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浙江大学硕士学位论文条形浅基础撮限承载力研究 摘要 本文假定地基土属于刚塑性体并满足莫尔库伦屈服准则，对条形浅基础的极限承 载力进行了研究。本文主要在以下三方面进行了探讨： ( 1 ) 根据滑移线理论和有限差分方法进行了数值计算。建立土体极限状态的平衡 微分方程，根据滑移线理论求得基底土体内部每一点的特征线方程；基于该方程利用有 限差分方法并结合边界条件编制数值计算程序，该程序计算条形基础的极限承载力时可 以考虑荷载倾斜、基础宽度和埋深，基底土重度、内摩擦角和粘聚力等诸多因素。将数 值计算结果与现有的研究成果进行了对比，并对地基极限承载力的影响因素( 如地面超 载或基础埋深、基础宽度、地基土的重度、内摩擦角和粘聚力等) 进行了较为全面的分 析； ( 2 ) 利用滑移线方法推导了极限承载力的解析表达式。在数值计算结果的基础上， 对有重土地基主动区滑移线变化趋势进行了合理假设，根据边界条件和特征线方程求得 了条形基础极限承载力的解析表达式，该表达式可以计算考虑土重度的条形基础的极限 承载力：获得了不考虑重度对滑移线场影响时( 即有重土在普朗特尔滑移线场下) 极限 承载力的解析表达式，该表达式与普朗特尔机动场对应的极限承载力上限解的表达式相 同，这就从理论上证明了在土重度对滑移线场没有影响这一假定前提下得到的极限承载 力是一个上限； ( 3 ) 利用上限定理求解了极限承载力的最小上限。利用上限定理构造了条形基础 极限状态下的机动场，得到了机动场对应极限承载力的解析表达式，进而得到了极限承 载力最小上限解的数学表达式。采用数值计算方法编制了计算程序，用于求解极限承载 力的最小上限及相应的地基承载力系数、肛、r ，并将求得的最小上限与滑移线数值 结果等其它计算结果进行了对比。 关键词：承载力；滑移线；有限差分法；极限分析：上限定理 浙江大学硕士学位论文 条形浅基础极限承载力研究 a b s t r a c t a s s u m i n gt h es o i li sa l li d e a lp l a s t i cb o d ya n ds a t i s f i e sm o h r - c o u l o m b sy i e l dc r i t e r i o n , t h r e es e c t i o n so ft h eb e a r i n gc a p a c i t yo fs h a l l o ws t r i pf o o t i n g s0 1 1m o h r - c o u l o m bs o i la r e d i s c u s s e di nt h i sp a p e r ( 1 ) t h en u m e r i c a lc o m p u t a t i o no fb e a r i n gc a p a c i t yi sd o n eb a s e do nt h es l i p - l i n et h e o r y a n df i n i t e - d i f f e r e n c em e t h o d e q u i l i b r i u md i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o fs o i li nt h el i m i t e q u i l i b r i u ms t a t ea r ed e d u c e da n dt h es l i p - l i n ee q u a t i o n sa r eg o tb yt h es l i p - l i n et h e o r y u s i n g t h ef i n i t e - d i f f e r e n c em e t h o dt h ec o m p u t i n g p r o g r a mw i t ht h eg i v e nb o u n d a r i e si sw r i t t e no u t i tc a l lc o m p u t et h eb e a r i n gc a p a c i t yo fs h a l l o ws t r i pf o o t i n g sc o n s i d e r i n gs u c hp a r a m e t e r sa s t h ei n c l i n a t i o n o fl o 甜s t h ee m b e d d e dd e p t ha n dw i d t ho ff o u n d a t i o n , t h ei n t e r n a lf r i c t i o n a l a n g l e ，t h ec o h e s i o na n dt h ed e n s i t yo fs o i l t h en u m e r i c a lr e s u l t sa l ec o m p a r e dw i t hs o m e c l a s s i cr e s u l t s t h