（应用数学专业论文）littlewoodpaley算子的多线性交换子的有界性.pdf

摘要 本文主要研究l i t t l e w o o d p a l e y 算子与某些局部可积函数所生成的多线性交换 子的有界性问题。也就是说，我们系统地研究了l i t t l e w o o d p a l e y 算子鲍6 分别与 b m o 函数和l i p s c h i t z 函数澌生成的多线性交换子纯，6 ( 0 6 n ) 在i y ( 1 p 0 0 1 空间、h a r d y 空间、h e r z h a r d y 空间、t r i e b e l l i z o r k i n 空间等的有界性以 及各种端点估计。 首先，我们证明了l i t t l e w o o d p a l e y 算子的多线性交换子姥6 的s h a r p 不等式， 并利用此s h a r p 不等式证明了纯，6 的2 ( 1 p 仃印+ 6 i n ；从上p ( j p ) 到l q ( r n ) 有界的；从日k 铲( 尼。) 到k 有界的；从日霹( 1 _ 1 q t ) 托p ( 曰- ) 到w 趔1 - 1 q - ) 托p ( j 泸) 有界的。 最后，证明了l i t t l e w o o d p a l e y 算子的多线性交换子鲸，6 的端点有界性，即纯，6 是从l n 6 到b m o ( r ) 有界的；然后，令1 p n 6 ，5 = ( 5 1 ，k ) 其中对于 1 歹m ，如b m o ( r “) 则纯，6 是从磁( 酽) 到c m o ( r ) 有界的；最后，设 0 6 竹，云= ( b 1 ，6 仇) 其中对于1 j m ，b b m o ( r ) 如果满足适当的 条件，则纯，6 是从日1 ( 舻) 到l n ( n - 6 ) ( 形) 有界的 关键词：l i t t l e w o o d p a l e y 算子；多线性交换子；b m o 空n ；h a r d y 空间；h e r z 空 i h ；h e r z h a r d y 空i h ；t r i e b e l l i z o r k i n 空f 司；l i p s c h i t z 空间：弱h e r z 空间 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h eb o u n d e d n e s so fm u l t i l i n e a rl i t t l e w o o d p a l e yc o r n - m u t a t o r sg e n e r a t e db yl i t t l e w o o c l p a l e yo p e r a t o ra n dl o c a l l yi n t e g r a b l ef u n c t i o n s w es t u d ys y s t e mt h eb o u n d e d n e s so fm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r s b ，6 ( 0 6 n ) ，g e n e r - a t e db yl i t t l e w o o d - p a l e yo p e r a t o r 鲫6a n db m of u n c t i o n so rl i p s c h i t zf u n c t i o n so i l 汐( 1 p o o ) s p a c e 、h a r d ys p a c e 、h e r z - h a r d ys p a c e 、t r i e b e l l i z o r k i ns p a c e m o r e o v e r ，w ec o n s i d e rs o m ek i n do fe n d p o i n te s t i m a t e sf o rm u l t i l i n e a rl i t t l e w o o d p a l e yc o m m u t a t o r s a tf i r s t ，t h es h a r pi n e q u a l i t i e sf o rm u l t i l i n e a rl i t t l e w o o d p a l e yc o m m u t a t o r s g b 妒，6 a r ep r o v e d b yu s i n gi t ，w eo b t a i n 鲍，6a x eb o u n d e do n 2s