（管理科学与工程专业论文）混沌理论在石油价格序列分析中的应用.pdf

摘要 本文对混沌理论及其在石油价格复杂性分析中的应用进行了系统深入的研 究。 本文研究的目的在于通过分析传统的混沌理论，针对其中的某些不足进行合 理改进，其中着重研究了时间序列的相空间重构理论及其预测方法。在理论和方 法研究的基础上，本文对石油价格序列的混沌特性、复杂程度以及波动的持续性 和长记忆性进行了深入的研究，并揭示了隐藏在石油价格序列中的一些规律。 本文研究内容可分为理论研究和应用研究两部分，主要工作如下： 1 对作为混沌时间序列分析基础理论的相空间重构理论进行了深入研究， 就重构中的参数选择提出了一些新的方法，这无疑会提高时间序列相空间重构质 量； 2 在传统l y a p u n o v 指数计算方法的基础上，提出了一种基于组合策略的 l y a p u n o v 指数谱计算方法，从理论上论证了其合理性，并利用实例模拟检验了 新方法的有效性； 3 在混沌时间序列预测方面，提出了以下新方法：( 1 ) 基于n 阶平均发散 度的混沌序列可预测尺度确定法：( 2 ) 基于加权平均一阶发散度的混沌序列预测 法；( 3 ) 基于关联度的局域加权线性回归预测法。此外，本文还通过严格的逻辑 推理论证了组合预测方法的优越性：并提出了基于b p 神经网络模型的最优组合 权重确定方法； 4 运用非线性混沌理论对石油价格序列进行了系统、深入的分析，揭示了 其复杂的演化行为，得出了该系统会出现混沌现象的结论； 5 在分析时间序列波动模型的基础上，对石油价格波动的持续性和长记忆 性进行了检验。 关键词：混沌理论、l y a p u n o v 指数、时间序列、相空间重构、预测方法、石油 价格、持续性、长记忆性 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，c h a o st h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o ni nt h ec o m p l e x i t ya n a l y s i so f o i lp r i c ea r es t u d i e ds y s t e m a t i c a l l ya n dd e e p l y t h ea i mo ft h er e s e a r c hi nt h i s d i s s e r t a t i o nl i e s i n ：t h r o u g ha n a l y z i n gt h e c o n v e n t i o n a lc h a o st h e o r y , w ei m p r o v ei ta c c o r d i n gt o i t s d i s a d v a n t a g e s ，i nw h i c h ， p h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o nt h e o r ya n d f o r e c a s tm e t h o d so ft i m es e r i e sa r ef o c a s e do n o nt h eb a s i so ft h e o r ya n dm e t h o dr e s e a r c h ，t h ec h a o t i cc h a r a c t e r i s t i c ，c o m p l e x d e g r e e ，v o l a t i l i t yp e r s i s t e n c e a n dl o n g m e m o r yo fo i l p r i c e s e r i e sa r e i n v e s t i g a t e d d e e p l y , a n ds o m e r u l e se x i s t e di no i lp r i c es e r i e sa r er e v e a l e d t h er e s e a r c hc o n t e n t so ft h i sd i s s e r t a t i o ni n c l u d et w op a r t s ：t h e o r yr e s e a r c ha n d a p p l i c a t i o n r e s e a r c h t h em a i nw o r kc a nb es u m m a r i z e da s ； 1 ，a st h eb a s i c t h e o r y o f a n a l y z i n g c h a o t i ct i m e s e r i e s ，p h a s es p a c e r e c o n s t r u c t i o nt h e o r yi sd e e p l yi n v e s t i g a t e d ，a n ds o m en o v e lm e t h o d so fc h o o s i n g r e c o n s