（凝聚态物理专业论文）二维光子晶体结构及对称性对光子能带的影响研究.pdf

j 塞銮道左堂亟堂焦j 金塞虫塞翅薹 中文摘要 摘要：光子晶体是拥有光子禁带的新型光学材料。因为它能与现有的半导体材料 和工艺很好地结合，在未来的通信和光电集成行业有巨大的应用前景，极有可能 成为未来光子产业的基础材料。 光予禁带宽度的大小是衡量光子晶体性质的一个重要方面。自从光子晶体的 诞生开始，对能够获得更宽光子禁带光子晶体材料和结构的寻找一直在进行。光 子晶体能带的理论计算与数值模拟不仅能够在理论上解释光子禁带形成的机制， 其数值结果也可以用于指导未来的研究和实验方向。 本文采用平面波展开的方法计算了二维光子晶体在三角、四方两种晶格条件 下六角、圆形、四方空气散射子在硅( s i ) 材料背景下的t e ，t m 模式能带。讨论了 晶格布里渊区形状与散射子形状的共同作用对完全光子禁带影响。发现当散射子 形状与布里渊区形状一致时，t e 、t m 模式的带隙能较好地吻合从而形成较宽的完 全光子禁带带隙。在三角晶格情况下，布里渊区为正六角形，这时六角散射子光 子晶体具有最大完全光子禁带。在正方晶格情况下，布里渊区为正四方形。这时 四方散射子光子晶体具有最大完全光子禁带。 本文还计算了三种旋转操作下二维j 下方品格各向异性材料碲( t e ) 介质柱内空 结构光子晶体t e ，t m 模式能带。讨论了三神旋转操作对t e ，t m 模式带隙及完全光 子禁带的影响。在对旋转操纵的讨论中发现t m 模式高频带隙与结构的旋转对称性 有着密切的关系。而t e 模式的带隙不仅受到晶体旋转对称性的影响同时也受到介 质在x - y 平面分布情况的影响。 关键词：二维光子晶体：光子禁带；散射子形状；旋转对称性； 分类号：0 5 7 2 3 1 j e 廛銮通盔堂亟堂僮监塞垦s ! b 王 a b s t r a c t a b s t r a c t ：p h o t o n i cc r y s t a l sa v en o v e lo p t i c a lm a t e r i a l sw i t ht h ep h o t o n i cb a n dg a p s i n c ep h o t o n i cc r y s t a l sc a l lb ei n t e g r a t e dw i t hs e m i c o n d u c t o rm a t e r i a l sa n dt e c h n o l o g y p e r f e c t l y , p h o t o n i cc r y s t a l sw i l lh a v eg r e a ta p p l i c a t i o np e r s p e c t i v ei nc o m m u n i c a t i o n i n d u s t r ya n do p t o e l e e t r o n i ei n t e g r a t e di n d u s t r yi nt h ef u t u r e t h e r ei sa ne x t r e m e l y p o s s i b i l i t yf o rp h o t o n i cc r y s t a l st ob et h ee s s e n t i a lm a t e r i a lo f p h o t o ni n d u s t r yi nt h ef u t u r e t h ew i d t ho fp h o t o n i cb a n dg a pi sa l li m p o r t a n ta s p e c to fp h o t o n i cc r y s t a l s p r o p e r t i e s p e o p l eh a v eb e e nl o o k i n gf o rn e wm a t e r i a la n ds t r u c t u r et oo b t a i nw i d e r p h o t o n i cb a n dg a ps i n c et h eb i r t ho fp h o t o n i cc r y s t a l s t h et h e o r yc a l c u l a t i o na n d n u m e r i c a ls i m u l a t i o no fp h o t o n i cb a n d sn o to n l ye x p l a i nt h ef o r m a t i o nm e c h a n i s mo f p h o t o r t i cb a n d s ，b u tc a na l s ob eu s e di ni n s t r u c t i n gt h ee x p e r i m e n ta n ds t u d y t h ep l a n e w a v ee x p a n s i o nm e t h o dw a su s e dt oc a l c u l a t et ea n dt mm o d