（信号与信息处理专业论文）声音信号中的分形及混沌特征研究.pdf

山东大学硕士学位论文 中文摘要 分形理论和混沌理论都是分析音乐信号特征、探讨乐音信号的旋律美的主要 方法分形理论是活跃的非线性数学分支，其研究对象是在非线性系统中产生 的不光滑和不可微的几何形体，对应的定量参数是维数。分形理论和混沌理论 都属于非线性科学范畴。非线性科学旨在揭示非线性系统的共同性质、基本特 征和运动规律t 是一门跨学科的综合性基础科学。在非线性科学的研究中，涉 及到对确定性与随机性、有序和无序、简单性和复杂性、量变与质变、整体与 局部等概念的认识上的深化，对自然科学各相关学科的发展有相当程度的影响。 混沌理论和分形理论是非线性科学的两个重要组成部分。混沌的准确定义很难 给出，各学科对其理解有所区别。通常认为混沌是一种未分化的、包含有序机 制的、长期轨道不可预测的随机行为；是一种既有决定性，又有随机性的二重 状态。这使得混沌系统的外在性质呈现出如下特征：对初始条件的敏感依赖性 ( 本质特征) ；极为有限的可预测性。 混沌和分形的外显特征虽然不尽相同，但二者都是非线性现象，它们是有 紧密的联系，从本质上讲都源于p o i n c a r e 动力系统。混沌吸引子实在就是分形 集，分形集就是动力学系统中那些不稳定轨迹的初始点的集合。此外，混沌研 究关心的焦点是非线性动力过程中呈现出的复杂性；而分形研究更注重动力行 为产生的吸引子。 本文主要对混沌和分形理论以及其在声音信号分析中的应用进行了深入而 系统的研究。在简单介绍了混沌和分形的定义和基本原理之后。首先分析判断 时间序列是否具有混沌和分形特征的几个参数：李雅普诺夫指数、关联维数、 庞加莱映射、功率谱以及主分量分析，进而分析了它们各自的优缺点。然后利 用典型的混沌系统，产生混沌声音，并分析其特征：最后对具体的声音信号进 行分析，研究其中的混沌和分形行为。在分析的过程中都有自己的观点和改进 方法的提出。 利用混沌序列产生美妙的声音，处理的都是相对比较简单的序列和电路， 相信利用混沌电路一定可以产生现有的乐器所不能演奏的效果。这有待进一步 的研究；通过分析现有的乐音信号，某些乐曲信号中确实存在混沌现象，下一 步的研究可以在一些信号中加入混沌因素以提高它的音质。 关键词：混沌；分形；相空间重构；李雅普诺夫指数 玎i 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t n 圮c h a o sa n df r a c t a lt h e o r yh a v eb e e nu s e dt oa n a l y z et h ec h a r a c t e d s t i co f m u s i c s i g n a la n de x p l o r et h em e l o d yo fi t t h ef r a c u dt h e o r yi sa na c t i v ef i e l do fn o n l i n e a r m a t h e m a t i c s ，w i t hi t sm a i no b j e c tt h en o n - s m o o t ha n dn o n - d i f f e r e n t i a b l ea r i s i n gi n n o n l i n e a rs y s t e m s , a n dt h em a i nc o n s t a n t 蠹 a c t a ld i m e n s i o n n l ec h a o sa n df r a c t a l t h e o r yb e l o n gt on o n l i n e a rs c i e n c e n o n l i n e a rs c i e n c ei sa i m i n ga td i s c o v e r i n gt h e c o m m o n p r o p e r t y , b a s i cc h a r a c t e r i s t i ca n dl a w si nt h i sa r e a ，a n di ti sc r o s s - d i s c i p l i n e t h er e s e a r c ho f n o n l i n e a rs c i e n c e u s u a l l yi n v o l v ed e e p e n i n go f t h ec o n c e p t so f c e r t a i n t y a n ds t o c h a s t i c ，o r d e ra n d d i s o r d e r , s i m p l i c i t ya n