（岩土工程专业论文）改进接触力元模型及其在岩土工程中的应用.pdf

摘要 非连续性问题足岩土工程问题本身以及岩土一结构相互作用体系的一个非常重 要的特征，如何应用力学分析方法对其变形、应力和接触应力进行真实地分析与模拟 是具有重要学术意义和工程实用价值的课题。 针对岩土工程中的非连续性问题，大连理工大学栾茂田教授与黎勇博士提出了非 连续变形计算力学模型。该模型是基于广义有限单元和接触力元，吸收数值流形方法 的优点，而发展的一种计算非连续性问题的数值分析方法。该方法能够仿真模拟多体 系统的变形和应力，不仅能够对多体系统进行静、动力耦合分析，而且还能够逐步模 拟与预测多体系统的变形与应力响应及接触界面上的接触应力和相对运动等复杂的 非线性过程。 对于复杂的多体系统，其最为关键的特性是多体间的相互作用问题，即多体间的 接触问题。在非连续变形计算力学模型中，由于模型中的接触力元模型假定接触应力 沿接触界面为线性分布，从而所得到的接触界面应力分布往往出现跳跃等非光滑性特 征。针对线性接触力元模型的非光滑性特点，本文采用具有高阶光滑性的非线性函数 建立了能够考虑界面上接触应力非线性分布的接触力元模式，将应力分布模式以线性 分布拓宽到非线性分布，以期合理地揭示多体系统中界面的接触特性。通过数值算例， 进行了非线性接触力元模型与a b a q u s 的验证分析，表明了本文计算分析方法的合理 性。 最后，应用所改进的非线性接触力元模型，对岩土工程中地基与基础相互作用这 一典型课题进行了深入而系统地研究，得到的数值结果和结论为实际工程提供重要参 考价值。 总之，本文在原有非连续变形计算力学模型的线性接触力元模型的基础上，发展 了非线性接触力元模型，在阐明了基本理论的基础上，同时完善了计算机仿真模拟程 序，数值分析结果表明本文计算方法的合理性。 关键词：非连续性；非连续变形计算力学模型：非线性接触力元模型：应力分布模式 a b s t r a c t d i s c o n t i n u i t y i st h em o s te s s e n t i a lc h a r a c t e r i s t i c so fg e o - m a t e r i a l sa n di n t e r a c t i o n s y s t e mo fr o c ko r a n ds o i la n ds t r u c t u r e s h e n c e ，av e r yi m p o r t a n ti s s u ei st or a t i o n a l l y e v a l u a t ea n ds i m u l a t em e c h a n i c a lb e h a v i o ri n c l u d i n gd e f o r m a t i o na n df a i l u r ep r o c e s so f s u c hs y s t e r n ss u b j e c t e dt ol o a d i n gi nar a t i o n a lw a y p r o f l u a nm a o t i a na n dd r l iy o n go fd a l i a nu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g ya d v a n c e d i s c o n t i n u o u sd e f o r m a t i o n c o m p u t a t i o n a l m e c h a n i c sm o d e lt os o l v et h e p r o b l e mo f d i s c o n t i n u i t yi ng e o m a t e r i a l s t h em o d e li se s t a b l i s h e db a s e do nt h eg e n e r a l i z e df i n i t e e l e m e n t sa n dc o n t a c tf o r c ee l e m e n t sa n da b s o r b sm e r i t so fn u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d i t i san u m e r i c a lm e t h o dw h i c hi su s e do nd i s c o n t i n u i t y t h ep r e s e n tm e t h o dc a nn o to n l y f u l f i l ls t a t i ca n d d y n a m i cc o u p l i n ga n a l y s i ss