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哈尔滨理丁人学理学硕十学位论文 关卡期权定价的一种鞅方法 摘要 障碍期权( 又称关卡期权) 是一种受一定限制的特殊期权，其期权的最 终收益不仅依赖于原生资产在期权到期同的价格，而且与在期权有效期内原 生资产价格是否达到某个( 或几个) 合约规定的水平有关，故其定价比标准 的欧式期权复杂，但对其投资具有风险低和成本低的特点，所以受到了市场 的青睐，其定价问题是当前金融统计学面临的重要研究课题之一。 本文从期权定价理论的研究背景出发，在分析了期权的基本概念、内 容、方法基础上，研究了期权的一般定价方法，讨论了b s 期权定价方 程。 将鞅分析的思想方法引入到期权定价中去，在分析了鞅的基本概念、基 本理论、近年来的发展状况的基础上，用鞅分析的方法对关卡期权的定价进 行了分析与探讨。期权定价的数学模型和方法一书是在建立关卡期权的 偏微分方程模型的基础上，通过解带有边界条件的偏微分方程求解，过程复 杂。应用等价鞅测度，探讨贴现后的股票价格过程，定价关卡期权起到了简 化定价过程的作h j 。并利用鞅分析的办法进一步讨论了加入异常波动的关卡 期权的定价问题，通过实证分析比较了传统的对数j 下念分布模型和波动源模 型两种股价波动模型，得出波动源模型能更实际、更精确的描述股价波动， 从而对期权定价起到了指导性的作用。 本文用鞅分析的方法得出了期权定价的表达式，这不仅丰富了鞅的应 用，而且在金融统计中，具有实际意义。 关键词鞅；等价鞅测度；关卡期权；风险中性定价 ak i n do f m a r t i n g a l em e t h o da b o u t b a r r i e ro p t i o n sp r i c i n g a b s t r a c t b a r r i e ro p t i o ni sak i n do fl i m i t e do p t i o n s t h ef i n a li n c o m eo f t h ek i n do f o p t i o n sn o to n l yd e p e n d so nt h eo r i g i n a la s s e tp r i c ei nt h eo p t i o ne x p i r eb u t w h e t h e rt h eo r i g i n a la s s e t p r i c ea t t a i n sp r e s c r i p t i v ep r i c ei nt e r mo fo p t i o n v a l i d i t yi sr e l a t e d s oi t sp r i c i n gi sm o r ec o m p l i c a t e dt h a ne u r o p e a no p t i o n b u t t h ei n v e s t m e n to fb a r r i e ro p t i o ni sl o w - r i s ka n dl o w 。c o s t a n di t i sf a v o r e db v m a r k e t t h ep r i c i n go ft h eb a r r i e ro p t i o ni so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tq u e s t i o n s i nf i n a n c i a ls t a t i s t i c s l nt h i sp a p e r , w er e s e a r c hb a c k g r o u n do f o p t i o np r i c i n gt h e o r y , b a s e do nt h e c o n c e p t s ，c o n t e n t sa n d m e t h o d so fo p t i o n ，g e n e r a lo p t i o np r i c i n gm e t h o da n db s o p t i o np r i c i n gf u n c t i o na r ed i s c u s s e dt oi l l u m i n a t eh e d g e t h o u g h t s m a r t i n g a l ea n a l y s i si sa p p l i e dt oo p t i o np r i c i n g b a s e do nt h ef u n d a m e n t a l c o n c e p t sa n dt h e o r i e s ，d e v e l o p m e n t si nr e c e n ty e a r so fm a r t i n g a l e ，b a r r i e ro p t i o n p n c l n g i sd i s c u s s e db y m a r t i n g a l ea n a l y s i s i ti