（应用数学专业论文）关于复解析映射的规范形式和不变流形.pdf

摘要 本文考虑类复解析映射在不动点附近的规范形式和不变流形的存在性问题采用 k a m 迭代的方法，在个较弱的小分母条件下，得到该解析映射在不动点某一邻域的规 范形式，同时得到解析映射在此不动点附近的一个不变流形证明的困难在于如何处理 k a m 迭代中小分母问题和收敛问题所得的一些结论是文1 1 4 的进一步补充 关键词：解析映射；不变流形；k a m 迭代；小分母条件 a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n s i d e r sn o r i n a df o r m sa n dt h ee x i s t e n c eo fi n v a r i a n tm a n i f o l d s f o rac l a s s o fc o m p l e xa n a l y t i cm a p p p i n g sn e a rt h ef i x e dp o i n t s b yu s i n gk a m i t e r a t i o n ，u n d e rt h e w e a l 潞r8 m 8 l ld i v i s o r sc o n d i t i o n ，w ep r o v e dt h a tt h e r ee x i s ta n o r m a lf o r ma n da ni n v a r i a n t m a n i f o l df o rt h em a p p i n 黟n e a rt h ef i x e dp o i n t t h em a i nd i f f i c u l t y i sc a u s e db ys m a u d i v i s o r ba n dc o n v e r g e n c ei nk a mi t e r a t i o n t h er e s u l to ft h i sp a p e ri sc o m p l i m e n t a r y t o t h a to ft h ep a p e r 1 4 】 k e yw o r d s ：a n a l y t i cm a p p i n g s ；i n v a r i a n tm a n i f o l d s ；k a mi t e r a t i o n ；s m a l ld i v i s o r c o n d i t i o n s 1 1 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 二，关于学位论文使用授权的说明 签名t 日期： 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究 生院办理 签名z 导师签名，日期： 第一章引言 1 1 预备知识 为了叙述问题的方便，我们先引入一些记号和定义 我们记a 为复数集合，c ”为7 , 元复数集合 定义1 1 ( 解析函数和解析映射) 一元复变量函数，( z ) ，0 e ) ，如果在z o 的某邻域中处处可导，则称f ( z ) 在z o 处 解析此时( z ) 可在勾处展成z 的幂级数 竹元复变量函数，( z ) ，如= ( z l ，z 2 ，向) c ”) ，如果关于每个分量解析，则称 ( z ) 解析如果，( z ) 在z o 处解析，则，( z ) 可在z o 处展成多元变量z 的幂级数 设g ( 2 ) 是g “到c ”的复映射，即 g ：z c “”f ( z ) 伊 g ( z ) = ( 。) ，虫( 2 ) ，如( z ) ) t 如果g i ( z ) 都是n 元解析函数，则称g 是复解析映射 定义1 2 ( 解析同胚) 设m 是两个复微分流形，：m 一是1 - 1 映射，若，和厂1 都是解析的 则称，是m 一解析同胚映射 定义1 3 ( 拓扑共轭) 设，g 分别是m m 和一的复同胚映射，这里mc 伊，nc 伊是开 集，若存在同胚映射h ：m 一，使得ho 歹= go h ，则称，与g 是拓扑共轭 注，拓扑共轭是一种等价关系如果f , g 是拓扑共轭，那么，g 的相空间中轨道的 拓扑结构是相同的 定义1 4 ( d i o p h a n t i n e 条件) d i o p h a