p a c e ，w h e r e 玩 b m o ( r n ) ，1 i m ，b = ( b x ，) ，1 p m p + 5 n ，俨( 舻) t ol q ( r n ) ，日磁p ( 舻) t o 五掣，日五嚣1 1 口i ) 托p ( 形) t o 礤x - x q o + e , p ( 彤) ，w h i c hg e n e r a t e db yl i t t l e w o o d - p a l e yo p e r a t o ra n df u n c t i o n si nl i p s c h i t zs p a c e f i n a l l y , t h ee n d p o i n te s t i m a t e sf o rm u l t i l i n e a rl i t t l e w o o d p a l e yc o m m u t a t o r s g b l f j ，6a r es t u d i e d t h e y a r eb o u n d e df r o ml n t ob m o ( r n ) m o r e o v e r ，l e t1 p n 6 a n di = ( b l ，b m ) w i t hb j b m o ( r n ) f o r1 j m t h e n b ，6i sb o u n d e df r o m 磁( 舻) t oc m o ( r n ) l a s t ，l e t 云= ( b l ，6 m ) w i t h b m o ( r n ) f o rl 歹m i ff o ra n yh 1 ( 舻) 一a t o ma s u p p o r t e do nc e r t a i nc u b eq a n dt q ，t h e r ei s 姜暑k b ( o - b o ) o l 峪沪m 黼”加吖。 t h e n 或，6i sb o u n d e df r o mh 1 ( 矽) t 。p 伽卅( 舻) k e yw o r d s ：l i t t l e w o o d p a l e yo p e r a t o r ；m u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r ；b m o s p a c e ；h a r d ys p a c e ；h e r zs p a c e ；h e r z h a r d ys p a c e ；t r i e b e l l i z o r k i n s p a c e ；l i p s c h i t zs p a c e ；w e a kh e r z i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律 后果由本人承担 作者签名：彰美磊日期：矽厂年岁月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书 2 、不保密囱 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：彩英君 日期：匀哆年上月7 日 导师签名：费i 凌蔚 日期：刎口罗年r 月7 日 1 1本文的研究背景 第一章绪论 研究积分算子在函数空间中的有界性和函数空间的刻划一直是调和分析的中心问 题之一。特别是二十世纪五十年代以来由a p c a l d e r 6 n 和a z y g m u n d 建立和发展起 来的一整套奇异积分算子理论在微分方程中得到广泛的应用以后，奇异积分算子在函 数空间中的有界性的研究就成了调和分析中十分活跃的课题，而与奇异积分算子相关 联的交换子是一类重要的算子，一方面，它可用于刻划函数空间，另一方面，它又与 偏微分方程c a u c h y 型积分等问题有密切的联系。因此，二十世纪七十年代以来，对 这种交换子的研究十分活跃，并取得了非常丰富的成果。