dc o m p l e x i t y , q u a n t i t a t i v ec h a n g ea n d q u a l i t a t i v ec h a n g e ，i n t e g e ra n dl o c a l ，a n dt h i sh a sg r e a t l yi n f l u e n c e dt h ed e v e l o p m e n t o f n a t u r a ls c i e n c e t h ep r e c i s ed e f m i f i o no fc h a o si sh a r dt om a k e ，s i n c ed i f f e r e n ts u b j e c t t e n dt oh a y ed i f f e r e n tu n d e r s t a n d i n g i t su s u a l l yh o l dt h a tc h a o sb e h a v i o ri ss o m e w h a t p r e d i c a b l e ，a n di st h ec o m b i n a t i o no fc e r t a i n t ya n ds t o c h a s t i ca c d o n t h i sh a sm a d e c h a o sp h e n o m e n o ns e n s i b l et ot h ei n i t i a lc o n d i t i o na n d v e r y h a r dt op r e d i c t t h o u g hc h a o sa n df r a c t a l a r cd i f f e r e n ti n a p p e a r a n c e ，n l e ya r eb o t hn o n l i n e a r p h e n o m e n o n a n da r ec l o s e l yr e l a t e d t h e yb o t ha r i s e sf o r mp o i n c a r cd y n a m i c a ls y s t e m s t h e c h a o t i ca t t r a c t o ri si ne s s g n c ef r a c t a ls e t ，a n dt h ef r a c t a s e ti st h es e to ft h o s e s t a r t i n gp o i n t so f t h eu n s t a b l eo r b i t si nd y n a m i c a ls y s t e m s b e s i d e s ，t h ef o c u so fc h a o s r e s e a r c hi st h ec o m p l e x i t ya p p e a r i n gi nd y n a m i c a ls y s t e m s ，w h i l ei nf r a c t a lr e s e a r c h ， m o r ea t t e n t i o ni sp a i dt ot h e s t r a n g e a t t r a c t o r i nt h i sp a p e r , t h ea u t h o rh a sa ne x t e n s i v ea n dd e e ps t u d ya b o u tc h a o sa n df r a c t a l t h e o r ya n dt h eu s eo f w h i c hi nt h ea n a l y s i so fa c o u s t i cs i g n a l a r e rb r i e f l yi n t r o d u c e d t h ed e f i n i t i o ne n db a s i ct h e o r yo ff r a c t a la n dc h a o s , h o wt od i s c r i m i n a t ef r a c t a lt i m e s e r i e sf r o mn o n - f r a c t a lt i m es e r i e si sd i s c u s s e d s e v e r a lp a r a m e t e r s s u c ha sl y a p u n o v e x p o n e n t ，c o r r e l a t i o nd i m e n s i o n ，p o i n