（固体力学专业论文）一类橡胶材料的尖点及角点的大变形接触问题.pdf

博士学位论文类檬胶材料的尖点及角点的大变形接触问题北方变通大学 摘要 本文采用非线性弹性理论，应用1 9 7 3 年k n o w l e s 和s t e r n b e r g 提出的大 变形本构方程，列橡胶楔体与刚性缺1 3 接触问题及刚性楔体与橡胶缺口接触 问题进行了渐近分析。结果表明：对于前一问题，橡胶楔体尖端没有扩张区 与收缩区，而是均匀散开。文中得到了渐近方程，并给出了数值解。尖端应 力奇异性与橡胶材料常数 、橡胶楔角口及刚性缺口角度口有关。对1 ：后一 问题，橡胶缺口附近区域可以分为一个扩张区及两个收缩区。在变形前扩张 区位于缺e l 正前方一个狭窄的区域，收缩区几乎占满整个缺口区域；变形 后，扩张区几乎占满整个缺口区域，而收缩区只是位于两个接触边界附近的 狭k 区域。对扩张区得到了分析解，对两个收缩区得到了渐近方程与数值 解缺口附近区域应力场的奇异性只与橡胶材料常数 及刚性楔体的角度y 有关，丽与其它材料常数及缺口角度无关。收缩区应力主项与扩张区应力主 项的奇异性相同，即f r _ 2 ”。 通过对上述两种情况的分析，可以看出橡胶楔体与刚性缺e l 接触问题和 刚性楔体与橡胶缺口接触属于两个不同的问题，材料表现出不同的行为本 文又结合k n o w l e s s t e r n b e r g 提出的应变能函数，利用t l 法编制了非线性有 限元程序，分别对这两种情况进行了计算计算结果均与分析结果相符合。 渐近分析中一些不能确鲫地确定的参数，通过有限元计算结果与分析解结果 比较得到。 关键词：橡胶材料，有限变形，楔体， 缺口，渐近分析，有限元法 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，u s i n gt h en o n l i n e a re l a s t i ct h e o r ya n dt h ec o n s t i t u t i v ee q u a t i o no f l a r g ed e f o r m a t i o ng i v e nb yk n o w l e sa n ds t e r n b e r gi n 19 7 3 | 1 1 t w op r o b l e m sh a v e b e e na n a l y z e d ，o n ei st h ec o n t a c tp r o b l e m so far u b b e r - l i k ew e d g ew i t har i g i d 摘要 n o t c h ，a n o t h e ri st h ec o n t a c to f ar i g i dw e d g ew i t har u b b e r l i k en o t c ht h er e s u l t s s h o wt h a tf o rt h ef o r m e r ，t h ed o m a i nn e a rt h et i po ft h er u b b e r l i k ew e d g ec o n s i s t s o fa nu n i f o r ms e c t o r ，i td i s t r i b u t e se v e n l y ；t h ea s y m p t o t i ce q u a t i o n sa r ed e r i v e d a n dt h en u m e r i c a lr e s u l t sa r e g i v e n t h e s i n g u l a r i t yo f s t r e s s e sa tt h et j pi sr e l a t e d w i t ht h em a t e r i a lc o n s t a n th 、t h ew e d g e t i pa n g l epa n d t h en o t c ha n g l edf o r t h el a t t e rp r o b l e m ，t h ed o m a i no ft h et i po ft h er u b b e r l i k en o t c hc a nb ed i v i d e d i n t oo n ee x p a n d i n gs e c t o ra n dt w os h r i n k i n gs e c t o r s b e f o r ed e f o r m a t i o nt h e e x p a n d i n gs e c t o rl a i do n an a r r o wd o m a i ni nt h em i d d l eo fn o t c ha n g l e ，w h i l et h e t w os h r i n k i n gs e c t o r sa l m o s to c c u p yt h ew h o l ed o m a i na f t e rd e f o r