（岩土工程专业论文）软土地基随机固结理论研究与应用.pdf

摘要 软土地基随机固结理论研究与应用 摘要 研究生：王华敬 导n - ( 东南大学交通学院 缪林昌 江苏南京2 1 0 0 9 6 ) 软土地基固结沉降是岩土工程中的热点之一，它涉及到施工工期、建筑物的稳定以及工序的合 理组织与布置。随着我国基本建设的发展，在软土地区兴建项目将会日益增多，而某些重大工程建 筑对地基同结沉降又有严格的要求，因而对地基沉降估算要求也将不断提高，因此如何准确地估计 地基_ 十的同结沉降成为岩土工程关注的热点。 岩十参数随机场理论认为土是一种变异性非常人的工程材料，其性质十分复杂，而且具有空间 变异性，宜采用随机方法分析岩土工程中的问题。 本文以国家自然科学基金项目( n o 5 0 4 7 8 0 7 2 ) 为依托。在前人研究成果的基础上，将岩土参数 随机场理论引入到软十的i 捌结沉降理论中，采用理论分析、数值模拟、统计分析和工程实例相结合 的方法，首先研究了太沙基矧结理论中固结系数的子样数量和同结系数的概率分布对固结沉降的影 响，接着将随机场理论引入比奥同结方程中，推导出随机固结方程；之后对工程中得到广泛应用的 邓肯一张本构模裂中的参数采用正交分析法找出敏感性冈素，接下来编制有限元程序研究随机场对比 奥l 刮结沉降的影响，通过蒙特卡罗法统计分析随机场的影响规律；并采用数值积分法，迅速判断对 随机固结沉降影响显著的参数，最后提出便于工程实际应用的随机同结沉降计算方法。主要研究内 容和成果总结如下： l 、对太沙基i 古l 结方程中固结系数的子样数目和固结系数的三种概率分布对嘲结沉降的影响进行 了理论分析，发现数据本身的随机性对统计数据的影响较大，因此应尽可能获得较多的试验或观测 数据以减少由于数据的随机性引起的误差。参数的概率分布形式不同，对阎结的影响是不同的。 2 、首先将岩十参数的随机场理论与比奥l 嘲结理论结合，推导出既反映软土的i 嗣结过程而义体现 参数随机性影响的比奥随机同结方程，之后应用正交试验，通过极差分析和方差分析两种方法分析 了邓肯一张模型参数在取值范嗣内波动幅度相同和不同两种情况下随机组合对同结沉降的影响，找 出影响显著的因素，既为软土地基的固结沉降设计及施工提供参考，也可为参数的整理、反演和后 面的随机分析提供重点研究对象。 3 、应用随机场的局部平均理论和蒙特卡罗抽样技术，探讨岩十参数随机场对同结沉降的影响和 影响规律，表明岩十参数随机场对同结沉降的均值影响不明显，但对固结沉降的标准差影响显著。随 着随机参数相关距离的增大，所引起的i 嗣结沉降的标准差增大。 4 为了提高计算效率，将数值积分法引入比奥随机围结方程中，高效地判定对随机i 嗣结沉降影 响显著的因素；分析对随机同结沉降影响显著的土层位置。 5 、采用随机变量法对某工程进行随机分析，给出可能发生的沉降范围和出现的概率，有利于岩 土工程师们及时处理实际发生的异常沉降。 关键词：随机场，概率分布，比奥随机固结沉降，局部平均法，数值积分法 a b s t r a c t r e s e a r c ha n da p p l i c a t i o no fs t o c h a s t i cc o n s o l i d a t i o nt h e o r y o ns o f ts o l if o u n d a t i o n a b s t r a c t p h d c a n d i d a t e ：w a n gh u a - j i n g s u p e r v i s o r ：p r o f m i a ol i n - c h a n g ( t r a n s p o r t a t i o nc o l l e g e ，s o u t h e a s tu n i v e r s i t y ，j i a n g s un a n j i n g2 1 0 0 9 6 ，c h i n a t h ec o n s o l i d a t i o ns e t t l e m e n to fs o rs o i lf o u n d a t i o ni sa ni m p o r t a n ts u b j e c to fc o n s i d e r a b l ei n t e r e s tt o p r a c t i c i n ge n g i n e e r i n g , w h i c hr e l a t e st h ec o n s t r u c t i o np e r i o d , s t r u c t u r es t a b i l i t ya n dc o n s t r u c t i o np r o c e d u r e f o l l o w i n gw i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h eb a s i cc o n s t r u c t i o ni nc h i n aa n dm o r eb u i l d i n gc o n s t r u c t e di ns o f t s o i lf o u n d a t i