（控制理论与控制工程专业论文）非线性混沌系统分析和控制问题的研究.pdf

非线性混沌系统分析和控制问题的研究 摘要 混沌学是一门新兴的非线性科学，它的研究热潮始于二十世纪七十年代，但是 其渊源可以追溯到十九世纪三十年代。最近几十年来，在国内外众多学者的不懈努 力下，混沌理论得到了迅速的发展，其研究内容也越来越广泛、深入。同时随着各 学科间的相互交叉与渗透，混沌理论在许多领域得到了有效的应用。混沌研究对于 现代科学的影响不仅限于自然科学，而是几乎覆盖了所有学科领域。那么从控制论 的角度出发，自然考虑到混沌系统的控制问题，其中包括混沌的控制( 混沌的抑制) ， 混沌的反控s u ( 混沌的产生和加强) 以及混沌同步的控制等。 与此同时，分数阶系统的研究在近年来逐渐成为了热点。然而分数阶微积分的 鲁。并不是一个全新的概念，它产生于三百多年前，可以说与整数阶微积分有着同 ，：历史渊源。分数阶微积分实际上是研究和应用任意阶微分和积分的理论，它是 整数阶微积分的自然延伸。上个世纪后期，分数阶微积分的应用研究取得的一些成 畏，引起了不同学科领域学者们的广泛关注，使其应用领域有了显著地增加。现在 人们已经认识到现实系统中许多是分数阶的，但迄今为止，所有的控制系统均是整 数阶描述的，这实际上是忽略了系统的真实性。之所以将其考虑为整数阶，是因为 系统本身的复杂性和缺乏有效的数学工具。随着分数阶微积分理论的发展，近些年 来将分数阶微积分理论应用于控制理论和控制实践的研究已经开始，并不断取得进 展。分数阶微积分的发展，为以整数阶微积分理论为基础的控制理论和控制工程提 供了一个新的发展空间。其中，分数阶与混沌系统的结合，由于它们自身特性上的 联系，如：分维，自相似等等，也变得越来越紧密。但是由于混沌系统和分数阶系 统理论都还不成熟，很多问题还有待进一步地研究和探讨。 基于以上的阐述，论文的主要研究工作和创新包括以下两个方面：一方面是对 整数阶非线性混沌系统的控制问题进行研究；另一方面是探讨控制和分析分数阶非 线性混沌系统。具体可以分为： 利用微扰判据的m e l n i k o v 方法讨论周期扰动参数引导l o r e n z 混沌系统进入低周 期轨道的参数条件。 提出了利用奇异单输入状态反馈混沌化系统的方法；并在m a r r o t o 定理基础上， 从理论上证明经过反馈以后的闭环系统确实存在有l i y o r k e 意义上的混沌。 t 上海交通人学博r 上| 学位论文 首次针对一类分数阶混沌系统，提出- f n 用状态的p p 调节器实现控制混沌的 方法。同时从理论上证明了一个非线性分数阶系统的稳定性定理；在这个基础 上，证明了所提出控制混沌方法的有效性。 在整数阶系统分析基础上，将谐波平衡原则进行推广，用以分析非线性分数阶 系统的混沌参数域。 提出了两种方法来控制一类非同元次分数阶混沌系统的同步，并且根据不同方 法的特性，分别在理论上给予证明。 关键词：混沌，控制，混沌反控制，m e l n i k o v 方法，m a r r o t o 定理，分数阶微积 分，p ，o 调节器，同步 一i l a n a l y s l sa n dc o n t r o l l i n gl nn o n l i n e a rc h a o 下l c s y s t 聂m a bs t r a c t c h a o l o g yi sar i s i n gn o n l i n e a rs c i e n c e i t sr e s e a r c hu p s u r g es t a r t e df r o m19 7 0 s ，b u t i t so r i g i nc o u l db et r a c e db a c kt o18 3 0 s i nr e c e n ty e a r s ，c h a o st h e o r yi sd e v e l o p e dr a p i d l y u n d e rt h ei n c e s s a n te f f o r t so fs c h o l a r so v e rt h ew o r l d ，a n dt h er e s e a r c ha r e a so fc h a o l o g y a l ea l s oe x p a n d e dt h o r o u g h l y w i t ht h ei n t e r c r o s s i n ga n dp e n e t r a t i o no fd i f f e r e n tk n o w l - e d g e ，c h a o st h e o r yh a sb e e na p p l i e di nm a n yo t h e rf i e l d se f f e c t i v e l y 拍ei n f l u e n c e so fc h a o s r e s e a r c ht o w a r d sm o d e ms c i e n c e sa r en o tb o u n d e di nn a t u r a ls c i e n c e ，b u tc o v e ra l m o s ta l l f i e l d so fs c i e n c e 。