t r u c t i o np a r a m e t e r sa r ep r o p o s e d t h i ss t u d yc a nd o u b t l e s si m p r o v et h eq u a l i t y o fr e c o n s t r u c t e dp h a s es p a c e 2 o nt h eb a s i so fc o n v e n t i o n a ll y a p u n o ve x p o n e n tc o m p u t i n gm e t h o d s ，an o v e l m e t h o db a s e do nc o m b i n a t i o ns t r a t e g yi ss u g g e s t e d ，a n di t sr e a s o n a b i l i t yi sp r o v e d f r o mt h e o r e t i c a la s p e c t o nt h es a m _ et i m e ，t h ev a l i d i t yo ft h ep r o p o s e dm e t h o di sa l s o v e r i f i e db ym e a n so f e x a m p l e s i m u l a t i o n 3 o nt h ea s p e c to fc h a o t i ct i m es e r i e sf o r e c a s t ，f o l l o w i n gm e t h o d sa r ep r o p o s e d ： ( 1 ) p r e d i c t a b l es i z ed e t e r m i n i n gm e t h o do fc h a o t i cs e r i e s b a s e do nn - r a n ka v e r a g e d i v e r g e n c ed e g r e e ；( 2 ) f o r e c a s t i n gm e t h o do f c h a o t i cs e r i e sb a s e do na d d i n g w e i g h t a v e r a g e o n e r a n k d i v e r g e n c ed e g r e e ；( 3 ) l o c a la d d i n g w e i g h t l i n e a r r e g r e s s i o n f o r e c a s t i n gm e t h o do fc h a o t i cs e r i e s b a s e do nd e g r e eo fi n c i d e n c e m o r e o v e r , t h i s d i s s e r t a t i o na l s od e m o n s t r a t e st h ep r e d o m i n a n c eo fc o m b i n a t i o nf o r e c a s tm e t h o d t h r o u g hr i g o r o u sr e a s o n i n g ，a n d an e wm e t h o do fd e t e r m i n i n go p t i m a lc o m b i n i n g w e i g h t s b a s e do nb pn e u r a ln e t w o r km o d e li ss u g g e s t e d 4 b ym e a n s o fn o n l i n e a rc h a o t i c t h e o r y , t h e o i l p r i c e s e r i e si s a n a l y z e d s y s t e m a t i c a l l y a n d d e e p l y i t sc o m p l e x e v o l u t i o nr u l e sa r e r e v e a l e d ，a n d t h e c o n c l u s i o nt h a tc h a o t i cp h e n o m e n o nc a no c c u ri nt h es y s t e mi sd r a w n 5 o nt h eb a s i so f a n a l y z i n g t i m es e r i e sv o l a t i l i t ym o d e l ，t h i sd i s s e r t a t i o nv e r i f i e s t h ep e r s i s t e n c ea n dl o n g m e m o r yo f o i lp r i c ev o l a t i l i t y k e y w o r d s ：c h a o s t h e o r y , l y a p u n o ve x p o n e n t ，t i m es e r i e s ，p h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o n ， f o r e c a s tm e t h o d ，o i lp r i c e ，p e r s i s t e n c e ，l o n g - m e m o r y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨盗盘茎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：己白赵 签字日期：z 矿p ； 年月二口日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盘洼盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫盗盘茔可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：已使 签字日期：z ；年月三p 日 导师签名：考无秉 签字日期：二优哆年7 月二口同 第一章绪论 第一章绪论 一门新学科的创立，不仅是理论进步的结果，而且是生产发展的需要和社会 实践深化的必然。与此同时，还可能预示着一场深刻的科学革命。开始于7 0 年 代初的混沌学研究，正以其广度和深度的磅礴气势，揭开了物理学、数学乃至整 个现代科学发展的新篇章。混沌学的创立，将在确定论和概率论这两大科学体系 之间架起桥梁，它将改变人们的自然观，揭示一个形态和结构崭新的物质运动世 界。二十多年过去了，混沌学仍在迅速发展并逐步走向成熟。混沌学给学术界带 来了巨大的震撼，它将以其丰硕的研究成果和对社会的深刻影响确立自己在科学 史上应有的地位。 1 1 本文研究背景、目的与研究意义 1 1 1 本文研究的背景及目的 非线性混沌系统是自然界和社会经济领域广泛存在的一类系统，因此，非线 性混沌理论的研究成果必然会渗透到各类自然系统和社会经济系统的研究中。目 前，非线性混沌理论的基本框架已经形成，而且取得了很多研究成果，但不可否 认的是，其中某些方面依然存在不足需要进一步改进。本文研究正是在这样的背 景之下展开的。 本文研究的目的就在于：( 1 ) 发展已有的非线性混沌理论，针对其中某些方 面存在的不足进行改进，提出一些新的理论和方法；( 2 ) 将非线性混沌理论应用 于石油价格时序的复杂性研究中，以深刻揭示蕴藏在石油价格波动中的本质规 律，从而为进一步认识石油市场奠定坚实基础。 1 1 2 本文研究的意义 本文的研究意义如下： 一、发展了传统的混沌理论 本文对混沌理论的发展表现在以下几个方面：( 1 ) 提出了一种新的混沌序列 可预测尺度确定方法以及三种新的混沌时序预测方法，并借助于计算机模拟对这 些方法的有效性进行了验证。这些研究有利于提高混沌序列预测的精度，从而为 第一章绪论 混沌系统的决策、规划及控制奠定基础；( 2 ) 提出了一种基于组合策略的 l y a p u n o v 指数谱计算方法，从理论上论证了其合理性，并利用实例检验了新方 法的有效性。这有利于提高系统l y a p u n o v 指数的计算精度，从而为系统混沌的 准确判别提供保障；( 3 ) 对相空间重构理论进行了深入研究，就重构中的参数选 择提出了一些新的方法，并论证了这些方法的有效性和优越性。这些研究有利于 提高相空间的重构质量，从而为混沌时间序列的进步分析奠定坚实的理论基 础。 二、扩展了混沌理论的应用范围 由于混沌学起源于自然系统的研究，因此，目前对混沌理论的研究绝大多数 都集中在自然系统中。然而，相对于自然系统而言，各种社会经济系统是更为复 杂的非线性巨系统，而混沌是非线性系统所特有的现象，因此，非线性混沌理论 必然应该在各类社会经济系统的研究中大显神通。然而长期以来，混沌理论在各 类经济系统中的应用研究非常少，而且都处于非常初级的阶段。基于此，本文第 五部分借助于混沌理论对石油价格时序进行了系统、全面、深入的分析，揭示了 其中的演化规律，并给出了一些合理的经济学解释。这些应用从某种程度上冲破 了传统的混沌理论的“自然科学”属性，必将推动这些理论更多、更为深入地应 用到社会经济科学领域。 三、对经济学中一些假设提出了置疑 传统经济学模型成立的前提假设是：经济系统是稳定运行的。然而，本文对 石油价格序列的分析表明，该序列是混沌的。也就是说，由该序列所决定的动力 系统会出现混沌现象。因此，当混沌出现时，传统的经济模型就不再适用了。这 样，就必须重新寻求新的动态经济模型对经济规律加以描述，并对其演化行为进 行分析，以揭示隐含在系统内部的规律。 1 2 国内外研究动态与评述 1 2 1 国内外混沌理论研究动态 一、混沌理论研究的历史 混沌是一种貌似随机的运动，指在确定性非线性系统中，不需要附加任何随 机因素亦可出现类似随机的行为，即：内在随机性。混沌系统最大的特点在于系 统的演化对初始条件的极度敏感性，因此从长期意义上讲，系统的未来行为是不 2 第一章绪论 可预测的。 