（应用数学专业论文）均匀与非均匀采样下信号的周期检测.pdf

论文摘要 本篇硕士论文主要讨论的是采用h 丌方法和l o m b s c a 嘈e 方法对模拟信号 的周期进行检测。众所周知，时间序列的周期表达式对基因工程来 兑，意义十分 重大，我们通常应用f f r 算法实现对均匀采样周期函数的周期检测，这种检测 方法可以说是理想化的，毕竟通过实验采样而得到的数据不仅含有噪音( 操作过 程误差，实验仪器测量误差造成的噪音等等) ，而且采样得到的数据并非是均匀 采样的，这就给模拟信号的周期检测的过程造成不便。通常情况下经过有限点列 采样后进行插值，经过均匀化后再检测其周期性，但是插值过程造成的局部或整 体误差很大。本文主要通过l 0 m b s c a 珂e 的方法对模拟信号进行周期性检测。 同时对比n 可方法与h m b s c a 唧e 方法的优缺点，并通过数值模拟实验数据来 分析各种方法的优缺点。 最后，对于含有噪音列的周期性采样点集，本文也设法通过滤波器方法直接 过滤噪音，对过滤后的非均匀采样集，如何才能使用f f r 方法对其进行周期性 检测呢? 由此，本文首先采用三次样条函数对非均匀采样集进行均匀化插值，再 采用f f r 方法对处理后的数据进行周期检测。其次，本文第三章内容引进平移 不变空间的性质，对周期性模拟信号进行局部快速重构，再均匀化选取部分数据 进行周期检测，用f f r 方法检测周期性数据的差异，以及讨论这种局部重构方 法是否能够实现对采样集的均匀化处理。实验数据结论说明，这两种均匀化处理 方法都取得了良好效果，而且，平移不变空间的局部重构法，可以直接对噪音采 样集进行重构处理，显示出比三次样条插值法更为简洁的有效方法。 由于基因表达的时间序列理想模型是余弦曲线( 见【4 4 】) ，所以本文着重就对 余弦性质的模拟信号进行周期性检测，但是，i ，s 方法和f f r 方法对周期性的非 余弦性质的模拟信号的周期检测效果如何呢? 本文采用太阳黑子的数据进行分 析，最后的模拟实验数据结果说明，这两种方法对非余弦性质的周期函数检测， 仍然有效可行。 关键词： 功m b s c a r g l e 方法，快速傅立叶变换，三次样条插值，均匀采样，非均匀采样， 平移不变空间，生成子。 b e c a u s et h ee x p f e s s i o no fg e n ei s 觚i d e a lc o s i n ec u e ，s 0t h ea r t i c l em a 瑚y f o c u s e so nd e t e c t i n gt h ep e r i o do ft h es i g n a lw i t ht h en a t 塞m 耄耋萎琴i 羹主。京霎纠薹妻；蚕薹登羹 璧爵譬；耄零l 主耄l 薹薹孺蚕i 墓萋奏鋈季篓雾喏氢；雾至百蓁i 茎喜蠢瑚囊薹羹耋耋l 囊攀蠢墓薹妻墓耄囊耋 蕈= 五四运动促进了马克思主义在大学中 的传播；第四五四运动影响了近代中国教育模式的转变。 还有学者对国外五四运动的研究状况做了梳理和研 究，李春来的西方学者五四运动研究述评认为对于五 四运动的研究，无论是中国大陆的学者还是西方国家的 学者都非常重视。作为海外中国学研究重镇的西方学界。 多年来对五四运动的研究取得了巨大的成就。无论是从 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：抹钾哗 日期：即降多月弓日 l 学位论文使用授权声明 学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的 入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论 学位论文作者签名：童澎牵年 翩签名：冼蓼 日期： 哆年占q ；日 中山大学硕士学位论文 而m 的选择依赖于相对独立的频率o ，经过多次的蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) 模拟实验可以检测出m 和o 的关系，采用最小平方公式估计出频率数量o 和 实验次数n 的关系如下：( 见【1 】) o 一一6 3 6 2 + 1 1 9 3 + 0 0 0 0 9 8 2 2 2f i 呵方法介绍 由于分布理论的引进，傅里叶级数可以作为傅里叶积分的一种特殊情况从 理论上导出。