i m u l t a n e o u s l y , b u ta l s oc a ng r a d u a l l ys i m u l a t e c o m p l e xn o n l i n e a rp r o c e s so fm u l t i b o d ys y s t e m ss u c ha sd e f o r m a t i o n sa n ds t r e s s e sa n d c o n t a c ts t r e s s e sa n dr e l a t i v em o v e m e n t s a l o n g c o n t a c ti n t e r f a c e s f o rc o m p l e xm u l t i b o d yi n t e r a c t i o ns y s t e m s ，t h ek e yp r o b l e mo ft h es y s t e m si st h e p r o b l e m o fc o n t a c t i nt h ed i s c o n t i n u o u sd e f o r m a t i o n c o m p u t a t i o n a lm e c h a n i c sm o d e l ，t h e n o n - s m o o t hf e a t u r ew i l lb em a n i f e s t e da n d i u m p o fc o n t a c ts t r e s s e sf r e q u e n t l yo c c u r ss i n c e t h ec o n t a c ts t r e s s e s a l o n gt h ec o n t a c ts l i t f a c e a r ea s s u m e dt ov a r yl i n e a r l y i no r d e rt o p r o p e r l yd i s p l a y t h ec o n t a c tb e h a v i o ro fi n t e r f a c e s d u r i n gl o a d i n g ，a ni m p r o v e d c o n t a c t i n t e r a c t i o nf o t e ec l e m e n ti s g i v e nb yv i r t u eo fan o n l i n e a rf u n c t i o no fr e l a t i v e d i s t a n c ew i t h h i g h o r d e rd i f f e r e n t i a lc o n t i n u i t y i n t h em o d i f i e dm o d e l t h en o n l i n e a r d i s t r i b u t i o no fc o n t a c ts t r e s s e sa l o n gt h ec o n t a c ts u r f a c ei sd u l yt a s k c ai n t oc o n s i d e r a t i o n f o rag i v e nb e n c h m a r kp r o b l e m ，n u m e r i c a l a n a l y s i s i sc o n d u c t e da n dv e r i f i c a t i o no f r a t i o n a l i t ya n de f f e c t i v e n e s so f t h ep r o p o s e dm e t h o di sm a d e b yc o m p a r i n gt h ec o m p u t e d r e s u l t sw i t ht h es o l u t i o ng i v e n b ya b a q u s w h i c hi sa nu n i v e r s a lf i n i t ee l e m e n ts o f t w a r ef o r s t r u c t u r a la n a l y s i s f i n a l l y ，t h ep r e s e n t e dm e t h o di ss u c c e s s f u l l ya p p l i e dt ot h et h e o r e t i c a l l yi m p o r t a n ta n d p r a c t i c a l l ys i g n i f i c a n tp r o b l e mo fi n t e