（应用数学专业论文）基于超模糊运算的模糊群的研究.pdf

摘要 基于超模糊运算的模糊群的研究 作者简介：刘婷娟，女，1 9 8 3 年3 月生，师从成都理工大学魏贵民教授，2 0 0 8 年6 月毕业于成都理工大学应用数学专业，获得理学硕士学位。 摘要 自从r o s e n f e l d 【2 1 引入模糊子群的定义以来，关于模糊代数的研究取得了一 系列成果。m o r d e s o n l 4 j 已经出版了这方面的专著。然而，现有的模糊代数的研究 实际上是在经典代数的结构之下研究模糊子代数。例如，先假设( g ，d ) 是一个群， 再在这个框架下来研究模糊子群。因此就有必要定义一种具有“经典”结构的模 糊群。我们知道，一个集合是否构成群，构成一个什么样的群与其二元运算有很 大的关系。m u s t a f a l 5 】首次对这一问题做了讨论，给出了在一种模糊二元运算意 义下的群s m o o t h 群。但s m 0 0 m 群的单位元可以无限，一个元素的逆元也可 以无限，这与经典群相差太远。袁学海教授等【7 。1 0 j 首次利用模糊映射定义了一种 新的模糊二元运算，利用这种运算导出了集合g 中元素间的一种运算( 称之为超 模糊运算) ，进而引进了模糊群，得到了一系列很有价值的成果。孟晗、姚炳学 教授、张宗杰等叫2 1 对这种模糊群进行了拓展，给出了模糊群的模糊同态和模糊 同构等性质。 本文在袁学海教授等研究的成果基础上继续讨论了这种模糊群的相关定义 和性质；提出了交换模糊群、模糊j 下规化子以及模糊中心化子的概念；引入了模 糊群上同余的概念，并分析了模糊群上同余与模糊群上正规子模糊群的关系，得 到了关于正规子模糊群的一些结论，且在此基础上导出了同余模糊群的概念；同 时还讨论了模糊群上同余与模糊群上同态之间的关系等。这些研究丰富了模糊群 这一领域的成果，使模糊代数的深入研究有了一定的理论基础。 关键词：模糊群子模糊群同余正规子模糊群同态 r e s e a r c ho f t h ef u z z yg r o u p b a s e do nu l t r a - f u z z y o p e r a t i o n i n t r o d u c t i o no ft h ea u t h 。r ：l i ut i n 西u a nw a s b o mi nm a r c h ，19 8 3 w h 。s e u t o r w a sp r o f e s s o rw e ig u i m i n s h e 舀l a d u a t e df r 。m 矗。mc h e n g d uu n i v e r s i t y o f t e c h n 。l 。g yi na p p l i e dm a t h e m a t i c s m a j 。ra i l d 、a s g r a n d e dt h em a s t e rd e g r e ei n j u n e ，2 0 0 8 a b s t r a c t s i n c er o s e n f e l d 【2 1h a si n t r o d u c e dt h ed e f i 血i o n “姚可s u b g r o u p ，士u z z y a l g e b t a s r e s e a r c hh a sm a d eas e 出s o fp r o 班s s e s m o r d e s o n l 4 i h a da h e 哪 p u b l i s h e dm o n o g r a p ha b o u tm i sa s p e c t b u tt h ee x i s t i n gi h z z ya l g e b r a f s r e s e a r c nm f a c ti ss t u d i e st h e 如z z yf i l i a lg e n e r a t i o ni 眦b e r u n d e rt h ec l a s s i c a la l g e b r as t r u c 骶 f o re x a m p l e ，t h es u p p o s 幽no f ( g ，p ) i sa 印u p r s t ，m e n g e t sd o 啪i nt h l si r a m e t h e r e s e a r c h 舵z ys u b g r o u p t h e r e f o r e ，i th a st h en e c e s s i t y t od e 鼬o n ek l n dt on 列e c 龇c l a s s i c s ，鲫c 眦0 fn 亿z yg r o u p w el ( i l o w w h e 血e ras e td o e sc s t n 蚁m g r o u p s ，w h a tg r o u pc o n s t i t u t e s t oh v et h ev e f yb i gr e l a t i o n s 砒h1 t s t w ow l a r y o p e r a t i