（控制科学与工程专业论文）切换线性系统稳定性若干问题研究.pdf

摘要 同时包含模拟量( 连续量) 和逻辑量( 数字量) 的系统习惯上被称为混杂系 统。其中的一类系统，模型由多个子模型组成，每个子模型只在特定条件下才成为 系统模型。系统的状态轨迹在模型发生变化的时刻仍然连续。这样的系统通常被 称为切换系统。如果子模型都是线性系统，就称之为切换线性系统。例如，一个具 有饱和曲线的系统在分段线性化后就是一个切换线性系统。 因为系统结构会变化，所以切换线性系统的稳定性一直是一个非常复杂的问 题。系统稳定与否不仅和子系统的稳定性有关，而且还受切换序列的影响。本文所 关注的内容是切换线性系统稳定性判别方法的研究。 文内从两个方向上分别提出对切换线性系统稳定性进行判别的途径。 对于一类切换线性系统，通过引入矩阵测度的知识来探讨如何判定系统在任 意切换序列下稳定、不稳定的条件以及某个具体的切换序列是否稳定的条件。和 已有的方法不同，该方法可以用来判定一类任意切换序列都不稳定的系统。该方 法的最大优点就是计算简单，尤其适合于对维数较高的系统。对于子系统为时变 系统的情况，这个方法依然体现其方便的特性。 在公共l y a p u n o v i 弱数的基础上，引入系统能量函数以及能量变化矩阵等方法 来研究切换线性系统的稳定性。这个方法不仅可以用来判别一些系统在任意切换 序列下的稳定性和不稳定性，它还可以用来指导设计稳定的切换序列。这是其他 基于l y a p u n o v 函数的方法所不具备的。 本文所提出的两种稳定性判别方法都可以直接用于实践，而不仅仅限于理论 分析。 除此之外，本文还对多l y a p u n o v 函数法和公共l y a p u n o v 函数法进行详尽介 绍。同时对系统的能控性、能观性、反馈问题以及最优控制策略等方面进行简单的 文献综述。希望这些能对全面了解该方向的人士有所帮助。 最后给出了一些展望，提出今后稳定性问题研究的一些目标。附录部分给出 了本文所使用例子的m a t l a b 仿真程序，以供验证。 摘要 关键词：混杂系统，切换线性系统，稳定性，l y 印u n o v 函数，矩阵测度，能量变化 矩阵 a b s t r a c t t h es y s t e m sw h i c hc o n t a i na n a l o gv a r i a b l e sa n dl o g i cv a r i a b l e sa r ec a l l e dh y - b r i ds y s t e m sc u s t o m a r i l y t h e r ei so n ec l a s so fh y b r i ds y s t e m sw h i c hc o n s i s to f m o r et h a no n es u b - s y s t e m a l lo ft h e s es u b - s y s t e m sa r ea c t i v a t e da st h es y s t e m s m o d e li ns p e c i a lc o n d i t i o n s t h es t a t et r a j e c t o r yo f s y s t e mi sc o n t i n u o u sa tt h et i m e o ft h es y s t e m sm o d e lc h a n g e d t h e ya a r ec a l l e ds w i t c h e ds y s t e m su s u a l l y i fa l lt h e s u b - m o d e l sa r el i n e a rs y s t e m s ，i ti sc a l l e ds w i t c h e dl i n e a rs y s t e m s f o re x a m p l e ， as y s t e mw h oh a si t si n p u t - o u tc h a r a c t e r i s t i cc l n v es a t u r a t e di sas w i t c h e dl i n e a r s y s t e mw i t hb e i n gp i e c e - w i s e l yl i n e a r i z e d