（应用数学专业论文）多指手机器人及其控制.pdf

ab s tr a c t ab s t r a c t t h i s p a p e r w e g a v e fi r s t t h e k i n e m a t i c a n d d y n a m i c a l e q u a t i o n s o f m u t ip l e m a n i p u l a t o r s a n d s t u d i e d t h e s t a b i l i t y o f m u t i p l e m a n i p u l a t o r s s y s t e m . t h e m e t h o d i s t o m a k e u p t h e k i n e m a t i c a n d d y n a m i c a l e q u a t i o n s a n d c o n t ro l s o f s i n g l e m a n i p u l a t o r s衍 a p p l y i n g a c c o r d i n g m a t h e m a t i c a l t h e o ry , a n d t h e n e x t e n d t h e m e th o d s a n d c o n c l u s i o n s o f s i n g l e m a n i p u l a t o r t o m u l t i p l e m a n i p u l a t o r s . a c c o r d i n g t o t h e c o n t e x t in s t u d y , t h i s p a p e r i s d i v i d e d i n t o fi v e c h a p t e r s . hc h a p t e r 1 , w e i n t r o d u c e d t h e h i s t o ry a n d d e v e l o p m e n t o f ro b o t s a n d f u t u r e t e n d e n c y o f t h e r e s e a c h . a t t h e s a m e t im e , w e g a v e a l s o a b r i e f i n t ro d u c t i o n t o t h e w o r k o f t h e p a p e r . i n c h a p t e r 2 , f o r t h e p u r p o s e o f t h e c o n v e n i e n c e o f t h e f u t u r e s tu d a y , th e k i n e m a t i c s a n d d y n a m i c a r e a g a in i l l u s t r a t e d fr o m t h e v i e w o f p o in t o f t h e g e o m e t ry . i n c h a p t e r 3 , o n t h e b a s e o f c h a p t e r 2 , w e s tu d i e d fi r s t m u l t i p l e k i n e m a t i c s . a n d t h e p r o p e rt y o f m u l t i p l e s n a t c h i n g ; n e x t , g i v e d y n a m i c a l e q u a t i o n s o f m u lt ip l e m a n i p u la t o r s . i n c h a p l e r 4 , w e r e c a l l e d t h e s o m e c o n t r o l m e t h o d s o f ro b o t s a n d t h e o ry o f l y a p u n o v s t a b i li t y . t h e n i n t r o d u c e t w o r u l e s o f c o n t r o l . a t l a s t w e d i s c u s s e d s i m p l y c o n t ro l r u l e s a n d c o n t r o l s t r u c t u r e s o f m u l t ip le m a n ip u l a t o r s . 