（应用数学专业论文）含临界sobolev指标和hardy指标的laplace方程解的存在性及波节性质.pdf

中文摘要 零文讨论了一类其有稳器s 。b 。l 钎襄壬差甜d y 指标鹃禚菡垄方稷豹薅纛交号 解的襻在性问题具体讨论方程如下： 卜舭+ 铲芦寿刮训2 + 棚“们， i 钍琊( ， 萁孛2 + 一惫是s 豳。酗嵌入霹蠢一妒+ ( 嚣黟) 豹癌雾摇数歹( 彩是绘定 的硝数通过讨论，本文获得的主要结果如下： ( i ) 当4 时，方程( 1 ) 有一个非平凡解 ( i i ) 当6 时，对恰肖的正数p ，方程( 1 ) 有一对非平凡解“毒、t i ，且满 足对任意的u o ，q 喜和珏i 都有且仅有自个结点 关键词：雅界& b o k v 朔珏a 越y 捂标；波节瓣 a b s 薯r a c t t l l i sp a p e ri 8c o n c e r n e dw i t ht h ee ) i s t e n c e 粕dn o d 越c h a r a c t e ro ft h en o n t r m 破 8 0 l u t i 0 sf o rt h ef o n o w i n ge q u a t i o n si n v 0 1 v i n gc r i t i c a ls o b o i e va n dh 龃d ye 印o n e n t 8 f 越时妒嗨却p 时热) ，( 1 ) l 姓霹( ) ， w 妇2 4 = 是豁妇础越s 两。l 错唧e 珏f o r 妇e 曲e d 藤n g 群( 袋) q l 2 + ( r ) ，( t ) i s 氆g i v e n 缸l c t i o 8 帆主s 取粥8 0 m e 蝌艇姆t i o n s 。r 芏- k 班拄i 强r 州s o b t a j n e di nt h i 8p a p e ra r ea sf o l l 唧，s ： ( i ) 柚e r e 喇s t san o n t r i v i a ls o l u 七i o no f e q u a t i o n ( 1 ) f o r 4 o 薅，存在充分，l 、黪正羧# o ，筑褥妒t ) l + $ ) ，国 0 - ( 南) ，( 幻是奇丞数。 定义变分泛函 以( ) 一；厶阳阻l 芬出刍厶俨如一厶聊) 峨( 1 。) 其申f ：，”，3 泌，劐阚题( 1 。1 ) 戆磐裁熬泛添( 1 ，2 ) 在辫( 露) 审的睡雾 j # 烹 由文f l o 】中的h 删y 不等式，我们知道当芦 o ，g o 时，函数 脚) = 殍畚 满足方稷 以一嗨+ l 训矿 一仰曩黪 【“( 。) 一o ， 当h 一。时 另一方简，( 1 5 ) 韵所有解都具有阮的形式，并且巩是瓯的达到函数( 见文 溺) 壶貌我销选取恰警韵常羧g o 使褥 厶陬| 2 椿漱刮刚赫 予楚 吼：学：跺娟嘶。) 孥娟吣r ， 慨略一筚。( 1 鼬 邓引斌在文斟中讨论了问题 一u + “m p 。一2 札十，( “k ：瓞， ( 1 。7 ) 【“。o ， 当川一。时， 其中，满足条件) ，( ，2 ) ，( ，3 ) 作者证明了以下结果： 1 囊4 时，方程n 7 ) 至少有一个非平凡解 2 硝士学住论文 撼矗s t 鼍巍+ st 珏壁s s 2 设6 ，且当t o 时，( ，( t ) ) ”o ，则方程( 1 7 ) 掇少有一对变号锵珏妻、u i ， 殿对任意的女u o ) ，u 和”i 都有且仅有个零点 令我稻懑兴趣酌蔻，在方程左孀减去一个h 疆d y 顼肚f 时，酃得到方程 l ，1 ) ，那么对方程( 1 。1 ) ，七露的姆及变号憋的存在挂续沧是褥姣然成立呢? 已知当q 是鼹中的有界区域时，嵌入斛) 一印( n ) 是紧的，其中 口( 2 ，2 枣) 而当n 是噩尊中的无界区域时，相应的问题院n 怒r ，中的有界 噻域鐾重更复杂了嚣炎姿g 2 ，2 4 ) 时，嵌入蠢j ) 一舻( 翁是菲紧静毽 s t r a l l s 8 引理和s t r 瓢u s s 径向解弓l 理( 见文 1 3 】) 像诉我们嵌入墨j ( ) 一弘( 舭) 怒紧的因此在研( r ) 空间中，对一些带次临界s o b 0 1 e v 指标的椭嘲型方程， 人织霹以暹遵标猿戆变分方法来寻求它织戆臻平民解本文著爨透过标疆秘 变分方法找( 1 1 ) 的变号解，酋要问题就是要讨论嵌入研( r ) 一上r ( r ) 的 紧性同题，这也正摄本文要解决的个难点文1 6 ，7 ，8 ，1 5 】讨论了一些带临界 s 曲o l e v 摆撂浆橇瓣型努程舞豹存东往阗题，受文添7 g ，1 5 l 静寤发，本文将通 过运用p l l i o 璐的集中紧性原理( 见文f 1 1 1 ) 和没有( p 鳓条件的山路引理( 见 文【l 】) 来研究( 1 1 ) 的解及变母解问题 现在阐述本文的主要结果； 定珊1 1 假设，( ) 满足条件( ，1 ) ，( ，2 ) ，( ，3 ) ，4 ，且pg o ，口) ，贝q ( 1 1 ) 宥一个j 阡魏解虽满怼五( 铭) 毋珂 定璇l 。2 簸设歹螃满是袈律( ，1 ) ，伤) ，( 釉，苴警t o 葬寸，国) ”o ，若 6 ，肛【o ，豇一4 l ，则对任意的女u o ，方程( 1 。1 ) 露一对径肉的变号解 u 毒、u i ，且u 者、“i 满足下列性质： ( i )u i ( o ) o 钍毒( o ) ， ( 甜) 钍毒和i 有鼠仅有个零点n ，其中o r l r 2 强 4 第二苓嚣平民解的存在性 本节凌翊出鼯弓| 瑾褥密了( 1 1 ) 酌菲乎鼠解韵存在毪潋着蓿无特潮说鞠， 我们总假定p 0 ，助，4 为了得到( 1 ，2 ) 的临界点，我们需要以下几个弓 理 攀l 理2 + l 黧暴e ( 。，丢嚣) ，赠五程) 瀵是( 尹s ) c 条 孛。 镢职 设 晦b lc 球( 划。) 是矗关于c 盼临器序列，即 矗( 吩) 一c ，当j 一。o 时， 鳓) 一o ，程( 磷( 藏) ) + 夺，当j 一时 从藤纛 。 ；厶i v 计+ 蚓2 一p 辞如一刍厶蚓2 如一上。f ( 嘶) 如= c + 0 ( 1 ) ( 。- 1 ) 上。i v 坳j 2 + i 嘶1 2 一肛弄如一厶l 嘶r 积一厶，( 嘶) 螂如= 。( 1 ) ( 2 2 ) 由( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，h 6 l d e r 不等式及淀1 4 得 ( ；一熹) 上。，如c + 。( 玲 绉3 ) 同理可得 扣萨一斋五。| 2 + 蚓2 一p 辞出 ( 赤一刍) 五，鹣) 垮如+ e + 。( 1 ) 2 晚+ 。( 1 ) ( 2 4 ) 由( 2 4 ) 可知 呦b l 在皤假) 中有界从而存在札琊( r ) 及 吩 的子序 列，戴子序剜仍记为 吩) ，使得 琊必在霹孛， 嘶舅堕塑“，在掣( ) 巾，其中2 口 o ，则由( 2 2 0 ) 得品譬又由( 2 1 8 ) ， 砌) = c 一专m c 一嘉 0 使得 ，( ) u e “+ e u 2 一1 ，f ( u ) “2 + 羔u r ，vu o ( 2 2 2 ) 则有 山( u ) = ；上。l v 妤+ i u l 2 一p 静出一去上。m 2 + 如一上，f ( “) 出 捻i v 砰w p 品如一半小1 2 如- ；厶i 砰出 l ( r ”) 一q i 萄( r ”) 取s o 成立。 哪 ) 一譬厶附w 一眷如一箬上。矿如一上。酬峨 由( ，1 ) ，对vu 研曝) ，当一o 。时，有以( t u ) 一一o 。因此当t 充分大时， 五( 哲) ；五( 撼) o 特别鳃，取8 = 如。使褥 以( e ) = 以( t 如) o ， 其中伽是( 2 趣) 中的钍o 设彩是日i ( 歌，) 中联结。列e 的所有漩路的集合，则 有 c 2 j 醇瓣以( ) ；舅以( 。“。) 专蹄- 由弓| 理2 1 我们可知五( 札) 满建( p s ) 。条件，应用山路弓i 理得c 撼五的临界值， 即存在”碑( 驶) 使得如( n ) 一c ，奠( 钍) = o 且珏雾o 。联以“是方程( 1 ，1 ) 瓣 非平凡解碍f 理2 + 2 证完 选取截断函数妒( z ) 帮n 聊( 豫) 使得 | l ， 当| 。| 妒潜， 妒( 茁) = o 妒( 茁) l ，当p l 茁l 2 p 时， io ，当| 2 p 时 令 k ( z ) = 妒( 巩( 霹) 、( 2 2 3 ) 接下来我们蒋诞鞠当4 时，引瑷2 2 的条件得到满足 孳l 瑾2 。3 设揩4 ，羯存奁珥瀑) 妨使褥 ；矍厶( t 撕) o ，使褥五k ) 一 s u p 五0 k ) ，鼹有o a l 如a 2 。