o na r e a , h o wt oe s t i m a t ea sa c c u r a t e l ya sp o s s i b l et h ec o n s o l i d a t i o ns e t t l e m e n to fb u i l d i n g so n s o rc l a y sh a sb e c o m eak e yp r o b l e mt og e o t e c h n i c a le n g i n e e r i n gt h r o u g h o u tt h ew o r l d r a n d o mf i e l dt h e o r yo fs o i lp a r a m e t e r sc o n s i d e r st h a tt h es o i l sa r eh e t e r o g e n e o u sm a t e r i a l sc r e a t e db y c o m p l e xg e o l o g i c a lp r o c e s s t h ep r o p e r t i e so fs o i lv a r yf r o mp o i n tt op o i n te v e nw i t h i nt h es a m es t r a t u m b e c a u s eo fu n c e r t a i n t ya s s o c i a t e dw i t h i nt h e i ri n h e r e n ts p a t i a lv a r i a b i l i t y ，s t o c h a s t i cm e t h o ds h o u l db e a p p l i e di ng e o t e c h n i c a le n g i n e e r i n g u n d e rs u p p o r t i n gb yt h en a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( n o 5 0 4 7 8 0 7 2 ) a n da p p l y i n gt h e r a n d o mf i e l dt ot h ec o n s o l i d a t i o nt h e o r y ，f w s t , t h es t u d yf o c u so nt h ee f f e c to ft h ee x p e r i m e n td a t a p r o c e s s i n gi nt e r z a g h it h e o r yo no n e - d i m e n s i o n a lc o n s o l i d a t i o n s e c o n d ，b a s e do nt h er a n d o mf i e l dt h e o r y , t h eb l o ts t o c h a s t i cc o n s o l i d a t i o ne q u a t i o ni sd e r i v e d t h es e n s i t i v ha n a l y s e so ft h ep a r a m e t e r so f d u n c a n - c h a n gc o n s t i t u t i v em o d e la r es t u d i e db yo r t h o g o n a le x p e r i m e n t t h i r d ，t h ee f f e c t so ft h es o i l p a r a m e t e r sr a n d o mf i e l do nt h eb l o tc o n s o l i d a t i o na r ea n a l y z e d i no r d e rt oi l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h e s t u d y ，t h en u m e r i c a li n t e g r a t i o ni su s e dt oa n a l y z et h em a i ni n f l u e n c i n gf a c t o r se f f i c i e n t l yi n f l u e n c e do nt h e c o n s o l i d a t i o n f i n a l l y , t h ec a l c u l a t i o nm e t h o do fr a n d o mc o n s o l i d a t i o ni sp r e s e n t e d t h em a i nr e s e a r c h r e s u l t sa r ea sf o i l o w s ： i n ep a r a m e t e ra n a l y s i sm e t h o dh a db e e nm a