（信号与信息处理专业论文）动态神经网络与分数阶Fourier变换的研究及其应用.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 分数阶f o u r i e r 变换是f o u r i e r 变换的广义形式，从本质上来说，是一种时频分析方 法。分数阶f o u r i e r 变换具有许多优秀性质，在非平稳信号的分析与处理上应用广泛。 基于癫瘸特征波一棘波具有高斯函数的特点，本文将分数阶f o u r i e r 变换应用于癫痫 脑电信号的棘波特征提取，由于棘波及其背景波在分数阶f o u r i e r 域内有不同的表现， 先对癫痫脑电信号进行小波变换减小伪差波形的影响，然后在适当分数阶域内采用高斯 函数拟舍棘波，可以得到较好的特征提取效果。 基于分数阶f o u r i e r 变换对二次线性调频信号具有敏感性，将分数阶f o u r i e r 变换应 用于高斯线性调频小波( c h i r p l e t ) 自适应分解算法的参数估计。由于在不同的分数阶域 内，c h i r p l e t 取模得到的高度和宽度不同，在适当的分数阶域内，能得到突出于背景噪 声的最佳c h i r p l e t 分量，这可以更准确地估计其参数。 基本e l m a n 网络是动态网络的一种，因其结构相对简单，运算量相对较小，且动态 特性充分，因此应用十分广泛。基本e l m a n 网络的传统学习训练方法有基于梯度下降的 b p 算法和扩展k a l m a n 滤波算法等。但这些方法各有优缺点：扩展k a l m a n 滤波算法尽 管收敛速度较快，但收敛精度不高：基于梯度下降的b p 算法能以很高的精度实现输入 输出的非线性映射，但其不足之处在于在极值点处收敛速度缓慢，而且将其应用于非线 性系统时跟踪性能不佳。考虑到扩展k a l m a n 滤波算法和b p 算法的长处和不足，如果 视基本e l m a n 网络的隐层单元输出作为非线性系统的状态变量，通过k a l m a n 滤波算法 实现状态变量的快速准确跟踪，然后通过梯度下降法修正权值，可以得到一种具有较好 收敛性能的新算法。 暂态混沌神经网络( t c n n ) 是一种具有类随机的暂态混沌动力学行为的神经网络。 将其应用于函数优化时，决定何时结束混沌特性和怎样控制混沌行为成为有效利用 t c n n 的最大困难。本文的t c n n 算法在混沌粗搜索过程中，有选择性地选取一些时刻 混沌神经元的输出状态进行细搜索，力图弄清优化函数的极小值及收敛域的分布状况。 然后根据这些先验信息，更合理地控制暂态神经元的动力学行为。同时，本文将基本 e l m a n 网络学习的目的可以看成是搜索适当的权系数使误差能量函数取极小值。因此， 如果我们将其看成一个复杂的非线性函数优化闯题，采用删方法来训练网络。 关键词：分数阶f o u r i e r 变换；癫痫；c h i r p l e t ；基本e l m a n 网络；k a l m a n 滤波 田玉松：动态神经网络与分数阶f o u r i e r 变换的研究及其应用 r e s e a r c ha n da p p l i c a t i o no fd y n a m i c a ln e p a ln e t w o r k sa n df r a c t i o n a l f o u r i e rt r a n s f o r r l l a b s t r 。a c t n 怆f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mi sag e n e r a l i z a t i o no ft h ef o u r i e rt r a n s f o r i o i ti sa t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i sa l g o r i t h mi ne s s e n c e t h ef r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mh a sm a n y e x c e l l e n tp r o p e r t i e s i ti sw i d e l yu s e di nn o n s t a f i o n a r ys i g n a la n a l y s i sa n dp r o c e s s i n g i nt h i st h e s i s ，t h ef r a c t i o n a lf o y e rt r a n s f o r mi su s e dt oe x t r a c ta p p r o p r i a t es p i k e f b a t l l r e sf r o ms c a l pe e gs i g n a l s b a s e do ns p i k e sh a v i n gt h ep r o p e r t yo fg a u s sf u n c t i o n b e