（光学工程专业论文）非序列光线追迹程序计算精度的评价.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 随着科学技术的不断发展，在航天、天文和精细加工等高科技领域，对光学 系统的性能提出了前所未有的高要求。对于一些具有复杂结构和特性的光学系统 的设计，需要通过非序列光线追迹方法来模拟实现。本课题的研究内容是评价非 序列光线追迹方法的计算精度。 本文记述了蒙特卡洛模拟方法及基于该算法的菲序歹1 j 光线追迹法的原理。使 用基于蒙特卡洛光线追迹算法的计算机软件叫j g h t t o o l s 对一些可以用理论公 式直接计算的情况进行了数值模拟。通过理论计算和数值模拟结果的比较获 导了 关于非序列光线追迹程序计算精度的初步结果。具体内容包括：详细分析了( 1 ) 点光源在平面上产生的照度分布：( 2 ) 平行光束在介质表面上发生折、反射时的 菲涅尔反射损失：( 3 ) 投影系统中常用的方棒照明光学系统最佳匀光学结构；及 ( 4 ) 利用信息论理论对采样误差进行的分析。 通过分析点光源在一平面上产生的照度分布得出：数值模拟时每个网格内的 照度误差的标准差与网格内光线条数平方根的倒数成比例，这与数学上蒙特卡洛 算法的误差结果分析相一致；利用傅里叶级数展开式提出了在一定精度范日内每 个网格所需要追迹的光线数。通过计算分析光在介质表面上的折、反射得出： l i g h t t o o l s 模拟光在介质表面上发生折、反射衬钓结果和菲涅耳公式的结果完全 一致，几乎没有误差。 关键词：蒙特卡洛光线追迹非序列照度计算精度 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h es c i e n c et e c h n o l o g y , t h e r ei sah i 班r e q u i r e m e n tf o r t h ep e r f o r m a n c eo fo p t i c a ls y s t e m si ns p a c e f l i g h t ，a s t r o n o m i c ，f i n e - m a c h i n i n ga r e a s f o rs o m eo p t i c a ls y s t e md e s i g no fe n m p l e xs t r u c t u r ea n dc h a r a c t e r i s t i c ，i t san e e dt o b es i m u l a t e db yl i o n - s e q u e n t i a lr a yt r a c i n gm e t h o d t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st o v a l u et h ep r e c i s i o no f t h i sm e t h o d t h i sp a p e ri n t r o d u c e dt h em o n t ec a r l os i m u l a t i o nm e t h o da n dt h ep r i n c i p l eo f n o n - s e q u e n t i a lr a yt r a c ew h i c hb a s e do nt h i sm e t h o d u s i n gl i g h t t o o l s - - - c o m p u t e r s o f t w a r ew h i c hb a s e do nm o n t ec a r l or a yt r a c em e t h o dt o o ks o m en u m e r i c a l s i m u l a t i o ne x a m p l e sw h i c hc o u l db ec a l c u l a t e db ys o m et h e o r yf o r m u l a r y , a n dg o tt h e r e s u l to fc a l c u l a t i o np r e c i s i o ni nn o n - s e q u e n t i a lr a yt r a c eb yc o m p a r i n gt h er e s u l t b e t w e e nt h e o r yc a l c u l a t i o na n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n t h ed e t a i l e da n a l y s i si n c l u d e d ： ( 1 ) t h ei l l u m i n a t i o nd i s t r i b u t i o no fap l a n ep r o d u c e db yap o i n ts o u r c e ；( 2 ) t h ef r e s n e l l o s so fp a