d et oe v a l u a t ee f f e c t so ft h ed a t at r e a t m e n ta n dt h r e e p r o b a b i l i s t i cd i s t r i b u t i o n so ft h ep a r a m e t e rc vo nt h et e r z a g h it h e o r y t h ea n a l y s i ss h o w st h a tt h ed a t a t r e a t m e n tp r o c e s s i n ga n dt h ep a r a m e t e r sp r o b a b i l i s t i cd i s t r i b u t i o nh a v es i g n i f i c a n ti n f l u e n c eo nt h e o n e - d i m e n s i o n a lc o n s o l i d a t i o n 2 t h es o i lp a r a m e t e r sr a n d o mf i e l dt h e o r yi sa p p l i e dt ob i o tc o n s o l i d a t i o nt h e o r yt oo b t a i ns t o c h a s t i c m o d e l so fb l o tc o n s o l i d a t i o n t h ep r o m i n e n tf a c t o r sc a nb ef o u n di nd u n c a n - c h a n gm o d e lb yt h ee x t r e m e d i f f e r e n c ea n a l y s i sa n ds q u a r ed i f f e r e n c ea n a l y s i sm e t h o d si no r t h o g o n a le x p e r i m e n t 3 t 0d e t e r m i n et h ei m p a c to ft h ep a r a m e t e ru n c e r t a i n t yo nc o n s o l i d a t i o na n dt os e e kt h ei n f l u e n c e r u l e s ，l o c a la v e r a g et h e o r yi sa p p l i e di nm o n t e - c a r l of e ms i m u l a t i o n t h ec a l c u l a t i o nr e s u l i t so fr a n d o m f i e l da r ec o m p a r e dw i t ht h et r a d i t i o n a lm e t h o d t h ea n a l y s e ss h o wt h a tt h ee f f e c to fv a r i a b i l i t ya n d a u t o - c o r r e l a t i o nd i s t a n c eo ft h ep a r a m e t e ri sm i n o ro nt h em e a no ft h ec o n s o l i d a t e ds e t t l e m e n t , i nc o n t r a s t o nt h es t a n d a r dd e v i a t i o n i na d d i t i o n ，t h es t a n d a r dd e v i a t i o no ft h ec o n s o l i d a t e ds e t t l e m e n tw i l li n c r e a s ea s t h ev a r i a b i l i t ya n da u t o - c o r r e l a t i o nd i s t a n c eo ft h ep a r a m e t e ri n c r e a s e 1 1 h es t a n d a r dd e v i a t i o no ft h e c o n s o l i d a t e ds e t t l e m e n tw i l lb eu l t i m a t ew h e nt h ea u t o - c o r r e l a t i o nd i s t a n c et r e n d si n f i n i t y 4 u s i n gt h en u m e r i c a li n t e g r a t i o nm e t h o dt or e s o l v et h eb l o ts t o c h a s t i cc o n s o l i d a t i o nf e m ，t h e s i g n i f i c a n ti n f l u