（机械电子工程专业论文）新型壳单元及在辊弯成型中的应用研究.pdf

北方工业大学硕士学位论文 摘要 辊弯成型过程是一个复杂的变形过程，近年来先进高强度钢得到了越来越广泛的 应用，由于该材料具有很高的硬化率，使其成型过程较常用的低碳钢增加了难度，特 别是板料的成型回弹控制问题，已成为先进高强度钢辊弯成型的一个难点。有限元仿 真的方法在辊弯成型中正获得越来越多的应用，该方法对于处理成型过程的仿真通常 可以得到较好的结果，但对于处理成型回弹问题结果往往不够理想，原因是多方面的， 其中仿真方法本身存在不尽合理的地方，这应该是一个值得改进的地方。通常的板壳 单元由于厚向应力较小，被忽略掉了，而辊弯成型圆角部分存在大的弯曲变形，分析 表明在该部分存在较大的厚向应力，因此开发一种考虑厚向应力的新型壳单元是一件 有意义的工作。这种考虑厚向应力的新型壳单元，由于其力学模型更接近辊弯成型真 实的应力、应变状态，因而用它仿真辊弯成型过程则更接近实际情况。更真实的成型 过程仿真，是成型回弹仿真的基础，成型回弹仿真将为成型回弹控制提供依据。 本文从开发新单元的角度出发，推导了新型壳单元的公式，并在a b a q u s 二次 开发的平台上，利用f 0 r t r a n 语言，进行了用户自定义壳单元u e l 的程序编制。根据 所开发的a b a q u s 子程序u e l ，对辊弯成型进行了合理的简化，以期利用较简单的 模型，分析出较接近真实情况的结果。本文将不考虑厚向应力的壳单元s 4 r 与所开发 的新型壳单元计算结果进行了比较，分析结果证明新型壳单元在保持壳单元原有特性 的基础上，具有表示厚度方向应力的能力，可以用于改善辊弯成型模拟中回弹的计算 精度，是一种与真实过程较为接近的单元，体现了开发的价值。 本文所开发的考虑厚向应力的有限元新型壳单元，不仅弥补了传统壳单元在厚向 省略的应力分量，同时也补偿了实体单元在计算板壳问题方面的不足。使其在有限元 模拟计算中不仅省时、高效，还能达到较高的精度，为有限元模拟的单元选择开辟了 新领域，为工程实际提供了较为可靠的结果。 关键词：辊弯成型，有限元，壳单元，舢b a q u s ，回弹 北方工业大学硕士学位论文 s t u d yo nn e w s h e ue l e m e n ta n d a p p l i c a t i o ni nr 0 1 1 f b m i n g a b s t l 氇c t r o l lf o 衄i i l gp r o c e s si sac o m p l i c a t e d p r o c c s s ，t h ea d v 觚c e dh i g hs t r e n 粤hs t e e l9 0 t am o r ea n dm o r ee x t e n s i v e 印p l i c a t i o ni nr e c e n ty e a r s ，h a v i n gav e r yh i g l lh a r d e n i n gr a t e b e c a u s eo ft h a tm a t e r i a l ，m a l 【i n gi tm o d e li l l e rc o m m o nu s el o wc a r b o ns t e e lp l a t eo f p r 0 c e s st 0i i l c r e a s ead i f f i c u l t y ，e s p e c i a l l yh o w t oc o n t r o lt h es p r i n g b a c ko fs h e e tm e t a l ， h a v eb e c o m eac 邶【t h a tr o uf 0 咖i n gp 眦e s st l l ea d v 卸c e dh i g l ls t r e n g t hs t e e l t h em i s a c q u i r cm o r e 觚dm o r ea p p l i c a t i o n si nt h er o l lf b 彻i n gp r o c e s s ，t h a tm e t h o du s u a l l yc a n g e tab e “髓r e s u h ，b u tt h es p r i n g b a c ko ft h ep r o b l e mr c s u l tt ot h ep r o c e s s i n gf o rs i m u l a t i n g r e s u l er c a l l yn o te n o u g hi d e a lu s u a l l y ，t h er e a s o ni sv a i i o u s ，s i m u l a t i o nm e t h o dt oe x i s t 柚d f i l l f i l 锄o n gt h 锄r e 舔o n a _ b l eo fp l a c c ，t h i ss h o u l db ead e s e ei i 印r o v e m e n to fp l a c c u s u