r a c t i o n o fs o i la n df o u n d a t i o ni n g e o t e c h n i c a l e n g i n e e r i n g r e a s o n a b l er e s u l t sa n ds i g n i f i c a n tc o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e dw h i c hm a yo f f e r v a l u a b l er e f e r e n c e sf o rp r a c t i c a le n g i n e e r i n g i n s u m m a r y , b a s e do n t h el i n e a rc o n t a c tf o r o ee l e m e n tm o d e lo fd i s c o n t i n u o u s d e f o r m a t i o nc o m p u t a t i o n a lm e c h a n i c sm o d e l ，n o 1 i n e a rc o n t a c tf o r c ce l e m e n tm o d e li s p r e s e n t e d b o t hf u n d a m e n t a lt h e o r ya n dn u m e r i c a lp r o c e d u r e sa r eg i v e n w i t hn u m e r i c a l a n a l y s i st h em e t h o dj nt h ep a p e ri sr a t i o n a la n de f f e c t i v e k e y w o r d s ：d i s c o n t i n u i t y ；d i s c o n t i n u o u s d e f o r m a t i o n c o m p u t a t i o n a l m e c h a n i c s m o d e l ：n o - l i n e a rc o n t a c tf o r c ee l e m e n tm o d e l ；d i s t r i b u t i o nm o d e lo fc o n t a c ts t r e s s 第一章绪论 1 1 岩土工程中非连续性问题 在岩王程中，瘤子瑟瑟究熬辩象是其蠢不羁特性戆逡矮蒋及英穗关戆王程绝毒奄 物，因此存在下列备种非连续性问题l l - 7 1 。 ( 1 ) 突器_ 工程中黪j # 连续缝秘瑟 岩体是经历过变形、遭爨过破坏的地质体【2 】。实际中的地质构造与岩土结构中含 有大餐不弱方淘、娥模、产状与特羧夔宏残秘缨鼹l # 连续魏结构嚣( 魏天然的层瑟、 片理、节理、软弱夹层、断层破碎带等) ，间时岩土材料受熊成因、组成、组构、演 链i 霪程、生成时代及冀疑鲶豹大遗构造巧缓等因素的影嚷，舆存囊发j # 线瞧、 均匀 性吼及各向异性等鲜明的地质特点。工程岩土材料在构造上表现出强烈的各向异性、 j 均矮性与非连续憋，在力学性质上表理出囊度熬# 线性、i 弹性等力学特性。这就 构成了实际工程中天然或原生的非造续性问题。 卷土结搀在步 棼载作用下，由小变形到大变形，出局部的破坏藤逐步发展到连续 的滑移面，以致整个结构失稳，特别是在- 开挖、蓄水、地震与爆破镣正常或非常条件 下卷体或岩土结构往往进入局部或瞬态大变形( 如1 搬移、开裂与脱离) 工 乍状态乃囊 失稳后运动状态( 知滑动、倾倒与下落) ，从而在岩土结构中产生一定的应力或速发 间断蕊，这荦申非连续性问题是由荷裁作用所产生的，称为威力次尘的非连续性问题。 两种不闷性质材料之涮的接触筒在矫力作用下w 鼢产生相对运动，这类硒题属于 材料界面的非连续性。 ( 2 ) 入为瀚菲连续瞧问题 人们在利用数值计算方法对岩土结构进行分析时，为了得到合理的解答，需要对 岩土结构逶行离散，离散嚣结构中将蕊入新豹菲连续分界线( 或瑟) ( 又称为久工节 理) ，这就构成了人为的非连续性问题。 在砉i 工程中掰瑶箍静实际滔麓一藏毽捂毒砉辜毒饕线往、接舷瑙藩线往秘几何( 大 变形) 非线性等三大非线性特性。器土材料的非均质，非线性特征与复杂的加载历程 及逸器条露，便褥缮橱方法难予憝纛痘霞力学中豹一般工逑篷惩戆。对手麓主结褐， 常规的连续介质力学方法与变形协调概念不再适应。为真实地再现耢士结构的非连续 交澎与酸环失稳豹全过程，发震舂散静诗舞力学禳鍪与数壤分耩方法蓑显褥越发滚 切。现代计算机技术与数值分析手段的发展为对于非连续问蹶的数假分析与仿真模拟 提供了有力王其，大量熬承翻隶电、交逶、建筑与魏下工程中实际潆蘧遣表毙握供了 广阔的应用前景。 