t h e s t a b i l i t yo fs w i t c h e dl i n e a rs y s t e m si sac h a l l e n g i n gp r o b l e mb e c a u s eo fi t s v a r y i n gs t r u c t u r e t h es t a b i l i t yl i e so nn o to n l yt h es t a b i l i t yo fs u b - s y s t e m s b u t a l s ot h es w i t c h i n gs e q u e n c e s t h em a i nf o c u so ft h i sp a p e ri sf o u n d i n gt h ec r i t e r i a o fs t a b i l i t yo fs w i t c h e dl i n e a rs y s t e m s t w om e t h o d s8 8t h ec r i t e r i ao fs t a b i l i t yf o rs w i t c h e dl i n e a rs y s t e m sa r es t u d i e d i nt h i sp a p e r f o rac l a s so fs w i t c h e dl i n e a rs y s t e m s ，t h em a t r i xm e a s u r eh a sb e e na p p n e dt o t h ej u d g i n gs y s t e m ss t a b l eo ru n s t a b l eu n d e ra r b i t r a r ys w i t c h i n gs e q u e n c e so rg i v e n s w i t c h i n gs e q u e n c e i ti sa l s ou s e dt os t u d yt h es y s t e mw h i c hi su n s t a b l eu n d e r a r b i t r a r ys w i t c h i n gs e q u e n c e s i m p l ea l g o r i t h mo fm a t r i xm e a s u r eh a st h i sm e t h o d m o r ea t t r i t i v e e s p e c i a l l y , i ti sv e r ys i m p l ei nh i g ho r d e rs y s t e m sa n dt i m ev a r y i n g s y s t e m s o n t h e b a s e o f c o m _ r l l o n l y a p u n o v f u n c t i o n ，e n e r g y f u n c t i o n a n d e n e r g y v e l o c i t y m a t r i xa r eu s e dt os t u d y i n gt h ec r i t e r i ao fs t a b i l i t yo fs w i t c h e dl i n e a rs y s t e m s b e s i d e su s e dt oi d e n t i f yi fas w i t c h e dl i n e a rs y s t e mi ss t a b l eo rn o tu n d e ra r b i t r a r y s w i t c h i n g s e q u e n c e s ，t h e s e m e t h o d s c a l l b e a s a d i r e c t o r i n d e s i g n i n gs t a b l e s w i t c h i n g s e q u e n c e t h i si st h ed i f f e r e n t i a lf r o mo t h e rl y a p u n o vf u n c t i o n sm e t h o d s a l lt h et w om