（光学工程专业论文）磁光介质光子晶体的特性研究.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 结合磁光效应与光子晶体结构的磁光介质光子晶体是光子晶体研究的一个新 领域，在非互易光器件、可调光器件和小型化、片上集成光器件等方向具有重要 的应用价值。由于磁光介质光子晶体可通过控制外磁场，改变磁光晶体介电常数 张量中的非对角元，从而实现对光的控制。本论文详细计算了非对角元对一维磁 光介质光子晶体、二维磁光介质光子晶体能带结构的影响并对有限层一维磁光介 质光子晶体的法拉第效应和传输特性进行研究，得到了磁光介质光子晶体一些与 结构密切相关的特性。 一维磁光介质光子晶体的能带结构：在正入射情况下，当j 占，2 0 0 5 时，非 对角元对能带结构产生影响：右圆偏振模与左圆偏振模的本征频率分离开来，左 圆偏振模的频率高于右圆偏振模，并随着艿f ，变大，它们的本征频率相差也越大。 二维磁光介质光子晶体的能带结构：非对角元对t m 模能带结构没有影响；当 占占，0 1 时，非对角元对t e 模能带结构产生影响，在低频段同一布洛赫波矢对 应的本征频率随着j s ，值变大而变大。 有限层一维磁光介质光予晶体的优化结构：形如 d o ( d i d 2 ) ”i m 3 1 ( d 2 d i ) ”d 2 ( d i d 2 ) ”m 3 ( d 2 d i ) 。d o 的仅含两个磁 光层的多层膜结构能够获取很大的法拉第旋转角和透射率：其中仅含一个电介质 缺陷的多层膜结构透射率最好。对工作波长凡= 1 3 z m 、矗= 1 5 5 t m 设计的优化 结构，膜层总厚度仅十几微米，对正入射光可实现法拉第旋转角接近4 5 。，透射率 接近1 0 0 。 多层电介质膜结构的等效均匀介质特性：对正入射光，形如( d 2 d i ) * i d o 结构 ( d o 为空气) 的半无限的电介质膜结构可等效为一相对介电常数小至1 0 - 6 量级的 半无限均匀介质；形如( d 2 d i ) ”d 2 ( d i d 2 ) 的有限的电介质膜结构也可等效为一 相对介电常数小至l o - 6 量级的有限厚度均匀介质。 关键词：磁光介质光子晶体法拉第效应磁光隔离器优化结构散射矩阵 平面波展开法 第i 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 a b s t r a c t t h em a g n e t i cp h o t o n i cc r y s t a l ( m p c ) 。w h i c hc o m b i n e st h em a g n e t o o p t i c e f f e c ta n dp h o t o n i cc r y s t a ls t r u c t u r e ，h a sb e e na ni m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l d o fp h o t o n i cc r y s t a l i ti sv e r yi m p o r t a n ti nn o n r e c i p r o c a lo p t i c a ld e v i c e s ， a d j u s t a b l eo p t i c a ld e v i c e s ，a n dm i n i t y p e ，c o m p o s i t i v eo p t i c a ld e v i c e sa n d s oo n m p c sc a nc o n t r o lt h el i g h tb yc o n t r o l l i n go nt h ee x t e r n a lm a g n e t i c f i e l d ，a n dt h e nc h a n g i n gt h eo f t - d i a g o n a le l e m e n to ft h ed i e l e c t r i c c o n s t a n tt e n s o r so fm a g n e t o o p t i cc r y s t a l s i nt h i sp a p e r ，w ec a l c u l a t e t h ei n f l u e n c eo ft h eo f f - d i a g o n a le l e m e n to ft h ed i e l e c t r i cc o n s t a n t t e n s o r so fm a g n e t o o p t i cc r y s t a l si nd e t a il ，a n ds t u d yt h ef a r a d a ye f f e c t a n dt h et r a n s m i s s i