m a t i o n ，t h e e x p a n d i n gs e c t o ra l m o s to c c u p i e s t h ew h o l ed o m a i n ，w h i l et h et w os h r i n k i n g s e c t o r ss h r i n ki n t ot w o n a r r o w i n g d o m a i nn e a rt h ec o n t a c tb o u n d a r i e s 、t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o ni so b t a i n e df o rt h e e x p a n d i n gs e c t o r ，a n d t h e a s y m p t o t i c e q u a t i o n sa sw e l la s t h en u m e r i c a lr e s u l t sa r eo b t a i n e df o rt h es h r i n k i n gs e c t o r s t h es i n g u l a r i t yo fs t r e s s e sa tt h et i po fn o t c hi sr e l a t e do n l yw i t ht h em a t e r i a l c o n s t a n t ，a n dt h ea n g l e ，o ft h er i g i dw e d g e ，t h es t r e s ss i n g u l a r i t yo f d o m i n a n t t e r m si ne x p a n d i n gs e c t o ra n ds h r i n k i n gs e c t o r sa r et h es a m e t h a ti sf r 一2 ” a b o v et w oc o n t a c tp r o b l e m s p o s s e s sd i f f e r e n t f e a t u r e8 0t h a tm u s tb es o l v e d s e p a r a t e l y t h en o n l i n e a rt l p r o g r a mo f f i n i t ee l e m e n tm e t h o di sm a d ea n du s e d t oc a l c u l a t et h ea b o v et w op r o b l e m s t h ec a l c u l a t i n gr e s u l t sa r ec o n s i s t e n tw e l l w i t ht h ea n a l y s i sr e s u l t s b e s i d e s ，s o m eu n d e t e r m i n e dp a r a m e t e r si na s y m p t o t i c a n a l y s i s c a l lb ed e t e r m i n e df r o mt h e c o m p a r i s o no ft h e c a l c u l a t i o nw i t ht h e a n a l y s i s k e yw o r d s ：r u b b e r l i k em a t e r i a l ， f i n i t e d e f o r m a t i o n ， w e d g e ， n o t c h a s y m p t o t i ca n a l y s i s ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d 博士学位论文一类橡胶材料的尖点及角点的大变形接触问题北方交通大学 第一章绪论 弹性力学是固体力学的一个重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外部因 素作用下的变形和内力，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。 早在十七世纪人们就已经开始了系统地、定量地研究弹性力学，在1 6 7 8 年， 弹性体的变形与外力成正比的h o o k e 定理就已经被提出，经过三百多年的发展， 弹性力学已经建立了完褴的理论体系，取得了许多有价值的成果，并在其基础上 发展起了许多新的学科，在工程实际中也获得了广泛的应用。 对于一般的工程问题，线弹性理论已经能给出比较符合实际的解答，但随着 科学技术的发展，新的材料的不断涌现，以及对计算精度要求的不断提高，线弹 性解在某些领域已经不能满足要求，因此，非线性理论也就得到了发展。 对于一般材料，当变形比较小时，都可看成线弹性的。