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摘要 指数期货、期权作为目前世界上发展最快的金融衍生产品之一，其交易量大有超 过现货证券之势。但在国内市场上，还缺少这样的金融衍生产品；尤其是在目前的市 场环境下，个股价格狂跌，股票指数也不断跌破新低，给投资者带来了巨大的损失。 股指期货、期权作为套期保值的有效工具之一，可以有效地避免投资组合价值的减少。 在这种背景下，本文一方面在根据随机游走模型，利用l m 、d w 和a r c h 三 种模型检验了市场有效性之后，对国内市场的数据进行定量分析，提出了一个合适的 期权合约的设计方案。特别是，在利用该期权合约对上证指数基金模拟套期保值时考 虑到异方差性，本文将利用指数滑动平均模型来度量市场波动率，体现了“波动率微 笑效应”，模拟结果达到了良好的效果。另一方面，由于b l a c k & s c h o l e s ( 1 9 7 6 ) 提出的 定价公式是基于完备市场的五个假设之上的，因此，其定价结果与实际价格存在较大 的定价误差。而本文利用转移概率的方法，放松了b - 一s 公式关于市场无摩擦的假设， 推广到具有涨跌停板的情形，提出了一个计算相应情况下的期权价格的有效方法。在 后文的模拟中，利用均匀分布取得时间点，计算保值所用的期权的价格。 关键词：指数期权、转移概率、涨跌停、市场有效性、随机游走 a b s t r a c t a so n eo ft h ef i n a n c i a ld e r i v a t i y e st h a th a v ed e v e l o p e df a s t e s t ，t h en u m b e r o ft h ei n d e xo p t i o n st r a d e dh a se x c e e d e dt h a to ft h es e c u r i t i e s w h i l ei no u r c o u n t r y ，t h e r ei sn of i n a n c i a ld e r i v a t i v e s n o ws o m es t o c k sp r i c e sa n d t h e s t o c ki n d e xd e c r e a s ea c u t e l y ，w h i c h1 e a d st oe n o r m o u sl o s s a so n eo ft h eb a s i c h e d g i n gt o o l s ，i n d e xf u t u r eo ro p t i o nc a np r e v e n tt h ev a l u eo fp o r t f o l i of r o m d e c r e a s i n ge f f i c i e n t l y u n d e rt h i ss i t u a t i o n ，t h i sp a p e rc o n t a i n st w op a r t s o nt h eo n eh a n d ，a f t e r t e s t i n gt h em a r k e te f f i c i e n c ya c c o r d i n gt or a n d o m w a l k ，t h i sp a p e rw i l lp r e s e n t a n a p p r o p r i a t ei n d e xo p t i o na g r e e m e n tb ya n a l y z i n gt h ed o m e s t i c m a r k e t q u a n t i t a t i v e l y e s p e c i a l l y ，w h e nw ec o n s i d e rc o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t y d u r i n gt h eh e d g i n gs i m u l a t i o n ，w eu s et h em e t h o do fe w m aw h i c hr e p r e s e n tt h e v o l a t i li t ys m i l ea n di so f t e nu s e di nc a l c u l a t i n gt h ev a r a n dw ew i l lg e t a ne x c e l l e n ts i m u l a t i o nr e s u l t o nt h eo t h e rh a n d ，t a k i n ga d v a n t a g eo ft h e m e t h o do ft r a n s i t i o nd e n s i t y ，w eg e n e r a t et h eb sp r i c i n gf o r m u l a a n