（光学专业论文）自相似孤子的传播.pdf

华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 摘 要 摘 要 在光纤通信中影响信息传输容量和传输距离的主要因素是损耗、非线性和色散 （衍射） 。关于损耗通过光纤放大器等很容易解决，色散现在通过色散补偿也可以解 决，非线性效应却是一直难以攻克的问题。光孤子的出现恰好解决了这一难题，它既 解决了色散（衍射） ，又克服了非线性的影响。使大容量、长距离光纤通信成为可能， 是一种理想的信息载体。 本文主要研究了光束在传播过程中的演化规律。 首先介绍了用自相似方法求解强 非局域介质中的非线性薛定谔方程，并研究了光束在传播过程中的演化特征。然后研 究了一般非线性介质中传输的光孤子被光学谐振子势调制后在传播方向上的演化特 征。通过分析我们得到如下结论： 1 光束在介质中传播时， 只有在材料系数和光束的初始功率一定时光束才会形成 光孤子向前传播。在其它情况下，形成呼吸子向前传播。另外，光束的自相似演化特 征与光束的初始功率是相关的。而在光束初始功率固定的时候，光束峰值强度随着材 料常数的变大而变大。 2 光孤子被光学谐振子调制后具备了谐振子波包的空间分布特点， 形成了由多个 波包组成的孤子簇。亮孤子被调制后在传播过程中，孤子簇峰值光强迅速衰减。而暗 孤子被适当调制后，可以不具备暗孤子的特点；或者刚开始具备，在传输一段距离后 便摆脱暗孤子的束缚，以方阵分布的孤子簇形式向前传播。并且，暗孤子被光学谐振 子势调制后孤子簇峰值光强在传播过程中只是有小的起伏。 关键词：关键词：自相似 强非局域 谐振子势 i 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 abstract the major factor in the impact of the optical fiber communication in the information transmission capacity and distance is the loss, dispersion (diffraction) and nonlinear caused by media. the fiber amplifier can solve the loss, and the dispersion can be compensation too. but the nonlinear is difficult to overcome until the solitons is discovered. it can realize the long distance and high capacity of the optical fiber communication. while optical fiber solitons could be used as the information carrier in optics fiber, they may innovate the optics communication. in this paper, we study the propagation of self-similar solitons. a broad class of exact self-similar solutions to the strongly nonlocal nonlinear schrdinger equation been obtained at first. we study the characteristics of beams which propagate in nonlocal nonlinear media after that. and then study the solutions of nonlinear schrdinger equation that consider the harmonic oscillator potential. the principal achievements obtained are as the following: 1 the beam can form solitons when the material constants and initial optical power have fixed value. the beams have periodic oscillations when propagate in nonlocal nonlinear media in other conditions. the self-similar evolution of the beams is related to the initial power, and proportional to the material constants. 