a l l yt h et h i c ks t r e s s e so fn e ws h e ne l e m e n ti ss m a l l e r ，i ti sn e 百e c t ，b u tt h ec a p ep a n o f r o nf o r m i n gt 0e x i s tb i gf l e c t i o nt 0t r a i l s f b 皿，翘a l y z i n ge n u n c i a t i o nt 0e x i s ti nt h a tp a n b i g g e rt h i c ks t r c s s 骼，s 0d e v e l o pal 【i n do fc o n s i d e rt h i c ks t r e s s e ss h e ue l e m 锄ti s a m e 觚i n g f u lw o r k 1 1 l i sk i n d0 fc o n s i d e rt h i c ks t r e s s e sn e ws h e l le l e m e n t ，n e a r st 0r e a l l y s t r c s s 柚ds t r a i no ft h er 0 uf b 衄i n gp r o c e s sb e c a u s eo fi t sm e c h 锄i c sm o d e l ，t h e c o n t i n g c n c ya p p e a r 觚c e ，a sar e s u l ts i m u l a t i n gr 0 1 lf b 珊i n gp r o c e s sw i t hi tt ot h e nn e a rt o 锄砌u a lc i r c u m s t a i l c em o r e ，s h e e tm e t a lp r o c e s st os i m u l a t em o r et n l e l y ，i saf o u n d a t i o no f r o uf o 姗i n gs i m u l a t i o np r o c e s s ，i tw i l lp r 0 v i d eab a s i sf o rt h ec o n t r o lo fs p r i n g b a c ko fr 0 u f o n n i n go fs h e e tm e t a l t h ep a p e rd e d u c e st h ef o 衄u l a0 ft h en e ws h e ne l e m e n tf 0 皿s e l e c t i n ge l e m e n t r e s p e c t ，u s ef o r t r a nt 0p r o c e s sp r o 伊a m m i n go ft h e u s e rd e f i i l i t i o ne l e m e n t e l ) a c c o r d i n gt ot h es u b p r o c e d u r eu e l o fa b a q u st ot h ea c t u a lc i r c l 珊s t 锄c eo fc o n t a c t p r o b l e m ，t h em o d e lo fr 0 uf o r m i n gh a st ob ec a 玎i e do nav a l i ds i m p l i f i c a t i o nt om a k e s u r c t h a tb yc x p e c ta na n a l y s i so ft h em o s ts i m p l em o d e lr e a c ht ot h er c s u l tt h a tn e a rm o s tt oa r e a lc i r c u m s t a n c e t h ep a p e rc o m p a r et h es h e ue l e m e n ts 4 ro fn oa c c o u n to ft h i c ks t r e s s w i t hd e v e l o p e do ft h en e ws h e l le l e m e n to fc a l c u l a t i o nr e s u l t ，t h ea n a l y s i sr e s u l tp r o v et h e n e ws h e ue l e m e n ti sak i n de l e m e mo ft h em o s ta p 芦o x i m a t ep r a c t i c a ls i t u a t i o n ，e m b o d y 北方工业大学硕士学位论文 t h ev a l u eo ft h ed e v e l 叩m e n t n ec o n s i d e r a t i o nt h i c ks 仃e s sn e ws h e l le l e m e n to