c a r cm a p ，p o w e rs p e c t r u md e n s i t y , p r i n c i p a l c o m p o n e n ta n a l y s i s a r e u s e dt or e c o g n i z ei f t h et i m es e r i e sa r ef r a c t a l s t h er e l i a b i l i t i e s o f t h ep a r a m e t e r su s e da b o v ea r cc o m p a r e d t h e nt h ea c o u s t i cs i g n a lg e n e m t e d b y c h a o s c i r c u i ti sa n a l y z e d f i n a l l yt h em u s i ci sa n a l y z e dt of i n dt h ec h a o sa n df r a c t a li ni t i n t h ec o u r s eo f a n a l y s i sm o r ee f f i c i c n ts c h e m e sw e r e p r o p o s e d k e yw o r d ：c h a o s ，f r a c t a l ，p h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o n , l y a p u n o ve x p o n e n t i v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：取象竭 日期：翘生上l 生一 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：翠越导师签名：立粒日 期：巡少 山东大学硕士学位论文 声音信号中的分形及混沌特征研究 1 引言一一关于乐音信号处理及相关理论 本文主要介绍了混沌和分形理论在声音信号处理中的应用。首先 分析判断时间序列是否具有混沌和分形特征的几个参数：李雅普诺夫 指数、关联维数、庞加莱映射、功率谱以及主分量分析，进而分析了 它们各自的优缺点。在此基础上，对乐音信号中的混沌和分形行为进 行了系统而深入的分析探索。具体做法是，首先把乐音信号的波形数 据存储在一个一维数组中，把该一维数组看成一时间序列，运用典型 的混沌时间序列分析方法进行分析，通过对某些乐曲的波形数据的时 间序列进行功率谱分析，主分量分析，相空间重构并求其l y a p u n o v 指 数，有些乐曲的时间序列的相轨迹不像噪声那样，在相空间中不存在 任何吸引域随机行走：也不像周期信号那样为一闭合的单曲线，与 l o r e n z 系统的相轨迹有特征上的相似性，并且有正的l y a p u n o v 指数 这说明在有些乐曲的对间序列中存在混沌和分形现象。 分形理论和混沌理论都是分析音乐信号特征、探讨乐音信号的旋 律美的主要方法，了解分形理论和混沌理论的产生与发展的简单历程， 对使用分形理论和混沌理论具有启发作用和理性的指导作用。 分形理论是活跃的非线性数学分支l ，其研究对象是在非线性系 统中产生的不光滑和不可微的几何形体，对应的定量参数是维数【2 。l 。 分形理论和混沌理论都属于非线性科学范畴。非线性科学旨在揭示非 线性系统的共同性质、基本特征和运动规律，是一门跨学科的综合性 基础科学。在非线性科学的研究中，涉及到对确定性与随机性、有序 和无序、简单性和复杂往、量变与质交、整体与局部等概念的认识上 的深化，对自然科学各相关学科的发展有相当程度的影响【5 】。混沌理 论和分形理论是非线性科学的两个重要组成部分。混沌的准确定义很 难给出，各学科对其理解有所区别。通常认力混沌是一种未分化的、 包含有序机制的、长期轨道不可预测的随机行为：是一种既有决定性， 山东大学硕士学位论文 又有随机性的二重状态。这使得混沌系统的外在性质呈现出如下特征： 对初始条件的敏感依赖性( 本质特征) 【6 】；极为有限的可预测性。 有关混沌现象及其机理的研究成果是2 0 世纪最重要的科学发现之 一i7 1 。2 0 世纪初的1 9 0 3 年，法国科学家h p o i n c a r e 在科学与方法 一书中提出了p o i n c a r e 猜想，他把动力学系统和拓扑学两大领域结合 起来，指出了混沌存在的可能性，从而成为世界上最先了解混沌存在 可能性的人。 从2 0 世纪6 0 年代起，人们开始探索科学上的那些未解之谜。使 混沌理论研究得到飞速的发展。1 9 6 3 年，l o r e n z 发表在大气科学 上的确定性的非周期流介绍了菲周期性与不可预见性之间的联系。 