n t i n e 条件又称为小分母条件若频率u 满足强非共振条件，即存在常数 1 东南大学硕士学位论文 2 口 0 ，7 _ 0 ，使得 j l 而o t ，vo # k 纪 其中lkl _ ik li + + iki 则称频率u 满足d i o p h a n t i n e 条件 1 2 主要问题 映射的动力学性质是动力系统的重要内容和微分动力系统一样，映射的动力学性 质研究具有重要的理论意义且与微分动力系统的研究相辅相成，相互推动，促进动力 系统理论的发展 映射的动力系统研究已经取得了十分丰富的成果如二维保积映射的不变曲线的研 究，由m o s e r j 等人证明的关于扭转映射的不变曲线的保持性结果被称为著名的k a m 定理，见文献【9 ，1 0 ，1 1 j 此后这个结果不断得到丰富，形成了各种小扭转定理，见文献 【1 2 ，1 3 】等。同时关于扭转定理的光滑性条件进一步减弱，参见文献【1 5 ，1 6 ，1 8 】关于保积 映射在平衡点的规范形及稳定性的研究可见文献【3 ，1 5 ，1 7 ，1 8 】 关于高维保积映射和辛映射的研究也有丰富的结果关于保积映射的研究可参见文 献【2 2 1 ，关于辛映射的研究可参见文献( 5 ，6 】最近b i nl i u 等将二维保积映射的扭转定 理推广到一类二维的可逆映射，得到可逆映射的扭转定理和小扭转定理，参见文献【7 ，8 】 j p o s c h e l 在文f 1 4 】中考虑了一类复解析映射的不变流形问题，采用控制函数方法， 在第一m e l n i k o v 条件( 见主要结论) 下，通过解析嵌入直接找到不变流形的形式解，进 而求得不变流形具体结论如下， 设g 是以坐标原点为不动点的n 维复解析映射，它在坐标原点的线性化可对角化， 对角化矩阵a = d i a g ( a 1 ，a 。) ，其中f 丸i = 1 ，i = 1 ，1 设a = n l ，a ) ，k = ( 七1 ，) ，记a = a f l a ： 如果除数”一九是容许的，即对于由”一九定义的函数甜( m ) = r a i n r a i n 2 l k l 曼f nl i 2 上解析如果a 的特征值满足如下小分母条件； l 将一九i 卉，l 1 2 l 1 ，s + 1 9 j 鲺 ( 2 3 ) 其中o 0 ，_ r 1 , - 4 - 1 是常数，那么： ( 1 ) 在坐标原点附近存在解析同胚皿，使得 皿一1 。go 皿( z ) = a z + 0 ( ) ，( 2 4 ) 这里。= ( 气，z j t ； ( 2 ) 映射g 存在一个5 维的不变流形m = 皿。( c 。 o ”，并且吖与对应于 l ，k 的特征子空间张成的子空间相切； ( 3 ) 在m 上g 解析共轭于它的线性部分a 注1 ：类似于哈密顿系统同题，称非共强条件( 2 2 ) 为第一m e l n i k o v 条侔，( 2 3 ) 东南大学硕士学位论文 6 为第二m e l n i k o v 条件在文【14 1 中，p s s c h e l 在第一m e l n i k o v 条件下证明了不变流形 的存在性，但是在原点附近得不到映射g 的规范形式本文我们在第一和第二m e l n i k o v 条件下可得到映射岔在原点附近酶规范形式，从丽自然有不变流形的存在这是本文与 p s s c h e z 结论的主要区别 注2 ：我们认为当第二m e l n i k o v 条件( 2 3 ) 发生共振时，即在，k 只满足 第一m e l n i k o v 条件( 2 2 ) 下，复解析映射g 在原点附近仍有主要定理中类似的规范形 这个结论我们将在本文的后续工作中给出说明，这是p i ；s c h e l 1 4 中结论的一个改进 洼3 ：由通常的小分母问题的讨论可知，存在a 满足第一和第二m e l n i k o v 条件事 实上，从测度意义上来说，对大多数的向量入舻都满足( 2 2 ) 和( 2 3 ) 有关m e l n i k o v 条件的讨论，可参考【5 ，1 0 ，1 4 ，2 2 】等 第三章主要定理的证明 下面我们利用k a m 迭代的方法来证明主要定理其中主要困难是如何克服由小分 母问题带来的收敛性问题本文我们将利用处理哈密顿系统的k a m 迭代技巧来克服这 些困难有关哈密顿系统中k a m 的理论可参考文献 9 ，1 0 ，1 5 ，1 7 等 3 1k a m 迭代概要 k a m 迭代是寻找一列收敛的坐标变换，把已知的映射变换成某种规范形式，从而 有助于我们更加清楚地了解映射在平衡点附近的稳定性，以及不变流形的存在性等 设g ( z ) 具有下列形式： g ( z ) = a z + h ( z ) - i - p ( z ) ， 其中 ( ：) 是个规范项，p ( z ) 是高阶扰动我们要找接近恒等映射的同胚映射皿，使变 换后的映射有如下形式； 皿一1 。