fd e v e l o p m e n ti sn o to n l ym a k e u p t h et r a d i t i o n a ls h e l le l e m e n ta b r i d 西n gt h i c ks t r e s s c o m p o n e n t ，a l s oc o m p e n s a t et l l e s h o n a g eo fc o n t i n u u me l e m e n ti ns h e e tm e t a lf o n n i n g m a l 【ei ti nt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n c a l c u l a t i o nn o to l l l ys a v et i m e ，a t t a i nh i g he f ! f i c i e n c y 觚da c c u r a c y ，c r e a t en e wf i e l df o r t h e s e l e c t i n ge l e m e n to ft h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nc a l c u l a t i o n ，孤dp r o v i d eam o r ed e p e n d a b l e d a t af o r t h ee n 百n e e r i n gp r a c t i c e k e y w o i 。d s ：_ 1 a ，s h e l ie i e m e n t ，4 l b a q u s ，u e l ，s p n n g b a c k - 3 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得j 墼友王些太堂或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名壶湖签字日期：力薄期歹日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解j 友王些太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅 和借阅。本人授权北虚工业太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：土蝴 签字日期滩s 肛j 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 崔佛铳 签字日期小坼r 月f j 臼 电话： 邮编： 北方工业大学硕士学位论文 1 引言 1 1 课题研究背景 1 1 1 辊弯成型技术 辊弯成型是板带深加工的一个重要领域，是一项具有显著经济效益和社会效益的 生产工艺。辊弯成型过程是一个较为复杂的成型过程，其过程涉及到几何学、运动学、 动力学等很多方面，其变形不只是单一的某一方向的变形( 如横向变形) ，还伴有各 种附加变形( 如纵向的弯曲变形、纵向横向的伸缩变形、内断面的变形、板厚内断面 的变形等) 受到很多因素影响。辊弯成型过程又是一个复杂的精密加工过程，目前国 内外企业多采用试错法进行辊弯成型工艺研究，消耗很大。用计算机模拟辊弯成型工 艺，可以摆脱依赖大量试验和长期经验的局面，降低产品开发成本，提高生产效率【1 - 2 】。 辊弯成型可以描述为：在室温下，用多对具有特定轮廓的轧辊，使金属板带沿直 的、纵向的和平行的基准线成型，而不改变其厚度。辊弯成型可以实现复杂的成型过 程，一些看起来似乎不可能完成的成型断面，实际上也是可以实现的。另一方面，如 果没有遵循基本的辊弯成型工艺原理，即使是简单断面形状的产品，也不容易实现。 1 1 2 先进高强度钢及其应用 先进高强度钢( a h s s ：a d v 狮c e dl l i 曲s 仃e n g c hs 妣l s ) 的概念是基于高强度钢( h s s ： h i g hs 仃e n g i hs t e e l ) 提出来的，而钢材的力学性能主要在其塑性和强度刚，a h s s 的研究 也是基于h s s 朝这两个方向发展。一个方向是强度基本不变，提高其塑性性能：而另一 个方向则是塑性基本不变而提高其强度。塑性提高的钢种有双相钢( d p ：d o u b l ep h a s e ) ， 相变诱发塑性钢( n u 呼) ；强度提高的钢种有复相钢( c p ) ，马氏体钢( m a n ) 1 5 】。先进高强 度钢是近年来出现的新型钢材，具有优良的材料性能，广泛应用于汽车，航天，建筑等 工业领域中。 与其它材料，如轻金属铝、镁，或是塑料和复合材料相比，先进高强度钢除了减 轻重量外，还有另外的优点，即其加工性能类似于传统的低碳钢。因此，先进高强度 钢在减轻重量的同时其总的制造成本也不上升。随着人们对先进高强度钢认识的提 高，先进高强度钢被越来越多的应用于现代工业，用辊弯成型工艺加工先进高强度钢 材也越来越得到广泛的应用。 在汽车领域，我国汽车工业已经进入了发展的快速时期。