，其中a l ，a 2 是不铱赣s 驰正数 8 联士学挂论史 m a s t 嚣r st h e s i s 撼跏渤粥嘲盛掣乙= o o e i t = 十 坦等掌_ 一上。半姐讲。如) 趣7 k f 2 + 出 。 ? 袋“如 ， j o - ( 2 ，2 4 ) 对任意的霹( 删”) ， 上，掣五( 妒”) 如厶泸”( ”) 础一厶l v 卯。2 如。 ( 。2 s ) 厶附一卢臀如= 上，心啦 = 妒( 妒) 如 j 巍 。上。矽2 魄( 龌) 出+ 厶l v 纠2 堙如溉”j 趣 。 = f ，妒2 | 玩| 2 + 如+ f | v 列2 蠼玉 j 豫“ j 州 2 五，| 派| 2 融+ 二。f v 妒| 2 霹妇+ 盖。( 妒2 l 粥派1 2 + 出 j 醒 j 城“j r = 霈+ 厶i v 妒 2 霹如+ q ) ( 2 2 6 ) 其中n ( 妒，s ) 2 上。( 妒2 1 ) i 妖r 如= 一名 肇l 巩尸如+ 五日，( 妒2 1 ) l 巩尸出 盖。i k l 2 + 如。上，妒2 。l 魄1 2 妇 2 二。 殴1 2 + 如+ 盖。( 妒r 1 ) | 玩1 2 4 如 一露+ 多( 妒，) ，( 2 2 7 ) 其母毋( 蛾s ) 。z ，( 妒r 1 ) | 瞻严妇= 一五i 。，| 阮严瓿+ 五l o 使得 上。半妇( 上，吲2 如) 一 ，鳢攫竖坐出心+ 。( 。譬) ) q 冬美f 夏一翻十v 婶2 ， 跞学5 。2 曙+ g 喈如 = 墨警霹q ( 第十。( e 摹) ) + 何等 ， l ， 歉| ) 黟= l ， ，芦 o ，使得o 0 使得f ( t ) e 亡2 s o + 时，有 o 显然，当s 【o ，1 】且 两掌寿喾巩 ( s 1 稿+ s 1 + 器) 竿 2 等 蹿一( 南卜如 孤咩小( 南卜如 产( 南卜如 以誊) 2 + 6 扩 ：魄哮一烛番幽 ：a e i 学 _ + o 。，当e _ 0 + 时 步骤4 ：现证对充分小的，当4 时，矗( 如k ) 斋s 孝由( 2 3 0 ) 知只需 罂一2 铲 f ( 屯k ) d = + o 。 ( 2 3 2 ) _ 0 + j 岛。 取a = a 1 g 由( ，2 ) 得 岛e 督厶。即s k ) 如 l i me e 0 + 等厶f ( 开 盈孚 口( g + 蚓燕) 半 = 姆s 一等坩弘( 鬲斋 1 如 1 、i ，一d r 毋咩吖一f ( 南卜幽 2 黔咩“出帮f ( 南卜幽 其中u 是r 空间中单位球的面积 若l ，由( 2 3 1 ) 可得( 2 3 2 ) 成立 若 1 ，有 一哮篇f ( 南卜如 1 2 ，f一础 剐【礤存杀丽矿卜督) - 、1 _ 们s 等 ( ( 拈一等) 1 鹃+ ( 旷带) 1 + 为) t 魄一帮f 忙学) g e 一等( q 忙学) 2 + 伤忙学) 2 1 m ，当4 时， 其中p ( ，1 ) ，a ，a ，q ，m 是正常数由此可得当一o + 时，磊有界，同样 由( 2 3 1 ) 可得( 2 3 2 ) 成立对充分小的，取撕= k 综上所述，我们可得引理 至此由引理2 2 和引理2 3 可得定理1 1 成立 注2 4 在方程( 1 1 ) 中，把区域r 换为b ，其中 = 。r | i 叫 r + o o ) ， 则定理1 1 的结论仍然成立 从而对方程 f 越蚪”喃叫训2 。2 时m h 嘞， ( 2 3 3 ) 【t ( 。) = o ，。锄z ， 7 我们有 推论2 5 假设，( t ) 满足条件( ，1 ) ，( ，2 ) ，( ，3 ) ，4 ，且p 0 ，芦) ，则( 2 3 3 ) 有一个非平凡解u ，且满足厶( “) 啦 1 3 第三节变号解的存在性 本节讨论了方程( 1 1 ) 的变号解的存在性问题首先定义 m ( n ) = 札辟( q ) ，lu o ，u l 甜l = o ， 上i v 砰+ 川2 一p 品如一上l “r 如一上，( u ) 牡如= 。) ， ( s - ) 其中n 可取下面三种区域中的任意一种： z r il z l r ) ， z r io 冗l i z l o ) ( 3 2 ) 引理3 1 假定n 为( 3 2 ) 中的任意一种区域，6 2 。美n ) ( u ) ，那么 弪。蕊嘞嬲以( “) 。 