对于金属类材料，当 物体变形超过弹性极限后，则会产生不能恢复的永久变形，这是塑性力学所研究 的领域塑性问题就是一大类材料非线性问题，其问题的描述要比线弹性理论复 杂得多，虽然建立起了比较完链的理论体系，但在材料的塑性行为描述上还有许 多不尽人意的地方，特别是非比例加载下的强化和卸载问题，屈服丽的畸变与移 动问题，所以，至今它仍是一个生机勃勃的研究领域。另一类材料非线性问题就 是非线性弹性问题，当载荷比较大时，应力应变不再保持为线性关系，但不会产 生永久变形，即载荷一旦消失，变形将完全恢复，橡皮、橡胶、高分子聚合物和 生物软组织等都是属于这类材料由于这类材料弹性非常好，能产生很大的变 形，所以，对一般工程材料适用的小变形理论已经不再适用了。对于这一类材料， 在考虑材料非线性的同叫，几何非线性也是必须考虑的，这就是本文将要研究的 非线性弹性问题。 通常，把非线性问题分为两大类，即分为几何非线性和材料非线性。但是从 建立公式和程序设计的方便出发，又可把它分为三种类型 l 非线性效应仅由应力应变关系的非线性引起，位移分量仍假设为无限小 量，故仍可采用工程应力和工程应变描述，即仅材料为非线性问题。 2 在大位移小应变情况下，只是物体经历了大的刚体位移和转动，周连于 物体的坐标系中的应变分量仍假设为无限小。此时的应力应变关系则根据实际材 料和实际问题可以是线性的也可是非线性的。 3 最一般的情况是位移、转动和应变都不再是无限小量，本构关系也是非 线性的。 另外，还有一类非线性问题，即由于边界条件的性质随物体的运动发生变化 第一章绪论 所引起的非线性响应，最典型的例子就是接触问题。通常，此类问题可以在一卜述 三种类型的每一类型中出现，从而使问题变得更为复杂。 本文将涉及到所有三类非线性间题。 1 1 有限变形理论 有限变形理论经历了个漫长、曲折的发展过程，它是与理性力学的发展联 系在一起的，这一领域研究的先驱是b e r n o u l i 。1 6 9 1 年，通过实验，他发现弦 的伸长和张力不满足线性的h o o k e 定律，在此之后，许多科学家都对此作出了 贡献，但直至1 7 8 8 年通过l a g r a n g i a n 和1 8 2 2 年c a u c h y 等的努力，有限变形理 论的些基本概念如应力、应变等才建立起来。1 8 9 4 年f i n g e r 建立了超弹性体 的有限变形弹性理论，至此，非线性理论的基础已经建立，但方程冗长而复杂， 并具有强烈的非线性。在当时的条件下，人们认为该理论在数学上难以取得进 展，工程上也无法应用，因而这方面的工作长时间进展不大。而与此相反，在这 - - n , - ) 期，线弹性力学蓬勃发展，成功地解释了许多t 程问题。 直至1 9 4 5 年非线性理论研究长期停滞的状态才被打破，批有价值的关于 非线性研究的论文出现，导致了非线性研究的复兴，以文献 2 】代表了当阿- j 研究 的最高成果。此外，e r i n g e n i “、郭仲衡h j 对此也都做了贡献。在此之后，非线性 研究进入了蓬勃发展的时期，一方面非线性理论的逐步成熟，另一方面随着计算 机的发展，大变形计算的研究也得到的发展”“】。工程中考虑大变形也逐渐不可 忽略。文献 9 】巾给出了各种大变形有限元计算的理论和公式、但是非线性理论 无沧在理论方面还是在数值近似解方面都远不如线弹睫力学发展成熟，还有待于 进一步研究。 1 2 有限变形弹性体的本构关系 本构关系是反映物质性质的数学模型为了确定物体在外部因素作用下的响 应除必须知道反映质量守恒、动量守恒、动量矩守恒、能量守恒和自然界普遍 规律的基本方程外，还必须知道描述构成物体的物质属性所特有的本构方程，才 能在数学上得到封闭的方程组，并在一定的初始条件和边界条件下使问题得以解 决，因而无论就物理还是数学而言，刻画物质的本构关系是必不可少的。 尽管自然界的物质是多种多样的，不同的物质要用不同的本构方程来描述， 但干差万别的本构方程必须遵循一些共同的准则，下面是本构方程必须遵循的 n o l l 三原则和一些其它的原则： 1 物质客观性原理：本构方程是由物质性质决定的，它不随观测者的变化 而变化。 2 博士学位论文一类橡胶材料的尖点及角点的大变形接触问题北方交通大学 2 确定性原理：物体中任意一点的应力恒可由物体内各点的运动历史唯一 确定，而和未来运动无关 3 局部作用原理：只有x 点邻近质点的运动才对x 点应力有影响，而离 有限距离的质点的运动，对z 点的应力无影响。 4 对称性原理：自然界中物质都存在不同的对称性，本构方程应反映这一 对称性。 5 相容性原理：本构方程不应违背质量守恒、动量守恒、动量矩守恒、局 部能量守恒、熵产率原理等普遍适用原理。 6 减退记忆原理：离现时刻越远的过去的历史，对现时刻的应力影响越小。 7 量纲一致性原理：本构方程中各项的量纲应当相同。 在符合上述原理的基础上，建立橡胶类材料的本构关系，还是相当困难的， 嘲为橡胶材料包含几何和材料双重非线性关系。从理论上将，建立橡胶材料的本 构关系，通常有两种途径： i c a u c h y 方法：从弹性体的特箍，即“一定的应力状态对应于一定的应变 状态”出发，直接假设应力应变函数关系，再通过实验确定其中的系数。直接由 这种应力应变关系描述的物体称为柯西意义的弹性体。 