sp r i c i n gb a r r i e ro p t i o nb ys o l v i n g p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n si nm a t h e m n “c sm o d e ic e n d m e t h o do f o p t i o np r i c i n g t h a tp r o c e s si sc o m p l i c a t e d b u td i s c u s s i n gd i s c o u n t e d s t o c kp r i c eb ye q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r ea n dp r i c i n gb a r r i e ro p t i o nw i t h m a r t i n g a l ea n a l y s i sa n ds t o c h a s t i cp r o c e s ss i m p l i f i e dt h ep r i c i n gp r o c e s s o nt h e b a s i so ft h er e s e a r c ho ft h ef o r m e r , t h ep r i c i n go f b a r r i e ro p t i o na d d e da b n o m a l f l u c t u a t i o ni s d i s c u s s e d f i n a l l y , w em a k eac o n t r a s tb e t w e e nt r a d i t i o n a l l o g n o m a l i t ym o d e la n df l u c t u a t i n gs o u r c e sm o d e lt h r o u g he m p i r i c a la n a l y s i s i t s h o w st h a tf l u c t u a t i n gs o u r c e sm o d e lc a nd e s c r i b et h er e a l s t o c km a r k e tm o r e p r a c t i c a l l ya n da c c u r a t e l yt h a nt h et r a d i t i o n a ll o g n o m a l i t ym o d e l ，s ot h ep r i c i n g o fo p t i o ni nf l u c t u a t i n gs o u r c e sm o d e lh a sg u i d i n ga c t i o n w eo b t a i nf o r m u l a t i o no f o p t i o np r i c i n gb ym a r t i n g a l ea n a l y s i s ，w h i c hi sn o t o n l yv a l u a b l et or i c ha p p l i c a t i o no fm a r t i n g a l et h e o r y , b u ta l s o p r a c t i c a lt o f i n a n c i a ls t a t i s t i c s 哈尔滨理t 人学理学硕十学位论文 k e y w o r d sm a r t i n g a l e ，e q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e s ，b a r r i e ro p t i o n ， r i s k n e u t r a lv a l u a t i o n i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文鞅分析在可转换债券定价 中的应用，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独 立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含 他人己发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：l ； 彩同期力，狰：7 月f 口同 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 鞅分析在可转换债券定价中的应用系本人在哈尔滨理工大学攻读硕 士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨 理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了 解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关 部门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大 。