特别的，如果n = 上k ( o o 时，由( ，2 ) ，( ，3 ) 得 ：一( 2 一2 ) m 。- 3 一f 盟盟尝丛业如 o j n 一 则由单调性可知 ( t ) 在区间( o ，+ o 。) 上至多有一个零点，从而型垮掣在区间 1 4 ( 0 ，十o 。) 上至多有一个零点叉由u m ( n ) 知 掣b 莰 所以r = 1 进丽有 强。篇啪以( h ) = 。描n ) 嚣矗( 。“) 最后，如果n = b h ，由推论2 。5 知存在t m ( q ) 使得 矗( 社) o ，在q 中 证明 由引理2 2 知，对任意的t 研( 耐7 ) ，存在区域uc 珥( r ) 使 得矗( “) l 。a 矿p o ，五( o ) = o 并且存在e = 执( e 研( n ) ，e 岳【厂) ，使得 厶( e ) p 又由引理3 1 知对任意的让m ( q ) ，可选取珥( n ) 中联结。与e 的 道路r 。使得以( u ) = s u p 山( ”) 令9 是珥( n ) 中联结。到e 的道路的集合，则 6 2 。蔷n ) 山( “) 。蔷n ) 麓矗( ”) 0 西翼 山( ”) 2 。+ - ( 3 4 ) u m ( n ) u e m ( n ) 子。 f 9 7r7 要想证明e 可由( 3 3 ) 的某些解达到，我们将分为下面两种情形证明： 情形1 ：q = b 冠( 0 兄+ o 。) 由( 3 4 ) 和引理3 1 得c + 6 寺s 葶又由引理2 1 知以( u ) 满足( p s ) 。 条件从而由山路引理知c + 是临界值，则存在训研( n ) 使得九) = c + ，( 以( ”) ) 7 = 0 于是 弛。蕊n 、山( u ) 五( 叫) = 。+ ( 3 5 ) 由( 3 4 ) ，( 3 5 ) 得6 是临界值，即以) = e ，( 山) ) 7 = o 从而叫是( 3 3 ) 的解 情形2 ：n = 扛豫lo 冗1 o ) ， 由引理3 2 和山路引理易知以( ) 满足( p s ) 条件，并且矿是山( u ) 的临界 1 6 值，剃存在树瑶( q ) 使得矗( 甜) = 矿，( 矗( 甜) ) ，= o 予是 扛。美稻五( 姒) 南( 蚶) = 矿 ( 3 6 ) 由( 3 4 ) ，( 3 6 ) 知e 可由( 3 3 ) 的某些解螂达到 下西我识程裙静达到函数船麓不变每的锻设d 的达期函数树在n 中是燮 号的，显然螂+ ，t 7 一肘( 渤，其中”+ ，甜一分黑q 代袭钮的正部和负部因此霹 得 矗洳+ ) o 萼l 疆3 3 证完 f 西我 秘将要诞羁( 1 1 ) 静变号薜豹存在健定义 嵫= 牡母l 存在r l ，您，氇，o r l r 2 r 彝+ l = o 。， 使得乱( n ) = o ，”( ) 拟。( n 。) ，( 一1 ) ( 。一1 ) u ) o ，# = 1 ，2 ，+ 1 ) ， 其孛 ， t ( 1 ) ；“，。科= 茹r f n ) ， 。g 陋 。( 1 ) ；p 蚝& ， io ，。掣旆t - 定义薅3 。蒜。) 矗( ) - 接下来我 j 褥哭麓鑫譬，静情形进簿谤论，函为麓 a 纭，可用完全相同的方法进行讨论为了方便起见，以后本文将用a 蠡，魄 取代m 亨，c + 首先来看文【8 】中的引理3 4 警i 瑾3 4 假定挠) ，( ，2 ) ，俑) 成立，且当o 时，( ，( e ) ) ”o ，刚对任意的 茹l ，卫2 噼，：每 f 协l + z 2 ) f 扛1 ) + f ( 茁2 ) 一f f 7 扛1 ) z 2 i l f ( 茹2 净l i ， 1 7 0 1 + z 2 ) 2 z i + + 茁l + + 2 + 茁i + 一1 。2 ，v 茁1 o ，锄o ， 其中f ( 。) = ，( t ) d t 引理3 5假定定理1 2 的所有条件都满足，且可达，则有 蝴 o ，幻c 0 ( r 1 ) 使得9 l f ( s ) ( ( 1 一 s ) u 。一s k ) 1 = o 对所有的s o ，1 ，取充分逼近( s ) 的( s ) ，且( s ) o ， ( ( s ) ( 1 一s ) 牡。一( s ) s k ) 出 烈岛趵净然而丽e 而矿羽- 国 由( 3 8 ) 一( 3 1 0 ) 得 c 盯c 霉，十，一，jc c 。