o n s m u 舳1 5 l h a s m a d et h ed i s c u 洳n f o rt h ef i r s tt i m et 0 “sq u e s t l o n 觚d h eh a s 西v e n 皿d e ro n el ( i n do fm z z yb i n 哪o p e r a ：t i o ns i 嘶6 c 觚c eg r o u 旷s m 0 0 钍l g r o u p b u tt l l es m o o t hg r o u p s 眦i te l e m c n tm a y i n f i n i t e a n da ne l e m e n t s1 n v e r s e e l 锄e n tm a ya l s oi n f i 池砸si s 缸f b o m t h ec l a s s i c a lg r o u pp h 舔e p f e s s o ry u 觚 x u e h a ia l l ds oo n l 7 - l 。1 u s e dn l e 缸翰7m a p p i n gt od 娟n eo n ek i n do f 。n e w 批固7 b i n a r yo p e r a t i o nf o r t l l ef i r s tt i 僦u s i n gt h i sk i n d 0 fo p e r a t i o n ，h e d e r i v e do n ek l n do l 渊a t i o nb 咖e e nt h ee 妇n t i nm es e t ( t 0c a l li tu l 滁f i l z 巧0 p 既a t i o n ) j i 她 i n 仰d u c e dn l er l z z yg r o u p o b t a i n e das 商e s 0 fv 哪v a l u a b l ea c h l e v e m e n t s p r o f e s s o r m e n gh 锄，y a 0b i n g ，z h 弧gz o n 西i ea n d s oo 一1 2 1h a sc a 盯i e do nm e d c v e l o p m e n tt 0t h i s k i i l do f 呦g r o u p 脚h a s 咖e n 妇呦黟o u p n 批eo l l l a b s t r a c t m z z yh o m o m o r p h i s ma n dm z z yi s o m o 叩h i s m i nt h i sp 印e rt h er e s e a r c h i n go ft h ep r o p e n i e sr e l a t e dt om z z yg r o u p si sb a s e do n t 1 1 ea c h i e v e m e n tf i o u n d a t i o n w | es t u d i e dm e 劬d 锄e n t a lp r o p e r t i e so ft l l ef 锄i l y 矗j z z yg r o u p sa n dt h e i rs u b - f u z z y g r o u p ；s e c o n d ，w ei n t r o d u c es e v e r a lc o n c e p t ss u c h 鹊c h 锄g e 如z z ) rg r o u p ，f k z yn o 肌a l i z e ，m z z ) ，c e n t r a l i z e ra l l dc o n g m e n c eo na 如z z y g r o u p t h e nw ec h i e n yd i s c u s st h ei n t e r r e l a t i o nb e t w e e nt h en o n n a ls u b f u z z y - g r o u p 锄dc o n g m e n c eo na 如z z yg r o u p ，讯肺t h i sw eo b t a i ns e v e r a l r e s u l t sa b o u tt h ef i o n n e r m o r e o v e r ，、ei n t r o d u c et i l ec o n c e p ta b o u tc o n g m e n t - f u z z ：y - 伊o u pn a t u r a l l y t h en e x t ， w es t u d yt h ei m e r r e l a t i o nb e t w e e nc o n g m e n c eo na 如z z y 掣o u pa i l dh o m o m o 印1 1 i s m o na 如z z yg r o u p a nt h ea _ b o v et 嬲k sc r e a t ean e wf i e l di nt h ea r e ao ff u z z yg r o