学川以采川影印、绗f 叫或j l 他复制丁段仍：仃沦文，可以公前j 论文的全音| j 或部 分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密i i 。 ( 请在以上相应方框内打) 日期：如口矿年；肌日 同期：钟年? 月fo 日 哈尔滨理t 大学理学硕 ：学位论文 第1 章绪论 1 1 课题背景及研究意义 衍生证券的研究已经有相当长的历史，它的雏形早在古希腊时期就已出 现。研究衍生证券要解决的主要问题就是如何确定衍生证券的价格即衍生证券 的定价，其次是如何构造投资策略，尽可能地化解卖方因卖出衍生证券而带来 的风险。在所有的衍生证券中，期权的研究最为广泛，这是因为： ( 1 ) 与其他衍生证券相比期权易于定价； ( 2 ) 许多衍生证券可表为若干期权合约的组合形式； ( 3 ) 各种衍生证券的定价原理是一样的，有可能通过期权定价方法找到一 般衍生证券的定价理论。 期权是2 0 世纪7 0 年代中期首先在美国出现的一种金融创新工具，3 0 多年 来它作为一种防范风险和投机的有效手段而得到迅猛发展。1 9 7 3 年芝加哥期权 交易所首次把期权引入有组织的交易所交易，此后期权获得了迅猛的发展，但同 时金融衍生证券市场的蓬勃发展也给现代金融学提出了极其复杂的数学问题。 纵观2 0 世纪期权定价理论的发展历程，不难发现，期权定价理论是以鞅 分析邢沦为手要t 具而逐步发展和深化的。1 9 7 3 年，美同芝加哥大学的b l a c k 教授捌s c h o l e s 教授f 1 1 在美吲“政治经济学杂j 恙”( j o u r n a lo fp o l i t i c a le c o n o m y ) 上 发表了一篇名为“期权定价与公司负债”( t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p o r a t e l i a b i l i t i e s ) 的论文；同年，美国哈佛大学的m e r t o n 教授 2 】贝u 在另- - t ：u 物“贝尔经 济与管理科学杂志”( b e l lj o u r n a lo fe c o n o m i c sa n dm a n a g e m e n ts c i e n c e ) 上发表 了另一篇关于期权定价的论文“期权的理性定价理论”( t h e o r yo fr a t i o n a l o p t i o np r i c i n g ) 。这两篇论文奠定了期权定价模型的理论基础，s c h o l e s 教授和 m e r t o n 教授因此而获得了1 9 9 7 年的诺贝尔经济学奖。在这两篇具有划时代意 义的论文中，他们正是从证券价格的随机过程模型出发，利用伊藤随机积分和 扩散过程的马尔可夫性，导出了期权定价公式。从那时起，许多经济学家和数 学家发现，鞅分析理论是处理现代金融问题最有效的工具之一。在2 0 世纪7 0 年代，关于半鞅的随机积分理论在以法国学者m e y e r 为代表的s t r a s b o u r g 学派 的研究下，取得了实质性的发展。这些理论成果的取得，激发了一些数学家对 其在期权定价问题中的应用进行进一步的探索和研究。在1 9 7 9 年和1 9 8 1 年， h a r r i s o n 分别和k r e p s t 3 1 、p l i s k a t 4 】合作，写了两篇对期权定价理论以后发展有深 远影响的论文。在论文中，作者建立了经济学中的无套利、完全市场等概念和 哈尔滨理t 大学理学硕l ：学位论文 鞅分析理论中的等价鞅测度概念、鞅表示定理之间的联系，为鞅分析理论在期 权定价理论中的应用开辟了道路，同时也为期权定价理论的进一步发展提供了 强有力的工具。随后，在数学家和金融学家的共同努力下，建立了资产定价基 本定理，从而把期权定价理论和鞅分析理论一两个完全不同的学科紧紧的联系 在一起。 期权是2 0 世纪国际会融市场创新实践的成功典范，众多金融机构利用这 一工具来管理自己的金融风险。在一个不确定的资本市场中，风险通常与投资 收益始终相伴，具有一定的负效用。但是，利用期权这一工具，各种风险的价 格便可以得到量化，从而使风险与收益相分离，成为一种特殊的商品。因此， 以期权为代表的金融衍生工具市场的诞生为原先主要有商品市场和要素市场所 构成的市场体系增加了一个新成员，即风险市场。在这个市场上交易的商品为 风险。通过一定的价格，投资者可以将自己不愿意承担的风险转交给那些对特 定风险有深入研究的专家，或者是那些追求风险收益的投机者。 从以上的介绍中，我们可以看出，在现代金融市场中，期权发挥着极其重 要的作用。而要想使期权发挥这一作用，就必须研究其在不同市场条件下的定 价l 、口j 题。通过对一定市场条件下证券价格建立起合适的随机过程模型，再以鞅 分析理沦为主要工具，对期权价值过程用数学的方法进行科学而精确的刻画， 我们就可以得其价值过程的一般舰律，并同在一定条件下，可精确计算m 在 期杈生命划内，仟意时刻期杖的价值。这卡r 就为会触机构进行投资决策和风险 管理提供了科学的理论依据。