e n c i n gf a c t o rc a nb ed e t e r m i n e de f f i c i e n t l y f o l l o w i n gt h a t , t h en u m e r i c a li n t e g r a t i o n m e t h o di su s e dt od e t e r m i n et h e es o i lp r o f i l e st h a th a v ea l li m p o r t a n te f f e c to nr a n d o mc o n s o l i d a t i o n 5 b a s e do nt h ea n a l y s e sa b o v e ，t h el i a ny u n g a n g - x u z h o uh i 曲w a ye m b a n k m e n ts t o c h a s t i c a b s t r a e t c o n s o l i d a t i o ns e t t l e m e n ti sc a l c u l a t e da n da n a l y z e d t h es t o c h a s t i cr e s u l t so ft h ec a l c u l a t i o na r cc o m p a r e d w i t ht h ed a t u mm e a s u r e di nt h es i t ea n dc a l c u l a t e db yt h et r a d i t i o n a lm e t h o d t h ec a l c u l a t i o nr e s u l t so f s t o c h a s t i cc o n s o l i d a t i o ns e t t l e m e n tc a ns h o wt h ep r o b a b l ed i s t r i c t so fs e t t l e m e n to c c u r r e d a n di tc a nb e u s e dt og u i d ee n g m e e n n g d e s i g n k e yw o r d s ：r a n d o mf i e l d ，p r o b a b i l i s t i cd i s t r i b u t i o n ，b i o ts t o c h a s t i cc o n s o l i d a t i o ns e t t l e m e n t , l o c a la v e r a g e , n u m e r i c a ii n t e g r a t i o n i l l 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所里交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究二 作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外。论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：至生弧日期：丝z ：! 盟! 璺 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括 以电子信息形式刊登) 论文的全部内容或中、英文摘要等部分内容。论文的公布( 包括以电 子信息形式刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：至擞一愿整罂晰日 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 我国软土分布十分广泛，滨海平原、河口三角洲、湖盆地周围、山间谷地等均有分布。由于软 土一般含水量高，孔隙比大，抗剪强度、渗透性低，且压缩性、灵敏度高，圃结变形持续时间长， 沉降较人，导致目前准确预估软十固结沉降与时间关系的能力仍然有限，所以，软土地基沉降量及 其沉降速率的预估就成了目前工程设计中的主要问题之一。随着我国基本建设的发展，在软土地区 兴建公路、铁路、水利、建筑、机场以及码头等项目将会日益增多。而某些重大工程，如高速公路、 机场跑道等工业与民用建筑对地基固结沉降又有严格的要求，因而对地基同结沉降估算的要求也将 不断提高，因此如何准确估计地基十的吲结沉降成为岩土工程关注的热点。 各国学者针对软土| 司结沉降问题不断探索，不断创新，进行了不懈的理论研究，获得人量的研 究成果。t e r z a g h i 理论i l i 在工程应用中获得巨大的成功，主要是冈为其公式简单，需要的参数可通 过常规试验得出，但因为它假设土体是线弹性材料，只在竖直方向发生渗流，土体在垂直方向的应 变是相同的等原冈，在将它应用剑压缩性较大的软土时往往出现较大的误差。魏汝龙【2 1 ( 1 9 9 3 ) 指出： “软粘土地基上的现场观察资料表明，实际的沉降速率通常比用t e r z a g h i 一维固结理论计算的快得 多”。 