（应用数学专业论文）具有随机扰动的n种群时滞lotkavolterra竞争系统.pdf

摘要 在二十一世纪，有关生物数学的研究显得越发重要，生物数学与其他学科的交 叉领域将成为主要的研究对象与确定性生物数学模型相比较，在现实生活中种群 生态系统经常会遇到环境白噪声的干扰，研究环境白噪声的存在是否影响种群生态 系统以及是否会使已有的结果发生变化已受到广泛的关注。 本文中，我们将考虑具有随机扰动的n 种群时滞l o t k a - 、白l t e r r a 竞争系统 正解的存在性，唯一性，有界性，持久性，全局渐进稳定性本文由两章构成第一 章简述了问题产生的历史背景，本文的主要工作以及本文中主要定理证明所使用的 工具在第二章中，首先，我们利用m a o l 8 ，9 ，1 0 研究方程正解的存在唯一性，它是后 面研究的基础其次，作者利用m a 0 阳，1 0 】方法证明了方程的解是矩有界的。再次， 作者利用j i 柚1 9 方法证明了方程的解是是随机持久的，最后，作者利用l y a p u n o v 函数方法证明方程的解是全局渐进稳定的 关键词：随机扰动的时滞l o t k a v b l t e r r a 竞争系统；伊藤公式；l y a p u n o v 泛 函；存在性；唯一性；有界性；持久性；全局渐进稳定性 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名垒j 多重j日期：迎：曼丝 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名氇盗益指导教师签名 缸；荔 日期：舾! 【：哆日 期；山西= 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址； 电话 邮编 注假设系统( 1 1 ) 中内禀增长率也受到如下形式的随机扰动 6 。_ k + 吼眦( ) ，i = 1 ，一，n ， 其中( t ) 是白噪声，巩表示白噪声强度那么，受环境白噪声干扰的系统( 1 1 ) 可以用如下的随机化方程描述 ，n id 札( ) = 筑( t ) 【( b t n t t 如( t ) 一口t j 。j 一t ) ) 疣+ 巩d w p ) 】，t 0 ，、 ，_ ，弗 【1 2 ) l 轨c 【 一r ，o ，r 罕) ，一丁茎t o 其中眦( ) ( 扣1 ，2 ，n ) 是相互独立的标准布朗运动 本文将研究增长率在环境白噪声的干扰下，具有随机扰动的n 种群时滞l o t k a v 0 i t e r r a 竞争系统正解的存在性，唯一性，有界性，持久性，全局渐近稳定性 跟确定性生物数学模型相比较，对随机生物数学模型的研究有虽然二十多年的 历史，得到了一些好的结果，然而这方面的结果还是很少考虑到环境白噪声对增 长率及死亡率的扰动，a m o l d 等【3 3 】建立了随机l o t h - v o l t e ”a 捕食一被捕食系统 模型，并证明了在，拍意义下系统不存在平稳的分布k h a s m i n s l ( i i 等【3 4 j 研究了在 s t r a t o n o v i c h 意义下自噪声扰动时极限状态下系统的周期性最近，m a o ，m a r i o n 和 r e n s h a w 【8 】研究了一类特殊l o t b v o l t e r r a 环境白噪声扰动系统 d ( t ) = ( t ) 【陋+ 6 ( ) ) 班+ o ( t ) d w ( t ) 】，t 兰。 其中n ，6 ，n o ，( o ) = o 且0 是正数证明了无论环境白噪声的强度o o 多 么小，解都不会在有限时间爆破，揭示了环境自噪声抑制解的爆破这一重要性质 b a h a ra n dm a 0 1 0 】将此结果推广到具有时滞的随机扰动l o t 虹v o l t e r r a 系统，并表明 上述对白噪声的简单假设足以保证了随机扰动的l o t h v o l t e r r a 系统的解是随机最 终有界的可见，环境白噪声的存在使种群生态系统动力学行为发生了变化 1 2 本文研究的主要工作 本文旨在运用m a o m 1 0 】方法和j i a n g 【1 4 】方法研究具有随机扰动的n 种群时滞 l o t k a - v 0 1 t e r r a 竞争系统正解的存在性，唯一性，有界性，持久性，全局渐近稳定性： j 峨( 。) ”删( 卜。