（信号与信息处理专业论文）低信噪比条件下的波束形成.pdf

摘要 随机共振是一种非线性现象，强噪声干扰下的信号作用于某一类非线性系 统，信号和噪声在非线性系统的协同作用下，会发生噪声能量向信号能量的转移， 产生类似力学中人们熟知的共振输出，从而提高输出信噪比，达到识别弱信号的 目的。与各种抑噪方法相比，随机共振有着独特之处，它不是消除噪声而是充分 利用噪声来增强弱信号。因此随机共振技术也可以应用于微弱信号的方位估计， 可以提高在低信噪比的条件下，微弱信号的方位估计能力。 本文首先对传统的波束形成方法，以及盲波束形成算法进行了简单的介绍， 然后介绍了随机共振技术的理论研究。并利用小参数信号的模拟实验，验证了绝 热近似条件下，随机共振技术的可行性。重点介绍了如何利用二次采样频率的方 法解决大参数信号的随机共振的问题。并且用模拟实验进行了验证。还探讨了大 参数信号的时候随机共振系统的特性。最后利用二次采样频率的方法对两组的海 试数据进行了处理。验证了利用随机共振技术能够提高微弱信号的方位估计能 力。 本文分为四章： 第一章简单介绍了阵列信号处理的相关概念，以及传统波束形成算法和盲波 束形成算法。 第二章重点介绍了绝热近似条件下的，随机共振技术的理论分析，以及如何 利用二次采样频率法实现大参数信号的随机共振。并且利用模拟实验进行了验 证。 第三章利用模拟数据分析了大参数信号随机共振的系统特性。 第四章利用随机共振技术对两组海试数据进行了处理，并分别利用传统波束 形成算法和盲波束形成算法验证了利用随机共振技术可以提高微弱信号的目标 方位估计能力。 关键词：随机共振二次采样频率波束形成信噪比 a b s t r a c t n 蟛s t o c h a s f i cr e s o n a n c e ( s r ) i san o n - l i n e 钲p h e n o m e n o n i tt a k e st h a tt h e e n e r g yo fn o i s ew i l lb et r a n s f e r r e di n t ot h ee n e r g yo fs i g n a lb yt h er e s p o n d e do ft h e s t r o n gn o i s ea n dt h es i g i l a li nn o n - l i n e a rs y s t e m t h e r e f o r e ，i tc a ni d e n t i f yt h ew e a k s i g n a lw i t ht h ei n c r e a s i n gt h es n ro ft h eo u t p u ts i g n a l c o m p a r e dw i t ht h eo t h e r m e t h o d so fr e s t r a i n i n gt h en o i s e ，t h es ri su s e do ft h en o i s eb u tn o tr e m o v e di t t h e m e t h o do f s rc a l lb ea p p l i c a b l et oe s t i m a t et h ed i r e c t i o no f a r r i v a l ( d o a ) o f t h ew e a k s i g n a l i nf i r s t ，t h ep a p e rs i m p l ye x p l a i n e dt h et r a d i t i o n a lb e a m f o r m i n ga r i t h m e t i ca n d b l i n db e a m f o r m i n ga r i t h m e t i c i ns e c o n dp a p e re x p l m n e dt h et h e o r yo fs t o c h a s t i c r e s o n a n c ea n dv a l i d a t e di tb ys i m u l a t i n gt h es m a l lp a r a m e t e rs i g n a l o ne m p h a s i s ，t h e p a p e ri n t r o d u c e dh o wt os i m u l a t et h ep h e n o m e n o no ft h es rb yt w i c es a m p l i n g s t o c h a s t i cr e s o n a l 3 c c ( t s s r ) i nl a s t ，t h ep a p e rd e a l e dw i t ht h et w ou n d e r w a t e rt r i a l d a t ab yt s s ra n di tw a sa p p l i c a b l et oe s t i m a t