（控制理论与控制工程专业论文）非线性系统的滤波融合算法研究.pdf

d i a n z iu n i v e r s i t yt e r洲伽帅 | | | | 舢删i | f l | ly 19 0 9 0 9 4r e s e a r c ho nf i l t e r i n ga n df u s i o na l g o r i t h m sf o rn o n - l i n e a rt a r g e tt r a c k i n gs y s t e mc a n d i d a t e ：l iw e n b i ns u p e r v i s o r ：p r o f w e nc h e n g l i nm a r c h ，2 0 1 1，独立进行研任何其他个人献的个人和集本人完全了解杭州电子科技大学关于保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属杭州电子科技大学。本人保证毕业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为杭州电子科技大学。学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密论文在解密后遵守此规定)论文作者签名：毒互爱武日期：z oj 年弓月z 孑日指导教师签名：三孕戋牝日期：加1 1年弓月五艿日l。论文标跟踪系统往往表现出以往不些特定系统的滤波方法尚不完的非线性滤波方法具有重要的理论意义和实际应用前景。现代战争日趋复杂，各种面向应用背景的多传感器系统大量出现，非线性模型往往能够更准确地描述这些实际系统。因此，本文将针对非线性系统，给出基于扩展信息滤波器( e x t e n d e di n f o r m a t i o nf i l t e r , e i f ) 的三种多传感器融合算法，并通过仿真实验比较了各算法的性能差异。本文开展了如下工作：( 1 ) 给出了新的u k f s t f c n 滤波算法。首先，考虑过程噪声和量测噪声相关情况下的系统，给出了可应用与该系统下的u k f c n 滤波算法。其次，将渐消因子引入我们提出的u k f c n 算法，通过在线调整滤波增益阵增强了u k f c n滤波算法应对模型不准和状态突变的能力，给出了可应用与噪声相关系统下的u k f s t f c n 算法。最后，通过纯方位角目标跟踪系统仿真实验验证了新算法的有效性。( 2 ) 给出了新的s c k f s t f c n 滤波算法。该算法优化了u k f 滤波算法的采样策略，提高了u k f 算法应对高维状态的能力和估计精度：并且，通过引入q 尼分解进一步提高了算法的滤波稳定性。同样，我们通过纯方位目标跟踪系统仿真实验验证了新算法的有效性。( 3 ) 针对非线性系统，给出基于扩展信息滤波器( e x t e n d e di n f o r m a t i o nf i l t e r ,e i f ) 的三种多传感器融合算法，通过仿真实验比较了融合算法的功能等价性，并对三种算法的特点进行了分析介绍。关键词：非线性滤波；目标跟踪；噪声相关；状态突变；多传感器融合s a m p l i n gs t r a t e g yo ft h eu k fa l g o r i t h ma n de n h a n c e st h ee s t i m a t e da c c u r a c ya n dt h ea b i l i t yt oc o p ew i t ht h es y s t e mw i t hh i g hd i m e n s i o n a ls t a t e s i m i l a r l y , s e v e r a ls i m u l a t i o ne x a m p l e s 、聃t l lb e a r i n g s - o n l yt r a c k i n ga r ei l l u s t r a t e dt ov e n f yt h ee f f i c i e n c yo f t h ep r o p o s e da l g o r i t h m s t h i r d , w ep r o p o s et h r e ek i n d so fm u l t i - s e n s o rf u s i o na l g o r i t h m sb a s e do ne x t e n d e dk a l m a nf i l t e r ( e i f ) a n dc o m p a r et h ep e r f o r m a n c eb e t w e e nt h ea l g o r i t h m sb ys i m u l a t i o n k e y w o r d s ：n o n l i n e a rf i l t e r ；, t a r g e tt r a c k i n g ；c o r r e l a t e dn o i s e s ；t a r g e tm u t a t i o n ；m u l t i s c h s o rf u s i o