dt h i s p a p e rs u g g e s t sav a l i dm e t h o dt op r i c et h ei n d e xo p t i o nw i t hr a i s i n g1 i m i t o rf a l l i n g1 i m i t k e yw o r d s ：i n d e xo p t i o n ，t r a n s i t i o np r o b a b i l i t y , r a i s i n gl i m i to rf a l l i n gl i m i t m a r k e te f f i c i e n c y ，r a n d o mw a l k i i 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名： 李互i 武a 。辟月和日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：一李塑虻一山哆年占月；。e t 南京理工大学硕士学位论文初探我国指数期货、期权市场及期权定价 引言 自从1 9 8 2 年k c b t 推出股指期货、1 9 8 3 年c b o e 推出s & p 1 0 0 的期权合约以来， 金融衍生产品的发展是日新月异，交易规模和交易金额更是飞速增长。根据国际清 算银行( b i s ) 的统计，2 0 0 3 年底在有组织的交易所内交易的金融衍生产品交易金额 为8 7 3 万亿美元，是全球g d p 总量的2 4 倍多。韩国的股指期货、期权交易开始与1 9 9 6 年，到2 0 0 2 年，虽然仅有6 年的时间，但交易量增长迅速、市场规模不断扩大；而 且，韩国交易所的成交量在世界各交易所中高居榜首。 回看国内市场，缺乏做空机制，股市缩水，数以万计的财富灰飞烟灭，投资者 的投资热情受到严重打击；国内金融市场衍生产品的推出和发展已是刻不容缓。本 文将在第一部分通过列举我国市场的数据，分析国内市场推出金融衍生产品的必要 性和可行性。为可以顺利地在第三部分对定价公式作推导和第四部分给出合适的期 权合约，第二部分介绍了期权的基本概念和期权定价过程中涉及到的如b r o w n 运动 等随机数学的基本知识。接着第三部分在介绍了b s 公式及其发展的基础上，放松 b s 公式的关于市场无摩擦的假定条件，推广到有涨跌停时的情形，提出了对具有涨 跌停时期权价格的计算方法。第四部分：首先，分析我国指数市场的有效性，初步 得出我国指数市场是有效的结论：其次，通过列举我国市场的特点，结合国际市场 的经验，设计了以上证1 8 0 指数为标的指数的期权合约；还有，为了在下面的模拟 中，市场波动率的度量接近实际情况，本文还详细介绍了波动率模型的发展以及市 场数据分析的四种模型。最后，利用上文列出的指数滑动平均法计算实际的波动率， 调整套期保值率：根据本文推导的具有涨跌停的期权定价方法，计算此时的期权价 格；结合该期权合约对上证指数基金模拟套期保值。模拟结果达到了较好的保值效 果。 南京理工大学硕士学位论文初探我国指数期货、期权市场及期权定价 第一章发展衍生证券市场的必要性及可行性分析 1 1 市场必要性分析 我国的证券投资市场在经历了一段崎岖的发展之后，己具备了一定的规模，取得 了令人瞩目的成绩。单就上证交易所而言， 家，2 0 0 3 年上市6 7 家。上市股票8 2 4 只。 至2 0 0 3 年底，上证交易所有上市公司7 8 0 股票市价总值3 0 0 9 7 亿元，增幅1 8 6 6 ； 流通市值8 2 7 4 亿元，增幅1 0 8 1 。上市总股本4 1 7 0 亿股，流通股本11 5 7 亿股，流 通股本占总股本2 7 7 5 。深证交易所方面，至2 0 0 4 年1 2 月3 1 号，上市公司数有5 3 6 家，上市股票数为5 7 8 只。总股本有2 ，0 0 4 4 7 亿元，流通股本8 2 2 8 1 亿元，总市值 1 l ，0 4 1 2 3 亿元；总市值占g d p 比重为9 4 6 。指数市场方面，我国已推出了各式各 样的市场指数和行业指数，诸如上证综合指数、上证1 8 0 指数、上证5 0 指数、深证 成分指数等一系列的指数。这些指数构成了较为完备的指数体系，并为推出指数衍生 产品奠定了市场基础。 但在这一片繁荣的金融市场背后却隐藏着巨大的投资风险：我国的金融市场具 有较高的市场波动性，以上证指数为例，位点平均年上下波幅在3 0 左右以上，甚至 已高达6 5 7 ，远超过发达国家的市场波幅。其中，2 0 0 1 年下半年以来股市进入调整， 上证综指从最高的2 2 4 5 点下跌到最低的1 3 1 2 点，最大跌幅超过了4 0 。而在2 0 0 4 年 里，自7 月2 3 日以来，中国股市一反几年的上扬走势，几个交易周急剧下落，上证 指数从2 3 0 0 点左右跌至1 9 0 0 点以下，更是表明了我国的证券市场存在极大的波动率， 甚至最终跌破了1 2 0 0 点的大关。