因此，对期权定价问题的研究具有极其重要的理 论和现实意义。 1 2 研究状况及其进展 对期权价格进行的研究可追溯到法幽数学家巴舍利耶( l o u i sb a c h e l i e r ) 5 1 在1 9 0 0 年有关投机理论的研究。在该文章里，他假设股票价格按无漂移的算 术布朗运动( 又称绝对布朗运动) 变化，得出了在到期r 式的股票期权价格的 期望值公式 p 沪x ( 等川等卜而( 等) 其中，p ( x ，t ) 表示t 时刻股票价格为x 时期权的价格，x 表示股票价格，k 表示期权的执行价格，( ) 表示标准正态分布函数，p ( ) 表示标准正态分布密 度函数。然而，他的模型存在两个缺陷：一是此模型假设标的股票的价格服从 j 下念分布，这使得股票价格出现负值，这是一个与股票的有限债务假设相矛盾 哈尔滨理t 人学理学硕 ：学位论文 的条件；另一个是平均期望价格为零的假设，它忽视了资金的时间价值为j 下， 期权和股票问的不同风险特征。虽然有此不足，该公式对预测短期看涨期权的 价格还是非常使用的。同时，该文章首次引入了随机过程描述股票价格运动， 为布朗运动的研究奠定了数学基础。 在接下来的半个多世纪，期权定价的进展主要是在应用计量经济模型方 面。这方面的典型成果是卡索夫( k a s s o u t ) 的工作，他利用下述公式估计看涨期 权价格c c = x ( s ，x ) 7 + v ，一 ，7 o o 这晕x 为期权的执行价格，s 为股票价格，y 为待估计的参数。卡索夫利 用到期时问、分红以及其他变量估计参数y ，得出看涨期权价格公式。这一公 式限定了看涨期权的价格最高至股票价格，最低至实值m a x ( s x ，0 ) ，当系数 y 取无穷时，该式还给出了精确的看涨期权的到期价值。卡索夫通过到期时 间、股票收益和其他变量估计参数y ，从而确定这一模型。 1 9 6 1 年，斯普早克尔( s p r e k l e ) f 6 】发展了路易巴舍利耶的期权定价模型。他 假设股票价格服从具有同定平均值和方差的对数分行，且该分布允许股票价格 有f 向漂移。在此假设下，他得到的看涨期权公式为 凇卅一l 一却叫删l 一其中，参数万是市场“价格杠杆”的调节量，2 足股票预期收益率，这一模 型没有考虑资金的时问价值。 博恩斯( b o n e s s ) 7 1 同样对股票价格收益作对数i f 念分布的假设。他认识到投 资者对风险态度的重要性，因此他假定投资者对风险的态度是无差异的。他利 用这一假设证明了用股票的预期收益率口来贴现最终期权的预期值时，股票期 权价格的最终模型为 唧胭l 竺霉逊 一e 咱t k n 一萨缪尔森( s a m u e l s o n ) t 8 1 进一步发展了巴舍利耶的期权定价模型。第一，他 用几何布朗运动替换了巴舍利耶的通常的布朗运动。这使得股票的价格不会为 负值；第二，他也认识到，对于不同的风险，期权和股票的预期收益率一般来 哈尔滨理t 大学理学硕： ：学位论文 说是不同的，于是，对应于股票的期望收益率口，他给定期权的期望收益率为 一个较高的常数，得到欧式看涨期权的模型是 p。jf，：pt。一弘xl!：一 百肛删iln(xk)+(a-lar2)t 上述模型中，巴舍利耶模型得出的股票价格可能为负与公司责任的有限性 相违背；卡索夫的计量模型缺乏微观基础；后面三个模型中均含有主观性变量 口或者，无法接受直接的实证检验。所以这些模型几乎不具有实用价值。直 到1 9 7 3 年b l a c k 和s c h o l e s 发表了那篇具有罩程碑意义的论文，这一问题才得 到比较好的解决。 鞅论是概率论的一个十分活跃的分支，早在4 0 年代提出，但获得真正发 展却是血六十年代以后的事情。今天，在经历了近二三十年来的迅猛发展之 后，鞅论在概率论、随机过程中的地位已同渐突出，鞅方法已成为随机过程与 数理统计研究的有力工具，正向其它数学分支渗透、并与其结合形成新分支。 鞅这个名称首先由法国概率学家l 6 v y t 9 】在1 9 3 9 年引进，后来由美凼概率 学家d o o b t m l 发扬光大。之后鞅论的研究工作突飞猛进发展。六十年代初， m e y e r 解决了由d o o b 提出的_ j - 鞅分解问题并| 发展了平方可积鞅的理论， 1 9 6 7 年，k u n i t a 和w a t a n a b e 研究了刈、f 方i , j - 杉j 荜火的随影 影 分。这蝗重婴i ：作 为鞅论的发展开辟了新道路，在这一期问m e y e r 和d e l l a c h e r i e 等又创立了随机 过程一般理论，为鞅论的发展提供了强有力的工具。进入七十年代后，鞅论成 了随机过程理沦中最活跃和最富于成果的分支之一。在这一时期，c h t t e r j i 提 出并论证了b a n a c h 空间鞅收敛与r a d o n n i k o d y m 的理论；h a l l 提出了鞅的极 限理论和它的应用；c a n c o n ，s u c h e s t o n 讨论了数值向量的渐近鞅的收敛问 题；b e l l o w 提出相关停时的若干技巧；w o y c z y n s k i w 提出并论证了某些线性 空问收敛序列的性质等，为鞅论的进一步研究与发展提供了有力的工具与方 法。