9 0 皿( 名) = a z + + ( z ) + p + ( 。) 这里h + 是个新的规范项，而p + 是个更小的高阶扰动项 这样，如果这个过程可以重复进行，并且这一列迭代能收敛的话，则经过可列步迭 代可得到一个同胚映射吼，使 皿：1o go 皿+ ( z ) = a z + 。( 。) = m p ) ， 其中h + 是一个规范形式这样g 在变换皿。下就化成了规范形式西 3 2k a m 迭代步骤 考虑n 维复解析映射 9 ( z ) = a z + 毋夕，z 矿，毋伊 ( 3 1 ) i i l _ 2 7 东南大学硕士学位论文 8 设映射( 3 1 ) 在d = t 气c 5 ：i 气l r ，t 为u 一5 ：i 2 ，上解析由前面的记 号，令 a c ，= ( 麓裳)a 。匈+ 蜘( 气，) ， 氏+ o 、z 。，0 ) + d ( 知) a 。知+ 钟( 气，0 ) + 露( 气，o ) 知+ d ( 名) 在上式中，o ) 当i 为i 一0 时是关于磊的1 阶的同阶无穷小，0 ( 4 ) 当i 磊l 一0 时 是关于的2 阶的同阶无穷小 业( 气，o ) = 钆 。= 0 = 鳝。乎， 谚( 气，o ) = 跏l 。：0 鳄罐， 地，0 ) 岛一甏b 知 _ i 嘉旧g i ”z ；“z ；“ 这里j = ，如) 枞c ，= ( 矧蝴稚燃= ( 讹蔷篡埘) 由五的零次项和一次项组成，是气的高阶项，称为扰动项 记d ( r z ) = 缸伊：i l r x c ”一：f f 曼z 设 。c 气，知，= 琵毋世毋= ( ：兰；) = ( 曩：萎耋) 在d ( r z ) 上解析，其中j = 魄，矗) 东南大学硕士学位论文 定义范数如下 i i 乳i hd = i b i 兰2 恢j ho = i 鳄ir l i “l z ， l ，p _ 2 i i 引f 。“1 ) ：i 1i i 乳i l 跳1 ) + 知舶i | 盹1 ) o 差慨旷8 差慨1 ) + 圳差怯， i i 差i i 她例杀怕+ + | f 釉d ( r ， 这里 i 鳄i = m “( i 谚i ，f 彰f ) ， l 彰i = m “( i 彰+ 1i ，i 够i ) 这样定义的范数具有类似的c a u c h y 估计即v0 p r v0 p z ， i l 差一1 ) c p - 1 怕怕， ( 3 | 2 ) i i 豢 l d ( r ，l - p ) c 矿1 怕怕) ， ( 3 3 ) 其中c 为与p ，无关的常数详细结论及证明见附录 在k a m 迭代中，寻求一个近似于恒等且关于气是仿线性的映射霍= i + 垂，使 得皿- 10 9 0 皿= a 十h + + “，其中a + h + 是个新的规范形式，而p + 是个更小的 气的高阶项则在此变换下映射9 被变换为 9 + = 皿一10 90 皿 = ( i 一垂) 0 ( a + h + p ) 0 ( ，+ 圣) 一( 由。皿一1 一壬) o ( a + h + p ) 0 ( i + 西) = a + a 0 圣一西0 a + 痧+ 0 ( i + 圣) + p o ( j + 圣) 一多 一降。( a + h + p ) 0 ( ，+ 垂) 一圣0 a j 一( 垂0 皿一1 一圣) o ( a + h + 力0 ( i + 垂) 通过选择变换皿使扰动项p 中关于五的低次幂次项消去，而剩余项将是气更高 阶的扰动项，这样通过一列变换将知的零次项和一次项逐步消去，最终把原来的映射变 g 东南大学硕士学位论文 换为规范形式 预备步骤 设 0 i i d a , , f 1 e o 在迭代第一步前，我们先做一些准备工作首先通过一变换将吼中关于气的一次项中 施的一次项消去，使得变换后知中关于z v 的零次项以及蜘中关于知的零次项和一次 项中气的幂级数的最低次数为2 设变换皿o ： 忙槲 其逆变换皿i 1 ： 喜三三，+ 西。