，一，= 薹：i 箸：；i 善；： c 矿c 茹，+ ，+ c 盯c 。，一，一。= 兰： ：；：善；： 由m i r a n 池定理( 见文【1 2 】) 可知，存在牙臼使得 矗才尹) 一曩玎棠) 一) 一o = 矗留( 甸+ ) + 矗移( 彩一) 一2 ， 从而有 矗口露) + ) = 矗( 萨( 翥) 一) = l 。( 3 。1 1 ) 记州+ = ( 碧) ；口“o + p + k ，嘉中n + = 凫( j ) 故l i ) ，p + = 一詹( ) 蕊茸= p ，易0 。 下证扩在( 识r 1 ) 中强有一个零点f 事实上，由文【9 】中的定理1 ，当 o r ，；+ ：= - ，pgpq 黼溉黼 = 2 时，岛一岛学 o ，于是 o q ( 8 2 + 叠2 ) 一岛| 8 | 2 + | 筘1 2 4 ) ， 由此我们缀容笏得到芦是蠢器的 对f ( “札。十卢k ) 和( a 批o + 芦k ) 2 应用引理3 4 ，又由( ，1 ) 可得 山( 晓蜘十k ) 譬上，i v 铷j 2 + i 蜘1 2 如一譬上。l 钍。严缸一上。f ( a 伽) 如 + 譬厶| v 钟+ 罔2 玉一譬厶阳2 如一上，娜k ) 如 + f| v ( a 骷o ) v ( k ) l + 。t 幻p k 晒瞻 j b 2 。 + l o u o l 2 。1 i 卢k i + i d i l 卢k 1 2 。1 妇 0 8 2 。 + 7 | ，( n 蜘) | 筘k l + ，( 乎均| 嵇| 施 0 b t 。 ， 五( a 啦) + 而( 黟k + f( 8 珏o ) l k ) | + l 嘲声k l 妇 + i 口咖1 2 “i p k i + i “咖i | p k l 2 + 以如 j 此n + i b 6 蛳十g ( d ) ( n 如) 2 + 一1 j ( p k ) l 如 j 境口1 + 厶。陋磙w 鳓蟛。1 】) | 敷 厶( a 咖) + 厶( k ) + ff o p | | “o l k 如+ 皿 f o 蜘p k i 出 j b oj b 2 口 + 鲍| d 咖1 2 一1 1 p k l 如+ 恐 1 n “o k 2 。1 如 由( 3 、1 3 ) ，( 3 1 4 ) ，( 2 3 0 ) 及8 ，卢的有界性可彳馨 矗( 洲。+ 筘琏) + 而( 鞋+ 锯+ 斋s 譬+ 。留2 ) + 。墨警) 一厶f 涵珏) 如 + j 乙p 磙，( 岛，) 8 众a “o 护( 岛，) 十扁| l 口撕i l 工* ( 岛，) 1 1 序k 忆t ( 岛，) 十凰忪k 嵫墨。( 执。) 如忆m ( ) + 盛| | a 蜘l 萎高。 l 嫩拯渤 铅+ 喜毋+ 。g 主l 苗堇) + o ( 誓) + 。和警) + 。麓警) 一上。邢s k ) 妇 如果v 6 芦2 ( 即p 豇一4 ) ，由( 2 3 2 ) w 得当充分，j 、时 。p 等) + d + 。( 学) + d p 警) 一f ( 磊磙净o ， 子怒 义由( 3 1 2 ) 得 以( 。+ p k ) + 矗( ) + 寺s 譬 强+ 斋鲭 ( 3 1 6 ) 孳l 遴3 。5 疆嚣， 弓i 理3 6 假定定壤1 2 的条件全部满足，则是可遮的，其中= o ，1 ，2 ， 诳明我们将证明对每一个七都存在柏墩的趾 缸嘤) 使樗厶( n * ) = ， 莠盈嚣是( 1 1 ) 的鳃 南弓| 理3 暑舞当：g 霹雩l 理3 。6 显然裁变。设是l ， 夏设弓| 疆3 奄在女一i 时成立，选取 靠( r ) 中的极小化序列 钍j b l ，使得 j i m 以( 嘶) = ，帆( 瓞 ) ，j = 1 ，2 ， 其中吻有个零点哼，喀，喀，。 t 崞 吩 。设 叠；= 髫黧| 弓一1 | 嚣| 唾 ，= 孑：；嚣： 选取愉辫的子列使得吩收敛，设嚣袭哼2 一，照然o 1 r 2 一+ o o 下瓣爨瓤将分鸯三步寒话骥弓| 瑾麴结论， 步骤l ： o 使得 l 以( 哦) 一工i e ，i 五( 钍m ) 一i m 时 下面定义矗( 。) m 一1 ( 政) 如下 m ，仨茗三 q ；= 扣i 嵋1 h 哼 ， 以( 砬) = 山( ) 一以( 札1 ) + e 一( l + ) = c k 一工 m 时 这与一1 5 。 枣i ( r 。) 