c a u s es p i k e sa n db a c k g r o u n ds i g n a l sh a v ed i f f e r e n tp r o p e r t i e si nf r a c t i o n a lf o y e rr e g i o n ， f i r s tt l l ew a v e l e tt r a n s f o r mi su s e dt ot h es c a l pe e gs i g n a l st or e d u c ea f f e c to fb a c k g r o u n d n o i s e ；t h e ni np r o p e rf r a c t i o n a lf o u r i e rr e g i o n , t h eg a u s sf u n c t i o ni su s e dt os i m u l a t et h e s p i k e s ；t h eg o o de x t r a c t i n gf e a t u r e sc a nb ea c q u i r e d t h ef r a c t i o n a lf o y e rt r a n s f o r mi ss e n s i t i v et os e c o n d a r yp h a s i co fl i n e a rc h i r p l e t t h e f r a c t i o n a lf o y e rt r a n s f o r mi sa p p l i e dt op a r a m e t e re s t i m a t eo fg a u s sl i n e a rc h i r p l e t s a d a p t i v ed e c o m p o s ea l g o r i t h m b e c a u s eg a u s sl i n e a rc h i r p l e t sm o d e lh a sd i f f e r e n tw i d t ha n d h i 曲i nd i f f e r e n tf r a c t i o n a lf o u r i e rr e g i o n ，ag a u s sl i n e a rc h i r p l e tc o m p o n e n t t h a ts t a n d so u t b a c k g r o u n dn o i s ec a l lb ea c q n i m dt oa c c u r a t e l ye s t i m a t ep a r a m e t e ri np r o p e rf r a c t i o n a l f o u r i e rr e g i o n b a s i ce l m a nn e t w o r ki so n eo f t h ed y n a m i c a l l yr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k s k ss t r u c t u r ei s r e l a t i v e l ys i m p l e ；i t so p e r a t i o ni sr e l a t i v e l ys m a l l ；b u ti t sd y n a m i c a lp r o p e r t yi ss u f f i c i e n t s o i ti sw i d e l yu s e d t r a d i t i o n a r i l y ，b pa l g o r i t h mb a s e do ng r a d sd e s c e n d i n ga n de x t e n d e d k a l m a nf i l t e ra l g o r i t h ma r eu s e dt ob a s i ce l m a nn e t w o r k st r a i n i n g b u tt h e s ea l g o r i t h m s h a v er e s p e c t i v em e r i t sa n dl a c k s e x t e n d e dk a l m a nf i l t e ra l g o r i t h mc a r lq u i c k l yc o n v e r g et o c o n v e r g e n c e b u tr e s u l ti sn o ta d e q u a t e l ya c c u r a t e b pa l g o r i t h mb a s e do ng r a d sd e s c e n d i n g c a r la d e q u a t e l ya c c u r a t e l yr e a l i z en o n l i n e a rm a p p i n go fi n - o u ts y