1 9 8 2 年，s c h a n i l l o 研究了 r i e s z 位势与b m 0 函数生成的交换子，并由此给出了b m o 空间的一种刻划( 见 【5 】) ；1 9 9 5 年m p m u s z y n s k i 研究了c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子和r i e s z 位势与 l i p s c h i t z 函数生成的交换子，并给出了b e s o v 空间的刻划( 见f 17 】) ，这种对空间的刻 划就成了研究交换子的重要理论意义之一；s j a a s o n 使用j 0 s t r o m b e r g 的思想，利 用f e f f e r m a n - s t e i n 的s h a r p 函数来研究交换子( 见f 8 1 ) ，受这种思想的启发，c p d r e z 研究了c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子与b m o 函数生成的交换子的l l o g l 弱型 估计及其在h a r d y 型空间的有界性( 见 1 8 - 2 0 1 ) ；1 9 9 7 年，e h a r b o u r e ，c s e g o v i a 和 j l t o r r e a 研究了该交换子的端点有界性。 l i t t l e w o o d p a l e y 算子作为调和分析中十分重要的积分算子( 见f 2 2 1 ) ，由于它与 奇异积分算子有着密切的联系，因此对它的研究一直是调和分析学者们十分感兴趣的 问题，并且取得了一定的研究成果( 见【2 i o - 1 4 ) 。源于对奇异积分算子的交换子的研 究，启发了对与l i t t l e w o o d p a l e y 算子交换子的研究。本文作者将对l i t t l e w o o d p a l e y 算子的多线性交换子的有界性做较系统的研究。 1 2 预备知识及常用符号 在本文，q 表不口中平行于坐标轴的方体，在q 上函数b 的平均值b q = f qb ( x ) d x ，b 的s h a r p 函数定义为 6 拳( z ) = s 霉u q pj 专1 ，乞1 6 ( 耖) 一b q d y 我们又知b 的s h a r p 函数也等价于( 见 2 4 或【2 5 】) 扩( z ) s u pi n f1 - - 南1 q 6 ( y ) 一c i 匆 若扩l ( 舻) ，则我们称b b m o ( r ) 且定义1 1 6 l i b j l f o = l i b # l l p 。若i = ( b l ，6 m ) ，b m o ( r ) ( j = 1 ，m ) ，那么令 口m o = i l b j l l , m o 1 事实上，我们有 i i b b 2 - q i i b m o c k l l b l l b m o 令m 表示h a r d y l i t t l e w o o d 极大算子 m ( 似z ) = s u p 俐1 i f ( y ) j 咖； z q j q 那么( ，) 表示坞( ，) = ( m ( i fj v ) ) 1 v ( 0 p o 。) 。设0 6 礼，0 r o 。，令 = 翟( 南ll f ( 训7 d y ) v 对0 r p n 6 ，1 q = 1 p j n ，有 i i 坼，6 ( f ) l l l a c l l f l l l , 为了方便对给定正整数m 和1 j m ，我们令凹表示集合 l ，m ) 的具 有j 个不同元素的子集盯= 盯( 1 ) ，盯( j ) ) 的集族。对i = ( b 1 ，b m ) ，盯四， 定义仃。= 1 ，m 口，瓦= ( k ( 1 ) ，b u ) ) ，b = b ( 1 ) k u ) ，i i 瓦l i b 加= l i b 盯o ) i i b m o l i b , , o ) i i b m o 。 定义1 2 1 令u = 1 ，m ) 为形上固定的局部可积函数设0 j 0 ，函数砂满足如下条件： ( 1 ) 厶妒( z ) 如= 0 ， ( 2 ) i 矽( z ) l c ( 1 + i x l ) 一m + 1 一扪， ( 3 )i 砂( z + y ) 一妒( z ) i c 1 秒1 6 ( 1 + l z i ) 一( n + 1 + 5 6 ) ，当2 1 y i 1 ， 有h 6 1 d e r 不等式： 面1 上瞰z ，丘c z ) l d x ( 南名眦圳如) 吖( 高z 似圳5 如) j 加 引理1 2 2 ( 见【2 9 ) 对1 r 0 ，令 = 鎏( 赤上i f ( y ) 1 7 d y ) 1 r 若r p j n ，且1 g = 1 p p n ，那么 i i 尬，6 ( f ) l l l , c l l i l l p 3 第二章l i t t l e w o o d p a l e y 算子的多线性 交换子的s h a r p 估计 2 1符号及引理 引理2 1 1 ( 见 1 0 ) 设0 5 n ，1 p 礼6 ，l q = l p 一6 n ，则卯，6 从 驴( 尼。) 