2 the solitons is changed into soliton clusters after modulation of harmonic oscillator potential. after modulation, the peak intensity of the bright solitons decay rapidly and the dark solitons only have a small vibration in the propagation. key words：self-similar, nonlocal, harmonic oscillator potential ii 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密 ，在_ _年解密后适用本授权书。 本论文属于 不保密。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 绪论绪论 1.1 孤子孤子 孤子是一种奇特的自然现象，在传输过程中保持波形不变，并且能量和动量也 保持守恒，是人们研究的热点之一。被广泛应用于基本粒子物理、材料科学、弹性 力学、统计力学、流体力学、声子、位错、工程学、等离子物理、固体物理、凝聚 态物理、高分子理论、分子生物学以及非线性光学等领域。在大量的研究中，人们 逐渐建立了较完整的孤子理论。 在光学领域有关非线性现象的研究， 最先引起人们注意的是克尔介质中的自聚焦 效应1，并且人们还发现了由于立方非线性和散射的平衡而存在的一个类似于孤子的 解。其实早在上世纪六十年代，激光器问世之后，人们在实验室中就观察到了自聚焦 效应，这就是人们最早观察到的空间光孤子。而光孤子概念是由hasegawa和tappert 于 1973 年首次提出的2。光孤子的形成来源于光在介质中传输时，线性和非线性之 间的相互作用。当光在线性介质中传输时，色散导致了波包的加宽。在光学非线性介 质中，一定强度的光的存在可以改变介质的折射率，在自聚焦材料中折射率的改变正 比于光强。这种折射率的改变类似于光激发的透镜使得光束自聚焦，当自聚焦效应能 够反平衡光束的这种加宽的趋势时，就形成了孤子。光孤子能够在非线性介质中稳定 传输这一特性使光孤子作为一种信息载体应用于高速通讯成为可能。1983 年，贝尔 实验室的mollenauer 研究小组经过一系列的实验，终于检测出脉冲为 10ps的光弧子 经过 10km传输无明显变化，首次从实验上证实了光弧子传输的可能性。随着非线性 光学的发展，和其它学科相结合，如材料科学。1993 年，g. c. duree和g. j. salarno 在光折变材料中观察到了稳态的三维空间光孤子3。在此以后，人们在二阶非线性介 质、饱和型原子蒸汽等一些饱和非线性材料中也观察到了光孤子。近年来，时域上的 亮孤子、正色散区的暗孤子、空域上展开的三维光弧子等也陆续被发现。由于它们完 全由非线性效应决定，不需要任何静态介质波导而备受国内外研究人员的重视。 光孤子一般分为时间光孤子、空间光孤子和时空光孤子，有关空间光孤子的研究 不仅加深了我们对基本物理现象的理解，还可以被应用于全光信息处理，而全光信息 处理技术是实现大容量、高速率全光网络中必不可少的关键技术。实现全光网络的关 1 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 键还有实现光控光技术，空间光孤子理论是实现光控光技术的基本原理之一。因此， 对空间光孤子的研究具有十分重要的价值和意义。 光在传播过程中会发生衍射现象， 即不沿直线传播而向各方向绕射的现象。 因此， 在光束传播过程中，光的衍射效应会使光束的横截面随着传播距离的增加而展宽。初 始入射的光束越窄，其横截面就会被展宽的越快。光束在空间中传播的图像则是横截 面逐渐增大的一束光。然而，当具有一定光强的光束入射到非线性介质中时，光场就 会引起介质的折射率发生变化。如克尔介质，折射率的改变量正比于光强。当光强成 高斯分布的光束在其中传播时，由于光束中心光强较大，就会使光束中心处折射率增 加，光束边缘光束强度小，折射率增量也小。又因为光束总是向着折射率高的地方偏 离， 就会形成一种与透镜作用类似的效应将光束会聚。 我们把这种效应叫做自聚焦4。 这种自聚焦效应会使光束边缘的光向光束中心会聚，使光束中心光强进一步增加，折 射率随着光强的增加而进一步增加，光束边缘的光进一步向中心会聚，这样便形成了 一个循环，光束中心的光强和折射率相互影响，越来越大，如果这种循环一直持续下 去，将会发生“灾害性的自聚焦效应”，最终会把介质烧毁。