，知 其中西( 气) = ( j + c o ( 菇) ) 一j ，这里，是”一s 阶单位矩阵 今 氨= 鳄毋孝 解线性方程 印( a 。气) 知一c 0 ( 气) a 。岛+ 蟊= 0 比较幂级数系数容易得到， c o ，如= 乩l 三阻( 将皓一九+ 1 广1 - 。猪冶一一。) 鳄毋才 乩障蜘降1i n f “如、一lj 因为南( 2 。) = ( ，+ c d ( 砧) ) 一一j ，所以 c d ( 兹) + 舀( ) = o ( 乏) 1 0 东南大学硕士学位论文 由小分母条件( 2 3 ) ，估计c o 的范数： oc d ) o 。( r ) 五1 f 蜘i i o ( 叫) ：印= 晶 ( 3 4 ) 这里d ( r ) = 气c 。：l 气i r ) 当罢i 1 时， ：d ( r l i2 ) h d ( r ，i 。) 在此变换下，我们得到g 在下的形式： 吼( 气，) = ( 皿o ) - 10 9o 皿o ( 知，z v ) = ( 麓：裟甜 其中， g l 。( 气，z v ) = g “( z u ，知+ 印( 气) 如) = d ( ) + o ( z j ， g l 。( 气，知) = 甄( 气，z v + c 0 ( 气) ) 一磊 + 【西( a 。气+ 如( 气，+ 白( 气) ) ) 一面( a 。气) 】 ( 如+ a 。白( 气) + 跏( 气，z v + 匈( 气) ) ) + 面( k 气) k 印( 气) 知+ 葡( a 。气) 如( 气，知+ 国( 气) 知) = o ( 宅) + o ( 艺) 2 l ，+ o ( ) 接下来，我们分别来估计g l 。，g l 。的范数令7 1 = ( 1 一面) r ，z i = 寥 设e o 晶 ；，显然， 知虬 | 嘶，f 1 ) s 知酬d ( r 2 ) 弧 当( 气，知) d ( r l ，z 1 ) 时， ia 。五+ 乳( 气，知+ c d ( 气) 为) i ( 1 一言晶) r 这就得到。 f 白( a 。气+ 乳( 气，+ 向( 气) 白) ) 一句( a 。缸) i 0 晶( z u ) l i d ( ( 1 一矗) r ) i 如l d ( n ，1 1 ) 杀怯( r ) r c o 昙晶r e 0 。口印 奎童奎耋堡圭兰堡丝奎 t 2 且 i 知+ 屯c 0 ( 气) 知+ 如( 气，知+ 勺( 气) ) i f 故， 1 刊| 9 1 川。) 知乳u 。+ 2 e 。嘞 且g l = a + 1 关于( 气，知) 在d ( r l ，f 1 ) 上解析 速代第一步 下面我们详细给出k a m 迭代的第一步有了上述准备，我们假设g l ( ，知) 在 d ( r t ，“) 上解析，且i ig li i d c l ，) = 砉i ig l u0 d ( “1 1 ) + i ig l 。l l d ( l ，) e 1 通过 坐标变换消捧g l ( z u ，钿) 的扰动项中关于的零次项系数和1 次项系数中关于的幂 级数次数i 九f 满足2 0 + 1 i 九i 2 1 的各项一次k a m 迭代又分两小步完成 ( i ) 首先通过一次近似于恒等映射的坐标变换姘使g l 。关于的零次项系数中关于 幂级数的最低次数由迭代前的2 0 + 1 变为2 1 + 1 记1 。( ，岛) =g ”2 挚 u u l = 2 如t i - - o 由上述条件得： | | 1 u 怕( ，。) 冬z 1 1 设变换科如下定义： j ，= 对， l 南；对+ n ，( 右) 则其逆变换霉 1 如下： 协乙。础 解下列线性方程 吼) 一0 1 ( a t 气) + h = 0 ，( 皓 口，( 气) ： i i j 1 = 2 ，i 0 1 = o i i 、i p 毋 ( 糟一k ) 一，j 东南大学硕士学位论文 由小分母条件( 2 , 2 ) ，估计n l 的范数； o r0 f i i 。，l i d ( , t ) 吾i ig ，。叫- ) 吾e z z ，2 吼 这里e i = 警1 显然有， 皿i ：d ( ( 1 一) r l ，( 1 3 f i ) z 1 ) ，d ( ( 1 一e ：) n ，( 1 2 ( ：) z t ) ， g l ：d ( ( 1 一) r 1 ，( 1 2 f i ) f 1 ) 一d ( r l ，( 1 一) z 1 ) ，( e l ) 皿 1 ：d ( r i ，( 1 一) z 1 ) d ( r l ，1 1 ) 于是，斫= 雪f 1o g loq 是定义在d ( o 一) r l ，( 1 3 e i ) z 1 ) = d ( r l ，z i ) 上t o 解析映 射其形式如下： 9 1 ( u ，气) = ( 叫) - 1o g lo q ，气) = ( 芝蒜甜 其中， 9 i 。