我国股市系统风险也比发达国家高很多，达4 0 ； 发达国家成熟股市经过上百年的发展，已经是相当规范的市场，不仅有发达的发行和 交易体系，还有完善的监管系统和健全的法律法规，能较为及时和准确地监测和防范 风险的发生，在风险发生后能有效地进行管理和控制。因此，除重大事件造成市场剧 烈波动外，发达国家成熟股市的发展一般都比较平稳，股市系统性风险也比较低。 由于缺少套期保值产品，也给国内投资者带来了巨大的投资风险，妨碍了市场的平稳 发展；但国外投资者却可以利用各种各样的投资工具来回避较低的系统风险。 而且中国股市是在中国经济转轨过程中产生的，只有1 0 年多的历史，还是一个不 发达、不健全和不规范的市场。首先，1 9 9 6 年之后，虽然中国股市在经历较大规模扩 容后，市场规模逐步增大，机构投资者队伍稳步扩大，政府调控和监管股市的能力正 逐步加强，市场系统性风险也呈现出下降的趋势。但相对于发达国家成熟股市的2 5 左右的系统性风险而言，4 0 左右的系统性风险依然是相当高的。尤其是，2 0 0 4 年的市场发展以及现如今的上证指数在1 1 0 0 左右的徘徊，更是让投资者损失惨重， 南京理工大学硕士学位论文初探我国指数期货、期权市场及期权定价 这说明我国的市场燕需引进有效的规避系统风险的工具。其次，证券市场产品结构比 较单一也是我国进一步完善市场的障碍。一般说来，成熟的证券市场产品既有基础性 产品，如股票、债券，又有结构性产品，如l o f s 、e t f s 等，还要有衍生产品，如股 指期权、股指期货等。我国证券市场是以股票为主，债券市场的规模很小，更没有衍 生产品。中国证监会主席尚福林2 0 0 4 年5 月1 9 日在出席“2 0 0 4 北京国际金融论坛” 上指出：目前我国资本市场的产品结构比较单一，基本上还是以股票为主。不仅固定 收益类证券产品比重很低，而且缺少组合投资所必需的金融衍生品，各类投资者行为 趋同，容易形成市场的单边运行。随着利率逐步市场化，金融机构和客户都将更大程 度地面临利率风险，在宏观经济运行和金融调控方向发生变化时容易造成风险积 累。 2 2 1 另外，威胁我国金融市场发展的因素还有国外的金融市场都不断推出了我国证券 市场股指衍生产品。c b o e 已经推出了c b o e 中国指数期权，以在美国上市的十六只股 票的价格构成的指数为标的指数推出的指数期权；香港联交所也计划在今年的五月份 推出新华富时5 0 指数的期权产品。这样，我国的证券市场将可能失去一部分证券市 场的定价权，影响到我国金融市场的稳定和进一步发展。 根据以上的分析，我国的市场需要推出股指衍生产品，促进金融市场的发展。 i 2 市场可行性分析 问题的存在要求我们尽快地改善市场，发挥金融投资的作用。下面的一些事实的 给出将充分说明，我国的市场已具备了初步的发展条件 ( 1 ) ：据上海证券交易所的统计有： 表1 ： 年份2 0 0 32 0 0 22 0 0 1 换手率 6 8 5 3 5 2 1 4 6 7 5 4 4 流通率 2 5 0 7 5 5 1 9 7 4 0 2 4 4 2 7 根据表1 的数据可知，我国证券市场上的散户投资者和公司投资者为期权市场的 建立和完善提供了足够的流动性；还有前文已经介绍了我国市场经过一段时间的发 展，已初具规模。这些都成为我们发展指数衍生产品的市场基础。 ( 2 ) ：我国的金融市场具有较高的波动率，在一定程度上，对投资者来说有一定的 优势，投资者根据波动率寻找多种多样投资机会，构造投资组合。2 0 0 3 年，上证1 8 0 指数涨幅1 1 9 4 ，振幅为2 6 1 7 ，上证b 指跌幅7 4 6 ，振幅为3 6 5 6 。 f 3 ) ：“国九条”的发布为衍生产品创造了良好的政策环境和现实机会；正在修改的 证券法也必将提供完善的法律环境。 南京理工大学硕士学位论文初探我国指数期货、期权市场及期权定价 f ：虽然目前市场上，金融衍生产品的品种相对较少，但是三大交易所的实物期 货的发展为金融期货的发展积累了经验，完善的结算系统和结算制度都为投资者提供 了有保障的投资环境。 正如c b o e 总裁布拉斯基所说：一个完备市场须具备的条件有：一是能够对该资 产做空；二是个体和公司投资者愿意提供流动性；三是底层资产的价格频繁波动；四 是有一个投资者感到有信心的监管环境；五是清算能得到保险。故对照本文已列出的 四点根据，我国的资产市场已初步具备了发展金融衍生产品的条件。 南京理工大学硕士学位论文初探我国指数期货、期权市场及期权定价 2 1 ：期权的基本概念 第二章预备知识的介绍 期权是一种能在未来特定时间以特定价格买进或卖出一定数量特定标的的权利： 因此，期权交易是一种权利交易。在指数期权交易中，期权买方在支付了一笔较小的 费用( 权利金) 之后，就获得了期权合约赋予的，在合约规定时间内，获得根据标的 指数的现值与敲定值之间差价乘以合约的乘数的现金的权利。期权卖方在收取期权买 方所支付的权利金之后，在合约规定时间，只要期权买方要求行使其权利，期权卖方 必须无条件地履行期权合约规定的义务。即对于期权卖方而言，除了在成交时向期权 买方收取一定的权利金之外，期权合约只规定了其必须履行的义务，而未赋予其任何 权利。 