然而当这种非线性效应引 起的自聚焦和光束由衍射引起的发散达到平衡时，光束便会自陷在很窄的空间宽度 内，它在空间中就像是一根很细的丝，称为空间光孤子5,6。 空间光孤子种类繁多，内容丰富。首先根据其衍射的维数分类，光束在两个方向 上衍射，在一个方向上传播的空间光孤子叫做（2+1）维空间光孤子。广义的说，在 m维上产生衍射，1 维上传播的光孤子，被称为（m+1）空间光孤子。若按空间光孤 子的形状，它可以分为空间亮孤子、空间暗孤子和空间灰孤子7,8。空间亮孤子即光 场能量分布主要集中在光束截面中心附近狭小区域内，离开光束横截面中心，光场很 快下降到零的光孤子。与此相反，我们把在光束横截面中心点附近光强最小且为零， 离开中心点，光强很快增大并趋近于一稳定值，相当于在均匀的背景光中嵌入一个暗 缺的空间光孤子叫做暗空间光孤子。与暗空间光孤子类似，灰空间光孤子只是在暗缺 横截面中心点附近，光强最小但不为零的空间光孤子。按构成空间光孤子的光束的个 数又可以分为标量孤子和矢量孤子9-11。单激光束在非线性介质中形成的空间光孤子 称为标量孤子。 由两个或两个以上激光束与非线性介质共同相互作用形成的空间光孤 子称为矢量孤子。矢量孤子的各个分量之间可以是频率的不同、或者是偏振态的不同 等等，它们通过非线性作用相互耦合起来，缺少任何一束光，都不能形成光孤子。矢 量孤子也被叫做复合孤子。如果根据孤子稳态与横坐标交点的个数，空间光孤子又可 2 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 以分为基本孤子和高阶孤子。与坐标轴没有交点时被称为基本孤子，1 个交点时被称 为 2 阶孤子，同理可知，n个交点是时被称为n+1 阶孤子。 1.2 自相似光孤子自相似光孤子 自相似是一种普遍存在的自然现象，它可以通过非线性薛定谔方程来描述。在 复杂的非线性系统中，自相似的出现带来了很多明显的关于内在动态的信息。研究 相关非线性方程的自相似解对理解不同的非线性物理现象的具有重大意义。自相似 解的研究被广泛研究和应用于多个物理领域，如凝聚态物理、等离子物理、流体动 力学、 量子场论和生物物理学等。 在光学领域， 以前的研究有hill增益光纤的形成12、 暂态受激拉曼散射13、自写光波导的演化14以及孤子系统中cantor set分形的形成 15,16。后来又被应用于研究正常色散光纤中脉冲的非线性传播，该研究表明了线性 啁啾抛物线脉冲是非线性薛定谔方程（nnlse）的渐进自相似解17，这一结论在实 验上已经得到证实。 近几年来，人们从多方面对自相似脉冲进行了大量的研究。实验研究集中在脉 冲传播过程中的自相似演化的观察及测量，主要是脉冲的振幅和宽度的演化特性。 理论方面主要是忽略高阶色散，考虑增益情况下的非线性薛定谔方程的自相似解的 研究。无论是理论解析分析、数值模拟，还是实验研究，都发现自相似脉冲在非线 性光学、超快光学、瞬态光学以及激光加工等领域有着广泛的应用前景。脉冲的这 种自相似特性只与入射脉冲的初始能量和光纤参数有关，与入射脉冲的形状无关。 自相似脉冲有便于压缩的较强的线性啁啾和抵御光波分裂的能力；并且其自相似特 性不受相邻自相似脉冲相互作用的影响。它有高功率、高能量和高比特的优良特性， 而且在介质中能够稳定传播。具有这些性质的超短脉冲一直是光纤通信领域研究的 热点和攻关的难点。因此，自相似脉冲一经发现就成为科学研究的热点。 有关自相似子在非线性光学领域的研究， 国外学者居多。 其中v. i. kruglov等人17 于 2000 年就开始研究光纤放大器中自相似脉冲的形成及传播特性。christophe finot 等人18在 2003 年通过数值模拟和实验两种方法对raman光纤放大器中自相似脉冲的 演化以及相邻两个自相似脉冲间的相互作用进行了研究。 经过一系列的实验和理论研 究，人们发现自相似脉冲的这些良好性能是解决光通信难题的关键，因此，引发了人 们更大的研究兴趣。自相似脉冲在光通信领域受到的关注越来越广泛。2004 年，f. o. 3 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 ilday和c. k. nielsen等人19,20对光纤谐振腔中产生自相似脉冲的可行性做了理论和实 验上的研究，c. fiont等人21还用全光器件对自相似脉冲在光纤通信系统中的应用进 行了数值模拟和实验研究。在国内，本课题组的陈世华等人22-24系统的研究了参数变 化系统中连续波、cnoidal波、自相似子以及混合脉冲等的自相似传播，并用线性稳定 分析法研究了自相似孤子的稳定性特征，揭示了孤子稳定性可能会增强。