删。) _ j ：毛i 唧，( 卜7 ) ) 出扣栅( 。) ，。 o ) j = l j 弁【1 zj 【。t g ( 卜t ，o ，r ；) ，一r t o 全文假设如下： 2 假设a 如 o ，o i o 且。订o 如果i j ，i ，j = l ，州 假设鼬 ，塞。嚣+ 庐k 一，n ； 假设c 通常一个随机微分方程对于任何初值存在唯一全局解，方程中的系数需要满足 线性增长和局部l i p s c h i t z 条件然而，方程( 12 ) 的系数是非线性项，不满足局 部l i p s c h i t z 条件和线性增长条件但作者研究认为如果能够先证明出正解，则解 的存在唯一性问题可以得到很好的解决另外，我们利用m a o 舯】方法证明了方 程( 1 2 ) 的解是矩有界的。再次，作者利用j i a n g 【1 4 j 方法证明了方程( 1 2 ) 的解是是 随机持久的最后，作者利用l y 印u n o v 泛函方法证明方程( 1 2 ) 的解是全局渐近稳 定的所获得的必需条件和无随机扰动的模型( 1 1 ) 的条件是相似的 全文中，除非特别说明，设( q ， 乃) 。，o ，p ) 是完备的概率空间，流 五) 。，o 满 足通常条件，即单调递增且右连续，蜀包含所有的零测集( t ) 是定义在这个 概率空间上相互独立的m 一维标准布朗运动r o 而且定义g ( 【一r ，0 ，r d ) 为一 族从【一r ，o 刑连续函数定义| | = s u p 一， 。 o l 妒( p ) | oso o t 。， ，：g ( t ，o j ；r 4 ) t o ，邪寸r “，g ：e ( _ r ，o 】；r 4 ) p o ，刁r “” 都是b o r e l 可测的对于d _ 维随机泛函微分方程 d z ( t ) = ，( z t ，t ) d t 十9 ( o ，t ) d l 矿( t ) ，o t t ， 其中观= z ( 亡+ o ) ：一r 口茎o ) 基于文献f 8 ，9 ，1 0 】得到的一些结果，我们得到了所研究系统正解的存在性，唯 一性，有界性，见定理2 1 1 和定理2 2 1 基于文献 1 4 得到的一些结果，我们得到 了所研究系统正解的持久性，全局渐近稳定性，见定理2 3 1 ，定理2 4 1 和24 ，2 本文的格式如下第一章简述了问题产生的历史背景，本文的主要工作以及本 文中主要定理证明所使用的工具在第二章中，在2 1 节中，作者首先研究研究方 程( 1 2 ) 正解的存在唯一性，它是后面研究的基础在2 2 节中，作者利用l y a p u n o v 泛函的方法证明了方程( 1 2 ) 的解是矩有界的在2 3 节中，利用j i a n g 【1 4 j 方法证明 了方程( 12 ) 的解是是随机持久的最后，在2 4 节中，作者将给出方程( 1 2 ) 的解 是全局渐近稳定性的证明 3 1 3 预备引理和定理 本文的证明将用到以下几个引理及不等式和假设： 定理1 1 1 ，2 】( 存在唯一性定理) 假定；，和9 关于满足上述条件， ( 1 ) 存在正常数k 对所有的忆g ( 卜r ，o 】；r d ) 和t f 0 】司 ，( 妒，t ) 一，( 咖，t ) 1 2vj g ( 妒，t ) 一9 ( ，t ) j 2 茎疗l p 一曲f j 2 ( 2 ) 对每个整数n 之1 ，都存在正常数墨；，仍庐g ( 一- o 】；) 当v s n ，t o o ，卅有 ，( 妒，o ) 1 2vj 9 ( 妒，t ) j 2 矗k ( 1 + j 妒1 1 2 ) 随机微分方程 d 。( ) = ，( z ( t ) ，) d 十9 ( 。( t ) ，t ) d i 矿( t ) ， 如果满足初始条件z t 。= f = f ( 口) ：一rs 口墨o ) 是蜀。