ei n f l u e n c i n gf a c t o r so nb e a r i n gc a p a c i t ya r ed i s c u s s e ds u c ha st h ew i d t h a n de m b e d d e dd e p t ho ff o u n d a t i o n , t h ei n t e r n a lf r i c t i o n a la n g l e ，t h ec o h e s i o na n dt h ed e n s i t y o f s o i l ( 2 ) t h ef o r m u l ao fb e a r i n gc a p a c i t yc o n s i d e r i n gt h ed e n s i t yo fs o i li sg o tb a s e do nt h e s l i p - l i n et h e o r y t h ea s s u m p t i o no ft h ev a r i a b l et e n d e n c yo fs l i p - l i n ei na c t i v ez o n ei sm a d e b a s e do nt h en u m e r i c a lr e s u l t s c o m b i n i n gt h es l i p - l i n ee q u a t i o n sa n db o u n d a r i e s ，t h ef o r m u l a o f b e a r i n gc a p a c i t yi sd e d u c e dw h i c h c a l lc o n s i d e rt h ed e n s i t yo f s o i l t h ef o r m u l ao f b e a r i n g c a p a c i t yo f s t r i pf o o t i n go np o n d e r a b l es o i li sa l s od e d u c e da s s u m i n gt h a tt h es l i p l i n ef i e l do f p o n d e r a b l es o i li st h es a m ew i t ht h a to fw e i g h t l e s ss o i l ，w h i c hi sp r o v e dt ob ea nu p p e r - l i m i t s o l u t i o n , a si t st h es a m ew i t ht h a td e d u c e db yt h eu p p e r - l i m i tm e t h o di np r u n d t lm e c h a n i s m ( 3 ) t h el e a s tu p p e r - b o u n do fb e a r i n gc a p a c i t yi sg o tb a s e do nt h eu p p e v l i m i tm e t h o d u s i n gt h eu p p e r - l i m i tm e t h o d , t h ef o r m u l ao fu p p e r - b o u n do fb e a r i n gc a p a c i t yi sd e d u c e di n t h ev e l o c i t yf i e l d ，t h r o u g hw h i c ht h el e a s tu p p e r - b o u n di sg o t t h ec o m p u t i n gp r o g r a mi sa l s o w r i t t e no u tt h a tc a l lc o m p u t et h el e a s tu p p e r - b o u n do f b e a r i n gc a p a c i t ya n dt h ec o r r e s p o n d i n g b e a r i n gc a p a c i t yf a c t o r sn pn c 、n r t h en u m e r i c a lc o m p u t i n gr e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t ho t h e r r e s u l t si n c l u d i n gt h a tc o m p u t e db yt h es l i p - l i n em e t h o d k e yw o r d s ：b e a r i n ge a p a c i t y ；s l i p - l i n e ；f i n i t e - d i f f e r e n c em e t h o d ；l i m i ta n a l y s i s ； u p p e r - b o u n dm e t h o d n 浙江大学硕士学位论文 条形浅基础极限承载力研究 第一章绪论 1 1 地基强度的一些基本概念 地基承受基础荷载作用后，内部应力发生变化。