进入八、九十年代以来，鞅论的发展又进入了一个新的阶段，b e n t h ， f r e d ，p o t t h o f f 提出并论证了广义随机过程鞅的性质；k r u k ，l u k a s z 讨论了渐 近鞅的一致收敛问题；m y k l a n d ，p e r a s l a k 对于鞅的渐近展开进行了深入的探 讨，同时又对鞅的嵌入渐近展开式给予了具体的刻划；y i ng 对实目随机逼近 给出了一个线性近似的描述；k o n i n g ，a l e x 探讨了基本鞅的逼近问题； k a c h u r o v s k i l ，进行了鞅的遍历性讨论，取得了一些成果。近年来，鞅论不仅 作为随机过程的一个分支已快速发展起来，而且渗透到调合分析、b a n a c h 空i b j 哈尔滨理t 大学理学硕十学位论文 几何学以及随机分析中去，如s i n i c a 讨论了对于离散时间不完备市场的极小鞅 测度问题】；p e a r s o n 探讨了在离散时间不完备市场中对于期望效用极大化的 鞅测度方法【1 2 】等。 我国著名概率统计专家王梓坤院士f 1 3 】、严加安院士【1 4 1 、王寿仁教授【1 5 】等对 鞅论的发展与应用也做出了重要贡献。他们在鞅收敛、鞅分解、鞅不等式、可 积变差鞅、鞅的随机积分、可料过程的局部鞅，指数鞅的一致可积性、b 值鞅 等方面进行了一系列工作，获得了一系列有价值的成果【1 6 】【1 7 1 。另外，又有一些 专家学者如：甘师信在广义鞅的极限收敛理论及b 值鞅方面作出了一系列成 果；汪振鹏对极限鞅型序列与g f t 收敛性、停止一致渐近鞅及拟终鞅等研究 方面获得了系列成果；万成高对b 值拟鞅序列与b a n a n c h 空间几何特征研究结 合起来，获得了系列成果；刘培德在概率渐近鞅和极限鞅研究方面获得了成 功；刘智慧在取值于b a n a c h 空间的极限鞅等研究中获得了系列成果；林玉将 b 值鞅的分解应用于插值理论上，获得了成功；杨小云对b 值随机变量序列部 分和的矩的收敛速度，进行了深入具体的刻画等。总之，在我国，鞅的研究已 进入一个新的发展阶段。 当今，发展鞅的理论与方法并将其渗透到数学及其它学科并与其结合形成 新的分支、新的应用方向已成为鞅论发展的新趋势、新动向。尤其在统计分析 突飞猛进发展与广泛应用的今天，如何进一步发展鞅的理论并应用于统计分析 l 卜i ，发展统计分析蹦! 论与方法，从而解决史加广泛的类问题，已成为统计分 析发展的迫切需要，也成为鞅理论研究与应用的一个当务之急。而目前，虽然 一些学者对鞅的应用也进行了一些讨论，然而对鞅与统计分析的讨论涉及甚 少，尤其是如何将鞅的理论应用于统计分析，如何应用于大样本统计分析、时 空多维序列统计预报分析、无穷逼近分析等研究还是一片空白。因此，我的导 师孔繁亮在前人工作的基础上对b 值渐近鞅进行了研究，获得了一些有益的结 果，在1 9 9 8 年数学学报上发表了“b 值渐近鞅的强弱大数定律”【l8 】之后， 又提出了动态系统中的统计预报的鞅方法，并应用于气候过程的统计预报【l9 】和 现代疫情的统计预测之中。近期又探讨了参数估计的鞅方法 2 0 , 2 1 】，随机逼近的鞅 方法【2 2 】，投资与效用优化设计的一种鞅方法【2 3 1 ，以及大样本假设检验中最优决 策的鞅方法等。本文将在导师工作的基础上，将鞅论及其一系列结论引入到美 式期权定价模型研究中，讨论资产最优执行价格的估计与计算，得到了一些好 的结果。利用鞅的理论研究期权定价模型对我国现代金融市场的发展有重要的 理论意义和实用价值，值得深入研究。 哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 1 3 课题来源 本课题选自于指导教师孔繁亮的国家自然科学基金项目“b 值渐进鞅的估 值性质及其在统计分析中的若干应用”( 项目批准号1 0 3 7 1 0 2 7 ) 的有关部分。 1 4 本文主要内容 本文主要对关卡期权定价理论进行了一些研究，其内容涉及定价理论的一 些基本概念、基本理论、方法介绍等。 本文的主要内容如下：第一章综述了期权定价理论的研究背景和现状；第 二章介绍了鞅的基本概念、基本理论，期权的基本概念、期权定价的理论基础 及b l a c k s c h o l e s 模型；第三章运用鞅分析的方法在两种模型下探讨了关卡期 权的定价问题，用鞅分析的方法定价期权与传统的建立带边界条件的偏微分方 程相比具有简化定价过程的作用，并且能得到更好的结果。最后通过实证分析 比较了这两种模型。 哈尔滨理t 大学理学硕1 ：学位论文 第2 章鞅与期权定价的理论 2 1 鞅的基本概念及其基本理论 2 1 1 鞅的基本概念 诞生于2 0 世纪5 0 年代的随机分析是牛顿莱布尼茨积分运算在随机条件 下的推广，其主要内容是研究鞅过程泛函的微分和积分运算。连续鞅分析是随 机分析领域发展较为成熟的一部分，其主要内容是研究连续鞅过程泛函的微分 和积分运算。连续鞅分析目前在连续时问金融，尤其在期权定价中有着广泛的 应用。本节介绍了连续鞅的定义及性质和鞅观点下的随机积分理论的相关结 果，并主要介绍了鞅分析在关卡期权定价中的应用。