可测的g ( ( 一一o 】；丑d ) 随 机变量而且e j 2 o ，有 z ( z ) m 2 ( 【o ，卅；咒8 ) 定义1 2 1 6 j ( 停时) 设( n ，p ) 上有一个非降的a 代数族 五；q 一个 取值于t u ( o o ) 的随机变量r ( 。) 称为一个相对于( 五) 的停对，如果对v t 7 ，如： r ( u ) t ) 五若扣：r ( u ) t ) 五，则称r 是相对于 五) 的宽停时 显然，r ；t ( 常数时间) 是一个停时可见停时是对时间的一个推广 定理1 3 1 1 6 j ( 一维i t 6 s 公式) 设戎( t ) = 口( t ) 出+ b ( t ) d ( t ) ，又设，( 。，t ) 及其导 数厶，厶。， 关于( 。，) r 【0 ，o 。】为连续函数那么随机过程，( f ( ) ，) 具有随机微 分，并由 d ，( ( t ) ，t ) = m ( ( t ) ，t ) 十厶( f ( t ) ，t ) o ( t ) + l 2 厶。( f ( t ) ，f ) 6 2 ( t ) 出+ 厶( ( ) ，t ) 6 ( t ) d ( t ) 所给出此式称为伊藤公式 定理1 4 【14 】( h 6 l d e r 不等式) 设f ，q 是概率空间( n ，p ) 上的可测函数，实 数p ，g 满足l p ，q 。和1 加+ l 向= l ，则 e 垮1 ls ( e 1 加f 引) ( e 1 加f q r ) ( 1 4 ) 如果e 蚓 o 。，e m 9 o ，使l f p = g 蚓。a s 4 定理15 ( g 不等式) 设n 1 ，n 2 ，o 。为实数，有 i 口1 + n 2 + + 8 n l p q ( f l i ”+ i 盘2 1 9 + ，- + i n n p ) 其中q = 一o ；妻i 引理l6 1 5 】 设a ( t ) 和矿( t ) 0 o ) 是两连续的五适应的递增过程，且 a ( o ) = u ( o ) = oas ；m ( ) 是一实值连续的局部鞅，且m ( o ) = oa s ；是非负 的蜀可测随机变量，且联 o 。定义： x ( 亡) = f + a ( t ) 一u ( t ) + 且f ( t ) ( t 0 ) 若x ( ) 非负，则 z 酱恐a ( t ) 。o ) c t 鹭磊x ( t ) 。) n 墨恶v ( t ) o o ) n 矗 其中bcda a 是指p ( b n d ) = 0 特别地，若又有 恕a ( t ) o 。) a s ，则对几乎所有的u n 有 舰x ( t ，) o 。，t 堍u ( t ，u ) 。和一o 。 堍m ( t ， ) 。 引理1 7 1 5 1假设一维的随机过程x ( t ) ( t o ) 满足条件 b i x ( t ) 一x ( s ) i 。sc i t s 1 1 + 卢， o s ，t 。 其中吼卢和c 为正数那么存在一个x ( t ) 的连续修正豆( t ) ，对于每一个7 ( o ，p o ) ， 存在一个正的随机变量h ( ”) ，使得 巾：吲器。殴掣南h ，o o ) ，o 表示几乎必然 方程( 1 2 ) 中，乳( ) 表示系统中 种群的密度，显然要求是非负的本节给出 当条件( a ) 满足时，方程( 1 2 ) 不仅存在正解，并且该解在有限时间内不爆破 定理2 1 1 若条件下( a ) 满足，则对任意给定的初值函数 z ( t ) ；一r t o ) c ( 卜t o 】，霹) ，方程( 1 2 ) 存在唯一解。( t ) ( o ) ，且此解以概率l 位于r 芊中也就 是说，z ( 曲r 2 ( 芝o ) a s 证明；显然，方程( 1 2 ) 的系数是局部l i p s c h i t z 连续的，则对任意给定的初始 函数 z ( t ) ；一r 茎t o ) g ( 卜l0 ，霹) ，方程存在唯一的局部解z ( ) ，【o ，) ，其 中是爆破时间( 参见a r n o l d f l 或者f r e e d m a 【2 】) 那么要证明这个解是全局存在 的，只需证明n = as 设 o 足够大使得 z ( t ) ；一r t o ) 的n 个分量都落 在区间【击，0 】中定义停时 1 = i n “t o ，) ：存在i ，1si m z ( ) ( 圭， ) ) ， 其中，令i n f o = o 。