s t e m s b u ti t sl a c k sr e s t 、i t i l c o n v e r g e n c es l o w l yi np o l a ra n dt h e “b a d ”p r o p e r t yo f t r a c k c o n s i d e r e dr e s p e c t i v em e r i t sa n dl a c k so fb pa l g o r i t h ma n de x t e n d e dk a l m a nf i l t e r a l g o r i t h m ，an e we x t e n d e dk a l m a n f i l t e ra l g o r i t h mi sa d v a n c e d t h i sn e wa l g o r i t h mc o n s i d e r o u t p u to fh i d d e nl a y e ra ss t a t e so fn o n l i n e a rs y s t e m ，r e a l i z es t a t e sq u i c k l yt r a c kt h r o u g h e x t e n d e dk a l m a nf i l t e ra l g o r i t h ma n dm o d i f i e dw e i g h t so f n e t w o r kt h r o u g hg r a d sd e s c e n d i n g d u r i n gn e t w o r kt r a i n i n g ，p r e c i s i o no fc o n v e r g e n c ei si m p r o v e dt h r o u g hu p d a t i n gt r a i n i n g s a m p l e s 大连理工大学硕士学位论文 t r a n s i e n tc h a o t i cn e u r a ln e t w o r ki sae l a s s i cn e t w o r kt h a th a st h ep r o p e r t yo ft r a n s i e n t c h a o t i ck i n e t i ca c t i o n w h e nt h i sn e t w o r ki sa p p l i e dt oo p t i m i z a t i o no ff u n c t i o n ，w h e nt oe x i t c h a o t ma c t i o na n dh o wt oc o n 打o lc h a o t i ca c t i o nb e c o m et h eb i g g e s td i f f i c u l t yo fe f f e c t i v e l y u s i n gt h i sn e t w o r k n 地n e wt r a n s i e n tc h a o t i cn e u r a ln e t w o r ka l g o r i t h ms e l e c t i v e l ye a r e f u u y s e a r c h ss o m es t a t e st oc l a r i f yd i s t r i b u t i o no fs m a l la n dc o n v e r g e n c er e g i o nd u r i n gc h a o t i c s e a r c h a c c o r d i n gt ot h i st r a n s c e n d e m a li n f o r m a t i o n c h a o t i ck i n e t i ca c t i o nc a nb ec o n t r o l l e d i nr e a s o n a n o t h e r , t h et r a i n i n go fb a s i ce l m a nn e t w o r ki sc o n s i d e r e da ss e a r c hp r o p e r n e t w o r kw e i g h t st om i n i f ye r r o re n e r g yf u n c t i o n ，a n dt h i sp r o b l e mc a l lb er e g a r da sa c o m p l i c a t e dn o n l i n e a rf u n c t i o no p t i m i z a t i o n , s oi tc a l lb ed e a lw i t ht r a n s i e mc h a o t i cn e u r a l n e t w o r ka l g o r i t h m k e yw o r d s ：f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m ；e p i l e p s y ：c h i r p l e t lb a s i ce i m a nn e t w o r k ； k a l m a nf i l t e ra l g o r i t h m 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：! 