l e k h a 3 1 ( 2 0 0 3 ) ，z h u a n gy i n g - c h u n 【4 l ( 2 0 0 5 ) 等学者考虑剑一维i 占i 结理论中，软土实际同结过程中 渗透系数和压缩系数是随应力而变化的，将渗透系数和压缩系数用下面的公式( 1 1 ) 和( 1 2 ) 表示，从 此方面进行了一些有益的探索。 e - - e o c c l o g ( o 呒) ( 1 1 ) e = e o + ml o g ( k k 1 式中：c 。一“o g 仃的斜率； m 一o - l o g k 的斜率； e o一初始孔隙比； q 一初始虑力； k 一初始渗透系数。 ( 1 2 ) 其中c 。和m 的确定是关键。 b i o t 在1 9 4 1 1 5 j 年提出了真正意义上的三维静力固结理论，从较严格的圊结机理出发，考虑了土 骨架和孔隙水的相互作用效应。自从建立“真三维同结理论”以来，许多学者对饱和i 十的同结问题 进行了广泛研究。由于b i o t 固结方程中的位移、孔压是耦合在一起的，给求解带来很大的困难。所 以研究者们从方程的转化入手，试图将位移、孔压分离开，从这方面进行了大量的探索。m c n a m e e 和g i b s o n l 6 , 7 1 ( 1 9 6 0 ) i j i 入两个位移函数，通过付立叶余弦反变换和拉氏反变换，分析了平面i 矧结和轴 对称同结问题；黄传志纠8 1 ( 1 9 9 6 ) 在假定下卧层是刚性的硬卧层的条件下，通过分离变量法给出b i o t 二维同结有限厚地基的解析解( 实际上是积分形式的解答) ，但由于含双曲函数，用积分形式表达， 东南大学博1 ：学位论文 没有得到j “泛应用。张华等【9 1 ( 2 0 0 0 ) 对多层地基内部作川集中力的情况进行了求解，陈胜立等1 10 1 ( 2 0 0 2 ) 讨论了横观各向同性饱和地基的轴对称i 司结问题。w a n gj i a n g u o 等【1 1 1 ( 2 0 0 3 ) 对多层地基的1 e 轴对称 固结问题，张引科等1 1 2 11 1 2 0 0 4 ) 对各向同性饱和土的1 f 轴对称同结问题，宰金珉掣1 3 1 ( 2 0 0 2 ) 对横观各 向同性三维有限层地基的l 司结问题进行了求解，但由于数学上的困难，采用级数和积分变换方法只 能对少数简单的边值问题求解，冈而f t 程中应用较少。 岩土工程师们一方面从理论上进行研究，另一方面从实践出发总结归纳经验。从实测沉降曲线 推算未来沉降和最终沉降的方法很多，其中双曲线i 去1 1 4 1 ( 1 9 9 0 ) 、三点法、a s a o l ( a 法( i 5 1 ( 1 9 9 8 ) 、指数 法和灰色理论等方法应用较为广泛。但这些方法计算出的结果往往与实测结果有较大的差异，而且， 同一实测曲线采用不同方法推算的结果往往相差很大。 以上研究都是基于确定性方法，从不同方面试图准确预估软土地基的l 刮结沉降。 实际上，岩土工程中存在着许多不确定性因素1 1 6 ，1 7 】，这已被广大岩土工作者所认可，其中一个 典型的例子是h v n e s 和v a n m a r c k e 提供的 1 ( 1 9 7 5 ) ：他们向十位知名的岩士工程师提供了一个堆堤试 验的基本资料，包括地基土的勘测资料和堆堤的尺寸、方法等，要求每位工程师按自己的经验与方 法预测这个堆堤试验的各项反应( 如沉降、孔隙水压力、破坏时的填方高度等等) ，然后开了一次讨 论会，由十位预测者报告各自的估计结果，听众可以随便提问，也可以发表自己的见解，最后公布 原型观测的结果。对比分析表明岩土工程中预测的可靠性是非常之低的，对于破坏时的填方高度， 十个预测者中七个给出了估计的最大最小区问，三个只给出了定值估计，区间上限的最大估计是9 1 米，下限的最小估计值是1 5 米，而实际的观测结果是5 7 米：在七个给出区间的观测者中间，只有三 个预测者估计的区间覆盖着观测值，命中率为4 3 。其实，出现这种情况不足为奇，这说明岩土工程 中存在着众多的不确定性闪素。 这些不确定因素主要有两种：随机性和模糊性。随机性是由于受条什限制( 如试验设备不够先进， 试验数据不够精确等) ，无法获得其真值，但事件所表达的概念本身却是精确的，如土的弹性模量、 密度等；模糊性是由于排中律的缺失，概念本身没有明确的界限，如边坡稳定性判别，安全系数在 0 9 9 5 与1 0 l 之间无本质的区别，判断k = 0 9 9 时不稳定，而k - - 1 , 0 1 时稳定，这显然是不合适的。 随机性因素又可进一步分为随机变量、随机场、随机过程以及随机场和随机过程的结合【l 州( 刘宁， 2 0 0 0 ) 。随机变量用来描述与时空无关的单一变量的随机特性；对于具有空间分布特性的随机参数则 需川随机场加以描述，如岩土材料参数；随机过程则刚来描述在时间上具有时变特性的随机参数， 如地震加速度。 大量的试验、统计结果和事实表明，土性参数存在着变异性，而且变异系数远比一般的人工材 料大n 羽( 顾保和，1 9 9 5 ) 。地基力学分析的精度在很大程度上依赖丁二土性参数统计分析的精度。