玩c h a p t e r 5 , s t u d y t h e m u lt ip l e m a n i p u l a t o r s s y s t e m s w i t h p a r a m e t e r u n c e r ta i n t i e s . w e p ro v e d fi r s t s o m e p r o p e rt i e s o f t h e s e s y s t e m s , a n d t h e n g i v e a c o n t ro l l e r s u c h t h a t t h e t r a j e c t o ry o f t h e p o s it i o n e r r o r s a n d i n t e r n a l f o r c e s c o n v e r g e n c e t o z e r o w h e n t h e s y s t e m i s n o t p e r s i s te n t l y e x c i t e d k e y w o r d s : k i n e m a t i c e q u a t i o n s ; c o n t ro l ;s t a b i l i ty; d y n a m i c a l e q u a t i o n s c o n t r o l r u le s ; a d a p t iv e m u l t i p l e m a n i p u l a t o r s . 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了 解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版; 在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名: 马耐群1 卿产llr分 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名:学位论文作者签名: 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 几， 5 年 ( 最长5 年，可少于5 年) 秘密10年 ( 最长10年，可少于10年) 一立 翼 无 (黔 爪 可 - 0 年 ( 最长20年，可少于20年)密20年 几 刀 ，必/ 今 “ 、匕介 “芬 丫 沐 气 一 扮 今夯 扮 成 升 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的成果。 除文中己 经注明 引用的内 容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均已 在文中以明 确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名: ;/d 尸并 llr叮日 第一章绪论 第一章绪论 近年来， 随着科技的进步， 机器人的应用已经越来越广泛了 比如: 工业上的 装配机器人; 医学上用于医疗的多指手: 特殊 用途的机器人( 太空机器 人、水下 机器人等等) . 可以预见的将来， 机器人将进入更广泛的应用领域. 下面将从机器 人的 产生及发展; 机器人的动力学方程 和控制的 方法及进展: 多指手的 研究及 进 展; 本文的主要工作; 机器人的研究展望等五个方面简要讨论. 第一节机器人的研究历史及现状 机器人的定义 机器人是具有一些类似人的功能的自动化装置. 