r a l l e lb e a mo fl i g h t sr e f r a c t i o na n dr e f l e c t i o no nt h em e d i u mi n t e r f a c e ； ( 3 ) t h eb e s tu n i f o r ms t r u c t u r eo fe l l i p s e - r o di l l u m i n a t i o ns y s t e mu s e di np r o j e e t i o n s y s t e m ；a n d ( 4 ) t b ea n a l y s i so f s a m p l ee r r o rb yi n f o r m a t i o nt h e o r y b ya n a l y z i n gt h ei l l u m i n a t i o nd i s t r i b u t i o no fap l a n ep r o d u c e db yap o i n ts o u r c e w ec o u l dg e t ：t h es t a n d a r dd e v i a t i o no fi l l u m i n a t i o no ne a c hb i ni sp r o p o r t i o n a lt ot h e r e c i p r o c a lo f s q u a r er o o to f r a yn u m b e ri nt h eb i n t h i si sc o n s i s t e n tw i t l le a l o rr e s u r o fm o n t ec a r l om e t h o do nm a t h e m a t i c s b yu s i n gf o u r i e rs e r i e sw ep u tf o r w a r dt h e r a yn u m b e ri ne a c hb i nn e e d e dt ob et r a c e da ts o m ep r e c i s i o nl e v e l b ya n a l y z i n gt h e r e f r a c t i o na n dr e f l e c t i o no fl i g h to n am e d i u mi n t e r f a c ew eg o t ：t h er e s u ro f l i g h t t o o l ss i m u l a t i o ni st o t a l l yc o n s i s t e n tw i t ht h ef r e s n e le q u a t i o n s t h e r ei sal i r l e e r m l k e yw o r d ：m o n t ec a r l o ，r a yt r a c e ，n o n s e q u e n t i a l ，i l l u m i n a t i o n , c a l c u l a t i o np r e c i s i o n l i 浙江大学硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 随着科学技术的不断发展，人类在不断向新的极限发起挑战。在航天、天文、 精细加工等高科技领域，对光学系统的性能提出了前所未有的高要求。对于这些 要求，仅仅依靠原有的以计算像差为基础的序列光线追迹的设计手段已经远远不 够了。很多重要的光学系统不能用序列光线追迹的模式描述，如复杂的棱镜、光 管、照明系统、多面反射镜、非成像系统或任意形状的物件等，散射和杂散光也 不能用序列性分析的模式，因此计算更复杂光学结构和特性的非序列光线追迹方 法得到越来越广泛的应用。非序列光线追迹的应用包括照明系统、杂散光控制、 成像系统的鬼像分析、和非成像光学系统的一般设计等，这些都是用序列光线追 迹所无法完成的工作。 非序列光线追迹的算法远比序列光线追迹更为复杂，但到目前为止我们还没 有看到对非序列光线追迹的计算精度进行评价的研究。很多利用非序列光线追迹 进行设计的例子都假设所使用的计算程序是完全正确的，没有看到对具体的程序 进行验证的研究。我们将以应用非常广泛的l i g h t t o o l s 为例，通过对一些可以用 理论公式进行计算的例子，对l i g h t t o o l s 的计算精度进行研究。 1 2 本文研究内容 非序列光线追迹计算方法在现代光学系统设计中获得了越来越广泛的应用。 本课题是对非序列光线追迹程序计算精度的研究。非序列光线追迹本身基于的是 蒙特卡洛算法，本质上是一种通过大量光线的追迹来获得问题近似解的处理方 法。这样，非序列光线追迹程序在模拟问题的过程中究竟会有多大的误差就成为 一个非常重要的问题。本文主要内容就是围绕研究误差问题而展开的，全文按章 节划分的内容结构如下： 第一章绪论，对本课题研究的提出、本课题的研究内容和本课题的研究目的 及意义作了介绍。 