盈至垫日期：鲨垒兰! 兰旦 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”。同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复日l 件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：! 里至丛 导师签名： 鲤墨趣 三! 生年堡月止日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 动态神经网络与分数阶f o u r i e r 研究的理论意义与应用价值 时频表示和时频分布【l 】是研究非平稳信号的重要工具，可以说，凡是平稳信号分析 与处理中的典型应用问题( 诸如信号检测与分类、滤波、信号的正交展开与综合、系统 识辨和谱估计等) ，在非平稳信号分析与处理中都有对应的问题。时频联合分析着眼于 真实信号组成成分的时变谱特征，将一个一维的时间信号或频域信号以二维的时间一频 率密度函数的形式表示出来，揭示信号中包含多少频率分量，以及每一频率分量是如何 随时间变化的。所以时频分析为研究非平稳信号提供了新的手段。 分数阶f o u r i e r 变换【l - 2 】是f o u r i e r 变换的广义形式，本质上来说，也是一种时频分析 方法。如果使用分数阶f o u r i e r 变换( “轴，与时间轴成p 角) 及其正交的轴( v 轴) ， 那么我们也就能够得到信号的二维( “一v ) 分布或表示。分数阶f o u r i e r 变换具有许多 优良的性质。目前，分数阶f o u r i e r 变换已经广泛应用于时变滤波和多路传输、时频分 析和人工神经网络等【3 - 5 1 。由予分数阶f o u r i e r 变换的特点，其特别适合于分析线性调频 信号，本文将其应用于自适应c h i r p l e t 分解算法中的参数估计，以期望得到好的估计结 果。 脑电棘波的识别是临床检测癫痫的重要手段，但目前，癫痫棘波的识别在临床上仍 大多数依靠医疗工作者的经验人工识别。人工识别方法存在许多不利因素：1 ) 人工检 测既费时，效率又低：2 ) 人工检测缺乏标准的制约，对同一段脑电信号，不同的专家 可能得到不同的结果。将分数阶f o u r i e r 变换的特点与脑电棘波的特点结合起来，研究 自动棘波检测的系统，使其具有较高的识别率和较低的误检率，将具有重要的应用价值。 基本e l m a n 网络1 6 是动态递归神经网络中的一种，具有结构简单，运算量小的特点， 因此，应用十分广泛。它可以在系统的阶次或延迟特性未知的情况下，实现非线性动力 学系统的动态映射。目前其训练学习方法多采用基于梯度下降的b p 算法【6 】或扩展 k a l m a n 滤波算法 6 1 1 2 7 。但基于梯度下降的b p 算法在学习训练过程中容易陷入局部极小， 扩展k a l m a n 滤波算法尽管收敛速度很快，但收敛精度不高。如何根据这些算法的特点 研究更好的学习训练算法，将具有重要意义。另一方面，t c n n 是一种具有类随机的暂 态混沌动力学行为的网络，这种暂态混沌行为为搜索函数极值问题的最优解及其收敛域 提供了方便，本文基于此展开工作，希望得到较好的函数优化方法。 田玉松：动态神经网络与分数阶f o u r i e r 变换的研究及其应用 1 2 非平稳信号分析与处理的时频分析方法简介 信号一般用时间作自变量来表示，通过f o u r i e r 变换，信号也可以分解为不同的频 率分量。就是说，信号也可以使用频率作自变量来表示，称为频谱。在传统的信号分析 中，平稳的随机信号常用它的二阶统计量来表示：时域用相关函数，频域用功率谱。功 率谱实质上是一种频域的能量密度分布，称为频域分布。相关函数与功率谱之间也以 f o u r i e r 变换作为联系的桥梁。 基于f o u r i e r 变换的信号频域表示及其能量的频域分布揭示了信号在频域的特性。 它们在传统的信号分析与处理领域发挥了极其重要的作用。但是，f o u r i e r 变换是一种整 体交换，即对信号的表征要么完全在频域，要么完全在时域，作为频域表示的功率谱并 不能告诉我们其中某种频率分量出现在什么时候及其变换情况。然而，时频局域性是非 平稳信号的最关键和本质的性质。这时，只了解非平稳信号的时域和频域的全局特性是 远远不够的，最希望得到的乃是信号频谱随时间变化的情况。为此，需要使用时间和频 率的联合函数来表示信号，这种表示简称为信号的时频表示。时频表示通常分为线性和 二次型时频表示两种。 1 2 1 基本时频分析方法简介 ( 1 ) 线性时频表示方法 满足线性叠加原理的时频分布称为线性时频分布。