随着汽车工业的发展对 北方工业大学硕士学位论文 先进高强度钢的应用的驱动力越来越大；而且汽车工业对轻量化、安全、排放、成本 控制及燃油经济性要求越来越高，这就驱使汽车工业采用先进高强度钢板等轻量化 材料。采用先进高强度钢板的原因首先是改善汽车的安全和碰撞功能，现代汽车必须 满足政府规定的各部分乘用空间的安全性，尤其是正面碰撞和侧面碰撞的要求，虽 然采用更大的质量和安装更多的安全装置和手段( 如a b s ，空气气囊等) 也可使汽车 更加安全，但增加了燃油的消耗和排放；为使汽车降低排放和具有更好的燃油经济性 ( 满足汽车燃油经济法规的要求) ，车体轻量化是一种较佳的途径，采用先进高强度 钢板制作汽车构件，可减轻车体质量达2 0 以上，在降低燃油消耗的同时可降低排 放，又可提高汽车的安全性。为增加汽车市场的竞争能力，包括提高汽车的安全性 能、使用的经济性等，并使汽车制造成本下降，就必然导致先进高强度钢的应用，这 些正是应用先进高强度钢的驱动力。 1 1 3 先进高强度钢辊弯成型回弹问题 回弹问题是先进高强度钢辊弯成型过程的一个主要问题，为使成型符合设计要 求，就必须准确地预测出回弹【2 】。影响回弹的因素有很多，如材料性能、成型工艺与 成形尺寸等。但是预测也是相当难的，到目前为止都没有一种确切的方法能较好的预 测回弹，更不用说能准确计算出相关参数对回弹的具体影响。因此回弹问题在普碳钢 的成型中都没有得到较好的解决。尤其在成型大变形，小弯角的时候，回弹对成型的 影响更大。回弹究其本质是在成型卸载后，板料内部的残余弯曲应力作用所致，而残 余弯曲应力与变形历史有关。但是，工程应用回弹公式中所涉及到的成型弯曲半径， 杨氏模量，板料厚度，屈服应力，泊松比等因素更多的是从定性的方面描述回弹的产 生。采用有限元模拟的方法确定成型的回弹是一种较好的方法，而目前在辊弯成型过 程模拟软件中，单元选取一般是基于平面应力的板壳单元，或是考虑剪切应力的板壳 单元，这些板壳单元都没有考虑厚向应力的影响。即使有考虑厚向应力的壳单元如： 固壳元和七参数法，多数为有限元的算法，未能形成可用的模拟软件，而且大都应用 在冲压成型模拟中，对于辊弯成型还没有涉及。在成型小弯角，发生大变形的情况下， 厚向的应力、应变的变化将会对回弹造成较大的影响，而不是目前所假定的零值。因 此，要实现对回弹较准确的预测，就有必要建立一种新型壳单元，该单元在包括原有 单元性能的基础上，增加考虑板料弯曲时厚向应力的变化，利用此壳单元算法建立有 限元列式，编程进行有限元模拟，从而预测出回弹的大小。 北方工业大学硕士学位论文 1 2 国内外考虑厚向应力壳单元理论研究进展 1 2 1 国外考虑厚向应力壳体理论的研究进展 对于工程实际的很多问题，譬如板料成形数值模拟中模具的小圆角处，板料在该 区域处实际应力、应变状态是复杂的，如果采用常规的壳单元进行分析，特别是用于 板料成形的回弹分析，将造成较大的误差。工程实际的需要，迫切需要计算力学的理 论有进一步的发展。2 0 世纪9 0 年代中后期，德国学者成瑚f i 盯嬲伽，和月忆“以等考虑 了壳体厚度方向的应力、应变，每个中面节点采用7 个参数，提出了一种新的壳体单 元模型7 参数壳单元【0 1 。 翮d s 嘲f 舀 n 碱 m 图1 1 壳单元自由度数和几何参数模型 另一方面忍，融胁印彻刀和肘渤e 等考虑了壳体厚度方向的应力、应变，提 出了另一种壳体单元模型固壳单元【1 1 d 3 1 。如图1 2 所示，固壳元的初始几何形状 和位移为： 1 x 代，7 ，；) = 去【( 1 + 当) x ( 亭，7 7 ) + ( 1 一亭) x ( 亭，叩) 】 ( 式1 1 ) 比( 芎，刁，；) = 丁( 芋，刀) e ( ；) ( 式1 2 ) 北方工业大学硕士学位论文 图1 2 固壳单元几何模型 两种单元模型都突破了传统壳体理论的限制，即认为：变形前垂直于中面的法 线在变形过程中仍保持为直线，但不再垂直于中面；考虑壳体厚度方向的应力及应 变。两种壳单元模型都避免了使用转动自由度，这给处理实际问题带来了很大方便， 特别是用于大变形分析。这表现在以下几个方面： 1 ) 边界条件的处理。传统的退化壳元需要在每个节点建立节点坐标系，并且还 有一个棘手的问题：即对于软或硬的接触边界，如何处理垂直于边界的转动。 2 ) 对于大变形问题，采用转动自由度的退化壳单元需要对转动进行复杂的转动 处理，无论是t l 格式还是u l 格式，对u l 格式可能需要限制载荷步长。 3 ) 退化壳单元不能直接使用一般的三维本构关系，而是按照平面应力条件采用 广义平面应力本构关系。 4 ) 退化壳单元和一般的固体单元连接，需要采用过渡单元或多点约束方程。由 于固壳元无转动自由度，因此克服了上述退化壳元的种种缺陷，有着很好的应用前景。 但这并不是否定退化壳单元在工程实际问题中的应用，相反，退化壳单元用于壳体结 构的一般区域是简明有效的，而在壳体结构的特殊区域可采用固壳元和7 参数壳单元 或三维实体单元。联合使用多种类型的单元是板料成形数值模拟的一种较好的选择。 固壳元和7 参数壳单元存在着5 种白锁问题，即：横向剪切自锁、薄膜自锁、体积自锁、 厚向泊松自锁和厚向曲率自锁，构造时可以采用b 峪、a n s 或其他方法加以消除。 