nn杭州电子科技大学硕士学位论文目录摘j 要ia b s t r a c t n第l 章绪论l1 1 研究背景及意义11 2 非线性滤波研究现状介绍21 3 多传感器估计融合简述41 4 本文主要研究内容介绍61 5 本论文结构6第2 章常见非线性滤波方法及性能分析82 1 扩展卡尔曼滤波82 1 1 扩展卡尔曼滤波的基本原理82 1 2 扩展卡尔曼滤波的基本算法82 2 强跟踪滤波92 2 1 强跟踪滤波的基本原理92 2 2 强跟踪滤波的基本算法1o2 3 无迹卡尔曼滤波l l2 3 1 无迹卡尔曼滤波方法的基本原理1 l2 3 2 无迹卡尔曼滤波方法的基本算法1 22 4 算法分析1 32 5 本章小节l5第3 章非线性噪声相关系统的无迹强跟踪滤波1 73 1 引言173 2 系统描述1 73 3 问题描述l83 4 非线性相关噪声系统下的无迹强跟踪卡尔曼滤波1 83 4 1 相关噪声系统下的无迹卡尔曼滤波。1 83 4 2 相关噪声系统下的强跟踪滤波2 03 4 3 相关噪声系统下的无迹强跟踪滤波2 l3 5 仿真实验2 23 5 1 纯方位系统2 21 1 i杭州电子科技大学硕士学位论文3 5 2 跟踪模型建立2 23 5 3 仿真例子2 33 6 本章小结2 5第4 章相关噪声条件下自适应平方根求容积滤波算法研究2 74 1 引言2 74 2 系统描述2 84 3 平方根求容积法卡尔曼滤波2 84 3 1 求容积法卡尔曼滤波( c r y ) 2 84 3 2 平方根求容积法卡尔曼滤波3 04 4 相关噪声条件下的自适应平方根求容积法滤波3 24 4 1 相关噪声条件下的平方根求容积法滤波3 24 4 2 相关噪声条件下的自适应平方根求容积法滤波3 44 5 仿真实验3 54 5 1 跟踪模型建立3 54 5 2 仿真例子3 54 6 本章小节3 8第5 章非线性多传感器融合算法研究4 05 1 引言4 05 2 问题描述4 05 2 1 系统描述4 05 2 2 问题描述4 15 3 扩展卡尔曼滤波的信息形式( e i f ) 。4 15 4 非线性多传感器融合算法4 35 4 1 集中式扩维融合算法4 35 4 - 2 测量值加权融合算法4 35 4 3 顺序滤波融合算法4 45 5 仿真验证4 55 5 1 跟踪模型。4 55 5 2 仿真例子4 55 6 简要分析4 55 7 本章小节4 8第6 章总结与展望4 96 1 论文工作总结4 96 2 论文工作展望4 9i v杭州电子科技大学硕士学位论文致谢5 1参考文献5 2附录5 6v杭州电子科技大学硕士学位论文第1 章绪论1 1 研究背景及意义目标跟踪问题可以追溯到二战前夕，即1 9 3 7 年出现第一部跟踪雷达站s c r - 2 8 的时候。目前，目标跟踪技术已成为当今国际上十分活跃的热门研究领域之一。目标跟踪系统在国防和民用领域都具有总要的应用价值。比如在导弹防御系统( b m d s ) 、航海航空导航、交通管制等领域，就必须对目标的状态( 位置、速度、加速度等) 进行估计和预测，简而言之就是要对目标进行跟踪。从理论上来看，目标跟踪问题在本质上是一个滤波问题，其目的是在获得目标量测的前提下估计目标的准确位置。在目标跟踪系统中，卡尔曼滤波算法是重要的滤波算法。当状态和观测噪声均为零均值高斯白噪声时，卡尔曼滤波是无偏最小方差估计器。然而，在实际系统中，系统的状态方程和观测方程通常是非线性的。因此，非线性滤波是目标跟踪的理论基础，其在噪声抑制和保留状态细节方面的性能是线性滤波所不及的。非线性滤波就是针对非线性系统的状态估计。非线性系统是生活中广泛应用的系统，在实际生活中，舰船导航、卫星轨道姿态估计、车辆违章测速或雷达探测等系统都属于非线性系统。目前，科研人员面临的重要挑战是找到有效的滤波方法，从序贯量测中在线、实时地估计和预测出动态系统状态和误差的统计量。广义上来讲，贝叶斯方法可以为一般非线性滤波的方法提供递归统一描述。递归贝叶斯估计主要是通过传感器得到的量测值求得非线性状态向量的概率密度函数，即系统状态估计完整描述的后验概率密度函数。线性系统下的卡尔曼滤波是针对线性系统的最优的闭合解。但是，在非线性系统情况下，由于需要计算无穷维积分，因此，通常无法获得非线性系统下的精确的最优的解。为此，人们提出了多种近似的非线性滤波方法。这些近似非线性滤波可以归为3 类：解析近似( 函数近似) 的方法，其典型代表是扩展卡尔曼滤波( e k f ) ；确定性采样方法，其典型代表是无迹卡尔曼滤波( i j l 汀) ；基于仿真的滤波方法。在这三类非线性滤波方法中，扩展卡尔曼滤波( e k f ) 获得了最广泛的应用。e k f 通过对非线性模型进行基于t a y l o r 级数展开线性化，将非线性系统转化为线性系统，进而套用线性系统下的卡尔曼滤波算法。e k f 虽然简单易于实现，但是在线性化过程中，舍去了非线性系统的高阶项，从而引入了模型误差，往往不能获得理想的估计想过，甚至可能导致滤波发散，另外，e k f 线性化时必须计算非线性模型的雅阁比矩阵，而在实际系统中，某些非线性模型的雅阁比矩阵较难求解。因杭州电子科技大学硕士学位论文此，寻找更加有效的滤波算法和方法，来解决非线性动态系统的滤波问题成为国内外很多科研人员研究的一个热点。