一方面附加应力引起地基内土体变 形，造成基础沉降，另一方面，引起地基内土体的剪应力增加。当某一点的剪应力达到 土的抗剪强度时，这一点的土就处于极限平衡状态。若土体中某一区域内各点都达到土 的极限平衡状态，就形成极限平衡区，或称为塑性区，如图1 - b 所示。若荷载继续增大， 地基内极限平衡区的发展范围随之不断增大，局部的塑性区发展成为连续贯穿到地表的 整体滑动面。这时，基础下一部分土体将沿滑动面产生整体滑动，称为地基失去稳定。 这种典型的地基破坏模式称为整体剪切破坏，见图1 1 ( c ) 所示。如果这种情况发生， 地基上的构筑物将产生严重的坍塌、倾倒等灾难性的破坏。 p p - d ( b ) ( c ) 图1 - 1土体整体剪切破坏示意图 地基承受荷载的能力称为地基的承载力。通常区分为两种承载力，另一种称为容许 承载力，它是指地基稳定有足够的安全度并且变形控制在建筑物容许范围内时的承载 力：另一种称为极限承载力，它是指地基即将丧失稳定时的承载力。容许承载力通常用 于承载力的设计，国内和国外关于容许承载力的计算方法有所不同。本文要讨论的为地 基承载力的第二种，即地基的极限承载力。 浙江大学硕士学位论文 条形浅基础极限承载力研究 1 2 地基破坏的形式 地基破坏的形式与地基受到的荷载类型有很大关系，按照荷载旌加方向来分，地基 的破坏类型可以分为两大类：竖向荷载下地基破坏和水平荷载下的地基破坏。 1 2 1 竖向荷载下地基的破坏形式 地基在竖向荷载下的典型破坏形式为整体剪切破坏，如图1 - 2 ( a ) 中p - s 曲线a 所 示，但它并不是地基破坏的唯一形式。在松、软的土层中，或者荷载板的埋置深度较大 时，经常会出现图1 - 2 ( a ) 中所示的b 型和c 型的p - s 曲线。 b 型曲线的特点是板底的正应力p 与变形量s 的关系，从一开始就呈非线性变化， 且随着p 的增加，变形速度加快发展，但是直至地基破坏，仍然不会出现曲线a 那样明 显的变形突然急剧增加的现象。相应于a 型曲线，b 型曲线荷载板下土体的剪切破坏也 是从基础边缘开始，且随着基底压应力p 的增加，极限平衡区相应扩大。但是荷载进一 步增大，极限平衡区却限制在一定的范围内，不会形成延伸至地面的连续破裂面，如图 1 - 2 ( c ) 所示。地基破坏时，荷载板两侧地面只略为隆起，但变形速率加快，总变形量 很大，这种破坏形式称为局部剪切破坏。局部剪切破坏的发展是渐进的，即破坏面上的 抗剪强度未能同时发挥出来，所以地基承载能力较低。b 型曲线由于没有明显的转折点， 只能根据曲线上坡度变化比较强烈处，定为极限荷载以。 图1 - 2 ( a ) 中的c 型曲线表示地基的第三种破坏形式，它与b 型曲线相类似，但是 变形的发展速率更快。试验中，荷载板几乎是垂直下切，两侧不发生土体隆起，地基土 沿板侧发生垂直的剪切破坏面，这种破坏形式称为冲剪破坏，如图1 2 ( d ) 所示。 ( a ) p - ( c ) ( b ) p - 图l - 2 竖直荷载作用下地基破坏示意图 ( d ) 浙江大学硕士学位论文 条形浅基础极限承载力研究 整体剪切破坏、局部剪切破坏和冲剪破坏是竖直荷载作用下地基失稳的三种破坏形 式。实际产生哪种形式的破坏取决于许多因素，但主要取决于地基土的特性和基础的埋 置深度。概括而言，土质比较坚硬、密实，基础埋深不大时，通常将出现整体剪切破坏； 地基土质松软则容易出现局部剪切破坏和冲剪破坏。随着基础埋深增加，局部剪切破坏 和冲剪破坏变得更为常见。埋入砂土很深的基础，即使砂土很密实也不会出现整体剪切 破坏现象。魏锡克( v e s i c ，1 9 7 3 ) 对三种破坏模式提出了判断方法，本文主要对整体剪 切破坏形式下的地基土极限承载力进行研究。 1 2 2 倾斜荷载下地基的破坏形式 许多的基础，除承受竖直荷载只外，还受水平荷载最的作用，只和最的合力就成 为倾斜荷载。当倾斜荷载较大而引起地基失稳时，其破坏形式有两种：一种是沿基底产 生表层滑动，如图1 3 ( a ) 所示，这是土基上挡水或挡土建筑物常见的失稳形式；如果 水平分量只不大而垂直分量只较大导致地基失稳时，则表现为深层整体滑动破坏，如图 1 3 ( b ) 所示。两种滑动方式的判别，许多的设计手册和著作中都有论述，本文主要讨 论垂直荷载作用下的极限承载力，数值计算部分可以考虑水平荷载的作用，但仅限于深 层滑动时的极限承载力计算。 = f p h _ j 户 ( a ) 表层滑动面 图1 - 3 土体在水平荷载作用下破坏类型示意图 1 - 3 土体强度理论发展的历史与现状 ( b ) 面 库仑( c o u l o m b ，1 7 7 3 ) 在试验的基础上提出了著名的库仑公式，土的抗剪强度主 要由土的粘聚力和摩擦力组成：f ，= c + c r t a n q ，。莫尔( m o h r ，1 9 0 0 ) 提出，在土的破 坏面上的抗剪强度是作用在该面上正应力的单值函数：f ，= ( 盯，) ，这样，库仑公式 就只是在一定应力水平下的线性特例，这就是著名的莫尔一库仑强度理论。