w e l l ，f r o mt h ep o i n to fc y b e r n e t i c ，i ty i e l d san a t u r a ly e tn o n t r i v i a lq u e s - t i o nw h e t h e ro n ec a nc o n t r o lc h a o s ，i n c l u d i n gc h a o sc o n t r o l ( c h a o si n h i b i t i o n ) a n t i - c h a o s c o n t r o l ( c h a o sp r o d u c i n ga n de n h a n c i n g ) ，a n dc h a o ss y n c h r o n i z a t i o n m e a n w h i l e ，i nr e c e n ty e a r s ，t h ef r a c t i o n a l - o r d e rs y s t e m sb e c o m eah o tr e s e a r c ht o p i c 肌e c o n c e p t so ff r a c t i o n a ld e r i v a t i v e sa n di n t e g r a lw e r ep r o p o s e dt h r e eh u n d r e dy e a r sa g o f r a c t i o n a lc a l c u l u si st h et h e o r yo nt h er e s e a r c ha n da p p l i c a t i o no fd e r i v a t i v e sa n di n t e g r a l o fa r b i t r a r yo r d e r i ti san a t u r a le x t e n s i o no ft h ec l a s s i c a lm a t h e m a t i c s i nt h el a s tt h r e eo r f o u rd e c a d e s ，m a n yr e s e a r c h e r sh a v em a d eag r e a te f f o r tt oa p p l yt h i sk n o w l e d g ei np r a c t i c e a n di nd i f f e r e n tr e s e a r c hf i e l d s n o w , t h ea p p l i c a t i o nd o m a i n so ff r a c t i o n a lc a l c u l u sh a v ei n - c r e a s e ds i g n i f i c a n t l y r e a ls y s t e m si ng e n e r a la r ef r a c t i o n a l o r d e rs y s t e m s ，a l t h o u g hi ns o m e t y p e so fs y s t e m st h eo r d e r i sv e r yc l o s et oa ni n t e g e ro r d e r 两ec o n t r o ls y s t e m su s e ds of a r w e r ea l lc o n s i d e r e da si n t e g e r - o r d e rs y s t e m s ，r e g a r d l e s so ft h er e a l i t y , t h er e a s o ni st h eh i g h e r c o m p l e x i t ya n d t h ea b s e n c eo fa d e q u a t em a t h e m a t i c a lt 0 0 1 s i n c em a j o ra d v a n c e sh a v eb e e n m a d ei nf r a c t i o n a lc a l c u l u si nt h el a s tf e wy e a r s ，t h ek n o w l e d g eo ff r a c t i o n a lc a l c u l u sb e - g i n st ob ea p p l i e d i nc o n t r o lt h e o r ya n dc o n t r o le n g i n e e r i n g i tp r o v i d e sn e wl a n d s c a p ef o r c o n t r o lt h e o r ya n dc o n t r o le n g i n e e r i n gb a s e do ni n t e g e r - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 。