u p t l l e o r y ，s i n c ei tc o m p l e t e sap l a t f o mf o rt h en e x tr e s e a r c h i n g k e y w o r d s ：f u z z ) rg r o u p ；s u b 一矗l z z y g r o u p ；c o n 印j e n c e ；n o 姗a ls u b 一矗您巧- g r o u p ； h o m o m o r p h i s m i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛壑理王太堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 一9 。k c 沙以年f 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解虞都堡互太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权成都理王太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：确 待 学位论文作者导师签名：妊鏖砺 泐g 年丁 月日 第1 章引言 第1 章引言 1 1 本文研究的背景和意义 现代数学是建立在集合论的基础上。集合论的重要意义就一个侧面看，在与 它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。一组对象确定一组属性，人们 可以通过说明属性来说明概念( 内涵) ，也可以通过指明对象来说明它。符合概 念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。从这个意义上讲， 集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实 的理论系统都有可能纳入集合描述的数学框架。 但是，数学的发展也是阶段性的。经典集合论只能把自己的表现力限制在那 些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构 成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。对于那些外延不分 明的概念和事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴。 在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中， 获得显著效果。但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回 避它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出 现。各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向 把模糊性的数学处理问题推向中心地位。更重要的是，随着电子计算机、控制论、 系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必 须研究和处理模糊性。 我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统， 如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系 统很复杂，它的模糊性也很明显。从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定 性，从而造成判断的不确定性。 在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些 模糊的词句来形容、描述。比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、 远。在人们的工作经验中，往往也有许多模糊的东西。例如，要确定一炉钢 水是否已经炼好，除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外， 还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。因此，除了很早就有涉及误差的计 算数学之外，还需要模糊数学。 人与计算机相比，一般来说，人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处 理模糊现象。但计算机对模糊现象识别能力较差，为了提高计算机识别模糊现象 的能力，就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机 器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象 成都理上人学硕十学位论文 的效率。这样，就需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具，这就推动数学 家深入研究模糊数学。