股指期权交易是在股指期货交易基础上产生的一种全新的衍生产品和有效的风 险管理工具，具有独特的经济功能和较高的投资价值。一是股指期权有利于证券市场 的发展。指数期权的建立能更好地保持证券市场的稳定，促进我国金融业的发展。二 是股指期货投资者可以利用期权规避市场风险。股指期权可以为其期货进行“再保 险”，二者的不同组合，可以构造多种不同风险偏好的交易策略，为投资者提供了更 多的交易选择。因此，股指期权是一种有效的风险管理工具。 这就可以引进有效的避险的工具来稳定市场，如可以利用指数期货，指数期权的 套期保值功能来很有效的规避系统风险。在我国经济的目前阶段，发展股指衍生产品 尤其是股指期权，对我国国民经济的发展具有重大意义。这表现在( 1 ) ：回避市场风 险。股指期权是回避系统风险，保证国民经济的安全运行的最有效的工具之一。股指 期权交易有利于促进股指期货市场平稳发展，股指期权还是股指期货市场投资者的风 险管理工具。在成熟的期货市场上，期货和期权是一个有机体。期权交易能够使参与 期货交易的投机头寸实现“保险”，投机者可以有效地减少或避免因决策失误造成的 风险。( 2 ) ：丰富组合投资策略，促进股市规范发展。从理论上说，期货市场是为现 货服务的，而期权市场是为期货市场服务的。在国外完善和成熟的市场上，做期货的 投资者，大都做期权；做现货的，离不开期货；而做期货的，离不开期权。要发展和 完善市场运行体系，就要建立健全市场框架。 套期保值是期权的最重要的功能之一，它是指买入或卖出与现货市场数量相当但 交易方向相反的期权合约，以期在将来某一时间通过卖出或买入期货合约来弥补现货 市场价格变动所带来的实际价格风险。套期保值作为期权的主要功能之，指数期权 可以利用套期保值，为基金管理者，机构投资者的风险管理的提供有效的工具。常用 南京理工大学砸士学位论文 初探我国指数期货、期权市场及期权定价 的套期保值方法有利用d e l t a 套期保值，利用最优保值比率进行套期保值，利用 d e l t a g a m m a 套期保值。其中，d e l t a 套期保值方法是较为常用的方法。本文将在第四 部分利用实际的市场数据对期权的套期保值功能作详细的模拟分析。 2 2 ：期权定价的预备知识 本节将先介绍有关b r o w n 运动的性质；然后介绍鞅的定义及性质；最后，介绍i t o 过程和i t o 定理。 定义2 1 ： 若一个随机过程江p ) ，t o 满足： x ( t ) 是独立增量过程； v s ，t 0 ，x ( s + r ) 一x ( s ) n ( o ，c 2 t ) ，即z 0 + f ) 一x ( s ) 是期望为0 ，方差为 c 2 ，的正态分布； x ( d 是关于t 的连续函数。 则称讧o ) ，t o 是布朗运动( b r o w nm o t i o n ) 或维纳过程( w i n n e rp r o c e s s ) 。 事实上，定义中的，可由，推出，因此过程留，f o 只满足，即可 判定为布朗运动。当c = 1 时为标准布朗运动，此时，x ( 0 ) = 0 ，j p )n ( o , t ) 。 定理2 1 0 q ：设忸o ) ，t o 为标准布朗运动，令；o ，t o ；0 ，则当b ( o ) = o 时， 对v o c f l c ，p n ) s ( t ：) ，口以) ) 的联合密度为： 占( 墨，工2 ，；t l ，f 2 ，) = h p o l + l x z ；t f “一 ) ， 舯p ，= 去唧 一卦 注：( 1 ) 标的指数服从几何布朗运动，即有 s ( t ) 一s ( o ) e x p d b ( t ) + o 一寺盯2 ) t ，且和。都是常数，仃) 0 l 二 j s ( 1 ) ，s ( o ) 分别记为t 时刻和0 时刻的指数值。 ( 2 ) 指数的收益率服从对数正态分布，即： 讧( f ) ，0 c t r 提指数的变化过程，0 t t ic t ： t 。= 丁 有r = 等, l n r n 2 ) ，f 啦，n 定义2 2 ：设有过程伍( f ) ，t o ) 及域流亿，0 c t 丁) ，称口( f ) ，t o ) 关于 f ，0 c f 7 1 是 鞅，如果：( 1 ) n x , f c o 。 ( 2 ) e ( x ，j 只) = x ，0 s t t 定理2 2 p 7 】：( 布朗运动的鞅性) 设徊( f ) ，t 0 为标准布朗运动，则： ( 1 ) 口( 0 ，0 ， 南京理工大学硕士学位论文初探我国指数期货、期权市场及期权定价 ( 2 ) 忙2 0 ) 一f ，t 0 h 撇，一1 ；t 2 t p c 4 ， e x p l i b o ，+ 三矛r ，rz 。 都是鞅。 定义2 3 ：( i t o 过程) 随机过程忸o ) ，t o ) 可表示为：d x ( t ) = 口( x ，t ) d t + 6 ( x ，t ) d b ( t ) 。 其中，e ( 掰o ) ) = a ( x ，t ) d tv a r ( d x ( 0 ) = b 2 t ) d t 则称讧o ) ，t o 为i t o 过程。 