如今，随着非线性滤波应用范围的扩展，实际目标跟踪系统往往表现出不同的特征，如噪声相关性、状态突变等，针对这些特定系统的非线性滤波方法尚不完善。本文致力于研究状态噪声和观测噪声相关条件下的具有应对状态突变能力的非线性滤波方法，新方法扩展了非线性滤波的应用范围，在理论和应用上都有广泛的前景。随着计算机技术的发展，人们对于系统状态估计的要求越来越高，单靠一个传感器无法消除自身累积误差带来的影响，同时，估计效果和鲁棒性不佳。多传感器融合能产生比系统中任一单传感器更准确，更有效的状态估计。多传感器融合即利用多个传感器的测量信息，把多个相同类型或不同类型的传感器所提供的局部观测加以综合，利用信息互补，进行融合滤波处理，形成统一的目标状态估计，以提高估计的准确性。随着现代战争日趋复杂，各种面向应用背景的多传感器系统大量出现，非线性模型往往能够更准确地描述实际系统。因此，本文还将针对非线性系统，给出基于扩展信息滤波器( e x t e n d e di n f o r m a t i o nf i l t e r , e i f ) 的三种多传感器融合算法，并通过仿真实验比较了各算法的性能差异。1 2 非线性滤波研究现状介绍1 9 6 0 年，卡尔曼提出了卡尔曼滤波方澍，标志着现代滤波理论的建立。卡尔曼滤波方法建立在状态空间基础上，在时域采用递推形式进行估计，易于在计算机上实现。卡尔曼滤波方法是贝叶斯方法在线性、高斯条件下的一种特殊形式，它给出了系统状态的无偏、最小方差估计。但是，实际系统通常是非线性的，同时可能伴随非高斯。线性、高斯只是对实际应用的一种假定，这样的假定对大多数实际系统过于苛刻。在非线性条件下，由于需计算贝叶斯滤波中的积分，所以但通常无法得到准确的最优的解析解。于是，人们便提出了多种近似的非线性滤波方法。根据后验概率密度函数分布形式的不同，我们将非线性滤波分为高斯非线性滤波和非高斯非线性滤波两大类。高斯非线性滤波主要有扩展卡尔曼滤波( e k e ) 、无迹卡尔曼滤波c o k e ) 、强跟踪滤波( s t y ) 等。文献【2 3 1q h ，b u o y 和s u n a h a r a 等人提出了最直接、最简单的非线性滤波方法扩展卡尔曼滤波( e k f ) 。扩展卡尔曼滤波假设系统状态的先验分布以及过程噪声和观测噪声均服从高斯分布，在状态估计值上对非线性状态模型进行一阶泰勒展开来获得各个系统模型参数，同时在状态预测值上展开获得量测方程的线性化2杭州电子科技大学硕士学位论文参数。由于其形式简单，e k f 在实际系统中获得了广泛的应用，但e k f 存在明显的不足：线性化致使非线性函数的局部性代替了整体性，导致了更大的误差，甚至影响了滤波稳定性，很多实际问题中很难得到非线性函数的雅各比矩阵求导，当系统达到平稳状态时，e k f 将丧失对突变的跟踪能力。为提高扩展卡尔曼滤波对非线性问题的估计精度，文献【4 】中给出了二阶e k f 算法，文献 5 给出了迭代e k f 算法，但仍然无法从根本上克服e k f 的缺陷。考虑到扩展卡尔曼滤波器精度低、稳定性差等缺点【6 】，文献【7 】中，j u l i e t 等人提出了无迹卡尔曼滤波方法l ) 。u k f 方法直接使用系统的非线性模型，不同于e k f 方法对非线性系统进行线性化，也不需要计算雅各比矩阵。它主要利用一种非线性u 变换( u n s c e n t e dt r a n s f o r m a t i o n ) ，既采用一组满足特定条件的样本点一一通过非线性变换，然后再用经变换后的点逼近非线性变换的概率密度特性。理论研究表明，这种逼近对任意非线性都至少精确n - 阶。相对于e k f 算法，u k f 在保持计算量基本不变的前提下，大大提高了状态估计的准确性和稳定性。u k f 具有算法以下特点：对非线性函数的概率分布密度进行近似，而不是对非线性函数本身进行近似，非线性分布统计量的计算精度至少达到2阶f 9 】，不需要计算雅各比矩阵1 1 0 1 ，计算量与e k f 同阶次【i l 】，可处理非加性噪声情况及离散系统，扩展了应用范围。u k f 的缺陷主要表现在以下三个方面：对状态突变的适应能力较差，当状态维数较高时，算法精度和有效性下降，未考虑噪声相关情况。在实际系统中，常常出现系统模型建立不准确、统计特性有偏差、目标状态突变等情况，上述滤波方法针对这类情况的估计性能较差。而且，e k f 、u k f关于非线性模型不确定性的鲁棒性很差，从而造成e k f 、u k f 会出现状态估计不准，甚至发散等现剡1 2 ”】。另外，当e k f 、u k f 在系统达到平稳状态时，将丧失对突变状态的跟踪能力，这是e k f 、u k f 滤波器( 包括卡尔曼类滤波器) 的一大缺陷。造成这种情况的原因是，当系统达到平稳状态时，e k f 、u k f 滤波器的增益阵将趋于极小值。这时，若系统发生突变，预报残差将随之增大。然而，此时由于系统达到平稳状态，e k f 、u k f 滤波器的增益阵仍将保持极小值，不会随着残差的增大而增大，从而无法有效提取残差序列中的有效信息。因此，e k f 、u k f 滤波器在系统发生突变时将丧失对突变状态的跟踪能力。为提高滤波方法对目标状态机动或建模不准的性能，周东华等提出强跟踪滤波器( s t f ) t 1 4 - 1 5 】的概念。