( 毛，为) = g l 。( 缸，知+ 0 1 ( 气) ) ， g i 。( 施，气) = g x 。( 气，知+ m ( 气) ) 一g h ( 气，z v ) + g l 。( 气，z v ) 一互h - a s ( a 气+ g l 。( 气，z v + m ( 气) ) ) 一口l ( a 。气) 】 接下来，我们分别来估计g i 。，薪。的范数设f l ；e i ，显然， r l l i i g i 。i i 。“，l ：) _ 1 r 1 1 1m 。慨。，l ；) sf 1 当( 气，知) d ( r l ，z i ) 时， i a 。+ 9 h ( z 。，知+ a l ( z 。) ) f s ( 1 一去矗) r l ， la l ( a 。气+ g l u ( ，十0 1 ( ) ) ) 一口1 ( a 。) i i 西( 气) l l 酬( 1 一 e i ) r 。) ig l ui 口“日) 杀un 川虮一e l 盖吼叫- 2 她e 1 1 3 东南大学硕士学位论文 i 1 | j9 i 。j j 。“，缈s 毒j j9 n | j 。( r ，+ 2 e ，s ， ( i i ) 再通过一次近似于恒等映射的坐标变换吖，将g i 。中关于的0 次项系数关 于缸的幂级数的最低次数由迭代前的2 。+ 1 变为2 1 + 1 ，将斫。中关于知的1 次项系 数关于气的幂级数的最低次数变由迭代前的2 0 + 1 变为2 1 + 1 设坐标变换雪? ： 则其逆变换皿：d ： f ：岔+ 6 1 ( 砧) ， i 知：菇+ 。( 右) 右 f 芯：+ 5 ，) ， i 暂：气+ 西( 气) 如 其中5 ，( ) = - b l ( 荀) ，0 1 ( 知) = ( ，+ c l ( 力) ) 一，这里，是n s 阶单位矩阵 令 丸= 刃”毋，薪，= 9 ；”毋毋 l i 。t = 2 , 品i ：o觇卢2 肌滓l 解下列线性方程 a 。b l ( z u ) 一b l ( a 。气) + i 。= 0 a 。晚( 气) 磊一c l ( a 。缸) a 。岛十奠。= 0 比较幂级数系数容易得到， 6 l ( 气) = c 1 ( 气) 知= 卢2 ，忱l = 0 h 降2 ，睁1 ( 皓一a 1 ) 。 田“毋 ( 船一九) - 1 ( 砖砖一凡+ ，) 一- 、 1 矿孝孝 ( 皓砖一k ) 一t 1 4 ，j-_i-_一，-_l_i、 东南大学硕士学位论文 由隐函数定理知，兹= 气+ o ( z ) 所以， 5 l ( 气) = 一b l ( 力) = 一6 l ( 气) + d ( 1 ) ， 而( 气) = ( j + c 1 ( 苟”一1 一f = 一c 1 ( 露) + c 1 ( 右) 2 + 一一c l ( z u ) + o ( 乏1 + 1 ) 由小分母条件( 2 2 ) ( 2 3 ) ，估计b l ，c l 的范数； i i b - i i d ( o 云i ig lf f d ( r i ，f i ) r ，e ，吒， i i c - i i 。( r i ) 等i ia 。g 而。，i 。= o l l 口( 噍l ，) c 等e t = 这里= c - 等e 1 并且，由 西( 气) = ( i + c 1 ( 茗) ) 一1 一? = 以( 右) + c l ( 才) 2 + 我们知道，如果l ic 1 ( 芯) | ，则 l le a ( ) l l - - g20c l ( 露) l j 同样满足适当条件，我们有 从而 霉：d ( ( 1 4 0 d ，( 1 4 q ) l i ) 一d ( ( 1 3 ) r i ，( 1 3 q ) 1 1 ) g i ：d ( ( 1 3 e ：) r i ，( 1 3 e f ) z ；) 一d ( ( 1 2 ) 吒，( i 一2 4 ) t d ， 由拓扑度理论可知； 皿：_ 1 ：d ( o 2 ) ，( 1 2 e ：) ；) 一d ( ( 1 一) ，( i 一) ) 所以虫= 皿：一1o 或。