定理2 3 t ”j ：( i t o 定理) 假设某随机过程x 可由i t o 过程表示如下：d x = 4 ( x ，t ) d t + 6 僻，t ) d b ( t ) ，此处， d b ( t ) 代表布朗运动。 令f ( x ，t ) 为随机变量x 时间t 的函数，亦即f ，t ) 代表以x 为标的资产的衍 生证券价格。则该价格的变动过程可以表示如下： 彤；( 堕+ 堕n + 三姜6 ：) 出+ 堕船 。 、o to x2o x 2 7 o x 其中，f = f ( x ，0 ，a = 口( x ，f ) b = b ( x ，t ) 定理2 4 t ”】：( i t o 积分的一些性质) 令厂，g v ( 0 ，丁) 且令0 ss u t ，则 i ) f 脚，一f 脚。+ f 脚， 舢w i i ) f ( c ，+ g ) d z 一。f d b r + f g d b r ，( c 为常数) 对口w e w 芦r 1 0 定理2 5 【3 7 】：( 一维的i t o 公式) 令x ，为如下给t 0 的i t o 过程：, i x ，；u d t + v d b 。令g ( t ，z ) c 2 ( 【o ，o 。) r ) ( 即g 在 【o ，甸月上二次可微) ，则i g ( ，j ，) 也是i t o 过程， 啦：蚴出+ o g ( t , x , ) d x ，+ 三掣( 扰。) z1 觇a x。2a x z 、“ 这里( 凹。) 2 = ( d x ，) ( 踊。) 且有以下等式成立 出。d t = d t d b 。一r i b ，d b , = 0 ，础毋d t = 0 。 定理2 6 t ”1 ：( 分部积分) 假设，( s ，) = ，( s ) 仅依赖于s ，f 连续且为【0 ，q 上的有界变量，则： j c 坤) 蛾= h o b , 一f o b ，彤( s ) 南京理工大学硕士学位论文初探我国指数期货、期权市场及期权定价 第三章期权定价模型的推广具有涨跌停板的欧式指数期权 的定价 3 1 ：期权定价模型的发展 既然期权是这么重要的一个金融工具，对期权价格的研究也是期权研究的一个重 要方面。期货合约基本上是每月只有一份合约，而其价格则是对未来一段时间的价值 期望；不同的是，期权合约每月都有很多种，而且价格则直接反映将来的收益。投资 者关心的是期权价格的确定，价格主要反映了证券市场的波动率，还同时受着诸如无 风险利率、到期时间等因素的影响。这些我们都可以从一般的期权定价公式中的到启 示。 b s 模型有一系列假设条件，主要有： 1 、市场的无摩擦性，包括：无税，无交易成本，所有资产可以无限细分，没有卖空 限制。 2 、从时刻o = t 到时刻r ，以相同的利率借贷，利率按连续复利r 计算。 3 、从时n o = t 到时刻丁，股票不分股利。 4 、标的股票价格的变化遵循对数正态分布的随机过程，包括如下条件：股票价格连 续变化：在整个期权生命期内，股票的预期收益和价格波动方差保持不变：在任何时 间段股票的收益和其它时间段股票的收益相互独立；任何时间段股票的复利收益率服 从正态分布，即：昙翥等“( f ：一1 ) ，盯2 ( f ：一，) ) ，其中， s o ) 是标的物( 股票) 的价格。 5 、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。 注：第一个假设是没有交易成本，由此套利的资产组合中标的资产和期权的比例可以 持续调整而不会导致巨额成本。这一假设听起来有点要求太严格，但在流动市场中它 相对来说不太重要。第二个假设是利率固定，这一假设不正确，但如果期权价格对利 率不敏感，这一假设也就不重要了。第三个假设是标的资产不支付股息，这也是不现 实的。但修正模型可以使它容纳这一假设条件，相对来说比较简单。第四个假设条件 意味着标的资产价格变动服从对数正态分布，从而资产的回报率服从正态分布。该假 设在金融模型中广为使用。 设s 为定价日的指数价格，x 为买权合约的执行价格，t 是定价日距离到期日的时 间，r 是连续复利计算的无风险利率，o 是标的指数的波动率，则可以得到b s 期权定 价公式。 南京埋工大学硕士学位论文初探我国指数期货、期权市场及期权定价 在风险中性测度p 下，标的资产的价格服从几何布朗运动，即为：d s 。= u d t 十斑8 ， 其中，u 为漂移系数，仃为扩散系数 此时，可以得到关于欧式看涨期权定价的b - s 微分方程： ，：望+ u s 堕+ 三0 - 2 s 2 姿 以a s2 3 s 通过求解得到： ，= s o n ( d ，) 一x e n ( d ：) ，其中，s 。为资产初始价格，肋期权的执行价格 且d ：亟丝丛型 1 盯f d ：d 1 一盯以 这只是期权定价的一般模型；理论界对期权的研究从b l a c k s e h o l e s 公式的发表开始， 以及期权合约地建立，对这个公式以及定价模型的推广也进入了一个全新的阶段，包 括m e r t o n ( 1 9 7 4 ，1 9 9 2 a ) b l a c k ( 1 9 7 5 ，1 9 7 6 ) ，j o h n c c o x 和s t e p h e na r o s s ( 1 9 7 6 ) 等。 