o np h e n o m e n ao ff i n i t el a y e r so n e d i m e n s i o n a lm a g n e t i c p h o t o n i cc r y s t a l ，a n da c q u i r es o m ep r o p e r t i e sw h i c ha r en e a r l yc o n n e c t e d t ot h es t r u c t u r eo fm p c s o n e d i m e n s i o n a l m a g n e t i cp h o t o n i cc r y s t a l s b a n ds t r u c t u r e ：u n d e r n o r m a li n c i d e n c e ，i f 8 6 , 0 0 5 ，t h eo f f - d i a g o n a le l e m e n tb e g i ne f f e c tt h e b a n ds t r u c t u r e ：t h ee i g e n f r e q u e n c yo ft h er i g h t c i r c l ea n dt h el e f t c i r c l e p o l a r i z a t i o nm o d e ss e p a r a t ef r o m e a c ho t h e r t h ef r e q u e n c yo ft h e r i g h t 。c i r c l ep o l a r i z a t i o nm o d ei sh i g h e rt h a nt h el e f t 。c i r c l ep o l a r i z a t i o n m o d e a n dt h ed i f f e r e n c eo ft h ee i g e n f r e q u e n c ys h o u l di n c r e a s ea st h e6j i i n c r e a s e s t w o d i m e n s i o n a l m a g n e t i cp h o t o n i cc r y s t a l s b a n ds t r u c t u r e ：t h e o f f - d i a g o n a le l e m e n th a v en oe f f e c to nt h eb a n ds t r u c t u r eo ft mm o d e 耽e n j q o 1 ，t h eo f f - d i a g o n a le l e m e n tb e g i ne f f e c tt h eb a n ds t r u c t u r eo ft e m o d e i nl o wf r e q u e n c yr a n g e ，t h ee i g e n f r e q u e n c yw h i c hi sc o r r e s p o n d i n g t ot h es a m eb l o c hv e c t o rs h o u l di n c r e a s ea st h e6 | i n c r e a s e s ， t h eo p t i m i z e d m u l t i p l a y e r f i i m ss t r u c t u r eo ff i n i t e l a y e r o n e d i m e n s i o n a lm a g n e t i cp h o t o n i cc r y s t a l s ：a st h es t r u c t u r eo f d o i ( d 1 d 2 ) 。i m 3 ( d 2 d i ) “| 0 2 ( d i | 0 2 ) “| m 3 ( d 2 d 1 ) “fd o t h em u l t i p l a y e rf i l m ss t r u c t u r ew h i c hh a v et w om a g n e t o o p t i cf i i m sc o u l d s i m u l t a n e o u s l ye x h i b i t sv e r yh i g ho p t i c a lt r a n s m i t t a n c ea n df a r a d a y r o t a t i o na n g l e ，t h em u l t i p l a y e rf ii m ss t r u c t u r ew h i c hh a v eo n ed i e l e c t r i c f i l md e f e c tc o u l de x