他认为一串事件可能有一个临界点，在这一点上，小的变化可以放大 为大的变化，而混沌的意思就是这些点无处不在。这就是著名的蝴蝶 效应的通俗表述。是天气预报和气象学的研究展示了混沌科学研究美 妙前景。 1 9 7 5 年华裔学者李天岩和美国数学家y o r k e 在a m e r i c a m a t h e m a t i c s ) ) 杂志上发表周期三意味若混沌，揭示了从有序到混沌 的演变过程。 1 9 7 7 年，第一次国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌科学的 诞生。 1 9 7 8 年，美国物理学家f e i g e n b a u m 在统计物理学杂志是发表 关于普适性的文章一类非线性变换的定量的普适性，普适性研究推 动了混沌科学的进展。 1 9 8 4 年，中国物理学家郝柏林编著混沌一书并在新加坡出版， 为混沌科学的发展起到一定的推动作用。 至2 0 世纪9 0 年代，混沌科学与其它科学相互渗透，甚至在音乐、 色彩、视觉表现等艺术领域中，混沌也得到广泛的应用。 2 0 世纪7 0 年代以前，科学家已经系统、深刻地研究深化有关分形 的问题，并逐步形成理论，将研究范围扩大到数学的许多其它分支中。 l9 7 5 年，m a n d e l b o r t 在他的l e so b j e c t sf r a c t a l s ：f o r m e ，h a s a r d e td i m e n s i o n ( 在1 9 7 7 年翻译成英文是f r a c t a l ：f o r m ，c h a n c e ，a n d 山东大学硕士学位论文 d i m e n s i o n ) ) ) 书中最早提出分形一词，并使之普及化。 1 9 7 5 年以后，分形几何在各个领域的应用都得到发展，开始形成 独立学科。 混沌和分形的外显特征虽然不尽相同，但二者都是非线性现象， 它们是有紧密的联系，从本质上讲都源于p o i n c a r e 动力系统。混沌吸 引子实在就是分形集，分形集就是动力学系统中那些不稳定轨迹的初 始点的集合 8 】。此外，混沌研究关心的焦点是非线性动力过程中呈现 出的复杂性；而分形研究更注重动力行为产生的吸引子。 3 山东大学硕士学位论文 2 本课题来源和研究的重点 本课题是混沌和分形理论在声音信号分析和处理中的具体应用， 课题方向及研究内容是在导师刘孝贤教授的指导下共同商定的。目前 关于混沌和分形理论在声音信号分析和处理中应用的研究主要是针对 语音信号，这类研究已经取得一定的成果，并且形成了一套较为实用 的研究方法；另外混沌和分形理论在战场上的被动声信号的识别方面 的应用也取得了一些进展：但混沌和分形理论在对乐音信号的分析和 处理中的应用却尚未有人涉及，本课题填补了这一空白，当然在本课 题的研究过程中很多地方都借鉴了上述应用研究中的比较成熟的方 法。 本课题的研究重点是： 1 系统的学习混沌和分形理论的基本原理和基本知识； 2 熟悉判断对问序列是否具有混沌和分形特征韵参数，掌握混沌 时间序列的分析方法； 3 分析哪种类型的乐音信号中存在混沌和分形现象； 4 利用混沌序列来控制谐波分量以产生混沌分形音乐 5 如何利用混沌提高音乐信号的质量。 山东大学硕士学位论文 3 混沌和分形的基本理论 3 1 混沌的定义 关于混沌，确切的定义很难给出，一般认为，混沌就是指在确定 性系统中出现的一种貌似无规则的，类似随机的现象。对于确定性的 非线性系统中出现的具有内在随机性的解，就称为混沌解。混沌不是 简单的无序而是没有明显的周期和对称，但却是具有丰富的内部层次 的有序结构，是非线性系统中的一种新的存在形式( 已有的存在形式 是平衡态、周期解和拟周期解) 【9 1 。从数学上讲，对于确定的初始值， 由动力系统就可以推知该系统的长期行为甚至追溯其过去的性态。但 大量实例表明，很多系统对初值的依赖十分敏感，即所谓的“蝴蝶效 应”。这正是系统内在的固有的随机性引起的，它只可能发生在非线性 系统中。以下是几种典型的混沌定义； 1 l i y o r k e 的混沌定义 华裔学者李天岩和他的导师y o r k e 在1 9 7 5 年发表的论文周期三 意味着混沌的文章中，首先提出现代科学意义上的“混沌”概念并 给出了混沌的一种数学定义u o l ，它是从区间映射出发进行定义的，该 定义可描述如下 ， l i y o r k e 定理：设，( x ) 是【口，6 1 上的连续自映射，若，( x ) 有三周期点 则对任何正整效疗，f ( x ) 有栉周期点。 