et h eb e a r i n g so f w e a ks i g n a l s f n 把p a p e ri n c l u d e sf o u rc h a p t e r sa r r a n g e da sf o l l o w s ： c h a p t e r l ：g i v e dab r i e fi n t r o d u c t i o no fi n t e r r e l a t e dc o n c e p t i o no fa r r a ys i g n a l p r o c e s s i n ga n dc o n u n o n - u s c da l g o r i t h m s o ft r a d i t i o n a lb e a m f o r m i n ga n db l i n d b e a m f o r m i n g c h a p t e r 2 ：e m p h a s i z e di n t r o d u c e dt h et h e o r yo fs ra n dt h et w i c es a m p l i n g s t o c h a s d cr e s o n a n c e c h a p t e r 3 ： s i m u l a t e dt h ep h e n o m e n o no fs ra n da n a l y s e st h ec h a r a c t e r i s t i co f s rs y s t e m c h a p t e r 4a p p l i e ds rb a s e do nt w i c es a m p l i n gs t o c h a s t i cr e s o n a n c et ot h e u n d e r w a t e rt r i a ld a t aa n dp r o v e dt h ea f f e c t i v i t yo ft h ed i r e c t i o no fa r r i v a lo ft h ew e a k s i g n a l k e y w o r d s ：b e a m f o r m i n g s t o c h a s t i cr e a o r i a n c e t w i c e s a m p l i n gf r e q u e n c y s i g n a ln o i s er a a i o ( s n r ) 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所星交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我 所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件和 电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内 誉相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：聋垄墨导师躲盟日期m 邪 第一章阵列信号处理和波束形成的基本概念和原理 1 1 阵列信号处理概述 阵列信号处理的发展史最早可以追溯到4 0 年代的自适应天线组合技术，它 使用锁相环进行天线跟踪。阵列信号处理的最重要开端是由h o w e l l s 于1 9 6 5 年 实现的，当时他提出了自适应陷波的旁瓣对消器【1 】。1 9 7 6 年，a p p l e b a u m 发展 了使信干噪比( s i n r ) 最大化的反馈控制算法【2 】。另一个显著的进展是w i d r o w 于1 9 6 7 年提出的最小均方( l m s ) 自适应算法【3 】。其他几个里程碑式的工作是 c a p o n 于1 9 6 9 年提出的恒定增益指向最小方差波束形成器 4 1 ，s c h m i d t 于1 9 7 9 年提出的多重信号分类( m u s i c ) 方法【5 】，r o y 等人1 9 8 6 年发展的估计信号参 数的旋转不变技术( e s p r i t ) 【6 1 。 近2 0 年来，阵列信号处理作为信号处理的一个重要分支，在通信，雷达， 声呐，地震勘探，射电天文等领域获得了广泛应用和迅速发展。阵列信号处理的 最重要应用包括： 1 信( 号) 源定位确定阵列到信源的仰角和方位角，甚至距离； 2 信源分离确定各个信源发射的信号波形。各个信源从不周方向到达 阵列，这一事实使得这些信号波形得以分离，即使它们在时域和频域是叠加的； 3 信道估计确定信源和阵列之间的传输信道的参数( 多径参数) 。 阵列信号处理的主要研究内容包括： 1 波束形成技术使阵列方向图的主瓣指向所需的方向； 2 零点形成技术使天线的零点对准干扰方向； 3 空间谱估计对信号空间波达方向的分布进行超分辨估计。 