混沌科学是随着现代科学技术的迅猛发展，尤其是在计算机技术的出现和普 及应用的基础上发展起来的新兴交叉学科 1 0 i 。在现代的物质世界中，混沌现象 无处不在，大至宇宙，小至基本粒子，无不受混沌理论的支配。如气候变化会出 现混沌，数学、物理学、化学、经济学、社会学中也存在混沌现象。因此，科学 家认为，在现代的科学中普遍存在着混沌现象，它打破了不同学科之间的界限， 它是涉及系统总体本质的一门新兴科学。人们通过对混沌的研究，提出了一些新 问题，它向传统的科学提出了挑战。如1 9 6 3 年美国著名的气象学家l o r e n zen 在数值试验中首先发现i ，在确定性系统中有时会表现出随机行为这一现象，他 称之为“决定论非周期流”。这一论点打破了拉普拉斯决定论的经典理论。在这 一论点的支配下，l o r e n z 曾提出：“气候从本质上是不可预测的”。这个论点一直 困扰着动力气象学界。后来人们认识到，当时l o r e n z 所发现的“决定论非周期 流”现象其实就是- - t e e 混沌现象，即：气候系统对初始条件非常敏感，初始条件 的极微小差别就会导致巨大的气候变化。继l o r e n z 之后，于1 9 7 5 年“混沌”作 为一个新的科学名词正式出现在文献中。随着对混沌现象的深入研究，混沌理论 迅速发展起来。气象学家将它应用于气象系统中，发展成为混沌气象学。随着对 混沌气候学的深入研究，人们逐渐认识到气候是一个有层次的复杂系统i ”i 。这个 系统在不同层次上，在一定范围内，还可以建立起各种预报模式，并已取得了较 好的效果。因此，与传统的预报模式相比，人们深信，随着对气候系统各种层次 结构的深入认识以及各种不同层次模式的建立，长期气候预测的精度也将会大有 提高。 不仅上述气候变化受到混沌的支配，就连根深蒂固的牛顿力学也受到了冲 击。众所周知，3 0 0 多年前，牛顿的万有引力定律和他的三大力学定律将天体的 运动和地球上物体的运动统一起来。牛顿这一科学贡献曾被视为近代科学的典 范。然而，随着科学的发展，人们进一步认识到，牛顿力学的真理性受到了一定 范围的限制【l ”。1 9 世纪末2 0 世纪初，人们发现牛顿力学不能反映高速运动的规 律，一切接近光速的运动应当用爱因斯坦的相对论方程来计算，光速c 成为牛顿 力学应用的第一个限制。在此前后，人们又发现，微观粒子的运动并不遵守牛顿 力学规律，在微观世界中应当用量子力学中的薛定谔方程来代替牛顿力学方程， 普朗克常数h 就成为牛顿力学的第二个限制。 实际上，早在本世纪初在研究复杂系统时就已经涉及到牛顿力学的第三个局 限性问题，即：牛顿力学在研究复杂系统时遇到了困难。当时，法国数学家p o i n e a r 6h 就发现，牛顿力学无法处理“三体问题”。直到1 9 6 3 年，l o r e n z 发现，一个 确定的含有3 个变量的自治方程，却能导出混沌解，说明天气从原则上讲不可能 3 第一章绪论 作出精确的预报。因此，在复杂性面前，牛顿力学是无能为力的，从此就拉开了 对混沌研究的序幕。 著名的比利时科学家、诺贝尔奖学金获得者p r i g o g i n ei 等人在探索复杂性 i t 4 专著中，又从多方面研究了混沌问题。他们通过对一些非平衡过程可以以不同 的方式进入混沌以及对混沌特性的研究后发现，这种混沌不同于宇宙早期的混沌 以及热力学平衡态的混沌，它是有序和无序的相对统一，既有复杂性的一面，又 有规律性的一面。因此，这就意味着，当代对混沌科学的深入研究将会对自然科 学带来新的突破。 正如日本著名统计物理学家久保在1 9 7 8 年所指出的：“在非平衡非线性的研 究中，混沌问题揭示了新的一页。”美国一个国家科学结构，把混沌问题列为当 代科学研究的前沿之- - i 峙i 。混沌科学最热心的倡导者、美国海军部官员s h l e s i n g e r m 说：“2 0 世纪科学将永远铭记的只有三件事：相对论、量子力学与混沌。”物 理学家f o r d 认为混沌就是2 0 世纪物理学第三次最大的革命。 与牛顿力学的应用经受相对论和量子力学革命性的突破有所不同，这次革命 的实质就在于混沌是直接用于研究人们所感知的真实宇宙，用在人类本身的尺度 大小差不多的对象中所发生的过程。人们研究混沌时所探索的目标就处在日常经 验与这个世界的真实图象之中。牛顿力学所描绘的世界是一幅静态的、简单的、 可逆的、确定性的、永恒不变的自然图景，形成了一种关于“存在”的机械自然 观。而人们真正面临的世界地质变迁、生物进化、社会变革这样一幅动态的、复 杂的、不可逆的、随机性的、千变万化的自然图景，形成了关于“演化”的自然 观。因此，混沌是一种关于过程的科学而不是关于状态的科学，是关于演化的科 学而不是关于存在的科学【1 6 i 。 混沌科学的研究表明1 他7 1 ，现实的世界是一个有序与无序相伴、确定和随机 统一、简单与复杂一致的世界。显然，以往那种只追求有序、精确、简单的观点 是不全面的。因为牛顿所描述的世界是一个简单的、机械的、量的世界，而人们 真正面临的却是个复杂纷纭的质的世界。因此，只有抓住复杂性并对它进行深 入研究，才能为人们描绘出一个客观的世界图景。 二、混沌理论的体系及方法论 混沌理论最初起源于人们对产生于简单确定的非线性动态系统行为的研究， 历史较为短暂，其研究仍还处于观察、描述、实验积累的阶段，理论体系与方法 体系并不完整，但其发展潜力和在其它学科中应用的潜力都是巨大的。