e t h o d si nt h i sp a p e rh a v et h ef l a m em e r i tt h a tt h e ya r ea l le a s i l y a p p h e di np r a c t i c e b e s i d e s ，t h em u l t i p l el y a p u n o vf u n c t i o n sa n dt h ec o m m o nl y a p u n o vf u n c t i o n a r ee x p a t i a t e di nd e t a i li nt h i sp a p e r o nt h es a m et i m e ，c o n t r o l l a b i l i t y , o b s e r v a b i l - i t y , f e e d b a c ke q u i v a l e n c ea n do p t i m a lc o n t r o la r ec o n t a i n e di nt h i sp a p e ra b s t r a c t l y h o p e si tc a nb eh e l pf o rt h ep e o p l ew h ow a n tt ok n o wt h e s eb r a n c h e sr o u n d l y a b s t r a c t t h ec o n c l u s i o na n dp e r s p e c t i v ea l eg i v e na tt h ee n do ft h ed i s s e r t a t i o n t h e a p p e n d i xa r et h em a t l a bp r o g r a m sf o ra l lo ft h ee x a m p l e si nt h i sp a p e r t h e r e a d e r sc a l lu 8 et h e mt oc e r t i f i c a t et h ee x a m p l e si nt h i sp a p e r k e y w o r d s ：h y b r i ds y s t e m s ，s w i t c h e dl i n e a ls y s t e m s ，s t a b i l i t y , l y a p u n o vf u n c t i o n s ， m a t r i xm e a s u r e ，e n e r g yv e l o c i t ym a t r i x 主要符号对照表 n z z + ， 冗 c z 冗+ 缈 冗”o “ c m o “ q 0 ( q 0 ) q 方程描述以静，还锝嬲土若于数字( 逻辑) 变量用以撼述服务器切换到 不丽缓狰器酶离散攀俘行兔。这榉，摇述这个系统静数学酯数就无法逶避个统 一的关系式来实现。要想精确而简单地描述它，采用多个线性微分( 差分) 方程的 方法魁可以接受的，同时还必引入逻辑变量来撒述服务器切换动作。为了和微分 方程巾靛连续交薰避符区别，这皴接述服务嚣甥换魂终豹逻鞲变量也被舔为数字 交量( 并非传统意义t 的离散纯霸豹连续量，也不代表菜一寮肇位的物理爨，它们 只是用朱进行逻辑判别的，所以也可以称为逻辑量) 。这个例予在下一小节肖详细 的说明。 饕逶电路孛懿夺凌辜羧大毫爨楚舞努一令鬻整铡予。一般信号系绞巾，常霉 采用运算放大器组成的电压跟随器来实现电流( 功率) 放大功能。理论上讲，电压 跟随器的功能是输出电压一直跟随输入电压，同时可以输出熙大的电流从而实现 功率放大( 或者说越减小输出阻挽) 。但是运算放大器静输出电压受到放大嚣工作 电源蘸疆蒋馕豹隈籀。当辕入毫聪戆疆蓬接近域者超过惑潦瞧基嚣重，辘窭笼法跟 踪输入电压，而是娥予幅值恒定状态( 饱和) 巍到输入电雁幅值回到线性区间为 止。它的输入输出麟线就是典型的饱和特性曲线，由三条直线组成。如果描述它的 特性，可以通过三个不同的线性方程来共同完成。月对加入个决定哪个方程起 作矮瓣数字变量( 藏毽为i 、2 、3 ) 。稻爱，蠡暴鼗遴过一个绫一瓣方程箍述该电路， 其困濉是可想而知的。 谯这两个系统中( 网络缓冲服务器和电压跟随器) ，数学模型中都出现了数 一2 一 浙江大学博士学位论文 字( 逻辑) 变量和连续变量共存的局面，这已经和传统的描述方式大不相同。