另外，本课 题组的钟卫平等人25,26研究了强非局域介质中的空间光孤子， 经研究发现在强非局域 介质中存在一群以自相似方式传播的一群孤子波， 并发现了二维拉盖尔高斯孤子群和 二维厄米特高斯孤子群两类新的孤子群。 1.3 本文工作及研究意义本文工作及研究意义 本文主要做了两个方面的工作，首先研究了强非局域介质中光束的传播特点，发 现光束只有在初始光功率和材料系数满足一定条件时才能形成光孤子在强非局域介 质中稳定传输。在其它条件下均形成呼吸子，而且呼吸子也能够在介质中稳定传输。 所以说呼吸子也可以作为一种理想的信息载体。 然后我们对外势调制后的光束在一般非线性介质中的传播进行了研究。 我们用一 种广义的格林函数方法把含有外势调制的广义非线性薛定谔方程分成调制势所满足 的线性薛定谔方程和一般非线性介质中的薛定谔方程来处理，得到了精确的解析解。 本部分工作不仅把难以克服的非线性方程化为两个方程来处理，大大降低了处理难 度，还发现被调制后的光束呈现出新的空间分布和传输特点。我们在这里选择光学谐 振子势对光束进行调制，本来是以暗孤子形式传播的光束，可以调制成具有谐振子波 包分布的孤子簇在空间传输。我们在理论上用光控光技术实现了对光束传播的调控。 4 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 二维强非局域介质中光束传输特性的研究二维强非局域介质中光束传输特性的研究 空间光孤子大多都产生于kerr介质（或类kerr介质） ，这些空间光孤子由非线性 schrdinger方程描述，我们把它叫做局域空间光孤子。关于空间光孤子的研究很长 一段时间内都是局限于局域介质的。然而，非局域也是自然界普遍存在的现象27-30， 如存在于等离子系统31,32、bose-einstein凝聚33、原子核物理、自聚焦光介质34和软 物质之中33。空间非局域性是指某点对光场的响应不只与该点的光强有关，还与周 围的光强有关；即空间某一位置的折射率的改变由该点光强和周围的光强共同决定。 存在于空间非局域非线性介质中的光孤子即是非局域空间光孤子35。1997年，波导 学专家snyder及其同事mitchell发表在science上的文章提出了非局域线性模型36（被 称 为 snyder-mitchell 模 型 ） ， 正 式 揭 开 了 非 局 域 空 间 光 孤 子 研 究 的 序 幕 。 snyder-mitchell模型是描述在光束束宽远远小于材料长度的强非局域条件下37， 非线 性光束在非局域非线性介质中传输的线性方程。其革命性的创新点是巧妙地将非线 性问题转化为线性问题。 材料的空间非局域性是由于物质内对光场响应的单元的空间相关性引起的，引 起其产生的物理机制很多，如热传递、原子的扩散、电荷漂移和分子间较大范围内 的相互作用等。空间相关性可以用响应函数来描述，响应函数是一种归一化函数， 并且还是一种是对称函数。即( )1r r dr = ? ? ；( )()r rrr= ? ? 。介质的非局域程度可由响 应函数( )r r ? ? 的宽度决定。材料非局域性的强弱可由响应函数的特征宽度和光束的相 对大小决定。一般把非局域程度划分为四类38，即局域(local)，弱非局域(weakly nonlocal)，一般性非局域(generally nonlocal)和强非局域(strongly nonlocal)。若介质中 某点折射率的变化只决定于该点的光强，介质的非线性响应是局域的。随着响应函 数的逐渐增大，介质中某一点的折射率开始受到邻域光强的影响，介质的非局域程 度属于弱非局域类。当非局域响应函数的宽度比光束宽度大的多时，介质属于强非 局域类。除上述三种情况以外的其它情况就是一般非局域的。 在这一章里，我们首先从麦克斯韦方程组出发推导出了光束在非线性介质中传 输的非线性薛定谔方程及强非局域介质中描述光束传播的演化方程。然后又在前人 的研究基础上，分析了二维强非局域介质中传输的光束的演化特点。通过研究发现， 5 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 在光束的初始功率和材料常数取不同值时，强非局域介质中传输的光束会形成光孤 子或呼吸子。 2.1 强非局域介质中描述光束传播的数学模型强非局域介质中描述光束传播的数学模型 要具体描述强非局域介质中光孤子的动力学行为，需要建立光孤子的演化方程， 也就是建立非线性薛定谔方程。下面我们从麦克斯韦方程组出发，简要介绍建立这 一方程的大致步骤： 在国际单位制中写出各向同性无源非共振非线性电介质中的麦克斯韦方程组： , , 0, 0, b e t d h t d b = = = = ? ? ? ? ? ? ? i? ? i (2-1) 其中、分别是电场强度矢量和磁场强度矢量；e ? h ? ? d ? 、b ? ? 