混沌定义( l i y o r k e ) ：区间，上的连续自映射f ( x ) ，如果满足下面 条件，便可确定它有混沌现象： ( 1 ) 厂的周期点的周期无上界； ( 2 ) 闭区间，上存在不可数子集s ，满足 ( i ) 对任意囊y e s ，x y 时，i i n i s u l ，| f “( 功一f “( 力i 0 ； ( i t ) 对任意矗y s ，! i m i n f 。f ”( 工) 一f “( y ) f f i o ： ( i i i )对任意x s 和，的任意周期点y ， 有 j i m s 叫，”( 工) 一，”( ) ，) i 0 山东大学硕士学位论文 根据上述定理和定义，对闭区间，上的连续函数厂( x ) ，如果存在一 个周期为3 的周期点时，就一定存在任何正周期点，即一定出现混沌 现象。 该定义准确地描述了混沌运动的几个重要特征： ( 1 ) 存在可数无穷多个稳定的周期轨道； ( 2 ) 存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道； ( 3 ) 至少存在一个不稳定的非周期轨道。 2 m e l n i k o v 的混沌定义 在二维系统中，最具开创性的研究是s m a l e 马蹄理论。马蹄映射f 定义于平面区域d 上。f ( d ) c d 。其中d 由一单位正方形s 和两边各一 个半圆构成。映射规则是不断把s 纵向压缩( 压缩比小于l ，2 ) 同时横 向拉伸( 拉伸比大于2 ) ，再弯曲成马蹄形后放回d 中。 h e n o n 映射就是马蹄映射的一个实例。已经涯明。马蹄映射的不 变集是两个c a n t o r 集之交，映射在这个不变集上成混沌态。因此，如 果在系统吸引子中发现了马蹄，就意味着系统具有混沌。 由h o l m e s 转引的m e l n i k o v 方法是对混沌的另一种严格描述概 括起来可表达为：如果存在稳定流形和不稳定流形且这两种流形横截 相交，则必存在混沌。m e l n i k o v 给出了判定稳定流形和不稳定流形横 截相交的方法，但这种方法只适合于近可积h a m i l t o n 系统。 3 d e v a n e y 的混沌定义 在拓扑意义下，混沌定义为：设v 是一个度量空间映射f ：v 呻矿， 如果满足下面3 个条件便称，在矿上是混沌的。 ( 1 ) 厂对初始条件有敏感性。存在艿 0 ，对任意的茸 0 和任意的 工v 。在x 的i 邻域内存在y 和自然数一，使得距离d l 厂”( 工) ，f ”( y ) j j 。 ( 2 ) 厂是拓扑传递的。对矿上的任意对开集、y ，存在k 0 ， f ( x ) n y o ( 如果一映射具有稠轨道，则它显然是拓扑传递的) 。 ( 3 ) f 的周期点集在v 中稠密。 对初值的敏感依赖性，意味着无论x 和y 离的多近，在厂的作用下 两者的距离都可能分开较大的距离，并且在每个点x 附近都可以找到 离它很近而在厂的作用下最终离开很远的点y ，对这样的，如果用计 6 山东大学硕士学位论文 算机计算它的轨迹，任意微小的初值误差，经过多次迭代后将导致计 算结果的失真。 拓扑传递意味着任一点的邻域在厂的作用下将在整个度量空间矿 中弥散开来，这说明不可能细分或不可能分解为两个在厂下不相互影 响的子系统。 周期点集的稠密性，表明系统具有很强的确定性和规律性，决非 混乱一片，形似混乱而实则有序，这正是混沌的耐人寻味之处。 3 2 混沌运动的基本特征 混沌运动是一种不稳定有限定常运动，即为全局压缩和局部不稳 定的运动，或除了平衡、周期和准周期以外的有限定常运动。这里所 谓的有限定常运动，指的是运动状态在某种意义上( 以相空间的有限 域为整体) 不随时间而变化。这个定义指出了混沌运动的两个主要特 征：不稳定性( 该性质可用平均l y a p u n o v 指数精确描述) 和有限性。 混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂运动状态，出现在某 些耗散系统、不可积h a m i l t o n 保守系统和非线性离散映射系统中。如 前所述，至今科学上仍没有给混沌下一个完全统一的定义，它的定常 状态不是通常概念下确定性运动的三者状态：静止( 平衡) 、周期运动 和准周期运动，而是局限于有限区域且轨道永不重复、性态复杂的运 动。它有时被描述为具有无穷大周期的周期运动或貌似随机的运动等。 与其它复杂现象相区别，混沌运动有自己独有的特征，主要有： ( 1 ) 有界性。混沌是有界的，它的运动轨线始终局限于一个确定的 区域，这个区域称为混沌吸引域。无论混沌系统内部多么不稳定，它 的轨线都不会走出混沌吸引域。所以从整体上来说混沌系统是稳定的。 ( 2 ) 遍历性。混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限 时间内混沌轨道经过混沌区内每一个轨迹状态点。 ( 3 ) 内随机性。