 并不是所有的小波母瑟数都适合位场数据的处理，我们要考虑到母函数的各 种特性：支撑长度、对称性、正则性和消失距。 其中支撑长度指小波函数在无穷远处的衰减状况：对称性直接影响信号的重 构，如果具有对称性，则在重构算法中，失真就能避免，重构信号就能给出原始 信号的一个很好的逼近；对于正则性，我们又称为光滑性，时间连续的小波母函 数至少是连续的，如票更好一点，是一阶或= 阶连续可微的。而小波消失矩的大 小决定了用小波逼近光滑函数时的收敛率。在实际处理中，不存在既有紧支撑性、 芷交、对称又有缀好的正则性和消失矩的小波母函数。面对不同的数据，应选择 相应的小波母函数，如果进行区域背景研究，可以少考虑消失矩；如果研究局部 场，则消失矩应考虑在内( 李健) 。 重力场的变化较为平缓，选择小波母函数时，倾向于选用振荡较为平缓和光 滑的小波，此外还应有较好的对称性、紧支撑性和较高的消失矩。又由于正交小 波( h a a r 除外) 不是对称的，也不是反对称的，不具有线性相位，会使信号失 真，而双正交小波具有线性或广义线性相位性质，所以，利用小波分析来分解重 磁异常，为不搜信号失真，以采用澉正交小波变换为宣( 粱锦文) 。 根据以上原则，经过对重力异常进行多尺度分析的反复的实验中，我们把 b i o r 4 4 小波用在第一代小波的重力异常分离上；通过提井e d f 3 5 ，把它用在第二 代小波的重力异常的分离上。 2 3 2 用于重力异常多尺度分离中的小波母函数 为了解决对称性和精确信号重构的不相容性，弓l 入了双正交小波，称为对偶 的两个小波分别用于信号的分解和重构。双正交小波解决了线性相位和正交性要 1 3 桂林理工大学硕士学位论文 求的矛盾。 令信号，( r ) ，在分解