所以，模糊数学的产生是有其科学技术与数学发展的必然 性。 模糊数学理论是四十多年来发展起来的一门新的数学理论，亦是一项新的数 学工具，是继经典数学、统计数学之后的又一新发展。为其做出奠基性贡献的是 美国控制论专家l a z a d e h ，他于1 9 6 5 年在i n f o m a t i o na n dc o n t r o l 杂志上发表 著名论文f u z z ys e t s ，提出模糊集概念，奠定了模糊性理论的基础。 对模糊性的讨论，可以追溯得很早。2 0 世纪的大哲学家罗素( b r u s s e l ) 在 1 9 2 3 年一篇题为含糊性( v a g u e n e s s ) 的论文里专门论述过我们今天称之为“模 糊性”的问题( 严格地说，两者梢有区别) ，并且明确指出：“认为模糊知识必定 是靠不住的，这种看法是大错特错的。”尽管罗素声名显赫，但这篇发表在南半 球哲学杂志的文章并未引起当时学术界对模糊性或含糊性的很大兴趣。这并非是 问题不重要，也不是因为文章写得不深刻，而是“时候未到”。罗素精辟的观点 是超i j 的。长期以来，人们一直把模糊看成贬义词，只对精密与严格充满敬意。 2 0 世纪初期社会的发展，特别是科学技术的发展，还未对模糊性的研究有所要 求。事实上，模糊性理论是电子计算机时代的产物。正是这种十分精密的机器的 发明与广泛应用，使人们更深刻地理解了精密性的局限，促进了人们对其对立面 或者说它的“另一半 模糊性的研究。 扎德在2 0 世纪5 0 年代从事工程控制论的研究，在非线形滤波器的设计方面 取得了一系列重要成果，已被该领域视为经典并广泛引用。6 0 年代初期，扎德 转而研究多目标决策问题，提出了非劣解等重要概念。长期以来，围绕决策、控 制及其有关的一系列重要问题的研究，从应用传统数学方法和现代电子计算机解 决这类问题的成败得失中，使扎德逐步意识到传统数学方法的局限性。他指出： “在人类知识领域里，非模糊概念起主要作用的惟一部门只是古典数学”，“如果 深入研究人类的认识过程，我们将发现人类能运用模糊概念是一个巨大的财富而 不是包袱。这一点，是理解人类智能和机器智能之问深奥区别的关键。”精确的 概念可以用通常的集合来描述。模糊概念应该用相应的模糊集合来描述。扎德抓 住这一点，首先在模糊集的定量描述上取得突破，奠定了模糊性理论及其应用的 基础。 普通的集合只能描述精确的概念，是一种“非此即彼的现象。一个元素对 于集合来说，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，不会再出现第三种可能 性。如“男人”、“红色的皮球”、“黑色的汽车 等集合，每个集合都有其确 定的概念，其外延是确定的，这个相应集合的元素也十分清楚。相反，如果一个 概念的外延边界是不清楚的，那么这个概念的外延便是个模糊集合，构成这个集 合的元素也不清楚了。如“老年人这个概念就有点模糊，如何准确地确定这个 2 第l 章引言 概念的外延就成为问题，5 8 岁的人算不算老人，6 1 岁的某人看起来只有4 0 多岁， 属不属于老人这个集合，这都不是很好确定的。类似的概念还有高个子、很大、 聪明、很小等，而运用模糊集合就可以描述相应的的模糊概念。它可以描述一种 “亦此亦彼 的现象。 扎德教授于1 9 7 5 年所发表的长篇连载论著语言变量的概念及其在近似推 理中的应用( t i l ec o n c e p to fal i n g u i s t i cv 撕a b l e & i t sa p p l i c a t i o nt o a p p r o x i m a t er e a s o n i n g ) ，提出了语言变量的概念并探索了它的含义。模糊语言 的概念是模糊集合理论中最重要的发展之一，语言变量的概念是模糊语言理论的 重要方面。语言概率及其计算、模糊逻辑及近似推理则可以当作语言变量的应用 来处理。人类语言表达主客观模糊性的能力特别引人注目，或许从研究模糊语言 入手就能把握住主客观的模糊性、找出处理这些模糊性的方法。有人预言，这一 理论和方法将对控制理论、人工智能等做出重要贡献。 我国学者对模糊数学的研究始于7 0 年代中期，然而发展甚速，已有了一支 较强的研究队伍，成立了中国模糊集与系统学会，出版了模糊数学杂志。出 版了许多颇有价值的论著，例如，汪培庄教授所著模糊集与随机集落影、模 糊集合论及其应用，张文修教授编著的模糊数学基础等等。我国学者把模 糊数学理论应用于气象预报，提高了预报质量，在1 9 8 0 年召丌的国际气象学术 讨论会上，我国所提交论文得到会议的好评。在中医医疗诊断方面，还制成了关 幼波教授治疗肝病计算机诊断程序。实践表明，该计算机的医疗效果良好，为 继承、发扬祖国医学作出了贡献。这一经验也被推广应用于治疗急腹症等方面。 我国学者应用模糊数学理论，在地质探矿、生态环境、企业管理、生物学、心理 学等领域，也都分别取得了较好的应用成果。 模糊数学诞生至今已有四十多年历史，其发展速度也是相当快的。模糊集合 一提出，“模糊 观念也渗透到许多数学分支。