这一理论 j 的产生，是不同时代科学家们努力的结晶，是不同学科科学发展综合的必然结果， 、 是现代科学技术研究手段尤其是计算机应用的产物。混沌理论是继“老三论”、 4 第一章绪论 “新三论”之后的第三代系统科学理论的一部分。一般认为，混沌理论的体系涉 及以下三个部分1 2 8 , - , 3 0 1 ： 1 非线性动力学。这是判断混沌能否出现及研究系统动力学行为的基础。 2 耗散结构理论。所谓耗散结构是指在开放和远离平衡的条件下，在与外 界环境交换物质、信息、能量的过程中，通过能量耗散和内部的非线性动力学机 制来形成和维持宏观时空有序的结构。这一理论为理解系统有序与无序之间的关 系提供了一种理论与方法，混沌的研究与此密切相关。 3 分形几何理论。分形作为自然界一种普遍现象，并存在于事物的时、空 混沌之中，它所揭示的规律和研究的方法可用于混沌研究。 有关混沌研究的主要方法，一般包括：l y a p u n o v 指数计算、各种分形维数 计算、熵计算、功率谱计算、与混沌研究相应的独特的计算机应用方法与技巧、 数值计算、l i y 0 r k e 定理、符号动力学以及软件科学领域的学者常使用的反演 方法等。 三、混沌理论的要点 混沌运动的基本特征是具有确定性、非线性、对初始条件敏感依赖性和非周 期性。已有的研究表明了以下观点3 1 3 7 l ： 1 从长期的演化过程看，系统的运行轨迹具有对初始条件的敏感依赖性。 初始条件的细微变化能够导致系统未来长期运动轨迹之间的巨大差异，即小的原 因能够引起大的结果。 2 简单的系统可以产生复杂的现象，而复杂现象的背后可以是有序的。 个系统貌似随机的输出并不一定是随机输入造成的，一个确定的简单系统除了能 够产生稳定平衡的、周期性的和不稳定发散行为之外，还能产生貌似随机的混沌 行为。混沌的背后拥有精细的结构，如在状态空间上表现为混沌吸引子，混沌吸 引子具有分形性，有普适性常数存在等。 3 一个系统有三种进入混沌状态的可能道路：倍周期分岔、间隙变换和锁 频( 或称之为准周期运动) 。 4 系统的整体行为可以不同于系统的部分行为。从微观角度考察，系统的 部分行为可以是杂乱无章的，而从宏观角度考察，系统的整体行为又可能呈现出 一定的规律性。 5 系统行为在不同状态之间的转换可以是渐近的，也可以是突然的。因此， 根据系统状态变化的历史趋势来推测其未来，是危险的 5 第一章绪论 1 2 2 研究中存在的问题m 删1 纵观目前国内外有关系统混沌理论、混沌控制方法的研究动态，可以发现尚 存在以下不足： 1 有关“混沌”的统一定义尚未形成。 从混沌研究的历史回顾中可知，直到5 0 年代末，混沌学创立之前，混沌概 念还是极其含糊的。而且即使现在，不同领域对混沌的理解也很不相同。这样， 就使得在不同学科的交流中出现了许多歧义。因此，为“混沌”下一个严格的、 能够适用于不同学科要求的数学定义是当务之急。 2 对于混沌理论及混沌控制方法尚需做进一步的深入研究 无穷无尽的u p o s 组成了混沌系统的基本框架，因此，对u p o s 的深入研究 无疑会加深我们对混沌系统本质的理解。因此，这方面需要做的研究有：( 1 ) 设 计一些算法，使得u p o s 搜索速度能够显著提高；( 2 ) 建立u p o s 与系统变量之 间的联系。 目前已有的混沌控制方法非常多，但都有一个缺点：每种方法往往仅仅适用 于一个或一类混沌系统。因此，基于混沌系统的共同特性，提出一个通用f 至少 是适用范围比较广的) 的控制方法，并且给予理论上的严格推理或证明，这是目 前学术界界所面临的一个挑战。这个问题的解决必将是对混沌控制理论的重大发 展。 3 混沌理论的应用有待于进一步扩展。 混沌理论起源于自然科学的研究中，这部分地决定了混沌理论的研究绝大部 分集中在自然科学领域这一事实。但相对于自然系统而言，各种社会经济系统是 更为复杂的非线性巨系统，而混沌是非线性系统所特有的现象，因此，如果能把 非线性混沌理论系统地引入到各类社会经济系统的研究分析中，必然混沌理论应 用的一大创新。 1 3 本文的结构与创新点 本文研究以系统科学、非线性科学、控制论、经济学、管理科学为指导，以 理论创新与应用创新为目标，综合运用混沌理论、混沌控制方法和系统仿真技术， 以计算机为工具，沿着理论、方法、建模、仿真、案例研究的技术路线进行步步 j 深入的系统研究。 本文的内容可分为理论研究部分和应用研究部分。理论研究部分在传统混沌 理论的基础上，做了一些创新性工作；应用研究部分是利用非线性混沌理论对由 6 第一章绪论 石油价格组成的时间序列进行系统、深入、全面的分析，并得到了一些重要的结 论。 本文的创新之处如下： 1 对作为混沌时间序列分析基础理论的相空间重构理论进行了深入研究， 就重构中的参数选择提出了一些新的方法，这无疑会提高时间序列相空间重构质 量： 2 在传统l y a p u n o v 指数计算方法的基础上，提出了一种基于组合策略的 l y a p u n o v 指数谱计算方法，从理论上论证了其合理性，并利用实例检验了新方 法的有效性； 3 在混沌时间序列预测方面，提出了以下新方法：( 1 ) 基于”阶平均发散 度的混沌序列可预测尺度确定法；( 2 ) 基于加权平均一阶发散度的混沌序列预测 法；( 3 ) 基于关联度的局域加权线性回归预测法。