通常情况下， 把极限状态下满足库伦公式的届服准则叫做莫尔一库伦屈服准则，把满足莫尔一库伦屈 服准则的材料称为莫尔库伦材料。由于莫尔一库伦屈服准则是比较保守的屈服准则，且 其形式简单，该准则目前为止仍是土体应用最多的屈服准则( 龚晓南，1 9 9 9 ) 。本文中 也将利用该屈服准则进行浅基础极限承载力的研究。 浙江大学硕士学位论文 条形浅基础极限承载力研究 继库伦之后，朗肯( r a n k i n e ，1 8 5 7 ) 研究了无限体的极限塑性平衡问题，并引进 了滑移线的概念；m a s s a u ( 1 8 9 9 ) 用特征线方法近似地确定了土体的应力场；k 0 t t e r ( 1 9 0 3 ) 最先导出了平面变形问题的滑移线方程；f e l l e n i u s ( 1 9 2 6 ) 提出了极限平衡法，试图用 假想的各种简单形状的滑移面来求解问题；索科洛夫斯基( c o 鲫o b c k h 螽，1 9 3 9 ) 应用 有限差分方法取得了某些边界条件下地基极限承载力的数值解答。 2 0 世纪4 0 年代以后，试验领域以荷载试验为主，研究了地基承载力和沉降的曲线 特点，得出了许多有意义的试验成果。前苏联学者格尔谢凡诺夫( f e p c o a n o b ，1 9 4 8 ) 根据载荷试验的结果，研究了地基土体在荷载作用下的破坏过程，提出了地基土体的破 坏分三个阶段：( 1 ) 压密阶段、( 2 ) 剪切阶段、( 3 ) 破坏阶段，这三个阶段清楚地反映 了地基土破坏所经历的变形发展过程。变形发展的三个阶段的分界点所对应的荷载值可 用理论公式加以计算：如可以用i f 缶塑荷载公式求出；儿可以用极限承载力公式求出； 介于p 。和以之间的荷载值可以通过临界荷载公式求出。这样，就在试验研究和理论计 算之间建立起了较完整的对应关系。通过荷载试验，太沙基( t e r z a g h i ，1 9 4 3 ) 提出，由于 土的性质、基础埋深、加载速度等的不同，土体有两种典型的破坏形式：整体剪切破坏 和局部剪切破坏( 如图1 - 2 ( b ) 、( c ) 所示) ，并提出了相应的极限承载力的计算公式。其 后，魏锡克( v e s i e ，1 9 7 3 ) 考虑到土的压缩性，提出第三种典型破坏形式：即图1 2 ( d ) 所示的刺入破坏( 又称为冲剪破坏) 。魏锡克建议根据土的刚度指标i ，和土的临界刚度 指标i 。的大小关系，将土划分为相对不可压缩和相对可压缩的两大类型，据此来判别土 体破坏形式。基于试验结果的实测数理统计分析方面，地基承载力的研究也获得了很大 的发展。实测数理统计分析法以一定的理论分析作为依据，通过统计分析荷载试验与土 的室内试验( 或原位测试试验) 指标的相互关系，定出各类地基土的承载力表，设计时 根据工程的地基土性质就可查得相应的地基承载力。此法使用简单，且给定的值又多偏 于安全，适合于工程设计应用。 有趣的是，土塑性力学的发展与金属塑性力学的发展是一个相互影响相互促进的过 程。开始时，金属塑性力学的发展滞后于土塑性力学理论的发展。例如，1 8 6 8 年提出的 t r e s c a 屈服条件只是1 7 7 3 年库伦屈服条件的一种特殊情况，而前者比后者早了近一个 世纪。类似地，朗肯( 1 8 5 7 ) 对松土塑性平衡状态的研究也早于s a i n tv e n a n t ( 1 8 7 0 ) 对塑性体平衡的研究。但是，早期的土压力理论忽略了应力与应变之间关系的必要性， 仅限于考虑土体的极限平衡，这就限制了土塑性力学的发展：金属塑性理论则引入了应 力与应变率的流动法则，为其研究开辟了一个独立的途径。以致于后来，金属塑性理论 反过来对土体塑性理论的发展起到了推进作用。例如，上世纪5 0 年代作为金属塑性理 论课题发展起来的极限分析的一般理论，被陈惠发( c h e r tw e ，1 9 7 5 ) 应用于土体极限 塑性平衡理论的研究。 总的说来，研究土体极限承载力的理论方法主要有三种：极限平衡法、滑移线法和 4 浙江大学硕士学位论文 条形浅基础极限承载力研究 极限分析法。下面分别加以介绍。 ( 1 ) 极限平衡法 极限平衡法是传统上一直用来近似求解土力学稳定问题的方法，最早可以追溯到库 伦( 1 7 7 6 ) 对挡土墙土压力的求解。土的极限承载力公式则最早由朗肯( r a n k i n e ，1 8 5 7 ) 获得，朗肯没有考虑基底土的自重，通过假定滑动面和基础侧面所在平面上土压力的平 衡来计算土体的极限承载力。太沙基( 1 9 4 3 ) 提出考虑地基土重度的极限承载力计算公 式，梅耶霍夫( m e y e r h o f , 1 9 5 3 ) 提出了考虑基底以上两侧土体抗剪强度影响的极限承载 力公式，汉森( n a n s e n ，1 9 7 0 ) 提出了中心倾斜荷载并考虑到其它一些影响因素的极限承 载力公式，魏锡克( 1 9 7 3 ) 又提出了考虑地基土的压缩性影响的极限承载力公式。陈希有 等( 1 9 8 7 ) 推导了具有各向异性和非均质性的土上条形基础的极限承载力公式，指出土 的抗剪强度的各向异性和非均质性对条形基础的极限承载力有较大的影响。栾茂田 ( 1 9 9 1 ) 利用变分法推导了成层非均质地基的极限承载力公式。