模糊数学的研究可分三个方面： 一是研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、统计数学的关系；二是研究模糊 语言和模糊逻辑；三是研究模糊数学的应用。在模糊数学的研究中，目前已有模 糊拓扑学、模糊群论、模糊凸论、模糊概率、模糊环论等分支。虽然模糊数学是 一门新兴学科，但它已初步应用于自动控制、模式识别、系统理论、信系检索、 社会科学、心理学、医学和生物学等方面。将来还可能出现模糊逻辑电路、模糊 硬件、模糊软件和模糊固件，出现能和人用自然语言对话、更接近于人的智能的 新的一类计算机。所以，模糊数学将越来越显示出它的巨大生命力。 模糊代数学是模糊数学的重要分支。迄今为止，模糊代数学已经取得了一大 批研究成果。然而，模糊代数学的研究始终未能脱离经典代数系统的结构。袁学 海教授首次利用模糊映射定义了模糊运算，进而引入了一种新的模糊群，得到了 一系列很有价值的研究成果。由于模糊群具有和群一样经典的结构，因此，这些研 成都理l ：人学硕士学位论文 究会使模糊代数的深入研究有了充分的理论基础。 1 2 国内外的研究历史和现状 自从r o s e n f e l d 于1 9 9 7 年引入模糊子群的定义以来，关于模糊代数的研究取 得了一系列成果( 文献 2 ) 。m o r d e s o n 在1 9 9 8 年已经出版了这方面的专著。然 而，现有的模糊代数的研究实际上是在经典代数的结构之下，研究模糊子代数( 如 模糊子群，模糊子环等) 。真正像模糊拓扑那样具有“经典 结构的定义还没有 给出。为此就有必要定义一种具有“经典”结构的模糊群。在以往的研究中，往 往是假设( g ，d ) 是一个群，在这个框架下来研究模糊子群。我们都知道，一个集 合是否构成群，构成一个什么样的群与其二元运算有很大的关系。那么能否在集 合g 中给出“模糊”二元运算，使g 成为一个在模糊运算意义下的群呢? 2 0 0 1 年m u s t a f a 首次对这一问题做了讨论，给出了在一种模糊二元运算意义下的群 s m o o t h 群。但s m o o t h 群的单位元可以无限，一个元素的逆元也可以无限。 这给研究问题带来不便，也与经典群相差太远。 所以，2 0 0 2 年辽宁师范大学的袁学海教授又利用文献 3 中环的模糊同态的 定义给出一种新的模糊二元运算，利用这种运算导出集合g 中元素间的一种运算 ( 我们仍称之为模糊二元运算) ，然后给出了模糊群的定义( 文献 7 ) 。这种模糊 群不同于r o s e n f e l d 的模糊子群，比s m o o t h 群具有更好的性质。 同年，林琳在文献 7 的基础上继续研究，给出了模糊群的子模糊群和正规 子群的定义，讨论了子模糊群和和f 规子群的一些性质，并证明了子模糊群的交 为子模糊群，子模糊群与正规子模糊群的“积 为子模糊群( 文献 8 ) 。 紧接着，袁学海教授又在模糊群之间引入了同态的概念，证明了子模糊群的 同态象仍为子模糊群，子模糊群( f 规子模糊群) 的原象仍为子模糊群( 正规子模 糊群) ，并给出了模糊群的同态基本定理( 文献 1 0 ) 。 2 0 0 4 年，聊城大学数学科学学院的孟晗副教授又引进了模糊群的模糊同态 概念，给出模糊同态下子模糊群( j 下规子模糊群) 间的对应关系，建立模糊群的模 糊同念基本定理，同时讨论了模糊群的若干性质，得到了一系列等价条件( 文献 1 1 ) 。 2 0 0 6 年，聊城大学的张宗杰利用一种新的模糊算子与模糊同态基本定理， 进一步讨论了模糊群的模糊同构，建立了模糊同构定理( 文献 1 2 ) 。 1 。3 本文的研究内容及主要成果 本文试图对模糊群的一些性质进行探讨。因为这种模糊群是在模糊二元运算 4 第1 章引言 意义下的群，虽然目前群论的研究成果已经比较成熟，但是由于模糊群和群的运 算法则( 即结合法) 不同，所以群论的很大一部分结论不能够简单地推广到模糊 群上；并且由于结合法不同，研究群论所用的重要的手法一般都不能够用于对模 糊群的研究，所以对这种模糊群的研究是比较困难的。在相关文献资料较少的情 况下，本文在i j 人的成果基础上，对模糊群进行了初等的研究，讨论了模糊群、 子模糊群的一些相关定义和性质。本文的主要创新点在于引入了模糊群上同余的 概念，并对它进行研究，得到了模糊群上的等价关系是模糊群上同余的一个充分 必要条件，并且分析了模糊群上同余与模糊群上正规子模糊群的关系，得到了关 于正规子模糊群的一些结论，且在此基础上导出了同余模糊群的概念；此外，还 讨论了模糊群上同余与模糊群上同态之间的关系，从而得到了关于模糊群的一些 结论。 成都理jr ：大学硕+ 学位论文 2 1 符号和术语 第2 章预备知识 为了叙述的方便和统一，特将文中所用的一些符号作如下说明： 上 表示一个非平凡的完备格，其最 大元记为l 秒 表示属于【0 ，1 ) 的一个固定的数 g 表示一个模糊群 r 表示g 上的一个模糊二元运算 日g表示h 是g 的一个子模糊群 hqg 表示是g 的一个正规子模糊群 c h a rg 表示是g 的特征子群 g 日表示g 关于正规子模糊群好的商 模糊群 丹 z ( g ) 表示g 的模糊中心 丹 g ( h ) 表示g 中h 的模糊正规化子 丹 c g ( h ) 表示g 中的模糊中心化子 k 髓表示厂的核 2 2 模糊群的相关定义 定义2 2 1 【3 l 令矽三一 1 ) ，x 与】，为两个非空集合，r 为x 到】，的三一模 糊关系。