a m o n g t h o s e ，t h er e s e a r c ho ft h ef r a c t i o n a l o r d e rs y s t e m sa n dc h a o ss y s t e m sb e c o m ei n c r e a s i n g l y c l o s e ，b e c a u s eo ft h e f to w nn a t u r e ，s u c ha st h ef r a c t a ld i m e n s i o n ，s e l f - s i m i l a r i t ya n ds oo n 。 h o w e v e r , a st h et h e o r yo fc h a o t i cs y s t e m sa n df r a c t i o n a l - o r d e rs y s t e m sb e i n gi nd e v e l o p i n g ， m a n yi s s u e ss t i l ln e e df u r t h e rs t u d ya n dd i s c u s s i o n i _ i _ l 卜海交通人学博上学位论文 b a s e do na b o v e ，t h er e s e a r c ha n dc o n t r i b u t i o n si nt h i sd i s s e r t a t i o na r ed i v i d e di n t ot w o a s p e c t s ：o n ei sa b o u tc o n t r o l l i n gc h a o si nt h ei n t e g e r - o r d e rn o n l i n e a rc h a o ss y s t e m s ；t h e o t h e ri ss t u d ya n dd i s c u s s i o nt h ea n a l y s i sa n d c o n t r o l l i n gt h ef r a c t i o n a l o r d e rn o n l i n e a rc h a o s s y s t e m s s p e c i f i c a l l y , b yu s i n gm e l n i k o vm e t h o do fp e r t u r b a t i o nc r i t e r i a ，t h ec o n d i t i o n s o fp e r i o d i c p a r a m t r i cp e r t u r b a t i o n st oc o n t r o lc h a o si nl o r e n zs y s t e ma r ed i s c u s s e d t h e s i n g l ei n p u ts t a t ef e e d b a c ka p p r o a c hf o rc h a o t i f y i n ga s t a b l es y s t e mi sp r e s e n t e d b a s e do nt h em a r o t t ot h e o r e m ，i ti sp r o v e nt h e o r e t i c a l l yt h a tt h ec l o s e d l o o ps y s t e m i sc h a o t i ci nt h es e n s eo fl ia n dy o r k e t h ep 1 ar e g u l a t o ro fs y s t e ms t a t e st oc o n t r o lak i n do ff r a c t i o n a l o r d e rc h a o ss y s t e m s i sf i r s ti n t r o d u c e di nt h i sd i s s e r t a t i o n a ts a m et i m e ，as t a b i l i t yt h e o r e mo fn o n l i n e a r f r a c t i o n a l - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sp r o v e nt h e o r e t i c a l l y t h e n ，a c c o r d i n gt ot h a t ， an e wc r i t e r i o ni sd e r i v e df o rd e s i g n i n gt h ec o n t r o l l e rg a i n sf o rs t a b i l i z a t i o nt h i sk i n d o ff r a c t i o n a l o r d e rc h a o ss y s t e m s b a s e do nt