分别为电位移矢量和磁感 应强度矢量。在介质内部和、e ? h ? ? d ? 和b ? ? 还存在如下关系： 0 de bh = = ? ? ? ? (2-2) 其中，为介电常数， 0 为真空中的导磁率。在这里我们只考虑电磁波传输的单色 谐振的情况，即有i t = （为电磁波的圆频率） ，根据以上两式可得： 2 0 ()ee = ? . (2-3) 又，于是上式可变为： 2 ()()ee = ? ie ? e 222 0 ()eek n =+ ? i, (2-4) 其中 0 k c =， 0 nc =是介质的折射率， 是真空光速。另外，由麦克斯韦方程 组还可以得到： c ()()0deee= + = ? iiii. (2-5) 若在一个波长范围内介电常数各个方向的变化都很小，那么相应介质折射率的变化 范围也很小，则有0=。根据（2-5）就可以得到0e= ? i，那么（2-4）式可变为 6 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 222 0 0ek n e+= ? 。在电场只有一个分量（光束是线偏振的）的情况下，则（2-4） 式可化为标量亥姆霍兹方程 e ? 222 0 0ek n e+=, (2-6) 其中 0 ( , )( )nnn v x yn i=+i, (2-7) 0 n表示线性折射率， 后两项表示其它原因所引起的微扰 （由其它原因引起的折射率 远小于线性折射率） 。在这里考虑了横向折射率调制（如当光束在周期光子晶 格中传播时，v代表光子晶格） ， ( , )v x y n表示调制深度，( )n i表示非线性折射率的改变， 2 ie=表示光强。电场可以写作 e ( , , )( , , ) ikz e x y za x y z e=. (2-8) z表示传播方向， 00 kk n=表示传播常数，( , , )a x y z表示振幅包络，表示相位因子。 将式（2-7） 、 （2-8）代入（2-6） ，略去两阶小量的微扰并考虑到慢变包络近似 （ ikz e 2 2 aa zz ?）可得： 2 00 1 ( , )0 2 ak nk n i iav x y a zknn ( ) a += , (2-9) 式中 22 2 22 xy =+ ，式（2-9）就是描述光束在非线性介质中传输的非线性薛定谔方 程，等式左侧前两项分别表示传播项和衍射项，第三项表示介质折射率的横向调制， 第四项为非线性项，( )n i表示了光强对介质的非线性响应， 可以用响应函数来描述。 在这里如果介质折射率的横向调制为零，我们以强非局域介质为例介绍描述强非局 域介质中光束传播的演化方程。 在强非局域介质中（2-9）式可化为： 2 ( )0 a ian i a z + += , (2-10) 式中 k2 1 =， 0 k n =，其中是材料常数（0和00g 25中已有介绍，先是通过分离变量法，利用 8 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 ()() ( )rzurzu,= (2-14a) 把（2-13）分离成 0 2 2 2 =+ m d d , (2-14b) 0 1 2 1 2 2 2 2 2 = + + usru r m r u rr u z u i. (2-14c) 又利用自相似算法求方程（2-14c）的自相似解，把光场定义为 ()() ()rzib erzarzu , ,=, (2-15) 把（2-15）代入（2-14） ，并分离实部和虚部并令两部分都为零可得： 0 11 2 1 2 2 2 2 2 2 = + + sr r m r a rar b r a az b , (2-16a) 2 2 1121 0 2 ab abb azarrrrr + = . (2-16b) 然后引入自相似变换 () ( ) ( )f zw kp rza=, (2-16a) ()( )( )( ) 2 ,rzcrzbzarzb+=. (2-16b) 上式中，为常数，为光束功率，k 0 pp=( , )z r为自相似系数，分 别表示相移、频移和波前相位。