h i b i t st h eh i g h e s to p t i c a lt r a n s m i t t a n c e i nt h e 第n 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 c o n d i t i o no f 凡= 1 3 p r oa n d 凡= 1 5 5 p m ，w ef o u n dt h eo p t i m i z e ds t r u c t u r e o fm u l t i p l a y e rf i l m s ，a c h i e v et e nt ot w e n t y m i c r o nf i l m sd e p t h ，4 5 f a r a d a yr o t a t i o na n g l e a n d1 0 0 t r a n s m i s s i o nr a t i o t h ee q u i v a l e n th o m o g e n e o u sd i e l e c t r i cp r o p e r t i e so ff i l m ss t r u c t u r e ： a st h es t r u c t u r eo f ( d 2 d 1 ) “d o ( d or e p r e s e n t sa i r ) ，s e m i i n f i n i t e d i e l e c t r i cf il m ss t r u c t u r ei se q u i v a l e n tt oa ns e m i i n f i n i t eh o m o g e n e o u s d i e l e c t r i cw h o s er e l a t i v ed i e l e c t r i cc o n s t a n ti sa ss m a l la s l 0 4 m a g n i t u d e a st h es t r u c t u r eo f ( r e d o d 2 ( d i d 2 ) ”，f i n i t ed i e l e c t r i cf i l m s s t r u c t u r ei se q u i v a l e n tt oaf i n i t eh o m o g e n e o u sd i e l e c t r i cw h o s er e l a t i v e d i e l e c t r i cc o n s t a n ti sa l s oa tt h em a g n i t u d eo fl o - 6 k e yw o r d s ：m a g n e t i cp h o t o n i cc r y s t a l s ，f a r a d a ye f f e c t ，m a g n e t o o p t i c a li s o l a t o r ， o p t i m i z e ds t r u c t u r e ，s c a t t e r i n gm a t r i x ，p l a n e - w a v ee x p a n s i o nm e t h o d 第i i i 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 图目录 图2 1 1 不同层之间的前向波和后向波的传输图示。，= 0 是表面，： ，是基底4 图2 2 1一维磁光介质光子晶体结构图6 图2 2 2b i ：y i g s i 0 2 组成的一维磁光介质光子晶体通带图9 ( = 5 5 8 ，万= - 1 9 8 1 0 。，毛= 2 o d 9 图2 2 3 同性b i ：y l g s i 0 2 组成的一维光子晶体结构通带图9 ( e x = 5 5 8 ，艿= o ，毛2 2 0 1 ) 9 图2 2 4 一维磁光介质光子晶体结构带图( a ) ：右圆偏振模：( b ) ：左圆偏振模； 1 ( ) ( s e , = 3 , 5 4 8 4 x 1 0 。4 ，幺= 5 5 8 ，6 = o 0 0 1 9 8 ，t = o o ) 1 0 图2 2 5一维磁光介质光子晶体结构带图 ( a ) ：右圆偏振模：( ”：左圆偏振模； 1 ( ) ( 8 e ，= o 0 5 ，t = 5 5 8 ，8 = o 2 7 9 ，颤= o 0 ) 1 0 图2 2 6 一维磁光介质光子晶体结构带图 ( a ) ：右圆偏振模；( b ) ：左圆偏振模； 1l ( j f e x = o 3 ， = 5 5 8 ，8 = 1 6 7 4 ，屯= o o ) t i 图2 3 1 一维磁光介质光子晶体的结构模型示意图一1 4 图2 3 2入射角口一法拉第旋转角以关系图1 4 图2 3 3 入射角口透射率t 