到三4 ( 尼1 ) 上有界 引理2 1 2 令1 1 ，当1 j k 时，使1 p l + + 1 肋七= 1 和l q 1 + + 1 q k = 1 r 然后我们应用h s l d e r 不等式1 p 1 + + 1 肋七= 1 和 l q 1 + + 1 q k = 1 r ，我们就可以得到结论 2 2定理与证明 定理2 2 1 设b m o ，歹= 1 ，m 因此对于1 7 - 0 使得任何，c 铲( 舻) 和任意的z i e ， c 也c 川艳，c ( 尬“似z ，+ 薹善尬c 东c 川c z ，) 证明： 只需证明对于函数f 曙( 船) 存在常数c o ，如下不等式成立： 南正l 面, s ( ) ( x ) - c o l d x c ( | 1 6 怕m 。坼“似孟，+ 薹善坼c 疙c 州训) 4 固定方体q = q o ：o ，d ) 和圣q 我们首先考虑仇= 1 的情况记f l = f x 2 q 和 厶= f x ( 2 q ) c ， 砖1 ( ，) ) = ( 6 - 0 ) 一( 6 。) 2 q ) 尻( ，) 0 ) 一r ( ( 6 1 一( 6 1 ) 幻) ，1 ) ) 一e ( ( 6 1 一( 6 1 ) 2 q ) 厶) ( z ) ) ， 因此 l 班6 ( 州z ) 一跏，6 ( ( ( 6 1 ) 幻一b 1 ) f 2 ) ( x o ) i = 砷1 ( 似z ) | i 1 f t ( ( ( b 1 ) 2 q b z ) f 2 ) ( x o ) l l l l i 霹1 ( ，) ) 一r ( ( ( 6 1 ) 2 口一6 1 ) 厶) ( 勋) i l i l ( b l ( z ) 一( b ) 2 q ) r ( ，) ) i i + 1 i f t ( ( b l 一( b 1 ) 2 q ) f z ) ( x ) l l + i i e ( ( 6 一( 6 ) z q ) 厶) ( z ) 一只( ( 6 一( b l h q ) f 2 ) ( x o ) l l = a ( x ) + b ( x ) + c ( z ) 对a ) ，取，使得1 , - + 1 ，= l ，由h 6 1 d e r 不等式得： 丽1 上) 如 = 再lf q1 6 ( z ) 一( 6 ) 2 q i i g + 朋( z ) i 出 c ( 南小刊2 出) 吖一( 高加舡 出) v sc i i b l l i b m o 磊( 卯，6 ( ，) ) ( 面) 朋口【z j ，耿p 便衔1 ， p q n o ，1 q 。1 p a n ，r2p s ，田跏，占仕1 月“) 到l q ( r “) 上的有界性和h s l d e r 不等式，可得 土i q i 上b ( z ) 如= 面1 乞吼“吼一( 6 1 ) 。q ) ) ( 训如 ( 高厶圳6 。刊。彬酬) v 口 c 赤( 小刊2 q i p i s ( 呶2 出) i p d z ) 纠p c i q i - 1 q + l 佃 q - ( 1 - 6 p a n ) p s ( 南小刊。扩7 如) 价一( 南小删胛如) “ = c i q i - 1 q + l 加 + ( 1 - 6 r n ) r ( 南小刊。扩出) 枷( 南i m 圹d z ) v 7 对c ( z ) ，由m i n k o w s k i 不等式，可得 c ( x ) = i i f , ( ( 6 l 一( 6 1 ) 2 q ) 丘) ( z ) 一只( ( b 1 一( 6 1 ) 2 口) ，2 ) ( z o ) i i = z ( 五讲。1 6 。c 可，一c 6 。，2 q i i ，c 可，i i 也c z 一耖，一妒。c z 。一y ，l 由) 2 譬 v 2 5 = 五q 卜1 6 - ( 可) 一( 6 ，) 。q i i ，( y ) l ( z 0 0 詈i 也( z 一! ，) 一妒t ( z 。一! ，) 1 2 d t ) v 2 d 可 c 五铆。1 6 ，( y ) 一( 6 ，) 2 q i i ，( 们l ( ( 石j 塞 蔫) “2 d 可 c j 乞( 2 q ) c1 6 ，( y ) 一( 6 ，) 2 q i i ( 耖) i 器d c 喜k ：6 1 ( 沪( 6 l 洲l 黔咖 c 苫o o2 七( 南k 叭训协) v 7 ( 南k 慨刊。口i r d y ) 一 c 妻七2 l i b 。i i b m 。尬“州矛) 拧= 1 c i i b ，i i 。