本质上，强跟踪滤波通过引入时变次优调节因子a ( 七) 来实时调整状态预测误差协方差阵，进而实现实时有效调整相应的滤波器的增益阵，最终可有效提取残差序列中的有效信息，提高应对建模不准和状态突变的能力。与通常的滤波器相比，强跟踪滤波( s t f ) 具有以下优点：较强的关于模型3杭州电子科技大学硕士学位论文参数失配的鲁棒性；较低的关于噪声及初始统计特性的敏感性：较强的关于突变状态的跟踪能力，并在滤波器达到稳定状态时保持这种能力；适中的计算复杂性。i c n k a r a m 提出了平方根求容积卡尔曼滤波( s q u a r e - r o o tc u b a t u r ek a l m a nf i l t e r , c k f ) t 幡1 7 1 ，较好地解决了u k f 应对高维状态效果不理想的问题，同时利用q r 分解的方法提高了滤波的稳定性。综上分析可知，在非线性高斯滤波中，无迹卡尔曼滤波( u l 心) 不但拥有相对与扩展卡尔曼滤波( e k f ) 更好的估计精度和稳定性，因此在实际目标跟踪系统中应用较为广泛。但是，从上面的分析中我们可以看出，无迹卡尔曼滤波吣) 未考虑相同时刻过程噪声和观测噪声相关的情况，同时无迹卡尔曼滤波k f ) 应对状态突变的性能不佳。1 3 多传感器估计融合简述2 0 世纪7 0 年代，多传感器数据融合【2 5 2 7 ，3 5 ，4 5 1 的概念被提出。如今，随着科技的快速发展，工业、军事等领域的复杂度不断增加，其中包含的数据量越来越大，人们越来越意识到多传感器数据融合的重要性。多传感器融合从结构上可分为检测级融合、状态级融合【2 7 】等。检测级别融合主要用来判断目标的有无；状态级融合是在状态估计上进行的融合，状态级融合直接利用传感器的量测数据进行融合，从而估计目标的状态( 位置、速度) 等。本文主要探讨状态级融合问题，即通过多传感器量测，综合估计目标状态。主要研究如何最佳利用多个传感器数据集合中包含的有用信息。这些数据集合通常来自多个信息源( 大多情况是多个传感器) 。很明显，估计融合具有广泛的应用，其原因是许多实际的估计问题都设计来自多个信息源的数据。状态级融合最重要的应用领域之一，就是在使用多个传感器的情况下( 同类的或者异类的) 的目标跟踪中的融合。目前的状态级融合算法大致分为三大类融合结构田】：集中式融合、分布式融合和混合式融合。集中式融合是指：将所有传感器测得的数据全部传输到一个融合中心进行融合处理，也称为中心式融合( c e n t r a l i z e df u s i o n ) 。图1 1 是一个集中式融合系统的例子。分布式融合也成为传感器级融合或自助式融合。在分布式融合结构中，每个传感器将采集到的数据利用自身处理器进行预处理，然后把处理得到的中间结果送到中心节点，再由中心节点进行融合处理。由于各个传感器都有自己的局部处理器，因此能够形成局部估计结果，在融合中心处也只是对各传感器的局部估计结果进行融合。由于传感器向融合中心传输的是估计结果而非观测值，因此对信4图1 2 分布式融合结构例子。混合式融合结构是将集中式结构和分布式结构综合在一起得到的一种融合结构，融合中心得到的可能是局部节点处理过的数据，也可能是原始的量测数据。集中式融合结构中，融合中心获得了所有传感器的原始量测数据，没有任何信息损失，因此，融合结果是最优的。但这种结构对数据链路的带宽有较高要求，并需要强劲的中心处理器。分布式融合结构中对通信信道容量要求低，易于实现，但由于融合中心未能充分利用所有的传感器量测，因而融合精度不如集中式融合结构。随着计算机技术和传感器技术，以及信息传输技术的进步，集中式结构越来越易于实现。而且，随着系统复杂性不断提高，人们对于信息处理的精度要求越来越高。本文针对多传感器融合的研究重点为集中式融合结构。5杭州电子科技大学硕士学位论文局部融合中心分布式量测图1 3 混合式融合结构1 4 本文主要研究内容介绍( 1 ) 给出了新的u k f s t f c n 滤波算法。首先，考虑过程噪声和量测噪声相关情况下的系统，给出了可应用与该系统下的u k f c n 滤波算法。其次，将渐消因子引入我们提出的u k f c n 算法，通过在线调整滤波增益阵增强了u k f c n滤波算法应对模型不准和状态突变的能力，给出了可应用与噪声相关系统下的u k f - s t f c n 算法。最后，通过纯方位角目标跟踪系统仿真实验验证了新算法的有效性。( 2 ) 给出了新的s c k f s t f c n 滤波算法。该算法优化了u k f 滤波算法的采样策略，提高了u k f 算法应对高维状态的能力和估计精度；并且，通过引入她分解进一步提高了算法的滤波稳定性。同样，我们通过纯方位目标跟踪系统仿真实验验证了新算法的有效性。( 3 ) 本文针对非线性系统，给出基于扩展信息滤波器( e x t e n d e di n f o r m a t i o nf i l t e r , e i f ) 的三种多传感器融合算法，通过仿真实验比较了融合算法的功能等价性，并对三种算法的特点进行了分析介绍。1 5 本论文结构本文章节组织如下：第一章绪论。概述了目标跟踪系统中常用的非线性滤波方法，并简要分析了各种算法的基本性能。同时，简单介绍了多传感器融合的基本知识。最后，概述了论文研究的意义和内容。