( 0 表示空集) 显然，当k - o 。时，是单调递增的 令= l i m k _ o 。，则凡a 且若能证明= o oas ，那么= 。a 8 ，也就有 z ( t ) r ；换句话说，此定理的证明归结为证明= o 。a s 如若不然，则存在常 数t o 和e ( o ，1 ) 使得 p t o 。t ) 结合的定义，则存在整数 1 ，当 女l 时有 p 仉墨t ) 三( 2 11 ) 6 定义g 2 一泛函y ：r 2 _ r + 显然当“ o 时 n y ( 。) = 陋。一1 一l o g ( 盈) 】 l = l 由此司知函数y ( 。) 是非负的当。丑辈时，由i s 公式有 d p n 。f 茁( 。) f 2 d 。+ 矿( 。( 亡) ) 】 _ ( 叫叫圳钆刊叫扣丁) n 出+ 塞 ( 1 一1 ) 引( 以洲沪j ：芭，哪如叫) 疵怕d 咄) 】 = m i z ( t ) 1 2 一m i z ( t r ) 1 2 + 耋 ( q 一1 ) ( b i 一。“( t ) 一妻。“q ( t r ) ) + o 5 。翔) d t 。 一1 j = l j l + 善( 矗一1 ) 吼d 眠( 。) = f ( 茹) d t + 垂( z ；一1 ) c q d w ( t ) ， ( 2 ，1 2 ) 这里记z ( t ) = z ，m = o 5 m i n 。i ，t = 1 ，一，n o 量f ( q 1 ) ( 如。“一q ( 一r ) ) + o 5 砰】 = 1 ) = 1 j l 旦卫。旦 ” n 2 量饥( 嗣一i ) + 量口 一互( 执一e 叼q 0 一t ) 一意( q 一1 ) 吼 # l# 1 t = 1 j = 1 ，j f 1 ；a 、。 nn n” nnn 2 墨，如l - 1 h 量砰+ 蓦啦弘；+ 量，：磊牟q ( 卜t ) 塞，：笔牟z t 州t r ) = lz = li = 1 l = i ，二1 ，i ；= l ，= 1 士i 。 。 + 至。毳 因为 所以 q ( t f = 1j = 1 j f f ( z ) s 善6 舡r 1 ) + 蚤。；十翥蚤著。毛+ 若。泓t 墨池t m ) z 五 ( 。- 3 ) “ “ 一 nn nn 显然f ( z ) 有上界，设为k o 由于z o ) r ，则 d | m ，献蚓2 d s + y 坳 曼眦+ 窭b 一1 溉d 嗷 x 2 2 解的有界性 定理2 1 1 证明了在假设( a ) 成立的前提下，方程( 1 2 ) 的解将会保留在正 锥r 华内这个好的性质给我们提供了很大的机会去构造其他类型的l y 印u n o v 函 数更深入的研究方程( 1 2 ) 的解如何在魑上变化 正象在2 1 节我们所提到了，在人口动力系统中解不爆破统称不是最好的性质， 我们期待着解能随机最终有界 定义22 ，1 方程( 1 2 ) 的解是随机最终有界，如果对于任意e ( o ，1 ) ，都存在一 个正常数h = 日( e ) 对于初始函数 z ( t ) ；一r so ) g ( 一r ，o ，r 华) ，方程( 1 2 ) 的 解z ( ) 满足 土罕k8 u p p i z ( t ) i h ) o 则存在一个正常数= ( 0 ) ，方程 口剀的解z ( ) 满足 。占8 u p e ) r 茎墨 ( 2 2 2 ) 证明：定义 由i s 公式，有 y ( 。) = z ? f = l z r 三 d y ( z ( t ) ) = 工y ( 。0 ) ，z ( 亡一r ) ) d t + p 口。q ( t ) 9 d 叫；( t ) ， ( 2 23 ) t = 1 这里l y ：冗；霹_ r 被定义为 计算得 三矿( 。( t ) ，z ( 一f ) ) = 疃酬t ) 一十坚妻。铆) 。