后来，栾茂田( 1 9 9 5 ) 将土体稳定分析的滑动楔体模型加以改进，采用单楔体、双楔体及三楔体破坏模型进行 地基的承载力分析，该法具有较好的实用性和较高的精度。 以上这些基于极限平衡法的计算公式和结果都是先假定土体达到整体破坏时破坏 面形状和范围，再按静力平衡条件分别计算出与最危险滑动情况相适应的极限荷载。这 类方法比较简单，且很多解已经以图表的形式汇总出来，容易被工程设计人员接受和掌 握，故在工程设计中发挥出了很大的作用。但是，这类方法对土体破坏面的假定具有一 定的人为任意性，有些公式中的各分项甚至不是在同一滑动面的情况下得到的，因此， 破坏面的两侧没有一处能很好的满足固体力学方程。虽然极限平衡法利用了极限分析法 上限定理的基本原理，利用假想破坏面求得了一个最小上限，但并不能精确满足上限规 则的所有要求，也不能肯定地说它能满足下限定理的所有要求，因此，极限平衡法所得 的解答既不是真实解的上限，也不是其下限解，故这种方法尚待进一步的发展。 ( 2 ) 滑移线场法 滑移线场法假定极限状态时基础下相当大的范围内土体应力达到屈服，并导致基础 下土体产生临界塑流，在产生临界塑流的瞬时，基础附近土体满足平衡条件和屈服条件， 将屈服条件和平衡方程结合形成平衡微分方程组，再根据边界条件对土体微分极限平衡 方程组进行求解，就可求出极限平衡区的滑移线场和应力分布，计算得到基础范围内的 边界应力即为极限承载力。 k 6 t t e r ( 1 9 0 3 ) 最先导出了平面变形问题的滑移线方程，普朗特尔( p r a n d t l ，1 9 2 0 ) 则首先得到了无重土上无埋深基础滑移线方程的闭合解，并由此发展提出了以一束直滑 移线通过一个奇异点的解。瑞斯纳( r e i s s n e r ，1 9 2 4 ) 在普朗特尔的基础上给出了考虑 基础埋深和地面超载时无重土的极限承载力解答。由于考虑土体重度会使数学解变得非 浙江大学硕士学位论文 条形浅基础极限承载力研究 常复杂，目前还得不到有重土极限承载力的解析表达式，因此发展了很多近似的方法， 前苏联学者索科洛夫斯基( b b c o r o n o n c m a i t ，1 9 3 9 ) 应用有限差分方法取得了某些边 界条件下地基极限承载力的数值解答。d e j o n g ( 1 9 5 7 ) 则从另一角度提出了图解法，其 它近似解法还有摄动法( s p e n c e r ，1 9 6 2 ) 和级数展开法( d e m b i c k i ，1 9 6 4 ) 。 由于滑移线方法忽略了土的应力应变关系，没有考虑机动条件，故仅能在某些边 界条件比较简单的地基条件下求得其解析解。因为滑移线理论考虑的是基础附近部分土 体的应力场，通常认为由滑移线得到的解答不一定是正确解，也不能确定它是一个上限 还是下限解，因此，其解的正确性还须经过极限分析法等其它方法的检验。对于无重土 理想情况的滑移线解析解，己被证明是完全解；而对有重土的滑移线解，目前的研究仍 不能严格证明其是否为完全解。因此，在工程中应用时受到一定的限制。 ( 3 ) 极限分析法 极限分析法通过一种理想的方式来考虑土的应力一应变关系( 通常称为正交法则或 流动法则) ，并据此建立了极限定理。极限定理是极限分析的基础，它包括上限定理和 下限定理。上限定理考虑土体的速度模式( 或破坏模式) 和能量耗散，而不考虑平衡条件， 求得的是极限荷载的上限值。下限定理考虑土体的平衡条件和屈服条件，而不考虑土体 的机动场，求得的是极限荷载的下限值。真实的极限荷载总是介于上下限值之间，因此， 上下限定理就给出了真实荷载的存在范围。如果适当地选择应力场和速度场，利用极限 分析法就可以求出比较接近的上下限值，也就是说，上下限定理能将极限荷载逼近在一 个相当小的范围内。极限分析法最早应用于金属塑性力学的研究，美国学者陈惠发( c h e r t w e ，1 9 7 5 ) 将极限分析法用于地基承载力研究，并得出了一系列的成果，许多成果已 被应用到实际工程中去。 上述三种承载力理论计算方法各有特点，一般来说，极限平衡法求解简单，在工程 设计中应用较多，滑移线理论能求得无重土极限承载力精确解，但对有重土极限承载力 需要结合数值计算方法进行求解，极限分析法理论上比较严密，得到的往往是上下限范 围。 2 0 世纪8 0 年代以后，随着计算机的普及和数值计算方法的发展进步，三种计算方 法在基础极限承载力计算方面都有了相应的发展。许多学者对承载力及承载力系数作了 大量的研究工作，有的学者将极限平衡理论与优化方法、有限元法结合起来，通过搜索 滑动面来求解极限平衡状态时极限承载力的最小值；有的学者将滑移线理论与有限差分 法结合起来，得到了基于滑移线理论的极限承载力的数值解；有的学者将上下限定理和 优化方法、有限元结合起来，得到了基于上下限定理的极限承载力的上下限数值解。 6 新旺人学顾 1 学位论文条形浅基础极限承载力研究 1 4 本文的主要工作及创新点 1 4 1 本文的主要工作 虽然已有许多学者对土的极限承载力做了理论研究，但是对于同时考虑荷载倾斜、 基础与基底土摩擦、基础埋深及基底土重度、内摩擦角和粘聚力的土的极限承载力计算 目前还没有十分满意的计算方法，各种方法的计算结果差别也相当大。