第二章详细阐述了多种常用滤波算法的原理，分析了各种滤波方法的优点和不足之处并从目标跟踪系统下的仿真实验的角度直观展示了各种滤波的估计性能。第三章给出了非线性噪声相关系统下的无迹强跟踪卡尔曼滤波。第四章给出了非线性噪声相关系统下的自适应平方根求容积法滤波。6杭州电子科技大学硕士学位论文第五章研究非线性系统下的多传感器融合算法，给出了集中式框架下的三种融合算法的等价性分析。第六章对本文的总结和对未来工作展望。7杭州电子科技大学硕士学位论文第2 章常见非线性滤波方法及性能分析2 1 扩展卡尔曼滤波2 1 1 扩展卡尔曼滤波的基本原理卡尔曼滤波虽然是一种最优估计理论 ! , 1 9 - 2 2 , 2 4 , 2 6 , 4 引，但是它要求系统的观测方程和测量方程都是线性的，即只适用于线性系统。然而在实际生活中，许多工程系统往往不能简单的描述为线性方程。导弹控制问题、目标跟踪等导航性问题其系统状态方程往往都是非线性的。因此，有必要研究非线性滤波问题，以对更多的实际系统进行研究。对于非线性模型，理论上没有严格的滤波公式。一般情况下，都是将非线性方程线性化，然后根据线性系统的滤波基本方程进行处理。扩展卡尔曼滤波( e k f )就是根据这种思想建立起来的一种处理非线性系统的滤波算法【2 ，3 ，1 5 ，2 8 1 。这种算法已经不再是按照某种准则进行的最优化算法了，其性能取决于原来的非线性系统的复杂度和算法的好坏等。2 1 2 扩展卡尔曼滤波的基本算法文献【2 - 3 】中，b u c y 和s u n a h a r a 等人提出了最直接、最简单的非线性滤波方法扩展卡尔曼滤波( e k f ) 。扩展卡尔曼滤波假设系统状态的先验分布以及过程噪声和观测噪声均服从高斯分布，在状态估计值上对非线性状态模型进行一阶泰勒展开来获得各个系统模型参数，同时在状态预测值上展开获得量测方程的线性化参数。为了方便描述，考虑如下一类离散时间非线性系统的状态估计问题：x ( k + 1 ) = f ( k ，材( 七) ，x ( 七) ) + j r ( 七) w ( 七)( 2 1 )z ( k + 1 ) = h ( k + 1 ，x ( k + 1 ) ) + v ( k + 1 ) ( 2 2 )其中，整数k 0 为离散时间变量；x r 4 为状态向量；z er ”为观测向量；系统噪声，( 七) 、测量噪声 ，( 后) 都是零均值的高斯自噪声序列，并且具有如下统计特性：e ，( 七) ) = o ，e p ( 七) ) = 0 ，e w ( k ) w 1 ( j ) ) = q ( 后) 哌，七，j 0( 2 3 )e v ( k ) v 1 ( ，) = 足( 尼) 瓯，e w ( k ) v 1 ( 歹) ) = 0 ，k ，j 0( 2 4 )初始状态x ( o ) 为高斯分布的随机过程，且具有统计特性：层 x ( o ) ) = x oe 【x ( o ) 一x o 】【x ( 0 ) 一x o 】7 = 矗( 2 5 )并且初始状态和系统噪声，( 七) 观测噪声 ，( 七) 之间相互统计独立。8杭州电子科技大学硕士学位论文下面将介绍扩展卡尔曼滤波算法的处理过程，方程组由式( 2 6 ) ( 2 1 2 ) 给出。假定已经得到k 时刻的状态估计值曼( 后lk ) 和估计相应的误差协方差阵e ( k l k ) 。则对 + 1 ) 时刻状态的一步预测值：叠( 后+ 1l 七) = f ( 七，( 后) ，受( 露l 后) )( 2 6 )相应的预测误差协方差阵为：p ( k + lik ) = f p ( kik ) f r + r q r ，( 2 7 )增益阵为：置( 七+ 1 ) = p ( k + 1ik ) h r ( h p ( k + 1lk ) h r + 欠) - 1( 2 8 )当( 七+ 1 ) 时刻测量值z ( 七+ 1 ) 到来的时候，得到新息为：r ( k + 1 ) = z ( k + 1 ) 一三( 七+ 1 ) = z ( k + 1 ) - h ( k + l ，x ( k + ll 七) ) ( 2 9 )则利用新息对预测值进行更新修正，可以得到状态的估计值：曼( 七4 - 1 l k + 1 ) = 宕( 七+ 1 l 七) + x ( k + o r ( k + 1 ) ( 2 1 0 )式( 2 7 ) 中：，作，脚( 七) ，k ( klk ) ) ：鱼堕坠氅2 0 墅掣x ( 后) ：曼传ij i )( 2 1 1 )饿i式( 2 8 ) 中：h ( k + l ，曼( 七+ llk ) ) ：皇堕堡! 掣x ( 七+ 1 ) ：曼( 七十llk ) ( 2 1 2 )饿i上面就是著名的扩展卡尔曼滤波器的基本方程。当式( 2 1 ) 和( 2 2 ) 描述的模型具有足够的精度，并且通过选取适当的初始状态和初始误差方差阵，扩展卡尔曼滤波可以得到比较准确的状态估计。2 2 强跟踪滤波2 2 1 强跟踪滤波的基本原理强跟踪滤波器的一个重要条件就是要满足正交性原理。引理l 正交性原理一个滤波器可以被称为强跟踪滤波器f 1 4 , 1 5 1 ，只要在线选择一个时变的滤波增益阵，使得下式满足：e ( 【x ( 后+ 1 ) 一爻( j i + l l 七+ 1 ) 】【x ( 七+ 1 ) 叠( 七+ 1 l 七+ 1 ) 】) = r a i n ( 2 1 3 )e ( 7 ( k + l + j ) 7 1 ( j + l ”= o ，七= o ，1 2 ”( 2 1 4 )其中，第二个式子要求不同时刻的残差序列处处保持相互正交，这也是正交性原理这一名词的由来。