h ei n t e g e r - o r d e rs y s t e m t h eh a r m o n i cb a l a n c ep r i n c i p l ei su s e dt oa n a l y z e t h ep a r a m e t e rd o m a i no fn o n l i n e a rf r a c t i o n a l o r d e rs y s t e m t w o a p p r o a c h e st os y n c h r o n i z ea k i n do fi n c o m m e n s u r a t ef r a c t i o n a l - o r d e rc h a o t i cs y s - t e ma r ea d d r e s s e di nt h i st h e s i s a c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n tc h a r a c t e r i s t i c ，t h ed i f f e r e n t p r o c e s s e so f t h e o r e t i c a lp r o o fa r ep r e s e n t e dr e s p e c t i v e l y k e yw o r d s ：c h a o s ，c o n t r o l ，c h a o t i f i c a t i o n ，m a r r o t ot h e o r e m ，f r a c t i o n a lc a l c u 1 u s ，p i nr e g u l a t o r ，s y n c h r o n i z a t i o n i v 上海交通大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何他个人或集体 已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本文完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 上海交通大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解上海交通大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 一虢礅师继 日期： 啤年立月斗日日期：啤年上月笋日 第一章绪论 非线性系统科学的研究与发展，对推动现代数学、物理学的进步起到了十分重 要的作用。非线性系统理论不仅极大地推广与拓展了经典的线性系统理论，而且能 够更好地反映我们身处大自然的种种特征。同时，非线性系统科学与其他学科地相 互渗透，也促进了相应交叉学科与边缘学科地发展。 混沌学是非线性系统科学的一个重要代表f 1 1 。混沌系统的最显著特点在于：它 本身是一个确定性系统，但是却呈现出了非常明显的非确定性系统的表象。这也使 得人们对混沌学的研究产生了浓厚的兴趣。对混沌学的研究并不局限于理论范畴， 它还包括混沌非线性理论在其他领域中的应用，例如生物、医学、财经、管理、自 动化控制、网络等等，不一而足。 近年来，随着人们对客观世界本质认识的不断深化，分数微积分这个有着3 0 0 多 年历史的概念开始逐步走到了理论研究和工程实际应用的舞台前沿。分数阶导数的 独特记忆功能；分数阶系统的稳定范围更广及分数阶系统的慢收敛特性；分数阶系 统具有更多的参数选择等特点，正在受到越来越多的工程技术人员的关注。目前分 数微积分已逐渐渗透到了多个研究领域：流变学、电化学、物理化学、分形理论、 地震分析、机器人、电子电路、热传导、扩散、电磁理论、概率论和控制论等。虽 然，分数阶非线性混沌系统的研究是在近见年来才活跃的领域；但是，由于分数阶 系统与混沌系统有着本质上的联系，例如，分形维、自相似等等，使得针对它们的 研究越来越受到重视。 1 1 混沌 混沌通常是指确定性动力系统的长期行为对系统初始状态异常敏感，却又不发 散，而且无法精确重复的现象，它是非线性系统普遍具有的一种复杂动力学行为， 被公认为是2 0 世纪最重要的科学发现之一 2 1 。 早在公元f i f 5 6 0 年左右，我国古代的思想家老子就有了关于“道可道非常道”之 说，并初步提出了关于宇宙起源于混沌的哲学思想。公元前4 5 0 年左右，我国古代哲 学家庄子也曾说过“南海之帝为倏，北海之帝为忽，中央之帝为混沌。应当说， 庄子所说的是政治，隐喻的是哲学。因此，庄子最早把混沌的思想引入政治学的研 究之中。他的“中央之帝为混沌 思想则是对人类行为的混沌性态最早的哲学观点 【3 1 。 混沌学的研究热潮始于2 0 世纪7 0 年代初，但其渊源却可追溯到1 9 世纪初。1 9 世 纪3 0 年代，英国数学、物理学家w r h a m i l t o n 将动力学系统的能量表示为广义动量 和广义坐标的函数1 4 1 。按照h a m i l t o n 函数的数学形式，可把动力学系统划分为可积 + 卜海交通人学瞎上学位论文 和不口j 积的两大类。