第二章m o n t ec a r l o 方法，详细介绍了蒙特卡洛模拟方法的发展历史、基本 浙江大学硕士学位论文 思想及原理和模拟误差及特点等。 第三章光线追迹方法的简单介绍。 第四章照明系统和l i 【g h t t o o l s 软件的介绍。 第五章讨论了应用l i 【g h t t o o l s 软件模拟照度计算的精度问题，首先以点光源 这个最简单的情况为例分析了软件模拟照度计算的最大误差与追迹的光线数及 划分的网格数之间的关系。接着研究了网格内的光线数和软件模拟的标准偏差之 间的关系，利用傅里叶级数展开式划分被照平面，根据所需要的误差选择合适的 光线条数。 第六章主要讨论了l i g h t t o o l s 模拟光线在不同介质表发生折、反射时的计算 精度，主要研究光入射到界面上后光通量的变化，即界面的反射比和透射比问题， 光在介质表面上的折、反射也是进行光学系统设计时必须要考虑的情况，所以研 究折、反射情况具有重要意义。文中分别对偏振光在玻璃界面的折、反射比和在 四分之一波长减反膜上的反射比作了研究。 第七章对一个实际照明光学系统椭球一方棒光学系统进行模拟计算，得 出了各参数对光学系统照度均匀性的影响。 第八章总结和展望，为本课题研究工作的总结，并对今后的工作提出了展望。 1 3 研究目的及意义 由于现在的光学系统日益复杂，事先的软件模拟分析可以避免大量不必要的 建立实际系统等的耗费及缩短研发时间，并且能够较为准确地预算出系统应有的 性能，这对于目前竞争激烈的光电产业来说是相当重要的，所以光学模拟软件的 使用也日益普及。 本课题以l i g h t t o o l s 的照明模块为例研究非序列光线追迹的计算精度问题， 通过对一些理论上可以直接得出结论的情况进行计算模拟，这些情况包括：( 1 ) 点光源在平面上产生的照度分布；( 2 ) 平行光束在介质表面上发生折、反射的情 况；( 3 ) 投影系统中常用的方棒照明光学系统最佳匀光结构。因为这些都是在实 际光学系统设计中通常要考虑的典型情况，所以选择这些例子进行计算。通过理 论值和软件模拟计算结果的比较获得对非序列光线追迹软件计算精度的直接结 果。归纳出初步的指导意见，供人们在设计实际光学系统时，根据不同的计算对 2 浙江大学硕士学位论文 象，在计算结果的精度与计算时间之间平衡，选择合理的光线数及合适的网格数。 由于非序列光线追迹系统需要追迹大量的光线来达到系统分析的准确性，追 迹的光线数量通常是以百万或千万计的，一些复杂的非序列光线追迹系统有时要 计算机计算几个小时甚至好几天，这就有一个计算精度( 取决于光线数量) 与缩 短计算时间之间的平衡问题。对于一个实际的光学产品开发来说，在软件模拟计 算精度符合光学系统要求的情况下，合理选择所需要追迹的光线数可以减少计算 机模拟计算的时间，缩短产品的研发时间。本课题的研究工作对加快产品开发周 期、缩短产品从研发设计到投入生产的时间具有重要意义。 浙江大学硕士学位论文 第二章m o n t ec a r l o 方法 本章和以后两章将详细介绍与本课题研究工作相关的一些理论基础。本文研 究的是非序列光线追迹的计算精度，而非序列光线追迹本身是基于蒙特卡洛 ( m o n t ec a r l o ) 算法的，蒙特卡洛方法是一种通过对随机变量进行统计试验来求取 近似解的数值方法。现代光学系统设计中使用基于蒙特卡洛算法的菲序列光线追 迹软件有a s a p ( t h ea d v a n c e ds y s t e m sa n a l y s i sp r o g r a m ) 、t r a c e p r o 和l i g h t t o o l s 等，本文使用l i g h t t o o l s 软件的照明模块模拟在光学系统设计通常要考虑的一些 情况来分析非序列光线追迹的计算精度。在这三章中将对上面这些理论知识和一 些基本概念作一个介绍。 随着光学技术的迅速发展，在产品开发和实验过程中，出现了许多复杂难解 的问题，如光学系统设计中光线入射到物体表面时的折、反射和散射等问题。由 于这类问题含有不确定的随机因素，用传统的物理试验或数学方法进行处理常常 感到十分困难，分析起来通常比确定性的模型困难。有的模型难以作定量的分析， 得不到解析的结果，或者是虽有解析的结果，但是计算代价太大以至不能使用， 而用蒙特卡洛模拟使人们找到了新的处理方法。 蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支，它利用随机数进行统计试验，以求 得的统计特征值( 如均值、概率等) 作为待解问题的数值解。所作的统计试验称 为蒙特卡洛模拟。在这一章里，主要讨论蒙特卡洛方法的产生、原理以及由这种 算法进行模拟计算所产生的误差等。 2 1m o n t ec a r l o 方法的发展历史 m o n t ec a r l o 方法作为一种数值计算方法，是2 0 世纪4 0 年代由冯诺依曼 ( y o nn c u m a n ) 和乌拉姆( u l a m ) 为研制原子弹的需要而首先提出来的，他们的具体 工作是对裂变物质的中子随机扩散进行直接模拟。其名字来源于摩纳哥的蒙特卡 洛个以赌博和娱乐而闻名的城市，比喻随机模拟。