正交性原理可以将残差序列中的所有有用信息提取出来，从而达到强迫滤波器保持对实际系统状态的跟踪。9杭州电子科技大学硕士学位论文当由于模型不确定性的影响，造成滤波器的状态估计值偏离系统的状态时，必然会在输出残差的均值与幅值上表现出来。这时，若我们在线调整滤波增益阵置伍+ 1 ) ，强迫( 2 1 3 ) 仍然成立，使得残差序列仍然保持相互正交，则可以强迫跟踪滤波器保持对实际系统状态的跟踪。这也是“强跟踪滤波器”一词的由来。为了使滤波器具有强跟踪的优良性能，一个自然的想法是采用时变的渐消因子对过去的数据渐消，减弱老数据对当前滤波值的影响。这可以通过实时在线调整状态预测误差的协方差阵以及相应的增益阵来达到。为此，修改e k f 公式中的预测误差协方差阵为：p ( k + l l 七) = a ( 七+ d f ( k ，曼( 七i 七) ) p ( 七l 膏) ，r ( 七，y c ( k l k ) ) + r q r r ( 2 1 5 )其中，名( 七+ 1 ) l 为时变的渐消因子。此时输出残差序列的协方差阵为：v o ( 七+ 1 ) = 研y ( 当+ 1 ) y7 ( 七+ 1 ) 】日( 七+ 1 ，曼( 七+ 1 l 克) ) p ( 七+ l l 奄( 2 1 6 )h 1 ( 七+ l ，叠( 后+ 1 l 七) ) + 皿( j | + 1 )。式( 2 6 ) ，式( 2 8 卜一式( 2 1 2 ) ，式( 2 1 5 卜一式( 2 1 6 ) 构成了一种带次优渐消因子的扩展卡尔曼滤波器，简记为强跟踪滤波。2 2 2 强跟踪滤波的基本算法这里给出强跟踪滤波中，渐消因子的算法：1 ) 令k = o ，选择初始值叠( olo ) ，p ( ol0 ) 根据经验选定一个合适的弱化因子l 。2 ) 按扩展卡尔曼滤波算法计算叠( 后+ l l 七) ，残差r ( k + 1 ) 。其中残差的协方差阵v o ( 露+ 1 ) ，渐消因子名( 七+ 1 ) 可由下面的式子计算。k ( 后+ 1 ) =7 ( 1 ) r 1 ( 1 ) ，k = 0望竖塑! 竺! 塑! 堡! 丝k ll + p。rl 厶，厶12 ( k + 1 ) = l1 ，厶 1，t r n ( k + 1 ) 】2 瓦丽n ( k + 1 ) = v o ( k + 1 ) - h ( k ) q ( k ) h7 ( 七) 一足( 七+ 1 )( 2 1 7 )( 2 1 8 )( 2 1 9 )( 2 2 0 )m ( k + 1 ) = h ( k ) f ( k ) p ( kik ) f t ) 口r )( 2 2 1 )3 ) 根据式( 2 1 5 ) 计算p ( k + 1 i k ) ，由式( 2 8 ) 算出x ( k + 1 ) ，最终得状态估计值：颤忌+ 1lk + 1 ) 。l o杭州电子科技大学硕士学位论文尸 + l | j | ) = 五( 后+ 1 ) ， ，y c ( kf 后) ) p ( 七f k ) f 7 ( 后，爻 l 七) ) + 聊7( 2 2 2 )k ( k + 1 ) = p ( k + lik ) h t ( k ) ，陋+ ll 啪1 ( p + 月( 七十d 】- 1 ( 2 2 3 )4 ) 按扩展卡尔曼滤波算法计算p ( k + llk + 1 ) ，七羊lok + 2 ，转向步骤2 ，继续循环。可以看出，这一次优算法很容易实现，无需寻优过程，计算量适中，因此可以被认为是一种实时算法，易于在线应用。强跟踪滤波理论使用正交性原理，引进时变渐消因子，强迫残差具有正交性或近似正交性，提取残差序列中所有有用的信息，用作对当前时刻系统状态的估计，成功地解决了由于模型不确定性和状态突变对状态估计造成的影响；通过实时调节增益，促使测量残差近似正交，克服由于传感器误差而造成的估计误差偏大，避免了预测失效的现象，但s t f 的基本理论框架是建立在e k f 基础之上的，从而继承了e k f 的一些缺点，如需要计算复杂的雅可比矩阵等，因此在实际应用中仍有一定的局限性。2 3 无迹卡尔曼滤波2 3 1 无迹卡尔曼滤波方法的基本原理u k f 7 】的核心思想是利用一种非线性u 变换( u n s c e n t e dt r a n s f o r m a t i o n ) ，既采用一组满足特定条件的样本点( 如满足给定的均值和方差) ，每个样本点都有都有自己的状态值和权重，将这些样本点一一通过非线性变换，然后再用经变换后的点逼近非线性变换的概率密度特性【3 4 , 4 0 a 2 , s 1 愆1 。理论推导表明，这种逼近对任意非线性都至少精确到二阶。其原理如图2 1 所示，首先选择有限个近似高斯分布离散点( 称为盯点) ，它们的均值为i ，方差为。对每个仃点施以非线性变换( 经过非线性系统的状态方程和量测方程传播后) ，得到一簇变换后的点，将它们的均值和方差经过加权处理，可求出非线性系统状态估计值的均值和方差。所以u k f 不是对非线性模型做近似，而是对状态的概率密度函数做近似。