它有三个特点: 一是有类人 功能， 如感 知、 行走功能， 还能 完成各 种动作; 二是根据人的编程能自 动的工作: 三是 它是 人造的机器或机械电 子装置 ， 所以 机器人仍然是机器. 对于机器人， 目 前还没有一个统一的定义一 般来说， 机器 人是计算机控制的 可以 编程的目 前能 完成某种工作或可以移动的自动化机械， 这是美国工程师协会的定义. 但其他一 些国 家如日 本对机器人有不同的 看法. 他们认为从完整的更深远的 机器人定义 来看， 应更强调机器人智能 ， 所以 又提出 来机器人的定义是能够感知环境， 能够 有学习、情感和对外界一种逻辑判断思维能力的机器. 2 机器人的产生与发展 随着工 业化的发展， 人 类的生 产活 动以 逐 渐深入到一些风险领域比 如: 在核 辐射， 水下， 地下等环境进行检查 和维修; 对一些大型物体的精确操作比 如汽车 的组装; 医 疗上的微型手术等等. 这些 工作人类或难于胜任， 或具有危险性， 非常 需要一种机器来代替人的这些工作， 这就导致了机器人的产生和发展. 机器人 r o b o t 一词是捷克作家卡佩克于己于人 1 9 2 1 年在他的小说罗萨母 第一章绪论 的 机器人 万能 公司中首 先提出来的. 在剧中， 他构 思了 一 个叫r o b o t 的机 器， 它 与人相似但能不知疲倦地工作. 随着小说的流传， 机器人( r o b o t ) 一词就为全世 界所知. 二次 世界 大战之后， 美国a r g o n n e 6 用李群及指数积公式减小动力学模型. 他们建立 的动力学方程在求动力学的正解与逆解的速度上是相当快的， 有利于控制器的 设计. 1 . 2 . 2 机器人的控制方法及进展 机器人的控制主要是根据已建立的机器人动力学方程， 选择合适的关节力 矩， 使得最终形成的闭环系统稳定. 稳定是机器人控制的首要问题. 研究非线性 控制系统的 最有用和最一般的 方法是俄国 数学家a . 1 l l y a p u n o v 提出的 理论. 早期的机器人控制流行的方法是对机器人非线性部分在目 标轨迹附 近线性 化. 但由 于机器人强时变、非线性特征以 及各关节的强藕和， 局部线性化方法无 法保证系统的全局收敛. 由此导致了对非线性机器人系统的全局线性化方法一 即 反馈线性化方法， 它主要通过反馈线性化理论( 如计算力矩法) 将机器人的非线 性完全补偿， 得到一个全局线性化和解藕的闭环方程， 然后可利用成熟的线性控 制理论， 如极点配置 、小增益定理等补偿不确定因素， 使系统达到一定的鲁棒性 能要求. 该方法优点是可利用成熟的线性控制理论. 当了解系统的线性性能特征 的时候， 该方法是有效的. 但实际上由于系统的不确定性( 如各种扰动) ， 仍用上述方法， 将导致补偿不 彻底、 解藕不完全. 对于这类问 题， 常用的 控制方法有两类: 自 适应控制和鲁棒控 制. 历史上用语机器人的 鲁棒控制方法 7 1 有变结构控制方法、髻棒自 适应控制 等. 其优点只要保证闭环系统的稳定， 则对于受控对象参数、镇定补偿器等有限 扰动， 均能实现无静差跟踪特性. 但扰动变化幅度很大时， 系统的性能将大幅下 降甚至会引起系统的不稳定. 对于着一类系统， 采用自 适应控制十分有效. 第一章绪论 自 适应控制的设计方法: 根据根据对 象的输入、输出 数据， 不断 地辩识模型 的结构和数， 这个过程称为系 统的 在线辩 识. 随 着进程的 不断进行， 通过在线辩 识 ， ， 模型将 会越来越接近于实际 . 按控制的目 的及驱动参数自 适应率的 信号， 可将针对参数未知的机器人而 设 计的自 适应控制法分为 三类l 8 7 : 1 . 基于反 馈线性化的自 适应逆动力学即自 适 应的 计算力矩法【 1 , 幻. 其中【 1 中设计的自 适应律是由 位置 误差信号驱动的， 而 2 中 设计的自 适应律是由 期望误差信号驱 动的: 2 . 基于刚 性机器人动力学方程 的被动性的自 适应控制法 9 1 . 3 . 综 合上述两 种方法的自 适应法【 1 0 ， 即设计一 种 控制器， 使 得该控制器既能使闭 环系统线 性化， 又能保持原 系统的被 动性. 