正是 因为如此，采j j 随机分析的方法，对不确定或离散性较大的参数，用一个可能出现的范围而不是用 一个简单的数去描述显得更为合理。 事实上，除地基土材料参数的不确定性外，地基沉降分析中还存在大量的其它不确定因素。总 体上说，岩+ 工程中的不确定因素体现在以下几个方面n 以1 7 瑚洲墙1 ： 1 、荷载的不确定性：荷载主要包括十体的自重和上部结构作用荷载。土体白重的变异性较小，包承 纲( 1 9 8 9 ) 1 等对大港码头堆场土的试验表明，土体容重的变异系数为0 0 2 6 。上部结构作用荷载 根据不同的情况，变异系数可能会引起较人的变化，例如码头堆场荷载的变异系数可能较大，而 高楼结构荷载的变异性则可能较小。 2 、地基土材料参数的不确定性：除容重外，地基土的弹模、泊松比以及强度参数( m e ，巾) 也都存在 着变异性。此外，由于地基沉降往往为一定范围内土性的平均特性所控制，而十性参数一般又表 现出明显的空间变异性，不同位置土性参数具有相关性，因此，土体材料参数通常需采用随机场 模型加以模拟( v a n m a r c k e 。19 8 3 ) 唧1 。 3 、几何尺寸的不确定性：从总体上看，这一方面的研究成果还极少，目前已出现的成果主要反映在 2 第一章绪论 土层厚度不确定性的模拟以及土体内变异物位置和尺寸的不确定性对沉降的影响。 4 、初始条件和边界条件的不确定性：在土石坝、堤防和路堤的渗流和沉降分析中，必然涉及初始条 件和边界条件。由于土石坝上下游的水位、堤防和路堤下的地下水位都是随机变化的，故其初始 孔压和边界上的孔压均存在不确定性。 5 、计算模型的不确定性：由于不论采用何种计算模型( 包括本构关系和强度准则) 都不可能绝对准确 地反映实际情况。至今，针对不同土质材料，人们已提出许多本构模型和强度准则，不同的模型 所反映的侧重点各不相同，那么所得结果则有可能相差很大。计算模型的不确定性问题较为复杂， 国际上已有学者进行了一些有益的探索，如d i t l e v s e n 和k i u r e g h i a n 等人对工程结构计算模型的不 确定性进行了研究( 1 9 8 2 ，1 9 9 0 ) 涩1 ，相比之下，在岩土丁程领域，研究成果还极少幢1 。而在地 基沉降分析方面，唯有b o u r d e a u 和a s h m a w ，简单地对线弹性和理想弹塑性不确定问题进行了探讨 ( 1 9 9 5 ) 1 ，在这一领域尚有许多工作有待进行。 6 、管理的不确定性汹1 ( 陈祖煜，2 0 0 3 ) ：指由于人们的行为不当导致的工程事故，最常见的例子是施 工质量方面的问题。 而其中的第2 个因素：地基土材料参数的不确定性又来自： 1 、土的性质的天然( 固有) 可变性： 2 、勘测取样方法与试验方法的误差： 3 、试验数鼋和勘探数量不足。 岩土工程中土的状态是由有限个相互独立的参数确定的。这些参数大多是随机的，这是因为设 计参数从本质上说是用来描述性状不均匀性的，它们依赖于人类无法控制的许多冈素，而且这些设 计参数的数值一般是根据试验或调查数据统计得到的。既然岩土r t 程中有诸多不确定性因素，那么 采用不确定性方法随机分析方法进行研究岩土工程中的问题是可行的和有意义的。 1 2 国内外随机固结沉降研究现状 1 2 1 李特威尼申提出的随机介质理论 波兰学者李特威尼申( j l i t w i n i s z y n ) 于1 9 5 7 年为研究采煤岩层与地表移动问题提出的随机介质 理论是为了研究岩层下采空后，岩层移动向上传递的规律【2 6 】。 z 一一：w ( ，z 3 ) z 2 2 2 。 7 w ( 毛，z 9 z = z l ，w ( x ，z 1 ) r 叼山口i 矗! - h 上f d 3 x 銮堕叁堂竖生堂垡丝苎 在研究图1 1 所示的岩层移动向上传递的过程中，若在z l 水平开采使z 1 水平下沉，下沉曲线 为w ( x ，z 1 ) ，则w ( x ，z 1 ) 是z 1 以上各水平产生下沉的原因：z 2 水平的下沉w ( ，z 2 ) 为z l 水平 下沉的后果，、矾，z 3 ) 是w ( ) ( ，z 1 ) 、w ( 毛，z 2 ) 下沉的后果。 随机介质理论所用到的五火公理如下： 公理l ：唯一性：某一算子作用在给定的函数上，所得结果唯一。 w ( x ，z 1 ) 是发生w ( 毛，z 2 ) 和w ( ，z 3 ) 的原因，则 w ( 毛，z 2 ) = 2 w ( x ，z o ( 1 3 ) w ( ，z 3 ) = q 三w ( x ，z 1 ) ( 1 4 ) 同样，w ( 毛，z a ) x 是发生w ( ，z 3 ) 的原因，或者说，w ( ，z 3 ) 是w ( 毛，z 2 ) 作用的结果， 即： w ( ，z 3 ) = q 主w ( 毛，z 2 ) ( 1 5 ) 由式( 1 3 ) 和式( 1 5 ) 可以得n - w ( ，z 3 ) = q 耄q 乏w ( x ，z o ( 1 6 ) 这样下式成立： q 耄2 q ：q 乏 ( 1 7 ) 公式( 1 7 ) 称为算子的传递性。 公理2 ：均质性：n 个相同开挖所产生的影响为单个开挖所产生影响的n 倍。