但从数学特征而言， m o n t e c a r l o 方法的发展可以一直追溯到十八世纪后半叶的蒲丰( b u f f o n ) 随机投 针试验，即著名的蒲丰问题。 4 浙江大学硬士学位论文 在m o n t ec a r l o 方法的发展历史中有三个标志性事件值得一提： ( 1 ) b u f f o n 投针试验：1 7 7 7 年法国科学家b u f f o n 提出用投针试验计算圆周 率7 c 值的问题。 ( 2 ) 1 9 3 0 年，e n r i c of e r m i 利用m o n t ec a r l o 方法研究中子的扩散，并设计了 一个m o n t ec a r l o 机械装置- f e r 】【i l i ，用于计算核反应堆的临晃状态。 ( 3 ) v o nn e u m a n 是m o n t ec a r l o 方法的正式奠基者，他与u l a m 合作建立了 概率密度函数、反累积分布函数的数学基础，以及伪随机发生器等。 在电子计算机出现之前，随机试验受到了一定限制，因为要使所有结果的准 确度足够高，需要进行的试验次数相当大，要进行这样的数值模拟需要很大的计 算量，实际上是不可能的。随着现代计算机技术的出现和飞速发展，用计算机模 拟概率过程，实现多次模拟试验并统计计算结果，进而可获得所求问题的近似结 果。计算机的大存储量、高运算速度使得在短时间内获得精度极高且内容丰富的 模拟结果。在历史上，也正是原子弹工程研究初期阶段的工作，为模拟裂变物质 的中子随机扩散，提出了运用大存储量、高运算速度计算机的要求，这也成为当 时推动计算机技术发展的重要动力。 用m o n t ec a r l o 方法解数学问题是从相反关系出发，一旦某些概率满足所要 考虑的数学方程，便做若干次随机抽样试验，产生随机变量，取其结果的平均值 作为数学方程解的近似值。另外，就求解数学和物理问题而言，m o n t ec a r l o 方 法增添了许多新的内容，突出地表现在以下三个方面：( 1 ) 应用概率模型模拟物 理现象或数学方程，扩大了随机抽样技术的应用范围；( 2 ) 在计算机上进行随机 试验，使得随机试验方法有可能更接近真正的物理试验或其它数学物理方程的 解；o ) 在计算机上用程序产生伪随机数代替真正的随机数，不仅使用方便而且 提高了计算速度。 随着电子计算机的发展，m o n t ec a r l o 方法也得到了迅速发展和应用，目前 已经应用到物理学、医学、材料科学、农业、交通、管理科学和社会科学等许多 领域。m o n t ec a r l o 方法已经在求解线性和非线性代数方程组、求逆矩阵、求解 椭圆型差分方程的边值问题、求解积分方程、计算线性算子的特征值问题以及多 重积分计算等确定性问题上表现出了极为令人满意的优越性。近几十年来，人们 又将m o n t ec a r l o 方法与物理或化学方法相结合，形成了许多新的方法，大大扩 5 浙江大学硕士学位论文 展了m o n t ec a r l o 方法在科学研究中的应用。m o n t ec a r l o 模拟方法越来越受到人 们的重视，许多科学家广泛、系统地应用随机模拟的方法来解决各种复杂问题。 另一方面，m o n t ec a r l o 方法的发展反过来对计算机科学的发展也起了一定 的促进作用，例如，在计算机体系设计中越来越广泛地采用概率统计思想方法， 这样就需要对各种不同方案进行统计分析和模拟对比。由于m o n t ec a r l o 试验可 代替设计中的部分真实试验，从而节省了设计的时间和工作量。 2 2 蒲丰问题 这里我们用蒲丰问题来初步说明蒙特卡洛方法的基本原理和解决问题的基 本过程。 蒲丰问题( 图1 - 1 ) 是这样一个古典概率问题：在平面上画有彼此相距为a 的一些平行线，向此平面任意投一长度为b 的针，假定b = n p q 。按照加强数定理， 当n 充分大时，观察频率 万= 导e ( 善) = p p 。万也2 ( 2 - 7 ) 成立的概率等于1 。因此，由上述模型得到的观察频率v n 近似地等于所求量p 。 这就说明了频率收敛于概率，而且可用样本方差 2 3 2m o n t ec a r l o 方法的解题步骤 用m o n t ec a r l o 方法处理的问题视其是否涉及随机过程可分为两类：一类是 随机性问题，对于这类问题一般情况下采用直接模拟方法，首先根据问题的规律， 建立一个概率模型( 随机向量或随机过程) ，然后进行抽样试验，从而得出对应 于这一问题的随机变量的分布。另一类是确定性问题，首先要建立一个与所求解 有关的概率统计模型，使所求的解就是这个模型的概率分布或数学期望，然后对 这个模型进行随机抽样，即产生随机变量，最后用其算术平均值作为所求解的近 似值。 在应用m o n t ec a r l o 模拟方法解决实际问题的过程中，一般需要以下几个步 骤： ( 1 ) 针对实际问题建立一个简单而又便于实现的概率统计模型，使所求的解 9 浙江大学硕士学位论文 恰好是该模型的概率分布或数学期望。 ( 2 ) 必要时，根据概率统计模型的特点和计算实践的需要，尽量改进模型， 以减少估计方差和降低试验费用，提高模拟计算的效率。 ( 3 ) 对模型中的随机变量建立抽样方法，其中包括建立产生伪随机数的方法 和建立对所遇到的分布产生随机变量的随机抽样方法，在计算机上进行 模拟测试，抽取足够多的随机数，对有关事件进行统计。 ( 4 ) 对模拟试验结果加以分析，给出获得所求解的统计估计值及其方差或标 准误差的方法。 2 3 3m o n t ec a r l o 算法的组成部分 m o n t ec a r l o 模拟算法是我们实现模拟程序的基础，主要由以下这几个部分 组成： ( 1 ) 概率密度函数( p d 妒一必须给出描述一个所要解决的实际问题的一组概 率密度函数； ( 2 ) 随机数发生器能够产生在区间 o ，l 】上均匀分布的随机数； ( 3 ) 抽样规则如何从在区间 o ，l 】上均匀分布的随机数出发，随机抽取服 从给定的p d f 的随机变量： ( 4 ) 模拟结果记录记录一些感兴趣的量的模拟结果； ( 5 ) 误差估计必须确定统计误差( 或方差) 随模拟次数以及其它一些量 的变化； ( 6 ) 减少方差的技术利用该技术可减少模拟过程中计算的次数： ( 7 ) 并行和矢量化可以在先进的并行计算机上运行的有效算法。 2 4m o n t ec a r l o 方法的收敛性和基本特点 这一节将介绍m o n t ec a r l o 算法的理论基础及由这种算法产生的误差，以及 与其他的数值方法相比较的特点。 1 0 浙江大学硕士学位论文 2 4 1m o n t ec a r l o 方法的基础和误差 作为m o n t ec a r l o 方法的基础是概率论中的大数定理和中心极限定理，我们 首先来介绍一下这两个非常重要的定理。 大数定理：用某个随机变量x 的简单子样柳、肋、聊的算术平均值 i = 专姜 。， 作为所求解i 的近似值。当e ( 殉= i 时，算术平均值以概率1 收敛到i ，即 p ( 墼曼h = ，) = 1 ( 2 - 1 0 ) 大数定理指出，当n m 时，算术平均值收敛到数学期望( 或统计平均) i 。至 于要进一步研究收敛的程度，作出误差估计，则要用到中心极限定理。 中心极限定理：对于任何五 o 有 p c 睁小静去c e - 以r 为周期，即f ( x + t ) - - f ( x ) ，则可将展开为级数 m h + 砉( s 芋m i n 擎) 睁， 其中的展开系数为 = ；立彤灿挚孝 2 ；肌灿s 挚孝 ， 玩= ；丘形) s i n 挚孝 式( 6 - 3 ) 称为周期函数几 的傅里叶级数展开式，其中的展开系数成为傅里叶 系数。 点光源在平面上产生的照度( 取一维的x 方向上的) 分布函数为： 1 1 0 1 1 ( 功2 ( 1 0 0 + x 2 ) 3 n ( 5 0 x 5 0 ) ( 5 9 ) 将其按周期7 1 - - 1 0 0 展开为傅里叶级数，因为是偶函数，其中的展开系数圾= o ，取 级数的前项来计算傅里叶展开的相对误差： 厂( 力一口。一兰qc o s 孥 占= 争三一 ( 5 1 0 ) ，( j ) 浙江大学硕士学位论文 表5 - 3 傅里叶展开的相对误差 n1 23456 e ( ) 7 9 9 3 74 8 4 1 43 4 6 6 02 6 9 8 42 2 0 8 91 8 6 9 6 n789 1 0 l l1 2 ( )1 6 2 0 61 4 3 0 21 2 7 9 81 1 5 8 01 0 5 7 40 9 7 2 8 下图分别是n = 3 、6 、9 、1 2 时的傅里叶展开式的相对误差分布，由图中可以 看出：中间部分误差较小，边缘部分误差大。 图5 8 傅里叶级数展开式误差随x 值变化 2 采样定理 采样定理可叙述如下：设工( f ) 是某一个带限信号，在i i 0 1 1 时，x ( ，t o ) = 0 。 如果t o 。 2 。_ ，其中- ) 。= 2 耳t ，那么x ( t ) 就唯一地由其样本x ( n t ) ，n = o ，1 ， 2 ，所确定。已知这些样本值，我们能用如下办法重建x ( t ) ：产生一个周期 冲激串，其冲激幅度就是这些依次而来的样本值；然后将该冲激串通过一个增益 浙江大学硕士学位论文 为l 截止频率大于。_ ，而小于( m 。一o i ) 的理想低通滤波器，该滤波器的输出 就是x ( t ) 。 蒙特卡洛算法由于随机性本身总是会有误差的，这个误差跟1 n “2 成比例。 也就是说，网格内收集的光线条数越多，误差越小，模拟计算的结果越精确。 仿真照明系统时啪1 ，必须将网格大小设定成符合于量测的接收器的尺寸，同 时也应该要考虑到光分布的变化实际上有多快。根据采样定理，若光分布是带限 的，只要做跟采样定理规定一样细微的采样，或是l 2 f f f 为带限频率) 这样的b i n s i z e 就行。根据预测最佳的b i ns i z e 就在量测接收器的尺寸跟数据的间隔之间。 决定了网格的大小以后，就必须模拟足够多的光线使得算法误差的计算结果 降低到符合需求。本文先根据理论需求选择傅里叶级数展开式的阶次，根据采样 定理决定网格的大小，最后根据模拟需求选择足够多的光线。 5 2 3 设计及模拟计算 仍以点光源在平面上产生的照度为例，根据表5 3 控制傅里叶级数展开式的 相对误差在2 以内，选取n = 6 。