2 g r e e n 方法：即从势能函数出发来得到弹性体的本构方程，弹性势是应变 分量的标量函数，具有弹性势的弹性体称为超弹眺体或格林意义的弹性体。 柯西弹性体是一个比超弹性体更为广泛的概念，但用c a u c h y 方法直接建立 有限变形材料的本构关系在数学和物理上都相当困难。在有限变形理论中，采用 g r e e n 方法更为人们所关注。 采用g r e e n 方法的关键在于选择一个反映材料变形特征的应变能函数对 于各向同性材料，如果“，2 ，3 为g r e e n 变形张量的三个不变量，那么应变能u 可以表示为 u = u ( i i ，2 ，3 ) ( 1 21 ) ，l = de ，2 = d 2 ：e ，1 3 = d o e( 1 22 ) 其中d 为g r e e n 变形张量、e 为单位张量。 选择应变能函数u 的形式不同，则描述物体的本构方程也不同。如何选择 应变能函数，反映材料变形的特征，是有限变形弹性理论的重要课题之一。 1 9 4 0 年，m o o n e y l l 0 1 根据大量的实验结果，提出了橡胶类材料的应变能形 式为： u = c l ( ，l 一3 ) + c 2 ( ，2 3 ) ( 12 3 ) 其中c l ，c 2 为材料常数，m o o n e y 形式的本构方程可以较好地拟合橡胶类材料中 等应变范围的实验。” 第一章绪论 h a r t s m i t h 提出将u 取作两个函数c 州，i ) 、u ( 1 2 ) 之和，即 u = f j 1 ) + u 2 ( 1 2 ) ( 124 ) h a r t s m i t h 和g r i s p m 提出的应变能形式为 u = c le x p k ( 1 i 一3 ) 2 】+ c 2 ，2 ( 1 25 ) 其中c l ，c 2 ，k 为材料常数。该本构方程能很好地拟合合成橡胶膜片简单拉伸和等 双轴拉伸的实验结果”“。 s h i e l d o s l 给出了t r e l o a r 实验结果的应变能拟合形式 堕：l + 2 4 9 1 0 - 7 ( ，l 一3 ) 4 u 2f 0 3 7 6 + 1 3 2 1 0 。( 4 9 2 8 一，2 ) 4 。2 1 0 , 7 7 1 i 3 i l 5 6 3 ，4 ( 1 26 ) 4 i ，2 0 0 很好地拟合了文献【7 】的经验值。 到目前为止，对于不可压缩材料，除了上述应变能形式，还有许多应变能形 式被提出，如： t r e l o a r u = c ( x l 一3 ) g e n t ，t o m a su = c 1 ( ，1 3 ) + 。2 i n ( 1 2 3 ) l s h i h a r a ，z a h o r s h i u = c l ( 1 1 3 ) + c 2 ( ，2 3 ) + c 3 ( ，i 一9 ) ( 1 27 ) k l o s n e r ，s e g a lu = 。l ( ，l 一3 ) + c 2 ( ，2 3 ) + c 3 ( ，2 3 ) 2 + c 4 ( 1 2 3 ) 3 b i d e n m a n u = c l ( i l 一3 ) + c 2 ( ，1 3 ) 2 + c 3 ( i 】一3 ) 3 十c 4 ( ，2 3 ) 其中c ，c ，( i = l ，2 ，3 ，4 ) 均为常数。这些应变能函数都满足( 1 24 ) 式，并且 m o o n e y 形式的本构方程以及( 127 ) 式中除第二式以外的本构方程，本质上都是 ( 1 24 ) 式在无变形状态处的级数展开，所不同的是保留的项数不同。 随着橡胶工业的发展，一些新型材料不断在工程巾加以应用。泡沫聚胺脂橡 胶是种典型的可压缩橡胶材料，因而寻求反映可压缩橡胶材料应变能函数形式 已成为有限变形弹性理论研究的重要课题之一。其应变能函数必须考虑体积变化 的影响，即体积变化不变量k 。 b l a t z 和k o i i6 。以实验为依据，考虑体积应变对橡胶材料的影响，在应变能函 数中含有，项，具体应变能函数为 u = c i 【，1 3 + 毕( ，i 而- 1 ) 】+ c 2 争一3 + 导( ，声- 1 ) 】( 1 2 8 ) y 3 v 其中c l 和c 2 为常数，v 为小变形时的p o i s s o n 比，2 ( c l + c 2 ) 为在小变形条件f 的 剪叨模量g 。取c = 0 ，y = l 4 ，能很好地拟合含量4 7 i l 穴的高分子合成泡 沫的实验结果。此时的应变能函数为 博士学位论文一类橡胶材料的尖点及角点的大变形接触问题北方交通大学 u = 妾g ( 孚+ 2 增一5 ) ( 1 29 ) 3 此外，b l a t z i ”1 等人还提出了一个四参数应变能函数 u ：堑，e + 脚譬，e ：e e 。，e 。：鳢型 ( 12l o ) 其中，l ，h ，g ，b 为材料常数，a 为仲长率。b l a t z 等人的工作，对以后可压缩有 限变形弹性材料特性的研究起了重要的推进作用。 