2 0 0 0 年，美国三删他圪c e l f l 圯删陀国家实验室的肱a 册采用大变形分析的非协调 模式构造了适用于板壳结构分析及金属成型分析的三维实体单元模型【9 1 。m a 啪分别 采用假设应变法及e a s 方法消除了单元的剪切自锁及体积自锁行为，提出了增广应变 从参数空间向物理空间转换时j 。1 矩阵的简化计算方法，对各向同性材料可简化为对 角形式。 4 北方工业大学硕士学位论文 2 0 0 2 年，韩国的z 彤c 勋1 1 4 j 等人提出一种在成型过程中引入横向正应力的方法。 这种方法利用一种考虑横向正应力的屈服函数，使壳单元的平面应力状态在每一时间 步都被更新，从而达到整个成型过程的三维应力的计算。 2 0 0 5 年，美国的枷胁j i l ，l i l 5 j 等人提出了一种七参数混合壳单元模型，它利 用混合壳的形式同时假设应力和应变，再用励1 耽砌厶：z l 函数建立本构关系从而达到考 虑厚向应力的目的。 2 0 0 6 年，俄罗斯的g m 砌讹卯【1 6 】等人提出一种几何学精确固壳元法，这种方法 通过分析壳单元的几何形状来给出函数表达式，可以在c a d 系统中产生壳单元表面 的几何形状再进行有限元的分析。 1 2 2 国内考虑厚向应力壳体理论的研究进展 与国外相比虽然存在较大差距，但自9 0 年代以来，我国科技工作者在板料成形的 有限元模型研究方面也取得了显著的进步。董湘怀旧在9 0 年代初做了轴对称及三维板 料成形的有限元模拟。吴勇国等【1 8 1 9 】采用t l 格式提出了基于施r c j 琥d 矿壳体理论的三 维板料成形三角形有限元模型。模拟了汽车零件油槽的成形过程，并采用u l 格式建 立了退化四节点壳单元动力学有限元模型模拟了盒形件的拉深成形。柳玉启等【刎将 离散聪砌埘理论平板弯曲和薄膜单元的组合模型引入弹塑性有限变形的虚功率增 量型原理，提出了板料成形离散硒蝴理论单元模型，并模拟了方盒件的拉深成 形，雷正保等【2 l j 做了受冲薄臂结构动力效应的显式有限元分析。 2 0 0 4 年，重庆大学的张华掣2 2 j 在壳的中面和上、下表面都分布节点使之在壳的厚 度方向上形成位移的二次插值关系，这样就可以很自然地得到沿厚度方向呈线性变化 的应变，然后利用壳的直线假设，即上、中、下面的节点在变形前后始终处在同一直线 上，将原有的9 个自由度变成中面上3 个位移自由度、横截面的2 个转动自由度和上、下 表面的节点沿壳厚度方向的2 个相对位移自由度，共7 个自由度。为了克服壳单元由于 忽略厚度方向的应力所带来的在板料成形数值模拟中“回弹”计算不准确的缺陷，这 种壳单元，通过构造厚度方向的二次插值形函数，引入壳单元在厚度方向的变形。 2 0 0 5 年，燕山大学的hl u ，k 肋等【2 3 j 提出了一种新型壳单元，在板料的退化壳 单元中顶面和底面各引入两个虚拟节点。这样就有可能计算厚向的垂直应变，从而能 够直接用于三维结构关系。这种方法可以处理两个表面同时被约束的情形。 在非线性有限元分析中，低阶单元由于拥有计算效率、健壮性及易于使用等诸多 优势而被广泛采用。相反，高阶单元在处理接触问题及网格扭曲时砌础砌，l 矩阵的求 逆计算存在很大的困难，因而很少被使用。但低阶单元显然不具备高阶单元的计算精 北方工业大学硕士学位论文 度，因此在非线性有限元分析中，如何提高低阶单元的计算精度是当今世界c a e 分析 面临的一个重要课题。非线性有限元分析中的非协调模式是提高单元计算精度的重要 手段，在低阶单元中采用b 峪方法可以获得高阶单元的计算精度。此外，在构造有限 元模型时，e a s 方法也是克服单元诸多自锁问题的关键。 当前，适用于板料成形数值模拟的新型有限元模型不断涌现。而非线性有限元分 析的非协调模式已成为国际计算力学界研究的热点及难点，是板料成形q 嗵分析的 一个重要发展方向。但非协调模式用于非线性有限元分析的一个很大缺陷是降低了计 算效率，成为制约其发展的瓶颈。随着计算机技术的不断进步，计算速度会越来越高。 各种先进的计算方法会不断涌现，非线性有限元分析的非协调模式将会成为解决工程 实际问题的重要手段。 1 3 课题研究内容 考虑先进高强度钢辊弯成型的工程需要，以及目前关于有限元分析中壳单元的研 究进展，提出本论文的研究内容。 ( 1 ) 新型壳单元算法建立：考虑厚向应力的壳单元计算公式； ( 2 ) 新型壳单元有限元列式的建立：导出考虑厚向应力的有限元列式； ( 3 ) 新型壳单元有限元列式的编程：利用a b a q u s 的二次开发功能，实现新型壳单元 有限元列式的编程； ( 4 ) 新型壳单元验证和工程应用：调用此新型壳单元程序，进行单元验证，验证正 确后应用于工程实例，从而体现其工程应用价值。 1 4 课题研究意义 大变形弹塑性有限元分析板料成型问题，不仅能计算工件的变形和应力、应变分 布，而且还能计算板料的回弹和残余应力、应变分布。从n u m i s h e e t 举办5 届以来所发 表的文章来看，板料成型的缺陷预测，如起皱，拉裂已相对比较成熟，但回弹预测离 实际应用尚有一段距离。回弹模拟一直是板料成形有限元模拟的前沿性研究课题，其 研究进展可由几次国际板料成形数值模拟会议议题中有四个与回弹模拟有关的标准 考题( 二维u 型拉弯成形、s 型轨的成形、纯弯曲回弹及汽车前翼支板的成形) 的计算 结果中得到体现。