根据采样定理，采样频率必须大于2 倍的带限 频率，我们把l o o m m x l o o m m 划分成1 3 x 1 3 的网格。从图5 8 种可以看出，中间 部分的相对误差较小分布也较为均匀，我们在其中选取理论值相等的几个网格重 复模拟，得出同一个网格的标准偏差，改变光线条数，重复上述试验。计算同一 个网格的相对误差的分布以及标准差与光线条数之间的关系。 5 2 4 实验结果 在这1 3 x 1 3 个网格中，一次模拟选取相对称位置即理论值相等的8 个样本值 ( 网格内的照度相对误差) ，重复模拟了2 1 次，共得到1 6 8 个样本值。计算其标 准偏差，样本网格中收集到的光线数的平均值为入射到单个网格的光线条数，结 果如下表所示。接着对网格内的相对误差分布( 使用频数直方图：横坐标为相对 误差大小，纵坐标为出现在此误差范围内的样本值个数) 和标准偏差与网格内光 线条数平方根的倒数之间的关系作了图示。 浙江大学硕上学位论文 表5 - 4 两格标准差和光线数 总光线数( 万) 1 02 0 3 04 05 0 标准偏差 2 5 7 2 6l ，6 2 7 21 3 8 6 9 1 1 3 2 81 0 0 8 8 网格内光线数 6 6 01 3 1 8 1 9 7 62 6 3 33 2 9 3 总光线数( 万) 6 07 0 8 09 01 0 0 标准偏差 0 8 7 0 20 7 8 3 50 7 3 9 3 0 6 8 8 80 6 6 7 9 网格内光线数 3 9 5 24 6 0 95 2 6 45 9 2 36 5 8 1 图5 - 9 网格内相对误差分布 图5 1 0 0 随( 1 s ) ”的变化关系 浙江大学硕士学位论文 从以上结果可以看出：不论是被照平面上所有网格内的相对误差分布，还是 同一个网格内经多次模拟得到的相对误差分布，都是呈正态分布的；经对模拟值 进行线性拟合后可以看到，相对误差的标准偏差与网格内收集的光线条数的平方 根的倒数成比例。 浙江大学硕士学位论文 第六章光在界面上的反射和折射 在工农业、国防、科学技术以及人类生活的各个领域内，使用着种类繁多的 光学仪器。尽管其中的光学系统千差万别，但其基本功能是共同的，即传输光能 或对所研究的目标成像。因此，研究光的传播和光学成像的规律对于设计光学仪 器具有本质的意义。 十九世纪中叶，m a x w e l l 在电磁学理论的研究基础上，从理论上推得电磁波 的传播速度等于光速，这使得他推测光的传播是一种电磁现象，是电磁振动在空 间的传播。2 0 年后h e r t z 第一次在实验上证实了光波就是电磁波，从而肯定了 m a x w e l l 的预言，产生了光的电磁理论。 光波既然是电磁波，它的传播过程就是能量传递的过程，而光源发光实际上 是物体不断向外辐射电磁波的过程。 本章主要先讨论光在传播过程中入射到两种不同的介质表面上时引起的传 播方向、振幅及能量的变化情况，即光在界面上的反射和折射规律( 菲涅耳公式) 。 然后用公式计算的理论值来验证使用l i g h t t o o l s 软件模拟光学系统追迹光线到 介质表面时发生折、反射的情况。 6 1 菲涅耳公式 光波入射到两种介质分界面上时会产生反射和折射现象，这是我们所熟悉 的，这种现象的产生可以看成是光与物质相互作用的结果。 我们把入射光线与界面法线组成的平面称之为光波的入射面，沿任一方向振 动的光矢量都可以分解成互相垂直的两个分量，称平行于入射面振动的分量为光 矢量的p 分量；称垂直于入射面振动的分量为光矢量的s 分量。这样，对任一光 矢量，只要分别讨论两个分量的变化情况就可以了。 根据麦克斯韦方程组和电磁场连续条件就可以导出表示反射波、折射波与入 射波的振幅和位相关系的菲涅耳公式。对于入射平面光波的两个互相垂直的分量 s 波和p 波，其反射波和折射波的振幅和相位关系是不相同的。 f 鲻s i n ( o ，兰+ 0 2 ) 2 c o s e is i n 0 2 t ，- - - i 而 r ，= 丽t g ( o 矸, - o 甭2 ) x 射蠢 图争1 f l 、r p 、t 和t p 随入射角。的变化若系 ( 6 - 2 ) ( 6 - 3 ) ( 6 - 4 ) 所示： 幅而 长角 波叭姘随 波 ， 系 嫩群婚翟 幅 撒蠲删落 麟 瓶剃 刚 衙糯 射 鼢麟删荔 射 滏罐 膨 弭皈 删狮 l 用 化 浙江大学硕士学位论文 6 1 2 反射比和透射比 由菲涅耳公式还可以得到入射波、反射波和折射波的能量关系，这种关系用 反射比p 和透射比t 来表征，即界面上反射波、透射波的能流与入射波的能流之 比： ps2r；04) 巩c o s 良， o 5 赢 ) p p 亍r ； 勺- 糟，2 其中： n l 和n 2 界面两边介质的折射率； p s 和v 波的反射比和透射比； p p 和节1 波的反射比和透射比。 6 1 3 光学薄膜的反射比 光学薄膜是用物理和化学方法涂镀在玻璃或金属光滑表面上的透明介质膜， 利用光波在薄膜中反射、折射及叠加( 干涉) 来达到减反或增反的作用，还可以 起到分光、滤光、调整光束偏振或相位状态等作用1 1 1 】。 设介质膜的折射率为n ，涂在折射率为i l g 的玻璃平板上。周围介质的折射 率为1 1 0 。当光束入射到薄膜表面上时，将在薄膜内产生多次反射，并且从薄膜的 两表面有一系列的平行光出射。