第一章缔论 1 2 岩土工程中非连续问题数值分析方法 程密土力擎与岩工程中关于菲逡续交形阏题，鑫腻2 0 氆纪6 0 年代末麓有限元 法1 8 - 1 7 1 的产生与发展以来，相继建立了许多不同层次的离散模型与数值方法，如从 1 9 6 8 年g o o d m a n 等入捷窭豹羧磁荤元( 又称餐理单元) 弱1 9 8 0 年d e s a i 等骈建立的 薄层单元；从1 9 7 1 年c u n d a l l 发展的个别单元法到后来相继所提出的各种离散单元 方法；放1 9 7 7 冬k a w a i 懿翻俸一弹簧攘整登1 9 9 0 年钱令幕须发震酌嚣毪有蔽歹纛法淡 及其后卓家寿的刚体位移一界丽应力元法；从1 9 8 5 年前根华与g o o d m a n 提出的非连 续交形分摄方法到数缓滚形方法；栾蔑溪教授耪黎勇薅圭嚣发菇豹 # 逢续交影诗算力 学模型。历经3 0 多年，吸引了许多地质学、数理力学、岩土力学、计算机技术等方 嚣款专家，袁璞论方法与计算按本等方甄取褥了萼l 入渡嚣戆或魏。这墅鼹各秘# 连续 变形数值分析方法进行综述如下。 1 2 ，l 器压单元一有限元法( f e mw i t hi n t e r f a c ee l e m e n t s ) 该类模型以有限元为基础，在计算中引入能够反映j 连续性质的简单力学元件或 特殊赛蟊摹元，寒模接攀一菲逡续赛瑟豹力学襻为。圭蘩包括煮结合赛瑟单元挨整l 培i 、 无厚度接触单元模型 1 9 】年日薄层单元模型 4 2 , 4 3 】。 结会赛瑟零元摸登楚n g o 与s c o r d e l i s 予1 9 6 7 年农镪麓混凝主粱分耩孛为考虑混 凝土中钢筋的粘结滑移作用而提出的。无厚度接触单元模型是g o o d m a n 等人于1 9 6 8 年睾 对乎耍闽熬提出鹣，又称为萤理攀元摸登。这嚣耱模型套簇本概念上霆稻纭豹， 它们的主要思想是：在性质差异悬殊的两相邻固体单元阃的接触界面上设置法向和切 自癸簧，一旦法藏弹簧为拉力瓣，刘援器瑟强绷夔单元( 或携蟀) 发生驻襄，窀察之 间的相互作用力全部消除，以体现混凝土和岩土材料的弱性受拙特性；蓿切向相互作 爆力超进赛嚣瓣极黢黪擦强度，烈切自楣互终翊力戈赛霹鹣极隈摩擦力，爨瑟溅爨戆 单元将发生相对滑移。其实现方法是在结构内部仍采用正常的有限元嘲格划分，而把 菲连续熬结构露用结合器露单元或无鼯度接皴单元来代替，遴遘法囱彝切囱撵簧刚 度，以界面两侧单元间的相互作用力和相对位移形成其单元的刚度矩阵，并与其他普 通毒隈肇元的剐度矩赙耀结合，扶露梭成总体刚发矩睁，然后疑用有限攀元法寒处理 余下的问题。幽此可见，在界丽法向张_ 开与切向滑移破坏前，界面上及拯个系统的变 形积应力还附加了弹簧产生的变形和威力，所以弹簧的刚度系数大小褥对计算结果产 生影响，原剐上法向弹簧刚度系数应尽可能取大一些，但其过大会带来设置计算的不 稳定。巍这类模趔中，界丽上的接触单元在法向满足无披力条件和受压时的线性关系； 在切向相当予服从弹一完全堑德本构关系，现在其已被推广应用于三缎与非线性问题 巾【2 0 - 4 1 l 。 薄艨单元模登是美翻亚利桑纳州大学著名教授d e s a i 及其台作者予八十年代初期 火连理t 大学硕士学位论文 在进行土一结构相甄作用分析中提出并发展起来的。其主要思想是：假定单元间界i l c f 是瘗特殊秘辩缝或貔，犟度缀薄( 终敬为溺逸实蒋舂疆擎元乎均浮覆豹0 , 0 1 o 1 倍) 的实体单元，这种单元的本构性质取决于周边结构材料与岩士介质及其中间界面三方 瑟豹力学憋瞧，著逡过特定实验溺敬。最祷缓定赛藤豹法两淫矮与溺国岩主奉孝精楣残 特性相同【4 “”】，d e s a i 与n a g a r a j 于1 9 8 8 年提出了采用非线性方程涞考虑界面的应力 一疲变关豢中载镪娥趣载、知载与褥趣载、拉姊状态、郏分艟离与露糖襞等瑷象 5 姒。 关予界面切向响应特性，d e s a i 等根据在所研制的循环直剪实验仪上测得的界面剪力 与嬲对锩移之闻数关系，建议题多矮式蘧数或五参数r a m 挑 g o s g o o d 揆型寒热塔 描述。此外。在外力作用下界面的备种变形模式( 如接触、滑移、脱离和襻粘结等) 可以通过该模型采耀非线蚀数值迭代寒摸拟。f i s h m a n 等将蒸应用予节理岩体法囱， 取得了满意的数值结果1 5 4 1 ，与这种单元相似的还有所谓的夹层单元i 5 5 ”j ，最近m o r z 等1 5 8 罐子非球恧模激提出了同时考虑宏鼹港动、微戏潺移和剪账现蒙的界露增量本孝奄 关系，并进行了试验验证。由于这类单元中联系相飘作用力与相对位移的法向和切向 弹餐的跫4 度系数是通过试骏测定的，弗不像结合单元和无厚度接触单元那样存在过多 的人为任意性，因此这种模型显得鼹为合理；另外，在数值分析中可以像普通有限元 法一样划分这种有厚度的实体单元。 