一定条件下，如果系统的某个状态可能出现，也可 能不出现，该系统被认为具有随机性。一般来说当系统受到外界干扰 时才产生这种随机性。个完全确定的系统( 能用确定的微分方程表 示) ，在不受外界干扰的情况下，其运动状态也应该是确定的，即可以 7 山东大学硕士学位论文 预测。不受外界干扰的混沌系统虽能用确定微分方程表示，但其运动 状态却具有某些随机性。产生这些随机性的根源只能在系统自身，即 混沌系统内部自发地产生这种随机性。当然混沌的随机性与一般的随 机性有很大区别，天体力学中著名的三体问题很好地说明了这种内随 机性。混沌的内随机性实际就是它的不可预测性，对初始条件的敏感 性是这一性质的根本原因。同时也说明混沌是局部不稳定的。 ( 4 ) 分维性。是指混沌的运动轨线在相空间中的行为特征。混沌系 统在相空间中的运动轨线，在某个有限区域内经过无限次折叠，不同 于一般确定性运动，不能用一般的几何术语来表示，而分数维正好可 以表示这种无限次的折叠。分维性表示混沌运动状态具有多叶、多层 结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构。 ( 5 ) 标度性。是指混沌运动是无序中的有序态。其有序可以理解为： 只要数值或实验设备精度足够高，总可以在小尺度的混沌区内看到其 中有序的运动花样。 ( 6 ) 普适性。所谓普适性是指不同系统在趋向混沌态时所表现出来 的某些共同特征，它不依具体的系统方程或参数丽变。具体体现为几 个混沌普适常数，如著名的f e i g e n b a u m 常数等。普适性是混沌内在规 律性的一种体现。 ( 7 ) 统计特征，正的l y a p u n o v 指数以及连续功率谱等。l y a p u n o v 指 数是对非线性映射产生的运动轨道相互趋近或分离的整体效果进行的 定量描述。对于非线性映射而言，l y a p u n o v 指数表示以维相空间中运 动轨迹沿各基向量的平均指数发散率，当l y a p u n o v 指数小于零时。轨 道间的距离按指数减小，系统运动状态对应于周期运动或不动点；当 l y a p u n o v 指数大于零时，则在初始状态相邻的轨道将按指数分离，系 统运动对应于混沌状态；当l y a p u n o v 指数等于零时，各轨道间距离不 变，迭代产生的点对应分叉点( 即周期加倍的位置) 。 对混沌系统而言，正的l y a p u n o v 指数表明轨线在每个局部都是不 稳定的，相邻轨道按指数分离h 1 t 。但是由于吸引子的有界性，轨道不 能分离到无限远处，所有混沌轨道只能在一个局限区域内反复折叠， 但又永远互不相交。形成了混沌吸引子的特殊结构。同时正l y a p u n o v 山东大学硕士学位论文 指数也表示相邻点信息量的丢失，其值越大，信息量丢失越严重，混 沌程度越高。 3 3 分形的定义 从数学意义上给出分形的严格定义不是一件容易事。事实上，从 分形诞生至今近3 0 年来，人们都在探索分形的严格定义，但至今尚无 一个被各学科所共同认可的阐述。粗略地说，分形是对没有特征长度， 但具有一定意义的自相似图形和结构的总称。 m a n d e l b r o t 最先引入分形一词，并建议把分形定义为整体与局部 在某种意义下的对称性集合，或者是具有某种意义下的自相似集合； 他也曾给出一个尝试性的定量描述，说分形是h a u s d o r f f 维数严格大于 其拓扑维数的集合1 12 1 。但是所有这些定义都不够精确、不够全面。著 名分形几何学家f a l c o n e r 也不得不回避分形的精确定义，他认为，分 形的定义应该以生物学家给出生命的定义类似的方法给出，即寻找分 形的特征，将分形集看作是具有如下用不确定语言描述的性质的集合 f 1 3 1 ： ( 1 ) f 具有精细构，即存在有任意小比例的细节。( f h a saf i n e s t r u c t u r e ，i e d e t a i lo na r b i t r a r i l ys m a l ls c a l e s ) ( 2 ) f 是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。( fi s t o o i r r e g u l a r t ob ed e s c r i b e di nt r a d i t i o n a l g e o m e t r i c a ll a n g u a g e ，b o t h l o c a l l ya n dg l o b l l y ) ( 3 ) f 通常具有某种自相似性。或许是近似的或许是统计意义下 的。