eb a n d g a p so fh e x a g o n a i ，c i r c l e ，s q u a r es c a t t e r e r si n2 - dt r i a n g u l a ra n ds q u a r el a t t i c e s p h o t o n i cc r y s t a l sr e s p e c t i v e l y t h ec o e f f e c t so ft h es h a p e so fb r i l l o u i nz o u ea n d s c a t t e r e r st oa b s o l u t eb a n dg a p sw e r ei n v e s t i g a t e d w ef o u n dt h a tf o rag i v e nl a t t i c e s y m m e t r y , t h es i z eo ft h eg a pi st h el a r g e s tw h e nt h es h a p eo ft h es c a t t e r e ri st h es a m e a st h a to f t h el a t t i c e t h es h a p eo f b r i l l o u i nz o n ei sh e x a g o n a li nt h et r i a n g u l a rl a t t i c e a t t h es a m et i m et h eh e x a g o n a ls c a t t e r e rp h o t o n i cc r y s t a l sg e tt h ew i d e s ta b s o l u t eb a n dg a p t h e s q u a r es c a t t e r e rp h o t o n i cc r y s t a l sg e tt h ew i d e s ta b s o l u t eb a n dg a pw h e nt h es h a p e o f b r i l l o u i nz o n ei ss q u a r ea si ti ns q u a r el a t t i c e a l s o ，t h et ea n dt mm o d eb a n dg a p sf o rt w o d i m e n s i o n a ls q u a r el a t t i c ep h o t o n i c c r y s t a lw i t hh o l l o wa n i s o t r o p i ct e l l u r i u m ( t e ) r o d sw i t ht h r e ed i f f e r e n tr o t a t i o n o p e r a t i o n sw e r ec a l c u l a t e d t h ee f f e c to fr o t a t i o no nt ea n dt mm o d eb a n dg a p sa n d a b s o l u t eb a n dg a pw e r ei n v e s t i g a t e d 1 1 1 ec a l c u l a t e dr e s u l t ss h o wh i g ho r d e rb a n dg a p s o ft mm o d eh a v eac l o s er e l a t i o n s h i pw i t hs t r u c t u r er o t a t i o ns y m m e t r y t h er o t a t i o n s y m m e t r ya n dt h ed i s t r i b u t i o no ft ei nx yp l a n et o g e t h e ri n f l u e n c et em o d eb a n d g a p s k e y w o r d s ：2 dp h o t o n i cc r y s t a l ；p h o t o n i cb a n dg a p ；s c a t t e r e rs h a p e ；r o t a t i o ns y m m e t r y c l a s s n 0 ：0 5 7 2 3 1 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 导师签名： 签字日期：年月日签字日期：年月 日 j e 夏窑垣左堂亟堂焦j 佥塞独剑性岜明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 签字日期：年月日 致谢 本论文的工作是在我的导师吕燕伍教授的悉心指导下完成的，吕老师严谨的 治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响，并将使我受益终生。