吖定义在d ( ( 1 一缸：) ，( 1 4 e f ) z i ) 上 令 g z c 气，匈，= ( 2 三：芝：三；) c 气，知，。c c 一t 铂r ，c 一艇匀啪， 屯气+ 9 2 。( 缸，知) 1 5 东南大学硕士学位论文 1 6 其中， 9 h ( 气，知) = ( 鲥。( 气+ b , ( z j ，知+ c l ( 气) 知) 一区。( 知，知) ) + ( 9 i 。( 气，知) 一口i 。( 气，) ) + 【- 1 ( a 。气+ a 。6 l ( 气) + 9 i 。( + b l ( z u ) ，z v + e l ( 知) 知) ) + “( a 。气+ 虬6 l ( ) + 9 i 。( + 6 1 ( 气) ，z v + c 】( 气) 钿) ) j 一吼( a 。气+ a 。b t ( z u ) + 9 i 。( 气+ 6 1 ( 气) ，z v + c l ( 气) 知) ) 一b l ( a 。气) ) ， 9 b ( 气，岛) = ( 反。( 气+ h ( z j ，知+ c 1 ( 气) 匆) 一区。( 毛，知) ) + ( 硝。( 气，z v ) 一g “l v ( 气，知) ) + 陋l ( a “z u + g ；。( z u + 6 l ( z “) ，知+ c 1 ( 气) ) ) 一西( a 。z 。) 】 x f a 。岛+ 如以( z 扛) 知+ 雪乙( 气+ 6 l ( ) ，z v + c l ( 气) ) 】 + 矗( a 。气) a 。c l ( 气) + 而( 凡气) 9 i 。( 气+ b l ( 气) ，匈+ c 1 ( 气) 为) 接下来，我们分别来估计g ，锄的范数 首先估计9 2 。： 9 ；。( 气+ 6 1 ( 气) ，+ c 1 ( 气) 岛) 一9 i 。( 气，知) = 罄( 气+ 0 1 b l ( 吼z v + c l ( 砒) 6 1 ( 气) + 警( 气，岛+ 0 2 c l ( 气) 础- ( 气) 知， 这里0 吼，如1 ， 令1 一( 1 一t ) ( 1 4 ! ) j l = ( ；) 2 ，m ( 1 3 ) ( 1 4 4 ) ，就有 对v ( ，知) d ( ( 1 一以) 2 r l ，q l l l ) ， 9 i 。( 气+ h ( z j ，岛+ c 1 ( 气) 知) 一g i 。( 气，知) i 器“+ 等 忑z t 2 l 嵋 ( 3 5 ) 显然，鲥。( + 6 1 ( ) ，岛+ c 1 ( ) 2 t ) 一薪。( 知，知) l 。：o = o ( + 1 ) b ： g i 。( ，知) 一薪。( 气，2 u ) = 9 i 。( 瓦，0 ) 一玩。( ，) + 斫。( ，知) 一崭。( 缸，0 ) 显然， 9 0 ( 五，0 ) 一毙( 毛，面) = o ( 之1 + 1 ) ，9 0 ( 气，) 一g ：。( 气，0 ) = 0 ( 知) 东南大学硕士学位论文 且 i 斫。( 气，) 一崭。( 气，知) i d ( ( 1 一d ，) 。1 。f 。) c e 一( ) 2 f l r i + 研2 e l r i ( 3 6 ) c ：令叫( 施，知) = a 。气+ 扫l ( 气) + 或。( 气+ 6 1 ( 气) ，z v + c 1 ( 气) 知) 一b l ( 钮( 气，知) ) + 6 1 ( a 。气+ 叫( 气，) ) = 0 ( ( 伽( 气，知) ) 2 1 + 1 ) = o ( z 1 + 1 ) 因为 l | 5 1 ( ( ，) ) + b 1 ( w ( 气，知) ) | i d ( ( 1 一j ，) 嵋，q 。1 1 ) 2i i6 l ( z 。) | | d ( r ) 2 e i l i q i 所以， i | 5 l ( 气，锄) ) + 6 l ( 气，知) ) i i d ( ( 1 一以) 。r ；，1 1 h ) e 拶2 e ：r iz 。i 2 re l e - - t 、4 - s ) 2 一 c e 一( ) 2 e l r ： ( 3 7 ) d 令u ( 气，知) = a 。b z ( z ) + 9 i 。( 气+ 6 l ( 气) ，知+ c 1 ( 气) ) 6 1 ( a 。气+ u ( 气，) ) 一6 1 ( a 。