1 2 阵列信号处理中的基本概念 1 2 1 阵列的模型和一些基本术语【7 】 阵列的模型：设在空间有m 个阵元( 传感器) 组成阵列，将阵元从l 到m 第1 页共5 8 页 编号，并以阵元1 ( 也可选择其他阵元) 作为基准或者参考点。图1 一l 是该阵 列接收空间信号的示意图。 基准点 x 圈1 1 阵兀接收信号与位置的关系 设各阵元无方向性( 即全向) ，相对于基准点的位置向量分别为托( i _ l ， m ；y 。- - o ) 。若基准点处的接收信号为s ( t ) e 埘，则各阵元上的接收信号分别为 s ；o ) f f i s o 三一口廊p d ( 罅一k ) 1 ( 1 1 ) 在通信阵列里，信号的频带b 比载波值国小得多，所以s ( o 的变化相对缓慢， 延时广口百1 ，故有s o - ! c v ：r 口) * s ( t ) ，即信号包络在各阵元上的差异可以忽略 不计，称为窄带信号。 此外，阵列信号总是变换到基带在进行处理，因而可将阵列信号用向量形式 捌麓辫篡墨叩 上式中的向量部分称为方向向量，因为当波长和阵列的几何结构确定时。该 向量只与到达波的空间角向量口有关。方向向量记作国。它与基准点的位置无 关。 实际使用中的阵列结构要求方向向量“口) 必须与空间角向量口一一对应，不 能出现模糊现象。当有多个( 例如p 个) 信源时，到达波的方向向量可分别用“岛) ， a ( 岛) ，岛) 表示。这p 个方向向量组成的矩阵a = q ) ，a ( 纬) 第2 页共5 3 页 称为阵列的方向矩阵或者响应矩阵，它表示所有信源的方向。 改变空间角护，使方向向量力在m 维空间内扫描，所形成的曲面成为阵 列流形。 阵列流形常用符号a 表示，即有a = 口) 1 0 ) 式中o = 【0 , 2 7 r ) 是波达方向 p 所有可能取值的集合。因此，阵列流形a 是阵列方向向量( 或阵列响应向量) 的集合。阵列流形a 包含了阵列几何结构，阵元模式，阵元间的耦合。来自支承 结构的散射以及附近目标等的影响。阵列流形a 是频率相关的，在工作频带内需 要在多个点校正，它代表了相对的空间结构，反映了空间波前的信息。阵列流形 a 的知识有助于方向向量瞑) 的确定。 1 2 2 等距线阵及其阵列响应【8 】 等距线阵如图1 2 所示，其m 个阵元等距离排列成一直线，阵元间距为d 。 假定一信源( 移动台) 位予远场，即其信号到达各阵元的波前为平面波 5 43 h 台 图l 一2 等距线阵的几何结构 到达波的空间角应在三维空间表示，为便于直观的说明，这里用二维平面来 讨论，其方向角称为波达方向( d o a ：d i r e c t i o no fa r r i v a l ) ，定义为与阵列法线 的夹角口。 对于单个信源来说，如图l 一2 所示，当信源方向改变时，阵列输出将随之 变化，阵列输出为各阵元信号的加权和： y ( 1 ) = 兰s ( t ) c o _ e 每l 肺口y ( t ) = 盲一一 ( 1 2 ) 这里未考虑噪声。若将信号在时间上取离散值，并写成向量形式，则得 第3 页共5 8 页 y ( n ) = s ( n ) 国“a ( 口产s ( n ) g ( 力 ( 1 3 ) 式中，o j = o j ，扛) m 】t 称为权向量；g ( 口产“a ( 护) 称为阵列的方向响应，也称 方向系数或波束图。 对信号的时间采样是在各阵元上同时进行的，每次采样称为一次快拍。式( 1 3 ) 表示的是第n 次快拍。由于信号满足窄带假设，各阵元的包络相同，所以阵列输 出的信号波形也与各阵元的相同，而与权向量无关。权向量的作用是改变输出的 复振幅( 包括振幅值和相位值) ，它是目的函数，即g ( p 户国“a ( ，故称为阵列的 方向响应。 1 3 阵列信号处理的统计模型 9 仍以平面空间的等距线阵为例，设阵元数为m ，阵元间距为d ，共有p 个信 源，其中m p a 设波达方向为b ，岛，并以阵列的第一个阵元作为基准， 各信号源在基准点的复包络分别为s 。( t ) ，s r ( t ) ，则在第m 个阵元上第k 次 快拍的采样值为 x 。咿p 。；( k ) e 弓( m _ 1 ) d s h i 枷m ( 1 4 ) 式中n 。表示第m 个阵元上的噪声。 将各阵元上第k 次快拍的采样写成向量形式 x 取黔蜘式中a = 【b ) ，a ( 岛) 】 a ( 最m 。哼m ，c 专血8 】t s ) = 【s l ( k ) ，s ，( 1 ( ) 】 n 啦) = i n l o 。，n m 蚴 阵列可以获取许多快拍的观测数据，为了充分利用这些数据以提高检测可靠 性和参数估计的精度，可采用积累的办法，但用数据直接积累是不行的，因为s o 【) 随k 变化，且其初相通常为均匀分布，一阶统计量( 均值) 为零。但它的二阶统 第4 页共5 8 页 计量由于可消去s 的随机初相。所以可反映信号向量的特征。 