，、2 饥j f f 、f 仝、 因此 ， 土i q i 以叫动如如1 1 6 1 l i 删批枷 ) 下面证明当m 2 的情形，对b = ( b 1 ，6 m ) ，我们有 莉) = 厶i i j f l = l ( m ) 卜刊触 = ( b l ( x ) 一( b 1 ) 2 q ) 一( b l ( y ) 一( b 1 ) 2 q ) ( b m ( x ) 一( b m ) 2 q ) 一( b m ( 可) 一( 6 m ) 2 q ) 妒c ( z y ) ，( 可) d y j 静 = ( 一1 ) 一( 6 ( z ) 一( 6 ) 2 q ) ，n ( 6 ( y ) 一( 6 ) 2 q ) 矿嘶一y ) f ( y ) d y j = o 口g ， 。 ” = ( b l ( x ) 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 m ( z ) 一( b m ) 2 q ) f t ( f ) ( x ) + ( 一1 ) m f t ( ( b l 一( b 1 ) 2 q ) ( k 一( 6 m ) 2 q ) ，) ( z ) + ( 一1 ) 一( 6 ( z ) 一( b h q ) 盯正( 6 ( y ) 一6 ( z ) ) 盯c 讥( z y ) f ( y ) d y j = l 口l 印 o j t ” = ( b l ( x ) 一( b 1 ) 2 q ) ( b m ( x ) 一( b m ) 2 0 ) f t ( f ) ( x ) + ( 一1 ) m f t ( ( b l 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 m 一( 6 m ) 2 q ) ，) ( z ) + j ( 6 ( z ) 一( 6 ) z q ) 盯牵。( 似。) ， j = 1 盯叩 因此 i 纯，6 ( 似z ) 一跏，6 ( ( ( 6 - ) 2 q 一6 1 ) ( ( 6 m ) 2 q 一6 m ) ) 厶) ( 跏) i = 砖( 州z ) 1 1 一i i f t ( ( ( b ，) z 口一6 - ) ( ( k ) 2 q k ) 厶) ( z 。) f i 砖( ，) ( z ) 一只( ( ( 6 ，) 。q 一6 ) ( ( 6 m ) 2 q 一6 m ) 厶) ( z o ) l i l i ( b l ( x ) 一( 6 1 ) 2 q ) ( 6 m ( z ) 一( 6 m ) 2 q ) r ( ，) ( z ) i i 6 + 撤z ) 一( 6 m ) 幻) 。砖。( ，) ( z ) | i j = l 盯叩 + 1 1 只( ( 6 1 一( b 1 ) ：q ) ( k 一( 6 r n ) 2 q ) ，1 ) ( 圳l + i i r ( ( 6 1 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 m 一( ) z q ) ) ( z ) 一f t ( ( 6 1 一( b 1 ) 2 q ) ( k 一( b m ) 2 q ) f 2 ) ( x o ) = ) + 厶 ) + 厶p ) + 厶( z ) 对f 1 ( z ) ，砹1 p l + + 1 p , r , + 1 r = 1 ，兵甲1 p j ，j = l ，m ，田h 6 1 d e r 不等式可得 。i q li q1 1 ( z l d z - 1 。| 6 ( z ) 一( 6 ，) 2 口i l ( z ) 一( ) 2 q i l 9 妒，5 ( 似z ) l 如 ( 砑1 加沪帆k i n ) l p 1 ( 高肛地测h 出) v 蛳 ( 南加盯圹出) 叫 c 悯i b m o 尬( 跏，5 ( 川( 孟) 对如0 ) ，由m i n k o w s k i 不等式和h 6 1 d e r 不等式，可得 南以以功出 = y ：z 。：。i 1 ( 6 ( z ) _ ( 6 枞砖一( 烈洲z 吾三高厶i ( 6 ( z ) - ( 2 也i | 垢u ) i 如 c 蓦暑( 南厶怕c z 卜c ”砑川，出) v ，( 高zi 妨c 烈圳r ? ) v c 嘲i b m o 坼( 惦( 川( 主) j = l 盯叩 对于厶( z ) ，我们选取1 r p 口 礼卢，1 q = 1 p - 6 加，r = p s ，由跏，6 从护( 酽) 到l q ( r n ) 的有界性，及h s l d e r 不等式，有 土i q iz 酢 。面1 口r ( 娶( 州删| l d z ( 下刍_ li 跏，s c 耍c 6 。一c 6 ，2 口，x 。