土的极限承载力 计算的困难之处在于了考虑土的重度后，土体内部每一点的极限平衡微分方程不能用目 前的解析方法求解，而要用数值方法进行计算。基于国内外极限承载力的研究现状，本 文研究工作准备从以下方面展开： ( 1 ) 假定地基土属于刚塑性体并满足莫尔一库伦屈服准则，推导出土体极限平衡 下的微分方程，根据滑移线理论求得基底土体内部每一点的特征线方程。利用有限差分 方法将特征线方程写成易于数值计算的有限差分形式，根据有限差分公式编制m a t l a b 计算程序，利用程序计算同时考虑荷载倾斜、基础埋深( 地面超载) 、基底土重度、内 摩擦角和粘聚力等诸多因素时条形基础的极限承载力； ( 2 ) 将基于滑移线理论的数值计算结果与现有著名学者的成果进行对比，同时对 地基极限承载力的影响因素( 地面超载、基础宽度、地基土重度、内摩擦角和粘聚力) 进行较为全面的分析； ( 3 ) 基于数值计算结果，对条形基础主动区的滑移线变化趋势做出合理假定，得 到假定条件下地基极限承载力的解析表达式； ( 4 ) 利用极限分析法的上限定理构造条形基础极限状态下的机动场，得到机动场 对应极限承载力的解析表达式，并得到极限承载力最小上限解的数学表达式，结合数值 计算方法编制计算程序，用于求解极限承载力的最小上限及相应的地基承载力系数口、 m 、m ，并将求得的最小上限与其它计算结果及滑移线数值方法进行对比。 1 4 2 论文的创新点 ( 1 ) 基于滑移线理论和有限差分方法，编制了地基极限承载力的数值计算程序， 该程序计算条形地基的极限承载力时可以考虑荷载倾斜、基础宽度、基础埋深( 地面超 载) 、基底土重度、内摩擦角和粘聚力等诸多因素。通过数值计算结果发现地基极限承 载力系数m 除与土的内摩擦角有关外，还与基础宽度、基础埋深( 地面超载) 、地基土 重度和土的粘聚力有关，而这些因素又可以统一表示为一个影响系数f ，善= r 剧2 ( g + c c o t 伊) ； ( 2 ) 对基础宽度、基础埋深( 地面超载) 、地基土重度、内摩擦角和粘聚力等对 地基极限承载力有影响的因素进行了较为全面的分析，分析结果可以用于评价极限承载 力推导时各假定带来的误差对极限承载力计算结果造成的影响； 7 浙江大学硕士学位论文 条形浅基础极限承载力研究 ( 3 ) 在数值计算结果的基础上，对有重土地基主动区滑移线变化趋势进行了合理 假设，根据边界条件和特征线方程求得了条形基础极限承载力的解析表达式，该表达式 可以计算考虑重度时条形基础的极限承载力。同时，还获得了不考虑重度对滑移线场影 响时( 即有重土在普朗特尔滑移线场) 极限承载力的解析表达式，该表达式与普朗特尔 机动场对应的极限承载力上限解的表达式相同，这就从理论上证明了在重度对滑移线场 没有影响这一假定前提下得到的极限承载力是一个上限； ( 4 ) 根据极限分析法的上限定理求得了极限承载力最小上限的数学表达式，从理 论上证明了地基极限承载力系数肌与系数f ( 亡= y b 2 ( q + c c o t 矽) ) 有关的内在原因，打破 了传统理论关于地基极限承载力系数、肛和m 影响因素的的认识局限； ( 5 ) 获得了普朗特尔和太沙基机动场下有重土极限承载力上限的解析表达式，并 将其与最小上限解进行了对比分析，对比发现对于一般情况( 亡较小时) ，普朗特尔机动 场得到的上限与最小上限解差别不大； ( 6 ) 将滑移线数值计算结果和上限定理计算结果进行了对比，除发现二者共同的 计算规律外，还发现利用滑移线理论计算时过渡区顶角小于9 0 。，而上限定理计算得到 的过渡区顶角总是介于9 0 0 和1 3 5 0 一伊2 ( 妒为基础内摩擦角) 之间。 浙江大学硕士学位论文 条形浅基础极限承载力研究 第二章极限平衡微分方程的推导 本章首先推导出土的平面极限平衡微分方程，然后根据滑移线理论求出土的两族滑 移线( 特征线) 方程，为有重土极限承载力的数值计算和解析表达式推导提供理论基础。 2 1 土的静力平衡微分方程 从土体中取出一长出、宽咖、厚为单位l 的微分体，并设x 和y 坐标轴分别与水平 线和垂直线的倾角为口，如图2 1 所示。 、j ：?盯t 、 主+o蹬-,-、1-,蓦x 图2 - 1 土体静力平衡微分增量示意图 微分体上作用有正应力q 、q 和剪应力勺、，土的重度为，根据静力平衡条 件x = o 和y 司得： 吒砂+ 凼一( 吒+ 警出) 方一( + 等砂) 出+ ，出砂s i l l 口= 。 q 出+ 纠町+ 等蝴也+ 等蚴+ 煳c o s 删 整理并消去出咖得： 9 o o = = 渤 一 生砂蔓苏 + + 虹卜毽哆一砂 浙江大学硕士学位论文 条形浅基础极限承载力研究 根据剪应力互等定律，= ，则上式可写成如下形式： 2 2 土的极限平衡条件 冬+ 冬：，如口 缸却 誓+ 冬叩 却良 ( 2 1 ) 根据莫尔库仑准则，当土体处于极限平衡状态时，由应力圆可得土的极限平衡条 件为： 1 三慨一巧) 。一= s i n e ( 2 - 2 ) 1 去( q + 码) + c c o t q 二 此时土体中一点处有两条滑移线通过，即滑移线i 和滑移线，这两条滑移线与大 主应力q 的作用方向线之间的夹角岛= x 4 一e 2 ，或者说滑移线与q 的作用面之间的 夹角岛= 州4 + 伊2 。