上述三类控制器都要求机器人的结构已知且各关节速度可侧. 但现实中机 器 人各部件的 摩擦往往被忽略、 速度是估计的 . 对于次类问 题， 上述方 法均无效. 为 此许多 学者致力于研究只 要求位置确知的比 例加微分的自 适应 控制. 1 1 , 1 2 利用估计速度取代实际速度设计了一种无须测量速度的控制器. 1 3 1 设计了一 种能使闭环系统达到稳定的控制器. 当 前， 对单机器人系统控制问 题的 研究 ， 主要集中于参数不 确定性及结构不 确定性机器人系统这两个方面. 第三节多指手机器人 当 今实际应用中的 机器人大多数是由 六 个转动或移动关节组 成， 它们用简 单的末端执行器夹持工件。其应用范围从抓取操作，移动相机或检修设备，到 可完成含有配合件的复杂装配任务。它们被用于焊接、喷漆、搬运物体、组装 印 制电 路板以 及在危险 环境中的 检修。 机器人与环境之间的 相互接触关系用术语手 ( 末端执行器) 来描述。 现在 大多数的手是简单的，如夹持器、钳子、夹子或特定作业时的自 适应柔顺装置。 而大多 数末端执行器是 针对特定任务、 特定被夹零件而设计的。实际 应用过程 中通常遇到的问题是，仅安装这些简单手的六 自由度机器人有很大局限性，主 第一章绪论 要体现在如 下几个 方面: 1 ) 缺少灵活 性。 2 )夹持方式 有限。 3 ) 效率不高， 能 耗大。 4 ) 缺精确的力 控制。 多指手 有助于 解决以 上问题.它使机 器人更加灵活，也 更通用。多指手由 于具有 自适应性，能实现多种不同的夹持，而无需更换末端执行器。多自由度 手使用了 大量的轻质驱 动装置，从而有利于夹住物体实 现快速、 精确和高效的 运动。因而多指手是 真正 意义上的拟人化并能实现灵活操作的 手。有关多指 手 的研究例子可在 s k i n n e r , h a n a f u s a 按 物体与 机 器人有无相对 运动分为固 定接触、 滑动接触和滚动接 触 等. 他还引入抓取矩阵， 把物体速度转化为关节速度. m o n t o n a , c a i和 r o t h 1 5 , 1 6 , 1 7 研究了空间中两个保持点接触的曲 面的运动学， 建立了曲面的 几何特征与机器人运动学变量间的关系. 1 9 9 3年， s a r b a r 1 8 1 导出二阶约束关 系. 多指手的协调控制 历史上， 对具有参数确定的多指手控制的研究是与 具有参数不确定性的多 指手的研究同步进 行的 . 下 面分别介绍 这两个领域的 一些工作 . 1 . 确定 性系统. 根据接触 模型， 可将多指手的协调控制问 题分为固结问 题、 滑动问题和滚动问题. 对固结问题， 1 9 1 , 2 0 3 分别做过研究. 而解决滑动问题和 滚动问 题的主要方法是反 馈线性化. s a s t r y 1 9 是滚动问题的创始人. a . s . d e o 第一章绪论 a n d i . d . w a l k e r 2 1 1 在s a s t r y 工作的 基础上 设计的控制 器既能 控制物体的运动 轨迹、内力， 又能控制接触点的运动. 1 9 , 2 0 1 的控制法均为控制力矩法. 以 s a r k a r 2 2 1 为代表的许多学者致力于滚动问题的 解藕. 因 为滑动引入的 与摩擦 有关的非线性问 题使滑 动问 题复杂化， 所以 滑动问题的研究成果并不多. 2 3 , 2 4 1 分别就此做过研究. 2 . 不确定性系统. 多指手的控制可以分为两类. 第一类为计算力矩的自适应 控制. y a n - r u h u 2 5 于 1 9 8 9 年、 a n d r e w a . g o l g e n b e r g 2 6 于 1 9 9 5 年分别设 计了 此类控制器. 它们既 能控制内力和 物体的 运 动轨迹 ， 又能控制物体与环境的 接触力. 其条件是要求物体与机器人、环境的接触力可测. 第二类是基于机器人 的被动 特性设 计的 控制器. j o n g - h a n n l e a n a n d l i - c h e n f u 2 7 1 设计了此类控 制器. 