阵列向量的二阶统计量用其外积的统计平均值表示，称之为阵列协方差矩 阵，定义为 r = e x ( k ) x “o c ) )( 1 5 ) 将式( 1 4 ) 代入上式，考虑到s ( k ) 和n 0 ) 是统计独立的，于是可得 r = a e s ( k ) s “ a h + e n n “ = a p a “+ 盯2 i( 1 6 ) 式中，p = e s o c ) s “ 是信源部分的协方差矩阵：由于各阵元的噪声不相关， 且强度相等，故其协方差矩阵为e n ( k ) n ”0 0 ) = 盯2 i 。 容易验证，阵列协方差矩阵满足r h = r 。这说明，阵列协方差矩阵属于 h e r r n i t i a n 矩阵，它的特征值为正值。令特征值为 五九 0 。协方差矩 阵的特征分解可写成 m r = u x u k 五u i u j “ i i i ( 1 7 ) 式中，u = t u , ，u 。】为由特征向量组成的酉矩阵：= d i a g h ， ，厶】为特征 值构成的对角矩阵。 比较式( 1 6 ) 和( 1 7 ) 可知，若将r 的m 个特征值按大小依次排列，则前p 个 与信号有关，其数值大于盯2 ，即 五冬 盯2 ，而从第p + 1 开始的特征值 完全决定于噪声，其数值等于盯2 ，即砧= = 砧= 盯2 。因此，我们可将r 的m 个特征向量分成两部分：一部分是与a ，矗对应的特征向量，它们张成的 空间称为信号子空间；另一部分是与小特征值盯2 对应的特征向量，它们张成的 空间称为噪声予空间，即有 pm r = u 。u ? + u 。u ：= u j u ? + 盯2 u ；u ? i-i呼“ ( 1 8 ) 可知各方向向量( 方向矩阵的各列) 均位于信号子空间里，它们与噪声子空 间正交。 第5 页共5 8 页 如上所述，由于r 的空间可分为相互正交的两部分信号子空间和噪声 子空间，它们正交，所以信号子空间上的投影算子和噪声子空间上的投影算子正 交。 在上面的讨论中，我们假定式( 1 6 ) 中的信源协方差矩阵p ( = e s s h ( k ) ) ) 非奇异。一般情况下，这一条件是满足的。但如果信号群中存在相干信号，就会 发生问题。若有波达方向不同的两个信号，它们是相干的，则两者在基准阵元上 的信号除相差一负常数因子外完全相同。举个例子，如第p 和p + 1 个信号相干， 则5 p 。0 ( 卜c s 。( c 为一负常数) 。在这种情况下，信源协方差矩阵p 显然会发生 秩亏损，其结果是阵列信号协方差矩阵的大特征值数目小于信源数，而不能正确 构成信号子空间。 可以看出，两信号相干，其相关系数等于l ；两信号独立，其相关系数等于 0 。相关系数在0 和1 之间的两个信号称为相关信号，相关信号不造成秩亏损， 但相关系数接近l 时，会使其中一个特征值接近于零，即信源协方差矩阵接近奇 异。 1 4 传统的波束形成 1o 11 】 波束形成的物理意义；阵列的输出经过加权求和后，可以调整到阵列接收的 方向增益聚集在一个方向上，相当于形成了一个“波束”。 波束形成的基本思想：通过将各阵元输出进行加权求和，在一时间内将天线 阵列波束“导向”到一个方向上，对期望信号得到最大输出功率的导向位置即给 出波达方向估计。 1 4 1 数据独立波束形成 1 0 1 1 】 数据独立波束形成，即在独立于阵列接收数据的情况下对权向量进行设计使 阵列响应逼近期望响应。 空间滤波器要求分离出来自空间己知方位( 晶) 的信号，如果是窄带信号，则 波束形成的权向量通常取为阵列响应向量d ( 岛，) ，对相应的阵列信号输出在累 第6 页共5 8 页 加前进行相移。考虑权值向量w 的选取，使得实际的响应r ( 口，) = 矽”d ( o ，国) 逼 近于期望响应白( 日，) 。很多f i r 设计的方法可以借鉴以选择合适的w 值，这里 我们考虑使实际响应和期望响应差值的工2 范数最小的w 的获取。 为便于说明基于厶范数准则的波束形成，我们考虑使实际响应和期望响应 在p 个点 ，q ) ，1 f p 的均方误差最小的最优化问题的求解。如果， ( 2 v 是阵元个数) ，就得到了所谓的超定的最小均方误差问题 m i n p 形一1 2 ( 1 9 ) 式中， 。 一d ( q ，q ) ，d ( 岛，呸) ，d ( 砟，绵) ；= n ，q ) ，白( 岛，哆) ，白( 砟，) r 设删8 可逆( 即么满秩) ，则( 1 2 1 ) 问题的解是： 矿= a + 白 ( 1 1 0 ) 其中，= f 州”- 1 一是矩阵4 的伪逆。 这里给出白噪声增益的概念，白噪声增益定义为传感器上单位白噪声的输出 功率，在数值上等于权值向量范数的平方，即“w 。白噪声增益过大会使得波 束形成器的输出信噪比( s n r ) 过小，从而影响到波束形成器的精度。如果矩阵爿是 病态条件的，就会导致权值向量的范数很大时仍然能够逼近期望响应。当由向量 r o d ( 8 ，1 ，l i p 张成的向量空间的维数小于n 时，就会导致矩阵_ 的病态， 此时需要对矩阵彳和作低秩逼近，以保证权值向量的范数不会过大。 1 4 2 统计最优波束形成 1 0 11 】 在统计最佳波束形成中，权值的选择要利用阵列接收数据的统计特性。所谓 最优化波束形成响应，就是要使其输出加强期望信号，并能抑制噪声和来自其它 方向上的干扰。