当 然，理论上讲，可能存在一个单一且复杂的非线性数学函数可以完全描述他们。可 是这样的复杂描述恐怕会使分析和综合变非常困难。对于这种由描述系统状态的 连续变量和描述事件的逻辑变量相互混杂而组成的系统，一般称呼它们为混杂系 统( h y b r i ds y s t e m s ) 。早在1 9 6 6 年，w i t s e n h a u s e n 根据当时已经出现的由触发器、 计数器以及数字和模拟开关等数字电路单元和模拟单元( 如信号调理电路等) 的 混合电路的现象，提出混杂系统的概念。并对其结构、最优控制等做了探讨【7 司。 这很可能是最早开拓这个领域的文献。以后随着人类对自然界的认识越来越广， 面对的混杂系统越来越多，它也就引起众多人的越来越浓厚的兴趣。而在混杂系 统中还有一个子类，他们( 控制器或者被控对象) 是由若干互相独立的模型所共同 组成，每个模型负责一个区域。这个区域可以是系统轨迹空间的一部分，也可以是 系统运行时间的子区间。当系统处于某个区域时，系统的模型就由该区域内的子 系统的模型来替代。整个系统的模型随着所处的区域不同而不同。这就好像系统 模型在多个不同的模型之间更替切换，并且系统的轨迹在模型发生更替切换的时 刻还保持连续。这类系统被形象地称为切换系统( s w i t c h e ds y s t e m s ) ，而那些共 同描述一个系统的众多模型被称为子系统( s u b - s y s t e m s ) 。如果这些子系统都是线 性系统，则整个系统又被称为切换线性系统( s w i t c h e dl i n e a rs y s t e r o s ) 。可见切 换系统与其他的混杂系统的区别在于事件发生时要求系统轨迹连续。如果在切换 发生时刻系统轨迹不连续，就不属于切换系统的研究范围，而是被归为更具一般 意义的混杂系统1 1 3 6 。 图1 1 ( 第4 页) 可以作为切换系统的示意图。图中变量x ( t ) 表示系统的状态 向量，e ( ) 是系统误差，u ( t ) 是控制变量，他们都是连续变量。i ( t ) 就是这里所谓的 数字( 逻辑) 变量，它的值域为有限个正整数的集合。其值指示系统当前模型( 被 控对象或者控制器) 应该由哪个子系统来承担。它是监控决策机构的输出。在切换 系统中它的名字叫切换变量( 信号) ，后文会通过具体例子来表明它在系统稳定性 研究中的重要地位。监控机构可以是自动机、p e t r i 网或者其他更为一般性的离散 事件决策系统1 0 2 。系统中的连续部分( 这里所谓的连续部分是指由微分方程或 者差分方程所组成的部分，为了和决策系统的输出区分，称他们为连续部分) 影响 决策机构的行为，决策机构再回头影响连续部分的特性【1 4 ，7 5 】 需要再次强调的一点是，本文中所谓的数字( 逻辑) 变量和经典控帝0 理论中离 散系统的状态变量不是一回事。这里的数字变量是指那些值域为自然数的用于逻 辑判别的逻辑变量。 下一小节先通过具体的例子来介绍切换线性系统。 一3 一 第一章绪论与综述 图1 1 切换系统的一般性示意图 1 2 切换系统的几个例子 下瑟来研究死令魄较典型的炭捌。透过对这些实铡戆分褥，会发现采嬲缀多 个稳辩简单的数学攒述式来籀逑一个系统可熊会使描述藕分桥更加方便一蹙。同 时也w 以对切换系统有个最为直潮的认识。 例1 1 ：如图1 2 ( 第5 页) 所示。宸侧图是一个常见的电流放大单元。通常作为输 基臻第臻寒驱动嚣嚣豹萃元，霆凌率教大箨震。麴莱缓设鬟窕去驱魂毫辍穗受载， 那么宙作为被控对象来仿真一些饱和单元是遗含的。理论上的这个电压鼹隧器的 输入输出关系可以用1 i o ( t ) = k ( t ) 来表示，可娥因为供电电源的原因使得放大器 的输出限定在一定蔽阉内。按照簪册和实际测爨，它的输入输出特性曲线w 以由 塑1 2 ( 第5 燹) 串衮饲圈箍逑。辫孛蟊舞赫攀，葵僮可疆遴遵掬入毙辍敖大襄实 现( 图1 2 中省略) 。输出饱和电聪u o 一般要比电源电压绝对值低一些，遮熙假设 u o 一1 5 v 。 如豢按照经典熬方法来处理这样的系统，爨铂很难找到个具有统一方程形 式兹数学表达式臻来描述这个落靼环节静毒後。勇井，帮矮缝我舞这徉鹣数学表 达式，有关控制器的设计、系统性能分析等工作也绝非易事。对于二阶系统，传统 的相平面分析方法就绕过寻找单一的数学表达式的方法进行分析。