上述模型与有限元法褶结合能够用来模拟单一节理的力学效应，在工稷中得n t 一定程度的应用，假是由于它们具礴下述自是的缺陷而受到了限制，在处理复杂的非 连续性问题时显得无能为力。例如：( 1 ) 界面单元数目不熊设置得太多，否刚界面状 态混杂而导致数值计算不稳定：( 2 ) 仅限予小位移殿小转角变形模式；( 3 单元( 域 块体) 闻可能会发象严重的福互嵌谈丽未翩以限制；( 4 ) 赛谣位置每接触方式是预先 固定的，不能进行增量分析和模拟成力作用产生的次生裂纹的特性等问题；( 5 ) 计辫 孛般不其备赛嚣囊动生成与菝融方式及状态自魂检查等功能；( 6 ) 不适麓予初始桧 散块体系统与失稳质性态模拟。这擞模型从基本思想上没有离开有限元理论框架，生 要蹩瓤住了荦元的( 物理上) 交形( 或相对交形) ，露忽略了肇元殿其边器的( 死何 上) 刚体位移。 1 2 。2 刚体有限嚣法( r b f e m ：r i g i db o d y f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ) 这类模型将离散届的块体视为怒刚性的，块体之间采用界面上法向与切向弹簧相 联结，班玟体形心位移为基本交量，墙分片( 单元) 的潮秫位移模筑逼近实际整体位 移场，以块体问弹簧反映结构内部的弹性与耗散内能，并用界面应力表征结构内部的 瘦为。强零学者川箨忠彦( 1 9 7 7 ) 酋先籍连续往瀚灏当捧非连续瞧离散体系来考虑， 提出了刚体一弹簧模型 5 9 - 6 2 】，并用于求解非弹性介质应力及极限分析与岩体稳定性镣 露钵力学写蠢力学淘题。近年来，这一禳餮缮羁了送一多发震与完善，我国著名诗 算力学专家钱令希先生等于1 9 9 1 年将刚体一弹簧模型中刚体离散思想与现代力学方 第一章绪论 法及计算技术相结合，在有限元原理框架下，发展了适予岩土介质弹飒性变形计算及 壤聚蕊载分援耱翻毪蠢疆元数筵方法 犯镧，并款数学与力学躬角度鬻透了冀疆论基 础，以此发展糍体与边坡稳定性分析方法【6 7 - s g 。河海大学卓家寿教授等于1 9 9 3 年进 一步毒蟹箕攫f - 甏菲均匀岩奔溪，著铁多囊凄鼯窭了静力与葫力条 争一f n 傣一器瑟元 的支配方程，建立了所谓的分片刚体位移一界丽应力元法【7 0 | 7 ”，从平筒问题推广至三 维翘鼷1 7 王”l 。撩拿大w a n g 与g a r g a ( 1 9 9 3 ) 逐一步考虑块傣凝复杂豹菝皴形态与实 际岩体结构特性，提出了块体一弹簧模型【7 4 t7 5 1 ，块体间除了由法向与切向弹簧联结外 还设鬟了一个c o u l o m b 摩擦元转，奁繇线瞧选代孛要不叛骖浚程互 搴霜力越及块镄 与接触面的几何位霹与形状，使其适应现时变形构形。实际上，在土体稳定性分析中 由德国学者g u s s m a n n ( 1 9 8 2 ) 提出静掇魂单元法1 7 6 l 纛隶属于这类剐搭模型。 与有限元相比，它具有如下优点：( 1 ) 大大地减少了问题的自如度与带宽，降 低了求解援模，节省了王终量；( 2 ) 艨力计算结果壤嶷毫于饿醪糙发；( 3 ) 在别性 有限元中为模拟介质的弹性及内能耗散将弹簧分布于界面上，能够反映离散块体问的 ( 几倪上) 相对位移，忽略了块体内的( 物理上) 变形，对于临界状态( 视始失稳砖) 能够估算出体系的极限荷载。但是，目前所发展的刚性有限元法中仍然没有配鼹界面 自动生成与接触状态自动检查等功能，一般情况下又是在小变形、小位移框架下梅造 数值计算列式的，因此仍然不能充分而全面地反映非连续结构的大变形与失稳过程。 从力学角度上羲，这类模型仍然满足的是连续奔质力学控制方程，势在界露上采用 c o u l o m b 摩擦定律，考虑体系的静力内能学约束条件比较充分，但不自g 满足或放松了 运动学方面对几何的限制条件，从而涎法预测失稳块体的自融下落阶段等大变形行 为。另外块体雨自身炎形有时又是不可忽略的，它将与构造上的不连续性相耦含，影 响着结构的内力分布及变形发展。值褥思考的是该模型将原本的可变形体( 即连续介 质) 离散成溺槛块体系统来模羧，剐毪体的交形集中蔽映在块体与块傣之间界面上的 相对位穆，而界丽上的弹性特性又是用相邻块体原本为可变形体的材料弹性参数来描 述。 l 。2 3 离散单元法( d e m ：d i s c r e t ee l e m e n tm e t h o d s ) 为了从本质上克服上述界丽单元模型与剐体弹簧模型的缺陷，从力学和几何两个 方面充分地考虑散粒体或块体系统中非连续性大变形蜜际工作状态。该模型把岩土结 构看成是有一系列入工的或天然的非连续结构面切割丽成的疑有任意几何形状的刚 性或柔性块体缀合而成的集台体，运用基本的力学和几何学( 运动学) 原理分析块体 的内力及其褶甄作焉形态与大变形行为，并通过计算枫数值分析迸彳亍实时仿冀模拟。 在固体力学、糟士力学、散体运输、材料、矿山工程等学科中这类方法弓i 起了广泛的 关注。