q ，c z ，1 9 如) u q 纠盯珈一”c ，( 南厶i 如h 删叱厂 ( 南加刮舻如) 枷 c 恫l b m o m r ，6 ( 似童) 对于厶( z ) ，选取1 聊 0 0j = 1 ，m 使得1 p l + + l + 1 r = 1 ，由h s l d e r 不等式，可得 h ( x ) 因此 i i f , ( ( 6 1 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 m 一( b , n ) 2 q ) h ) ( x ) 一只( ( 6 1 一( 6 1 ) 2 q ) ( l 乜m 一( b a y ) - ( b j ) ：o ) ，x c 。q ，。c 秒，c 妒。c z 一可，一仇c z 。 厶i 赫y ) 忖抛钟l(z盟边掣出)“2句j=l - b ( b j ) 2 q ) 肪知沪c 附l ( z 耐蔫) v 2 咖 o ( 蛐) - ( 捌，i 揣咖 。lzzo-yl七托。)i(可)一(bj)2q)lla(y)ldyj 告2 k + l q 2 。q篙 吾2 小印1 盯1 + 而加kj = 1 ( 蛐) - ( 捌舭 喜2 如( 商而“m 咖) “ ( 西南厶瑚1 6 。( 影) 一( 6 t k i p l d 可) 坳l ( f 南厶。q1 6 m ( 可) 一( 6 m ) 2 q i m d 可) 1 胁 c 七m 2 一概ni l b j l l s m o m ，6 ( 似孟) c l l b l l b m o m ，6 ( ，) ( 圣) ， 定理2 2 1 证毕口 高z 酢) 如= ( 似观 8 z i， 阻厂k 力 q ” 猢 w 动叫 他 如 叫 硷 叼 以 玢 一 一 p 玢 盼 阿 m傅m触 厶厂场上舭上种南南 c c z 厶v 劫0 k 出一。 仟 2 i叫 d 一、j m y a - = = 一 一 一 一 一 一 定理2 2 2 令b m o ( i 妒) ，j = 1 ，仇则鳙是从口( 舻) 到弘( 舻) 有 界的，其中1 p n 卢，1 q = 1 v 一占n 。 证明我们首先考虑m = l ，应用引理1 2 3 因此我们有 川班6 ( f ) l l l 一i i m ( 晚。) ( ) il l a c 0 ( 姥6 ( 川社i l l a c l l 磊( 咖，6 ( ，) ) 怯- i - c l l m r ，6 ( 州l l 一 c l l a , 口，6 ( f ) l l l 一- t - c l l 蚝6 ( 刮b c 0 川p + c 0 州p c l f ，i | p 当l r n 2 时，定理2 2 2 我们可以通过归纳法证明因此定理2 2 2 证毕口 9 第三章l i t t l e w o o d p a l e y 算子的多线性交换 子在h a r d y 空间和h e r z h a r d y 3 1符号及引理 空间上的有界性 定义3 1 1 令b i ( i = 1 ，m ) 为局部可积函数，0 psl 。形上的一个有界 可测函数n 被称为，两原子，如果满足下列三个条件： ( 1 ) s u p pacb = b ( x o ，r ) ， ( 2 ) f p i b i p ， ( 3 ) la ( y ) d y = 厶o ( 可) i i 胁b l ( y ) d y = 0 ，对任何口c 尹，1 歹m 。 一个分布函数，被称为属于珲( 舻) 空间，如果，在s c h w a r t z 分布意义下能写 成下列形式 m ) = 吩( 。) ， j = l 其中a j 是，两原子，入c ，嚣。i 入l p o 。a 并且i i 川砩( 舻) ( 器li 沁i p ) 1 p 。 给定一个集合ec 形，e 的特征函数定义为x e 。令b k = z 舻：2 k ) ， c k = b k b k 一1 ，矶= x b h ，k z 定义3 1 2令0 p ，g 0 0 ，q r 当k z ，令风= z 俨：l x i 2 k ， 瓯= b k 风一1 。记为g 的特征函数，x o 为b o 的特征函数。 ( 1 ) 齐次h e r z 空间定义为 砖廖( 妒) = ，圾( 舻 0 ) ) ：船“o o ) ， 其中 r 11 扫 田一i 2 k a p 慨此i l k = - o oj ( 2 ) 非齐次h e r z 空间定义为 碍舻( 彤) = ，l k ( 俨) ：1 1 1 1 砰, ， o o ) ， 其中 r 。11 p i i 1 1 瞄一l 2 脚i i ，x 腮+ 慨此1 l 七= lj 定义3 1 3 令口r ，1 口 0 0 ，0 q n ( 1 一：) ，机eb m o ( r “) ，1 i m 形上的函数。