o g d e n i s l 为了从数学上说明伴随橡胶变形时的体积变化，特别是简单拉伸情 况f 的体积改变，通常引入改写的主伸长 i 五：= ，3 ，j = l 旯2 五3( 1 21 1 ) 将u 应变能函数记为 u = u ( 旯：，a , 2 ，t ，- ，)( 12 1 2 ) 给出了一类本构关系 m u r n a g h a n l l 9 1 引进三个独立的应变能不变量 j 1 = ，1 3 ，。，2 = ，2 2 ，l + 3 ，j 3 = ，3 一，2 + ，i 一1( 1 21 3 ) 其优点在于这些不变量对应变来说分别是】，2 ，3 阶的，为7 使在变形状态得到应 力为零，略去，1 的线性项，按不变量以将u 展开为幂级数，并略去四阶和更高 阶项，就得到 u = a l , ，l + d 2 ，i + d 3 l ，1 ，2 + 口4 j ? + a s ，3( 1 21 4 ) 其中盯，( i = l ，2 ，3 ，4 ，5 ) 为材料常数，a l 和口2 由材料的一级响应确定 a l = 一了g ， a 22 g 而| - v0 2j 5 ) a 一一了， 2 u 丽面 其中g 为剪切模量，v 为p o i s s o n 比。码，a 4 ，a 5 可用来模拟大变形的数据。 至今，各位学者提出的橡胶材料的本构方程及应变能函数不胜玫举，但所有 这些都不能对所有应力状态和从小变形到大变形的搭个变形区间与实验相符。所 以寻找更合适的本构方程的工作还将继续。 1 9 7 3 年，k n o w l e s 和s t e r n b e r g ”。提出一种应变能函数形式 u = ( a i + 彤+ c 膳“) ”( 1 21 6 ) 其中a ，b ，c ，”为材料常数。 他们利用此应变能函数分析了裂纹尖端场的情况1 2 0 - 2 3 i ，但只考虑了收缩区， 而忽略了扩张区的存在，后来一些作者利用此应变能函数分析了其它一些问题， 表明此应变能函数能很好的描述物体的变形特征1 2 4 - 2 6 i 。 g a o l 2 7 1 在橡胶材料本构模型方面作出了有意义的工作。首先他从分离体积变 形和形状变形的思想出发，引人了表示形状改变和体积改变的不变量 第一章绪沦 r = ，k “1 ，k = d e t ( o )( 1 21 7 ) 提出一种应变能的具体形式，可表示为 u = a ( r ”一3 ”) + b ( k 1 ) ”k 一4 ( 1 21 8 ) 其中a ，b ，巩村，q 为材料常数。推导的本构方程为 一 1 ， 1 f = 2 n a ? 一1 置了一i ( d 一孕e ) + 2 b ( k 1 ) ”1 足1 一i ( m q ) x + g 】e ( 1 21 9 ) j 上式中第一项为偏应力项，第二项为静水应力项，由此也说明了方程( 12 ，1 8 ) 中 第一项表示形状改变，第二项表示体积改变。 对于不可压缩材料，即k = l ，则方程( 12 1 8 ) 化简为 u = a ( ，? 一3 ”)( 1 22 0 ) 应力应变关系表示为 r = 2 n a ( 1 7 “d + 口e ) ( 122 1 ) 其中仃为静水应力，必须由平衡方程来确定。 利用上述的应变能函数，g a o 哪1 等人进行了一系列分析解的研究，得到 了合理的结果，也证明了应变能函数能描述物体变形的特点。 1 9 9 7 年，g a 0 1 4 1 1 从分离材料的抗拉能力和抗压能力出发，引进了另一种描 述橡胶材料的应变能函数 u = 盯( ，? + ，! 1 ) ( 1 22 2 ) 其中a ，盯为材料常数，。为第一变形不变量，一i 为c a u c h y 应变张量逆变张量 d 。的第一不变曩，由上式得到的本构方程为 f = 2 n a j 一1 ( ，? 一d i n - d 一1 ) ( 1 22 3 ) 其中i ，为变形后与变形前的体积比。 上述应变能函数既可描述物体的受拉变形，又可描述物体的受压变形。 综上所述，描述橡胶材料的应变能函数，不同的学者得到了不同的应变能函 数形式。 1 3 非线性弹性大变形问题的研究 非线性弹性本构关系确定后，就可以利用它进行一些具体问题的渐近分析， 现已有很多关于这个方面的研究工作。 使用的最多的还是在裂纹尖端场方面，因为裂尖场处于裂纹尖端，此处的应 力应变具有比较大的奇异性，研究此处的应力应变，对裂纹的扩展开裂有着比较 重要的意义。对于橡胶材料中裂纹尖端场研究，必须采用有限变形弹性理论。 w o n g 和s h i e l d m l 研究了不可压缩n e o - h o o k e a n 材料的裂纹问题，在无限远 处受双向拉伸，采用渐近方法，得到了裂纹问题的平面应力渐近解 博士学位论文一类橡胶材料的尖点及角点的太变形接触问题北方交通大学 1 9 7 3 年，k n o w l e s 和s t e r n b e r g i l l 研究了平面应变i 型裂纹问题。材料为均 匀各项同性可压缩超弹性体。他们利用特定的应变能，对裂纹尖端场进行了渐近 分析，由于没有合理的分区，使得分析甚为复杂。1 9 7 4 年他们又进行了高阶渐 近分析m 】，对【1 的结果进行了修正。 在此之后，k n o w l e s t z l l 又研究了i i l 型裂纹问题，对于均匀各项同性不可压 缩材料的研究表明，该问题在数学上等价于非粘性可压缩流体通过一块平板的定 常无旋流动问题。