以( u ) 矛盾因此一r 卜1 ，= 1 ，2 ，2 五( 嘶) = ；上。i v 吻1 2 + l 呦1 2 一肛雠如一去上。l q | 2 i 出一厶f ( 嘶) 如 = ( ；一去) 上。i 嘶f 如+ ；上。，( 呦) 嘶出一上，f ( 坳) 如 ( ；一去) 厶吲2 + 如+ ( ；一南) 上。地舭 ( ；一击) ( 上。h f 出+ 上。地) 嘶如) = ( ；一去) 上。| v 计柏卜p 雠如 = ( i 一焘) 琊， 。f 型丝，在研( r ) 中， u f 里墼“，在耶( r n ) 中，当2 g 2 + 时 对所有的l = 1 ，2 ，七十1 ，设蒯= 如r 。vi 一一1 o 使得o 弓m 。- 由此 可选取恰当的子列( 仍记为 砖) ) 使得且mt ；= ，由( 3 2 2 ) ( 3 2 6 ) 可得 。t + 。 骢厶i v 嵋( g ) 1 2 却22 骢厶l _ v 吗( z ) 1 2 如， ( 3 2 8 ) 熙上。学咖= 熙厶警出， 暇z 。， 拦怒五1 嘭( ) 1 2 叻2 拦恐二! i 嵋( 卫) 1 2 如， ( 3 3 0 ) 岩恐工。l 谚( ) 1 2 。曲5 2 骢上：i 吗( z ) 1 2 + 如 ( 3 3 1 ) 由s t r a u 8 8 引理及当g 岳甜时，吗( ) = o 可得 粤姿厶。，( 弓吗) ( 弓畸) 咖2 厶。，( 。4 。) ( 。w ) 如 ( 3 3 2 ) 把( 3 2 8 ) 一( 3 3 2 ) 代入g ( 圬) = o ，则有 慧( n 如删州1 2 _ p 臀如 州。1 厶喝1 2 扣厶邢鼢q 如) - o - ( 3 s s ) 设 厶i q r 如一”。，当j o 。时， 由s t r a u s s 引理及嘭m ( 嘭) ，则( 3 3 3 ) 可变为 ( 1 一( ) 2 。2 ) + ，( u ) d 嚣一，( u ) ( ) 一1 d = o ( 3 3 4 ) 设 ( s ) = ( 1 一s 2 一2 ) + ，( u ) 札d z 一，( 8 u ) u s 一1 如 由( ，2 ) 易证 ，( s ) o 因此 ( s ) 在( o ，+ o 。) 中只有一个零点由( 33 4 ) 可得 = l ，则( 3 2 7 ) 成立又由( 3 2 7 ) 一( 3 3 2 ) 得 2 骢以( 弓吗( ”) ) 2 磐赍厶( 吗( z ) ) ( 3 3 5 ) 另一方面，山( 蔷) = 。啬。1 矗( u ) ，弓吗m ( 甜) ，因而有 山( 也) 以( t ；“；( ) ) ( 3 3 6 ) 自i 3 3 5 ) ，( 3 3 6 ) 褥 熙如( 磅( 嚣) ) 熙矗( 舻) ，t = 1 ，2 ，一，+ 1 因此 七+ 1知+ 1 堍2 慧五锄) 2 熙若& 瞄若五嗲) 2 墨鲰j - 叉由的定义及尥( 敷) ，知嚷= 矗( 珏女) ，即镪可达+ 弓 理3 6 证完 定理1 2 的证明：由引理3 6 知存在钍帆( 艘) 是的达到函数设u k 豹耘令零淼努凳炎： r l ，仡，他，o r l r 2 o ，定义 f 瓤( z ) ，i z i n 十最 ”2 “。( n 一$ + 生二二奠j 二盟! 缝垒毛享l 剑，心一6 茹l q + 基 容易验证存在f ( n j ，n + 6 ) 使得( f ) 一o 由此我们选取p ，d 使得 五种附l v ( 蒯2 一芦臀刊钟妇一t 翻，饼如。 如。瞅甜一弘豁刊蚓2 如一如。嘲觥+ 敷。 硕士学住论文 m a s t e r st h e s l s 显然当6 一o 时，p 一1 ，口一1 定义 l 刀( z ) ，n 一1 ， u ( z ) = 盯g ( z ) ，f 川 o 当r o 时，设危( r ) = 口( r ) r 由 t ，7 ( 亡) ( 1 + j ) ，( t ) ， 可得 协) 赤弦一2 ) r 2 。1 m + 6 肿1 7 2 ) 】 o ， 从而 ( 小州邓恍 应用泰勒展式得 z 。 ( ) 班= z “ ( t ) 疵+ 危( “) ( ”一u ) + 九7 ( ) ( ”一u ) 2 o ) d t + _ i l ( u ) ( 一u ) ，f ( u ，勘) 从而有 矗( ”) = 上 石 二 v 印州一卢品如一上。( 小驰) 出 v 印州一番如一上。