关系图1 5 ， 图3 2 1 互m e 2 结构的砟和t 随五值变化情况图( 写= 2 o l ，如= 每， 凡= 1 3 9 m ) 1 7 ， 图3 2 2 毋和t 随墨值变化情况图( 乞= 最，丸= 要，凡= 1 3 z m ) 1 8 上 图3 2 3 巨m e ：结构的睇( d 一厶变化关系图( e = 4 3 3 4 x l o - 7 ，曷= 2 0 1 ，以 】 = 二：生) 18 2 图3 2 4 求解多层膜的导纳递推法示意图1 9 图3 3 1 ( a ) ：五一睇一t 关系图( b ) ：五一易- t 关系图； ：! ( ) 图3 3 2 结构的t 随h 变化情况图图3 3 _ 3 结构的t 随h 的变化情 况图2 l 第1 i i 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 图3 3 4 结构的t 随h 的变化情况图2 2 图3 3 5 所五加结构的透反谱( 最= 3 4 6 7 4 x 1 0 - 6 ，丘= 1 7 4 5 3 1 0 2 ) 2 2 图3 3 6 m ( d 2 d 1 ) d 2 ( d 1 d 2 ) ”m 结构的透反谱( 毛= 4 2 0 1 2 、岛= 2 o l ，n = 9 ) ：1 3 图3 3 7 d o ( d i d 2 ) ”m 3 ( d 2 d 1 ) ”d 2 ( d i d 2 ) ”m 3 ( d 2 d i ) ”d o 结构的2 3 砟( ，d 一 变化关系图( 毛= 4 2 0 1 2 、乞- - - - 2 0 1 ，n = 9 ) 2 3 图3 4 1 优化结构的a 一以关系图 图3 4 2 优化结构的五t 关 系图2 5 图4 2 1 二维正方格子磁光介质光子晶体平面图( 晶格常数为口，空气柱半径为， 空气3 l 柱相对介电常数为毛，背景相对介电常数为厶，占在z 方向不变，在x 和y 方向呈周 期变化) 3 1 图4 2 2 方格子的第一布里渊区3l 图4 2 3 在均匀磁光介质中，空气柱构成的正方格二维磁光介质光子晶体3 2 t e 模的r m x r 带图( 8 = o 0 0 1 9 8 ，占。= 5 5 8 ，= l ，r = o ) a l a 2 53 2 图4 2 4 在均匀磁光介质中，空气柱构成的正方格二维磁光介质光子晶体3 2 t e 模的r m x r 带图( 8 = o ，占，= 5 5 8 ，e = 1 ，r =o)oa 2 53 2 图4 2 5 8 6 ，= 0 1 时，均匀磁光介质中空气柱构成的正方格二维磁光介质3 3 光子晶体t e 模的i 一m x r 图( s 。- 5 5 8 ，e = 1 ，r = 0 o a 2 5 )3 3 图4 2 6 8 8 ，= 0 6 时，均匀磁光介质中空气柱构成的正方格二维磁光介质3 3 光子晶体t e 模的r m x r 带图( f ，= 5 5 8 ，= 1 ，r = 0 ) o a 2 53 3 图4 2 7 8 6 ，= 0 9 时，均匀磁光介质中空气柱构成的正方格二维磁光介质3 3 光子晶体t e 模的r m x r 带图( s ，= 5 5 8 ，= l ，r = 0 ) o a 2 53 3 第1 v 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意 学位论文题目：蕉迸企厦左王昌盛的挂性噩壅 学位论文作者签名：童益日期：矗o 。6 年7 ，月印日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留，使用学位论文的规定本人授权国 防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档，允 许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文题目： 垡左盘：厦出王基签鲤挂蛙叠究 学位论文作者签名：董盐 日期：文o o 年月扣日 作者指导教师签名：靠i j 毛聋f i 王) 日期：2o c 年f 2 月f 日 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章绪论 磁光晶体的磁光效应一直是磁光学理论研究的一个主要问题，尤其是近年来 随着光予晶体概念的出现和应用研究的深入，使得含有磁光晶体的磁光介质光子 晶体的特性和具有特定功能的介质结构设计问题成为当前光子晶体理论研究的一 个热点。 1 1 1 磁光晶体 1 1 磁光介质光子晶体 磁光效应( m a g n e t o o p t i ce f f e c t ) 是光与具有磁矩的磁光介质相互作用的 产物，具体表现为线偏振光经过磁光介质偏振态会发生变化。磁光效应包括法拉 第效应( f a r a d a ye f f e c t ) 、克尔效应( k e r re f f e c t ) 、磁线振双折射、磁圆振二向 色性、磁线振二向色性、塞曼效应和磁激发光散射等许多类型。