随后，k n o w l e s l 2 2 1 又对可压缩材料的l n 型裂纹问题进行了研 究 与此同时，l o | 4 3 l 也对均匀备向同性不可压缩材料的i i i 型裂纹问题作了研 究，他取的应变能函数形式为 u = a ( z l 一3 ) ” ( 1 3 i ) 其中一，为材料常数。他给出精确解，其问题的控制方程在形式上与a m a z i g o ”刮 所解的小应变塑性问题的形式完全一样。 s t e p h e n s o n 4 副研究了均匀各向同性不可压缩材料在平面应变情况下受i 、i i 型载荷作用的裂尖场问题，得到了裂尖场的渐近解。他发现，对某些材料如 m o o n e y r i v l i n 材料，在i i 型载荷下，裂纹将要张开，至少在裂尖是这样。还指 出，在有限变形问题中，沿i i 型裂纹表面可能存在一些不为零的法向位移分量 它们是载荷参数的二阶或高阶量。k n o w l e s l 6 1 从反面研究了小载荷下的h 型裂 纹问题，即“小范围非线性裂纹问题”，认为在小载荷f ，裂尖只有一小部分进 入有限变形状态，远处即为线性解。结果发现，对某些材料，裂纹在适当靠近裂 尖的某些点处确实要张开，但对另一些材料，将明显出现相互渗透。 a c h e n b a c h 等f 4 ”研究了不可压缩材料的稳态快速扩展反平丽剪叨裂纹问 题，其应变能函数为 u ( ，i ) ：j o 5 ，。( 7 1 3 ) 3 1 1 3 + 占：f 1 32 ) ( ，l 一3 ) s 丁2 0 5 , u e ：3 十f ；，1 得到了裂纹线附近的稳态动力大变形应变分析。该解表明，裂尖应变没有奇异 性，变形梯度则是处处连续的。 在非线性弹性大变形的界面裂纹研究方面也有许多的成果。k n o w l e s 和 s t e r n b e r g 4 8 1 研究了界两裂纹振荡奇异性问题，指出：在平面应变情况下，t h 小变 形理论导致的裂尖振荡奇异性在大变形界面裂纹中不复存在，r a v i c h a n d r a n 等h 9 对文献【4 8 】的问题进行了有限元计算，裂尖界面同样无振荡奇异性。 h e r r m a n n l 5 n | 研究了界面裂纹在平面应变条件下的特性，通过对变形进行的 渐近分析，确定了满足可压缩弹性体非线性弹性理论的解。表明对于两块都是均 匀各向同性的超弹性体，当满足k n o w l e s s t e r n b e r g 型应变能密度所要求的渐近 第一章绪论 条件时，内部裂纹问题有解，并且不会出现振荡特性。但其中的变形存在有多种 渐近形式，所有这些形式都能满足平面应变条件下的应力平衡方程，可是，对于 一个给定的几何和外载荷条件，将要采用哪种渐近形式的问题，至今未能得到解 决。 h a 0 1 5 1 l 采用非线性弹性理论研究了上半平面为不可压缩的弹性材料和下半 平面为刚性材料组成的界面裂纹，给出了界面裂尖的应力和位移的渐近解，也同 样消除了曲线性理论带来的振荡奇异性。 g a o ，y c 利用【2 7 】中提出的本构关系，对平面应变i 型裂纹、材料为均匀各 向同性的问题进行了研究忙”将裂纹尖端区域分为三个区：两个收缩区及一个 扩张区它们的变形模式各不相同，扩张区在变形前只对应于裂纹正前方一个狭 窄的区域，而收缩区位于扩张区两侧，几乎占满整个尖端区域。变形后，扩张区 几乎占满整个尖端区域，而收缩区对称分布两侧，只占两个狭窄的区域所提本 构关系物理意义明确，使问题的本质被揭示出来。 g a o ，yc 和d u r b a n p 研对乎而应力i 型裂纹问题进行了研究，采用 】的本构关 系，建立和分析了裂纹尖端场的变形模式，描述了尖端附近的材料行为。以数值 解的方式解答了裂尖附近的收缩区与扩张区的基本方程。 g a o ，yc 和s h i ，zf 1 3 0 1 对平面应力i 型缺口问题进行了研究，采用 2 7 】本构 关系和【2 8 】相同的变形模式，给出了缺口角度与奇异指数的关系曲线。 其后；利用 1 】、【2 7 和【4 1 】中提出的本构关系，许多学者剥裂纹、缺口，楔 体、锥体等进行了研究m l l ”1 ，都得到了合理的结果，同时也证明了文献【2 7 和【4 l 】 中提出的应变能函数的正确性 1 4 本文的工作 本文采用了非线性弹性理论，利用【l 】中提出的应变能函数，讨论了应变能 溺数中材料常数的取值范围，并分别对橡胶楔体与刚性缺口接触大变形问题及刚 性楔体与橡胶缺口接触大变形问题进行了研究对此两问题，分别设立了相应的 变形模式，推导分析了橡胶楔体尖端场的应力应变场及橡胶缺口尖端应力应变场 的情况，并对渐近分析解进行了理论上的数值计算。另外，采用t l 增量法，编 制了大变形有限元程序，考虑到边界接触非线性问题，程序中加入对边界接触的 处理。 本文的具体 ：作如下： l 概述了有限变形弹性理论的工程背景和应用情况，阐明了与其有关的基本概 念，研究现状及基本方法，重点讲述了g a o ，yc 和k n o w l e s s t e r n b e r g 本构 方程的应用，并讨论了k n o w l e s s t e r n b e r g 本构关系中材料常数的取值范围。 