气) = 象( a t 气+ 钆( 槲) ) 洲确) 易知： “6 l l a u + i l 气，知”一6 l 氏) lj d ( o 一5 1 ) ， i i i ) 石1 毋i ( r i ：+ 州i ) = 百c 【i z ) 2 e ：r ，1 ( = 。i 2 * r e - ) 又 ，6 l ( a 。缸+ ( 气，) ) 一6 l ( a 。) = o ( 之1 + 1 ) b 1 ( a 。气+ f ，( 气，) ) 一6 1 ( a 。) l i d ( ( 1 一以) z r “，7 l h ) 暑( 等) 2 r i e - ( 扩 c e 一( r 1 ( 1 。斟6 1i 2 i ) 2 1 ) ( 3 8 ) 1 7 苎直兰堡兰垡丝塞： 1 8 这样，通过上述分析，由( 3 5 ) ，( 3 6 ) ，( 3 7 ) ，( 3 8 ) ，显然有 弛。j l d ( ( 1 5 1 ) 2 ， 此外还有虫。( 气，0 ) = d ( 2 1 + 1 ) 下面估计9 ： 类似于前面的估计有， i i g l 。( 气+ 6 ，( 气) ，知+ c t ( 气) 如) 一g 乙( 缸，气) 怕( ( z 一”。州，) 暑e 讯； i j9 0 ( 气，岛) 一耍i 。( 气，锄) j j d ( ( 1 一d 1 ) 2 仉m f l ) c e 一( ；) 2 c l l l + c e l 叼；z 1 ； c - i ( a 。气+ 斩。( 气+ 6 1 ( 施) ，+ c l ( 气) 为) ) 一h ( a 。气) i d ( ( 1 5 ，) 。r h ”，h ) i ( 西+ c i ) ( a 。气+ g i 。( 气+ 6 1 ( 气) ，+ c l ( 气) 为) ) i d ( 0 一j ，) 。7 1 1 1 ) + l 西( a 。) + c l ( a “气) j d ( ( 1 5 ，) 。，。) + lc l ( a 。丸+ 9 ；。( 气+ b l ( z u ) ，知+ c l ( 气) 知) ) 一c l ( a 。7 u ) l d 【( 1 5 1 ) 2 目，h ) s “彬e l ，( - qi 2 r ) 2 鲰 f f a ”知+ a ”c l ( 气) 知+ g l 。( 气+ 6 1 ( 气) ，z v + c l ( 气) 知) f | d ( ( 1 一d 1 ) 2 n ，可1 1 1 ) c l r h o 西( k 气) c - ( 气) 如d ( ( - 一以) 2 r ，。f 1 ) 一一2 q ，z 1 = c ( 吾) 2 口- f - l l 已- ( a 。z - ) g l 。( 气+ 6 t ( ) ，知+ c ( 气) 知) d ( ( i 一狮，州，) c 等e ：j l 这样有 i i9 2 0jj d ( ( 1 - 6 1 ) 2 r 1 , 1 1 1 】s ( c e 谢e 1 + c e t 目；+ 面2 re ) f 1 令r 2 = ( 1 一d 1 ) 2 r 1 ，屯= r h l l 如果 酱目 e - 2 = q 不 则有 1 r 2 1 一 屯 9 2 l ( 3 9 ) 1 ) ( 3 1 0 ) d ( q ，1 2 ) sc ( e 一( ) 2 e l + v l e l ) c r 1 e 1 ( 3 1 1 ) ) c ( 耖) 2 c - + 蒜懈) 叼1 1 ( 3 1 2 ) 吒。怛， 扩一n ，t 一以 + n q q 仇 m + + 电 q 2 2 4：3 一 一 陋k c c 一 w - - 1 + l ，执i = o 如( 气，o ) 匈= 警i 。：。，= 巧m y 。 u j u 1 9 东南大学硕士学位论文 此外，我们设在d ( ，k ) 上解析，且= a + 赫，i l 如i i d k ) e 。 这次迭代我们是要通过坐标变换消掉鼽，知) 的扰动项中关于的0 次项系数 和1 次项系数中关于的幂级数次数矗i 满足2 1 + 1 克l s2 m + 1 的各项同样， 我们分两小步来完成 ( i ) 首先通过一次近似于恒等映射的坐标变换m f m ，使关于的零次项系数中 关于气幂级数的最低次数由迭代前的2 m - 1 + 1 变为2 m + 1 设变换皿名如下定义： ， j 气= 对， 【知= 对+ ( 露) 其逆变换皿：1 如下： ， i 寸= 气， i 右= 知一) 令= 卵嘧 2 ，i - 1 + 1 j 茎2 m + 1 1 m f = o 解线性方程 一一量懒1 。