对指数期权合约的研究主要是经验性的对指数期权市场的一些数据进行模拟分析，如 l a u r ac a v a l l o p a o l om a m m o l a ( 2 0 0 0 ) i nj o o nk i m ，s o lk i m * ( 2 0 0 4 ) 等而 对指数期权定价模型的研究集中在一个是利率的随机性问题，其中有几个常见的模型 如h u l l w h i t e 模型，h e a t h j a r r o w - m o r t o n 模型，另一个是指数波动表现中的波动 率问题如m e r t o n ( 1 9 7 3 ) d u p i r e ( 1 9 9 4 ) h u l l w h i t e ( 1 9 8 7 ) 。 经过几年的发展，理论界对b s 公式作了大量的推广工作，如随机利率，分红， 标的资产的随机波动率以及标的资产波动模型的一般化。 对随机利率的研究工作可有两种方法完成：一种方法就是一般均衡物期权定 价：t u r n b u l m i i n e ( 1 9 9 1 ) ，m a i n n g ( 1 9 9 3 ) 利用这种方法给出了扩散模型的b - s 么式离散时间的封闭解。另一种方法是以套利为基础的期权定价( h a r r i s o n k r e p s ) ( 1 9 9 7 ) 起初，m e r t o n ( 1 9 7 3 ) 考虑了随机利率情况下的b s 公式，得到了高斯过程的 随机利率的期权定价公式，d u f f i e ( 1 9 8 8 ) 也考虑了随机利率的情况。但是，他认为 随机过程是标的资产和时间的函数，但没有得到封闭形式的解。c h e n g ( 1 9 8 9 ) 考虑 了与无套利定价一致的一类债券价格过程。a m i n e j a r r o w ( 1 9 9 2 ) 通过由h e a t h ， j a r r o w 和m e r t o n ( 1 9 9 2 ) 使用的模型得到了随机利率的标的资产的期权的定价功公式 但这些都是在以随机利率为g a u s s 过程时的假设条件下的封闭解。 国内对股票指数及其衍生产品经验性的研究验证主要有两个方面：( 1 ) 对指数市 场特征的分析( 2 ) 对股指期货，期权套期保值功能的研究。 首先是指数市场方面。利用对上证指数收益率的分布和正态分布相比较具有较高 的峰度值说明了我国的股指市场存在低峰厚尾的现象：并通过利用神经网络的知识对 9 南京埋工大学硕士学位论文 初探我国指数期货、期权市场及期权定价 波动中的异常波动进行识别( 刘晓峰资产定价理论：逻辑分析与验证) ( 吴冲峰 金融工程研究) ，( 李焕荣，李瑛1 9 9 8 ) 。而叶中行和曹奕秋( 2 0 0 1 ) 通过对短时间 ( 分钟) 收益统计h u s t 指数判定市场是否有大户操作行为。作为对市场波动性的研 究，陈健和何仁科( 2 0 0 2 ) 利用a r c h 模型对上海股市作了分析，得出实际股票波动 呈现集群现象，而且具有较强的投机性。刘金畅和崔畅( 2 0 0 3 ) 经过研究发现沪市和 深市股票收益率和波动性之间具有相互作用和相互影响，存在股价变化和走势之间的 互动作用和示范效用。 其次，利用股指期货进行套期保值。主要是以c a p m 为理论基础进行策略的研究 和理论分析( 卢太平1 9 9 9 ) 。而运用股票指数对股票资产组合进行套期保值，就会产 生两者内容是否一致的疑问，即是否可以完全套期保值，如用指数的看跌期权来保护 成份股外的股票时，由于两者走势不同会产生追踪误差，故陈立新和刘建( 2 0 0 2 ) 研 究了如何可以减少保值的误差。关于期权定价问题，陈萍和刘广应( 2 0 0 3 ) 对于随机 波动模型下的，给出了有分红及送配股的股票价格运动规律，并在已有的欧式期权基 础上，讨论了有分红及送配股的美式期权定价问题。钱小松( 2 0 0 4 ) 利用g i r s a n o v 定 理和等价鞅的知识作了对期权价格在不同的测度变换下得到了显式解的情况作了研 究。 注意到在上文的b s 公式的定价过程中，假设包含了完备市场标的物价格变化是 无摩擦的条件，这与我国实际市场是不符合的，因为我国的市场上包含了价格的涨跌 停限制，下节将就该问题对b s 公式进行推广。 3 2 ：b - s 公式的推广 本文将利用转移概率的知识对具有涨跌停的指数期权的价格进行研究，步骤如下： 先通过在某个时刻上根据： x ( f ；) = x ( f 。) e x p 巧( b ( ；) 一b o 。”+ ( r 一去盯2 ) o ：一f 。) ， l 上 j 取特定的指数值x ( t 。) ，结合转移概率的知识得出取该时间点上时的期权价格为 c ( f f ，z 瓴) ) 。再通过对时间点的选取，且f 。 ，盯2 ) ，由c = fc ( t ；，x 亿) p o 。) 以计 算出期权的价格。 这里介绍一下转移概率密度函数。 