博士学位论文一类橡胶材料的尖点及角点的大变形接触问题北方交通大学 2 分析并设立了两种问题的变形模式，给出了变形的基本描述，推导r 渐近方 程，并分别对两种问题的渐近方程利用g i l l 法进行了数值计算 3 对刚性楔体与橡胶缺口接触大变形问题，讨论了扩张区与收缩区的匹配条 件，及问题对应的特殊情况的解，即橡胶半平面受刚性楔体压人问题的解。 4 给出了非线性有限元编程的基本思路及相应本文所用应变能函数有限元列 式的推导，采用t l 增量法编制了非线性弹性有限元程序，考虑边界条件非 线性，程序中加入了接触边界条件的处理；并对橡胶楔体与刚性缺口接触和 冈q 性楔体与橡胶缺口接触问题进行了计算。 5 绘出两种方法的变形、应力比较图及变形前后的形貌图，将有限元解与理论 分析解进行比较，同时可以确定出与外载相对应的某些参数，说明本文理论 分析及有限元计算的正确性及合理性。 6 展望与本文有关问题的进一步发展及研究。 第二章非线性弹性基本理论 第二章非线性弹性基本理论 在经典材料力学及弹性力学中有一项基本假设，即位移与应变关系是线性 的，且应变为小量，这样得到的最后方程是线性的这对大多数情况可以说抓住 了主要矛盾，计算工作量大大缩小，并可得到合理精度的解，但在实际工程领域 中，尤其在变形较大的情况下，往往这种基本假设不再适宜有一些力学现象， 不但位移与应变关系不可用线性关系来描述，而且应变超过1 0 以上，例如金 属碾压成形。对于橡胶型材料，此时再用小应变假设已不能正确反映它们的本 质，而必须采用大应变( 或称有限应变) 理论对大变形理论的研究可追溯到十九 世纪，但真正奠定完整的理论体系则是在本世纪4 0 年代末5 0 年代初，由于非线 性理论远较线性理论复杂，能得到的理论解非常有限，所以，真正把它应用于实 际则完全依赖于计算机的出现并不断更新，以及数值计算方法的日趋成熟。非线 性弹性理论是建立在能在大的应变范围内描述材料变形行为的本构方程和大变 形几何理论的基础上的，所以建立合理的本构关系非常重要，特别是对于有奇异 点的情况本文利用k n o w l e s 和s t e r n b e r g l 9 7 3 年提出的非线性弹性应变能函数， 对橡胶类材料两个典型问题进行了大变形分析 变形后 图2 1 物体内典型点变形前后位置矢描述 2 1 变形几何描述 与小变形情况不同，在大变形条件下， 变都有着不同的定义形式，在三维空间中， 由于参照构形的选择不同，应力和应 设物体中有一点，变形前和变形后的 博士学位论文一类橡胶材料的尖点及角点的大变形接触问题北方交通大学 位置向量分别为p 和q ，u 为此点的位移，如图2 l 所示，则有 q = p + u( 2i1 ) 用x2 ( i = 1 ，2 ，3 ) 代表典型点的物质坐标系( 或l a g r a n g i a n 坐标) ，定义变形 前后的局部坐标标架 e = 嘉q ，= 雾 ( 2 汜) 定义变形梯度为 f = q ， p ( 2 1 3 ) 其中。为并矢符号，重复指标i 为哑指标，e i n s t e i n 求和约定适用于本文。p7 为 只的逆变基，即 p 。p ，= 占，( 21 4 ) 其中5 ：为k r o n e c k e r 符号。 c a u c h y g r e e n 右变形张量和左变形张量分别为 d = f 7 f = ( q ，q ，) p p 7( 2 l 5 ) d = f f 。= ( p p ) q ，q ，( 2 1 6 ) 其中上角标，表示转置，用e 表示单位张量，则可得到一组应变不变量 ，】= d ：e = de ，2 = d 2 ：e = d 2 e ，1 3 = d 3 ：e = d3 ：e ( 2 1 7 ) ，一l = d 一1 ：e = d 一1 ：e ，一2 = d 2 ：e = d 2e ，一3 = d 一e = d - 3 ：e ( 2 18 ) k = ( ，? 一3 1 l ，2 + 2 1 3 ) ( 21 9 ) 在l a g r a n g i a n 坐标下描述物体变形的g r e e n 应变表示为 s = ( d e ) 2( 2 1 l o ) 而在e u l e r 坐标下描述物体变形的e u l e r 应变表示为 e = ( e d “) 2( 211 1 ) 2 2 本构关系 文献【1 1 针对各向同性橡胶类材料提出了单位体积内的应变能函数为 u = ( a i + b j + c i j 。) ”( 2 21 ) 其中a ，b ，c ，玎为材料常数，与前面定义的，不变量一致，j 为变形后与变形 前的体积比，即 川e t i q ，p j = 渊 ( 2zz ) 上式中( + l ，+ 2 ，+ 3 ) 表示为+ i ，+ 2 ，+ 3 的混合积 i ，与k 的关系为 j ：k 。