可见回弹的数值模拟问题尚未得到很好的解决，仍是当前板料成形 模拟研究的前沿课题。板料成形数值模拟技术的关键是模拟理论、方法的可靠性和实 用性，其中壳体单元的适当选取在很大程度上影响着模拟的结果。因此，尽管有限元 北方工业大学硕士学位论文 技术用于板料成形分析已经有多年的历史，但究竟什么样的单元最适合成形模拟，至 今仍没有一个明确的结论，仍在研究探索之中【姗】。 随着板料成型技术的飞速发展，各种新型材料根据工业实际的发展需要逐渐变化 和更新。其材料特性，力学性能( 应力、应变关系等) 也随之改变，其屈服强度和硬 化能力都在提高，所以这些因素都加大了回弹的产生。因此，有效地预测和补偿回弹 成为工业领域急待解决地问题。 本文从单元选取的角度出发，推导了新型壳单元的计算公式，并在a b a q u s 二 次开发的平台上，利用f o r t m 进行了用户自定义单元u e l 的程序开发。根据 a b a q u s 接口子程序u e l 对接触问题的实际情况，对辊弯成型进行了有效的简化， 以期利用最简单的模型，分析出最接近真实情况的结果。本文将不考虑厚向应力的壳 单元s 4 r 与所开发的新型壳单元u e l 计算结果进行了比较，分析结果证明新型壳单元 在保持壳单元原有特性的基础上，具有表示厚度方向应力的能力，可以用于改善辊弯 成型数值模拟中回弹的计算精度，体现了开发的价值。 本文所开发的考虑厚向应力的有限元新型壳单元，不仅弥补了传统壳单元在厚向 省略的应力分量，同时也补偿了实体单元在计算板壳问题方面的不足。使其在数值模 拟计算中不仅省时、高效，并能达到辊弯成型回弹分析的精度要求。 北方工业大学硕士学位论文 2 非线性有限元基础口8 m 】 2 1 非线性有限元法概述 有限元法( 而l 沈劭绷删f 施比碱f e m ) 是求解数理方程的一种计算方法，是解 决工程问题的一种强有力的数值计算工具。最初这种方法被用来研究复杂的飞机结构 中的应力，它将弹性理论、计算数学和计算机软件有机地结合在一起；后来由于这一 方法的灵活、快速和有效性，使其迅速成为求解各领域数理方程的一种通用的近似计 算方法。目前，它在许多学科领域和实际工程问题中都得到广泛的应用。 在有限元法中，如果荷载引起结构的刚度的显著变化，那么我们就认为此结构就 具备显著的非线性特性。引起结构刚度变化的典型原因： ( 1 ) 结构产生大变形，大挠度。随着位移的增加，结构中单元坐标发生改变，结构 刚度发生变化，变化的几何形状引起结构的非线性响应。这类问题属于结构的几何 非线性分析。 ( 2 ) 结构应变超过了弹性变形的极限，而进入弹塑性阶段。此时结构的应力应变关 系不再是线性，而呈显著的非线性，材料的弹性刚度矩阵不再是常数，一般应用弹 塑性刚度矩阵来代替。这类问题则属于结构的材料非线性分析。 ( 3 ) 结构同时具备明显的几何非线性和材料非线性特性，即应变位移的关系是非线 性的，应力应变的关系也是非线性的。这类问题的分析应采用双重非线性有限元法。 一般而言，结构都具有非线性特性，因此，工程中所有的问题都属于非线性范畴， 只不过大多数结构并不具有很强的非线性特性。为简化工程问题的需要，在解决许多 具体问题时，往往将它们近似地作为线性问题来处理，根据线性理论可以使计算简单 切实可行，并能符合工程上的精度要求。但是也有许多结构具有很强的非线性特征， 例如，对于发生大变形的板壳结构，采用线性理论来分析就不恰当，它所带来的误差 就难以接受，必须采用非线性理论才能得到符合实际的结果。 2 2 几何非线性有限元 2 2 1 几何非线性理论 在板料成型中，常常会遇到许多不符合小变形假设的问题，例如板和壳等薄壁结 构在一定载荷作用，尽管应变很小，甚至未超过弹性极限，但是位移较大，材料微单 北方工业大学硕士学位论文 元会有较大的刚体转动位移。这时平衡条件应如实地建立在变形后的位形上，以考虑 变形对平衡的影响。同时应变表达式也应包括位移的二次项。这样，结构的几何形变 关系将是非线性的。这种由于大位移和大转动引起的非线性问题称为几何非线性问 题。 在涉及几何非线性问题的有限元方法中，可以采用两种不同的表达格式来建立有 限元方程。一种格式是所有静力学和运动学变量总是参考于初始位形的完全拉格朗日 格式，即在整个分析过程中参考位形保持不变。而另一种格式中，所有静力学和运动 学的变量参考于每一载荷步增量或时间步长开始的位形，即在分析过程中参考位形是 不断被更新的，这种格式就称为更新的拉格朗日格式。下面将分别具体讨论大变形情 况下应变和应力度量，几何非线性有限元方程的建立以及系数矩阵的形成。 在建立几何非线性方程时，一是从虚功原理出发，直接使用应力与共扼应变， 另一类是由增量变形的变分原理出发，使用应力率与应变率。前者为大家所熟悉的， 本文中也采用此方法。同时关于变形体内各个量( 如应力、应变等) 的描述，通常也有 两种方式：欧拉( 助j 翻描述和拉格朗日( 粥删描述( 也称物质描述) 。欧拉描述 参照现时的构形，是一种空间描述，一般地，欧拉描述适用于流体力学问题：拉格 朗日描述是以参考构形的物质坐标为自变量的一种描述，在物体变形过程中，只要参 考构形是已知的，就可以用拉格朗日描述，拉格朗日描述适用于固体力学问题。 