三年 来吕老师对我的生活和学习倾注了无私的关怀和指导，在此向吕老师致以崇高的 敬意和衷心的感谢。 感谢实验室的各位同学，在学习和生活上给了我很大的帮助。 另外也感谢我的家人对我的关心、支持和付出。 j e裹銮逼太堂亟堂焦诠塞 i直 1 引言 半导体材料的发现与大规模应用引发了上世纪轰轰烈烈的电子工业革命。由 此开始，半导体材料成为了现代信息社会的基石。现在我们所处的时代从某种意 义上来说就是半导体时代。半导体的出现带来了从日常生活到高科技革命性的影 响。大规模集成电路、计算机、信息高速公路等等这些都是由半导体带来的。几 乎所有的半导体器件都是围绕如何利用和控制电子的运动，电子在其中起到决定 作用。半导体器件到如今可以说到了登峰造极的地步，然而集成的极限在可以看 到的将来出现，这是由电子的特性所决定的。 在信息传输中，传统的以半导体材料为基础的电子集成器件也越来越开始成 为信息高速传输的障碍。比如：利用光纤进行信息的大容量、快速传输己被人们 大规模采用。但是信息从光纤的输入和输出依靠的仍然是传统的电子器件，这大 大限制了信息传输效率。与此同时，光子有着电子所不具备的优势：速度快，彼 此间不存在相互作用。人们寄希望于制造出能与传统半导体工艺很好结合的光子 器件用以代替电子器件实现信息的全光网络传输，以提高信息的传输效率。 另一方面，在光电子领域中人们通常希望借由物质改变光的行为，从而达到 对光的控制和应用，如液晶显示器、发光二极管等，这些特性大多基于改变物质 分子尺度上内在化学结构或化学组成。但光波在物质中的电磁特性也可以借由在 波长尺度上特定的物理结构而改变，而不需要改变物质的化学结构及组成。在过 去的将近二十年中，在控制光在材料中传播的目标的强烈驱使下，科学家转向了 在特定的物理结构下材料光学性质的探索。由此，人们开辟了一个崭新的科学研 究领域一光子晶体及其应用。 1 1 光子晶体简介 1 1 1 光子晶体概念 1 9 8 7 年e y a b n o l o v i t c h 1 】在讨论如何抑制自发辐射时提出了光子晶体这新概 念。几乎同时，s j o h n t 2 j 在讨论光子局域时也独立提出。如果将不同介电常数的介 电材料构成周期结构，电磁波在其中传播时由于布拉格散射，电磁波会受到调制 j e塞銮适太堂亟堂僮论童i直 而形成能带结构，这种能带结构叫做光子能带( p h o t o n i cb a n d ) 。光子能带之间可能 出现带隙，即光子带隙( p h o t o n i cb a n d g a p ，简称p b g ) 。具有光子带隙的周期性介 电结构就是光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l s ) ，或叫做光子带隙材料( p h o t o n i cb a n d g a p m a t e r i a l s ) ，也有人把它叫做电磁晶体( e l e c t r o m a g n e t i cc r y s t a l s ) 。 波矢 图1 1 光子晶体光子频率禁带示意图。 f i g1 1s c h e m a t i co f p h o t o m cb a n dg a p 在固体物理研究中发现，晶体中周期性排列的原子所产生的周期性电势场对 电子有一个特殊的约束作用。在这样的空间周期性电势场中电子运动是由薛定谔 方程来决定。求解薛定谔方程就可以发现，电子的能量只能取某些特殊值，在某 些能量区间内该方程无解，也就是说电子的能量不可能落在这样的能量区间，通 常称之为能量禁带。研究发现，电子在这种周期性结构中的德布罗意波长与晶体 的晶格常数具有大致相同的数量级。从电磁场理论知道，在介电系数呈空间周期 性分布的介质中，电磁场所服从的规律是m a x w e l l 方程。通过对m a x w e l l 方程的 求解可以发现，该方程只有在某些特定的频率下才有解，而在某些频率取值区间 该方程无解。这也就是说，在介电常数呈周期性分布的介质结构中的电磁波的某 些频率是被禁止的，称这些被禁止的频率区间为“光子频率禁带”( p h o t o n i cb a n d g a p ) ( 如图1 1 所示) 。频率落在禁带的光在光子晶体中被完全禁止传播。如果只 在一个方向上存在周期结构( 一维光子晶体如图1 2 t 3 】) ，那么光子禁带只能出现在 2 i 塞銮亟盘堂亟堂僮诠塞i i 主 这个方向。如果在三个方向上都存在周期结构( 三维光子晶体) ，那么可能出现全 方位的光子禁带，特定频率的光进入光子晶体后将在各个方向都禁止传播。禁带 是光子晶体的一个最重要的特性。 1 d2-d孓。 图1 2 光子晶体依照介电常数周期性变化的维数，可以分为一维，二维以及三维光予晶 体。 f i g 1 2s c h e m a t i co f1 - d ，2 - d ，3 - dp h o t o n i cc r y s t a l ss t r u c t u r e i 1 2 光子晶体特性 自发辐射是爱因斯坦在1 9 0 5 年提出的，对许多物理过程和实际应用有重要的 影响，如自发辐射是半导体激光器的闽电流的主要原因，只有超过阈电流才能发 出激光。八十年代以前，人们一直认为自发辐射是个随机的自然现象，是不能 控制的。