一目妻( t ) 州 2 = ll = l f 扛) 一y ( z ) ， 9 茁。 尸。曲 0 口 z 一 砰n 。矗卜 型。 塑 础 矿 。卸吲苎 。 口 挣 f ( ) ) = 妻州矿+ 目耋轨吲矿+ 旦堑妻。强。口妻州矿+ ， 2 。i i = lz 。o 。一。7 f ( 。) 是有上界的在r 2 ，即 易得 把上式代入( 2 3 2 ) 得 耳1 ：= s u pf ( 。) o 满足 。当8 u p 曰忡) 一耳 1 0 由条件( b ) 满足，则方程有唯一正解。+ = ( z i ，z i ) 7 ( 参见范猛 3 6 j ) 于是方程( 2 3 1 ) 可以改写为 n l o g ( q ( ) ) = 一n 。( ( ) 一z ；) 一n 蚶( 勺( t r ) 一z ；) 】d t + 以c h “( ) ，i = 1 ，一，n ( 2 3 1 4 ) j = l j 4 t = 0 0 0 5 ，6 1 = 3 ，6 2 = 4 ，6 3 = 3 ，0 1 1 = 3 ，0 1 2 = 2 ，n 1 3 = 4 ，n 2 l = 3 ，n 2 2 = 4 ，0 2 3 = 5 ，口3 l = 2 ，n 3 2 = 3 ，0 3 3 = 5 ，盯 = o 0 1 ，盯；= o 0 0 2 5 ，盯；= o 0 4 ，下= 1 ，。( t ) = e 一15 ，可( t ) = e o ，z ( 亡) = e 一1 ( 一r s t 0 ) 定理2 3 1 若条件( a ) ，( b ) 满足，则方程( 1 2 ) 的解以概率l 持久更精确地 说，对任意给定的始函数 。( ) ；一rs o ) g ( 一r ，o 】，月罩) ，方程的解。( ) 有如下 性质 o i i m i n f z l ( t ) l i ms u p z t ( t ) n 从。到t 积分上式得， 忡) 矿( 。) + z 卜耋巾小) 一蚓】出+ j ( 。耋吼s g n ( 州s ) 一d 帆( n ( 23 7 ) 假使 x ( = y ( 。) z 。【娄巾如) 一蚓 d s + 上。娄叫9 n ( 州s ) 一q d ( s ) 1 ( 2 3 8 ) 则 0 y ( t ) x ( ) 由引婵1 6 我们辑鞠l 即 显然 即 魄x ( ，u ) o 。 ( 23 9 ) 1 2 罂川) = 1 i 熙9 蚤f 1 0 9 酬乩g z ；f o 。 ( 2 肌o ) m s 警i 。从。到t 积分上式得 ( 2 4 9 】 、，三，“ y 刚o + 肛刭删一z 批+ z 萎嘲喇旷z ；胍( 观( 2 枷) 从( 2 4 1 ) 和y ( f ) 的非负性，有 z 。f 塾州沪圳蜒呻) + z 蔷删吣小h 瑚酬 ( 2 ，) 对上式取期望得 目五 刭删一圳d s 啉 即 上e 辱恻沪圳蜒撕 令t - o 。有 因而有 定理2 4 1 证毕 ，o 。 n 上届 圣恻s ) 一圳d s z ( o ) z 。驯s ) “呐 o 对( 2 4 9 ) 从。到t 积分，得 j = i ，j t ，t n y ( 。) + 上圣) 确( s ) j d ss 矿( 。) 。 即有 n n i 。( ) 一口( ) f = i 乳( t ) 一玑( t ) 2 】 l 盐( ) 一玑( t ) 三1 o ，。) t 2 l = 1 由引理2 4 1 和引理1 8 ，得 三k ( t ) 一g ( t ) f = o ，几乎所有u n 完成定理2 4 1 的证明 1 8 参考文献 1 】l a r n o l d s t o c h a s t i cd i 丹b r e n t i a le q u a t i o n s ：t h e o ya n da p p l i c a t i o n s 【m 1 n e w y o i k ，w i l e y ，i 9 7 2 ( 2 】a n i e d m a n s t o c h a s t i c d j f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h e i r a p p l i c a t