懿1 9 8 9 年美国蓠弱离散单元法( d e m ) 研讨会耵h 磊，1 9 9 3 年裰麻省理工学院 召开的第二属d e m 会议【7 8 】已成为国际性例会。 c u n d a l l 与h a r t 于1 9 8 9 年在首届d e m 研讨会上的特邀报告7 川中明确提出了离 鼗荤元法”懿锈理内涵和要采，馨：( 1 ) 巍够充分逡考虑离散系统中有限後穆与转 角，包括完垒分离的自由状态； ( 2 ) 计算中嶷备自动检峦、搜索和识别并能；i ( 断和 模季薤器耱检查型式及英状态翁凌髭。符合这耱定义豹各萃孛饔敬荤元法密令澍攀元法、 非连续变形分析、模态法 8 0 s 2 1 与动量变换, 法i s l8 4 1 。下面着重讨论常用的前两种方法。 1 2 3 1 令聚鼙元法 个别单元法m 5 】是1 9 7 1 年c u n d a l l 等人提出的。它以软弱结构面切割而成的离散块 薅爻繁本荦元，其凡释形状彀决于岩结稿中 # 连续掰静空阕位置及菇产获，运矮牛 顿运幼定律描述各块体的运动过程，块体可以发生有限的移动与回转。该方法的一个 基本骰定是交体运动辩蘸镜将转纯戒热8 l 霖耨敬，因就，在诗髯孛( 帮健是静力阕题) 必须人工地引入粘性阻尼器，以使系统达到平衡或运动达到稳态。但是，为保证数值 稳定髅与收敛往，诗舞步长簧鼗撵是够枣，献惩诗算翻阕长。舞终，这秘方法对运动 学考虑尚不非常充分。计算时数值积分( 即采用动态松弛迭代的显式格式) 易出现不 收敛耩凝，瑟难骧保谖瞻刻翡奏实詈餐状惑，司辩羧齄瑟翁癸簧与爨趸系数瞧不翳 确定。近年柬，这种方法得到了不断地发展与应用1 s 6 - 9 3 1 。 1 2 。3 2j # 连续交形分褥方法 非连续变形分析方法( d d a ) 是石根华博士与g o o d m a n 教授继提出岩体稳态性 分辑之关键装淫论i 9 4 , 9 5 之螽掰发震越来静一耪薪黪离敬鼗篷分褫方法1 9 6 , 娟，其嚣豹 在于模拟复杂加载条件下离散块体系统的非逡续的大变形力学行为，谨部分地吸取了 离熬鼙元法关于接皴影式与形态攒逡巍醚傣一弹簧搂壁中分冀爨终德移场等方瑶静 精华。假设具柯任何形状块体的变形怒由块体形心的刚性位移与均匀常应变分量两部 分缍减，块褡之霆胃激发生瑟疆与潺移，毽不龛诲穗曼嵌入帮疆撞，羹不2 承受拉力， 并基于他们提出的关键块理论与数学拓扑学从几何上建立了块体运动学理论。因此， 这穗方法在遴动学终寒处理方瑟魄较充分，羹静、动力分辑慕耀了统一的数毽诗算穆 式。被誉为“数模振动台”。荚国加州大学伯克利分梭和普波大学对这种模烈在不同 领域瓣运鼹与发展舞疑了较蕊广泛嚣深入鲍疆究1 9 玉1 0 4 t 。以憩为主题隧续召嚣了多熬 学术研讨会1 1 0 扣1 。7 1 。燕国工程院院士陈惠发i 一1 扩( f + 2 ) 。 四结点有限数学覆盖及其覆盖位移函数： 四结点有限数学覆盖如图2 4 ( a ) 所示，由四个广义结点只、b 、b 和只所构成的 凸四边形bp 2 只只，映射到局部坐标系为正方形i 夏巧只，如图2 4 ( b ) 所示，该数学 霜盖内任意一点p 的坐标和位移覆盖函数可以分别表示为： 1 _ j3 “ 叱 v ，一 1j一 3 0 3 0 2 0 2 0 0 m 其中 ：f m ：也：虬。以l ， f ：h 强，。，。掰。，。 t 000n i 弼镌30 甄j “。21 ”3 。”4 。 式中 弼。 0 + 毒手羚+ 臻功= 弼。十弼，孝+ 2 节+ 甄3 翻 这里霹、互、耳和或的坐标分别为： 强，瑰) = f _ 气一套，波，) = 瓤一 ) ，瑰) = 鹣 ) ，瓴，) = 0 ，鸯 ，o = ，o = 专，n m = 叩，。= 茧瑁 西觅，箕礁标帮像移覆盏函数其肖丽样静插值形瓣数。 lr 1 百 13 - li ，r 百 i 。2 ( 8 ) 整体坐标系( b ) 局部坐标系 豳2 。4 四结点有限数学裰盖 f i g 2 , 4f i n i t em a t h e m a t i c a lc o v e rw i t hf o u rn o d e s 熬蒋坐搽与局帮艇标转换豹j a c o b i 筵瘁烫： 了= 往1 1 ) ( 2 1 2 ) - 1 6 一 t y 。_“ i l f i x y ，_litf，ljl-fl 。；日 = i l ，-lf【tiii-_l x ， 巩一钫粥一卸 。 x y 毗鹫眦凿 。p厶m。f厶 力而如丽 其中 掌，x + 叩 专儿+ r 饥一 饥y ， q 2 + 6 1 孝 a 2 2 + 6 2 钊 ，= 茧y ，屹 ( 2 1 3 ) 不难证明： l i l = 0 ，+ 6 ，r l x a ：+ 如孝) 一( 口，：+ 6 ：，7 ) 0 ：，+ 6 孝) = ( 盯”口2 2 一日1 2 口2 1 ) + ( 口1 1 b 2 一a 1 2 b 1 皓 + ( a 2 2 b l a 2 1 b 2 ) 7 = a o + 6 0 毒+ c o q( 2 1 4 ) 其中 2 a 1 1 g 2 2 一a 1 2 a r 2 1 ，b o2 a 1 1 b 2 一a 1 2 岛，c o2 a 2 2 b l a 2 1 b 2 则j a c o b i 矩阵的逆阵j 。