目前，研究和应 用最为广泛的磁光效应是法拉第效应和克尔效应。 这里我们重点介绍，一束线偏振光沿外加磁场方向或磁化强度方向通过磁光 介质时偏振面发生旋转的法拉第效应。描述法拉第效应大小的物理量是法拉第旋 转，亦可称为磁光旋转。定义单位长度上的法拉第旋转为旋光率( r o t a t i o nr a t e ) ， 亦称为比法拉第旋转( s p e c i f i cf a r a d a y ) ，其表达式为： e ：= e ：七诏： 一般情况下，磁性介质中的以正比于介质磁化强度丽在光传播方向上的投影。 磁光晶体是具有磁光效应的晶体材料。磁光效应与晶体材料的磁性，特别是 材料的磁化强度密切相关，因此，一些优良的磁性材料往往也是磁光性能优良的 磁光材料，例如钇铁石榴石( e n 一：，简称y i g ) 和稀土铁石榴石晶体。但是， 材料的磁光性能不仅仅倚赖于材料的磁化强度，还与材料的磁光系数或费尔德常 数有关；从微观上看，磁光效应的大小与组成晶体的原子或离子的能级结构，以 及由光激发引起的能级间的电子跃迁情况有关。所以，一些磁性能并不十分突出 的磁性材料可以具有十分优良的磁光性能，从而是一种优良的磁光材料。掺铋( b i ) 稀土石榴石晶体就是明显的一例。在以下的理论计算中，我们所选用的正是掺铋 的钇铁石榴石( b i ：y i g ) 薄膜，b i ：y i g 晶体在1 a n 一6 肼的波长范围内，有很低 的吸收系数。 在描述光场的m a x w e l l 方程组中，介质特性统一由介质的相对介电常数张量 第l 页 占= 雕刭 1 1 2 磁光介质光子晶体 光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l ，简称p h c ) 是一种新型的人工结构功能材料， 通过设计可以人为调控经典波的传播嘲。光子晶体的概念是e y a b l o n o v i t c h 和 s j o h n 于1 9 8 7 年分别在讨论如何抑制自发辐射和无序电介质材料中的光子局域 时各自独立地提出的。如果将具有不同折射系数的介质在空间按一定的周期排 列，当空间周期与光波长相当时，由于周期性所带来的布拉格散射，它能够在一 定频率范围内产生“光子禁带”( p b g ：p h o t o n i cb a n dg a p ) 。光子禁带的存在 是光子晶体最重要的特征。由于光子晶体器件主要通过结构控制光在其中的传播， 因而拥有很多其它光学器件所不具备的优点。目前，光子晶体己被用于制作高性 能反射镜、光子晶体波导、光子晶体微腔、光子晶体光纤、光子晶体超棱镜、偏 振器等等。 磁光介质光子晶体( m p c ：m a g n e t i cp h o t o n i cc r y s t a l ) 就是以磁光晶体作为 一个组元的光子晶体。磁光晶体的磁光效应与光子晶体的结构控制光特性的结合， 使得磁光介质光子晶体呈现出一些奇特的性质。如利用磁光晶体相对介电常数张 量中非对角元依赖于外加磁场特性，可以设计通过外磁场的控制的可调光子晶体 第2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 利用一维磁光介质光子晶体结构良好的法拉第效应，可制作成仅十几微米、高性 能的磁光隔离器睁嘲。 1 2 课题简介 结合磁光效应与光子晶体结构的磁光介质光子晶体是光子晶体研究的一个新 领域，在非互易光器件、可调光器件和小型化、片上集成光器件等方向有重要的 应用价值。本文主要研究磁光晶体相对介电常数张量中非对角元对一维磁光介质 光子晶体、二维磁光介质光子晶体能带结构的影响；研究有限层一维磁光介质光 子晶体的法拉第效应和传输特性，设计高传输率、大法拉第旋转角的有限层一维 磁光介质光子晶体优化结构。 本论文具体内容如下： 1 、讨论一维磁光介质光子晶体的能带结构、法拉第效应和传输特性，包括考 虑入射角度对法拉第旋转角和透射率的影响： 2 、分析在正入射情况下，影响有限层一维磁光介质光子晶体的法拉第效应和 透射率的因素，总结优化原则，研究有限层一维磁光介质光子晶体的优化结构。 3 、讨论二维磁光介质光子晶体的能带结构，分别考虑磁光晶体相对介电常数 张量中对角元和非对角元的影响。 第3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章一维磁光介质光子晶体特性 本章主要包括两方面的内容，一方面，理论计算无限层一维磁光介质光子晶 体的能带结构，并分析磁光晶体相对介电常数张量中非对角元对能带结构的影响。 另一方面，求解有限层一维磁光介质光子晶体的法拉第旋转角、透射率的表达式， 分析入射角度的影响，为以后设计有限层一维磁光介质光子晶体的优化结构( 用 于实现磁光隔离器) 奠定理论基础。 2 1 散射矩阵法基本原理 由于本章所研究的一维磁光介质光子晶体结构为分层结构，所以用散射矩阵 法解一维磁光介质光子晶体的能带结构既简单方便，又可以保证磁光晶体各向同 性介质界面的场匹配，数值结果比较稳定。 