此外，本文还通过严格的逻辑 推理论证了组合预测方法的优越性；并提出了基于b p 神经网络模型的最优组合 权墓确定方法； 4 运用非线性混沌理论对由石油价格组成的时间序列进行了系统、深入和 全面的研究和分析，揭示了其复杂的演化行为，得出了该系统会出现混沌现象的 结论； 5 在分析时间序列波动模型的基础上，对石油价格波动的持续性和长记忆 性进行了检验。 7 第二章相空间重构理论 第二章相空间重构理论 相空间重构是对混沌时间序列进行分析的重要基础。相空间重构概念最早出 现在统计学领域中，后来被p a c k a r d 等1 5 “，r u e l l 及t a k e n s 等吲先后引入到动力 学系统中。它的重大贡献在于证明了相空间重构能够保持时序所对应的原动力系 统内在结构的几何不变性，比如系统嵌入空间矩阵的本征值、吸引子的分维数以 及其轨道的l y a p u n o v 指数等的不变性。 相空间重构的基本方法有三种：时间延迟法1 5 2 i 、导数法1 5 1 i 和基本分量坐标法 1 5 3 1 。到目前为止，这三种方法之间的关系还没有完全弄清楚。g i b s o n 等1 5 4 i 最近 指出基本分量坐标与由p a c k a r d 等和t a k e n s 所提出的导数坐标之间存在着非常密 切的联系；更进一步地，对于很少的延迟时间他们提出了基本分量坐标是基于简 化了的l e g e n d r e 多项式的观点。 在以上三种相空间重构方法中，时间延迟法所受到的关注程度最大，其应用 范围也最广。因此，本章将对时间延迟法进行深入研究，并就重构参数的确定提 出一些新的方法。 2 1 基于时间延迟的相空间重构方法 考虑一个混沌系统： z + = f ( r ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 1 ) 式中，y ，e 吼”为状态变量；f ：吖斗坩为一连续光滑函数。对于系统( 2 1 1 ) 式，能够观察到的往往是一个单维的混沌时间序列 ( 卢l 2 ，) ，由相空间 重构理论可以得到该序列在m 维重构相空间中的相点为： x = ( ，一f 焉一+ 1 1 r ) t = ( m 一1 弦+ 1 ，( m 一1 弦+ 2 ， ( 2 1 2 ) ( 2 1 2 ) 式中，t 为时间延迟：m 为嵌入维数。根据t a k e n s 定理，当t 选择恰当， 且m 2 n + 1 时，存在确定性映射f ( ”：吼”斗孵”，使得： 工+ 。= f ”( 置)( 2 1 3 ) ( 2 1 3 ) 式即为重构系统。在微分同胚意义下，重构系统与原始系统( 2 1 1 ) 式具有 相同的动力学特性。由( 2 1 3 ) 式可分离出下式： 工h 1 = f i ，x ，_ ，z f 一( 。一1 ) f ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 4 ) 式为混沌时间序列的预测奠定了理论基础。 8 第二章相空间重构理论 相空间重构理论认为，对于一个不受噪声干扰的无限长时间序列，重构相空间 时，时间延迟t 的选取是任意的但在实践中，任何实测时间序列都不可避免地要 受到噪声的干扰，而且，时间序列也不可能无限长因此，为了使重构相空间能够最 大限度地保留原动力系统的各种特性，就必须选择恰当的时间延迟t 实践证明， t 值决定着重建相空间的质量，如果t 太小，相空间矢量的相邻延迟坐标元素之间 的差别太小，冗余度较大，重构相空间的样点所包含的关于原吸引子的信息偏小， 表现在相空间形态上，即信号轨迹向相空间主对角线压缩；如果t 太大，相空间内 延迟坐标元素间的相互信息丢失，即各元素不相关，信号轨道可能出现折叠现象。 鉴于时间延迟在相空间重构中的重要作用，本章第二节将集中讨论时间延迟的确 定方法。 2 2 时间延迟的确定 2 2 1 现有的确定时间延迟的方法 目前，关于时间延迟t 的选择方法很多，如果将他们归类，一般都基于以下 两个广为应用的准则之一： 1 相空间扩展法：重构相空间轨迹应从相空间的方向轴尽可能地扩展开来； 2 序列相关法：让目标时序 内元素之间的相关性减弱，同时相空间相点 z 包含的原动力系统的信息不会丢失。 基于相空间扩展准则的时间延迟求法有以下几种： 1 平均位移法1 5 5 1 ：属于相空间重构几何法，可以联系相关性准则，具有较 强的物理意义，受到了人们的重视。在原有算法的基础上，该方法已经过多次改 进，具有较强的应用价值； 2 奇异值分量法1 5 6 l ：利用信号奇异值分解来确定时间延迟，使得重构轨迹 在相空间中尽量扩展。但目前关于奇异值分解法的应用依然存在诸多争议： 3 填充因子法i s7 i ：所谓填充因子，是指重构轨迹占所有的重构空间的比例， 它是一种全局意义上的测度。使用填充因子作为求解时间延迟的空间度量，可以 描述相空间的扩展程度。但是，填充因子也是统计量，计算较为复杂。 4 摆动乘积法i s 8 1 ：提供一种空间度量，其原意是求解重构的嵌入维数，考 虑如何保持相空间的拓扑性质，即吸引子中点的相邻关系。