即若信号为几个分量的线性组 合，则信号的时频分布同样是分量信号时频分布的线性组创1 】： x ( r ) = c l 为( r ) + q 毛( r ) ( 1 1 ) j r a t ，厂) = c i 瓦o ，厂) + c 2 瓦( f ，) ( 1 2 ) 线性叠加性质是应用中涉及多分量信号所希望的性质。线性时频分布主要有以下几 种：戈勃变换、短时f o u r i e r 变换、小波变换和分数f o u r i e r 变换。 戈勃变换( g a b o re x p a n s i o n ) 信号x ( ，) l 2 ( 矗) 的连续g a b o r 变换定义为 1 】： 巳。= f x ( t ) h + o m t ) e j a d t ( 1 3 ) 式中c 。为g a b o r 系数，j l ( ) 为归一化g a u s s 窗。g a b o r 变换的时频分辨率完全由g a u s s 窗决定。 短时f o u r i e r 变换( s h o r tt i m ef 0 t k r i e rt r a n s f o r m ，s t f t ) 非平稳信号z 0 ) 的短时f o u r i e r 交换s 砑z ( f ，国) 可定义为【t l = 大连理工大学硕士学位论文 s p ，功= 1 j x ( r ) r ( r - t ) e 7 d r ( 1 4 ) 叫z 石。 s t f t 原理是通过窗函数r ( r f ) 抽取一段信号，对其作傅里叶变换，然后移动窗函 数，再不断重复上述过程。加窗的目的是将数据截短以便提取感兴趣时间段的信息。为 了克服数据截断带来的频谱泄漏等不利影响，窗函数通常需要具有低通特性。由于短时 f o x i e r 变换严格假设信号在窗函数内是平稳的，为了取得好的时频分析结果，就需要对 窗函数精心设计，以便使窗函数宽度与信号短时平稳宽度相适应。与g a b o r 交换一样， s t f t 的时频分辨率也受限于窗函数的形状和宽度。 小波变换( w a v e l e tt r a n s f o m ，w t ) 小波变换的思想是通过一个函数( 称为母小波) 在时间上简单的伸缩和平移构造具 有时频局部化特性的一组正交基来将时域信号变换到“尺度域”( 与时间域密切相关， 在某种意义上可认为与时频域等效) 上的。小波变换的定义为 i 】： 1i f，1 w t ( f ，日) = 每l x ( f ) 矿j 三2 i d r ，口 0 ( 1 5 ) q a 。i ai l 一 。l 其中口是尺度因子，是时移因子，小波函数为p j 三! l 。因此小波分析本质上是一种时 l ai 间一尺度分析。在连续小波变换中，由于f ，a 这两个因子是连续取值的，因而小波具有 很大的冗余度，不是正交基。可以证明：对f ，a 进行适当的离散化，能够得到正交基1 1 1 。 较常用的正交小波基是a = 2 ，r = n 2 ”的情况。 分数阶f o y e r 变换( 胁c t a lf o y e rt r a n s f o 】胁，h 己f t ) 可逆无损失的变换不改变信号的信息内容，而只改变信号的表达形式。不同类型的 性能可以通过不同的变换得到。例如，通过f o y e r 变换便得到信号的频谱信息。信号 的时域表示和频域表示均表示信号的整体特性。然而，即使是整体特性，只了解信号的 时域和频域特性还不够，而是对联合时频特性更加感兴趣。 f o u r i e r 变换是一种线性算子，这种算子的作用可以看成在时频平面里旋转万2 ，即 从时间轴旋转到频率轴。容易理解，如果找到一种可以任意角度口= p x 2 ( a 为x 2 的 非整数倍，即p 为分数) 旋转的算子，则通过该算子可以得到信号的新的表示。 作为f o x i e r 变换的一种广义形式，f o y e r 变换的分数幂理论是n 锄i a s 于1 9 8 0 年 建立的，它将这种推广的f o y e r 变换称为分数阶f o y e r 变换( f r f t ：f r a c t i o n mf o y e r t r a l l s f o n n ) 。后来，m c b e i d e 和k e r r 对分数阶f o y e r 变换作了数学上更严密的定义， 使之具有了一些重要的性质。 田玉松：动态神经网络与分数阶f o u r i e r 变换的研究及其应用 设f 8 为分数阶f o u r i e r 变换算子( 口即为代表分数阶的分数) ，f 为普通f o u r i e r 变换算子。按照n a m i a s 的提法，分数阶f o u r i e r 变换的通用定义可以概括为满足以下三 条性质的一种线性变换： 1 ) 线性；2 ) f “= f ；3 ) f 。+ ，= f 。f p ： f r f t 的定义可简单表示为口1 ： ：乒手州，一u 2 e o t a ，弘 叫害c o t d 一脚c s c 口皿，靴腼 x a ( u ) = 0 l 若口= 2 删( 1 6 ) 屯( “) = 厅( o l 若口= 2 ，w + 册 式中，厅o ) 是待变换的时域信号，口为相对于t 轴的旋转角度。