通过一系列的变换后可得 ( )a z( )b z( )c z () 2 2 , w r rz=, (2-18a) ( )0=zb， (2-18b) ( ) ( ) dz zdw w zc 2 1 =. (2-18c) 0 4222 2 2 2 22 2 22 = + fm sw dz wdwfw d fd d df dz dafw (2-19) 在这里，引入另一个变换 ( )( ) fef m 22 =. (2-20) 将变换代入（2-19） ，并结合（2-18）可得： 9 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 0 2 1 2 2 2 2 2 =+ w sw dz wdw , (2-21a) n m dz daw = + 2 1 2 2 . (2-21b) ()01 2 2 =+nf d df m d fd , (2-21c) 式（2-21c）是连带拉盖尔微分方程，它的解是连带拉盖尔多项式 , 即 ( )( ) m n l () ( ) 2 2 2 2 2 0 )( , w r m n m e w r l w r zw kp rza = , (2-22) 式 中 2 1 ) 1( ! + = mn n k 和 ( )( ) () () (, 1, 1! 1 + + ) + =mnf mn nm l m n ， 这 里 (), 1,+mnf是库墨函数。 现在，我们反过来求解方程 (2-21a) 。令 0 w w =以及 4 0 2 1 sw =。式(2-21a) 可以变换为如下表达式 0 1 2 34 0 2 2 =+ s dt d (2-23) 方程(2-23)式与牛顿第二运动定律相对应，这里相对应的粒子在一维空间上运动， 粒子的质量为1，所受的力为 s dt d f2 1 34 0 2 2 =. (2-24) 方程的第一项使粒子加速，使粒子的速度 dt d 变的越来越大，这意味着光束被展 宽或者说有一个展宽的趋势，取决于初始速度0 0=z dt d 或0 （a） （b） （c） 图2-1.当，1m =1,2,3n=时，光束在传播方向的传播特点 （a） 、 （b） 、 （c）分别为s=0.1，0.3，0.5三种情况 从图2-1可以看出，随着s的增大光束在径向的分布范围减小。光束在径向的分布 除了受到 的影响外，还受到描述光束径向分布n的值的影响。随着的值的增大， 径向的波包数也在增多，波包数为 sn 1n+个。 另外，在传播方向上，光束在s=0.1，s=0.3的情况下，是以振荡形势向前传播， 并且振荡波形为正弦波。随着 的增大振荡周期变小，振幅逐渐变小，并且振幅最终 减小为零，光束保持束宽不变向前传播（s=0.5时） 。 s 12 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 （a） （b） 图2-2.当，1m =1,2,3n=时，光束在传播方向的传播特点 （a） 、 （b）分别为s=0.7，1两种情况 从2-2图可以看出，随着s的增大，光束在径向的分布范围继续变小。在传播方向 上，光束在s=0.7和s=1时又开始以正弦波的形式振荡着向前传播，并且振荡周期随着 s的变大继续减小，振幅由零开始逐渐变大。这种以正弦振荡形式传播的孤立波被称 为呼吸子。所谓呼吸子就是当介质的非线性效应所引起光束的自聚焦与光的衍射效 应不能完全抵消但是又相差不大时，光束在向前传播过程中就会被周期性的压缩或 展宽，从而以周期性振荡的形式向前传播。s=0.5的情况，就是介质的非线性效应所 引起光束的自聚焦与光的衍射效应能够完全抵消的情况，光束保持束宽不变向前传 播，即是我们所说的光孤子。 这一现象可以由（2-28）式说明，由式可以看出，光束的束宽与s和传播距离z 相关， 因此在不同s时光束的传播特点不同。 由于 4 0 1 (2)sw=（在这里我们取） ， 当s=0.5时， 0 1w = 1=；所以此时光束不在受到传播距离的影响，保持束宽不变向前传播。 又由于 0 ()sp2=与光束的初始功率相关，当材料常数确定时，可以说明光束的自 相似演化特征与光束的初始功率相关。另外，由 0 ()sp2=我们还可以得知：在光束 初始功率固定的时候，光束峰值光强是随着材料常数 0 p的变大而变大的。 13 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 1s （a） （b） （c） （d） 图2-3.当，1m =1,2,3n=时，光束在传播方向的传播特点 （a） 、 （b） 、 （c） 、 （d）分别为s=2，5，7，10四种情况 本部分我们接着讨论s1时光束在传播过程中所发生的变化。首先，在s=210这 14 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 个过程中光束在传播方向上的周期仍然在不断减小，然而，在s=5时又形成了新的振 荡周期（它是由很多个小的正弦波组成） 。这个新的振荡周期继续减少，逐渐形成图 2-3(d)中所示又一个新的振荡图形。随着s的变大，光束在传播方向上的振荡周期一 直在随着传播距离减小，又由小的振荡波形成新的振荡周期，整体一个循环过程。 由图2-3还可以看出在光束的径向上，虽然随着 的增大，光束分布范围减少， 但是波包数在增多，不再是规律的n+1个。 