下面将介绍统计最佳波束形成权向量的选择，在此过程中均假设 接收数据广义平稳，且二阶统计特性已知。 第7 页共船页 令空间远处有一我们慰兴趣的信号d 【r ) 和j 个我们不感兴趣的信号 ( f ) ，= 1 ，j ( 或称干扰信号，其波达方向为只。) 。令每个阵元上的加性噪声为 ( f ) ，它们都具有相同的方差西。在这些假设条件下，第k 个阵元的接收信号 可以表示为 h ( ，) 2 ( 岛) d ( ，) + 壹j = 1 ( q ) ( ，) + ( r ) ( 1 1 1 ) 式中等式右边的三项分别表示信号，干扰，噪声。 若用矩阵形式表示( 1 1 1 ) ，则有： x ( ，) = 加( ，) + 胛( 归a ( 岛) d ( r ) + 善ja ( q ) 荆+ n ( t ) ( 1 1 2 ) 式中口( 如) = h ( 艮) ，( ) 表示来波方向艮( 足= d ， ，f 2 ，) 的发射信源的 方向向量。 n 个快拍的波束形成输出) ，( f ) = 矿k ( r ) ( f = 1 ，n ) 的平均功率为： 尸( 形) = 专薯l y ( r ) 1 2 = 专姜l 形”x ( ，1 2 ( 1 1 3 a ) = l 阡7 h 4 ( 易) 1 2 专粪l d o ) 1 2 + 芸 专善l o ) 1 2 i 矽”口( q ) 1 2 + j l 1 1 2 誊i k ( r ) 8 2 ( 1 1 3 b ) 这里忽略了不同信源之间的相互作用项即交叉项( f ) ( t ) 。 当n 寸0 0 时，式( 1 1 3 a ) 可写成： 尸( 矿) = e i ) ，( f ) 1 2 ) = 形日e x ( r ) x ( f ) = 形r 形 ( 1 1 4 a 式中r = e x ( f ) ( f ) 为阵列输出的协方差矩阵。 另一方面，当_ 时，式( 1 1 3 b ) 可写成： p ( 矽) ；e ) | 2 l 批( 巳) 1 2 + 壹j - ie 帆) 咿”口( 甜+ 训矽u 2 ( 1 1 4 b ) 在获得上式的过程中，使用了各加性噪声具有相同方差z 这一假设。 第8 页共5 8 页 为了保证来自方向岛的期望信号的正确接收，并完全抑制其它，个干扰，我 们很容易根据式( 1 1 4 b ) 得到关于权向量的约束条件： w ( 易) = l ( 1 1 5 a ) 形”口魄) = o ( 1 1 5 b ) 约束条件( i 1 5 b ) 习惯称为波束“置零条件”，因为它强迫接收阵列波束方向图的 “零点”指向所有，个干扰信号。在以上两个约束条件下，式( 1 1 4 b ) 简化为 p ( 矿) = e 慨r ) 1 2 + 一l l w l l 2 从提高信干噪比的角度来看，以上的干扰置零并不是最佳的：虽然选定的权值使 干扰输出为零，但可能使噪声功率输出加大。因此，抑制干扰和噪声应一同考虑。 这样一来，波束形成器的最佳向量的确定现在可以叙述为：在约束条件( 1 1 5 ) 的约束下，求满足 母e i y ( r ) 1 2 = 咿妒三形 - e ) 的权向量矿。这个问题很容易用l a g r a n g e 乘子法求解，令目标函数为 工( 矿) = 矽h r w + 2 w n a ( 以) 一1 ( 1 1 7 ) 根据线性代数知识，得到接收来自方向吼的期望信号d ( t ) 的波束形成器的最佳 权向量为： 降0 = r 。口他) ( 1 1 8 a ) 式中，为一比例常数；岛是我们期望接收信号的波达方向。这样，我们就可 以决定所有j + 1 个发射信号的波束形成的最佳权向量，此时，波束形成器将只 接收来自方向岛的信号，并拒绝所有来自其它波达方向的信号。 式( 1 1 8 a ) 两边同乘以( 岛) ，并与等价的约束条件比较，知常数应满足 1 。雨面丽 ( 1 1 8 b ) 上述的“导向”作用是通过调整加权系数完成的，阵列的输出是对各阵元的 接收信号向量x ( n ) 在各阵元上分量的加权和。令权向量为w = 【w ，w 。1 t ，则输 第9 页共5 8 页 m 出可写作y ( n 产w “x ( n ) = w ：x 。( n ) ，可见对不同的权向量，上式对来自不同方向 的电波便有不同的相应，从而形成不同方向的空间波束。 从上面介绍的阵列处理的基本问题可以看出，空域处理和时域处理的任务截 然不同，传统的时域处理主要提取信号的包络信息，作为载体的载波在完成传输 任务后，不再有用；而传统的空域处理则为了区别波达方向，主要利用载波在不 同阵元间的相位差，包络反而不起作用，并利用窄带信号的复包络在各阵元的延 迟可忽略这一特点以简化计算。 如式( 1 1 8 ) 所示，波束形成器的最佳权向量取决于阵列方向向量a ( ) ， 而在实际应用中方向向量一般是未知的，需要估计( 称之为来波方向估计) 。因此， 我们在使用式( 1 1 8 ) 计算波束形成的最佳权向量之前，必须在已知阵列几何结构 的前提下先估计期望信号的波达方向。和其他参数估计方法一样，方向估计也分 为非参数化和参数化两大类。 i ) 非参数化方法 非参数方法是一种基于谱的方法，故又称为谱方法。