有关连续鞅分析的内容主 要参考了严加安等【2 5 1 、黄志趔2 6 1 、k a r a t z a s 和s h r e v e t 2 7 1 等人的专著。 设( q ，f ，p ) 是一给定的完备概率空问，是由q 的一些子集构成的盯一代 数， f ) 舢为f 的一族完备子仃一代数( 域) 序列，称为仃一代数流。对于完备 概率空l 、f i j ( q ，f ，尸) 及其上的盯一代数流 互) 脚，记为( q ，f ，f ，p ) ，称为滤子概 率空间。如果对一切t 0 ，有f + = r 、只，称f 右连续。 参数集足的一族实值随机变量( x 。t r ，) 称为一个随机过程，简记为 ( x ，) 川，。对 疆个q ，x ( m ) 足r 卜i ，i 勺一个函数，称为x 的一条轨道( 或十i 奉函数) 。如果x 的全部轨道是连续( 右连续且左连续) 的，则称x 为连续 过程，如果x 的全部轨道是右连续且左极限存在有穷，则称x 为右连左极过 程。连续随机过程x = ( x ，) 舢称为f 一适应的，如果对每个t 0 ，x ，为f 可测 的。 给定滤子概率空问( q ，f ，p ) ，称q 足上使得全体右连左极过程为可测 的最小的仃一域称为可选仃一域，汜为0 。q 足上使得全体左连续适应过程 为可测的最小的仃一域称为可料盯一域，记为p 一个随机过程如果是p 一可测 的，则称为可料过程。可料过程在随机积分理论中起重要作用。 定义2 1 【1 6 】f 一适应的随机过程x = ( x ，) 舢称为f 一鞅( f 一上鞅，f 一下 鞅) ，如果对任意置可积，且对一切0 s t ，有 研置1 只】= 墨( t ，墨) a s ( 2 - 1 ) 定义2 2 t 2 6 】对于两个测度p 和q ，如果它们作用在相同的样本空间并且 可能发生的事件也一样，那么称这两个测度等价。形式上说，对样本空问中的 任意事件彳，有 哈尔滨理下大学理学硕i j 学位论文 p ( 彳) 0 q ( 彳) 0( 2 2 ) 定义2 3 1 3 0 1 如果测度q 是测度p 的等价测度，并且在q 下，一个过程是 鞅，则称q 是与p 等价的鞅测度。 定义2 4 1 2 5 1 设( q ，f ，p ) 上有一个非降的仃一代数族；f t ) ，一个取值 于r u + ) 的随机变量r ( c o ) 称为一个相对于征) 的停时，如果对v f t ， c o ；r ( c o ) f ) f 。 定义2 5 3 1 设p 1 ，0 0 ) ，m = m t ，t r + ) 为f 适应过程，若存在停时 序列乙个o o 口墨使对每一，z n ，停止过程m “兰 m fr + ) 为鞅，则m 称为局部口鞅， r 。) 称为m 的一个局部化停时列。局n a 部tt 鞅简称为局部鞅。 定义2 6 t 1 4 】对m 弧毛，定义 m ， - m ? 一2 【m ，d m ，t r + ( 2 - 3 ) 过程 m _ “m 】，t r + ) 称为m 的平方变差过程。其中弧乞。表示初值为0 的连 续局部鞅全体。 2 1 2 鞅的基本理论 定理2 1 设m 为连续适应过程，m 。= 0 ；u 为连续增过程。则以下命题 等价 ( 1 ) m 为局部鞅，且 m _ u ； ( 2 ) 对v a 瓞，z = e x p a m ，- 二a 二u ，) 为_ 部鞅。 z 若上述条件满足，则z “为上鞅；当且仅当v t r + ，研彳】_ 1 时z 。为鞅。 在概率测度作绝对连续臂换下随机积分的变化问题是一个既有深刻理论意 义又有实际应用价值的问题。早在1 9 4 4 年c a m e r o n 和m a r t i n 就得到了这方面 的第一个结果，但他们讨论的是w i e n e r 积分，即被积函数是决定性的。1 9 6 0 年，g i r s a n o v 讨论了伊藤积分情况，得到了著名的g i r s a n o v 定理。 定理2 2 设m 为连续局部鞅，且 1 z f 三e x p ( m ，一去】f ) t r + 为一致可积正鞅，令 q 兰i 乙勿 若p 为连续p 局部鞅，则 砰兰一【pm 】，t r ( 2 - 4 ) 为连续q 局部鞅，且 哈尔滨理t 大学理学硕 j 学位论文 【】q = 】? ，t r ( 2 5 ) 其中，【】罗表示在测度q 下的平方变差过程。 特别，若w 为一维b r o w n 运动，h 磁，则m 兰l 删w 为连续局部鞅， i t m ，= f 研出，若令尸= 形，有以下g i r s a n o v 定理 定理2 3 ( g i r s a n o v ) 设 彬p ，0 t t ) 为概率空间上( q ，f ，p ) 的一维b r o w n 运动，h = 皿，0 t t ) 为可测适应过程，满足 磁d s o o ， 口j 对t 0 ，t ，令 z f ( h ) - e x p c 只d 彬一了1 研出) ( 2 - 6 ) 假定 e z r ( h ) 】= 1 令q 三l z r ( h ) d p ，及 彬q 兰形尸一【h s d s ( o f 丁) ( 2 7 ) 则 彬q ，0 t t ) 为概率空间( q ，f ，q ) 上的b r o w n 运动。 