若 ( 1 ) v x x ，砂】，使r ( x ，y ) 9 ； ( 2 ) 协x ，v ) ，l ，y 2 】，r ( x ，少1 ) p 且r ( x ，y 2 ) pjy i = y 2 ， 则称尺为x 到】，的一个秒模糊映射，在不致引起混淆时也简称模糊映射，记为 r ：x _ 】，。若模糊映射尺为满足：】，孤x ，使r ( 工，y ) 秒，则称r 为 6 第2 章预备知识 模糊满射：若模糊映射r 满足：比l ，x 2 x ，砂】，凡( _ ，y ) 9 且 r ：，y ) pj 而= x 2 ，则称尺为模糊单射；若r 既为模糊满射又为模糊单射， 则称r 为模糊双射。 定义2 2 2 1 7 1设g 为一个非空集合，9 【0 ，1 ) 为一个固定的数，尺为g g 到g 上的一个模糊关系，若映射r ：g g g 专【0 ，1 ) 满足： ( 1 ) v 口，6 g ，j c g ，使r ( 口，6 ，c ) 目； ( 2 ) v 口，6 g ， v c l ，c 2 g ，尺( 口，6 ，c i ) 口且尺( 口，6 ，c 2 ) 口= ，c i = c 2 ， 则称月为g 上的一个模糊二元运算。 定义2 2 3 1 7 1令g 为一个非空集合，g g 到g 的一个模糊映射尺称为g 上的一个模糊二元运算。 定义2 2 4 l 1设g 为一个非空集合，若r 为g 上的一个模糊二元运算， 则r 可以诱导出g 上的一个新的模糊运算“o ”： o ：g g f ( g ) ，( 口0 6 ) ( x ) = 尺( 口，6 ，x ) ，v 口，6 ，x g 此时我们称“o 为超模糊运算。 定义2 2 5 1 7 1设g 为一个非空集合，尺为g 上的一个模糊二元运算，“。” 为r 诱导的超模糊运算，若： ( 1 ) ( ( 口。6 ) 。c ) ( z 。) p 且( 口。( 6 。c ) ) ( z 2 ) pj 乙= z 2 ，则称“。满足模糊 7 结合律； ( 2 ) 若j p g ，使( p 。以) ( 口) 9 且( 口。e ) ( 口) 秒，v 口g ，则称p 为g 的一 个单位元； ( 3 ) v 口g ，j 6 g ，使( 口。6 ) ( p ) p 且( 6 。口) ( g ) 秒，则称6 为口的一个逆 元； 若“o ”满足( 1 ) 一( 3 ) ，则称g 为一个模糊群，记作( g ，。，f ( g ) ) 或( g ，。) ，有 时也记为( g ，尺) 。 定义2 2 6 【7 1 设( g ，。) 满足定义2 2 5 中的( 1 ) ，若： 7 成都理jf ：大学硕士学位论文 ( 2 7 ) 了口，g ，使( p ，。口) ( 口) 秒，v 口g ，则称p ，为g 的左单位元： ( 3 ) v 口g ，| 6 g ，使( 6 。口) ( p ，) 臼，则称6 为口的左逆元； 若“o ”满足( 1 ) ，( 2 ) 和( 3 ) ，则称g 为一个模糊群。 定义2 2 7 7 1 设( g ，。) 满足定义2 2 5 中的( 1 ) ，若： ( 2 。) 3 口，g ，使( 口。p ，) ( 口) 口，v 口g ，则称e ，为g 的右单位元； ( 3 。) v a g ，了6 g ，使 。6 ) ( e ，) 口，则称6 为口的右逆元； 若( 1 ) ，( 2 ”) ，( 3 ”) 成立，则称g 为一个模糊群。 定义2 2 8 7 1 设( g ，。) 满足定义2 2 5 中的( 1 ) ，若v 口，6 g ，致，j ，g ， 使( 口。x ) ( 6 ) 口，( j ，。口) ( 6 ) 秒，则称g 为一个模糊群。 定义2 2 9 【1 2 1设彳，召是模糊群g 的两个非空子集，规定 彳曰= x glr ( 口，6 ，x ) 秒，v 口彳，v 6 b ，彳一= x gl 尺( x ，口，g ) 秒，v 口彳) 并 分别称彳曰为彳与召的目模糊积，么- 1 为彳的仔模糊逆，在不引起混乱时也分别称 为模糊积，模糊逆。 定义2 2 1 0 1 2 1 设么，刀是模糊群g 的两个非空子集，v 日彳，j 6 l ，6 2 b ， 使得r ( 轨，6 ：，口) 秒，则称彳秒模糊属于b ，在不引起混乱时也简称为彳模糊属于 日冉岳冉 曰，记作彳c 口。类似地，可定义bc 爿，若彳cb 且bc 彳，则称彳与b 口模糊 毋 相等，记作彳= 曰( 在不引起混乱时，也简称为彳与b 模糊相等) 。 定义2 2 一”1 8 1设g 为一个模糊群，日为g 的一个非空子集，若 ( 1 ) v 口，6 日， v c g ，( 口o6 ) ( c ) p = ，c 胃； ( 2 ) ( ( 口。6 ) 。c ) ( z 1 ) 9 且( 口。( 6 。c ) ) ( z 2 ) 秒= ，z 1 = z 2 ； ( 3 ) 了p 日日，使( p h 。口) ( 口) 乡，( 口。p 好) ( 口) 秒， v 口日； ( 4 ) v 口何，了6 日，( 口。6 ) ( p ) 臼且( 6 。口) ( p ) 秒， 则称日为g 的一个子模糊群，记作h g 。 