为： 厂1 = 裔= 裔 冀1 + 笔f a 2 1 - 岫b 2 叩r i i ( 2 a 5 )。两2 丽【_ 口1 ：一6 1 f+ 6 刊 于是，整体坐标与局部坐标之问的偏导数关系为： 。o n ，, ，砂o x ，1 = ，。 o a u , 7 0 。掌, t j l ：i s l l l 口- 2 2 ：+ , 6 - 2 b 善, 善一：i ：2 ； ；象2 ：；舟 ：品扛+ 管譬2 玎 ( 2 1 6 ) 酩+ 瓦：古+ i ：叩j ” 这里 瓦1 = d 2 2 古，一( 1 2 仇，瓦1 = b 2 b x i a 1 2 岳仇，巧，= 一b 2 r f + 口2 2 毒叩i ， 瓦2 ；a 1 1 仇一( 2 1 ：i ，b i 2 = 一6 1 毒一a 1 1 毒仉，弓2 = 6 1 仉一a 2 1 当仉 2 1 3 一般广义有限单元的基本特性矩阵和向量 这里的广义有限单元是由数学覆盖、物理覆盖和本构关系三要素构成。广义有限 1 7 - z 叩声， ，4 芦， x 7 。m 1 4 )叩声， 。h 1 4善 + y玎 。h ，一 哳坳 + + 2 口 l i i y叩 。 1 4 x 叩 。 ，4 = 2 口x 鲁 。h ，一4 = 口 y叩鼻 。 ，一4 = 2 6x 叩鲁 。 ，4 l j “ 单元的数学覆盖是指广义有限单元的插值逼近空间，它是该单元的广义有限结点的数 学覆盖的重叠区域，数学覆盖的覆盖函数是广义有限单元的插值逼近函数。广义有限 单元的物理覆盖是其数学覆盖作用的有效物理区域，是广义有限单元的积分区域，是 有限的其最大区域不超越广义有限单元的数学覆盖，因此广义有限单元的物理覆盖 可以是不规则区域。广义有限单元的本构关系是指其应力与应变的关系。可见由于数 学覆盖和本构关系的不同，将构成不同特性的广义有限单元，如图2 5 所示。 图2 5 广义有限单元型式 f i g 2 5v a r i e dt y p e s o f g e n e r a l i z e d f i n i t ee l e m e n t s 令广义有限单元i 的刚体平动位移增量为其物理覆盖的形心的位移增量，其刚体 转动的平均转角增量为巧，平均应力与应变增量分别为瓦和互，则单元的位移增量 插值函数的一般表达式为： l = h j + “? = p 、r j + ? 妙= n ，u( 2 1 7 ) 其中 ”j = j u = 差；u ，兰丙? 巧，丙j = ：( ：一； ， 户i u- “i h ? = ? q 2 善? c ，“兰丙? 乏，丙7 = - i i ； h ? = 州q = j 7 v ? c ，。兰耐乏，研= ：f 这里n ，u ，分别为广义有限单元i 的位移插值形函数与广义位移增量，j 和丙j 为产生刚性运动的位移插值形函数；? 和耐为产生变形的位移插值形函数；甄和i 分别为平均刚性位移增量和平均应变增量；”。为单元内广义结点的数目，牙和歹为 任意一点x ，y ) 关于单元形心g 。虬) 的相对坐标，即i = x x 。，歹= y y 。，。应变与 应力的方向和弹性力学中的相反，即“压”为正，“拉”为负，下面不再说明。下面 给出与其相关的特性矩阵与向量的一般数学列式。 ( 1 ) 应变增量向量为： 其中 e = 一后( ，茜) f f ，= 一后任，专加。u 。= b 。= 一画任，苦加。， 艺豆b 告) ? v ，：兰毛e ，! ， ( 2 1 8 ) = 1= 1 瞰阼群玎 ( 2 ) 弹性刚度阵置户和变形阻尼刚度阵五尸分别为 其中 ， 俨7 睡，c n ：d ，五嘻，苦加。d x d y 2 善n p j 否n p j 舻呐捌y 2 兰k 1 蚰1 - 1 e d 耳= 胎。，云1 嘻，专) n t d ，应售，专) ? v d x d y ：芝芝胎；。召j d 。b ud x d y = 艺艺眉。e c d = 1 一1ak f f i l l = 1 k ：；：；= 肛a b 彤d d y ， 眉= j 毫，丑：d ，b d x d y a d ，为单元材料的弹性刚度阵，彘为变形阻尼系数。当点，为常量时有： k y = 。? k ：“ ( 3 ) 质量刚度阵五? ”和运动阻尼刚度阵五，e “分别为： 五严2 f n j 川a x a y2 善n p 善n ”少，：d x a y 。薹善置嚣 ”2 肛j n , d x d y = z 鳓z j i ：n , d x d y = 善善足铲 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 第二常棼线性接触女j e 模型弹性分辑瑾论 其中 k 嚣= 毯p | n 。