这一划分使人们认识到牛顿经典理论实际上只是关于可积系统 的理论，两一般的动力学系统都是不可积的。这认识是通向混沌学大f 1 的关键一 步，因为混沌正是不可积系统的典型代表。 1 9 0 3 年，法国数学、物理学家h p o i n c a r e 在科学与方法一书中提出 了p o i n c a r e 猜想【奠。他把动力学系统和拓朴学两大领域结合起来，提出了混沌存 在的可能性，从而被公认为发现混沌的第一人。他是在研究天体力学时，特别是研 究三体问题时发现瀵沌的。当他意识到当时的数学水平不足以解浃天体力学的复杂 问题时，就着手于发展新的数学工具。他与l y a p u n o v 一起奠定了微分方程定性理论 的基础，并为现代动力学系统理论创建了奇异点、稳定性、极限环、分叉等一系列 重要概念。他曾在科学的价值一书中写到f 4 1 ：“我们觉察不到的极其轻微的原 因决定着我们不能不看到的显著结果，于是我们说这个结果由于偶然性可以发 生这样的情况：初始条件薛微小差异在最后的现象中产生了极大的差别；前者的微 小误差促成了后者的巨大差别，于是预言变得不可能了。”这实际上已经蕴含了 “确定性系统具有内在的随机性”这一混沌现象的重要特性。 l y a p u n o v 在1 8 9 2 年发表了题为“运动稳定性的一般问题的论文，它与上 述h p o i n c a r e 的工作为常微分方程定性理论奠定了基础【5 1 。h p o i n c a r e 在这方面开辟 了广阔的研究领域，而l y a p u n o v 贝w 在其中的许多问题上，特别是稳定性阀题方面做 了极其深入的研究；h p o i n c a r e 在极大程度上依赖几何拓朴直观，而l y a p u n o v 应用了 十分严密昀分析证明；h 。p o i n c a r e 的糨糙“无环切线”及“无切弧在l y a p u n o v 手中 发展成为极其锋利的l y a p u n o v 函数 6 1 。 在h p o i n c a r e 之后，又有一大批数学家和物理学家在各自的磅究领域中为混沌学 的建立提供了宝贵的知识积累阴。1 9 1 8 年g d u f f i n g 对具有非线性恢复力项的受迫振 动系统进行了深入研究，揭示出许多非线性振动的奇妙现象，他提出的标准化动力 学方程称为d u f f i n g 方程。同时期的荷兰物理学家b v a n d e r p o l 研究三极管振荡器，建 立了著名的v a n d e r p o l 方程。d u f f i n g 方程s f l v a n d e r p o l 方程都是现代混沌学中的典型方 程。1 9 5 4 年，前苏联概率论大师a n k o l m o g o r o v 在探索概率起源过程中注意到了哈 密顿函数中微小变化时条件周期运动的保持。该思想为以下结论奠定了基础，即： 不仅耗教系统有混沌，而且保守系统也有混沌。1 9 6 4 年，天文工作者h e n o n 等人发 现，一个自由度数目为2 的不可积h a m i l t o n 系统，当能量渐高时其轨道在相空间的分 布似乎越来越随机了i f 。 2 0 世纪6 0 年代到7 0 年代是非线性科学研究突飞猛进的时代。首先是在关予哈密 顿系统( 或保守系统) 的研究中，提出了著名的k a m 定理，揭示了保守系统中的混沌 现象。接着是s m a l e 提出的马蹄交换，为7 0 年代混淹理论徽好了重要的数学理论准 备。美国气象学家e l o r e n z 在这方面取得了很大的成功。他使用了一台原始计算机 一2 一 第一章绪论 磺究气候的变化，并于1 9 6 3 年在大气科学杂志上发表了题为“确定性的j # 周期 流的文章，在企图分析长期天气预报不可能时，他从对流问题中提炼出一个三维 常微分方程组并发现它的解是混沌的，从丽给出了混沌解的第一个例子。文中指 豳，在气候不能精确重演与长期天气预报无辘为力之间必然存在着一种联系，这就 是非周期性与不可预见性之间的联系。他还认为一串事件有可能有一个临界点，在 这一点上，小的变化可以放大为大豹变化，露湿淹的意思就是这些点无所不在。这 些研究清楚地描述了“对初始条件的敏感性一这一混沌的基本性态，这就是著名的 “蝴蝶效应。因此，可以说是天气预报和气象学的研究叩开了混沌科学的大门 嘲。 虽然h p o i n c a r e 是发现混沌的第一人，但他并未提出“混沌的概念。在文献中 较旱弓| 入“混沌( c h a o s ) ”概念的是华入学者李天岩和他的导师y o r k e ，他们首先提炼 出混沌概念的数学表述。y o r k e 认为“混沌一词能代表正在成长的确定性无序的整 个过程。中国学者郝柏林院士特别强调混沌的科学含义不是简单的无序，它可能包 含着丰富的内部结构。 在非线性动力学系统巾，l i y o r k 定理是比较公认的、影响较大的混沌数学定 义。从此定义出发，形成了混沌的专门定义吲： l i y o r k 定理：设，和) 是融，翻上的连续自映射，若歹( 鬈) 有3 周期点，剡对任何正 整数讹，( z ) 有n 周期点。 