第10讲 函数图像及其变换(教案).doc

让学习成为一种习惯！函数图像与变换教学目标：掌握常见函数图像及其性质（高考要求B），熟悉常见的函数图像（平移、对称、翻折）变换（高考要求B）.教学重难点：掌握常见函数图像及其性质，会用“平移、对称、翻折”等手段进行函数图像变换。教学过程：一.知识要点：1.常见函数图像及其性质：（1）平移变换：y=f(x) yf(xa)(a0)图象 横向 平移a个单位，（左+右）.y=f(x) yf(x)b(b0)图象 纵向 平移b个单位，(上+下)若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.（2）对称变换：y=f(x) y=f(x)图象关于 y轴 对称; 若f(x)=f(x),则函数自身的图象关于y轴对称.y=f(x) y=f(x)图象关于x轴 对称. y=f(x) y=f(x)图象关于原点 对称; 若f(x)=f(x),则函数自身的图象关于原点对称.y=f(x) y=f1(x)图象关于直线y=x 对称.y=f(x) y=f1(x)图象关于直线y=x对称.y=f(x) y=f(2ax)图象关于直线x=a 对称；y=f(x) y=2bf(x)图象关于直线y=b 对称.y=f(x) y=2bf(2ax)图象关于点(a,b) 对称.若f(x)=f(2ax)(或f(ax)=f(ax)则函数自身的图象关于直线x=a对称.若函数的图象关于直线对称（3）翻折变换主要有y=f(x) yf(|x|)的图象在y轴右侧(x0)的部分与yf(x)的图象相同，在y轴左侧部分与其右侧部分关于y轴对称.y=f(x) y|f(x)|的图象在x轴上方部分与y=f(x)的图象相同，其他部分图象为yf(x)图象下方部分关于x轴的对称图形.二.基础练习：1.若把函数f(x)的图象作平移变换，使图象上的点P(1，0)变换成点Q(2，1)，则函数yf(x)的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 ( A )A.yf(x1)1B.yf(x1)1 C.yf(x1)1 D.yf(x1)1 2.已知函数y=f(x)的图象如图23，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( B )A.y=|f(x)| B.y=f(|x|) C.y=f(x) D.y=f(x)图23解： y=f(|x|)是偶函数，图象关于y轴对称. 3.设函数y=2x的图象为C，某函数的图象C与C关于直线x=2对称，那么这个函数是y=24x解 y=f(x)的图象与y=f(4x)的图象关于直线x=2对称，设f(x)=2x,则f(4x)=24x4.设函数y=f(x)的定义域是R，且f(x1)=f(1x),那么f(x)的图象有对称轴 直线x=0 解： 设x1=t,则f(t)=f(t)，函数为偶函数，关于y轴对称. 5.函数y=的图象关于点(1，1)_对称.解： y=1,y=的图象是由y=的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为(1，1). 三.例题精讲：例1.(1)函数y=(0a1)的图象的大致形状是 （ D ）(2).（2009郑州模拟）定义运算则函数f(x)=的图象是 ( A ) (3).已知函数y=f(x)的图象如图所示，y=g(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)g(x)的图象可能是图中的（ C ）例2. 作出下列函数的图象.（1）.f(x)（2）f(x)x22|x|1（3）f(x)|x21|（4）f(x) （5）y=; （6）y=|x|.（7）（2）y=|log（1-x）|； (8)y=(lgx+|lgx|);例3.（1）定义在R上的函数y=f(x)、y=f(x)、y=f(x)、y=f(x)的图象重合，它们的值域为_0.【解析】 函数y=f(x)与y=f(x)的图象重合，说明函数y=f(x)的图象关于y轴对称；y=f(x)与y=f(x)图象重合，说明y=f(x)的图象关于x轴对称；y=f(x)与y=f(x)的图象重合，说明y=f(x)的图象关于原点对称.即若y=f(x)上任一点(x,y),则也有点(x,y)、(x,y)、(x,y);根据函数的定义，对于任一xR,只能有惟一的y与之对应，从而y=y,即y=0，故函数的值域为0.（2）已知函数f(x)定义域为R，则下列命题中y=f(x)为偶函数，则y=f(x2)的图象关于y轴对称. y=f(x2)为偶函数，则y=f(x)关于直线x=2对称.若f(x2)=f(2x),则y=f(x)关于直线x=2对称. y=f(x2)和y=f(2x)的图象关于x=2对称.