但改方法提供的度量 也是时间延迟的函数，因而可同时用来求解时间延迟。但是，它得到的时间延迟 误差较大，而且计算量也较大。 5 转动惯量法瞪9 l ：该方法以相轨迹绕相空间主方向轴转动惯量伪依据来确 9 第二章相空间重构理论 定时间延迟，它基于对相轨迹的物理与几何意义描述。 基于序列相关法准则的时间延迟求法有以下几种： 1 自相关函数法i 卸i ：该方法以目标时序的自相关函数作为求取时间延迟的 基础，通常选取自相关函数首次达到某一给定值或最小值时的时间延迟作为目标 值： 2 互信息量法1 6 1 i ：该方法以目标时序的元素之间的互信息量作为求取时间 延迟的基础，通常选取互信息量首次达到某一给定值或最小值时的时间延迟作为 目标值。 在以上诸方法中，自相关函数法具有计算简单、适用性强的特点，因而得到 了较为广泛的应用。但该方法的局限性在于只能判断线性相关性。对于存在于时 序中的非线性相关性显得无能为力。基于此，本节对自相关函数法进行改进，使 之能够同时判别线性相关性与非线性相关性，并借助于信息熵来确定相空间重构 中时滞t 值的上限。在此基础上，设计了一种新的方法来确定最优时滞，并利用 实例对该方法的有效性进行了验证。 2 2 2 一种新的确定时间延迟的方法 一、自相关函数法的改进 考虑原始时间序列 x i ) ( f _ 1 2 ，) ，为了能够对其非线性相关性进行有效判 别，不妨进行以下乘方变换： y ；= x ?i = 1 , 2 ，n ；j = 1 , 2 ，( 2 21 ) 基于( 2 2 1 ) 式，得到新的序列 y j l ( f _ 1 2 ，柳。在给定的乘方次数_ ，的情况下， 序列 y j l 的自相关函数的估计为： ( j ) ( j ) ( j 1 户。2r 。y 。( 女= o , 1 一，n 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 2 ) 式中， 刍? 为序列 y j ， 的阶自相关系数的估计；y 表达如下： 虬万ln 备- k ( y ；”珀( y 一n ( 女= 。h ，一1 ) ( 2 捌 ( 2 2 3 ) 式中 j歹= 专毫 ( 2 2 4 ) 、 【) 当产l 时， p 。表示原始序列 x ，) 的k 阶线性自相关系数的估计： 当户l 第二章相空间重构理论 时 占。为序列 墨 的k 阶非线性自相关系数的估计，其中乘法次数表征非线 性程度的高低。因此，基于( 2 2 1 ) 、( 2 2 2 ) 式，就可以实现对任意序列) 线性与 非线性相关的判别。 二、时滞上限的确定 为了确定相空间重构中时滞t 的上限，本节引入信息熵的概念6 2 l 。信息熵也 称s h a n n o n 熵，是用来测度系统包含“信息量”的指标，该指标可以较为贴切地 反映人们对信息的直觉理解。根据信息熵的定义，系统所包含的信息量为： 止 ( s ) = h ( p l ，p 2 ，p ) = 一p ，l o g p ， ( 2 1 5 、 ( 2 2 5 ) 式中，顶回表示系统的信息含量；s 标记一个消息空间：p 。表示空间s 中互斥消息s 发生的概率；为消息空间中消息的数量。信息熵具有以下性质： 性质1h ( p 。，p ：，p 。) 0 ，其中等号成立当且仅当对于某f ，p ，= l ， 其余p t = 0 ( f ) o 性质2 h ( p i ，p2 ，p ) l o g n ，其中等号成立当且仅当p 女= l n ( 拓1 ， 2 朋。 性质3 信息熵具有下列可加性： h ( g i l ，q 1 2 ，q l i ，q2 l ，g2 i ：，q i ，q m 。) = h ( 孙m 钟) + 丢n ( ，等) b 2 _ 6 ) h ( p l ，p2 ，p ) ( 2 2 6 ) 式中， q 。0 ，p ，= q 。 0 ，p ，= l 。( 2 2 6 ) 式中等式成立的充要 j = t = l 条件是： g 。q 1 2 ，q m 中某一个与p ( i = l 2 ， 9 的值相同，其余为0 。 由上述性质可以得出以下结论：( 1 ) 消息空间s 中只可能有一个消息发生 时，目标系统所含信息量最小：( 2 ) 当消息空间中消息等概率发生时，目标系 统所含的信息量最大：( 3 ) 观察( 2 2 6 ) 式可知，消息空间s 中互斥消息s 的总数 越小，则目标系统所含信息量坝固的值也越小。也就是说，结果愈确定，则系 统所含的信息量愈少。基于以上结论，本节以下部分将对信息熵在时滞上限确定 中应用的原理进行阐述。 研究表明嘲1 ，混沌吸引子的重构相空间轨道随时滞t 的变化规律为：当t 很 小时，相空间轨线被压缩在对角线上：随着t 的增大，相空间轨道逐渐展开，而 当t 增大到一定值以后，相轨道开始出现折叠现象；随着t 的继续增大，相轨线 第二章相空间重构理论 被拉伸，而使混沌吸引子被扭曲的面目全非，不能保持原形。 