混沌定义：闭区间，上连续自映射，( z ) ，如果满足下列条件，就可确定它有混 沌现象， ( i ) s 的周期点的周期无上界； ( i i ) 闭区间f 上存在不可数子集s ，满足： ( a ) 对任意x ，y s ，当x y 时有 l i r as u pl f n ( x ) 一f n ( y ) | 0 ； ( 1 i ) 竹+ o 。 ( b ) 对任意x s 和，的任周期点y ，有 l i ms u p | f 露) 一f - ( y ) | o ； ( 耋2 ) + 。 ( e ) 存在个不可数子集s ocs ，并且对任意x ，y s o ，有 l i mi n fi ，n ( x ) 一f n ( y ) i = 0 ( 1 3 ) n - - o o 一3 一 卜海交通人学博上学位论文 根据上述定理和定义，对闭区间j 上的连续函数，如果存在个周期为3 的周期 点，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。这个定义是针对一个 集合提出的，但它表明混沌运动的重要特征： ( 1 ) 存在可数无穷多个稳定的周期轨道； ( 2 ) 存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道； ( 3 ) 至少存在一个不稳定的非周期轨道。 定义表明，在区间映射中，对于集合s 中的任意两个初值，经过迭代，两序列之 闻的距离上限可为大予零的正数，下限等于零。这就是说当迭代次数趋予无穷时， 序列间的距离可以在某个正数和零之间“飘忽，系统的长期行为不能确定，这是 一种与我们通常熟悉的周期运动不相同的运动形式。自1 9 7 5 年起，“混沌( c h a o s ) 作为一个耨的科学名词开始在文献中出现。 1 9 8 0 年，美国数学家b m a n d l b r o t 用计算机绘制出了第一张m a n d l b r o t 集的图像， 这是一张五彩缤纷、绚丽无毙的混淹图像。惹来，德匿的e r i c h t e r 教授和h p e i t g e n 教 授在共同研究分形流域的边界时，做出了精美绝伦的混沌图像。他们使混沌图像 成为了精致的艺术晶，拓展了混沌科学的一个重要应髑领域f 9 ，- o l 。1 9 8 3 年，加拿 大物理学家l g l a s s 在物理学杂志上发表著名文章“计算奇怪吸引予的奇异程 度 ，开创了全世界计算时间序列维数的热潮。1 9 8 4 年，我国著名的混沌科学家郝 柏林编辑的混沌一书在新加坡出版，为浞沌科学的发展起到了一定的推动作 用。1 9 8 6 年，中国第一届混沌会议在桂林召开。中国科学家徐京华在世界上第一个 提出一种神经细胞的复合网络，并证明它存在混沌。徐京华所提盘的复合神经髓络 活动规律所绘的图形与人的脑电图极为相似。 到了9 0 年代，混沌科学与其它科学进行了相互渗透。无论是在生物学、生理 学、心理学、数学、物理学、化学、电子学、信息科学，还是在天文学、经济 学、气象学，甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛地皮用。混沌正在现 代科学技术中起藿十分重要的作用，正如混遗科学的倡导者之一，美国海军部官 员m s h l e s i n g e r 所说：“2 0 世纪科学将永远铭记的只有三件事，那就是相对论，量子 力学和混沌。第一次混沌国际会议主持人之一，物理学家j 。f o r d 认力混沌就是2 0 世 纪物理学第三次最大的革命。与前两次革命相似，混沌也同相对论以及量子力学一 样冲破了牛顿力学的教规。他说：“相对论消除了关予绝对空阅与时间的幻象；量 子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定 式可预测性的幻想。 近十a 年来，混淹学研究出现了更大靛热潮，大量有关混淹学研究的论文出现 在国内外的学术期刊和杂志上。2 0 多年来，有关混沌研究的论文发表了一万多篇， 一4 一 第一章绪论 学术专著和文集也将近3 0 0 部，其中也包括以郝柏林院士为代表的我国学者的研究成 果。 混沌运动具有通常确定性运动所没有的几何和统计特征，如局部不稳定而整体 稳定、奇怪吸引子、无限自相似、连续功率谱、分维、正的l y a p u n o v 指数、正的测 度熵等。一般认为，混沌应具备以下三个主要特征： ( 1 ) 内随机性：若系统的某个状态既可能出现，也可能不出现，则该系统就被认为 是具有随机性的系统。在原来完全确定的系统内部产生了随机性，则称之为内 随机性。混沌常被称为自发混沌、确定性的随机性等，它所强调的就是混沌现 象产生的根源在于系统自身，而不在外部的影响。内随机性的另一方面是其局 部不稳定性。所谓局部不稳定性是指系统运动的某些方面( 如某些维度上) 的行 为强烈地依赖于初始条件。 ( 2 ) 分维性：混沌态具有分维性质，其非整数是用来描述系统运动轨道在相空间的 行为特征。系统的变化在相空间中可用一条轨道线来描述。混沌运动在相空问 中的某个区域内无限次折叠而又不相交，构成一个有无穷层次的自相似结构一 一奇怪吸引子。 ( 3 ) 普适性：在研究混沌的转变中，出现了某种标度不变性，代替通常的空间 或时间周期性。所谓普适性，就是指在趋向混沌时所表现出来的共同特征， 它不依赖于具体的系数以及系统的运动方程而改变。