图2 1u 变换在u 变换算法中，最重要的是确定s i g m a 点的采样策略，也就是确定使用影l t r l 吧丁竹双入予职i 予阻瞄义s i g m a 点的个数，位置以及相应权值。s i g m a 点的选择应确保其抓住输入变量工的最重要的特征，假设( x ) 是x 的密度函数，s i g m a 点选择遵循如下条件函数来确保其抓住x 的必要特征。g 【及，) ，只( x ) 】= 0( 2 2 4 )在满足如上条件的前提下，s i g m a 点的选择可能仍有一定自由度，代价函数c 【魄) ，只( x ) 】可用来进一步优化s i g m a 点的选取。代价函数的目的是进一步引入所需要的特征，但并不要求完全满足所引入特征。随着代价函数值的增大，采样策略的精度将降低，将条件函数和代价函数结合起来就可以得到s i g m a 点采样策略的一般性选择依据：在烈娩，) ，只( 曲】= 0 的条件下，最小化c 【 ，疋( x ) 】。2 3 2 无迹卡尔曼滤波方法的基本算法无迹卡尔曼滤波算法的具体步骤如下：1 ) 根据系统状态的均值i 和方差只选择一组确定的样本点而和相应权值彬：z o = if=0(225)z f = i + ( ( 三+ 五) 只) ff = l ，l( 2 2 6 )而= 膏一“犯+ 只) fi = l + l ，2 ( 2 2 7 )w g = z ( l + 2 )( 2 2 8 )= 五( 三+ 五) + ( 1 一口2 + ) ( 2 2 9 )形辨= 形。= 1 1 2 犯- t - i = l ，2 三( 2 3 0 )其中，三是状态向量的维数，a = 口2 弛+ 七) 一l ，口确定i 周围s i g m a 点的分布，通常设为一个较小的正数，k 为另一比例因子，( ( + a ) 只) ，是矩阵均方根的第f 行。2 ) 筋通过非线性函数，( 奉) 得到一组新的样本点乃，计算输出一步提前预测：z ，( 七+ l1 | ) = y z ，( 七i 七) 】( 2 3 1 )2 三曼( 七+ l l 七) = e 形”石( k + l l k )( 2 3 2 )i f f i 02 p ( k + llk ) = w ( z ，( k + ll 七) 一曼( 七+ ll 七) ) ( z l ( 七+ ll 七) 一曼( 露+ ll 七) ) r + q ( 足+ 1 )1 = 0-( 2 3 3 )1 2( 2 3 4 )( 2 3 5 )一乏( 后+ 1 七) ) 7 + r ( k + 1 )( 2 3 6 )2 ，：( 七+ l l 七) = 形( 而( 七+ l l 后) 一曼( 后+ l l 七) ) ( z i ( k + l l k ) - 乏( k + l l k ) ) r ( 2 3 7 )l = o3 ) 用这组新样本点计算非线性变换后状态均值和方差，进行滤波更新：置( 七+ 1 ) = ，2 ( k + l l k ) e ：1 ( 七十l l 七) ( 2 3 8 )文( 后+ ll k + 1 ) = 曼( 后+ li 后) + 置( j + 1 ) ( z ( 后+ 1 ) 一乏( 七+ lf 七) ) ( 2 3 9 )p ( k + l l 七+ 1 ) = p ( k + l l k ) - k ( k + 1 ) 巴( 七+ 1 i k ) 9 7 ( 七+ 1 ) ( 2 4 0 )无迹卡尔曼滤波( o i l ) 和扩展卡尔曼滤波( e k f ) 一样，也是对系统状态后验分布作g a u s s 近似。但二者不同之处主要在于：扩展卡尔曼滤波( e k f ) 仅仅利用非线性函数t a y l o r 展开的一阶项，而当系统高度非线性时，或t a y l o r 展开的高阶项对系统影响较大时，扩展卡尔曼滤波( e k f ) 方法容易导致滤波的发散f 1 2 1 3 1 ，且要求计算非线性函数的导数。无迹卡尔曼滤波( u k f ) 方法仍然用一个g a u s s 随机变量来表征系统状态分布，但它直接采用实际系统的非线性模型，用一个最小的样本点集来近似系统状态的分布函数。这个样本点集能够真实地捕捉到系统状态的均值和方差，当按实际的非线性模型演化时，理论上能够捕捉到任何非线性函数后验概率与方差的二阶项。2 4 算法分析通过得到目标的后验概率密度的完整描述，我们可以实现最优的非线性滤波。但是，在实际情况下，这种完整描述往往很难得到。为此，人们提出了很多近似的估计方法，本章我们就讨论了扩展卡尔曼滤波( e k f ) 、强跟踪滤波( s t f ) 、无迹卡尔曼滤波( u k f ) 。这些滤波又被分为两类非线性滤波技术：一类是函数近似法；另外一类是采样近似法。函数近似法是对非线性的状态方程或观测方程作线性化处理，典型的算法是扩展卡尔曼滤波( e k e ) 和强跟踪滤波( s a w ) 。e k f 先利用泰勒展开的一阶项来对非线性方程作线性化处理，再结合经典的卡尔曼滤波进行滤波估计。e k f 算法简单，1 3杭州电子科技大学硕士学位论文易于实现，但在强非线性环境下跟踪性能较差，甚至会出现滤波发散，特别地，当系统达到稳态时，将丧失对状态突变的跟踪能力；为此周东华教授在e k f 的基础上创立了强跟踪滤波( s t f ) 理论，通过引入一个渐消因子，实时的调整状态预测误差的协方差阵以及相应的增益阵，使得残差序列仍然保持相互正交，则可以强迫强跟踪滤波器保持对实际系统状态的跟踪。