设t t g = p n ：2 ，其中p 为 分数阶f o u r i e r 变换的阶。分数阶f o u r i e r 变换是f o u r i e r 变换的一种广义形式。从本质 上讲，信号在分数阶域上的表示，融合了信号在时域和频域的信息，因此，分数阶f o u r i e r 变换被认为是一种时频分析方法。作为本文重点应用的理论之一，稍后将给出分数阶 f o u r i e r 变换的基本性质和几个简单应用的介绍。 ( 2 ) 二次时频分布 同线性时频分布样，二次时频分布应满足二次的叠加原型”。设有一信号由两分 量组成为x ( t ) = q ( f ) + c 2 而( r ) ，则 t ( r ，) = ic 1 2 ( f ，) + 1 c 2 1 2 & ( r ，力+ c l 西墨屯( r ，门+ 巴西l 。( r ，门 ( 1 7 ) 式中正，( r ，f ) 为信号t 的自项，而t 。0 ，厂) ，夏。以) 是由于二次表示产生的交叉项 二次时频分布是一种直接计算“能量信号”在时频平面上的分布。二次时频分布的 基础是w i g n e r 分布，许多时频分布都可由它演化得到。 维格纳分布( w i g n e rd i s t r i b u t i o n ，w d ) 信号x 的w d 分布定义为【1 ： 、 吼( f ，0 9 ) = l x ( t + 2 f f ) x o 一去) e - j t 9 r d r ( 1 8 ) 。 厶上 若x ( t ) = a l x l ( f ) + a 2 x 2 ( f ) ，则 以o ，c o ) = i 口，| 2 呒( f ，) 十| 口：1 2 蹄i o ，c o ) + 2 r e a 。口2 厣l ，：( ，) ( 1 9 ) 设x ( o j ) 为工( ，) 的f o u r i e r 变换，则w i g n e r 分布的频域表示为： 1 巴 睨( r ，国) = 亡ix ( c o + 孝2 ) x ( c o 一吾2 ) e x p ( j t 孝) 菇 ( 1 1 0 ) 大连理工大学硕士学位论文 w i g n e r 分布满足很多数学性质，特别是得到的总是实数值，能够保存时间和频率的 位移，并且w i g n e r 分布的时间一带宽积达到了信号时频分析中“h e i s e n b e r g 不确定原 理”给出的下界，因此可以说，在现有的二次时频分布中，w i g n e r 分布的时频分辨率是 最高的。尽管如此，对多分景信号，如x ( t ) = 口( r ) + 6 ( f ) ，那么w i g n e r 变换后将含有四个 分量，阡0 ( f ，厂) + ( f ，力+ ( r ，厂) + 。( f ，厂) ，可以看出阡乙( f ，f ) 、降k ( r ，厂) 都是交叉 干扰项，这种交叉干扰项通常与自项重叠，产生干扰，这就是w i g n e r 分布的主要缺陷。 但是正是这些交叉项的存在才保证了的很多优良特性( 满足边界条件，i f 和g d 特性和 很好的信号定位等) ，也就是说，在w i g n e r 分布的优良特性和交叉项干扰上存在平衡， 不可能在保证优良特性的同时又没有交叉项的存在( 对多分量信号来说) 。 模糊函数( a m b i g u i t yf u n c t i o n ) 模糊函数是一种与w i g n e r 分布类似的常用时频表示，在非平稳信号分析与处理理 论中占有重要地位。确定信号的模糊函数定义为【l 】： a e ( 喜，r ) = iz o + r 2 ) x ( t f 2 ) e ，c p ( 一j # t ) c t t ( 1 1 1 ) m 模糊函数也可以在频域中定义为： 1 巴 a e ( 孝，f ) = - = = 一l x ( c o + 掌2 ) ( c o - 孝2 ) e x p ( j c o r ) d c o ( 1 1 2 ) z 4 二 模糊函数与w i g n e r 分布是一种二维f o u r i e r 变换关系，即： 1 a e ( 宇，f ) = i 三jl 吸( f ，c o ) e x p 一( 争一c o v ) d t d a 口 ( 1 1 3 ) z 月二二 模糊函数也有与w i g n e r 分布类似的些性质，如p a r s e v a l 关系、有限支撑等。 广义双线性c o h e n 类 如前所述，在现有的二次时频分布中，w i g n e r 分布具有最高的时频分辨率。另外， w i g n e r 分布中不含任何窗函数，避免了线性时频分布中的窗函数与信号之间由于不能很 好匹配而造成的时间和频率分辨率相互牵制。但是在应用时频分析时，除了有用的自项 外，w i g n e r 分布还存在影响分辨率的交叉项和难以解释的负值，这在一定程度上限制了 它的应用。由于二次时频表示的较多优点和一些缺点的并存，近年来人们一直扬利避害。 