直到光予晶体的出现才改变了这种观点。自发辐射不是物质的固有性质， 而是物质与场相互作用的结果。自发辐射几率由费米黄金定则给出 1 一 形= 等i v l 2 p ( ) ( 1 1 ) ，i 式中l v f 称为零点r a b i 短矩阵元，p ( ) 是光场态密度。自发辐射几率与态密度呈 正比。如果电磁波的态密度为零，则自发辐射的几率为零，即没有自发辐射。光 子带隙中的态密度为零，因此，频率落在光子带隙中的电磁波的自发辐射被完全 抑制。如果引入缺陷，则在光子带隙中就能出现态密度很高的缺陷态，因此可以 增强自发辐射。 我们知道即使在真空中也存在零点涨落，但在光子带隙中却没有。将原子或 分子放入光子晶体中，如果从激发态到基态辐射的光子频率正好落在光子带隙里， 受激的原子或分子将被“锁”在激发态，不能激发到基态。因为此时没有任何光 子态与之耦合而辐射。这将带来新的物理现象，如原子将和自身的局域光场发生 b塞銮垣太堂亟堂僮论塞 i l直 强烈的耦合，出现奇异的l a m b 位移。 如果引入缺陷或无序，对电子来说将有电子局域态或安德森局域态。如果在 光子晶体中引入介电缺陷或介电无序，光子也一样，也会出现局域现象【4 朋。由于 原有的周期性或对称性受到破坏，在其光子禁带中就会出现缺陷态，与缺陷态频 率吻合的光子被固定在出现缺陷的位置，一旦离开这个缺陷位置，光强就会迅速 衰减。在光子晶体中实现光子局域比在电子体系里更理想，因为这里没有电子体 系里存在的多体相互作用。 此外，固体物理以及半导体的许多概念都可用在光子晶体上，比如倒格子、 布里渊区、色散关系、b l o c h 函数、v a nh o v e 奇点等。但是光子晶体与常规的晶体 有相同的地方，也有本质的不同。如光子服从的是m a x w e l l 方程，电子服从的是薛 定谔方程：光子波是矢量波，而电子波是标量波；电子是自旋为i 2 的费米子，光 子是自旋为1 的玻色子；电子之间有很强的相互作用，而光子之间没有。表1 1 给出 了光子晶体和半导体特性的比较。 表1 1 光子晶体和半导体特性的比较 光子晶体半导体 结构不同介电常数介质的周期分布周期势场 研究对象 光子 电子 描述方程 m a x w e ll 方程 薛定谔方程 本征矢矢量标量 角动量玻色予费米子 相互作用无必须考虑电子间相互作用 尺度电磁波( 光) 波长原子尺寸 1 2 光子晶体的应用 近年来光子带隙材料的应用主要集中在高品质反射镜的制造、改善发光二极 管的效率、实现低阈值激光振荡、高品质因数微谐振腔的制造、宽带带阻滤波器 的制造、极窄带选频滤波器的制造、光子开关、光子存储器、光子限幅器以及光 子频率变换器等诸方面，前景非常广阔。 4 j e 鏖变通太堂亟堂焦j 金塞i i直 1 2 1 光子晶体在光纤中的应用 传统的光纤是利用光的全反射来实现光的传播的，光在光纤传播中损耗很大。 光子晶体光纤6 1 将空气纤芯包含在周期性排列的包层( 二维光子晶体) 内，并使传输 光的频率和光子禁带的频率相吻合。由于光子禁带的作用，光波将只能沿着空气 纤芯传播。光子晶体光纤的出现，大大减低了传输光能量的损失，提高了传输效 率。 1 2 2 光子晶体光波导 传统的光纤传播在光纤转弯的地方会出现一个问题：当波导的曲率大于一定值 时，会出现很大的能量损失，只有曲率半径远大于光波波长时，才能避免过多的 能量损失。但是，当在光子晶体中引入线缺陷，如果线缺陷的频率正好落在光子 禁带中，就会形成一个光波导。当线缺陷成一定角度时，光波导也成一定角度。 这样光子晶体光波导7 1 在理论上可以在大角度弯曲下没有损失地传递能量。 1 2 3 低阈值激光器 在激光器中引入光子晶体还可以实现低闯值激光振荡钔。这是因为光子晶体对 位于其光子频率禁带范围内的电磁波具有抑制作用。所以当光子晶体的光子禁带 频率与激光器工作物质的自发辐射频率一致时，激光器中的自发辐射就会被抑制。 这样一来激光器中因自发辐射引起的损耗会大大降低，从而会使激光振荡的阈值 变得很低甚至为零。 1 2 4 高效光子晶体发光二极管 二极管发光中心的内部量子效率达到9 0 ，但发出的光经过包围介质层的反 射，只有3 - - 3 0 的光能够发射出去，发光效率极低。如果我们在发光二极管的 发光中心放置一块光子晶体9 1 ，使发光的中心自发辐射和光子带隙的频率重合，并 在光子晶体中引入一个缺陷态，自发辐射将不能够沿其它发向传播，只能沿特定 的通道传播。这将大大减少能量的损失，提高发光效率。 j b塞 交 道太堂亟堂僮诠塞j i直 1 2 5 光子晶体滤波器 当入射到光子晶体的电磁波频率范围较宽，超过光子带隙的大小时，光子晶 体可以被用作一个带阻滤波器 1 0 】。由于光子禁带完全受设计和制作决定，带隙范 围可以从极窄到很宽，可以适应多种范围的带阻滤波。如果光子带隙内引入缺陷 能级，则会在带隙内形成允态，这样就构成了选频滤波器【m 】。如果只是引入了极 少数的缺陷能级，则该选频滤波器可以具有极窄的选频带宽。 总而言之，由于光子晶体的特点决定了其优越的性能，因此它极有可能取代 大多数传统的光学产品，对急需发展的光电集成技术而言，无疑具有极其重大的 意义，对经济、对社会发展产生的影响是不可限量的。 