定义3 1 ：我们称p ( t o ，t l ；x ，y ) 是以x ( 岛) = x 为条件的，变量z ( f 。) 的转移概率密度函 数，即有：e “4 僻( ) ) ；c ( y ) p ( “，；x ，y ) d y 注：当过程讧o ) ，t o ) 具有m a r k o v 性时，对o g t os t ，和每一个f ，都有： 。 e m 坼( z ( f ，) ) p ( b ) j = fh ( y ) p ( t o ，f 。；x ( f o ) ，y ) d y 南京理工大学硕士学位论文初探我国指数期货、期权市场及期权定价 定理3 1 仉何布朗运动的转移概率) ： 设过程拉( f ”。) 满足方程： 删o 。r x 并( ( f n t ) d ) t ：+ ：o - x o 曲o 的解是几何布朗运动过程： x ( t ，) = x e x p 盯( b ( ) 一b ( b ”+ ( ，一言盯2 ) ( 岛一岛) l 二 j 则有忸o ) ，t 0 的概率转移密度函数为： p ( t 0 , q ；x , y ) d y 。凇眯d r 2 丽1e 叫一而啬畔- ( r _ 互1 0 2 ) ( t l - t o ) m 设期权标的指数的价格过程为s ( t ) ，涨跌停板的过程为( 0 一a ) s ，( 1 + 4 沁( t ) ) 。在 期权生命期内一段时间i t ，y l 上，把时间i t ，t 1 分成n 等分：t t 。c t 。c c t 。= t ，指数 在每段时间【t i , t 。) 内，只在 ( 1 4 ) s o ) ，( 1 + 口沁( f ) 】范围内变化。 又假设指数服从几何布朗运动，即在市场的测度下，有： d s ( t ) 一l t ( t ) s ( t ) d t + 彳o ) s o ) d b ( f ) ( 3 1 ) 其中，z ( t ) 是指数的漂移率过程，孑( f ) 为指数波动率过程，百o ) 为在市场概率测度声 下布朗运动。 在这种市场风险测度的情形下，我们将其转化为风险中性测度。风险中性测度定 理和g i r s a n o v 定理构成了期权定价的定价基础。 定理3 2 t “】：( 风险中性定理) 风险中性测度( r i s k - n e u t r a lm e a s u r e ) 有时又称为鞅测度( m a r t i n g a l em e a s u r e ) ， 是一种使得所有资产价值贴现过程为鞅过程的概率测度。风险中性定理表达了资本市 场中的这样的一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的条件下，如果衍生产品的 价格依然依赖于可交易的标的证券，那么这个衍生产品的价格是与投资者的风险态度 无关的。 这个结论在数学上表现为衍生产品定价的微分方程中并不包含有受投资者风险 态度决定的变量，尤其是期望收益率。关于这个原理，存在一些不同的解释，从而更 清晰了衍生产品定价的分析过程。首先，在风险中性的经济环境中，投资者并不要求 任何的风险补偿或风险报酬，所以标的证券与衍生产品的期望收益率都恰好等于无风 险利率；其次，正由于不存在任何的风险补偿或风险报酬，市场的贴现率也恰好等于 无风险利率，所以衍生产品的任何盈亏经无风险利率的贴现就是它们的现值；最后， 利用无风险利率贴现的风险中性定价过程是鞅。 定理3 3 t ”】：( g i r s a n o v 定理) 设b ( f ) ，0 t t 是概率空间( q ，f ，p ) 上的布朗运动，设f ( f ) ，0 t t 是相伴域流， 郇) ，0 t t 是关于上述域流的可适过程。对0 t t ，定义 南京理工大学硕士学位论文初探我国指数期货、期权市场及期权定价 鼢= y o 矽 胁堋) ，z ( t ) = e x p m 始”i 1 唧) 也 并且，定义新的测度f ) = 正z ( f ) 护 v a e f ，则在新的测度声下，豆( f ) ，0s fs r 是布朗运动。 看涨期权在到期目的收益为： ( s 叮) - k ) i s ( ，) 。 由g i r s a n o v 定理： j 过程口( f ) ， s t a b ( t ) = o ( t ) d t + 如( f ) 可以将( 3 1 ) 转化成在风险中性测度p 下的模型： d s ( f ) = r ( t ) s ( t ) d t + 盯o ) s ( f ) d 8 ( f ) 其中，r 为无风险利率过程。 对照( 3 1 ) 与( 3 3 ) 可以得到：盯o ) = 孑o ) 酬n ：丛生二塑 盯( f ) 故在风险中性测度p 下： ( 3 2 ) ( 3 3 ) 钉x p 卜j 1c r 2 ) ”咖盯f ) - 即0 ) ) 引理3 4 【】6 j ： 在风险中性测度p 下，s ( t ) 是指数价格过程，r 是无风险利率，则有e “s ( t ) 是鞅 过程。 