散射矩阵法“7 1 是求解分层均匀系统波行为的一种典型方法。这里仅以一维分 层均匀介质为例，介绍散射矩阵法的基本思路。具体如图2 1 1 所示： i 略 吃 q q h 订f + 2 、 i 、 t 岛辑 0 b h 岛 l 图2 1 1 不同层之间的前向波和后向波的传输图示。z = 0 是表面，= n 是基底 由于每个分层具有沿分层方向( 图示z 向) 的平移不变性，因而每层均包含 沿z 正向和负向传播的两个简并波。我们取第，层正向波在该层起点的振幅系数为 珥，反向在该层终点的振幅系数为6 f 。 散射矩阵 散射矩阵( s c a t t e r i n gm a t r i x ) 就是联系不同层之间正向波q 和反向波岛的 振幅系数的关系，定义如下： 第4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 ( 善 ；s ( ，) ( z = ( 妻：；! ( z c z t ， 相邻两层之间的振幅系数可通过界面联系矩阵( i n t e r f a c em a t r i x ) i ( 1 ，l + 1 ) 相联系，定义为： 叫u ( 盎+ 心吲1 1 2 _ l f 训 a ，l + l m ) 亿m ， 其中，相位矩阵z = z ( 讲) = e a q l 4 ，鼋，是第，层中波的纵向传播波失。联立上 述散射矩阵和界面联系矩阵，不难得到散射矩阵的递推关系，即s ( 1 ，1 + 1 ) 为： s ，( f ，z + 1 ) = ，一z s ：“，) l ，1 z s ，u 。，) s ：( ，“1 ) = ( ，。一z s ：( ，) ，：，) _ 1 墨：( ，z ) ，：一：谚。 ( 2 1 3 ) s 2 1 ( ，+ 1 ) = s 2 2 0 ，i ) i 2 l s i l ( ，+ 1 ) + s 2 l ( ，) s 2 2 ( ，+ 1 ) = s 。( ，i ) i 2 l s 。2 ( ，1 + 1 ) + s 2 ：( ，d l 2 z “ s ( 1 , 1 9 = 1 通常取半无限的入射面的，= 0 ，半无限的出射面，= n ，则该分层均匀系统的 物理性质可由散射矩阵s ( 0 ，n ) 得到。在下面计算一维磁光介质光子晶体的能带 结构时将会用到散射矩阵。 传输矩阵 传输矩阵( t r a n s m i s s i o nm a t r i x ) r ( ，l + 2 ) 定义如下： ( 怎 叫u 蚴( 汜， 相邻两层之间的振幅系数通过界面联系矩阵，( ，- 1 ) 相联系： ( 叫u 邶( 盎+ 。 位， ( 舒卜扎m ，慨： 哆， 将( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 式代入( 2 1 i4 ) 式，得： ，u ，+ 2 ) ：，u + 1 ，+ 2 ) 。f 石“0 1 ，( l ，+ 1 ) 。 ( 2 1 7 ) l0石+ 一1 j 以此类推，可求出多层膜的传输矩阵r ( o ， ，) 。在下面计算有限层维磁光介 质光子晶体的法拉第效应和传输特性时，会用到传输矩阵。 第5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 2 2 一维磁光介质光子晶体的能带结构 2 2 1 一维磁光介质光子晶体本征方程 一维磁光介质光子晶体结构，即由磁光晶体和电介质周期性排列构成的磁光 多层膜结构。下面讨论如图2 2 1 所示一维磁光介质光子晶体的本征方程。我们 取介质的分层方向为z 向，考虑一个周期单元( 共三层) ，一至三层相对介电常 数分布依次为毛：毛，相应厚度为4 ：以：4 。 i n 。 ：x l1 b l ；、。一。27 一 a 3 3 b 3 。、j 。，j 。? 卅7 4 ”j b 4 二“ 嘎 图2 2 1 一维磁光介质光子晶体结构图 问题。计算得：n 岛r 一= 旺寻习 荸苫兰 旺虽； 1 气，则一维磁 这里我们定义光的态矢量为：a = 心口，吃 ，) 2 ，其中；= 岛西，j ；= 胁万c ， 第6 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 a = 一话 n ? 一l 三盟 国n ? 一s x 弘一番， 矿p “t k ； 式中， k = ( 厄瓦否霹j i 瓦瓦再霹j 再刀五瓦再虿f 五万可 + s x k ? 一8 2 k , 2 一。s 童? + 2 9 g , ) 2 ( 6 f l ，2 + sz 一。k ? 、 啤8 聍e l ：一8 鼬m z 在正入射条件下，以2 = t + 万，f 2 = 一万，i f z + = 詈乏万，乞一= 詈乏i ， 则其本征模式人、人一的表达式变为： 人= 1 叫 人=一r 历r “2 e j ( 2 2 2 ) 很明显，a 即为右旋圆偏振模，a 一为左旋圆偏振模，也就是说，在正入射条 件下，磁光晶体的本征模式为左、右旋圆偏振模。 