m i t 著名教授j o a n n o p o u l o s 曾经在他的文章【l l 】中设想过一个“p h o t o n i c m e t r o p o l i s ”的光子传输模型( 见图1 3 ) 。二维光子晶体波导、光子晶体光纤以及 三维光子晶体都被放入集成光路中，用于光波的传输，充分表明了光子晶体在里 面所扮演的十分重要的角色，也是未来光子晶体努力发展的目标。 图1 3j d j o a n n o p o u l o s 设想的光子传输模型 f i g 1 3s c h e m a t i co f p h o t o nt r a n s p o r t a t i o nm o d e lc o n c e i v e db yj d j o a n n o p o u l o s 1 3 光子晶体研究的发展现状 6 j b塞銮适太堂亟堂焦迨塞互i直 光子晶体的发展集中于两个方向。一个是光子晶体的应用器件化、实用化。 一个是继续理论研究寻找具有更宽禁带或禁带可调的光子晶体材料与结构。在上 一节，我们已经简单叙述了光子晶体在现实中的应用。目前，一些世界一流大学 和著名跨国公司纷纷开展理论研究和技术攻关。如美国为此制定了国家纳米技 术战略，德国的1 1 1 3p h o t o n i cc r y s t a l 光子晶体计划，法国和澳大利亚的p i c s 及 i r e x 计划，欧盟的i s 僻e t 计划，英国的e p s r c 光子晶体项目等。麻省理工， 加利福尼亚大学，东京大学，朗讯，n r t ，安捷伦和康宁等著名大学及跨国公司 纷纷加入到新一代的光子集成功能器件的研制当中。英国m e s o p h o t o n i c s 公司还宣 称不久以后将推出具有里程碑意义的基于s o i 光予晶体的光子集成产品，称为 p i c c o 计划。 在理论研究方面，现在已经发展出许多光子晶体计算方法，这些方法将在下 章讨论。人们通过理论计算研究发现降低光子晶体的结构对称性能够取得更宽的 完全光子禁带，并且在相对高频得到原来没有的光子禁带【l “。这样为了破坏光子 晶体结构的对称性，人们在计算中使用了各种不同的方法：改变散射子的形状【1 3 】， 使单个晶胞内包含多个散射子1 14 1 ，使用各项异性介质或铁磁性介质代替各向同性 介电材料u s , 1 q 等等。 1 4 本论文的工作 上面提到，光子晶体的结构及对称性对光予晶体的禁带有很重要的影响。之 前的研究工作大多将注意力放在寻找新结构、新材料上，以期获得更大的光子禁 带宽度或者得到多频的光子禁带。 本论文从改变光子晶体散射子形状和晶体旋转对称性两方面，采用平面波展 开法计算了二维光子晶体禁带与晶体结构以及旋转对称性的关系。试图能够概括 出它们对光子禁带影响的一些规律。 本论文各部分的主要内容如下：第二章介绍研究光子晶体的基本理论并推导 计算中使用的公式和算法；第三章介绍了光子晶体禁带与散射子形状的关系；第 四章介绍了旋转操作下晶体旋转对称性与光子晶体禁带的关系；第五章为论文总 结。 7 j e 塞銮逼盘堂亟堂僮迨塞毖晶佳的堡迨盟窥友迭 2 光子晶体的理论研究方法 由于电磁场的矢量特性，光子晶体的理论模拟变得比较困难。尽管如此，几 种理论上的模拟和实验上的结果已取得了极好的一致。这些理论方法能比电子能 带理论计算方法更为完善，主要原因是线性光学是个单粒子问题，也就是说光子 之间不存在着库仑相互作用，而这在电子能带计算中则必须要考虑。以下是几种 用来计算光子晶体带隙结构以及缺陷模等的理论与数值计算方法，所有的方法都 是基于经典的电磁场理论。 2 1 平面波展开方法 2 1 1 平面波展开方法的特点 在计算光子晶体能带结构中，平面波展开法【1 7 1 8 j 直接应用了结构的周期性， 将m a x w e l l 方程从实空间变换到离散傅立叶空间，将能带计算简化成代数本征问 题的求解。应用超元胞技术，平面波展开方法也可推广应用于分析光子晶体安 德森局域态和光子晶体波导本征模。平面波展开方法是光子晶体理论分析方法中 应用最早和最广的一种方法，也是本论文后面计算所采用的方法。 2 1 2 平面波展开方法算法 假设在无源( 电荷密度p = 0 ，电流密度 厂= 0 ) 、无损( 电导率盯= 0 ) 、线性、 均向、非色散、非磁性( 相对磁导率以= 1 ，磁导率p = 胁) 时，可将m a x w e l l 方程 组写成如下形式： v 。曰：盟堡幽 v x e ：一三型 c露 v d ( r ，t 1 = 0 v h ( g t ) = 0 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 占( ，) 为介质介电系数，c 为光速，d 为电位移矢量，曰、日分别为电场强度、 韭塞銮道太堂亟堂僮迨塞出王昌住丝堡迨班究友洼 磁场强度。为了计算方便，将电场与磁场写成相量表示式 e ( r , t 、= e ( r ) e 一“ h ( r , t ) = 日( ，) e “ 将( 2 5 ) 、( 2 6 ) 代入( 2 1 ) 、( 2 2 ) 式可得： v 冒( ，r ) = 一等日( ，) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) v 日( ，f ) = 导s ( ，) 层( ，) ( 2 8 ) 由( 2 8 ) 式将等式两边同时除以占( ，) ，并取旋度，可得( 2 9 ) 式。 