虽然相平面方 法无法分褥裹子二除戆系统，毽楚它提供7 一个缀姆豹思路( 以多饩一，多冬丽按 调，费任分明) 。 按照类似于相平面的方法，圈1 2 中的特饿曲线可以分段来描述。这样就可以 把复杂的非线性( i t ：如本例中的饱和特性) 用多个线性模型来表示( 为了方便，这 4 浙江大学博士学位论文 屹( f ) 也 - - v ,。 口 + u ik ( 1 ) 乜 图1 2 侧1 1 中的被控对象和对象的输入输出曲线 里设图1 2 中右侧图的斜率k = 1 ) ，如公式( 1 1 ) 所示。 r - 1 5 vk ( t ) 1 5 v 这样，式( 1 1 ) 就成了这个具有饱和特性的电压跟随器的数学模型。而且它是 由三个线性模型共同来表述的。这三个线性模型可以成为这个模型的子模型( 子 系统) ，每个子模型存在自己的有效区域。在有效区域中，系统模型完全由该子模 型表示。这样，系统模型随着区域不同而在不同的子模型之间切换。切换系统的名 称也是如此产生的。 例1 2 ：这个例子选自文献1 4 2 ，1 4 3 。设某缓冲系统由三个缓冲器和一个服务器 组成，如图1 3 ( 第6 页) 所示。缓冲器是先进先出( f i f o ) 队列。为了方便起见，假 定每个缓冲器按照1 3 的速度存入数据，服务器按照1 的速度取出某个缓冲器中 的数据( 为了简单起见，这里假设系统状态是连续的模拟量) 。服务器在一定条件 下由一个缓冲器切换到另外一个缓冲器。需要研究的问题是，按照什么样的决策 来切换服务器，才能保证每个队列不溢出，或者如何保证三个缓冲器的长度( 所储 存的数据) 尽可能一样长。这个例子在机械制造生产线上是很常见的，尤其是包装 线上的机器人手臂的决策过程中。 对这样的对象进行建模。设甄( t ) 缈，t 【o ，o o ) ， = 1 ，2 ，3 ，表示在t 时刻缓 5 一 第一章绪论与综述 ；中嚣i 中存储的数撩( 这里缎定数据可以用实数来表示) 。横据l 的不同，w 以作 出3 个不相同的微分方程( c v s ) 形式的系统模溅如下， f 圣t 固一 g 淄l ： 幻t ) 一 i 奶( t ) m 2 3 l 3 l 3 l 圣t 国 c v s 2 ： 岛( f ) 【娩( t ) | 1 1 3 j 一 丢 f 圣t 国= 素 一喜钾岛： 奶( 棼= 专 一 【奶( 砖= 一号 刮崮崮 图1 3 捌1 2 中系统示意图 藏个系统模型妇这三个子穰裂共同描述，姆个时刻其熊鸯个子模型称为系 统模溅。除此之外，还要引入一个数字变量i ( t ) 。i ( t ) 在1 ，2 ，3 之间取值。用宦来指 定当前服务器正在( 或者应该) 处理哪个缓冲器的数据。如累服务器正在处理的缓 弹器瓣缡号不是# 豹当毒萋毽，黢务器裁痤该立弱翡换羁( ) 撵定翡缓净嚣去工 作。不难看出，l ( t ) 的设计是保诞系统稳定运行的关键步骤。般情况下，通常把 类似 ( z ) 的数字( 逻辑) 变量称为切换系统的切换序列变量，佬的一系列值形成的 队列 0 ，都存在一个 6 ( 6 ，x o ) 0 ，当有i i x o l i 0 ，使褥对乎任意 的t t o 郡有 l i x ( t ，x o ) l i 口l l x o l l e - a ( 一幻) 成立。 标洼2 3 # 指数稳定一定澎遥稳定。 定义2 3 ： 向量封( 。) 是饿定的，当且仅当它的所有分鬣在z 0 时火子零，而在茹= 0 辩等手零。震y ( x 0 表示。 向量y ( x 1 是率正定的，当鼠仪当它的所祷分量非负。用封( 茁) 0 表示。 向量( z ) 是负定的，当且仅当- v ( x ) 0 。用可( z ) 0 ，使得函数 y ( z ) = 矿p z 是真l y a p u n o v 函数且有 婚) = 掣圣酬酬l 0 删o 成立。其中 o o 成立，则系统不稳定。 标注2 5 ：上述定义和引理并没有提及切换序列，所以它们都暗含了“只要系统的 切换序列是适定的，这个前提。所以这些定义和引理都意味着在任意适定的切换序 列作用下成立。如果只是要考虑某个特定的切换序列，则会在上下文中明显提及。 本文所涉及到的“任意切换序列”的真实意思是指“所有适定的切换序列”。 定义2 6 ： 切换线性系统( a ) 仇是连续系统，当所有子系统都是连续的线性系统时。 切换线性系统( a ) 。是离散系统，当所有子系统都是离散的线性系统时。 