这种方法是有意义的，因为它是把离散傅里叶变换看作为离散傅里 叶积分的一种特殊情况的基础，这种方法对离散傅里叶变换是采样波形的傅里叶 变换的理解也同样基础的意义。 下面用一个表示式把一个周期为瓦的周期函数y o ) 表示成一个傅里叶级数。 一 ) ，o ) 一等+ zh c o s ( 幼，靠) + 吃s i n ( 幼吮) 】 ( 2 - 2 1 ) o 一- l 其中厶一軎的基频。各正弦曲线的幅值或系数由下列积分给出 。钨儿灿文加舭i o 2 3 通过应用恒等 ( 2 2 2 ) 吃。缸摹y o ) s 址( 纫瞬渺，加o 垅轧。 叫纫哪) 一三 胁哪仃胁哪) s i n ( 幼，靠) 一寺p 胁哪q 。撕哪) ， 从而表示式( 2 1 1 ) 可写为 ( 2 2 3 ) ) ，( f ) 一+ 三薹【( 口。一以) p 胁哪+ ( + 以) p 。押嘲】 ( 2 2 4 ) 引入n 的负值，定义( 见【4 1 】) 如下： 第4 页共6 3 页 中山大学硕上学位论文 口一- 鹈y 帅s ( - 纫吮渺 。去鹰y c o s c 纫矾r 渺 一口。，刀一o ，l 2 ，3 ，墨 l 。携y m ( 勘删班 ，互 一私摹y n ( 幼吮渺 一吃，厅。1 2 ，3 ， 因此我们可以写成 酗e 。荟 善吃e 。加虬一薹如胁嗍 将( 2 1 6 ) 代入方程( 2 1 4 ) 得到 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) y m 警专耋一璁妙哪】 - 叩胁哪 其中 口。一去( q 一线) ，疗- o ，1 2 ， 结厶方程式( 2 1 - 2 ) 砸。艟y 缈黼蛳一呲珠 ( 2 2 7 ) 以上推导可知，用指数形式可以简洁地表示傅里叶级数的表示式，同时，本 文引进等距脉冲函数的定义( 见【3 0 】) 如下： 6 0 一) o ，f ，气，姒。6 p 一渺一1 则脉冲函数具有积分性质如下： l 6 0 一气o 渺t 瓴) ， 其中o ) 是一个在f o 点连续的任意函数。 第5 页共6 3 页 中山大学硕士学位论文 以写成j l o ) 。o ) ，。o ) 是时域采样函数，采样间隔是瓦。从而采样函数为 l o ) 。o ) 一j i l o ) 6 0 一尼r ) 一j i l 旧) 6 ( f 一后丁) ( 2 2 8 ) 其次，做矩形函数x ( f ) ；j 1 一；“ 瓦一吾与采样函数相乘，从而对已采样 lo其它 啪一【耋煅m “z ) p 。荟 ( 七丁) 6 ( f 一七丁) ( 2 2 - 9 其中一争。在时域截断的结果是在频域内出现波纹。 最后对傅里叶变换进行采样，在时域内这个乘积等于己采样波形与时间函数 a ，1 0 f ) 一死妻6 0 一，瓦) 的卷积，从而得到胁( f ) 。o 弦o ) 事。o ) ( 2 2 1 0 ) 因此有 丽- 瓦耋m 小叫 旺2 m ) 对于以上傅里叶级数的讨论可知，j l o ) 的傅里叶变换是一个等间距脉冲的序 列 而日( 争 一塾町圳，其岷。丢 q 援喁硫。榔如地扎2 ” ( 2 2 - 1 2 ) 扣( 21 1 1 ) 式代入( 21 12 ) 式得到 第7 页共6 3 页 中山大学硕士学位论文 一援嗝瓦骓归m 嵋坩，卜儡蛳一o ，址2 ，- 一剥蓑咔汹蛹西 晓2 彤) - 罗 户。掀吖毛 岗 将瓦一胛代入上式得 2 乏 b 叫儡 。荟 ( 七丁声。删胪o ，虬 ( 2 2 1 4 ) 从而得到( 2 1 - 1 4 ) 的傅里叶变换为日( 焉一一薹薹办 z 弦吖掀，6 ( 厂一，吮) 可以证明上式是周期为n 的傅里叶变换，即 日( 静一日喏) ( 2 2 1 5 ) 所以方程式( 2 1 - 1 5 ) 只需对n 个不同值进行计算；日( 焉_ ) 是以n 个采样点为 一个周期的周期性函数。