2 2 2 应力应变定义 在大变形的情况下，变形前后物体的位形出现了大的差异，以变形前后的位移来 建立物体的平衡方程将完全不同。因此，以何种位形建立平衡方程就应该有与该位形 相适应的应变和应力定义。只有采用合理的应变、应力定义才能正确地描述结构的力 学性能，对于有效的增量分析需要使用恰当的应变和应力度量。 1 应变定义 格林( 伽枷应变：根据参考位形来度量的应变，以参考位形长度的平方为基准 定义的 岛= 引毒+ 羞+ 轰。盖l 拭2 。 阿耳曼西协7 s d 应变：根据现时位形来度量的应变，以现时位形长度的平方 为基准定义的。 勺= 剖南+ 蠢+ 蠢毫i 拭2 2 ) 北方工业大学硕士学位论文 勺2 封蠢+ 蠢】 c 删 m 。鞋耋 4 ， p 】是对称矩阵。 h 2 兰兰耋】 c 式2 5 ， 【明是一个非对称矩阵。 伸长和转动 了，即假设， 互= 享筹争a j 用这种“变形 了的力元矢量除以 a厶， 参考构形的面元来定义第二类克希霍夫( 删。翻应力，即互) = 地m 0 筹= 笔， 可以表示为z 扪，= s ，其中，鑫可以用九个应力分量来表示，称为第二类克希霍 北方工业大学硕士学位论文 ( 舡f 阳厅) d 应力张量。用矩阵表示，即： 】- s ，& & 是。 s 。 ( 式2 6 ) 【s 】是对称张量。 利用参考构形和现时构形中物质面元的关系，第二类克希霍夫( 彪z 阳厅 d 翻应力与欧 拉( 脚训应力之间存在如下关系： 舢叫蔑+ 蓦“叫 c 删 舢降酱叫 c 删 t 也可以代表0 位形。其中，为乃c 曲j 行列式， 即： j| a 也x l a 墨 a 也x 2 a 五 箨也x 3 a 墨 考白x l dx 2 咎础x 、 咎x 2 a 柚x 3 ax 2 考矗x l ax 3 a 矗x 2 ax 3 a a x 3 a x 3 ( 式2 9 ) 欧拉应力p 】与关于现时构形定义的柯西应变【】在能量上共扼；而克希霍夫应 力【j 】与相对参考构形定义的格林应变【e 】在能量上共扼。 2 2 3 非线性有限元的拉格朗日法 用l a g r a n g e 方法描述的有限元网格附着在物体上随物体在空间中运动，这种方 法很容易建立某个质点的应力应变关系，对自由边的处理也很直观。根据参考构型的 不同可将l a g r a n g e 描述法分为总体的铅抛力猡格式( 乃芒a 酋g r a 啊g p ) 和更新的 a g 阳啊卵格式( 助如芒耐骝朔，卫妒，又称u l 法) 。 北方工业大学硕士学位论文 2 2 3 1 全拉格朗日法 如图2 1 ，全拉格朗日法将参考坐标建立在初 始未变形构型之上，即以变形前0 时刻的构形为参 考构形。用虚功原理来描述出时刻的物体平衡， 虚功表达式为： o 孙f f l i | k l g i u n g 图2 1 全拉格朗日法 正y “等s 瓯础岛咖= 6 “缸形 ( 式2 1 0 ) 按全拉格朗日法描述的应力、应变为第二类厅d 厶垅f | 阳丘厅耐应力s ；j h 和 伽鲫_ 己a g 阳，话管应变e i j 。 2 2 3 2 更新的拉格朗日法 如图2 2 ，更新的拉格朗日法以当前变形构 型为参考坐标系，即以时刻t 为参考构形。对应 于全拉格朗日法，虚功方程变为： l ： lu p d m e ( | i l n 蛰m t 嚣 图2 2 更新的拉格朗日法 ，。v ：& 6 y 出岛咖= 6 h 出形 ( 式2 1 1 ) 更新的拉格朗日法适于大转动的梁、壳、板结构分析，在曲率项中直接引入几 何非线性项。这种有限元格式同样适于有限塑性变形、粘塑性、蠕变的分析。更新的 粥髓馏谚考坐标架中采用饧u 应力或真实应变作为应力和应变度量。 2 3 材料非线性有限元 2 3 1 弹塑性理论概述 在材料线性分析中，假设本构关系是线性的，即应力与应变呈线性关系，在弹性 范围内能给分析带来既简单、准确的结果。但在弹塑性情况下，如结构处于高应力水 平，结构内的应力集中区，结构在高温、变载环境下工作等等情况，材料不再呈线性 性态，此时应力应变关系为非线性关系，并往往出现变形与温度与时间相关等等现象。 如果近一步观察在结构中，这些材料呈非线性性态的区域，往往虽为结构局部区域， 但破坏与损伤都由这些区域开始，以至于导致结构失效。因此，研究材料非线性问题 实为实践所必须，这是一个极其重要的领域。在本构关系中，凡是放弃材料应力应变 线性关系的理论，均属于材料非线性范畴。在这个范畴内，又根据不同的材料性态， 北方工业大学硕士学位论文 区分不同的力学范围，提出不同的本构理论，建立各种本构方程。研究材料非线性问 题，在建立本构方程时，仅考虑应力、应变两物理参数，但两者成非线性关系，其中 若结构恢复卸载状态( 无外载) 后，无残余应变存在的情况称非线性弹性；若结构恢复 卸载状态，存在残余应变情况称弹塑性。 塑性理论一般由以下三部分组成： 1 屈服准则：即判断材料是否屈服的标准，寻求不同类型材料屈服函数； 2 强化定律：材料初始屈服后，继续加载时屈服面在应力空间中的移动，引起屈曲后 材料的硬化； 3 理性应变与应力间关系：有两种类型的理论：塑性流动理论，也称增量理讨论塑 性应变增量与当前应力及应力增量间关系，形变理论，或称全量理论。