切换线性系统( a ) m 是混合系统，当有些子系统是连续的线性系统，而另 外的是离散的线性系统时。 标注2 6 ：本文中，如果不具体说明是离散系统还是连续系统的情况下，默认是指 连续系统。 标注2 7 ：在l y a p u n o v 函数的定义中，仅仅定义了连续系统的l y a p u n o v 函数。只 要把他们按照经典线性系统理论中关于离散系统的l y a p u n o v 函数的定义进行修 改，这些定义就可以应用于离散的切换线性系统。 一2 3 在做了足够的基础知识准备之后，下面简要介绍基于多l y a p u n o v 函 数( m u l t i p l el y a p u n o vy i m c t i o n s ) 的稳定性判别方法和基于公共l y a p u n o v 函 数( c o m m o nl y a p u n o vf u n c t i o n ) 的稳定性判别方法。目前这两类判别方法被广 泛应用于切换线性系统稳定性判别问题的理论研究中。 2 2 多l y a p u n o v 函数稳定性判别方法概述 在切换线性系统稳定性判问题的研究中，多l y a p u n o v 函数方法是最先被提 及的方法。所以这方面的文献众多( f 1 4 ，1 7 ，4 0 ，5 0 ，7 4 ，7 5 ，9 3 ，9 4 ，9 8 ，1 0 1 ，1 0 2 ， 1 0 6 ，1 0 9 ，1 1 2 ，1 1 4 ，1 1 7 ，1 2 7 ，1 3 2 ，1 4 1 1 ) ，故此先介绍该方法。 在理论研究中，该方法具有保守性小的优点。同时也有利于数学推导，因此倍 受理论研究人员的推崇。但是它也存在难以在实践中应用的缺点。它的宗旨是对 每个子系统都寻找一个自身的l y a p u n o v 函数，然后再考察这些函数在切换序列下 是否具有单调递减的行为出现。对于切换线性系统，每个子系统都是线性系统，所 以为每个子系统寻找一个l y a p u n o v 函数不难。难点在于他们在时间域内必然受 到切换信号突变的影响而呈现不连续性的时候还要单调递减。当切换信号指示某 个子系统暂时失效的期间，它的l y a p u n o v 函数自然也就失效了。当再次有效时， 此l y a p u n o v 函数必然出现突变，这就可能无法保证在众多不连续的时间域集合 中该函数还能保证严格单调递减的特性。因此将该方法应用与实践的困难比较大。 其可操作性也差很多。另外，对于包含有不稳定的子系统的系统，多l y a p t m o v 函 数方法也很可能无法应用。因为不稳定的系统当然不存在l y a p u n o v 函数，很多不 稳定的系统即使在局部范围内也不存在l y a p u n o v 函数。因此它有一定的保守性。 假定切换系统具有 癣( t ) = 扛( t ) )，x ( t ) 缈，t 【0 ，+ o o )( 2 2 ) 的形式( 离散系统为钳l = 五( 吼) ) ，其中五( ) 表示系统的子系统，i 朋= 1 ，2 ，m ) 是切换信号。为了方便，用( h 表示系统( 2 2 ) 。前章提及，切换 信号可以是时间的函数，且是右连续的。其值域是非负整数。当切换信号值发生变 化时，表示系统有切换发生，系统模型( 包括控制策略) 发生变化。发生切换的时 刻称为切换时刻。按照时间先后的顺序可以把切换时刻进行排队，形成切换时刻 序列，用 “( ) 皇t o ，t t ，如， 表示，其中z o 是系统状态的初始值。在切换时刻“处，切换信号i ( t ) 也必然出现 一2 4 浙江大学博士学位论文 新值，该薪德指示马上( 献罐时刻莛) 藏簧授入运行豹子系统鲍旁弩。按照切换 时亥4 序列“( s 籼) 的顺序把切换信号t ( 碡) 的值进行排列，称为切换指涿器序列，用 敦s o ) 垒南，l ，敦， 表示。把二者络合成一个序列，用以表明菜段时间区间内哪个子系统远行，称为切 换序列。用 s ( x o ，磅垒龟，t o ) ，0 l ，趣太，溆，投) ，2 3 ) 藏者 s ( x o ，h ) 垒( i o ，h o ) ，( i 1 ， 1 ) ，危k ) ，( 2 4 ) 繁袭示。其中纛誊中熬袭零第i 女子系统的本次运器瓣潮，h k = t k + l 敏。这两 种切换序翳袭零方法各鸯箕方便之签，以聪会随着不确的内容丽采瘸不同的表示 方法。 设s ( 勋，磅是一个形如斌( 2 3 ) 的切换序列。