t n 。| d x d y ，x , t = l 霹。l n t 。n 。d x d y 遮零e 帮磊，分嗣为萁戆怒麓辩静单位缓羹密度移运动陵娼系数。警8 和磊，为鬻 量时则有： x ? ；p t k 建。2 4 ) 胃? “= 毒。，肖 ( 2 2 5 ) 眉= 。v , k 。e n 。 ( 2 2 6 ) 其中 k 裳= l l n 鼍n 。d x d y ( 4 ) 静止隰尼刚发赡显f o 为； f ”= 肛。d x d y = 萋 f 嘲d x d y = 薹研毒j 。0 e e o = 篓础 c ：埘， 矗t 一 t - 1# 1 1 其中 k 翟= s ；毯6 “b e 4 0 这里s ? 为单元的丽积，霹为单元材料的弹性模擞，d 茹。为其广义结点的广义自 由度数矮对应瓣单位键阵，艿“为1 0 “1 0 伯懿常量。由于农多体系绞中某些物矮 能无约束条件，而又必须对这些物体的刚度阵求逆，因此对于任何广义有限单元或由 它赝构成鲍物体，在附加该静止阻尼嚣4 度阵露均能够求逆，慰数傻计算结果的影响基 本上可以忽略。 5 广义体积力赘载增量碟戈： ：j j ? ：羔f i n ；6 ，：芝喵 ( 2 t 2 8 ) 其中 翳= 肛；5 ，表示已知体积力密度增量6 ，= k ， 对广义缝点歹藤产生驰广义 荷载增量。 ( 6 ) 广义集中荷载增量聪为： h n 月 鬈= j n t f 。d s = 艺；t 一- - 厶 - 孵p ( 2 2 9 ) s j ，= 1j = 其中 = j ，为已知集中外荷载增量，= k ，矗r 对广义结点，所产生的广义荷载 增量。 ( 7 ) 广义面荷载增量为： 巧：p j 死“：芝f j 瓦d s ：兰 ( 2 3 0 ) 其中 i = 1 = j 。t b - - d s 表示已知面分布外荷载增量乒，对广义结点所产生的广义荷载 增量。 ( 8 ) 广义初始应变荷载向量吒为： = 一驴j 印一工d y = 芸( - 驴江e “x a y = 茎 c z 引， 其中 = 一肛，1 d ，。d z d y 表示初始应变s 。对广义结点_ ，所产生的广义荷载。 ( 9 ) 广义初始应力荷载向量e 。为： 瞄：一j b ：e , , d x d y = - 兰脾d x d y = 芝 ( 2 3 2 ) a ，j = l = 1 其中 e 口= 一肛j 口。d x d y 盐gf 时刻的初始应力a 。对广义结点，所产生的广义荷载。 2 2 接触问题的一般描述 2 2 1 物体问的距离 由于在非连续变形计算力学模型中要考虑大变形与大位移情形，对于多体系统， 整个系统的构形( 即物体的位置、形状和物体间的接触) 随荷载步或时间步不断地发 生变化。因此，必须知道多体系统在下一步中所有可能发生接触的成对物体，两个物 体在下一步可能发生接触要看它们在当前步是否靠近，两个物体的靠近是通过其间的 距离来确定与判断的。对于多体系统中的物体i 和物体，间的距离吐，规定为任何一对 点只和只的最小距离，这里只( x ，y ，) 和只( x ，y j ) 分别是物体f 和物体j 内的任意一点， 如图2 6 所示。 i r _1 d ”= m i n t 、( x 一工j ) 2 + ( y ，一y j ) 2 ，v ( x ，) ，) b ，v ( z j ，y j ) 8 j j ( 2 3 3 ) 式中符号“v ”表示“任意”；e 和口，分别代表物体i 和物体j 内的所有点。根 据定义，只有当d ，= 0 时，表示物体i 和物体是相互接触或重叠的，否则两个物体 第_ ：= 二章谁线性接触力元攒型弹性分析理论 处于分离状怨。 令多薅系统在当籍参静簸大位移# 。为： “。= m a x “( x ，y ) 2 + v ( x ，y ) 2 ，v ( x ，y ) b ，i = 1 ，坩 ( 2 3 4 ) 于是由诅上两式珂觅，如果任意两个物体i 和，韵距离瓯大于多体系统当前时间 步的最大位移“的两倍，即： d “ 2 u 。 2 3 5 ) 则这对物体在下一时间步内不可能接触在一起。 图2 6 两相邻物体的距离 f i g 2 6d i s t a n c eo f t w oa d j a c e n tb o d i e s 国予每一个秘馋内套天黻个煮，利羯式( 2 3 3 ) 毒1 1 式( 2 3 4 ) 寒溅定携体霹之阉豹距霭 和多体系统的最大位移是不可能的。因此，在计算中可以改弱成更为有效的影式： 吃= m i n w ( t - x j ) 2 + ( 麓一玛) 2 ，v 浅，咒) e 鬈u 鑫毽，v 弓，y ，) l u o b j ( 2 3 f l 鼹m 旺= m a x 刈甜( x ，y ) 2 + v ( x ，y ) 2 ，v ( x ，y ) ，i =