( 小酽，班) 如 v 卯州一番如一汜( 岫) 如 独v 印制一p 静一；厶( z “坤肌m 纵扎国) 出 = 扎( m ，一序蚺) 如 + 扎i v 印w p 品。m ；尬 之丘。( 啪一小 酽，出) 出 + 扎附卅一p 弄刈2 吣2 ) 出 ：；厶删2 制2 叫荠护五。( 小m ) 如 + 翘附坩一肛本。 ( 锄z 刮诮+ ；i 矿乙水，咄删一诉叫2 m 趵如 厶b 。附怕1 2 - 诉o m 国如i j 梃吲 i + l i “ j = 山( 钍) + 。2 ， 其中 。：矿f 。胁 2 岫1 2 一肛斧一2 ( 谴) 如 j n 一1 吲 f l 。l l 吼1 2 + m 2 一p 静。砌1 ) 托 j f r + 1 1 。l 如果我们能证明对充分小的d ，有u o 成立，则由上式知矗( ) 以( 札k ) 2 而这与的定义矛盾因此我们只需证明u o 即可 下面证明u 0 事实上，。 u ：p 2 。；m 1 2 帕1 2 一p 斧一9 2 ； ，n l 旧i n 一5 1 山 + 矿卜，酬2 + 钟一p 静一沪h 2 ) 如 j n 一6 l 斟 子 1 4 i l 。v 卯舶卜嚣彳嘲) 出 j f l z i n + 占 l 巾i + a 。 吼| 2 + 引2 一p 静一办( jr i + d k l 7 f + 1 1 4 1 = 矿叫1 + p 2 叫2 + 盯2 w 3 + 盯2 u 4 ， 炉 。；m 岫卜p 品彳惝如 j n 一1 n d 1 4 = l 酬i 乳舻引p 叫斧棚m 曲出 jr f 一1 n d l “1 = 上蚓卅。( 以蚶“* 一p 静叫u 枷如+ 丘，。( 跏枷5 = “( 屏) d s j = n d 同理可证 一五| = n + 。嘣) d s 由g ( t ) 是一个奇函数，则 ( t 2 ) = 9 ( t ) 肛0 ，进而有 u 。= f 一，嘞h 川2 一p 品o h ( ) 如 jr j j 陋i fl 正l 。 i v 可1 2 + 川2 如 j n d f 同理可证 “扭l v 口1 2 + i 可1 2 d 茹 j f 陋i ”f + d 于是 u p 2 仳靶( a ，让鬼) d s + p 2 i v 掣1 2 + b 1 2 如 j k i = n 一6j n 一6 陋i f + 矿l v f l 2 + i 引2 d 。一沪 t ( 8 r t | 女) d s j f k l n + d，扣l = n + d 五h 一。州露u 彬s 一五阿u e 协诮d s + z 一矧水时。l v 卵+ 川2 如 + ( p 2 一1 ) u ( 屏 k ) d s 一( 口2 一1 ) u k ( 屏t k ) 如 j b i - n 一6 jh = n + 6 + ( 1 p 2 1 i + l 口2 1 i ) i v y l 2 + i 1 2 d 嚣 ( 3 3 8 ) 另一方面，由泰勒展式得 ( n 一= 一6 辞“女( r l o ) + o ( 6 2 ) ， 七( r l + 巧) = j 辞七( n + o ) + d ( j 2 ) ， 讳“( r f j ) = 露札( r j 一0 ) + o ( d ) ， 屏“( r l + 6 ) = 屏”( r f + o ) + o ( 6 ) ( 3 3 9 ) 由上式可得 “( r ! 一巧) ( 鼠p ! 一占) ) d s = ( 一占( 岛札盘( n o ) ) 2 + o ( 占2 ) 】叫( n 一占) 一1 ，( 3 4 0 ) 陋l = n d 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 。u 膏( r f + 占) ( 屏u 七( r f + 6 ) ) d s = p ( 辞“七( r l + o ) ) 2 + d ( 6 2 ) 】( n + 占) 一1 ，( 3 4 1 ) j 陆i = n + d 。 。 其中t 咐是豫空间中的单位球的面积由( z ) 在n 一6 n + 6 时的定 义可得 上埘h 2 如_ d ( 毋 ( 3 4 2 ) | v 1 2 如= l 屏目1 2 如 jr f d l 。