把某个子系统五( ) 的所有被激 溅夔瓣裁( 甥羧瓣裁) 叛及鼹凑该薄裁最避瓣下一令甥羧辩蕤( 该子蓉统装替换簿 的切换时刻) 墩出来按照时阅顺序进行排序，用“睦表承。假设t = t o ，t l 表示 个按照时间顺序进行排列的时刻序列，则用i ( t ) 表承时间区域的并集 j 基+ 鹣，翰t ) ， 蕻中z + 表示非负整数。用e ( t ) 表示t 的所有偶数序号的时刻的序列，也即有 8 ( t ) 垒t o ，如，“，成立。 定义2 。7 类秘吲黼蠡数( l y a p u n o v - l i l f u n c t i o n ) 【1 0 2 b 一个准l y a p u n o v 函数v ( 茁) 被称为系统圣= f ( x ) 如果是离散系统，则为 茹1 = f ( x k ) 】在于上的( 严格) 类l y a p u n o v 函数，当存在一个按时阐先后顺序排 列懿酵弱序列t = t o ，t l ，露+ 戳及该系统戆鳃霉瞎教系统秀瓤l ，使褥 垒铲( ) d 【离散系统为y ( 卫蚌1 ) ( 0 作为解而存在。 对于切换线性系统( a ) 仇，设y ( z ) = ，p 口，p 为对称矩阵。对于任意的正 定矩阵q 0 ，根据引理2 6 ，如果p 满足 p a + a p + q 0 ， = l 2 m( 2 5 ) 中至少一个不等式，则p 0 一定成立。设不等式组( 2 5 ) 的公共解的集合为c ， 3 0 浙江大学博士学位论文 如果c 非空，则它一定包含一个非空的真子集。 对于实对称阵构成豹空间，定义其上的内积为 = 打( 冗s ) ，f o r b e n i u s 范数为i i r i i = ( 乙：l ) 1 7 2 。如果有p c ，则对于任意，y 1 ，c 一定包含，y p 的某个邻域【4 2 】，也就是有7 p + p c 成立，其中p 是对称矩阵且满足 k ( p ) 意篙。 其中a ，。( a ) 、a 丽。( a ) 分别表示矩阵a 的最大、最小特征根，西。( a ) 表示矩阵 a 的最大奇异值。 在讨论梯度寻找公共l y a p u n o v 函数的过程中，需要用到一个由对称矩阵集 合到非负定矩阵集合的映射，这个映射为 矿= a r g r a s i n 。f i r s l l 其中兄是对称矩阵，s 是非负定矩阵，j 矿就是r 在非负定矩阵集合中的像。文 献 4 2 1 引用俄文文献 2 4 1 中关于计算j 矿的方法为： 设r = u rau ，其中u 是正交阵，a = d i a g a l ，k ) 是r 的等价对 角阵。则矿= v r a + u ，其中a + = d i a g m a x ( o ，a 1 ) ，m a x ( o ，a 。) ，。同时记 r 一= r 一矿。 设值域为实数、定义域为对称矩阵空间的函数f ( r ) 是凸函数，且当r 0 时 ( r ) 0 。用岛，表示( r ) 的梯度，则f ( r ) 在对称阵r 的微小波动a r 时的一 阶等效为： f ( r + r ) ，( r ) + ， 其中a r 也是对称矩阵。再设 v ( p , a ) = f ( p a + p + q ) ， 其中，p 为对称阵，q 0 ，a 为任意n n 矩阵。根据梯度知识可知，户= 一v o p v ( p , a ) 的解收敛于集合 p ：移( p a ) o = p ：p a + a t p + q o ) 。同 样，如果恰当选择步长肌，则离散情况下r + 1 = p k 一肌o e v ( p k ，a ) 的解也满足这 个结论。因此，如果系统e ( a ) 饥存在公共l y a p u n o v 函数y ( 茁) = x t p x ，贝必有 t n 尸n p ：p a + a t p + q 0 。昂口( p ，a ) 的计算可以采用 o p v ( p , a ) = a a r f ( p a + a t p + q ) + o a f ( p a + a t p + q ) a t 的形式【4 2 】，其中r = p a + p + q 。 定理2 4 梯度法寻找公共l y a p u n o v i 爱i 数 4 2 1 ： 考虑系统( a ) 。，如果存在公共l y a p u n o v 函数，则采用式( 2 6 ) 的递推方 式，必定经过有限步数k o 。使得曰c 。 标注2 1 6 ：文献【4