但它并不是我们所熟悉 的频谱或功率谱那样以频率为自变量，而是以空间角为自变量分析到达波的空间 分布，故又称之为“空间谱”，或“广义谱”。 ( 1 ) b a r t l e t t 波束形成器 1 2 当存在多个信源时，波束形成问题等价于加性噪声中的谐波频率估计。如果 将( i 1 8 a ) 中的空间角岛变换成频率厂，它就是常用的c a p o n 法自适用频率估计。 b a r t l e t t 波束形成法是经典f o u r i e r 分析对传感器阵列数据的一种自然推广。 b a r t l e t t 波束形成算法使波束形成的输出功率相对于某个输入信号为最大。设 我们希望来自方向0 的输出功率最大，该最大化问题可以表述为 0 - - - a r g 铲 e 矿8 x ox n ( 栉) 矿 = a r g n 9 ) 【 8 e x o ) ，( 开) 矿 = a r g 峄f e f d ( f ) 咿”口( p ) 1 2 + 仃2 2i ( 1 1 9 ) 在白噪声方差d r 2 一定的情况下，权向量的范数4 矿4 不影响输出信噪比，故 取l l w i = 1 。用l a g r a n g e 乘法易求得上述最大化问题的解为 第1 0 页共5 8 页 2 葫 ( 1 2 0 ) 加权向量阡0 可以解释为一空间滤波器，它与照射到阵列的信号匹配。直观上， 阵列加权是使该信号在各阵列上产生的延迟( 还可能有衰减) 均衡，以便使它们各 自的贡献最大限度地综合在一起。 定义“空间谱” 础) = 糟 ( 1 2 1 ) 一旦波达方向口确定，即用它代入( 1 2 0 ) 式，得到b a r t l e t t 波束形成器的 权向量。 对于等距线阵，方向向量q 。( 口) 取为 口( 口) = 1 ，扣1 v 丁 ( 1 2 2 ) 式中 ：一埘c o s 口：一2 z f d c o s e( 1 2 3 ) 称为电角度。将式( 1 2 2 ) 代入式( 1 2 1 ) ，并注意到0 q 蚴( 口) 1 1 2 = 工，则p ) 成为与时间序列中的经典周期图相似的空间参量。因此，空间谱和周期图一样， 存在分辨率低的局限性。 ( 2 ) 线性约束最小方差( l c i i v ) 1 3 为了改善b a r t l e t t 波束形成器这一非自适应估计器很难适应不同干扰环境 这一局限性，已经提出了对它的一系列改进，主要是针对不同环境做自适应处理。 线性约束最小方差波束形成是统计最佳波束形成中最为通用的一种。其基本 思想就是控制波束形成响应使来自所需方向的信号以特定增益和相位通过系统。 得到权值所依据的最优准则为： 咿矿r w( 1 2 4 ) 2 4 1 1l p ( e ) w = g 利用l a n g r a n g e 乘法可得权值： 第1 1 页共蛐页 矽：g 壁坐l d ”( o ) r 。口( 目) ( 1 2 5 ) 如果g = l ，则式( 1 2 4 ) 和( 1 2 5 ) 通常称作最小方差无失真波束形成( m v d r ) 。为 了更好控制波束形成响应还可扩展约束条件。例如，已知一固定干扰源的波达方 向为西，则可把波束形成的响应限定为： 钥 ( 1 2 6 ) 如果对矿的约束条件有三 n 条，则可以把式( 1 2 6 ) 改写成成如下形式： c h w = f ( 1 2 7 ) 这里l x n 维矩阵c 和l 维向量分别叫作约束矩阵和响应向量。约束条件 间是线性独立的，所以矩阵c 的秩是l 。权值可写为： w = r 。c c 7 r 。c 】- 1 ， ( 1 2 8 ) i i ) 超分辨方法 波达方向( d o a ) 估计的基本问题就是确定同时处于空间某一区域内多个感兴 趣的信号的空间位置( 即各个信号到达阵列参考阵元的方向角，简称波达方向) 。 我们看到，前面介绍的波束形成实质上也是个波达方向估计问题，只不过 b a r t l e t t 波束形成器和删v 波束形成器都是非参数化的波达方向估计器。与 b a r t l e t t 波束形成器相比，l 唧的最小方差法有自适应性，可减少干扰对估计 的影响，至于分辨率则主要取决于阵列的长度。阵列长度确定后，其分辨率也被 确定，称为瑞利限。超瑞利限的方法称为超分辨率方法。 最早的超分辨率d o a 估计方法是著名的m u s i c 方法和e s p r i t 方法，它们同 属特征结构的子空间方法。子空间方法建立在这样的一个基本观察之上；若传感 器个数比信源个数多，则阵列数据的信号分量一定位于一个低秩的子空间。在一 定条件下，这个子空间将唯一确定信号的来波方向，并且可以使用数据稳定的奇 异值分解精确确定来波方向。由于把线性空间的概念引入到d o a 估计中，予空间 方法实现了来波方向估计分辨率的突破。 ( 1 ) 舢s i c 方法 1 4 第1 2 页共5 3 页 考虑l 工协方差矩阵r 的特征值分解 r = a p a 8 + o r 2 j = s u ；+ o r 2 u w ( 1 2 9 ) 这里假定爿朋“满秩，对角矩阵，含有m 个大特征值，而s 含有三一m 个小 的特征值。