根据多光束干涉原理可以得至正入射时薄膜的反 射比为 p = ( 一) 2 c o s 2 害+ ( 警一投) 2 c o s 2 善+ ( 警+ 以) 2 s i n 2 鱼 2 ( n o + ) 2 ，万 ( 6 9 ) s i n 。 2 浙江大学硕士学位论文 其中： 万：竿，z c 。s 臼相继两光束由光程差引起的相位差； l a - 一入射光束的波长o l r 一薄膜的厚度； o 薄膜内的反射角。 在光束斜入射的情况下，根据非涅耳公式，分别以等效折射率( 对于s 波为 i i c o s0 ：对于p 波为n c o s0 ) 代替式( 6 - 9 ) 中相应的折射率，就可以分别计算 出光束斜入射时s 波和p 波的反射比。 6 2 设计及模拟计算 光线在两种物质分界面上发生的反射和折射是进行光学系统设计时通常要 考虑的情况。本研究利用菲涅耳公式来验证使用l i g h t t o o l s 模拟折、反射时光通 量变化的计算精度。 模拟设置：放置一点光源于坐标系原点，发出的总的光通量为1 流明，在空 间中的发光范围为2 球面度。发出的光通过一平凸透镜，平凸透镜的凸面朝向光 源，焦点在原点，即光源发出的光经过平凸透镜后平行出射。在平凸透镜平的这 一面上可以设置表面属性，使之具有线性偏振特性，即只让光波的s 分量或p 分 量通过。接着让出射的平行光线入射到一平行平板上，将平行平板前表面的属性 设置为f r e s n e ll o s s 模式，使得光线在平行平板前表面发生折、反射。之后用接 收面收集反射波和透射波的光通量，这样就可以计算出偏振光在界面上发生折、 反射时的反射比和透射比。 另外由菲涅耳公式可以得到光在界面上的发射比和折射比的理论值，两者之 闻可以进行比较分析。 最后把平行平板前表面的属性设置为q u a r t e r - w a v ea rc o a t i n g 模式，中心 波长为5 5 0 r i m ，折射率为1 3 8 。分别模拟计算偏振光的反射比随入射角的变化以 及随入射波长的变化，用理论公式( 6 - 9 ) 对模拟结果进行验证。 浙江大学硕士学位论文 模拟装置如下图所示： !卸 | | n 夕 6 3 实验结果 图6 - 2 模拟折、反射模型 进行模拟试验时，先选定如上图所示的入射角为4 5 0 的时候，改变光源发出 的光线条数，发现两个接收平面上接收到的光通量大小不发生变化，说明进行此 模拟试验时的实验结果与追迹光线的数量无关。 接着改变光波入射到界面上的入射角，从3 0 0 开始一直变化到6 5 0 ，记录不 同的入射角时两接收面上收集的光通量，即反射波和折射波的能流，除以入射偏 振波的能流o 5 流明，即得到反射比和透射比。 此外，由菲涅耳公式计算出光波以不同的入射角入射界面时的理论值，界面 为空气与平行平板的分界面，平行平板的材料为b k 7 ，可由玻璃数据库查得 n = 1 5 1 8 。 以下两图分别是两光波分量反射比和透射比的理论值和模拟值的比较，从图 中可以看出，两者符合得相当好，几乎不存在模拟误差，这说明软件在模拟界面 折、反射时的精度很高。这是因为l i g h t t o o l s 在模拟光线在具有f r e s n e ll o s s 属 性的界面上发生折、反射情况时是用菲涅耳公式来进行计算追迹的，所以计算的 精度很高。 5 l 浙江大学硕上学位论文 墨 七， m 遽 入射角 2 5饕40 4 5 0 66 a醋7 0 入射角 图反射比和折射比随入射角的变化 图6 - 5 、昏6 是偏振光的反射比随入射角的变化以及正入射时随入射波长的 变化的理论值和模拟值的比较。正入射时s 波和p 波的反射比相等，模拟时薄膜 的折射率对所有波长来说都认为是一个常数，但基板的折射率随入射光束的波长 而变，可由色散公式【3 l 】计算得到。 o b o 4 2 o b 6 4 2 a a 6 ” 明 明 盯 丑靛刿 浙江大学硕士学位论文 s c h o t t 公司的色散公式为： ，z ；= , 4 0 + 4 兄2 + 4 兄2 + 4 五4 + 4 名6 + 以2 8 ( 6 - 1 0 ) 其中的分散式参数可通过查询玻璃手册得知，对于b k 7 ：a o = 2 2 7 0 4 5 4 9 ， a i = - 9 9 7 4 8 3 2 7 1 0 - 3 ，a 2 = 1 0 4 6 8 3 7 7 x 1 0 - 2 ，a 3 - - 2 7 9 7 4 2 5 0 1 0 - 4 ， a 4 = - 2 1 7 0 6 0 2 3 1 0 - 5 ，a 5 = i 4 2 6 5 6 9 7 1 0 - 6 ，波长的单位为t a n 。基板的折射率随入 射光的波长而变化如下图所示： 静 b a 2 0 辖 9 拿。 ； 惹 2 o 拍o柏o4 曲o5 6 a口刀o 7 6 0e 。浚铷血) 图6 4 折射率随波长变化 o o3ao5 0 入射角 图6 - 5 反射比随入射角的变化 5 3 浙江大学硕士学位论文 2 2 2 o 拿 。8 茁 畚。 i 琏 4 2 3 5 04 0 0 铂0 o6 5 00 0 0o 7 0 a? 5 0日 波长 图6 _ 6 正入射时反射比随波长的变化 结果表明：光学薄膜的反射比的结果和理论结果完全一致，几乎没有误差。 