当混沌吸引子的相轨线被压缩在对角线上时，相轨线未展开，吸引子上空间 点对间的距离分布为：分布于长距离与短距离的点对居多，中间距离的点对较少， 这样的分布较为确定，因而混沌吸引子所包含的信息量较小；随着相轨线的逐步 展开，吸引子上空间点对间距离的分布趋于均匀，因而混沌吸引子包含的信息量 大：当轨线折叠时，与轨线被压缩在对角线相似，空间点对间距离分布较为确定， 因而吸引子所包含的信息量较小：当相轨线被拉伸时，空间点对间的距离区域均 匀分布，因而信息量也很大。基于以上分析可知，当信息量首次达到最大值时， 相轨线将由充分展开向出现折叠转变，而出现折叠恰恰意味着重构相空间对原始 系统的扭曲。因此，为了避免这种扭曲的出现，最优时滞应小于信息量首次达到 最大时所对应的t 值。 。 虽然并不是所有的混沌吸引子的相轨线随时滞的变化都要经历压缩、展开、 折叠以及拉伸的变化，但混沌吸引子的相轨线发生折叠和拉伸一定是在时滞t 较 大的情况，因为当t 较大时，重构相空间的各个分量会因为毫不相干而表现出随 机性，此时混沌吸引子便不能保持原形，即混沌吸引子的相轨线发生了折叠和拉 伸。 三、最优时滞的确定策略 基于以上对自相关函数法的改进以及对信息熵在确定时滞上限中的原理分 析，可以按照以下步骤来确定相空间重构中的最优时滞： 1 设r 为一较大的正整数，依次计算当时滞t = 1 ，2 ，r 时信息熵川的值， 取4 ( s ) 首次达到最大值所对应的t 值为最优时滞的上限t 。若在给定的丁值 条件下麒不出现最大值，则增加丁值，直至川回首次出现最大值为止。 2 基于( 2 2 1 ) 、( 2 2 2 ) 式，计算给定时间序列的平均综合自相关系数： 1m a = 去渺i ( 七= o ，1 ，n 1 ) ( 2 加 j hj = l ( 2 2 7 ) 式中，m 为一较大值；a 为k 阶平均综合自相关系数的估计值。 3 为了保证相空间重构的质量，最优时滞t 值的选取应遵循以下两个原则： ( 1 ) t 值能够使原时间序列的平均综合自相关性降低到允许的范围之内；( 2 ) 避 免出现相轨线的折叠。基于以上原则，最优时滞r 。，为： f 。，= s ( r 。一f i ) r 。+ s ( r 一f 。) r ( 2 2 8 ) j( 2 2 8 ) 式中，t 。时滞上限：判别函数鼠x ) 及变量tk 的定义如下： 1 2 第二章相空间重构理论 s ( ) ： f t = m i n k = o ，1 ，一1l t 声女峰p 。) ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 0 ) 式中，p 。为阈值，表示最大允许平均综合自相关系数。根据实际问题 的要求，p 。一般取较小值。 四、实例研究 文献1 6 4 介绍了一种相空间重构预测算法，该方法的原理是借助于相空间重 构技术对时间序列的未来状态作出预测。因此，相空间重构的质量高低直接决定 着预测的精度。基于此，本节应用该预测方法来检验以上所述最优时滞确定方法 的有效性。 首先选用天津市某区电网2 0 0 2 年1 月1 日至2 0 0 2 年8 月3 1 日每天2 4 h 整 点负荷记录组成的时间序列协) ( 序列长度n = 5 8 3 2 ) 作为研究对象； 以该区2 0 0 2 年9 月1 日2 4 h 整点负荷记录组成的序列9 ， ( f _ l 2 ，2 4 ) 作为测试数据，用于对 不同时滞条件下预测的精度进行比较。 按照以上所述最优时滞的确定策略，首先确定时滞的上限t 。给定嵌入维 数m f l 5 ，则信息熵川册随时滞t 值的变化情况如图2 2 1 所示。 123 4 5 67891 01 1 1 21 31 41 51 61 7l 图2 2 1 信息熵- t ( s ) 随时滞t 的变化 由图2 , 2 1 可知，当t = 1 0 时，俄国首次达到最大，则t 。= 1 0 。取参数m = 2 0 基于( 2 2 7 ) 式计算时间序列 x i ) 的平均综合自相关系数，得到表2 2 1 所示结果。 阶数 l23456789i o 膏 p “。值 o 8 2 1 70 2 2 6 90 3 0 9 60 1 7 8 5o 2 4 1 8o 1 0 3 90 0 1 1 30 0 8 7 200 3 1 50 1 0 2 5 1 3 92 o o 0 = ( x j r0一2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 d li山-一巴 第二章相空间重构理论 取阈值p 。= 0 0 5 ，由表2 2 1 可知，当扣7 时，p “。= o o l l 3 1 0 时，4 e ( t ) 保持较大值，且随着t 值的不断增大。a 以t ) 呈现总体上升的趋势。出现这种 情况的根本原因在于，当r 1 0 时重构相空间扭曲了原系统的动力学特性。 2 3 嵌入维数的确定 作为相空间重构的一个重要参数，嵌入维数的恰当与否将直接决定重构相空 间的质量。根据嵌入定理l 矸i ，在存在噪声的情况下，只要嵌入维数m 满足： m 2 a + 1 ( d 表示吸引子的分形维数) ，并且时间延迟选择恰当，重构系统就可 以反映原系统的动力学特性。但分形维数d 事先是未知的，因此，有必要借助于 一定的方法来求取适合的嵌入维数。 传统的求取适合嵌入维数较有价值的方法有：伪邻近点法( f a l s en e a r e s t n e i g