常提到的普适性有两 种，即结构的普适性和测度的普适性。结构的普适性指趋向混沌过程中轨线 的分叉情况与定量特征不依赖于该过程的具体内容，而只与它的数学结构有 关；测度的普适性指同一映象或迭代在不同测度层次之问嵌套结构的相同， 结构的性态只依赖于非线性函数幂级数展开式的幂次。著名的f e i g e n b a u m 常 数就是通过对l o g i s t i c 方程的研究而得到的。如果把系统每次分叉所对应的 参数值分别记为a n 、a n + l 等，那么式( o 时1 一a n ) ( 口n + 2 一a n + 1 ) 的值，对不同 的迭代次数是不同的，但是当n _ 时，此比例存在一个极限值，它是一 个无理数并称为f e i g e n b a u m 常数，是一个与具体迭代形式无关的普适常数( 约 为4 6 6 9 2 0 1 6 0 9 1 0 2 9 9 0 9 ) 。f e i g e n b a u m 常数等的发现标志着混沌理论的相对成 熟。 从本质上讲，混沌是直接研究我们所看得见摸得着的宇宙，以及在人类本身的 尺度大小差不多的对象中发生的过程，所有日常生活经验与这个世界的真实图像都 是我们研究混沌时所探索的目标。因此，混沌是一种关于过程的科学而不是关于状 态的科学，是关于演化的科学而不是关于存在的科学。今天的科学认为，混沌无处 不在。因此，对混沌科学的进一步研究将使我们对大自然的理解更加深刻。 一5 一 卜海交通人学博上学位论文 1 2 分数阶微积分与混沌 分数阶微积分( f r a c t i o n a lc a l c u l u s ) 是研究任意阶微分和积分的理论，是普通的整 数阶微分和积分向非整数阶( 任意阶) 的推广。术语“分数阶微积分 是在l e i b n i z 时代 被采用的，尽管许多学者认为用“任意阶微分和积分 ( i n t e g r a t i o na n dd i f f e r e n t i a t i o n o f a r b i t r a r yo r d e r ) 更为合适，但是自从分数阶微积分的研究开始以来它就被广泛地采 用，所以“分数阶微积分”仍沿用至今。 分数阶微积分是一个既古老又比较新颖的课题。之所以称其为古老的，是因为 分数阶微积分并不是一个新的概念，它的起源可以追溯至l j l e i b n i z 、g a u s s 署a n e w t o n 发 明微积分的年代。早在三百多年前，l h o s p i t a l 在给l e i b i n z 的信中就提道“w h a ti f t h eo r d e rw i l lb e 几= 妄? 即在求导去时，n = 去怎么办? l e i b n i z 在1 6 9 5 年9 月3 0 日的 回信中回答道： “i tw i l ll e a dt oap a r a d o x ，f r o mw h i c ho n ed a yu s e f u lc o n s e q u e n c e sw i l l b ed r a w n l e i b n i z 表示这个问题有些似是而非，但是他预言将来一定会得到有用 的结果。在给l h o s p i t a l 的信中，l e i b n i z 还提出了这样的问题：“c a nt h em e a n i n go f d e r i v a t i v e sw i t hi n t e g e ro r d e rb eg e n e r a l i z e dt od e r i v a t i v e sw i t hn o n i n t e g e ro r d e r s ? 即整 数阶微分的内涵能扩展到非整数阶吗? 弘i j 三百年多年来，由l e i b n i z 提出的关于分数阶微分的问题一直在研究中。许多数 学家为此付出了巨大的努力，! t 1 l i o u v i l l 、r i e m a n n 、e u l e r 署1 w e y l 对分数阶微积分理 论都作出了重大贡献，还有f o u r i e r 、a b e l 、l a c r o i x 、g r u n w a l d 署a l e t n i k o v 等等。 1 8 1 9 年，法国数学家s e l a c r o i x 出版了一本7 0 0 页关于微积分的书【1 1 】，其中有不 到两页的内容探讨了非整数阶微分，这是第一次出版涉及任意阶微分的书。之后出 版的一些专著中也有分数阶微积分的内容。直至1 1 9 3 2 年，l i o u v i l l e 才给出了分数阶微 分的第一个合理的定义。1 8 4 7 年，r i e m a n n 对分数阶微积分的定义作出了进一步的补 充。正是r i e m a n n 并i l i o u v i l l e 以及g r u n w a l d 矛l ：i l e t n i k o v 所做的研究工作使分数阶微积 分理论有了历史性的发展。 然而，分数阶微积分也可以认为是一个新颖的课题。由于缺乏明确的物理和 几何解释以及长期没有得到实际应用背景的促进，分数阶微积分的发展一直比 较缓慢。直到近三十年才有将其作为主题的会议和专著出现。