浙江大学硕士学位论文 第七章方棒照明系统的分析 照明系统是光学系统的重要组成部分，在微细光刻设备及微电子器件的缺陷 监测、投影电视系统等许多领域对照明均匀性有着很高的要求。但长期以来，均 匀照明系统的设计很大程度上还依靠反复地实际测试和修改参数，使得设计周期 过长。如何在设计阶段更有效地建模和优化是照明光学系统设计人员正在努力解 决的问题。 一般成像光学系统的功能是在特定面上产生一个与物相似的像。而照明光学 系统的功能是最大限度地将光源发出的光通量传送到被照面上，并产社所需的能 量分布。因此照明系统的设计要求是被照面上的能量分布不依赖于光源的能量分 布变化，即要最大限度地隔离光源和被照面之间的相似性。棒状透镜和复眼透镜 是两种常用的用来隔离光源和被照面之间的能量分布关系、实现均匀照明的方 法。对于投影用的方棒照明系统，j a c o b s o n 假设光源为朗伯体的情况下推导出了 方棒出射端面上中心和角上位置上的照度值和方棒的长度之间的关系【2 6 】。 7 1 方棒的工作原理 椭球- 方棒照明光学系统，因其结构简单、造价低廉、同时又能高效率、高 均匀性地将圆形的光束转化成矩形光束，在投影显示中已经得到了广泛的应用。 方棒照明系统通常和椭球型反光碗及高压放电灯组合使用，光源发光点放置 于椭球反光碗的前焦点上，将方棒的入射端面放于椭球碗的后焦点附近，光源发 出的光线经椭球碗反射后会会聚在方棒的入射端面，不同孔径角的入射光束在棒 内发生不同次数的反射后在出射端面上相互叠加，形成均匀的矩形光斑。 图7 1 方棒照明系统 浙江大学硕士学位论文 由于光源的位置、尺寸和发光分布等参数较多，对其进行确切的公式表达较 为困难；而且随着光源使用时间的推移，发光特性等也会发生变化，因此，光源 的建模和数值分析非常复杂。j a c o b s o n 等提出了一个建模方法：将光源理想化为 均匀的朗伯体，在方棒入射端面士巾。；的范围内光亮度为k ，以外的范围光亮度 为0 ，输入光通量等于对所有入射角范围内的光进行积分。这种建模简化了复杂 的光源模型，能够近似地给出方棒出射端面上的照度均匀性与方棒长度之间的函 数表达式。 入射光线在方棒内经过多次反射到达出射端面，不同反射次数的光可以理解 为实际光源经过方棒侧面多次反射形成的虚光源所发出的光。如下图所示，a 点 发出的光线经b 点反射后到达c 点，就可以看成是从虚光源a 1 点发出的光线直 接入射到c 点，同样，到达d 点的光线像是从a 2 点发出来的。多次反射就有多 个虚拟光源，因此，出射端面的照明可以展开近似成为一个二维光源阵列照明。 a 图7 - 2 虚光源阵列 方棒可以是空心的或实心的，空心方棒需要在其内表面镀上具有高反射率的 膜层，而实心的则是利用光从光密介质入射到光疏介质时发生的全反射特性。可 见光用的方棒可由普通光学玻璃制成，紫外光用的方棒可由石英玻璃制成。改变 方棒端面的形状和尺寸可以用于不同的使用目的，目前，矩形、六角形以及侧面 浙江大学硕士学位论文 带有锥度的方棒已在许多的光学系统中得到应用。考虑到加工的难度，一般采用 矩形方棒。 j a c o b s o n 利用假设的朗伯光源，方棒尺寸( 1 x w x h ) ，用解析的方法推导出了 一个无量纲的参量a ： 心器 ( 7 一1 ) 其中：l 、h 、w 分别为方棒的长、高、宽。此无量纲量( 与方棒的长度相关) 与 方棒出射端面的中心和边缘的照度的关系如下图所示： o1 23 a 图7 - 3a 与出射面中心和边缘照度关系 7 2 设计及模拟计算 近年来投影光刻成像系统获得越来越广泛的应用，大面积液晶彩电的生产以 及精细印刷电路板生产等都开始使用投影光刻的方法取代原来的接近式曝光法。 这对照明系统的均匀性设计提出了比以往更高的要求。 为了研究照明系统的照度均匀性，我们设计了一套小型均匀曝光装置。光源 采用日本p h o e n i xe l e c t r i c 公司生产的s h p 1 6 5 w 超高压汞灯，新灯的电极间距 为l n u n ，内部的工作压力高达2 0 0 大气压。与传统的3 0 大气压的高压汞灯相比， 由于谱线的压力展宽效应是灯的连续光谱成分大大增强，在同等辐照度下，光刻 胶的曝光时间可以缩短到传统高压汞灯的l ，4 。本文用l i g h t t o o l s 软件对包括超 1 9 8 7 8 5 4 3 2 1 o o o o o o o o a o 浙江大学硕上学位论文 高压短弧汞灯、椭球反光碗和石英方棒的组合参数对出射面均匀性的影响进行了 详细研究。 实际测量表明s l i p 1 6 5 灯的发光主要集中在与电极轴的夹角为5 0 0 ( 阴极方 向为起点、o o 到1 2 5 0 ，约7 5 0 的范围内。在软件模拟中，光源设定为半径为o 3 m m ， 长度为l m m 的柱状郎伯体光源，空间发光特性符合余弦分布，发光波长为 3 6 5 n m ，光源的中心定位于坐标原点，也就是椭球反光碗的前焦点处。椭球反光 碗的顶点离原点9 3 8 m m ，后焦点离原点1 2 1 2 2 r a m ，后焦点处的n a 值为o 2 5 。 石英方棒的端面大小为：8 m m