( o f t e nfh a ss o m ef o r mo fs e l f - s i m i l a r i t y ，p e r h a p sa p p r o x i m a t eo r s t a t i s t i c a l ) ( 4 ) f 在某种方式下定义的“分形维数”与f 的拓扑维数不相等。 ( u s u a l l y t h e “f r a c t a ld i m e n s i o n ”o f f ( d e f i n ei ns o m ew a y ) d o s en o t e q u a lt oi t st o p o l o g i c a ld i m e n s i o n ) ( 5 ) f 的定义常常是非常简单的，或许是递归的。( i n m o s t c a s e so f i n t e r e s t ，f i sd e f i n ei nav e r ys i m p l ew a y ，p e r h a p sr e c u r s i v e l y ) 则分形就是同时具有或在某一尺度空间中同时具有上述的5 个性质的 山东大学硕士学位论文 集合。 分形是自然形态的几何抽象。如同自然界找不到数学上所说的直 线和球体一样，自然界也不存在“真正的分形”。只要注意到分形包含 一个无穷小尺度的内涵，便可以知道自然形态只有停留在一定层次内， 才可以合理地按分形模式来考虑。 3 4 分形维数 维数是基于测度的一个数学概念，用于表示集合占有空间的大 小。分形维数是描述分形集合复杂性的一种量度”，是图形的最基本 的不变量。分形维数的重要性在于它们能够用数据定义，并且能通过 实验手段近似的计算，分形维数已突破一般拓扑集的整数维的界限， 引进了非整数维【”】。由于分形集的复杂性对于不同的测量对象需要 不同的测量方法，关于分形维数有多种定义，这些维数的定义个别的 比较科学，而另一些可能理论性差一些，但在应用上比较方便。在多 种分形维数中，作为时间序列分形特征的参数的主要有：h a u s d o r f f 维 数、关联维数和计盒维数。 3 4 1h a u s d o r f f 维数 对于二维正方形a = 【o ，l 】 0 ，i 】，则其体积f ( 一) = 0 ，其面积l 2 ( a ) = l ， 而且长度r ( 4 ) = 。其实对一般的h a u s d o r f f 测度而言也是同样的，设a 的h a u s d o r f f 测度0 h5 ( 爿) 0 i u ，i 。”曼巧。l c ，。1 3 i u ，i 。艿i u 。1 5 ” i 对 u 。) 取下确界得 j 一月；”( 一) s 月；( 爿) sj 8 月；一。( 4 ) 从而有j 一0 时 ”。( 彳) = 0和h 5 ( 4 ) = 由此给出集合4 的h a u s d o r f f 维数d h ( a ) 为 l o 山东大学硕士学位论文 d * f ，1 d h ( a ) = i n f 扛：日5 ( 一) = 0 d ：c f s u p s ：圩s ( 彳) ：。1 = ：爿【h ) = 所以 踟= 仁黧嚣 。” 如果s = d 。，则h5 ( 爿) 可以为零或者无穷或者满足 0 h 5 ( 爿) 0 ，n ( a ，s ) 表示用 来覆盖a 的半径为占的最小闭球数，如极限l i m 旦掣存在，则称 8 i n 一1 耻。l i 训r a 半 为a 的计盒维数 2 0 1 【2 1 1 。 在实际计算中，可以构造一些边长为占的正方形( 盒子) ，然后计 算不同f 值的“盒子”与a 相交的个数l v ( a ，占) ，以一i n # 为横轴，i n n ( a ，占) 为纵轴描出点【一i n 6 ，i n n ( a ，艿) 】，根据这些点组成的图形的斜率便可以 估计图形a 的计盒维数。而斜率的估计可以采取最小二乘法。考虑 y = 似i + b ，k = l , 2 ，m ，令 坩 f ( a ，6 ) = ( y i 一麟i 一6 ) 2 t = i 上述二元函数存在极值的条件是 于是盒维数为 肛 出 护 d h 朋 = 也( y 一戤- b ) x i = o 七一i 捌 = - 2 z ( y j 一嘶- b ) = o m h y i 一_ y i d ：生l 蛀l 绝l 一 班一( 磁) 2 i = i女= l 式( 3 4 1 5 ) 中斗，y k 分别是一i n 6 - ql n n ( a ，占) 的第k 次取值a 山东大学硕士学位论文 4 声音信号处理的相关知识 4 1 声音的基本概念及基本特征 空气振动刺激人耳并传递到大脑，给人的感觉就是声音。声音是 人类获得信息的主要媒介。声音是时间的连续信号，从这个角度来讲， 声音与视频有很大的区别。声音没有静止帧的概念，如果声音的播出 出现停顿，就会产生信号的突变甚至丢失。 1 声音的三要素 声音的三要素是指音调、音色、音量这三个声音的主要属性。