其中正确命题序号有_(填上所有正确命题序号).【解析】 y=f(x)是偶函数，而f(x2)是将f(x)的图象向左平移2个单位得到的，则对称轴左移2个单位为x=2,所以f(x2)图象关于直线x=2对称.y=f(x2)为偶函数，则f(x2)=f(2x),所以y=f(x)图象关于直线x=2对称.令x2=t,则2x=t,得f(t)=f(t),y=f(x)的图象关于y轴对称.f(x)与f(x)的图象关于y轴对称，将f(x)与f(x)的图象分别向右平移2个单位，分别得到f(x2)与f(2x)的图象，对称轴右移2个单位为直线x=2. 例4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x2)=f(x),又当1x1时，f(x)=x3.(1)证明直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴；(2)当x1,5时，求f(x)的解析式.【解】 (1)设(x0,y0)是f(x)的图象上任意一点，它关于x=1对称的点为(x1,y1),则y0=y1,x0=2x1,y1=f(2x1)=f(x1)=f(x1)(x1,y1)也在y=f(x)的图象上，命题成立.(2)f(x)的图象关于x=1对称，故当1x3时，f(x)=(2x)3又当3x5时，1x41,此时f(x)=(x4)3f(x)=例5.设函数f(x)=x2-2|x|-1 (-3x3).（1）证明：f(x)是偶函数； （2）画出函数的图象；（3）指出函数f(x)的单调区间； （4）求函数的值域.（1）证明 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x),即f(-x)=f(x),f(x)是偶函数. （2）解 当x0时，f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,当x0时，f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,即f(x)=根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图所示.（3）解 函数f(x)的单调区间为-3，-1），-1，0），0，1），1，3.f（x）在区间-3，-1）和0，1）上为减函数，在-1，0），1，3上为增函数.（4）解 当x0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2;当x0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2,最大值为f(-3)=2;故函数f(x)的值域为-2，2.例6.作函数yx 的图象. 扩展：yax （a0，b0）的图像.例7.（1）已知函数y=f(x)的定义域为R，且当xR时f(m+x)=f(m-x)恒成立.求证：y=f(x)的图象关于直线x=m对称；（2）若函数y=log2|ax-1|的图象的对称轴是x=2,求非零实数a的值.（1）证明 设P（x0,y0）是y=f(x)图象上任意一点，则y0=f(x0).又设P点关于x=m的对称点为P，则P的坐标为（2m-x0,y0）.由已知f(m+x)=f(m-x), 得f(2m-x0)=fm+(m-x0)=fm-(m-x0)=f(x0)=y0.即在y=f(x)图象上，y=f（x）的图象关于直线x=m对称.（2）解 对定义域内的任意x,有f(2-x)=f(2+x)恒成立.|a（2-x）-1|=|a（2+x）-1|恒成立，即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|恒成立.又a0,2a-1=0,得a=.自我检测1.（2008全国理，3）函数f(x)=-x的图象关于 坐标原点对称2.作出下列函数的图象. （1）y=2-2x；（2）y=. （3）y3.已知f(x)=则f(x-1)的图象是 4.若函数f(x)=3+log2x的图象与g(x)的图象关于 y=x 对称，则函数g(x)= 2x-35. 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)g(x)的图象可能是 （ A ）6.设a1,实数x,y满足|x|-loga=0,则y关于x的函数的图象形状大致是 ( B )7.使log2(-x)x+1成立的x的取值范围是 .答案 （-1，0）8.设f(x)是定义在R上奇函数，在（0，）上单调递减，且f(x)=f(-x-1).给出下列四个结论：函数f(x)的图象关于直线x=对称；f(x)在(,1)上