s 2.3 本章小结本章小结 本章主要描述了光束在强非局域介质中的传播特点，在这里我们主要是通过改 变与材料常数和光束初始功率相关的系数 来观察光束在前进过程中在径向和传播 方向的变化。通过研究发现，只有在 s 0.5s =时光束才会形成光孤子向前传播。在 取 其它值时， 光束呈正弦波的形式振荡着向前传播， 并且振荡周期随着 的增大而减小。 在减小到一定程度后，还会形成新的振荡周期。并证明了光束的自相似演化特征与 光束的初始功率和材料常数是相关的。而在光束初始功率固定的时候，光束峰值 光强随着材料常数的变大而变大。 s s 0 p 光束在径向方向，随着 的增大光束的分布范围减少。随着随着的值的增大， 径向的波包数也在增多（个） 。在 足够大的时候，就不再是规则的个。 sn 1n+s1n+ 15 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3 谐振子势调制下非线性介质中光束传输特性的研究谐振子势调制下非线性介质中光束传输特性的研究 光孤子在全光控制、全光网络以及量子测量等方面应用前景广阔，引发了人们 浓厚的研究兴趣。而光学孤子最基本的模型由非线性薛定谔方程描写，因此求解非 线性薛定谔方程的精确孤子解也成为当今物理学最活跃的研究领域之一。 关于非线性薛定谔方程的求解方法有很多种。1972年，前苏联科学家zakharov 和shabat用逆散射变换法（ist）巧妙地求解了非线性薛定谔方程，获得了亮孤子解 和暗孤子解。 随后还出现了backlund变换39、 分数变分法40、 双曲函数展开法、jacobi 椭圆函数法及其扩展41、weierstrass椭圆函数法42以及齐次平衡原理43,44、f-展开方 法45-47等一些数学方法。关于非线性薛定谔方程的数值解法，最近几年取得了较大 的进展。但是这种方法只是针对个别的初值计算数值解，存在一定的局限性。并且 它所给出的解不具备原方程所具有的全局特性，而人们更需要了解方程解的一般定 性特征。而且数值解本身还存在非线性计算的不稳定性问题。因此，求非线性薛定 谔方程解析解的工作还是具有很大的意义和应用价值的。 在之前讨论的空间光孤子大多是建立在局域或者是强非局域孤子模型之上的， 考虑光束束宽远远小于材料长度的强非局域条件下，把描述光束在非线性介质中传 播的非线性方程转巧妙的转化为线性方程来处理。然而对描述光束在一般非线性介 质中传播的非线性方程的直接研究并不多见。非线性高维偏微分方程的求解比线性 偏微分方程的求解要困难的多，很难用统一的方法来求解。本课题组利用新改进的 自相似性22,48齐次平衡原理和f-展开技术研究了变系数非线性薛定谔方程49,50， 并得 到了含有损耗或增益的二维非线性薛定谔方程的jacobi高维孤子解26。 还吸收线性微 分方程理论中变系数方法的思想，提出了求解非线性schrdinger方程的一种变参数 法研究了光折变晶体中时空孤子的传输和非局域非线性竞争51。 本章主要在强非局域弱非线性条件下，研究二维谐振子势和非线性系数对空间 光孤子本征特性的调控，并探讨光孤子的自相似传播特性。 3.1 谐振子势调制下非线性介质中薛定谔方程的求解谐振子势调制下非线性介质中薛定谔方程的求解 当光束在具有外势调制的非线性介质中传播时， 复数光场( , )u r t ? 满足的广义非线 16 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 性薛定谔方程为： 2 2 ( )( )0 u iuvuz u uiz u z + += . (3-1) 式中 222 ( 2 vx)y = +是二维光学谐振子势，横向拉普拉斯算符 2 22 xy =+ ， 是衍射系数（在这里为常系数） ，( )z是非线性系数，( )z是增益系数。我们首先令 ，把它代入（3-1）式并结合 01 uu u= 22 010 10110010110 ()2u uu uuuuuuuuuuu= =+= + ? ? iii 2 (3-2) 可以得到下面的式子： 22 22 01 0101101000110101 2( ) uu iuiuuuuuuuuu uuv r u ui u u zz + + ? 0=. (3-3) 进一步合并同类项，并令各项为零可得 2 0 00 ( )0 u iuv r u z + += ? , (3-4a) 22 2* 01 1001112 0 20 uu iuuuuui u z u + += . (3-4b) 我们首先看（3-4a）式，满足二维线性谐振子体系的薛定谔方程的形式。谐振子是 量子力学和量子光学中一个十分重要的物理模型，并且是可以精确求解的52。