音 调的高低主要取决于声波频率的高低，频率高音调就高，频率低音调 就低，当声波的强度增加，亦会使同一频率的声波有音调较高之感。 通常乐器所发出的声波均非单音或纯音，波形复杂，故音调高低实际 上由很多因素所决定。音量是人耳感受到的声音强弱，是人对声音的 主观感觉量，音量的大小决定于声音接收处的波幅，就同一声源来说 距离声源越远。音量愈小，当传播距离一定时声源振幅愈大，音量 愈大。音量的大小与声强密切相关。但音量随声强的变化不是简单的 线性关系，而是接近于对数关系。当声音的频率、声波的波形改变时， 人对音量大小感觉也会发生变化。人能忍受的最大声音强度大约为1 3 0 分贝；音色由泛音的成分及强弱决定，不同的乐器在基本振动频率相 同的情况下，仍然可以区分其各自的特色就是因为它的音色不同。 例如合奏的二胡、月琴、琵琶，由于音色不同。人们的听觉可以分辨 各种乐器。 2 声音频率的分段 次声，频率小于2 0 h z ：可昕声，频率介于2 0 到2 2 k h z 之间；超声 频率大于2 2 k h z 。 3 声音的连续谱 声音可分为周期性信号和非周期性信号两种。周期性信号即单一 频率信号，其频谱是线性的；非周期性信号包含一定频带的所有频率 分量，频谱是连续的。大自然的声音是非周期性信号，计算机发出来 的声音都是周期性信号，通过计算机发音会遗漏大自然声音的部分信 山东大学硕士学位论文 息，所以需要处理失真问题。 4 2 乐音的基本概念及特征 凡由声源按周期性振动而有规则的声音，令人悦耳动听的称为乐 音。它的波形图线是周期性的曲线。乐器按规律振动的才是乐音，否 则即是噪音，刺耳难听。乐音的三要素是音调、音量和音品，它们各 自反映乐音的特性。乐器发出的声音，一般是由若干个频率和振幅都 不同的纯音所组成的复音。在复音中，频率最低的声音叫做“基音”。 乐音的音调是由基音的频率决定的，例如1 0 0 h z 的钢琴声，除发出频 率是1 0 0 h z 的声音外，还同时发出许多较弱的不同频率的声音，1 0 0 h z 的纯音叫钢琴的基音。频率为基音的整数倍或大于i 的非整数倍的其 余纯音称作“泛音”。等于基音频率整数倍之声音又称为谐音。乐音的 音品就是由泛音的多少及其频率和振幅决定的【2 2 1 。 旋律是音乐的灵魂。旋律又称作曲调，可以说，任何人在听了一首作品之后， 首先记住的就是旋律，是可以吟唱出来的，而其他要素如单纯的节奏、力度、音 区，离开了旋律，简直就无法独立存在。旋律和日常语言关系十分密切，最古老 的音乐，它们的旋律曲折变化，是依附于语言本身的，可以说，它就是将语言中 的音高加以夸张得来的。比如中国人吟诗，就是将诗句用较为音乐化的调子朗读 出来，而西方的圣咏也是这样。后来渐渐地有了不依附于语言的音乐旋律，但如 果仔细想想，这些形态各异的旋律仍然和语言有着深层的关系，比如曲折婉转的 旋律，有如亲切的谈话，短促有力的旋律，像是命令或惊叹的口气，下行的旋律 又往往和哀伤的哭泣相类似。作曲家就利用这些特征，来写作各种各样情绪的旋 律。在一部大型作品中，往往要用几组风格和节奏不同的旋律，它们形成对比和 发展，使音乐向前推进。 4 。3 声音信号在计算机中的存储方式 声音信号实际上是连续信号。是时间的连续函数x ( ) ，计算机不能 处理这些输入的自然声音，需要对自然声音的连续信号进行采样，每 隰一定时间丁取一次声音值，得到声音信号采样函数工( 月d 。t 称为采 样周期，1 ，称为采样频率。x ( r ) 是连续信号，经采样后的函数x 研研为 离散函数。在计算机中是采用离散信号x ( n r ) 对声音信号进行存储的。 山东大学硕士学位论文 采样的频率越高，即时间间隔划分的越细，单位时间内获得的声 音样本数就越多，数字化后的音频信号就越好，但存储会越大。如果 采样频率过小，将会出现频率混叠，导致失真。一般来讲采样的频率 只要高于该信号的最高频率的两倍就可以保证原信号的质量。人耳的 听觉上限为2 2 k h z ，因此如果采样频率达到了4 4 k h z 以上就可以实现比 较好的听觉效果。 为了把采样序列x ( n t ) 存入计算机，必须将样值量化成一个有限个 幅度值的集合x ( n t ) ，通常采用二进制数表示量化后的样值。表示采样 值范围的二进制位数称为量化位数。量化位数的多少决定了采样值的 精度，量化位数越大，采样达到的精度就越高。8 位字长的量化可以表 示2 5 6 个等级的采样值：1 6 位字长的量化可以表示6 5 5 3 6 个等级的采 样值。 本文采用的声音信号的存储均为波形音频，采样频率为4 4 i o o h z ， 量化位数是1 6 位。 4 4 声音信号的频谱分析 任何真实存在的声音，哪怕它只是蛐蛐儿的一声鸣叫，几乎都像 是交响乐队的产品，它们似乎都是许多乐器同时演奏的结果。简单的 说，一般的声音都等同于大大小小许