故上式的傅里叶变换可以等价的表示为 日臼一薹 泔，咒一o 协，一1 ( 2 2 - 1 6 ) w 譬一e - j 憾n 即取。 日o ) l 芝j i l 孵加0 ，- 1 + 2 各1 7 ) 岗 表达式( 2 1 1 7 ) 通过连续傅里叶变换把时域上的n 个采样点和频域上的n 个采样点联系起来，因此，离散傅里叶变换是连续傅里叶变换的特殊情况。 傅立叶变换( d f r ) 在数字信号中起着重要的作用，但是直接计算工作量很 大，由上式可以看出，d f r 的运算量需要将输入n 个数据点h ( n ) ，经过与赠依 次相乘再求和，因此计算出h ( n ) 的值的总共计算量是2 次复数相乘。在实际 第8 页共6 3 页 中山大学硕士学位论文 数据处理中，由于n 的值是很大的，所以计算机直接计算d f t 就要耗费较长的 计算时间和占据整个计算机的储存容量，常常使得数据的处理既不经济又不及 时。由于这个原因，1 9 6 5 年美国c o o l e y 和t u k e y ( 见【9 】) 为了计算d f r 而提出的 快速傅立叶变化( f f r ) 发表以后，引起了世界各国广泛的注意，使得傅立叶变 换运算速度在近2 0 年发展极快。 f f r 仅仅是一种快速算法，其基本原理及计算公式是d f r ，其方法主要是 采用傅立叶变换公式中变换系数孵的周期性和对称性的性质，将h ( n ) 序列逐 次分解成较短的子序列来计算，减少计算过程中重复的不必要的计算，从而使得 d f r 的计算速度提高了l o g 多倍。当然，该方法使得d f r 计算速度提高的同时， 也使得某些数据的事后处理及系统的模拟研究进入到数据的实时处理，广泛的应 用于数字系统的频谱分析。 在m a t l a b 中，其快速傅立叶变换的计算方式是先将序列样本( 一般是2 个 样本，如果样本数不足，可以增添一定量的值为o 的样本点，使其个数达到2 ， 如果多余，可以适量截断样本点，这样可以方便d f r 计算，但不影响计算结果。) 套入快速傅立叶变换公式，再利用变换系数的周期性和对称性，将计算过程化简。 即使2 点的d 兀 分解成2 么点的d f r 并逐步化简，从而计算出全部h ( k ) 。 当然，也可以采用计算接近样本数为2 的样本点的傅立叶变换，再将剩余点数 进行h t 计算。 2 3 三次样条函数插值方法介绍 对于样本点 “，咒) 长o ，构造三次样条函数满足 s ) 一 g ) ，工【气，气】 j 【气，刎， ( 2 3 1 ) ： 一。0 ) ，。吨一，乙】 其中墨一。( ) 一墨一，( ) ，fs 1 2 ，以一1 由于有n 个三次多项式，每个多项式有4 个未知系数，所以样条函数总共有 第9 页共6 3 页 中山大学硕上学位论文 锄个未知系数。其中，该插值函数的算法主要是确定4 刀个未知系数。确定方法 如下： 墨一。 ) 一只，墨纯) 一咒，f 一1 2 ，刀 s ：! ! ： ) 一s ： ) ，七一1 ，2 j = l2 ，以一1 可以确定4 n 2 个系数，最后剩余自由度为2 。 假设j ：2 瓴) 一刁，s ：2 + ，) 一乙小f o ，l 2 ，忍一1 由s ：2 o ) 在区间阮掣】上是一 条直线，则 s ：2 协2 署叫+ 斧o - f 】 ) ， ( 2 3 2 ) 其中瑰一纯+ 。一毛) 从而得到 。蔷q + 一功3 + 蔷。一) 3 + c 一) + 。 + t x ) ( 2 3 - 3 ) 由于墨 ) 一咒，墨q + 。) 一咒+ 。，f - 0 ，l 2 ，咒一1 得 s 一蔷一功3 + 蔷。一乞) 3 + ( 等一净。刊+ 嗜一争叫 由于s ：- l 纯) 一j ： ) ，f 一1 ，2 ，以一1 s 一蔷叫3 + 嚣。