若大主应力q 的作用线与水平线之间的夹角为r ，删滑移线i 的切 线与水平线的夹角为玎一q ，滑移线l i 的切线与水平线的夹角为r + e , ，如图2 2 所示。 d 式( 2 - 2 ) 可以写成下列形式： 譬如坞m 删矿 0 浙江大学硕士学位论文 条形浅基础极限承载力研究 令 盯：譬：扣咖州咖 c 式中，盯为图2 3 中a b 线段的长度，称为特征应力。 由公式( 2 - 3 ) 中 可得： 由公式( 2 3 ) 中 可得： ：( q q ) 口= 兰一 s i n 9 q c r 3 = 2 c r s i n 9 盯= 三( q + 巳) + c c o t 缈 q + 乃= 2 p c c o t 咖 公式( 2 - 3 ) 、( 2 - 4 ) 、( 2 5 ) 即为平面应变条件下，土的极限平衡条件。 ( 2 - 4 ) ( 2 5 ) 图2 - 3 土体中一点处的应力关系 从图2 - 2 土体m 点处在x 、j ，坐标平面内取出一个微分土体，如图2 - 4 所示。微分 土体的四个面上分别作用有正应力巳、巳和剪应力勺、o ，如果该微分单元土体处于 浙江大学硕士学位论文 条形浅基础极限承载力研究 极限平衡状态，则可绘出如图2 5 所示的应力圆。 由图2 5 中三角形b e f 的几何关系可知： 矾_ 2 + _ 2 = 陉( 吒训 2 + 弓 由图2 - 5 中三角形a b d 可知： 而 d b d = a b s i n q o 面= j 1 ( q + q ) + c c o t 矿 图2 _ 4 土中一点处应力分析图 图2 - 5 土中一点处应力莫尔圆示意图 1 2 浙江大学硕士学位论文 条形浅基础极限承载力研究 所以 历= 罡c ，+ c c o t c p l s i n 伊 由于丽：一b d , 故丽2 ：_ 2 ，即： 三( c r i q ) 2 + 砖= 丢( 呒+ 乃+ 2 c c o t 矽2 s 协2 妒 ( 2 6 ) 由图2 5 可见： o 。= o f = a b b f a o 由公式( 2 - 3 ) 可知： 一a b ：盯 而 一a o ：c c o t 9 由图2 - 5 中三角形b e f 的几何关系可知： j _ _ _ 一_ _ _ 一 b f = b e c o s 2 r 由于 b e = a b s m 9 = c r s i n 9 b f = t r s i n o c o s 2 r 所以 盯。= o r - o r s i n 9 c o s 2 r - c c o 瞳缈= c “1 一s i n 伊c o s 2 r ) 一c c o t p ( 2 7 ) 同理可得： c r x = a b + b g - a o = a b + b e - a o = o ( 1 + s i n 6 p c o s 2 r ) 一c e o t 6 p ( 2 - 8 ) 由三角形b e f 可得： = e f = b e s i n 2 r = a s i n g s i n 2 r ( 2 9 ) 式中，碍为大主应力吼的作用线与x 坐标轴的夹角( 见图2 - 2 及图2 - 4 ) 。 公式( 2 - 2 ) 、( 2 6 ) 、( 2 7 ) 、( 2 - 8 ) 、( 2 9 ) 为平面应变情况下，土的极限平衡条件。 由公式( 2 7 ) 、( 2 8 ) 、( 2 9 ) 可见，若己知土体中各点处的盯和叩值，则由上述公 式即可计算出极限平衡状态下的土体各点处的应力巳、q 、值。 ! 坚型苎塑生兰型塑坠一一 叁垄鎏茔型塑里墨望垄堕壅 2 3 土的极限平衡微分方程 卜删刎 徊李砌s i i l 恤暑一抑割叩蚍协m 【o - 血妒c o s 2 功考+ 幽缈血纫罢+ 妨幽妒s i n z 叩考+ c o s 纫鲁 = ，c o s 口一 罢千2 盯伽妒罢一，墅鼍篙翻c o s c 玎千q ，+ 爹千z 盯t a n 伊多一，旦曼：耋笋 s 砥才干岛，：。 2 4 特征线方程及其解法 如果设想在x 、y 平面内存在某一曲线y = 厂( 功，这条曲线上的盯和叩正好满足式 f 如：罢出+ 塑方 i缸 c 3 , 7 k 和 q 。2 将公式( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 联立运算，消去其中的孚、粤或鲁、罢项，则可得到 o y 卵织办 f l 警伽呦警一，鼍挈| 【s i n ( r ：t ：岛) d x - c o s ( r q ：w 。w锄m 蚴删j 1 f 爹千2 盯t 姐妒参一，! ! 鼍警挚1 如c 叩千岛，疵一浙千岛渺】：以。似节千岛，q 1 3 式中，a = d o ：i ：2 0 t a n o d r 一忐【s i n ( o r ：1 ：a ) d x + c o s ( c o s 口千渺) 】。 口。 。