第一次国际会议 是1 9 7 4 年6 月由b r o s s 在美国的n e wh a v e n 大学组织的第一届分数阶微积分及其应 用大会( f i r s tc o n f e r e n c eo nf r a c t i o n a lc a l c u l u sa n di t sa p p l i c a t i o n s ) ，并编辑出版了会 议论文集【1 2 】。第二届国际会议于1 9 8 4 年在英国的g l a s g o w 举行，会议出版了题为 ( ( f r a c t i o n a lc a l c u l u s ) ) 的论文集。1 9 8 9 年在日本东京举办了第三次国际会议，会议 的论文集为( ( f r a c t i o n a lc a l c u l u sa n da p p l i c a t i o n s ) ) 。上世纪九十年代以来，这个主 题出现在许多国际会议和专题研讨会上。例如，2 0 0 4 年7 f l 份在法国的b o r d e a u x 召开 的国际会议f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a t i o na n di t sa p p l i c a t i o n s 等等。 一6 一 第一章绪论 现代分数阶微积分的新纪元开始于上个世纪七十年代。1 9 7 4 年，两位著名 学者k b o l d h a m 和j s p a n i e r l 拘专著 1 3 1 分数阶微积分的发表，标志着分数阶微 积分的理论与应用研究进入了一个新的时代。1 9 8 2 年，b b m a n d e l b o r t 1 4 1 首次 指出自然界和许多技术科学中存在大量分数阶的事实，并存在整体和部分之间 的自相似现象，分数阶微积分随之成为研究分形几何和分数维动力学的有力 工具【1 5 ，l6 1 。目前已有一些讨论部分或全部研究分数阶微积分的著作问世，其 中s a m k o ，k i l b a s 和m a r i c h e v 的论著【1 7 ，1 8 】最为著名。在这些专著中，作者给出了 分数阶微积分及其在函数理论和微积分方程中应用的经典和现代的一些研究结 果。m i l l e r 和r o s s 的专著【1 9 主要是论述分数阶微积分和分数阶微分方程。广义分数 阶微积分以及其在特殊函数和积分变换中的应用在文献【2 0 1 中给出。分数阶微积分 算子的基本性质以及分数阶微分方程的解及其应用实例可以参见专著【2 1 。分数阶 微分和积分在复域上的基本性质见专著【2 2 ，2 3 。还有许多文献如【2 帕6 】等，都对 分数阶微积分在数学方面或实际应用方面进行了详细的分析研究。目前，对于分数 阶微积分的理论研究还在不断地深化。 尽管关于分数阶微积分在非线性系统尤其在混沌系统中的研究还处在一个起步 阶段，但是却是分数阶微积分应用最为活跃的领域。众所周知，连续系统出现混沌 现象的微分阶次必须大于等于3 。然而这一命题是建立在整数阶微分和积分的概念之 上的。如今，许多学者都已经证实在低于3 次的分数阶非线性系统中依然存在混沌 行为。这就彻底颠覆了p o i n c a r e - b e n d i x o n 的理论 2 7 , 2 8 1 。例如，在文献【2 9 中，2 7 阶 的立方非线性项分数阶c h u a 氏电路也能产生混沌吸引子。在文献【3 0 1 中，低于2 阶 的分数阶非自治d u f f i n g 系统依然可以保持混沌状态。在文献 3 1 】中，研究了分数 阶 j e r k 模型，并且表明在当阶数在2 1 时，同样可以产生混沌吸引子，同时该分数阶 系统的控制仿真试验在文献【3 2 中给出。文献 3 3 研究了w i e nb r i d g e 振荡器，并且表 明如果放大器增益合适的话，对于任意阶都可以产生极限环。同样在文献【3 4 】中讨 论了分数阶r 6 s s l e r 系统的混沌和超混沌现象，其中发现最低为2 4 和3 8 时，系统还分 别存在混沌和超混沌行为。文献 3 5 ，3 6 研究了分数阶神经网络系统的分叉和混沌现 象。最近，在文献【3 7 中，g a o 和y u 已经发现了低于3 阶的分数阶振荡电路中确实存 在混沌。进一步，在文献【3 8 】中，l u f f t l c h e n 发现在阶数为o 3 时分数阶c h e n 氏系统中 还存在混沌吸引子，这比文献 3 9 ，4 0 q b 的结果小了很多。另一方面，由于混沌同步 控制在保密通讯中有着极为广阔的应用前景，近年来吸引了大量学者的关注。文献 【4 1 ，利用数值仿真研究了分数阶动态系统的同步问题。在文献【4 5 】中，l u 禾t j 用 线性分数阶系统的稳定性理论从理论上分析了多个分数阶混沌系统的同步问题。但 是由于分数阶系统的一般理论还不成熟，尤其是在非线性系统、非同元次系统中目 前还没有可以借鉴的理论，所以分数阶混沌系统的研究还主要集中在以数值仿真实 一7 一 上海交通人学博上学位论文 验为主的阶段。 1 3 混沌的控制 由于混沌运动具有初值敏感性和长时间发展趋势的不可预见性，混沌控制就 成为混沌应用的关键环节。1 9 9 0 年e o t t 、c