证明： 由引理的条件：出“s ( f ) 一一r e 一”s ( t ) d t + e “d s ( f ) = - r e 一“s ( t ) d t + e 一“( 心( t ) d t + c i s ( f ) d 日( f ) ) = e “d s ( f ) d b ( f ) 由布朗运动是鞅过程，则e - r t s ( t ) 是鞅过程。 证毕 推论3 4 1 t “】： 在风险中性测度p 下，s ( t ) 是指数价格过程，r 是无风险利率，则有 e “ 仃) - k ) i 牺( ，) 。 也是鞅过程。 引理3 5 ：指数市场的涨跌停板是前日价格的a 倍( o a 1 ) ，r 是市场无风险利率；期 权合约的到期日是t ，交割价格是k ，期权在时刻指数值为s ( t ；) 一石。则有欧式看涨 期权合约在t 时刻的条件期望收益为： e t , , x i x ( r ) 一置】+ ：妒训x 【 。一盯扩i ) 一n ( d ：一盯扩i ) _ x d ( a ，) 一( d ：) 】) ( 。) 一( 以) ) 十( ( 1 + a ) x k ) o 一。) ) 其中，d l = ；惫l i l ( 1 + 一，口_ f i ) + 主0 - 2 口- t i ) ) 南京理工大学顿士学位论文初探我国指数期货、期权市场及期壑宣笪 妒去( 1 n 等一，仃- f 沙i 1 矿( 卜。) d ，2 ；：了手三亏i ( 1 “( 1 一口) 一r 仃一t ) + 壶仃2 ( r 一) ) 证明： 由于期权合约在t 时刻的收益为眇口) 一足】+ 。 该看涨期权在t 时刻的预期收益为： e “。陋( 丁) 一足】+ 一 盎y 一目+ p 纯，t ；x , y ) d y 以。一n 沁c s jc ( 1 + n 瑚+ 阻+ a 弦一圈+ 邵卜( 1 + 口均+ 【o a ) x 一叼+ 乓， 0 - a ) x ) 其中，p ( t ，t ；x ，y ) d y 是指数对应几何布朗运动的转移概率，且 比丑堋咖- p ( x ( r ) e d y ) = 丽1e 叶面畔- ( r 7 12 弦m 下面将分部求解： 我们假设跌停的价格是小于交割价格的，即有( 卜口讧 k 首先：( 1 ) f y k ) + p ( 。丁；五y ) a y = 。y p ( 丑茗，y ) a y f 埘。k 。p ( ，m ，y 坶 = 扩玑十足赤o n 卜力一咿一t 卜i 孑叮一t ”卜咭。一嵋一t 卜；矿f 一锄j 一 叫畴( 1 n 一咿卅+ 互1c r 2 n ) ) ) _ ( 赤( 1 一f r - 。+ 三1 却叫”j = k 耐叶) x 【( d ，一仃、瓦) 一( d ：一盯、j 可) j k 【( 噍) 一n ( d ：) 1 ( 3 4 ) 其中，吐2 孑坊专o n ( 1 + ) 一r 盯“；) + j 1 仃2 叮一” 咖击( 】n 等一，即f ) + 三1 旷锄 ( 2 ) 由上文的预备知识，我们已知该标的指数的收益率l n r 服从对数正态分布 p ( o n ) x c s jc ( 1 + n ) 磅 。j f l l 。+ a ) x a t , ，死x , y ) d y ( 3 5 ) = 。) 一 ，) 其中：吐= 斋i ( 1 n ( 1 棚) - r 口训+ 互1 c r 2 ( 卜) ) 南京理工大学硕士学位论文初探我国指数期货、期权市场及期权定价 d s 。赢1 n ( 1 一“) 一7 口一) + 尹( t - t i ) ) f 3 ) n n ，可以得到： 【( 1 + n 扛一k 】+ p ( s 。，( 1 + 砷= 【( 1 + 口扛一k i ( 1 一( 西) ) ( 3 回 ( 4 ) 由于一般情况下，可认为( 1 a ) x k 故： 【0 一a ) x k 】+ p ( s ，+ 1 ( 1 一n ) z ) 一0 于是，综合( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ，我们可以得证定理的结果。证毕 注：在本文的讨论中，都假设敲定价格的确定在涨跌停的范围之内。即对于看跌期权 而言( 1 一a ) x k ( 1 + a ) x ，对看涨期权有0 一a ) x k 0 + a ) x 。 在引理的条件下，通过在时刻t ；取一个时间点： s ( ) ；s ( t o ) e 砷 p 一寺盯2 x t ：一t o ) + c ，( b ( t 1 ) 一b ( t 。) ) l 二 j 模拟该时刻的指数价格，并计算出期权的价格为： 推论3 5 1 ：指数市场的涨跌停板是前日价格的a 倍( o a 1 l r 是市场无风险利率，期 权合约的到期日是t ，交割价格是k ，期权在时刻指数值为5 ( ) 。则有该欧式看涨 期权在取f i 时刻时的价格为： c ( t ；，s ( t 。) ) ：s ( ) 【( 吐一口f i ) 一n ( d ：一盯瓦) j e 叫“一r n ( d o 一( 吐) 】 - a v ( d 1 ) 一n ( d 3 ”+ e 一7 7 + ( ( 1 + a ) s ( t i ) 一k ) o - a t ( 1 一n ( d 1 ) ) 其中，反= ；南o n o + 口) 一r 叮