它不要求测量接触力， 但内力的渐 进稳定 性要求系统必须满足激励条件. 上述两类控制器都是对参 数不确定系统 有效， 但系统的结构也不确定时失效. 为 此， 2 8 在假设结构不 确定的 情况下， 根据李亚普诺夫第二方法设计了 一种自 适 应控制器， 它能 保证系统 在参数、结构 都不确定的情况下， 使闭 环系统的 运动轨 迹与内力渐进稳定. 第四节本文概述 多指手使整个系 统的 复杂性增加， 并且多指手的自由 度很多， 使系统运动学 和动力学分析复杂化 . 而 且由于物体与多 指手的接触， 必须研究含接触约束的 机 械系统的运动学和动力学. 系统自 由 度的 增加使完成一定的可行抓取规划工作 变得困 难， 但由 于单机器 人与多指手机 器人在结构上的相似性， 对多 指手机器人 的研究可借助单机器人的研究方法. 本文对多 指手机器人的研究正是基于这种 思想. 本文对具有参数 不确定性的多 指手机器人系统做了研究. 根据研究内 容， 全 文分为为五章. 第一章介绍了机器人的历史及研究进展， 给出了进一步的研究方 向， 并简要介绍本文的主 要工作. 第二 章用微分几何的观点重新阐 述了 机器人的 第一章绪论 运动学和动力学方程， 将机器人的运动学和动力学概念建立在微分几何的框架 内， 方便后面用几何的理论与方法解决机器人的相关问题. 第三章应用第二章的 结论， 讨论多指手的手指运动学和多指抓取的性质， 推导多指手机器人动力方程 和性质. 第四章回顾了机器人一般控制方法和李亚普诺夫稳定性理论，介绍了 两种控制规则: 计算力矩控制规则和p d 控制规则， 并讨论了 这两种控制规则的稳 定性， 最后对机器人手的控制规则和控制结构进行了简要讨论. 第五章对具有参 数不确定性多指手机器人机器人系统进行了 研究. 为了使设计出来的能控制内 力， 首先证明了多指手和物体组成的系统具有的一些性质， 然后给出了一种自 适 应控制器的设计方法， 使系统不具激励特性时， 此控制器不仅能使系统的运动轨 迹达到渐进稳定， 而且能使系统的内力达到渐进稳定. 第五节机器人操作的研究展望 在2 1 世纪的前2 0 年是机器人从制造业走向非制造业的发展一个重要时期， 也是智能机器人发展的一个关键时期，目 前国际上很多国家，也对机器人对人 类社会的影响的估计提出了新的认识，同时，我们也可以看到机器人技术，涉 及到多个学科，机械、电工、自 动控制、 计算机测量、人工智能、传感技术等 等，它是一个国家高技术实力的一个重要标准。 就机器人操作而言，今后几年的研究将集中在远程操作、虚拟现实和柔性 操作等领域。柔性机器人特别是柔性连杆机器人能克服目 前工业机器人结构笨 重， 操作空间小， 响应速度慢等不足， 是机器人发展的一个趋势. 另外， 多指手在 实际操作中， 真正的接触模型是滑动模型与滚动模型. 而对于滑动问题和滚动问 题的研究目 前限于精确的动力学系统. 因此， 对具有参数不确定性的滚动与滑动 问题的研究也是进一步发展的方向. 第二章 机器人的运动学方程和动力学方程 第二章机器人的运动学方程和动力学方程 机器人的运动学描述了机器人关节与组成机器人的各刚体之间的运动关系. 在动力学方程推导过程中将采用运动螺旋来表示机器人的运动学， 并探讨 运动学在建立运动方程中的作用. 而机器人运动学和动力学及其控制， 实质上就 是研究刚体的运动问题. 本章将首先引出一些相关的数学基础， 然后分别讨论机 器人的运动学和动力学方程. 第一节相关数学基础 刚体从一位置到另一位置的 运动可通过绕某一直线的转动加上沿平行于该 直线的移动得到， 称这个组合运动为螺旋.螺旋运动的无穷小量称为运动螺旋. 刚体的瞬时速度用线性分量和角度分量来描述. 作用在刚体上的任何力系总可 以 合成一个作用于某直线的集中力和绕该直线的力矩， 这种力和力矩的组合称 为力螺旋. 力螺旋和运动螺旋存在对偶关系. 本节将把刚体运动用齐次坐标表示， 并通过矩阵的指数映射将运动螺旋变为螺旋运动. 用旋量; 运动螺旋和力螺旋 来描述刚体运动学问题有两个优点: 一， 可以从整体上描述刚体运动， 这样可以 避免用局部坐标描述时可能的奇异性. 二， 旋量理论可以对刚体运动进行几何描 述， 从而可以大大简化对机构的分析. 