o 根据滑移线定义，两族滑移线满足如下条件： 妾- t 觚( 叩硼 ( 2 - 1 4 ) 浙江大学硕士学位论文 条形浅基础极限承载力研究 满足公式( 2 - 1 4 ) 的公式( 2 1 3 ) 左边项等于0 ，此时公式( 2 - 1 3 ) 成立的条件是公 式( 2 1 3 ) 右边项也等于0 ，则x = o ，由此得出两族不同的特征线方程为： j 妾= 蝴硼( 2 - 1 5 ) 【d c r 一撕t a n 砌= ，( a l d x + a 2 妫 j 妾= 伽( 嗍) ( 2 - 1 6 ) l d o + 2 t r t a n t p d r = ，( a ：凼+ t 两哆 式中，a ，：s i n ( a - q ) ) ； c o s 口 a ：c o s ( a - 缈) ； c o s ) a ：! 垫! 竺翌2 ； c o s f o a ：! ! ! ! ! 盟。 c o s t a 由公式( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) n t 知，这两族特征线与x 坐标轴正方向的夹角分别为，7 千b ， 等于滑移线与x 轴正方向的夹角，两族特征线之间的夹角为2 0 , ，与两族滑移线的夹角 也相同。由此可知，特征线就是滑移线。土体极限平衡区域的任一点处，均有两条特征 线通过，整个极限平衡区内两族特征线相交形成特征网。 当坐标轴工和y 分别选取水平和垂直方向时，口= o ，则a ，= - t a n 口o ，a 2 = l ， a ：= t a ng o ，a ：= l ，此时公式( 2 一1 5 ) 和( 2 1 6 ) 变为： j 妾= 蝴卅 ( 2 - 1 7 ) 【d 盯一2 盯t a n 州，7 = ，( 一t a n q , 函r + 们 塞= 伽( 堋) ( 2 - 1 8 ) 【d ( r + 2 盯t a i l 砌= ，( t a l l 伊话+ 胡 公式( 2 1 5 ) ( 2 1 8 ) 就是条形浅基础极限状态下沿蘸族滑移线的极限平衡微分方 程，也是本文第三章和第四章进行数值计算和解析解推导的基本公式。 浙江大学硕士学位论文 条形浅基础极限承载力研究 第三章极限承载力的数值计算 本章利用有限差分方法把极限状态下沿两族滑移线土的特征线方程离散化，利用差 分近似的代替微分，得到极限状态下土体平衡的差分公式，再根据边界条件编制程序， 该程序计算条形基础的极限承载力时可以考虑荷载倾斜、基础埋深、地基土重度、内摩 擦角和粘聚力等因素。 3 1 有限差分公式的推导 由方程式( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 可知，要得到特征线方程的解析解是困难的，所以通 常采用差分法来求得特征线的近似解。若有如图3 1 所示的两族特征线，第1 族特征线 中的第f 条特征线与第u 族特征线中的第_ ，条特征线相交于结点( f ，) ，在第i 条特征 线上，结点1 是第i 条特征线上结点( f ，) 周围的一个点，结点2 是第_ ，条特征线上结 点( f ，) 周围的一个点。 d 图3 - 1 特征线网示意图 设结点( f ，) 、l 、2 等处的工、y 坐标和叩角分别为：x , j 、y , j 、；五、外t h ； 恐、肋、珑。以结点( f ，) 为中心进行差分，对于结点( f ，_ ，) 和结点l ，出、砂、却 可近似地分别表示为：d r = x , j - - x i ，d y = y , j - y r ，咖= 巩- t h ；对于结点( i ，j ) 和结点2 ， d r 、砂、却可近似地分别表示为：d x = x , j - - x 2 ，d y = y , j 一雎，d ，7 = 巩一砚。为了方面表 达，略去上述各式中x 、y 、叩的下标( f ，) ，即令x = 昀，y = 均，玎= 巩，则上述两族值 可简写为： 对于第1 组值：d x = x - x j ，d y = y - y j ，砌= 吁一喁； 对于第1 i 组值：d x = x - x 2 ，d y = y 一弘，却= 刁- r 1 2 。 将第一组值代入公式( 2 1 7 ) ，并近似地令盯= q ，玎= 隅，则得到第1 族特征线的差 1 6 浙江大学硕士学位论文 条形浅基础极限承载力研究 分方程为： y - 叶y l = o r 舞竺r 。) 锄t a n q 竺, 咖训七一x i ) t a n 矿】 协， l q 一2 q 研一= ，【( ) ，一m ) 一 一】 将第二组值代入公式( 2 - 1 8 ) ，并近似地令o r = c r 2 ，r l = r 1 2 ，则得到第族特征线的差 分方程为； y - 一y 吼2 = ( x - x 2 0 r + 2 0 r 2 ( r 燮t 2 ) t a a q 伊- - r ( y 训小训t a n 纠 3 2 ) l 一吼 一 一儿) + ( x 一而) t a n 缈j 由公式( 3 一1 ) 和( 3 2 ) 可得特征线任意结点( f ，) 处x 、”叩和0 值的表达式为： x ：墨塑( 堡二垒! 二兰型垫鱼2 二! 苎二丝2( 3 3 ) t 锄( 仉一岛) 一t a n ( 仍+ 岛) y = 乃+ ( x 一而) t a i l ( 吼一日) 或y = y 2 + ( x - x 2 ) t a n ( r 2 + 岛) ( 3 - 4 ) 玎：兰垒! 鱼堡垒堡! 竺竺! 如二丝! 塾二苎二兰! 鲤! ! ( 3 - 5 ) 。 2 ( o r , + o