从上述讨论可知，研究指数鞅一致可积性的充分条件是很重要的，这方面 的个著私结果疋i 1 1 9 7 2 年n o v i k o v 得到的。 定理2 4 ( n o v i k o v ) 设m 为连续局部鞅，且 1 z ，兰e x p m ，一 m f ) ，t r 荇对v t r 有 1 e e x p ( - m ，) 0 0 ( 2 8 ) 则z 为连续鞅，亦即对v t 足有e z t 】_ 1 。 推论i 在定理2 3 的条件下，若 e e x p ( 1 ；1h s1 2凼) 0 ) 为正值，则在以后的变化中始终保持为j 下值； ( 2 ) x 在到达o 值时存在一个吸收壁，即当x 在某一时刻到达0 时，则x 将停留在这个o 位置上； ( 3 ) 给定初值k 时，墨是一个对数正态分布随机变量，即l n ( 工) 是一个 正态随机变量； ( 4 ) 给定值x 0 ，f 趋于无穷大时，置的方差也趋于无穷大。 一般来说，几何b r o w n 运动呈现出一种指数增长趋势，因而常用于描述诸 如股票等金融证券价格和某一商品的名义价格或一些特殊经济活动所产生的收 入流等经济变量的变化过程。 哈尔滨理t 大学理学硕卜学位论文 在期权定价分析中，i t o 引理主要描述作为标的经济变量和时问函数的衍 生证券价格在一个微小的时间变化区间内所发生的变化与标的变量本身在同一 时间区间内所发生变化之间的关系。该定理的主要内容为 d r , = 口( z ，t ) d t + 盯( 置，t ) d 彬 ( 2 1 0 ) 若衍生证券的价格记为厂( x ( f ) ，t ) ，满足以下的微分方程 矽：似堕+ 笪+ 三仃2 善) d t + 仃盟d w( 2 1 1 ) , 耿， o t2 a x , a x , 即厂( z ，f ) 也是一个i t o 过程，其漂移率和方差分别为矾和d e 前面的系数。 2 风险中性假设 期权定价中，总是用无风险利率进行贴现。然而，期权是有风险的金融工 具，要计算现值，贴现率不应该是无风险率。这就涉及到风险中性假设。先看 一个例子。例如有一个掷硬币的赌局，假定硬币是完全对称的，f 面朝上可以 赢得2 0 0 0 元，反面朝上则1 分钱也收不回。现在问，赌注应当多大，才能使 这一赌局成为公平的赌博? 所谓公平的赌博是指赌博结果的预期只应当和入局自，j 所持有的资金量相 等，即其结果从概率平均意义上来说应是不输彳i 赢。所以上例的赌注应该是 1 0 0 0 元。然而，对许多人来说不愿意花1 0 0 0 元来入局，因为赌博有风险。有 人只愿意花2 0 0 元入局，却要求有8 0 0 元的预期收益。这止譬人足风险厌恶型 的。现代会融学认为理性的j j 场参与者鄙足风险厌恶型的，j 足程度仃所1 i 同。 不过，如果有人愿意无条件的参加公平的赌博，则被认为是j x l 险中性的， 风险中性者对风险的大小尢所峭。如果我们把购买未来收益不确定资产的投资 活动看作赌博，风险中性的投资者对所有资产所要求的预期收益都是一样的， 为无风险收益。 在一个假想的风险中性世界里，所有的市场参与者都是风险中性的。那 么，所有的资产不管其风险大小或是否有风险，预期收益都等于无风险收益 率。而且，所有资产现在的市场均衡价格都应当等于其未来收益的预期值，加 上资金时问价值，就是未来预期值用无风险利率贴现后的现值。 3 风险中性测度 定义2 7 t 3 0 1 ( 风险中性测度)设( q ，f ，尸) 为一概率空间，p 为市场概率测 度，与尸等价，且使所有贴现的资产价格为鞅的概率测度称为风险中性测度。 假设股票价格满足几何布朗运动 d s , = 2 s t d t + t r s , d 彬尸 ( 2 1 2 ) 哈尔滨理t 人学理学顾十学位论文 其中，、仃为常数，尸为概率空间( q ，f ，p ) 上的一维标准布朗运动。 令 w t 0 = 彬p f ( 等) d s _ 嘭p 一半汪彬尸一o t ( 2 - 1 3 ) 其中，0 ：三兰，为无风险利率。 盯 令 z f 三e x p ( 0 w , p - l 0 2 f ) = e x p ( o w t q + 寺秒2 f ) 定义 q ( 彳) = 1 z ，d p ，w f ( 2 一1 4 ) 由g i r s a n o v 定理可知，q 为风险中性测度，且形q 为概率空间( q ，f ，q ) 上的 b r o w n 运动。 2 3b l a c k s c h o l e s 期权定价模型及其公式 b l a c k s c h o l e s 期权定价模型是期权定价理论的核心和摹础。本节根据上述 随机过程的有关知识，给出了该模型的推导方法。首先给出了b l a c k s c h o l e s 微分方程的推导，然后得出了b l a c k s c h o l e s 期权定价公式。 m 于衍牛证券价格和标的证券价格都受到一种基术的不确定性出影n i 匈，若 匹眦适兰1 的话，这种 i 确定性就1 i j 以相：f l , c f i j 。丛j 此b l a c k4 i is c h o l e s 就矬矗： 了一个包括一个单位衍生证券空头和若干单位标的证券多头的投资组合。若数 量适当的话，标的证券多头的盈利( 或亏损) 总是会与衍生证券空头的亏损 ( 或儒利) 相抵消，因此在短时问内该投资组合是无风险的。