弧j 者v 砷) 一i c o 乳嘶) 一o ( 2 9 ) 再将( 2 7 ) 式代入( 2 9 ) 式可得： 乳l 者v x 日( ，) 卜等嘶) = 。 像，。) 将( 2 1 0 ) 式写为： v 击v 删 = ( 和 眨 ( 2 1 1 ) 式称为光子晶体的基本方程。我们可以看出，若设o = v 妥v 为一算 占i ，j 符，则( 2 1 1 ) 式可表示为： 。抒( r ) = 【等】日( r ) ( 2 1 2 ) 与哈密顿算符本征值方程比较，上式就是光子的本征方程。日f r ) 就是一个本征向 量，0 ) 2 c 2 就是一个本征值。 由于光子晶体的结构周期性，d q b l o c h 定理，有 h ( r ) = e k7 u ( r ) ( 2 1 3 ) 并且有： u ( r + r ) = u ( r ) 其中r = q + 槐2 口2 + 鸭呜为格矢。 将( r ) 在倒格子空间用平面波展开( 考虑到v 日= 0 ，可令似+ g ) = o ， ( a = 1 2 ) ) ： 日( ，) = “ + g 删”= k 。e “6 ” ( 2 1 4 ) 其中，g = 啊以+ 以+ 吃屯为倒格矢。( a = 1 ，2 ) 是与露+ g 垂直的正交基矢，k 为 波矢。 同理可将占( r ) 。1 在倒格子空间用平面波展开： 9 韭塞窒道本堂亟堂焦迨塞发王晶住的理论盟蕉友迭 南2 善占( g ) 扩” ( 2 1 5 ) 其中 占( g ) 2 瓦1k 丽1 _ “办 ( 2 1 6 ) 上式积分区间在一个晶格单胞内，s 0 表示一个单胞的面积 将( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 代入( 2 1 1 ) 得到 一e - 1 ( g 名册+ g i i 露+ i 匕：主；孑 乏 = 等 乏 c z - ， 上式是一个典型的求解2 n x 2 n 矩阵的本征值问题，n 平面波的个数。求出矩阵的本 征值和本征向量后，就可以得到光子晶体的能带结构以及本征电磁场在空间的分 布。 2 2 时域有限差分法( f d t d ) 2 2 1f d t d 特点 时域有限差分法( f d t d ) f 2 0 0 1 】是k s y e e 在1 9 6 6 年首次提出的一种电磁场数值 计算的新方法。对电磁场e ，h 分量在空间和时间上采取交替取样的离散方式，每 个e ( 或h ) 场分量周围有四个h ( 或e ) 场分量环绕，应用这种离散方式将含时间变量 的麦克斯韦旋度方程转化为组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电 磁场。在计算中，将计算区域划分成许多网格单元，将介质参数赋值给每个网格 单元，并将空间某一网格单元的电场( 或磁场) 与周围格点磁场( 或电场) 直接相关 联，因此该方法可以处理复杂形状目标和非均匀介质物体的电磁散射、辐射等问 题。设置周期边界条件就可计算无限大的光子晶体，设置吸收边界条件就可以计 算有限大小的光子晶体。同时，f d t d 的随时间推进可以方便地给出电磁场的时间 演化过程，在计算机上以伪彩色方式显示，这种电磁场可视化结果可以清楚地显 示物理过程，便于分析和设计。 2 2 2y e e 元胞 三维矢量m a x w e l l 方程为： 1 0 j 立窑通太堂亟堂鱼诠塞左王虽链的堡途班峦友鎏 审日= 堡+ 盯露 ( 2 1 8 ) 西 v e ：一罢一日 ( 2 1 9 ) u f 其中f 为电场强度，为磁场强度，s 为介电常数，为磁导率，盯为电导率，吒 为等效磁阻率，引入等效磁阻率的目的在于使方程具有对称性。 在直角坐标系中，( 2 1 8 ) 、( 2 1 9 ) 式写为： 詈一孕= 占筝- 4 - o zo t 盯巨 一= f o r r 却 警一警= 誓+ 哆貔蕊0 t 堡一墼：占堡+ 蛆 o x西西 。 等一誓叫警一吒以印晓扰 警一豢= 叫一o h y o t 一吒彬出叙 。 4 y ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) i 鲁一等= 一鲁一吒以 下面将( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 式进行差分离散。令，b 夕，乙f ) 代表昱或日在直角坐标 系中某一分量，在时间和空问域中的离散取以下符号表示： f ( x , y ，2 ，t ) = f ( i a x , j a y , k a z ，n a t ) = f ”( f ，工女) ( 2 2 2 ) 对厂( 五y ，z ，r ) 关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似，即 业o 型x l 掣o yl 毪掣l 岔 1 业o 型t l i 。坐芝匕竖竺3 。坐蔓：止匕型 y 。尘竺进尘生3 z 。