我们的兴趣是研究噪声子空间u 和方向矩阵4 之间的关系。一方面， 由于2 和u 是协方差矩阵r 的特征值和对应特征向量( 块) ，放有特征方程 r 以= 口2 玑 ( 1 3 0 ) 另一方面，用玑右乘式( 1 2 9 ) 式，又有： 五u = a p a ”乩+ o r 2 玑 ( 1 3 1 ) 综合式( 1 3 0 ) 和( 1 3 1 ) 给出结果 4 尸以= 0 ( 1 3 2 ) 从而有以a 黝”u = o 。由于假设，是非奇异的，而，p t = 0 当且仅当f = 0 ，因 此式( 1 3 2 ) 可等价为 4 8 以= o ( 1 3 3 ) 这说明，矩阵4 的各个列向量与噪声空间正交，故有 【，? 口( 口) = o ，口 b ，钆 ( 1 3 4 ) 式( 1 3 3 ) 还有另外一个重要结论，由于【，= 【u j ，巩】为酉矩阵，故有u ”以= o 将也乩= 0 与式( 1 3 3 ) 比较知：若p 非奇异，则阵列方向矩阵a 与阵列输出向量 的协方差矩阵的信号特征向量组成的子矩阵u 。所张成的子空间相同。为了保证 波达方向估计的一致性，通常假定阵列是无模糊的：对应于m 个不同的波达方 向氏，m 2 i ，m 的m 个方向向量构成的一线性独立集合 口幅) ，n ( ) l 。如 果方向向量口( ) 满足这一条件，并且尸满秩的话，则爿只 ”也满秩，从而岛，钆 是满足式( 1 3 4 ) 所示关系的唯一可能饵，它们也就可以用来对各信源的波达方向 准确定位。 实际中得到的是协方差矩阵的样本估计题，其特征向量分成信号特征向量 第1 3 页共5 8 页 和噪声特征向量二组。噪声子空间上的正交投影为 l - 1 1 = u 簖 ( 1 3 5 ) 于是，可定义m u s i c “空间谱” ( 口) ：螋 ( 1 3 6 ) 矿( a ) n l a ( a ) 与“谱峰”对应的所有口即给出波达方向的估计。显然，易咖( 口) 并不是任何意 义上的真实谱；严格来说，它只是信号方向向量与噪声方向向量的“距离”。尽 管如此，它却能够在真实波达方向的附近出现“谱峰”，超分辨率准确表现各信 号的波达方向。 ( 2 ) e s p r i t e 算法 1 5 1 6 e s p r i t 是“e s t i m a t i n gp a r a m e t e r s v i ar o t a t i o n a li n v a r i a n c e t e c h n i q u e s ”的缩写，其含义是“借助旋转不变技术估计信号参数”，是由r o y 等人于1 9 8 6 年提出的，现已成为阵列信号处理的一种重要方法。 e s p r i t 方法将基阵分成两个子阵x 和y ，两子阵输出的信号矢量为： 贾( f ) = 砖( f ) + 以( f ) ( 1 3 7 ) 矿( f ) = 一必( f ) + 西( t ) ( 1 3 8 ) 在信号和噪声满足一定条件下，可以得到： c 0 = 一盯2 i = a s a h ( 1 3 9 ) = 4 s a 8 ( 1 4 0 ) 其中，= 加g ( e 蚶酬。，矿蛐血舭) ( 1 4 1 ) 称为旋转因子。两个子阵在空间上的位移，相当于接收数据作了旋转。通过求 解一个奇异对( c 0 ，r 。) 的广义特征值，r k - - - e 。舭如靠“k = 1 7o 0 9 d 估计信号源的方 向。 第1 4 页共5 s 页 1 5 盲波束形成算法【1 7 】【18 】【19 12 1 波束形成是阵列处理的重要内容，它是运用阵列中各个阵元的信息，经过处 理达到提取信号消除噪声和干扰的目的。早期的波束形成都是基于波达方向的估 计，它们的共同特点是每个入射波前的方向先被估计，同时产生一波束形成器恢 复来自该方向上的信号。这类方法要求天线阵列流型是确知的，而实际系统的流 形误差是不可避免的，故阵列必须是校正过的。如果一信源由多个方向( 相干多径) 入射，方向估计将更加困难。因此，传统波束形成算法技术的应用效果与信道关系 很大，通常要求每个信号只能有几个清晰的传输信道。 盲波束形成算法，可以在不知道阵的流形和信号干扰方位的情况下，仅根据 各个阵元的观测数据，恢复出信号。它们不是基于常用的物理信道模型，而是采 用信道的信号处理模型( 多输入一多输出模型) 与或信号的性质，估计期望信号的 方向向量。因此，盲波束形成的主要优点是：波束形成器与信道的空间性质或阵 列的校正无关。只要期望信号具有与干扰和噪声不同的特性，就可以设法估计出 期望信号的阵列方向向量，然后用它们作导向向量进行自适应波束形成。 盲波束形成算法可以分成随机盲波束形成和确定性盲波束形成 1 9 1 。如果被 利用的信号性质是信号的统计性质( 如非高斯性和循环平稳性) ，我们就把这类盲 波束形成称为随机盲波束形成( s t o c h a s t i cb l i n db e a m f o r m i n g ) ；若被利用的是信号 本身的确定性性质( 如恒模，有限字符，独立性等) 或信道的信号处理模型的结构性 质( 如矩阵的t o e p l i t z 结构等) ，则成为确定性盲波束形成( d e t e r m i n i s t i cb l i n d b e a m f o r m i n g ) 。 