l 九+ 6 j n d l z l o 可得对充分小的6 ，有u o 成立因此( 3 3 7 ) 成立取仳毒= u k ，“i = 一u k 参考文献 【1 】h b r e z i s ，l n i r e n b e r g ，p 0 8 i t i v es o l u t i 0 咀so fn 0 i l l i n e 盯e l l i p t i ce q u a t i o n 8i n v o l v i n gc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t 8 ，m m ，吼他却以讹执3 6 ( 1 9 8 3 ) ，4 3 7 _ 4 7 7 【2 h b r e z i s ，e l i e b ，ar e l a t i o nb e t w e e np o i n t w i s e n v e r g e n c eo ff u n c t i o na n d c o v e r g e n c eo ff u n c t i o 蹦，胁a m e r 孙地s d c 8 8 ( 1 9 8 3 ) ，4 8 昏4 9 0 f 3 】d m c a 0 ，s j p e n 蜀ag l o b a lc o m p a c 恤e s sr e s u l tf o rs i n g i l l a re l h p t i cp r o b l e m 8 i n v o l v i n gc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t ，p 僦a m e r i m n 矾肋c 1 3 1 ( 2 0 0 3 ) ，1 8 5 7 - 1 8 6 6 【4 】d m c a 0 ，x p z h u ，o nt h e 嘧t e n c ea n dn o d a lc h 时a c t e ro f8 0 l u t i o n 8o f s e m i l i n e a re m p t i ce q u a t i o n 8 ，a c t n m i 琥s c i ，8 ( 1 9 8 8 ) ，3 4 5 - 3 5 9 【5 】f c a t 咖a ，z q w a i l g ，0 nt h ec 赶a r d l i k 0 h m n i r 趿b e r gi n e q u 8 l i t i e s ：s h a r p c o l l s t a 】t s ，e d s t e n c e ( a n dn o n e ) c i s t e n c e ) ，a n ds y 蛐e t r yo fe 吼e r n a lf i l n c t i o 璐， c 0 m m j 僧a p p f e 肘i 砘5 3 ( 2 0 0 0 ) ，l 一3 0 【6 】p d a r b e k ，y x h u a l l g ，m u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v e8 0 l u t i o n 8f o rs o m eq u a s i l i n 咖 e m p t i ce q u a t i o ni nr w i t hc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t ，d i 加代n 缸ze 弘n t f d n s 1 4 0 ( 1 9 9 7 ) ，1 0 6 - 1 3 2 【7 ly b d e n 舀z hg u o ，g s w 抽g ，d a l8 0 l u t i 0 璐f o rp l 印l a c ee q u a t i o n 8 w i t hc r i t i c a lg r o 毗h ，j v b 竹矗n e n ra 竹n l s s 妇5 4 ( 2 0 0 3 ) ，1 1 2 1 1 1 5 1 【8 y b d e n t h ee x i s t 印c ea n dn o d a l e a re l l i p t i ce q u a t i o ni n v 0 1 v i n gc r i t i c a l ( 1 9 8 9 ) 4 ，3 8 5 4 0 2 c h a r a c t e ro fs o l u t i o n 8i nr f o rs e m i l i n s o b o l e ve x