壁i 盟! ) 二：卫i ：壁 f ( 2 2 3 ) j 京窒亟太堂亟堂焦途童盘王晶佳鳆堡监婴荭直鳖 图2 1f d t d 离散中的l e e 元胞。 f i g 2 1y e ec e l li nf d t dd i s p e r s i o n 在f d t d 离散中电场和磁场各节点的空间排布如图2 1 所示，这就是著名的y e e 元胞。由图可见每一个磁场分量由四个电场分量环绕；同样，每一个电场分量由 四个磁场分量环绕。这种电磁场分量的空间取样方式不仅符合法拉第感应定律和 安培环路定律的自然结构，而且这种电磁场各分量的空间相对位置也适合于 m a x w e l l 方程的差分计算，能够恰当地描述电磁场的传播特性。此外，电场和磁场 在时间上顺序上交替抽样，抽样时间间隔彼此相差半个时间步，使m a x w e l l 旋度方 程离散后构成显示差分方程，从而可以在时间上迭代求解，而不需要进行矩阵求 逆运算。因此，由给定相应电磁问题的初始值，f d t d 方法就可以逐步推进地求得 以后各个时刻空间电磁场的分布。 2 2 3f d t d 算法 先看( 2 2 0 ) 第一式。设观察点( x ，y ，z ) 为e 的节点，即( i + 1 2 ，七) ，以及时刻 t = ( 行+ 1 2 ) f ，于是，( 2 2 0 ) 第一式的离散为： 1 2 j b 塞童逼盔堂亟堂僮迨塞丝王晶住的堡途班冠友迭 e “( z + 互1 ，后) 一e ( ，+ j 1 ，七 + 盯( 咖，后) ( _ 1 _ 露) + 掣( 一1 ，m ) 2 矽”( 1 小t 卜掣”( _ 1 小1 ) 掣”( 1 _ 露+ ；) 一掣“( 气1 。七一匀1 上式中运用了平均值近似，即 “( 1 ，灿) _ ( 2 - 2 4 ) 式整理可得： 式中 ( 1 _ t ) + f ( 一1j 尼) 2 ( 1 j t ) = 例( 砂霹( _ 1 。刁 + c 曰) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) h ? + i 2 ( 1 + 1 ) 一”( _ i 一尹i ) 蟛n + l 2 ( _ 1 _ 七+ 手矿( 1j q l ) ，占( 棚) & ：l 二互匝 1 + o ( m i ) a t 2 占( 肌) f = 三! 竺1 1 + ! ! ! ! 竺 ”2 s ( m ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 上式中的标号m = ( i + l 2 , j ，k ) 。同样方法分别对( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 式的其余各式应 用，则可得到另, f 5 个分量的差分方程表示式，有完全类似的形式。 、， 七 l 一2 + ，l 占 兰掣 一 一 + 翌掣 g 峦 = 、-， 凹 韭立交道太堂亟堂僮诠塞当王晶住的堡诠砑盔左洼 模拟二维光子晶体波导时，一般只需要考虑二维空间的t e 模式或t m 模式，形 式上更加简单，只需在上面所述的三维的情况下去掉对坐标z 的依赖就行了。对于 t e 模式，只含有以、e 和髟分量，对于t m 波则只含有e 、以和够分量。下面 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 两式分别给出了二维t e 、t l 模式的e ，h y f d t d 公式。 掣( 气1 ，) = d ( 砂f ( 一1 ，刁 删巫垫掣 嘭n + 1 2 ( 1 ，小c p ( 珊瑚“2 ( 气1 ，) + c q ( 砂盟掣等幽 帆、一剑a t 型2 一错 c p ( 川2 觋。纛鼙 旦 c 蜘) 2 砸12 爱盘 2 3 其他理论方法 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 除了以上这两种方法，人们也提出了其他多种光子晶体理论计算方法，如转移 矩阵方法【2 2 1 、多重散射法【2 3 】、格林函数求解、法 2 4 1 、紧束缚法【2 5 1 等方法。这些方法 各有其优缺点，这里不再详细说明。 2 4 本章结论 本章介绍了几种最为常用的光子晶体理论分析方法，详细地讨论了平面波展 开法和时域有限差分方法( f d t d ) 。介绍了它们的特点，并对公式进行了详细地推 导。 1 4 j t 夏窑迪太堂亟堂僮途塞敦蕴绪掏生三维遣王晶链苤董的羞丕 3 散射子结构与二维光子晶体禁带的关系 3 1 引言 理论研究表明，降低光子晶体的结构对称性能够取得更宽的光子禁带。为了 破坏光子晶体结构的对称性，可以使用各种不同的方法：改变散射子的形状，使 单个晶胞内包含多个散射子，使用各项异性介质或铁磁性介质代替各向同性介电 材料等等。 前期的大量工作比较关注三维光子晶体能带的理论计算和实验制备。但随着 人们研究的深入发现三维光予晶体的理论计算需耗费很多时间而且用现存的微细 加工技术制备也很困难，尤其是禁带在红外和可见光波段的三维光子晶体。在二 维的情况下，电磁波可以被分解为t e ，t m 两种独立极化模式( 将在3 2 节中介绍) ， 对每一种极化模式只要电磁波在任何方向不能传播就形成了此种极化模式的禁 带。