2 ( 223 ) 第二章非线性弹性基本理论 所以 根据( 22 i ) 式，刚k i r c h h o f f 应力可求得 盯：2 祭：2 n ( a l + 尉+ c i j - 2 ) “ a e 印 + 肋- l + c 彭- 1 ( e 一，d - 1 ) 】 由k i r c h h o f f 应力可求得c a u c h y 应力，即 f = j f 盯f 7 = 2 n j 一1 ( a + 彬+ c 1 j 一2 、”一1 a a + 三脆+ c k 一( d 一，e ) 】 对于二维情况因为有 d 门：一删一1 f = 2 t t - i ( a + 丑，+ c i j 一2 ) ”一1 a d + 1 2 伽一c d 一。】 2 3 平衡方程 ( 224 ) ( 225 ) ( 226 ) ( 22 7 ) 在不计及体力的情况下，e u l e r 描述法中的平衡方程为 q ，喜：0( 2 31 ) 功 如没f = f ”o e ，( ，= ，口) ，则上式在极坐标下的展开式为 譬+ ：警+ 三卯) ：o ar r 、 拳+ 三耸+ 三：o ar 蕊 ( 232 ) 陋d r r r + 笙+ 2 r r r _ r 0 0 _ 7 - ”+ 一c o s 护一t r e ：o 亟c。r,o+星cgrooc3r+ 堂3 r + 叠c o s o 垒兰0 7 b 33 ， i f 卯一f 御 ”。7 i + + 一+ 一 【毋r 0 0，s i n 07 2 4 本构关系的讨论 本构关系式( 22 1 ) 中常数a ，b ，c ，的取值有一定的约柬关系，对它们的取 值进行较为粗略的讨论。 由( 22 5 ) 式可重写为 2 博士学位论文一类橡胶材料的尖点及角点的太变形接触问题北方交避大学 f = 2 n j 一。( a i l + b j + c i i ，一2 ) ”1 【( 彳+ c j 一2 ) d ，( 24 1 ) + ( ；矗，一c i l j 。) e 】 我们设x 为变形前的位置矢量，x 为变形后的位置矢量，u 为变形前后的位 移 x = u + x ( 2 42 ) 则应变为 害= 占 ( 2 43 ) 苏 、 变形为 害：掣望：e + 占 ( 24 4 ) 穰藏 、。 如果设旯，为主变形，即 旯= e + 占 ( 2 4 5 ) 则c a u c h y g r e e n 右变形张量为 d = 卯r 246 ) 几个常用到的不变量为 ，l = 雹+ 码+ 码，：= 兄：+ a ：+ 码，3 = 或+ 码+ a ；( 2 47 ) g r e e n 应变为 f = ( d e ) ( 2 48 ) 左变形张量为 d = 2 e 十e ( 249 ) 设，= g ：e ( 2 4l o ) 利用( 21 7 ) - ( 21 9 ) ，我们可以得到 ，l = 2 + 3 ，2 = 4 f2 + 4 f + 3 ，3 = 8 ，3 + 1 2 f 2 + 6 f + 3( 2 41 1 ) k 圭l + 2 f ( 24 1 2 ) ，圭1 + 厂，一圭l 一，2 圭l 一2 f( 241 3 ) ( 1 ) 在没有变形的情况f u l ls = 0 ，则d = e ，l = 3 ，= 1 ，代人方程( 2 41 ) f = 2 n ( 3 a + 占+ 3 c ) ”一( 爿一2 c + k b ) e( 241 4 ) 由r = 0 可得 ”但 到得 姑 程方人代 0 将巾舰 c 形 乞 咬于对g 一。箜三童! ! 垡些! 竺丝垄查里笙 f = 2 n j ”1 ( a i + 且，+ c z ，吨) ”【2 ( 爿+ c ) f + ( 爿+ c ) e + i b e - 3 c e + ( 2 c ) j e j q4 怕 利用式( 241 5 ) ，则上式可化为 f = 2 n j 一。( a t + b j + c i j 一2 ) ”_ 1 【2 ( 爿+ c ) f + ( ；b + 2 c ) e 】 所以 上b + 2 c 上：2 1 2 v 2 ( a + c ) 即 ! 厅+ 2 c v = j | _ 一 2 爿+ 占+ 6 c 千u 用y 0 ，贝0 可得 旦 一4 c 利用v 0 5 ，可得 睾6 所以，b ，c 的取值关系为 一4 1 ，因为处于单向拉仲状态，所以f 2 2 = r ，3 = 0 ，即 ( 月+ 去b a ) 2 = c i t 一2 ( ，r 2 + i t - 2 ) ( 242 7 ) 假设兄 ，f ，则 a = 百2 c 一6 ( 2 4 2 8 ) 将上式代人( 2 42 4 ) ，可得 ，= 百2 c 一4 ( 2 42 9 ) 所以由( 2 4 2 6 ) 式可知 钆= 害州百2 c 尸 ( 2 43 。) 蓿要求a - - 0 0 时，r l l - - 。则 一1 2 n + 4 ；( 24 3 2 ) 3 、 ( 4 ) 对于单轴压缩大变形情况，假设 五 1( 243 3 ) 由式( 2 42 7 ) 可得 a i t 2 = c 2 2 一2( 2 43 4 ) 即 a = 挣屯( 2 4 3 5 ) 则 ，- 缸2 = 厚i = 2 i t 2 ( 2 4 3 6 ) 将式( 2 4 3 6 ) 代人式( 2 42 6 ) ，根据单向压缩条件可知 “一4 m 昙矿( 2 4 3 7 ) 由假设条件可知 7 l l 叶一( 2 43 8 ) 即满足2 n