由于篇幅所限， 本节略去相关定理和性质的证明， 可参阅文献 1 3 . 2 . 1 . 1 刚体运动的旋量表示 刚体运动任意两点距离保持不变， 因此可定义刚体变换如下 定 义2 . 1 . 1 : 满 足下 列 条 件的 变 换g : 9 1 - 9 1 称为 刚 体 变 换: 1 )长 度不 变: 对 任 意 点 p , 4 e 9 1 ， 均 有 ! g ( p ) 一 g ( 4 ) 卜11p 一 训 ， 2 ) 叉 积 不 变 : 第二章 机器人的 运动学方程和 动力学方程 对任意矢量v , w e 9 1 ， 均有s . 住x 甸= s . ( v ) x g . ( n )。 由于刚体运动总可以表示为绕某一直线的转动加上沿平行于该直线的移动 得到. 因此先引入旋转的旋量表示， 并给出相关性质. 利用与刚体固定的动坐标 系相对于固定坐标系( 惯性坐标系) 的姿态来描述刚体的姿态. 设 a为惯性坐标 系， b 为 与 刚 体固 联 的 动 坐 标 系， x .b 1 y a 1 z e n 任 9 1 3 为 坐 标 系中 主 坐 标 轴相 对 于 坐 标 系a 的 坐 标 。 则 称 矩 阵 : 几二 风， 几， 几1 为 旋 转 矩 阵 ( r o t a t i o n m a r t t i x ) . 定 义 2 . 1 . 2 . ， 。 空 间 中 的 旋 转 矩 阵 为 s o ( n ) 一 休 e 9 1 : r r = i , d e t r 一 + 1 . 旋转矩阵有如下性质: 性质1 ) r r = r r = i ， 且当a . b 均为右手坐标 系时，d e t ( r ) = 1 ; 性质2 ) s o ( 3 ) 是一 个以 单位矩阵i 作为单位元素、以 矩阵乘 al-al0 法作为 群运 算 的 群， 称为 三维 旋 转 群. 记 二 = 0 a 3 一a 2 一口 3 0 a , 则 a x b = a b. 性质 3 ) 对于给定的r e s o ( 3 ) 和， , w 6 9 1 3 ， 则存在如下性质 r ( v x w ) = ( r v ) x ( r w ) ， r ( w ) r = ( r w ) . 性质4 ) 旋 转运动是刚体变换. 机器人学中 遇到的一般运动形式是 物体绕给定轴转过一定角度的旋转运动. 考 虑旋转体 上 一点q 的 速度， 如果 物体以 单 位 速度 绕w 轴 匀速转 动， 那么点q 的 速度q 可表示为 q ( t ) = w x q ( t ) = w q ( t ) ，这是一个以 时间t 为自 变量的线性微 分方程， 积分得q ( t ) = e q ( 0 ) ， 其中q ( 0 ) 是 该点 得 起始 位置( t = 0 ) ，e . 是矩阵指 数 e =i +wt + ( t ) 3 2 !3 ! + 一 如果物体以 单位 速 度绕w 轴旋转b 角 度， 则r ( w b ) = e . e ， 可知c u 是反 对称 矩阵， 满足( w ) r一 汤 ) “ . 所 有 反 对 称 矩 阵 得 矢 量 空 间 记 为 s o ( 3 ) . 矩 阵 指 数 有 如 下 第二章 机器人的运动学 方程和 动力学方程 性质: 性质1 )反对称矩阵的矩阵指数是正交的。 对于反对称矩阵m e s0(3),0 e 9 1 有e e s o ( 3 ) . 性 质2 ) 变换是s o ( 3 ) 上的 满射 变 换。 性 质3 ) 任意姿 态r e s o ( 3 ) 等效于绕固 定轴w rz 9 1 ， 旋转角 b e 0 , 2 ; r ) 。 下面讨论刚体沿直线的平移.设坐标系a的原点至坐标系b的原点的位置 矢 量 为 p , b e % 3 , b 系 相 对 于 a 系 的 姿 态 为 e s o ( 3 ) . 系 统 的 位 姿 由 (p . , r . , ) 确 定，系统的位形空间为9 1 3 与 s o ( 3 ) 的乘积空间，记为s e ( 3 ) s e ( 3 ) = 知 ， 外尸 e 9 1 3, r e s o ( 3 ) 卜 w x s o ( 3 ) 可 以 证 明 s e ( 3 ) 是 一 个 群 . 