我们 设对其进行线性分离， 把它代入(3-4a)处理之后可得 012 ( , , )( )( )exp()uz x yu x uyiez= 2 22 1 1 2 () 2 d u ex u dx 0+=. (3-5a) 2 22 2 2 2 () 2 u ey u y 0+ =. (3-5b) 由于以上两式形式相同，我们只需解一个即可。在这里若有1?、 1 2 、 ，则 方程(3-4a)可化为： 22 22 1 1 2 () 22 d u ex u dx 0+ ? =. (3-6) 为了方便起见，我们对(3-6)式进行无量纲化，令 2 xxx = ? 、 17 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 =、 2e = ? ，则(3-6)式可变为 2 2 1 1 2 () d u xu dx 0+= (3-7) 然后引入变换 2 1( )()exp() 2 x uxh x=，代入(3-7)后得到关于的方程 ()h x 2 2 2(1) d hdh x dxdx +0h = (3-8) 上式满足hermitian微分方程的形式，因此它的解可写成hermitian多项式的形式 1 2 1 1 1 ()( 1) n nx n n d hxee dx = 2 x (3-9) 其中 1 21n=+， 1 0,1,2n =表示x方向的量子数。因此(3-5a)式的解可写为 2 () 2 111 ()( x nn uxn ehx ) = (3-10) 式中 1 1 1 2 1 1 2 1 2! n n n n = ，为归一化常数。 同理 2 () 2 222 ()() y nn uyn ehy =， 2 =， 2 2 1 2 1 2 2 2! n n n n = 。因此，(3-4a)的解为 22 ()() 22 01122 ()() xy nnnn un ehx n ehy e = ? iez (3-11) 以上我们求出了二维光学谐振子势波函数的解析解，下面我们来看一下当2= 时，二维光学谐振子势在空间的分布。 图3-1.二维光学谐振子在 12 0,1,2,3nn=(从左到右)四种情况下的空间分布 18 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 图3-1中我们取了x、y两方向量子数相同的情况，从图可以看出时，二 维光学谐振子势的波包数为1。随着量子数的增大波包数逐渐增多，当 时，谐振子的波包分别构成、3 12 0nn= 12 1,2,3nn= 2 23、4 4的矩阵。并且矩阵中波包的形状和能 量沿对角线是对称的。这是由于我们所取的谐振子势的形式是 222 () 2 vxy = +， 当x和y两方向的量子数又相同， 谐振子势在x和y两方向便对称分布。 图形关于x轴 和轴均对称分布。谐振子势势能由坐标原点沿yx、正负向逐渐增大。 y 图3-2.二维光学谐振子在（左图）, 12 4,5nn= 12 5,4nn=（右图）两种情况下的空间分布 而当和不相等时，结果如图3-2所示， 1 n 2 n 12 4,5nn=时二维光学谐振子势的波 包构成了一个的矩阵，而5 6 12 5,4nn=又构成了一个6 5的矩阵。这时波包依然 关于x轴和y轴对称分布， 谐振子势势能也还是由坐标原点沿x、y正负向逐渐增大。 但由于，波包不再关于矩阵的对角线对称分布。这说明波包是否关于波包矩 阵的对角线对称取决于 1 nn 2 x、y两方向的量子数是否相等，而波包在个方向的个数也和 量子数有关。从以上图形可以总结出光学谐振子势在空间分布为一系列波包组成的 的矩阵。 12 (1) (1nn+ ) 再来看一下（3-4b） ，由（3-4a）式的解可知 2 0 0 u z = . 又由于 * 000000 ()2re(juuuuuu= ? ), 2 0 0 u j z += ? i, 19 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 因此 * 0 02 0 20 u u u =. （3-4b）式可变为 22 2 1 10111 ( )( )0 u iuz uuuiz u z + += . (3-12) 上式为一般的变系数二维非线性薛定谔方程，可以通过f-展开法求得它的精确解。 通过文献53可知它有亮、暗两个孤子解，在这里我们对比分析一下亮孤子和暗孤子 在谐振子势调制下的介质中的光束的演化特点。我们首先来看一下一般的变系数二 维非线性薛定谔方程的亮、暗孤子解在空间的演化特点。亮、暗孤子解为： 222 0000 0 0 1 ()()()( ) 2 1101 ( , , )sec ( ) z z i bx yklbz dzez dz u z x yf ehe 0 + = (3-13a) 222 0000 0 0 1 ()()()( ) 2 1101 ( , , )tan ( ) z z i bx yklbz dzez d