常规波束形成算法无论是延时相加法或m v d r 法均需要知道a ( od ) ，a ( 0d ) 是由阵列流形及目标方位共同决定的，虽然目标方位有时候可以通过估计得到， 但是如果没有阵列流形的信息，a ( o 。) 依然不可能得到而且在许多环境中，多 径传播会导致相干干扰，相干干扰会对方位估计造成很大困难。运用高阶累积量 的知识可以有效地解决这个问题，它能够在不知道阵列流形和目标方位的情况 下，估计出导向矢量a ( 0a ) ，它们与真实的导向矢量只相差一个常数。有了方向 向量的估计值，就可以利用常规波束形成对其进行波束形成。因此基于高阶累积 量的盲波束形成实际上是高阶累积量与常规波束形成算法的结合。 在某些阵列信号处理中，传感器噪声的协方差矩阵结构已知，此时可以对接 第1 5 页共5 s 页 收到的数据进行白化操作。被处理数据的主特征向量张成的信号子空间与期望信 号导向向量张成的子空间相同。因此，基于累积量得到的导向向量可以通过在协 方差矩阵的主特征向量张成子空间的投影而得到性能上的提高。这一算法主要是 利用了协方差估计具有方差小的优点，将基于累积量得出的导向向量作为基本信 息，结合基于特征空间的方法，从而给出导向向量的更高性能的估计。 算法将基于累积量的算法和基于特征空间的算法结合起来，一方面可以实现 盲波束形成，解决二阶统计量不能解决的多径干扰问题；同时又由于二阶统计量 具有更小的估计误差，因而可以有效的提高算法的精度和稳健性。 基于累积量的盲波束形成算法即使在相干多径环境中也可对独立源信号进 行盲恢复，该方法不需要阵列的任何先验信息，也不需要估计信号的到达角( d o a ) ， 对阵列的几何结构也不作什么要求，只需使用阵列接收信号的累积量。而常规波 束形成器则会遇到很多困难，首先目标方位的估计就会出现问题。 1 6 盲波束形成在水声处理中的应用 拖曳线阵列的出现，提高了被动式声纳的性能，使之成为远距离探测的有效 手段。拖曳线阵列的水听器和电缆做在一起，可缠绕在电缆绞车上，以便布放和 回收，用拖曳电缆拖曳在船尾数百米处。拖曳阵具有很多优点，由于线阵的长度 很长，故可获取很高的空间增益，另外，线阵远离舰艇，它受拖曳舰艇噪声影响 较小。但在拖曳阵中，由于拖船运动，海流，内波等因素影响，阵形在水中不可 能始终保持一条严格直线，而是时间和空间的随机函数。阵形扰动和方位估计误 差将给波束形成的性能造成影响，主要是信号的波形，功率谱和d e m o n 谱， 给信号的特征提取和目标识别带来困难。为了解决这个问题，必须计算阵形。前 人提出了很多用以计算阵形的方法，但是这些方法有的计算量很大，有的对传感 器的精度要求非常高，还有的需要有已知方位的辅助源和很高的信噪比工作条 件，都很难实际应用。所以近年来，提出了很多仅利用接收信号自身的特点，不 知道阵列流形，响应特性和目标方位来实现波束形成的盲波束形成算法。 波达方向( d o a ) 估计的基本问题就是确定同时处于空间某一区域内多个感兴 趣的信号的空间位置( 即各个信号到达阵列参考阵元的方向角，简称波达方向) 我们知道，波束形成实质上是个波达方向估计问题，只不过b a r t l e t t 波束形成 第1 6 页共疆页 器和l c m v 波束形成器都是非参数化的波达方向估计器。与b a r t l e t t 波束形成器 相比，l c 埘的最小方差法有自适应性，可减少干扰对估计的影响，至于分辨率 则主要取决于阵列的长度。阵列长度确定后，其分辨率也被确定，称为瑞利限。 超瑞利限的方法称为超分辨率方法。 子空间方法是在八十年代发展起来的一种高分辨率d o a 估计方法。予空间方 法建立在这样的一个基本观察之上：若传感器个数比信源个数多，则阵列数据的 信号分量一定位于一个低秩的子空间。在一定条件下，这个子空间将唯一确定信 号的来波方向。并且可以使用数据稳定的奇异值分解精确确定来波方向。由于把 线性空间的概念引入到d o a 估计中，子空间方法实现了来波方向估计分辨率的突 破。 在子空间方法中，比较典型的有多重信号分类( m u s i c ) 法，特征矢量( e v ) 法和 子空间旋转不变技术估计信号参数( e s p r i t ) 等方法。运用子空间方法进行d o a 估计的关键是要估计出高质量的信号子空间和噪声子空间，这对复杂的海洋环境 来说，并不是一件很容易的事。予空间方法的主要优点是：在小基阵，短数据的 情况下，仍然可以得到高分辨力的方位估计 2 0 。由第一章的讨论知道，e v 方法 和m u s i c 方法都是利用协方差矩阵五= a s a 8 + 口2 ，的特征值和特征矢量，估计信 号子空间s 和噪声子空间，再利用信号矢量方向a ( s 1 进行扫描，就可以从空 间谱估计p ( 秽) 的峰值，得到信号源的到达方向p 的估计。 第1 7 页共5 8 页 第二章随机共振理论的基本原理 从强噪声背景中检测某些含有特征信息的微弱信号在机械、电子、通信等领 域一直受