是讨论塑性 应变本身与应力问的关系。塑性理论的目的就是寻求屈服函数，以及研究屈服后应力 与应变分量的关系。 图2 3 非线性弹性与弹塑性 2 3 2v o nm is e s 屈服准则 在应力空间中，将屈服应力点连接起来形成的区分弹性区和塑性区的分界面，称为 屈服面。描述这个屈服面的数学表达式即是屈服条件。 v 0 nm i s e s 屈服条件在ot ，o ：，os 应力空间中是一个垂直于平面的圆柱体，而 在平面上的投影是一个圆，在os = 0 的平面上则是一个椭圆，见图2 4 。 北方工业大学硕士学位论文 图2 4v o nm i s e s 屈服面 2 2 3 3 强化理论 理想塑性材料在材料达到塑性之后屈服条件是不变的，然而实验表明某些金属材 料在加载后出现的塑性变形会导致材料的强化。在塑性流动情况下，材料的屈服条件 在不断的改变，且材料的弹性极限也增大。对于这种强化材料上述屈服条件或准则只 适用于初次屈服的判断。问题的另一方面，在荷载作用下结构受力很复杂，在多维应 力状态下对材料强化而出现的塑性流动等的描述很复杂。对此，也只能仍然引用屈服 函数的概念。在应力空间中屈服函数表示了一个空间曲面，仍按前面所述准则的判断 方法确认材料中一点是否处于弹性状态或塑性状态。这个曲面也称加载曲面。对于强 化材料，这个加载曲面不是固定不变的。材料强化后。加载曲面的形状和位置均发生 改变。曲面也会发生膨胀。曲面的变化不仅与瞬时应力有关，而且也依赖于以前全部 的变形历程。对于在应力空间中加载曲面的形式及其运动的描述，亦即材料的强化模 式根据不同的简化和假定有不同的表达方式。当前理论主要分为各向同性强化、随动 强化以及联合强化三种，前者适用于简单加载情况。此情况下，计算简单而实用，后 两种考虑包辛格效应，适合重复加载情况。 2 3 4 有限元法弹塑性分析 弹塑性是板料成型中常见的一种材料非线性行为。在塑性变形阶段，应力与应变 关系是非线性的，应变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。研究弹塑性问 题的关键在于本构方程的处理，目前本构方程常用的有全量理论和增量理论。 北方工业大学硕士学位论文 2 3 4 1 全量理论和增量理论 ( 1 ) 全量理论情形时的有限元方程 假设：比例加载，结果只与状态有关，与加载过程无关，则物理方程为 = ( ) ( 式2 1 2 ) 则所建立的有限元列式为 k 印( 留) g - p ( 式2 1 3 ) 其中 k 印白) = 广。r d g 。垮。d q ( 式2 1 4 ) 由于弹塑性本构关系，这时的k ( q ) 是q 的函数，不是定常数矩阵。 ( 2 ) 增量理论情形时的有限元方程 增量理论将考虑真实的加载过程，即变形结果与加载历史有关，其物理方程的增 量形式为 d 仃一d 印( e ( 式2 1 5 ) 其中 d 印( ) 一d d d ( f ) ( 式2 1 6 ) d 印( f ) 的计算将涉及塑性条件各应力应变量描述；屈服条件；流动规律及应变 强化。后面将对这几个方面进一步说明。 d d 为弹性矩阵。 所建立有限元列式的增量形式为 砰( g ) 幻= a p ( 式2 1 7 ) 其中：卸为总体节点位移增量，尸为外载荷增量，砰q ) 为塑性增量理论的刚度切 线矩阵，即 砰( q ) = 产盯d g 8 净。d q p q 。 北方工业大学硕士学位论文 2 3 4 2 大变形情况下的本构关系 实际生产中，经常遇到大变形的生产实例。分析时从结构变形特点考虑，可以将 大变形问题进一步区分为两类问题：大位移、大转动、小应变问题和大位移、大转动、 大应变问题。前者例如薄壁壳结构的大挠度和后屈曲问题。其特点是尽管位移和截面 的转动相当大，但应变很小，甚至还保持在材料的弹性应变范围之内。后一类问题同 前者的区别就是应变很大。例如金属的成形，橡皮型材料的受力等问题。大应变与小 应变的区别可以根据累计塑性应变：f ，；j ：( 詈d ；孑d ；孑) 1 胆的值界定，当该值小于2 时属于小应变情况，当其大于2 时属于大应变情况。按照这个标准，大多数冷弯成 形过程属于大位移大转动大应变问题。下面主要介绍一下大应变( 包括大位移、大转 动) 情况下的本构关系。 在大应变材料试验中，便于应用的是真应力和真应变( 即对数应变) 及其速率。 伽应力速率张量彦；和应变速率张量岛在物理上分别代表真应力速率张量 和真应变速率张量，所以在大应变情况下，采用联系彦；和毛的本构关系是一种合 理的选择，它可以表示为 2 岛 ( 式2 1 9 ) 可以列出其各个相关表达式，对于各向同性硬化材料 2 一 ( 式2 2 0 ) 其中， 其中 埘卜+ 高叩时) 叫。耐辆 f ( ，) = 知弓一言( 秒) 钞2 舻驴p ) ( 式2 2 3 ) ( 式2 2 4 ) 北方工业大学硕士学位论文 饥一网商司 以上式是时间t 的眈胁应力的偏斜张量，塑性模量e p 是从材料单向受力试验得到 真应力一真应变曲线导出的。以上各式中、d 等都是参考时间t 位形度量的，无 疑与之相应的，在分析中采用u l 格式是一种自然的选择。此时经过处理后的非弹性 大应变情况下的u l 格式的虚位移原理表