所以通过调节各种参数，两维的光子晶体较三维光子晶体更容易得到光子禁 带，而且和现有的半导体工艺相结合更易实现两维光子晶体的制备。制备二维光 子晶体大多采用精细加工方法，因其稳定可靠而且以半导体工业成熟的技术作为 基础。因此研究两维光子晶体具有实际的意义和重大的应用价值。 对二维光子晶体，最初的研究表明在四方及三角晶格中，圆形散射子往往容 易产生完全光子禁带，而且其禁带宽度也较大【2 6 1 。而其他形状散射子要么得不到 完全光子禁带要么其禁带都不如圆形散射子的大。后来发现对于其它形状散射子， 旋转操作能够影响t e ，t m 模式的能带频率，甚至调节它们的带隙频率重合从而得 到完全光子禁带【l 。此后，研究发现了在长方形晶格中用椭圆形散射予代替圆形 散射子，通过旋转操作，得到了比圆形散射子还要大的完全光子禁带【2 7 1 。 本章所要探讨是，应该如何改变散射子形状来降低晶体结构对称性从而获得 更宽的完全光子禁带。通过平面波展开的方法，本章讨论了硅( s i ) 介质材料中不同 晶格结构条件下不同空气散射子形状与光子晶体t e ，t m 模式能带及完全光子禁 带的关系。硅材料是现代集成电路工业的基础性材料，是人类制备工艺最成熟、 研究最深入、了解最清楚的材料之一。硅的具有较高的介电系数，满足完全光子 带隙的光子晶体的要求，且硅对通信领域所采用的两个波长1 3 a n 和1 5 5 # m 来说 是透明的，所以硅材料是制备光子晶体的良好材料。近几年硅基光电集成取得了 一些突破，研究硅基光子晶体，将大大促进硅基光电集成，全光集成技术的发展。 e 塞变通叁堂亟堂焦诠塞熬蕴壬绪捡皇三维超王晶佳苤董鳆羞丕 3 2 二维光子晶体介绍 二维光子晶体是指介电常数在一个平面内( x y 平面) 的任何地方都呈周期分 布，而在平面的垂直方向( z 方向) 保持不变的一种材料结构。图3 1 所示为两种 典型光子晶体结构示意图。 图3 i 二维光子晶体结构示意图：( a ) 正方晶格介质柱光子晶体；( b ) - z n 晶格空气柱光子 晶体。 f i g 3 1s c h e m a t i co f 2 一dp h o t o n i cc r y s t a l ss t r u c t u r e ：( a ) s q u a r el a t t i c eo f d i e l e c t r i cc o l u m n s ； ( b ) a i a n g u l a rl a t t i c eo f a i rc o l u m n s 由于结构的镜面对称性，可以把光子态分为两种偏振态模式来处理。磁场垂 直于平面，电场位于平面内的称为横电f r e ) 模式，包含电磁分量巨，瓦，h za 电 场垂直于平面，磁场位于平面内的称为横磁( t m ) 模式，包含电磁分量以，风，e 。 并且可以分别求解两种模式的光子能带 2 9 1 。 3 3 计算模型及公式 计算模型如图3 2 所示。空白部分为介电常数为毛散射子，深色部分为介电常 数为矗的电介质背景。a 为晶格常数。如图所示为二维光子晶体的x y 平面a 1 6 j t 塞窑垣丕堂亟堂僮迨童邀射王绪控董三缝当王晶住苤董的苤丕 ( a )( b ) 图3 3 三角晶格和正方晶格布里渊区示意图：( a ) r ，m ，k 为三角晶格布里渊区对称点； ( b ) r ，x ，m 为正方晶格布里渊区对称点。 f i g 3 3s c h e m a t i co f t h eb r i l l o u i nz o n ei nt r i a n g u l a ra n ds q u a r el a t t i c e s ：( a ) r ，m ，ka r et h e b r i l l o u i ns y m m e t r yp o i n t si nt r i a n g u l a rl a t t i c e ；c o ) p ，x ，ma r et h eb r i l l o u ms y m m e 仃yp o i n t si n s q u a r el a t t i c e 1 7 j e 塞变适太堂亟堂焦逾塞趣齄王绪塑生三缝迸王晶佳苤董的羞丕 对于此种结构，f ( ，) 可以表示为 占( ，) = 毛+ ( 乞一岛) p ( ，) r 散射子内 r 萑散射子外 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 将( 3 i ) 式代入( 2 1 6 ) 式得到： 杵憾乌忽= 其中 i ( g ) = 专e - i g t 西 ( 3 4 ) i ( a ) 称为几何结构因子，( 3 4 ) 式的积分区间在一个单胞的散射子内。( 3 3 ) 式中厂称 为填充因子，为散射子面积与单胞面积的比值。记六角散射子的边长为b ，圆形散 射子的半径为，四方散射子的边长为h ，则可在三角晶格中可将厂分别写为3 s 2 a 2 ， ( 2 厅j ) ，2 a 2 ，( 2 j ) 2 a 2 ，在正方晶格中可将厂分别写为( 3 ；2 ) s 2 a 2 ， 1 1 2 # 2 a 2 ，h 2 a 2 。列于表3 1