被称为( q ，g ，两中心原子( 或( q ，q ，两中心原子限制型) ，如果满足下列 三个条件： 1 0 ( 1 ) s u p pa b = b ( 0 ，7 - ) ， ( 2 ) i l a l l n a i s l 一导， ( 3 ) 厶a ( x ) d x = 厶a ( x ) n 胁b z ( z ) d z = 0 ，对任何盯c 罗，1 冬j i m 一个分布函数，被称为属于日露罗( 舻) 空间( 或日够( 伊) ) ，如果，在：s c h w a r t z 分布意义下能写成形式，= o 忙0 一( 或，= 凳o a j a j ) ，其中是支集在 b ( 0 ，2 j ) 的( q ，q ，两中- 5 , 1 i i i 子( 或 ，q ，两中心原子限制型) 和二l i p ( 或 暑ol l p 0 0 ) 。并且， i i 1 1 日霞a ? ( 或i i ，1 1 日。詈) ( ，i i p ) 1 p 3 2定理与证明 定理3 2 1 设玩b m o ( r n ) ，1 i m ，i = ( b l ，6 仇) ，0 万 0 ，使得对每一个p ，两原子a ，有 i i 纯，6 ( o ) 怯d 设a 是一支于球b = b ( x o ，d ) 上的0 ，两原子。当m = 1 见 7 】，现在证明m 1 的 情形我们记 厶1 9 墓“。) ( 删。出2 丘一知i 嬲i 菇“。) ( 硎9 如+ 丘一圳 列i 西“。) ( 刮口如 ，j p - ，i 霉一知i 2 d，j 霉一卸j 2 d = ，+ i i 对于j ，选取r ，8 1 ，q 8 n 6 且l = z 8 6 n ，由h s l d e r s 不等式和算子 弗，6 ，的( ，l 7 ) 一有界性，我们得到 z ( 丘一知i 列i 西，a ( 。) ( z ) i 出) 2 7 l b ( z 。，2 d ) 1 1 一q r c l 院，6 ( o ) ( z ) 憾i b ( z o ，2 d ) 1 1 - q c l l a l l 羔。i s l q 肼口卧1 一口r c 对于j j ，记a = ( a 1 ，k ) ，九= ( 6 i ) 口，1 i m ，其中( b i ) b = 面石1 而厶，a ) b i ( x ) d x ， 由h s l d e r 不等式和原子a 的消失矩条件，可得 i i = 。d ( z lf b f i ( b j ( x , - b j ( y ) ) 妒t ( x - y ) a ( y ) d y 2 d - 芋) 1 7 2d z 口 c 扣x o , 2 a + l d ) 1 1 1 。 丘+ 。d 悻一$ 。l 。d ( z ( l 以c z 一可，一矽c z ，f i ；。l ( b j ( x ) - b j ( y ) ) l l a ( y ) l d 到) 2 譬) 1 7 2 d 口 z ( 上l 砂。c z 一可，一也c z 川，f i ：。l b j ( x ) - b j ( y ) l l a ( y ) d 02 譬 v 2 c k ( t n + s i n c 可，l 垂1 6 ，c z ，一6 i c y ，i 百r j f 黔咖) 2 警 1 归 c ( z 而希一) v 2 上虬州训川弛 容易得到 因此 厂7；fr_(：clxl 一2 ( n + e 一回； o ( t + l x l ) 2 c l + e - 6 ) f 2 k + l d l x _ x o l 2 k di x - ( n t e - 6 ) ( 耍1 6 ，c z ，一6 ，c y ，i l y l 6 i 。c y ，i d y ) d 司。 睡k 一啪圹吣卅腋x ) - a ) ，l d x 胁h 洲川和i 叫口 c 薹暑( 加u ) - , ) , ：l l u l l a ( u ) l d u ) 口 驴o o x o , 2 k + l d ) | l 一帆一痧2 z i - ( n + e - 6 ) 懒叫批 口 c l i 珏i l 刍 f d 旧o i s ( x o , 2 m d ) 1 1 刊小卅加k a i b i 1 + 州p ) q j = o 口叩 k = l c ll g ll 刍m o 舻2 h 6 7 t i e 加h 扩( 1 一口) 一咖_ 舛妒 七：= 1 1 2 口 一 d +七 2 o z日 脚 c 一 ， 一 d +七 2 o zb 脚 c 一 c 乌m o 综上，定理3 2 1 证毕。口 定理3 2 2 定理设0 p i x ) ，0 6 ，l ，1 q l 口2 0 0 ，1 q 1 1 q ：巧加， n ( 1 - - 。