( ( a 乎- a + i ) - i 。一厂卜 8 i 。) 孑 8 口( r m ，孑m = z m 岛r 东南大学硕士学位论文 于是，g - = 皿：1o o 皿鲁是定义在d ( c z e 名) ，( 1 3 e ) f m ) 上的解析映射在此 变换下，我们得到在皿：，l 下的形式： 如( 气，知) = ( e - ) 。o o 皿2 ( ，匈) = ( 嚣揽身) ， 这里( 气，z v ) d ( o 一厶) ，( 1 3 e 麓) k ) 且 如。( 气，) = 9 。( 气，+ o 。( 缸) ) ， 9 ( 气，) = ( 蜘。( 气，匈+ 口。( 气) ) 一目i 。( 气，知) ) + ( 9 籼( 气，句) 一如；。) 一( a 。气+ 。( 气，知+ ) ) ) 一( 屯) 】 令厶= ( 1 一磊f m ，= ( 1 3 厶) k ，下面我们分别来估计g ，9 的范数，完全类 似于前面，得 磊1i i 。慨喻，z 。磊1 i l i i 。( r m ，k ) e 。， 磊1 8 如嚅，) si 1 i i 。，l 。) + 厶e 。s2 f 。 这里假设e m 厶 ；此外，9 ( 气，0 ) = o ( 4 + 1 ) ( i i ) 再通过一次近似于恒等映射的坐标变换皿磊，将9 中关于知的0 次项系 数关于气的幂级数的最低次数由迭代前的2 1 + 1 变为2 ”+ 1 ，将g 中关于毛的 1 次项系数关于气的幂级数的最低次数由迭代前的2 1 + 1 变为扩+ 1 设坐标变换皿： ， i 气= 兹+ ( 芯) ， 【= 露+ ( 对) 才 则其逆变换皿：1 ： j 才= 气+ k ( 气) ， 【右= 知+ e m ( 气) 2 1 东南大学硕士学位论文 令鲲。=妒“才，=g r 砑毋 沙- i + 1 s 妇 s 妒，蜘i = o 扣q + l 乩i 2 m ，l j 。l = 1 + 解下列线性方程， 虬k ) 一6 m ( a 。气) + 豌。= 0 ： a 。c ，n ( 气) 知一c m ( a 。气) a 。如+ 筑。= 0 比较幂级数系数容易得到， ( 将一a ，) 一l b = i + 1 t j 1 2 - 1 ，t j d = 0i l ( 略蟹一a 州) 一l ( 丸) 句= i 一1 + 1 比j 1 2 f - i ，觇 l 并且，由映射的性质我们知道 k ( 气) = 一6 m ( 。) + o ( z “+ 1 ) ， 舀。( 气) = 一c 。( 施) + d ( i + 1 ) 由0 鲲j i d ( v ，) s2 e 。且由小分母条件( 2 2 ) ，估计k ，的范数- - f 得， q f ，玎n 仇r 0k l l d ( a ) ：丁0 i i 。，c ：了屹= 岛， o 怕( 嚅) s 孑厶j j d ，sc 詈f m s 这里= c 譬e 。 于是， 雪二：d ( 0 一露) 吃，( 1 一毫) 乙) 一d ( 矗，繇) 由拓扑度理论知； 重：1 ：d ( ( 1 2 昂) ，( 1 2 磊) ) 一d ( ，名) 毋霄 肼 鳕 毒、 r 妒 埘 、 _ r 磅 k 孛 咄 潞 堵 ， 东南大学硕士学位论文 在此变换下，我们得到如在皿：下的形式； g 。( 气，) = ( 皿鲁) - 10 如0 皿：( 气，知) 一( 嚣：芝碧) ， 这里( ，岛) d ( ( 1 4 ) 心，( 1 4 砍) ) = d ( + l ，k + 1 ) 令劬n ( 毛，) = a 。气+ 。k ( 乞) + 鳞。( 缸+ k ( 气) ，匀+ 岛。( ) ) 则， 鲂；+ 1 u ( 气，知) = ( 如。( 缸+ k ( 气) ，岛+ g 。( 气) 知) 一g ( ，如) ) + ( 五。( 气，知) 一9 二。j + 6 。( 。( ，) ) + 6 。( 。( 磊，) ) 一6 m ( 。z 。，) ) 一6 仇( a 。2 。) ， + 1 。，知) = ( 如。( + k ) ，却+ c ，l ) 为) 一站。( 气，) ) + ( 9 二( ，句) 一蔹。) + 【k ( 弛。( 气，岛) ) 一己。( 。) 1 ( a ”气+ c 。气岛+ 五。( 气+ b m ( 气) ，知+ 岛。( 气) ) ) + 磊( a t ) 气+ 晶( a 。气) 如。+ h ( 气) ，南+ 岛) 句) 类似于第一步迭