若 q . , q b e 扩为q 点分别相对于坐标系a和 b的坐标，则当已知q b 氛= 几十 r a b g b ， 用 耘= 饥， r , b ) e s e (3 ) 表 示 b 系 相 对 于 a 系 的 位 形 ， 用 g (q ) 表 示一点的 刚 体 变换， 有g ( q ) = p + r q , q . = g a b ( q b ) . 由以 上结论 可知 定理2 . 1 . 1 : s e ( 3 ) 中 的 元素表示刚体 运动. 令v = - m x q , g e 9 1 3 c o e 9 1 定 义 一 0 习 ，普 一 则 对 于p ( t ) = m x ( p ( r ) - q ) 可改写 为 .-p 幼 一川川 尸!月. j i = j ， 则第l 杆变换后 i _ o ,if j 。 为 力 矩 摩 擦 系 数 . 通 常 用 力 螺 旋 基b e r 0 0 和 摩 擦 锥f c ., 表 示 一 种 接 触 模 型 。 力 螺 旋 基 的 维 数m ， 表 示 接 触 处 施 加 独 立 力 的 维 数o f c ,. 满 足 如 下 特 点 : 1 ) f c , 为 非内 空9 1 . , 的 封闭 子 集;2 )对 于 任 意 的 1 1 , f e f c , 总 存 在 a , q 0 使a f , + )6 f 2 e f c l 。 一 定 的 接 触 方 式 所 允 许 施 加 接 触 力的 集 合 为f c , = b , f , f e f c , 。 ( 2 ) 抓取映射 设 第 i 接 触 坐 标 系 于 物 体 坐 标 系 的 位 姿 为 ( p . , r , ) ， 则 单 个 接触 力 在 物 体 坐 标 第三章多指手的运动学方程和动力学方程 r _ 0 1 系 表 示 为 “ 一 “ d q f 1; = 卜 ， 、r a ,bc. f , f l, “ 暇 称 g , = a d gq b e 931 为 相 对 于 b ., 的 接 触 力 与 物 体 力 螺 旋 之间 的 线 性 映 射 设 有 k 个 手 指 与 物 体 接 触， 称接触力与物体所受合力之间的映射为抓取映射: g: 9 1 -+9 1 , m = m , + m 2 十 + m k . 由 于 合 力 螺 旋 为 f e 一 g ,f , + . + g k f t 一 g , g k i f ,瓜 j ， 故 抓 取 映 射 为 “ = 卜 吃b , . a 吸划 物 体 力 螺 旋 可 写 为 f = g f , , f e f c.其中 f , = ( 几 二f t ) e 9 1 , f c = f c , x .x f c , e 9 1 。 因 此 抓 取 可 以 用 抓 取映 射g 和摩擦锥加2 ;以完整描述。 定义 3 . 1 . 1 - 抓取的完整描述包括矩阵g e 9 1 p . 和满足下列条件的集合 f c e 9 1 : 1 . f c为非内空9 1 . 的封闭子集。2 .对于任意的 关 ， 人。 f c 总 存 在a ,6 0 使 叭+ 从 。 f c . 3 . 1 . 2 力封闭 抓取的一个重要特性是能通过在接触处施加适当的力螺旋来平衡作用于物 体上的外力螺旋，同时手指所施加的力必须始终位于摩擦锥内，以避免手指的 滑动。为此引入定义: 定 义 3 . 1 . 2 : 对于 给定的施加 于物体 上的 任意 外力螺旋f r = 9 1 ，如果存在接 触力 f , e f c 使 g f = - f， 则 称 这 种 抓 取 为 力 封 闭 抓 取 。 由定义直接得 定 理 3 . 1 . 1 : 抓取为力 封闭 当且仅当g ( f c ) = 9 1 力 封闭 抓 取 的 主 要 特点 是存 在内 力 ( 作 用于 物体 上 合 力为 零 的 接 触 力的 集 合) 。 设f n e i n t ( f c ) 表 示摩擦锥内 部， 定义内 力如 下: 第三章多指手的 运动学方程和动力学方程 定义 3 . 1 . 3 :如果方e n ( g ) n f c， 则几为内力.如果八e n ( g ) 且 f , , e i n t ( f c )则r n 称为严格内 力. 