i o n s m n e w y o i k ，a c a d e m i cp r e s s ，1 9 7 6 3 b s ，g o h g l o b a ls t a b i l i t yi nm a n ys p e c i e ss y s t e m s 【j 】a m e rn a t ，1 9 9 7 ，1 1 l ：1 3 5 1 4 3 【4 】y k u a n ga n dh l s m i t h g l o b 出s t a l i t yf o ri n f i i l i t ed e l a yl o t k a v o l t e r r at y p e s y s t e m s 【j 】j d i 髓r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 9 3 ，1 0 3 ：2 2 1 2 4 6 5 k g o l p a l s a i 工1 y g l o b a l l ya s y i n p t o t i cs t a b j l i t yi nap e r i o d i cl o t k a r v o l t e r r as y s t e m j 】 j a u s t r a l m a t h s o c s e rb ，1 9 8 2 ，2 4 ：1 6 0 一1 7 0 耐k ，g o l p a l s a m y s t a b i l i t ya n do s c i l l a t i o ni nd e l a yd i 雎r e n t i a le q u a t i o no fp o p u l a t i o n d y n a m i c s m 】d o r d r e c h t ，k 1 u w e ra c a d e m i c ，1 9 9 2 7 】y k u a n g d e l a yd i 珏色r e n t i a le q u a t i o n sw i t ha p p l i c a t i o n si np o p u l a t i o nd y n a m j c s 【m b o s t o n ，a c a d e m i cp r e s s ，1 9 9 3 吲x r m a o ，g m 耵ha n der e n s h a w e n v i r o n m e n t a lb r o w n i a n o i s es u p p r e s s e s e x p l o s i o n si np o p u l a t i o nd y n a m i c s 【j s t o c h a s t i cp r o c e s s e sa 肛dt h e i ra p p l i c a t i o s ， 2 0 0 2 9 7 ：9 5 1 1 0 ， 9 】x r m a o ，g m a r i o na n de r e n s h a w a s y m p t o t i cb e h a v 幻l l ro ft h es t o c h a s t i cl o t b v b l t e r r am o d e l 【j j ，m a t h a n a l a p p l ，2 0 0 3 ，2 8 7 ：1 4 1 1 5 6 【l o 】a b a h a ra n dx r m a o s t o c h a s t i cd e l a yl o t k a - v o l t e r r am o d e l j 】j m a t h a n a l a p p l ，2 0 0 4 ，2 9 2 ：3 6 4 3 8 0 1 l 】j f h na n dc z h a n g ar e e x a m i n a t i o no fd i 圩u s i o ne s t i m a t o r sw i t ha p p l i c a t i o n st o 最n a 丑c i dm o d e l v