定义2 2 1 2 【8 1设h 为模糊群g 的一个子模糊群，若 r 第2 章预备知识 v 口，c g ， v 6 日， ( 口o ( 6o 口叫) ) ( c ) 口= ，c 日， 则称日为g 的一个正规子模糊群，记作日qg 。 定义2 2 1 3 1 8 1设h 为g 的子模糊群，令 ( a 日) ( z ) = y 尺( 口，z ，z ) ；( 胁) ( z ) = y ，尺( x ，口，z ) x t hx n 称胡为h 在口处的左模糊陪集，协为h 在口处的右模糊陪集。 定义2 2 1 4 1 9 1称g 为g 关于h 的商模糊群。 定义2 2 15 呻1 设( g 。，蜀) ，( g 2 ，尺：) 为两个模糊群，厂：g l g 2 为一个映 射，如果当尺。( 口，6 ，c ) 口时有尺：( 厂( 口) ，厂( 6 ) ，厂( c ) ) p ，则称厂为一个同态。若 为单( 满) 射，则称厂为单一( 满) 同态；若厂为双射，则称厂为同构。 定义2 2 16 1 1 】令口工一 1 ) ，厂：g 专g 为一个目模糊映射，若 v x l ，x 2 ，x g ，b 少l ，j ，2 ，j ，g ，有尺i ( x l ，x 2 ，x ) b ，r 2 ( y l ，j ，2 ，y ) 岛， 厂( x l ，y 1 ) 口，厂( x 2 ，j ，2 ) pj 厂( x ，j ，) p ，则称厂为一个由g 到g 的秒模糊同 态，简称模糊同态。当厂为模糊满射时，称厂为模糊满同态；当厂为模糊双射时， 称厂为模糊满同构。若存在g 到g 的一个模糊满同态，则称g 与g 模糊同态， 并记为g g ；若存在g 到g7 的一个模糊满同构，则称g 与g 模糊同构，并记 为g 兰g 。 定义2 2 17 【1 2 】设厂：g 专g 为一个模糊同态，日g ，日g ，规定 厂( 日) = y g i 厂( x ，y ) 秒，v x g ) ，厂- 1 ( ) = x gi 厂( x ，j ，) 秒，b 夕g 7 ) 。 2 3 相关定理、引理及命题 定理2 3 1 【1 1 1设“o 为g 的一个超模糊运算，则v 口，6 ，c g ，存在唯一 的s g 和唯一的r g ，使( ( 口。6 ) 。c ) ( s ) 秒，( 口。( 6 。c ) ) ( f ) 秒。 定理2 3 2 f 7 1设g 为非空集合，r 为g 上的一个模糊二元运算，则r 可导 出g 的元素间的模糊运算：v 口，6 ，c g ，有 9 成都理ji ：人学硕十学位论文 ( 口0 6 ) ( c ) = r ( 口，6 ，c ) ； ( ( 口。6 ) 。c ) ( z ) 2 ：p ( 口，6 ，x ) r ( x ，c ，z ) ) ，v z g ； ( 口。( 6 。c ) ) ( z ) 2 品( r ( 6 ，c ，z ) 八尺( 口，x ，z ) ) ，觇g 。 命题2 3 3 f 7 1设( g ，。，f ( g ) ) 为一个模糊群，则 ( 1 ) g 的单位元p 是唯一的： ( 2 ) ( 口。口) ( 口) 9 ：，口= p ； ( 3 ) ( 口。6 ) ( d ) 臼且( 口。c ) ( d ) 秒j6 = c ； ( 4 ) ( 6 。以) ( d ) 秒且( c 。口) ( d ) 口j6 = c ； ( 5 ) v a g ，a 的逆元是唯一的( 将口的逆元记作a 一1 ) ； ( 6 ) ( 口一1 ) = 口； ( 7 ) ( 6 1 。口一) ( c ) p 且( 口。6 ) ( d ) 秒jc = d 。 引理2 - 3 4 【9 1设g 为一个模糊群，尺( 口，6 ，c ) 9 ，则尺( c ，6 ，口) 口， r ( 口一，c ，6 ) 秒。 定理2 3 5 【1 1 1设g 为一个模糊群，v 口，6 ，c g ，则有 尺( 口，6 ，c ) 9jr ( c ，6 ，口) 口，r ( 口，c ，6 ) 9 ，r ( c ，口，6 1 ) p ，r ( 6 ，c ，口一1 ) p 。 定理2 3 6 【7 1 定义2 2 5 与定义2 2 6 、定义2 2 7 以及定义2 2 8 是等价的。 定理2 3 7 【1 1 1 设g 为一个模糊群，口，6 ，c ，d g ，且满足( 00 6 ) 。c ) ( d ) 秒， 则有： ( 1 ) ( 口。6 ) ( x ) 秒c ，( x o c ) ( d ) 口； ( 2 ) ( 6 o c ) ( 少) 秒今( 口。y ) ( d ) 口。 定理2 3 8 1 8 1设日为模糊群g 的子模糊群，则 ( 1 ) 日的单位元p 等于g 的单位元p ；( 2 ) 口日在日中的逆元6 等于口 在g 中的逆元口。 第2 章预备知识 定理2 3 9 1 3 1h 为模糊群g 的子模糊群 ( 1 ) v 口，6 日， v c g ， ( 口。6 ) ( c ) 秒= ，c ； ( 2 ) 口日= 口一1 日。 定理2 3 10 吲日为模糊群g 的一个子模糊群( v 口，6 ， ( 口。6 一) ( c ) pjc 日) 。 