为了抑制交叉项，人们提出了核函数法i s ，典型的代表有指数函数核分布， c h o i w i l l i a m s ( e d ) 分布、广义指数分布( g e d ) 、巴特沃思分布( b u d ) 、减少交叉项分 布( r j d ) 、赵一阿特拉斯一马克斯分布( z a m ) 、平滑伪w i g n e r v i l l e 分布( s p w d ) 、锥形 ( c o n e ) 核分布( c k d ) 、马根诺一希尔分布( m a r g e n a u h i l l ) 和贝塞尔分布( b d ) 等等f 舡引。 这些分布均可以统一于具有广泛代表性的双时频表示，其定义为l l 】 1 3 】： 田玉松：动态神经网络与分数阶f o u r i e r 变换的研究及其应用 c x ( t , c o ) = 去胁( 缸) 础+ ( 一矿z - j o r d 跏d f ( 1 1 4 ) 巴孳 = llo p 一“，f - o 彤a u ，o ) d u d o ( 1 1 5 ) 式中尹( 善，f ) 为核函数，它决定时频分布的性质，m ( f ，f ) 表示妒( 六r ) 的二维f o u r i e r 变换。 通过设计核函数能产生所需特性的分布。但用平滑方法抑制交叉项是以牺牲整个分布的 时频分辨率为代价的 1 0 l 。由式( 1 1 5 ) 可见，c o h e n 双线性时频分布也可理解为二维滤波 的w i g n e r 分布。 仿射类双线性时间一尺度分布 c o h e n 双线性时频表示是对w i g n e r 分布进行平滑，借鉴小波变换的思想，也可以 对w i g n e r 分布进行时间一尺度平滑处理，这就是仿射类双线性时间一尺度分布。这类 时频分布可以表示为【1 】 1 3 1 ： 巴吧一+ 幺( f ，口) = llp ( 二二，a o y v ( r ，e ) e x “- y 2 x f r ) d r d o ( 1 1 6 ) 二二 “ 与小波变换相比，仿射类双线性时间尺度分布也存在将尺度图转化为时频图进行 解释的问题。 重排类双线性时频表示 c o h e n 类双线性时频表示和仿射类双线性时间一尺度分布可以极大地抑制交叉项干 扰。但仍不能完全去除，特别是它们还会引入新的交叉项，而且往往还会以牺牲时频分 辨率为代价。改善时频分布性能的途径除了使用不同核函数之外，对信号进行重排也是 有效途径之一。 近年来有一些学者提出了对时频域进行重排的思想，最初的时频类分布是针对谱图 的重排，文献 1 0 】完善了重排思想，提出了新的重排公式，并在c o h e n 类分布和仿射类 分布的基础上建立了新的重排时频分布。c o h e n 类时频分布实质上是计算在( r ，厂) 临域 内w i g n e r 分布的加权和。这种平滑加权的方法可以大大抑制交叉项，但同时也能使信 号能量扩散，破坏了信号的时频聚集性。为克服这一缺陷，可以将在( f ，j r ) 点计算得到 的加权和结果搬移到能量重心所在的位置，产生新的点( ，。( ，) ，。( ，) ) ，得到重排类的 时频分布，使散布的能量重新得到汇集。 重排的新坐标为( 1 1 1 3 1 ： r ( r ，厂) = t 一 一6 一 ( 1 1 7 ) 大连理工大学硕士学位论文 八订m 一犒舞篇 这种重排理论主要包括三类重排方法：a 频谱图的重排；b c o h e n 类分布的重排； c 仿射类的重排。 自适应二次时频分布 如前所述的广义双线性c o h e n 类等双线性时频分布的性能强烈依赖于核函数的选 择。一般来说，一种固定的核函数仅能适合于一类信号。信号类型的多变性和信号的时 变形都要求核函数具有自动适应信号的能力。在这种思想的指导下，b a r a n i u k 和j o n e s 首先提出了自适应径向g a u s s 核函数，将核函数的选择问题转化为一个优化问题。具体 就是求出满足式( 1 2 0 ) 的约束条件下，使式( 1 1 9 ) 最大化的p ( ，占) 。 m 野i | 14 ( r ，曰) p ( ，口) 1 2r d r d o ( 1 1 9 ) 9 ii ；一il l p p ，0 ) 1 2r d r d o 口，口0 ( 1 2 0 ) z 石ii 式( 1 1 9 ) 、式( 1 2 0 ) 中，a ( r ，目) 为信号的模糊函数( 极坐标下) ，口为一正实数，用来 约束核函数的体积，p ( ，0 ) 为特定的核函数，其直角坐标下的解析表达式为 1 】 1 3 1 ： 卿棚= e x p 赫 1 _ z 1 ) 其中，仃2 ( 口) 为在径向角口= a r c t a a ( y x ) 上的g a u s s 函数方差。自适应二次时频分布可以 在很大程度上保留自项，抑制交叉项。优化得到的核函数相对附加约束条件是最好的， 但这绝不意味着这种方法得到的时频分布结果是最好的。另外，当交叉项和自项在模糊 域相互重叠时，此种方法就会失效t t 1 。 基于信号分解的时频分析 上面以w i g n e r 分布为代表的各种时频分析方法均未假设信号的组成结构。通过寻 找合适的基函数来构造出能与信号最匹配的一个表示，并且基函数的时频分布不含有交 叉项，就可以很容易得到不含任何交叉项的时频表示，这也是参数化时频分布的基本思 想【12 1 。这类算法主要有如下几种。 