利用m a x w e l l 方程组，写出各层场表达式，再利用介质交界面切向场连续条 件求得界面联系矩阵，u ，“1 ) 。 石钆 石q 一 岛+ 岛 = z d 2 + 口2 一 五也+ 磊岛 石口2 + 正吒一 屯+ 岛一 = l 吗+ 码一 五岛+ 五玩一 ( 2 2 3 ) 这里，钆、q 分别代表了1 层正向( 沿z 轴正方向) 的本征模式a + 、人一偏 振波的场展开系数，巍+ 、岛一分别代表了1 层反向( 沿z 轴负方向) 的本征模式人+ 、 a 一偏振波的场展开系数，口2 + 、椎、珏、6 2 类似，z 、五是相位因子，厶，五分 别是一个4 x 4 的矩阵。 垡：一童嘉 国防科学技术大学研究生院学位论文 由( 2 2 3 ) 式求得界面联系矩阵，同相位矩阵z 一起带入散射矩阵迭代方程式 ( 2 1 3 ) ，再加上初始条件s ( o ，o ) = 【1 ，o ；o ，l 】。可得一个周期的散射矩阵甄l ，3 ) ： q 岛+ 6 l 一 = s o ，3 ) la 。l l 屯 而1s 1 2 $ 2 1 $ 2 2 s 3 , 嘞 $ 4 1s 4 2 $ 1 3 钆 $ 2 3s 2 4 岛3 岛4 s 4 3 q + 口l 一 6 3 + 岛一 ( 2 2 。4 ) 由于一维磁光介质光子晶体在z 向的周期平移对称性，由b l o c h 定理可得如 下关系式： 码 呜一 岛 岛一 e x p ( i k d ) o o 0 o o 0 e x v ( i 材) 其中k 为b l o c h 波矢，取值范围为第一布里渊区卜_ 7 1 ：，勺。 aa 记= e l l r d ，由方程( 2 2 4 ) 、( 2 2 5 ) 可得： 记矩阵矿= 毛2 ， 4 s 牡一ps bs m 岛2岛3 一一1岛4 s,2$43 s u 一 ， 41 s 2 3翰f $ 3 3 - - 。l 一声。j a t + q 一 岛+ 6 3 ， 则方程( 2 2 6 ) 有解条件为： d e t ( w ) = o 由此，便得到了一维磁光介质光子晶体的本征方程。 2 2 2 一维磁光介质光子晶体能带结构 q + q 一 岛+ 岛一 ( 2 2 5 ) = 0 ( 2 2 6 ) 本节将考虑由磁光晶体一各向同性介质组成的一维磁光介质光子晶体的能带 结构，主要分析磁光晶体相对介电常数张量中非对角元对能带结构的影响。 作为算例，计算由掺铋的钇铁石榴石( b i ：y i g ，磁光晶体) 和二氧化硅( s i 0 2 ， 各向同性介质) 构成的一维磁光介质光子晶体，结构如图2 2 1 所示。在凡= 1 3 u r n 时，取s i0 2 相对介电常数蜀= 2 0 1 ，厚度4 = 磊即百) ，b i ：y i g 相对介电常数张 第8 页 材 o o o o p 懿。o o p 懿 ， 2 2 2 一鼢 扩嘞 j j s 是 国防科学技术大学研究生院学位论文 量中占。= 5 5 8 ，艿= 一1 9 8 x 1 0 。( 为简单取乞= q ) ，厚度d 2 = 九( 2 q ) 通过 散射矩阵计算得到由b i ：y i g s i0 2 组成的一维磁光介质光子晶体的通带图，如图 2 2 2 所示，其中灰色区域是通带，白色区域是禁带。很显然，该结构和一般的由 各向同性介质构成的一维光子晶体一样没有完全禁带。 图2 2 2b i ：y i g - _ s i o 。组成的一维磁光介质光子晶体通带图 ( 乞= 5 5 8 ，艿= - 1 9 8 x 1 0 一，毛= 2 0 1 ) 为了找到磁光晶体相对介电常数张量中的非对角元对能带结构的影响，我们 将b i ：y i g 相对介电常数张量中的非对角元取值为0 ，使其成为一种新型的各向同 性介质，暂命名为同性b i ：y i g ，其它条件保持不变，然后作出由同性b i ：y i 卜s i 0 2 组成的一维光子晶体的通带图，见下图2 2 3 。 图2 2 3 同性b i ：y i g s i o z 组成的一维光子晶体结构通带图 ( t = 5 5 8 ，万2 0 ，毛。2 0 1 ) 比较图2 2 2 与2 2 3 ，从数值上看，在计算精度取0 0 0 1 时，两种结构的本 征频率范围值完全相同。因此，就常用的磁光晶体而言，由于它的相对介电常数 张量中非对角元很小( 相对于对角元来说，艿l o 0 1 ) ，所以组成一维磁光介 堕堂王曼竺笙塑亘：茎j ! 翌鱼垂型望堂图丛兰塑塑墅堕： 国防科学技术大学研究生院学位论文 为了进一步研究磁光晶体相对介电常数张量中的非对角元对能带结构的影响， 我们将其对角元作为一个固定值，非对角元值相对于它逐渐增加，其它条件保持 不变，在此基础上观察带图的变化。 为便于观察，下面只作出在正入射条件下( t ，= 0 0 ) 的带图。