1 q 1 ) + 6 口 佗( 1 1 q i ) + + 6 ，玩b m o ( t 护) ，l i m ，i = ( 6 1 ，6 仇) ， 则鲸，a 是从日暑( 册) 到式扩( 舻) 有界的。 i e n ：设，日孓( 彤) ，( z ) = 凳一( z ) 是定义3 1 3 中，的原子分 解，记 i 1 4 ，6 ( 似z ) i i 鼬 、l 屈 = ( 2 咖峨( m 七忆) k = - - o o r 11 彦 cl 2 脚( m 妇) 瓢i i l 心) p i = 一 j = 一o o j r k - 3 11 n ci 2 脚( m 妇) 瓢i i 脾) p l l j b 一 j = 一 j r 11 p + c i 2 脚( i b i l l g ，6 ( n d x k l l l 屹) pi u = 一 j = k - 2 j = i + i i ， 对于，注意到s u p p a i u ( o ，) ，i i i i 助t i b ( o ，) i _ 。n ，由鳐，6 在( 二口- ( 舻) ，l q 2 ( i ，) ) 上的有界性和h 6 1 d e r 不等式，可得 jj=c i 2 脚( i i l i 磊，。( 叼) x 七i i l 眈) pl c f 2 脚( m 叼p l c 脸舞皇揽莽篙1p 茎二lj 墨一2 七叩( 暴后一2 l l 2 一口) p 叫p ， 。0 i 【墨一2 脚函一2i i p 2 j 印1 l p ，o p l c 鼍一2 脚( 蹀柚j i p 州彳z ) 【( 跺脚2 - j f a 矿2 ) r 1 p o 。 s c 高端窝竺- j ) 卸私芝。 il 器一n p ( 芒2 忙。) l l ，p ，1 p o o 1 3 a o g ( i i p ) l p j = - o o 硎川日鳐；。 吲一1 丘玩 ) d x ，l i m ，矿= g 敖。c ，c z ，= ( z fj 乞c 6 。c z ，一6 。c 可，也c z 一，c 可，d 剪l z 譬) 1 7 2 ( z ( 乙l 妒。c z 一可，一仇c z ，i i h c z ，一6 ，c ，ij c y ，i 咖) 2 警) v 2 ( z ( 2t n + 6 i c y ，1 1 6 。c z ，一6 。c y ，i i f j = 黔d ) 2 了d t ) 1 7 2 c ( z i ；_ ；- i 赫) 1 7 2 ( 2i 可1 5 1 ( y ) 1 1 6 ( z ) 一6 t ( 可) i 妇) c l x l m + 5 一l y l 6 i ( 耖) 1 6 1 ( z ) 一b l ( y ) i d y jb c l x l 一似押一nl y l 5 l n j ( 可) 1 1 6 l ( z ) 一6 ；i 匆 - ，b i + c l z l 七押。正l y l 5 i n j ( y ) l l b l ( ) 一弓l 咖 jb c l x l n 托一6 ) ( 1 5 1 ( z ) 一6 j i ( e + n ( 1 一l 9 1 ) 一曲+ ( + n ( 1 1 q - ) 一口1 1 6 1 1 1 日m d l ； 因此，当m = 1 ， i 斑6 ( a j ) x k l l 眈 c ( + n ( 1 1 乱) 一a ( 厶i z l 一( n 托一6 ) 钇如) v 钇+ ( z 。i x - 钇( n + e - 6 ) d x ) 1 胁i 陋，l i b m 。 c 2 j 忙+ “1 1 7 9 1 ) 一a 2 - 1 , + 6 6 ) - i s k l l 口2 i i b , i i b m o + 2 - k ( n + e 一i j e 7 k 1 1 驰l l b l b m o 】 c ll b lil b m 0 2 d ( 6 + n ( 1 1 q 1 ) 一q ) 一七( n + 一6 ) + h 啦】， 所以 l 塞2 脚匡i , b l l l g ：, , 如玩怯矿 j=c i 2 脚i 。( ) x k l i l q 2 ) i l j 2 一o ov 5 一j c l l b t b m o l , , k = 壹- o o2 脚c 酗2 啡刊叫一驯叫矿 1 l 2 七印i i 1 2 叭佃( 1 1 加卜a 。 ( 外卜+ h 啦! ) i j 2 一j 1 4 = 叮 仉x = 七 xo 瓯 瓯 = 得仅可 设啪 l ，于， 对唠 l 墨一2 脚譬三l i p 2 d 忙+ t l ( 1 1 口1 ) 一口) 一知( n + e - 5 ) + 拥愚】p 1 1 p ，o p 1 g l i b l i i b m o i 芒一2 脚( k ：-