1 ) 匹配投影算法 匹配投影算法的核心思想是采用一个经伸缩、时移和频移的g a u s s 函数组成一个 g a b o r 集合，并在该集合上根据最大匹配投影原理来寻求最佳基函数的线性组合。设信 田玉松：动态神经网络与分数阶f o u r i e r 变抉的研究及其应用 号为x ，g l 为集中的第i 个元素，t 表示经过i 次迭代后的残差信号， 表示内积操作。 该算法的主要迭代过程为： r f + i = 0 一 g ， ( 1 2 2 ) 初始值为z 。在每一次迭代完成后，基函数就确定了，相应的加权幅度 也 可以计算出，求取每一个基函数的w i g n e r 分布并叠加，就可以得到完全没有交叉项干 扰的时频分布。 2 ) c h i r p l e t 变换 匹配投影算法的本质是用较简单的基函数的时频能量分布去逼近较复杂的原信号 的时频能量分布。在这个过程中，基函数的选择十分重要。当基函数与信号的相似程度 较高时，少量的基函数就能很好地逼近信号；反之，则需要很多的基函数。m a l l a t 算法 采用的是频率不变的基函数，当信号是c h i r p 信号时，这种匹配相当于零阶逼近，分析 效果往往不能令人满意。针对这个缺点，m a n n 和h a y k i n 等人几乎同时提出了c h i r p l c t 集合和c h i r p l e t 变换 1 4 - 1 6 】。与m a l l a t 的g a b o r 集合相比，c h i r p l e t 多了频率倾斜，m a n n 提出的基函数还多了时间倾斜。c h i r p l e t 的基本形式为： h k ( 0 = ( 2 万) ”4 e x p - a ；( t 一厶) 2 4 * e x p j w k ( t - t i ) + j m k ( t 一) 2 2 j ( 1 2 3 ) 其中吼，q ，分别表示c b 2 r p l e t 的宽度，时延，初始频率及调频率。 3 ) d o p p l e r l e t 变换 c h i r p l e t 变换对频率变换是一阶逼近，虽然比匹配投影算法的零阶逼近有了很大的 改进，但对频率随时间非线性变换化的信号，逼近性能仍不能令人满意。邹红星，李衍 达等提出的d o p p l e r l e t 变化就是这方面的一个较大改进。作为一个例子，描述波源与观 察者之间有相对运动的情况下，静止的观察者接收到的d o p p l e r l e t 信号的基本形式为【妇】： 啪抄赤唰一言( 争2 】 e x p j 2 7 r u u 一 - i t 一( t - r t o ) ) ( 1 2 4 ) 其中t o 为时间中心，f 0 为频率中心，l o g ( a t ) 对数时宽，为与波源方向的垂直距离，v 为 波源运动速度，“为媒质中的声速。 大连理工大学硕士学位论文 1 2 2 分数阶f o u r i e r 变换基本性质 前面已经给出了分数f o u r i e r 变换的基本定义，下面将介绍分数阶f o u r i e r 变换的几 个主要性质如下： ( 1 ) 线性性质：若信号x ( t ) 、y ( r ) 的分数阶f o u r i e r 变换分别为以( “) 、兄( “) ，则 似( f ) + b y 的分数阶f o u r i e r 变换为峨0 ) + 6 艺( “) a ( 2 ) 时移性质：若信号x ( r ) 的分数阶f o u r i e r 变换为兄( “) ，贝l j x ( t - r ) 的分数阶f o u r i e r 变换为x 一r c o s a ) e x p ( j - - ，s m a c o s a j u t s i n a ) ( 3 ) 频移特性：若信号x ( r ) 的分数阶f o u r i e r 变换为五( “) ，则x ( t ) e 埘的分数阶f o u r i e r 变换为x ( u r o s i n 口) e x p ( - j s i n a c o s a + j u r o c o s a ) ( 4 ) 尺度变换性质：若信号x 0 ) 的分数阶f o u r i e r 变换为五( “) ，则x ( c t ) 的分数阶 i e r 变换为、f 1 眄- j 面c o t ，等c o t ”鲁) 枷警，其中c 满足 t a r i f f = c 2 t a i l 口。 ( 5 ) 能量守恒性质：若信号x ( f ) 、y ( ，) 的分数阶f o u r i e r 变换分别为j 0 ( “) 、匕( “) ， 则 x ( f ) 1 2 d t = j | x o ( u ) 1 2 d u ，卜o ) _ y + ( t ) d t = 皿 ) r 2 ( u ) a u 。 分数阶f o u r i e r 变换是完成从f 域到分数阶”域的一种变换，式( 1 6 ) 的相应变换核 函数蚝( r ，“) 为： f 6 ( t - u ) a = 2 n z c i 一 碘川= t j l - j c o t a e x p ( j 半f 十f 2 h 虮s c 口) 口蝴 ( 1 2 5 ) i 占( f + u )口= ( 2 疗+ 1