通过前面的理 论分析可知，在正入射条件下，一维磁光介质光子晶体的本征模式为右圆偏振模 和左圆偏振模，所以下面分别研究这两种模式的带图。 假定b i ：y i g 相对介电常数张量中的对角元占，不变，非对角元万相对于占，逐渐 增大，其它条件保持不变。图2 2 4 2 2 6 分别是8 e = 3 _ 4 ( 即x 5 4 8 4 x 1 0 0 0 0 1 9 8 5 5 8 ) ，0 0 5 ，0 3 时，由b i ：y i g s i 0 2 组成的一维磁光介质光子晶体 的带图( 七，= o 0 ) ，其中( a ) 是右圆偏振模，( b ) 是左圆偏振模。 k d t ，r材f # ( i ，由 图2 2 4 一维磁光介质光子晶体结构带图( a ) ：右圆偏振模；( b ) ：左圆偏振模； ( 8 g = 3 5 4 8 4 x 1 0 。4 ，t = 5 5 8 ，艿= o 0 0 1 9 8 ，t = o o ) 图2 2 5 一维磁光介质光子晶体结构带图 ( 万瓦= o 0 5 ，2 5 5 8 ， h ， 由 ( a ) ：右圆偏振模；( b ) ：左圆偏振模； 艿= o 2 7 9 ，t = 0 o ) 第l o 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 t t ， 。 图2 2 6 一维磁光介质光子晶体结构带图 ( 艿毛= o 3 ，= 5 5 8 ， ( a ) ：右圆偏振模；( b ) ：左圆偏振模； j = 1 6 7 4 ，t = o o ) 比较图2 2 4 2 2 6 ，从数值上看，计算精度取到0 0 0 1 ，当 8 8 = 3 - 4 时，低频段的左、右圆偏振模的本征频率范围值的绝对误差值, 5 4 8 4 x1 0 为0 ；当8 c x = o 0 5 时，低频段的左、右圆偏振模的本征频率范围值的绝对误差值 在0 - - 0 0 2 1 之间；当j 占，= 0 3 时，低频段的左、右圆偏振模的本征频率范围值 的绝对误差值在0 0 4 3 一o 1 7 8 之间。 因此，磁光晶体相对介电常数张量中的非对角元对能带结构是否存在影响取 决于非对角元与对角元的比值大小。当它们的比值8 e , o 0 5 时，非对角元对能 带结构几乎没有影响；当万占o 0 5 时，非对角元对能带结构开始有了明显的影 响。就正入射时的情况来说，当8 8 , 0 0 5 ，右圆偏振模与左圆偏振模的本征频 率范围几乎完全一样；当8 8 , 0 0 5 时，右圆偏振模与左圆偏振模的本征频率范 围分离开来，且在低频段，同一布洛赫波矢对应的左圆偏振模的本征频率明显高 于右圆偏振模，并且随着万，变大，它们的本征频率相差也越大。 该现象出现的物理机制是：在正入射情况下( t ，= 0 ) ，当8 s x 比值很小时， 即j 很小时，左、右圆偏振模所对应的吃、值差别也很小( n2 = t 一万， 栉2 = + 艿) ，几乎相等，于是在带图中表现为它们的本征频率范围相同；当艿占。 比值足够大，即占足够大时，左圆偏振模所对应的吃就会明显小于右圆偏振模所 对应的 。，因此，这时在带图中同一布洛赫波矢对应的左圆偏振模的本征频率就 会明显高于右圆偏振模，并且随着万占。变大，n 、一的差值越大，左、右圆偏振 模的本征频率值相差也越大。 第1 l 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 2 3 一维磁光介质光子晶体的法拉第旋转角和透射率 计算有限层一维磁光介质光子晶体，对于任意角度的入射光的法拉第旋转角 和透射率，我们首先要确定在相应介质( 分为磁光晶体和各向同性介质两种) 中 光的本征态矢，见( 2 2 1 ) 式，然后结合m a x w e l l 方程和电磁场的边界连续性条件， 确定光在各层膜中的态矢量a ( 0 、相位矩阵z 以及界面联系矩阵，( ，“1 ) ，再由 ( 2 1 7 ) 式递推出该多层膜结构的传输矩阵r ( o ，n ) 。 ，= o 层和，= n 层的态矢量a ( ) 将由下式相联系： a ( ，= n ) = t ( 0 ，n ) a ( ，= 0 ) ( 2 3 1 ) 在各向同性介质层中( 占= o ，占，= g ：，也+ = 也一= 屯，一= 吃= t ) ，对于 任意入射角度的光，其本征态a 、a 一分别为： a 。= a= l l 一_ ck i d 三( 哎+ 譬) 蓐 p 即+ 即( 2 3 2 ) 仅考虑入射光为j 1 ( a + + a 一) 波( 在空气层中，即为t m 波) 的情况。在，= o 面 ( 空气层) 上，光的态矢量可为入射的三( a + + a 一) 波和反射的a + 、a 一波的叠加， 在，= 面( 空气层) 上，光的态矢量则为透射的a + 、a 一波的叠加，即： a ( i ：o ) ：= l 上 + 1 l 一三t f 国 c ，。七。2 、 i ( t + “。+ c 2 l l 三屯f 一三( t + 与 国 t ( 2 3 3 ) ，砰一哎 t