内力可用于保证接触力满足摩擦锥约束。 下面定理表明严格内力的存在是抓取为力封闭的必要条件: 定理 3 . 1 . 2: 抓取为力封闭当且仅当g为满射， 且存在一个接触力矢量 r , 。 n ( g ) 使 得f n e in t ( f c ) 。 3 . 1 . 3 抓取约束 由 机器人的运动学正解关系，并由 式 ( 2 . 2 0 )知道末端执行器的空间速度 为 心二 心( 的 汐 ， 其 中 心( 的e % 6- 为 运 动 学 正 解 函 数 的 空 间 雅 可 比 矩 阵 ; 心为 工具坐标系的广义速度 在固定基座坐标系中的表示。工具坐标系的物体速度为 心= a 叹(e , j ., (b ) b 。 它 是 工 具 坐 标 系 的 瞬 时 速 度 在 自 身 坐 标 系 中 的 表 示 另 外 ， 下面仅讨论有摩擦接触或软指接触。 机器人手可以看做为固定于同一基座 ( 手 掌) 上的 多 个 机 器 人( 手 指) . 在每 一 手 指 的 根 部固 连坐 标 系s ; ， 在 指 端 接 触点 处固 连 坐 标 系f , ， 且f , 随 指 端一 起 运 动 。 而 位 于 接触 点 处的 坐 标 系c , 随 物 体 一 起运动设j ; ， 为月相对于固定坐标系s , 的雅可比矩阵，有 森- a d g r o 及mo - 2 c o 是 反 对 称 的 。 物 体 和 手 指通过在局部坐标系中表示的 抓取约束 人 ( b , x ) b = g t ( b , x ) x (3 . 2 . 5 ) 联系在一起。对抓取的结构作以下三点假设:1 ) 抓取是力封闭且是可操作的。等 价于对于 所有可能 位形， 有r ( g t ) c r ( 人) 和g ( f c ) = 9 1 : 2 ) 手的 雅可比 矩阵 是 可逆的; 3 ) 接触力始终位于摩擦锥内。 组合系统的拉格朗日函数为 1二 ， _二 1 l = u mf d + x m o x - v f ( d ) 一 v o ( x ) “ ( 3 . 2 . 6 ) 式 中 称和v o 是 重 力 势 能 . 设 q = ( o x ) 表 示 整 个 系 统 的 位 形 ， 则( 3 . 2 . 6 ) 表 示 的 速 度约 束 对 虚 位 移a9和 n 一 n o + g j h t 凡; 。 一 c o 十 g j h t (c f j hig t + 妈 荟 (j ; g t ) ; = g j t (3.2.9) d t 、“ ， -一 ，- 上述 方 程与 单 机 器 人 方 程的 形 式 相同 . m称为 物 体 的 有 效 质量，c 为 有效 哥氏 矩阵，n为 有效 重 力 和非 保守力. 这 些 量决定了 所 有 手指的 动力 学. 式 ( 3 . 2 . 8 )具有如下性质 材 ( q ) 是 对称 且 正 定 的; 2 .m( q )一 2 e是 1 由定义直接可证。 尽t 性lg 定理3 . 2 . 1 :运动方程的结构特性为1 . 反对称矩阵. 证明:因假设抓取是力封闭且可操作的， 下面证明性质2 . 由于 人是可逆的。 m( q ) 一 2 c = ( ma一 2 c o ) + g j - t ( m r 一 2 c f ) j d _ +一 vj d t_t)m f j _,g t 一 g j -t m f 备 (j -g t ) 上 式 第 一 行 是两 个反 对 称 矩 阵 之 和; 通 过 对 第 二 行 取 转 置 ， 并 利 用m r 的 对 称 性 质，可得第二行也是反对称矩阵。因而整个矩阵是反对称矩阵. 证毕。 第三章 多指手的运动学方程和动力学方程 3 . 2 . 3 内力 若抓取是力封闭的，则存在不对物体产生纯力螺旋的接触力，此接触力称 为 内 力 . 内 力 在 动 力 学 中 对 应 于 f= 份万 r : 项 ， 它 将 关 节 力 矩 映 射 为 物 体 力 . 如 果 ,1 y t z 二 n ( g ) ， 那 么 不 会 产 生 纯 力 螺 旋 。 然 而 即 使 j t z o n ( g ) ， 内 力在系统中依然存在。这些内力是由