强跟踪滤波( s t f ) 通过引入时变次优调节因子允( 七) 来实时调整状态预测误差协方差阵，从而实现实时有效调整相应的滤波器的增益阵。与通常的滤波器相比，s t f 具有以下优点：较强的关于模型参数失配的鲁棒性；较低的关于噪声及初始统计特性的敏感性；较强的关于突变状态的跟踪能力，并在滤波器达到稳定状态时保持这种能力；适中的计算复杂性。u k f 具有算法以下特点：对非线性函数的概率分布密度进行近似，而不是对非线性函数进行近似。非线性分布统计量的计算精度至少达到2 阶【9 】，不需要计算雅各比矩阵【如】，可处理非加性噪声情况及离散系统，扩展了应用范围，计算量与e k f 同阶次【1 1 1 。u k f 的上述特点，使得u k f 日益得到关注，其应用领域也不断扩展。u k f首先被应用到导航和跟踪方面，如导弹再入跟踪问题【3 2 1 、自治机器人定位、地面车辆导航、图像跟踪等。而且，最近在随机信号处理、语音识别和增强等方面也有应用。u k f 由于诸多的优点获得了广泛的应用，但其仍存在不足：维数灾难【1 7 】，即在系统状态维数较大时，u k f 滤波性能将有较大下降。滤波稳定性差【1 7 】，由于u k f 算法在迭代过程需要计算矩阵开方，若矩阵不满足正定性，u k f 算法将被无法继续执行。当滤波达到稳态时，将丧失对状态突变的跟踪能力。s t f 、e k f 在稳定性和收敛性方面的比较1 ) 滤波器的初值对滤波器的性能有很大影响。相比之下，s t f 较e k f 受影响小一些，具有更强的动态跟踪能力。2 ) 系统噪声与测量噪声对滤波器性能有较大的影响，噪声水平越高，滤波器的跟踪能力越差。同样，s t f 受的影响较e k f 相对小一些。3 ) 在系统达平稳状态，滤波器也达稳态时，当系统状态突变时，e k f 的动态跟踪能力极差，而s t f 仍具有良好的跟踪能力。4 ) 在存在较大的模型不确定性时，精确滤波器，像最小方差滤波器( m v f ) ，的性能同样会大大下降，说明了s t f 的有效性。因此相比e k f ，s t f 在跟踪精度和收敛效果上具有明显的优势，但是计算复杂性相对较高，下面将对两者的计算复杂性作一比较。s t f 、e k f 在计算复杂性方面的比较1 4杭州电子科技大学硕士学位论文这里的计算复杂性，也即算法复杂性，是指完成滤波器算法一步迭代所需的乘法及除法的次数的总合。因加减法所需的机时很少，可忽略不计。e k f 的算法复杂性为【3 6 】：2 以3 + n 2 + 2 m n 2 + 2 m 2 n + n m + 三m 3 + 三历2 + m d佗4 1 )22。这里，“d ”为求一个标量的平方根所需的乘法的次数。在求解s t f 中的次优渐消因子a ( 七+ 1 ) 时，其计算复杂性为：2 m 2 刀+ 2 n 2 m + l( 2 4 2 )因此，与e k f 相比，s t f 增加的计算量不大。s t f 总的计算量小于e k f 计算量的2 倍。当以= m 时，也即输出变量的个数与状态变量个数相等时，由式( 2 4 1 )和式( 2 4 2 ) 可以推出，s t f 所增加的计算量小于e k f 计算量的o 6 2 倍。所以，当采用次优算法求解次优渐消因子时，s t f 也是一种实时性较好的滤波器，可用于非线性系统的在线状态估计。更进一步，当已知被监控系统的更多的信息时，可考虑采用带多重次优渐消因子的扩展卡尔曼滤波器，得到更加准确的实时状态估计。需要说明的是，在推导式( 2 4 1 ) 和式( 2 4 2 ) 时，都忽略了r ( k ) e ( k ) r r ( 七) 这一项的计算量。另一类是基于采样方法的近似法。采样近似法用带有权值的样本集来近似目标的状态后验概率密度( p d f ) ，典型的算法有无迹卡尔曼滤波( u k f ) ，其中u k f以u 变换为基础，采用卡尔曼线性滤波框架，具体采样形式为确定性采样，因而避免了像e k f 那样由于线性化而导致的跟踪误差。下面给出u k f 与e k f 的性能比较分析。u k f 、e k f 在估计精度、适用性等方面的比较1 ) u k f 采用对非线性函数的概率密度分布进行近似，而不是对非线性函数进行近似。2 ) u k f 的非线性分布统计量的计算精度至少达n 2 阶，对于采用特殊的采样策略，如高斯分布4 阶采样和偏度采样等可达到更高阶精度。3 ) u k f 不需要求导计算雅各比矩阵。4 ) u k f 可处理非加性噪声情况以及离散系统，扩展了应用范围。5 ) u k f 计算量与e k f 同阶次。2 5 本章小节本章介绍了离散系统卡尔曼滤波及分类，然后介绍了几种常见的非线性滤波：扩展卡尔曼滤波( e 、强跟踪滤波( s t f ) 、无迹卡尔曼滤波( u r n ) ，介绍了各种非线性滤波方法的基本原理，给出了各种非线性滤波方法的基本算法。从理1 5杭州电子科技大学硕士学位论文论上对这几种滤波方法的估计精度、算法复杂度、稳定性和收敛性等性能进行了比较分析。无迹卡尔曼滤波( u k f ) 通过利用非线性u 变换c d n s c z n t e dt r a n s f o r m a t i o n ) ，既采用一组