即： q 2n w ( x ，z 沪n q 耄w ( x ，z o ( 1 8 ) 公理3 ：叠加原理：两个不同开挖所产生的影响为它们各自开挖所产生影响之和。即： q 耄( n w l + w 2 ) = n q w l + q w 2 ( 1 9 ) 公理4 ：存在单位运算子，即存在： l i e q ；= 1 ( 1 1 0 ) 使得： l i m q ；( x ，z 1 ) = 形( x ，z 1 ) ( 1 11 ) 公理5 ：正值性：开挖引起的岩层只有下沉。即： w ( x ，z ) 0( 1 1 2 ) 对于二维问题，得出下沉盆地w 应满足以下二维抛物线偏微分方程： 1 a w ( x r , z ) 叫娜) 挈+ f l ( x , z ) 罨笋一v r ( x , z 州琊) ( 1 1 3 ) 推，“到三维问题，下沉盆地应满足下式( z 为垂直轴，x l 、x 2 为水平轴) ： 4 第一章绪论 塑掣= 骂。( 五，置，z ) 塑铲+ 尽：( 五，置，z ) 塑警 + ( 墨，五，z ) 塑学+ 4 ( ，五，z ) 塑学 ( 1 1 4 + 4 ( 五，五，z ) 塑堕磐+ ( 五，置，z ) w ( x l ，置，z ) 称满足这一方程的介质为随机介质。 此随机介质理论自提出以来，经过我国学者刘宝琛、廖国华等的发展，其理论已逐步完善，应 用领域从最初的煤矿地下开采引起的地表移动预计，发展到露天开采，金属矿的地下开采，近地表 开挖及地层疏水所引起的地表移动预计问题 2 6 - 2 9 。 1 2 2 随机沉降问题的研究现状 1 2 2 1 直接概率法 此类方法不采用有限元等数值离散手段，而是直接基丁地基沉降的计算公式( 经验公式或规范 公式等) ，将计算式中的某些参数或全部参数视为随机变量，假定服从某种概率分布，或基于一阶 t a y l o r 展式，直接应用概率公式，近似地得出沉降均值和方差的表达式1 3 0 - 3 2 1 。 l 、砂土地基沉降的概率分析方法 s c h m e r t m a n n ( 1 9 7 0 ) 综合了前人在试验中测得的垂直应变分布，于1 9 7 0 年提出了按基础中心以 下垂直应变随深度的分布计算沉降的方法。其沉降计算公式为： s = 廿( l 巨) 必 ( 1 1 5 ) i l l 式中：舯为基底荷载； j ：。为垂直应变影响因素，决定于泊松比和计算点的位置； 局为土层弹性模量； 必为土层厚度。 盛崇文( 1 9 8 2 ) 在此基础上考虑了弹模互、荷载尸为随机变量，对上式进行t a y l o r 级数展开， 得出沉降的均值和方差分别为m 1 i ：q c 2 石壹厶必耳 ( 1 1 6 ) i = 1 玩r ( 鳓：! 、7 s 式中： q 、乞为修正系数； 5 ( 1 1 7 ) 东南人学博上学位论文 凹和e 分别为凹和置的均值；v a r 是方差。 该法计算简便，由于引入了修正系数，可针对具体t 程进行修正。但在利用t a y l o r 展式计算沉 降的均值和方差时忽略了高阶项，对弹性模量、荷载的变异性有所限制，此外，该法没有考虑土层 厚度的随机性。 2 、基于e - l g p 法的均匀地基沉降的概率分析法 k r i z e k 等人( 1 9 7 7 ) b 提出了基于e l g p 法的均匀地基沉降的概率分析方法。以正常同结士为 例，引入压缩比c r = c 。( 1 + e o ) 、荷载冈数l - ( 1 n p o + p ) p o = i n m 希i 沉降比r = s h ：c r l 2 3 ，其中c 。为 压缩指数，e 。为初始孔隙比，p o 为前期有效应力，p c 为前期同结应力，m 为荷载比，s 为沉降量，h 为土层厚度。根据试验数据得出c r 服从正态分布，l 服从对数止态分布，假定c r 和l 相互独立， 根据二者概率密度卷积数值积分，得出沉降比r 服从对数正态分布，并可得到其概率密度函数，由 此可绘出不同平均荷载比m 下，r 的均值和方差与平均干密度的关系图表，供工程人员使用。 该法以试验为基础得出各参数的概率分布，计算方法简便，考虑了应力历史对沉降的影响。由 于采用图表形式，便于工程应用，但该法以e - l g p 法为基础，没有考虑侧向变形，且只适用丁二均匀 地基，无法对成层地基沉降作出概率分析。 3 、基于规范法的概率分析法 针对成层地基的沉降，高大钊m 1 ( 1 9 8 9 ) 基于规范中的沉降计算公式，考虑了土层厚度、土的 重度、压缩模量和路堤高度的随机性，假定各变量间相互独立，对沉降进行t a y l o r 展开，求出沉降 的数学期望和方差。 该法适用于多层地基，充分考虑了参数为随机变量的情况，计算简便；与e l g p 法相比，对试 验数据要求较少。但该法对各参数问相互独立的假定需要进一步验证。 4 、基于e _ l g p 的多层地基沉降的概率分析法 包承纲和吴天行针对多层地基沉降问题考虑了参数随机变量的相关性，基于一阶t a y l o r 展式， 求得各十层沉降的均值和方差的表达式。与前面的三种方法相比，该法考虑的冈素最为全面，除适 用于多层地基外，还考虑了应力历史对沉降的影响和参数问的相关性。但该法所需的试验数据较多。 