那么，在无套利 机的情况下，该投资组合在短期内的收益率一定等于无风险利率。 b l a c k 和s c h o l e s 在推导其期权定价模型时，做了以下7 个基本假设，即 ( 1 ) 无风险利率，为一个常数； ( 2 ) 股票价格s 遵循几何b r o w n 运动，即 d s = j u s d t + c r s d w 其中，表示股票的期望收益率，盯表示波动率，、盯均为常数； ( 3 ) 股票没有现金收益； ( 4 ) 不考虑交易费用及税收等交易成本； ( 5 ) 允许卖空股票； ( 6 ) 不存在无风险套利机会； ( 7 ) 股票交易是连续的，价格变动也连续。 哈尔滨理t 人学理学硕i ：学位论文 设s 为股票的价格，k 为期权的执行价格，丁表示期权的到期时问，t 表 示当前时刻，矿表示期权的价格，且设v = g ( s ，t ) 。 基于上述假设，通过构造投资组合兀= v a s ，利用一对冲原理，结合 n o 定理，选取适当份额，消去随机项，可得刻画期权价格变化的偏微分方 程 竺+ 心业+ ! c r 2 s z 垡一，| v ：0( 2 - 1 5 ) 现a t2a s 2 这就是著名的b l a c k s c h o l e s 微分方程。 结合终值条件 z ( s ，t ) = ( s k ) + ( 看涨期权) z ( s ，t ) = ( k s ) + ( 看跌期权) 可得到欧式看涨期权c ( s ，t ) 和欧式看跌期权p ( s ，t ) 的定价公式 c ( s ，f ) = s n ( d i ) 一k e 。n ( d 2 ) p ( s ，t ) = k e 。( 一d 2 ) 一s n ( 一d i ) 其中， ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) d，：一ln(sk)+(r+(rz2)(t-t)，d，：一ln(sk)+(r-o-22)(t-t)：d。一盯打j e r , l t t c r 、t 一1 。 ( ) 为标准正态分布变黾的累计概率函数。这就是无收益资j 弦欧式看涨期权的 定价公j = i = 。 2 4 本章小结 本章首先介绍了期权的基本概念，并着重介绍了期权定价的理论基础，然 后将随机过程理沦应用到期权定价问题中，在标的资产投资回报率服从独立的 正念分布的假设下，得出了股价的变化为一个几何布朗运动过程的结论，最后 在风险中性定价原理条件下，给出了b l a c k s c h o l e s 期权定价模型。本章内容 是研究期权定价理论的基本内容，为更进一步研究期权定价理论奠定了基础。 哈尔滨理t 大学理学硕i ：学位论文 第3 章鞅在关卡期权定价中的应用 在金融统计中，若期权的最终收益不仅依赖于原生资产在期权到期日的价 格，而且与在期权有效期内原生资产价格是否达到某个( 或几个) 合约规定的 水平有关，则称为弱路径有关期权。其中最重要的一种就是关卡期权( 又称障 碍期权) 。关卡期权的最终收益除依赖于原生资产在期权到期f 1 的价格外，还 与原生资产在整个期权有效期内是否达到某一规定水平( 关卡值) 有关。如， 敲出期权，其它方面与标准期权相同，只是当原生资产的价格达到某一规定水 平时，期权就自动失效。而敲入期权则相反。 关卡期权是一种附加条件的标准期权。例如，对于敲入期权的买方来说， 只有当障碍被触及，其手中的期权力会成为一个标准期权，并具有相应的价 值。对于敲出期权的买方来说，一旦障碍被触及，其手中的期权将一文不值。 在其它条件相同时，关卡期权的价格要低于标准期权，这也是吸引投资者的原 因之一。看一个例子：假设投资者打算在股市抄底进场，当自，j 股指在8 0 0 0 点，此时，该投资者可以买入股指下降敲出看涨期权，执行价格为8 0 0 0 点， 障碍价格设为7 8 0 0 点。这样做有三点好处：第一，价格相对于标准股指买权 来说便宜。第二，如果股指下跌，他i t r 以确切的知道自己能得到一定的补偿。 第三，一il 股指跌至7 8 0 0t i 以一卜，陔投资者町以进入现金i h 场，买入股指j j 货。总之，上述投资策略既与投资者对市场的预期相吻合，又减少了可能的投 资成本。所以，关卡期权受到了市场的青睐。如何对其进行合理的定价很重 要，是值得我们研究和探讨的。 3 1 股价波动模型 自股票市场出现以来，人们就试图对股价进行数学描述，并找出一个刻画 股票价格的数学模型，即股价波动模型，用以全部或部分的预测股价变化的趋 势。目前，股价模型主要有随机游走模型、对数正态模型、波动源模型等。 3 1 1 随机游走模型 1 9 6 5 年美国芝加哥大学著名教授f a m e 在股票价格行为1 2 8 1 一文中，运 用随机游走模型刻画1 9 5 7 年年底至1 9 6 2 年9 月道琼斯工业指数的3 0 种股票 价格的变动从而首次将随机游走模型引入股票价格波动研究。 随机游走模型的数学表达方程为 哈尔滨理t 大学理学顾l ：学位论文 p = 最i + t ( 3 1 ) 其中，e 、只一分别表示t 时刻和f l 时刻的股票价格，t o ，】为扰动，表 示均值为o ，方差为仃；的独立抽样正态随机过程。该模型与市场有效性假说 ( e 伍e i e n