命题2 3 一”【1 2 1模糊群g 的非空子集h 成为子模糊群的充分必要条件是： 口 h h = hah = ho 定理2 3 1 2 1 1 2 1 日为模糊群g 的一个非空子集，成为g 的一个子模糊群 一 的充分必要条件是：删= 日。 定理2 3 1 3 嗍 h ，为模糊群g 的子模糊群jn 只也是g 的子模糊群。 定理2 3 1 4 【8 1设g 为一个模糊群， c = xix g ，v 口，c g ，( xo 口) ( c ) 伊亡，( 口ox ) ( c ) 秒) ， 则称c 为g 的一个子模糊群。 定理2 3 151 8 1设g 是一个模糊群， v 口，6 ，c ，d g ， 均有： ( ( a o 6 ) oc ) ( d ) 9c ( 口o ( 6 o c ) ) ( d ) 口。 证明显然，可由定义2 。2 5 中的( 1 ) 得到。 定理2 3 1 6 l 1设h 为g 的子模糊群，则日为g 的正规子模糊群的充分必 要条件是：v 口g ，v 办日，j 办日，使( 口。( 。口一1 ) ) ( 办) 口。 定理2 3 17 1 1 1 设日为g 的正规子模糊群，口，6 g ，则存在日，使 r ( 口，6 ，啊) 伊的充分必要条件是：j 2 日，使尺( 6 ，口，吃) 乡。 定理2 3 1 8 【8 】 设厅为模糊群g 的子模糊群，则为g 的正规子模糊群的 充要条件是：v 口，z g ，( 胡) ( z ) 口营( 胁) ( z ) 秒。 定理2 3 19 8 1 设q ，日2 为g 的j f 规子模糊群，则h n 日2 也是g 的正规 子模糊群。 成都理工大学硕士学位论文 定理2 3 2 0 f 8 1 设日为g 的子模糊群，为g 的正规子模糊群，令 删= cj 口h ，6 ，使r ( 口，6 ，c ) 秒) ，则删也是g 的子模糊群。 定理2 3 2 1 9 】 设日为g 的正规子模糊群，令= a 日i 口g ) ，在g 中定 义：胡6 日j 厅日，使尺( 口，6 ，办) 口，则为上的一个等价关系。 定理2 3 2 2 9 1 口l 口2 铮( ( q 日) ( z ) 目( 口2 ) ( z ) 矽) 。 定理2 3 2 3 设日为g 的正规子模糊群，口l ，口2 ，6 l ，6 2 ，c l ，c 2 g ，且满足 尺( 口l ，6 l ，q ) p ，r ( 口2 ，6 2 ，c 2 ) 秒，若口l h 口2 日，轨日6 2 日，则c l h c 2 日。 定理2 3 2 4 9 1豆为g 日上的一个模糊二元运算( 称瓦为r 导出的商运 算) 。 定理2 3 2 5 9 1g 日在夏之下做成一个模糊群，即 ( 1 ) ( ( 棚】。 6 胃】) 。【羽】) ( 掰】) 口且( 【棚】o ( 【6 h 】。【以，】) ) ( 【w 日】) 秒，则 有【柑】- 【w 】； ( 2 ) ( 【胡】。【讲 ) ( 胡】) p ，( 旧】3 【胡】) ( 【胡】) 矽； ( 3 ) ( 【胡】。【口一日】) ( 【讲】) 秒，( 陋- 1 h 】。【口h 】) ( 【e 日】) p 。 定理2 3 2 6 【1设日为模糊群g 的正规子模糊群，令 【胡】- 口曰l 口曰胡，口g ) ，则g 日关于模糊运算夏做成一个模糊群( 称为 商模糊群 )。 其中 ， g h = 【胡】i 口g ) ， r ( 【棚】料】，【胡】) = v 尺( 口，”c ) j 口w 刎，6 w 6 日，c 旧胡) ，v 口，6 ，c g 。 命题2 3 2 7 1 0 1 设( g ，r ) 为一个模糊群，日为g 的正规子模糊群，( g 日，瓦) 为g 关于日的商模糊群，则妒：g 专g 日( 即口_ 【棚】) 是一个同态，称矽为 自然同态。 命题2 3 2 8 1 0 1 设厂：g ijg 2 为同态，则有： ( 1 ) 厂( e i ) = p 2 ； ( 2 ) 厂 - 1 ) = ( 厂( 口) ) 一。 1 2 第2 章预备知识 定理2 3 2 9 设厂：g l 专g 2 为同态，则有： ( 1 ) 若h 。为g 1 的子模糊群，则厂( 日。) 为g ：的子模糊群， ( 2 ) 若h ：为g ：的子模糊群，则厂一( 日：) 为g 。的子模糊群， ( 3 ) 若：为g ：的正规子模糊群，则厂- 1 ( ：) 为g 。的正规子模糊群， ( 4 ) k e r = x g li 厂( x ) = p 2 ) 为g 。的正规子模糊群， ( 5 ) 厂为单一同态当且仅当k e r 厂= 弛) 。 定理2 3 3 0 1 0 1 ( 同态基本定理) 设厂：g l g 2 为满同态，则g 1 k e r 厂与g 2 同构。 定理2 3 3 1l 1 设：g 专g 为一个模糊同态，则有： ( 1 ) 厂( p ，p ) p ， ( 2 ) 厂( x ，y ) 秒j 厂( x ，y 一1 ) 9 ， ( 3 ) r l ( x l ，x 2 ，x ) qjr 2 ( y ，y ，：，y ，) 岛。 定理2 3 3 2 【1 1 1 设：gjg 为一个模糊同态，h 为g 的子模糊群，则 厂( 日) 是g7 的子模糊群。其中厂( 日) = y g i 孤日，厂( x ，j ，) 秒) 。 定理2 3 3 3 l 1 设：g g7 为一个模糊满同态，日为g 的正规子模糊群， 则厂( 日) 是g