1 2 2 2 随机有限元法 1 、m o n t e - c a r l o 随机有限元法 将随机有限元法引入岩土工程领域，最初的思路是将m o n t e c a r l o 法与有限元法直接结合，即 所谓的直接m o n t e c a r l o 随机有限元法。 f e n t o na n dg r i f f i t h s l 3 3 ，3 4 1 ( 2 0 0 2 ，2 0 0 5 ) 考虑弹性模量e 早对数止态分布，基于线弹性理论，用普 通( 确定性) 有限元程序，采用多次m o n t e c a r l o 法计算，统计分析得剑沉降的对数的分布形式，发现 其为正态分布，并得到沉降与弹性模量e 的关系，从而可以由确定性方法计算出的沉降，推得e 随 机变化情况下的沉降分布概率及其均值、方差。该法由于不形成总刚，计算量大大减少，而且可以 利用酱通有限元程序。 2 、t a y l o r 法 该法的基本思路是将有限元格式中的控制量在随机变量均值点处进行t a y l o r 琵t f ( - - 次或二次) ， 经适当数学处理得出所需计算式。 r i g h e t t i 和w i l l i a m s 3 5 1 ( 1 9 8 8 ) ，b a e c h e r 和i n g r a 3 6 j ( 1 9 8 1 ) 利用t a y l o r 展开随机有限元对沉降进行 了概率分析，将有限元控制方程在随机变量的均值点处进行一阶或二阶t a y l o r 展开，而后针对t a y l o r 6 第一章绪论 展开式进行均值和方差的计算。 不失一般性，设沉降的有限元控制方程可写为： k u = f ( 1 1 8 ) 式中：k 、u 和f 分别为整体劲度矩阵、结点位移列阵和荷载列阵。 基本随机变量为：x 气x l ，x 2 ，x 3 ，x 。) 7 。沉降位移u 在随机变量的均值点 x = ( 墨，t ，托，鼍) 7 处t a y l o r 展开后，可得沉降位移u 的均值和方差为 e 眇】万+ i l 己n 乙i iu w c d l ， ，哆) 厶i = lj = l ( 1 1 9 ) c d 删啊c d 她，哆) + 聊配哆嘎) 2 17 。1 爿。1 2 1 ( 1 2 0 ) + 叼哆) 地) + 配) 粥嘶) j 该法计算公式推导简单明了，直接在控制方程两边对随机变晕求导，求得反应量对随机变量的 一阶、二阶偏导数，然后由式( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) 计算反应量的均值、方差。显然基于一阶t a y l o r 展开 随机有限元法只需进行一次劲度矩阵的形成和求逆计算，效率较高，但在一次t a y l o r 展式中忽略了 二阶以上高次项，使该法对随机变量的变异性有所限制，对于变异大于0 2 0 3 的情况需用三阶展 开，否则精度不够。二阶t a y l o r 展开随机有限元法对随机变鼍的变异性要求有所放宽，但计算量很 大，尤其当随机变量较多时，甚至无法实现。 3 、摄动法 贺斌i ”1 ( 2 0 0 3 ) 、闩蓉阐( 2 0 0 4 ) 等人利用摄动随机有限元法对岩土问题进行了概率分析。假定基本 随机变量x 在均值点处产生微小摄动，利用t a y l o r 级数把随机变量x 表示为确定性部分和由摄动 引起的随机部分，从而将沉降有限元的支配方程中的k 、u 、f 运用t a y l o r 展开表示。设ai 为随机 变量x i 在均值点置的微小摄动，表示成： 则： qi = x i x f ( i - 1 ，2 n ) k 夏+ + i n 口t - ， i = 1 j j = l u 万+ + 去q q 吒 i = i i , j = l f 万+ 口，e + 口。口，e j f = l f ，= l ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 代入控制方程( 1 1 8 ) ，转化为一组线性的递归方程，对其求解，得到反应量对随机变鼍的一阶、 二阶导数旺，然后由式( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) 得出反应量的统计特性。 7 东南大学博士学位论文 一阶摄动随机有限元法和一阶t a y l o r 展开法一样，只需一次形成劲度矩阵，一次对劲度矩阵 求逆，计算效率较高。但一阶摄动随机有限元法也需以微小摄动量为条件，而二阶摄动随机有限元 法的计算量较大。 4 、n e u m a n n 法与m o n t e - c a r l o 法结合 s h i n o z u k a ”i ( 1 9 8 8 ) 、和y a m a z a l ( i 【4 0 1 ( 1 9 8 8 ) 和s p a n o s l 4 11 ( 1 9 8 9 ) ，国内傅旭东等人 4 2 1 ( 2 0 0 1 ) 将 n e u m a n n 展式用于m o n t e c a r l o 随机有限元法，使m o n t e c a r l o 法与有限元很好地结合起来。只需组 装l o ，计算出u 。，之后用迭代解法就可以了。 k = k o + a k l c = k l x = f ，u o = x 鼹龃u o ( 1 2 5 )