一t ) 3 + ( 等一警训+ 嗜一警，叫 鬼一而以+ 2 魄+ 鬼- 1 ) 乙+ 噍乙- 署( 咒+ - 一兄) 一丢 一咒以) ，江1 ，2 ，棚一1 成立 饩尼， ( 2 3 4 ) 上述方程是关于n + 1 个未知数乙，f 一0 ，1 ，2 ，咒的n 1 个方程的线性方程组，我们 可以选择气乙一o ，得到自然三次样条函数。 对于i = l ，2 ，n 一1 ，以及气一乙一o ，上述线性方程组( 2 3 3 ) 是对称的，且对 角占优的，即矩阵中主对角线元素的绝对值大于同行其他元素的绝对值的和，具 有如下形式( 见f 1 8 1 ) 。 第1 0 页共6 3 页 中山大学硕士学位论文 u 1 啊 嘎u 2h 2 h 2u 3 坞 坞 u 一2 吃2 吃2u 月一l ( 2 3 5 ) 其中 ，i1 1 + 。一， 1 4 f 1 2 ( h i + 噍- 1 ) h i 1 詈i ( y i + l - y i ) 2 3 - 6 u 一包一岛- 1 由于自然三次样条函数的最优性质( 见【1 9 】) ，所以本篇论文在对离散采样集 进行处理时，采用三次样条插值法进行均匀化插值，可以尽量减少插值所造成的 局部或全局误差。 2 4 滤波器的实现与分析介绍 对于噪音的离散序列进行滤波处理，一般可以采用m a t i a b 函数f i l t e r , 或者 选用信号处理工具箱其他滤波函数都可以完成对噪音的低通过滤。一般地，数字 滤波器输出y ( n ) 的z 变换形式y ( z ) 与输入x ( n ) 的z 变换形式x ( z ) 之间的关系 如下： 聃擀罴篆专器州( 2 4 - 1 ) 其中，h ( z ) 是线性系统中的传递函数。而常数b ( i ) 和a ( i ) 是滤波器系数，滤波器 的阶数m a x ( n a ，n b ) 。 但是采用f i l t e r 函数对离散信号进行过滤，过滤后会产生相位失真的现象， 故本文采用滤波函数f i l t f i l t 对信号进行过滤，使得能够实现完成无相位失真的滤 波过程。滤波函数f i l t f i l t 主要通过对输入数据进行前向和反向处理来消除相位失 真，即将数据按顺序滤波，然后将所得结果逆转后反向通过滤波器，这样得到的 序列为精确零相位失真，并使滤波器的阶数加倍。如下列图分别是滤波函数 五 以 h 屹嵋；心k 以 d气乞乃；乙乙 中山大学硕士学位论文 f i l t f i l e 和滤波函数f i l t e r 过滤对比图， 设计。 相位失真 无相位失真 其中阶数分别是4 和6 传递函数的滤波器 相位失真 1 02 03 04 0 无相位失真 图2 4 1 、右上第一幅图采用阶数为4 的f i l t e r 滤波函数对噪音列进行过滤预 处理，产生了相位失真现象。相应的右下第一幅图采用阶数为4 的f i l t f i l t 滤波函 数对噪音进行过滤，相位完好，去噪效果明显。而右上第二幅图和右下第二幅图 分别采用阶数为6 的f i l t e r 滤波函数和f i l t f i n 滤波函数进行过滤。从上图可以直 观看出，去噪效果更为明显，所以下文设计对采样集进行去噪处理，主要采用阶 数为6 的滤波函数。 第1 2 页共6 3 页 中山大学硕士学位论文 第三章平移不变空间及其性质 3 1 平移不变空间背景、定义及其生成子的引入 在信号处理中，s h a n n o n 采样插值定理对离散区域的信号恢复发挥了及其重 要的作用，但s h a n n o n 定理刻画的是均匀采样和频限函数，其表述如下： 设厂o ) r 俾) ， 则 w o ) 一是f ( 咖m 咖 ( 3 1 - 1 ) 其中q 是有限频宽，f ( w ) 是，o ) 的傅里叶变换，如上所述的这一类函数可称之 为频限函数，记为，o ) 砚( q ) ( b a i l d l i m i t e df h n c t i o n ) ，由s h a n n o n 采样插值定 理可得，对，o ) 皿( q ) ， ) 可以由其离散函数值厂 z ) ，七一0 ，七一1 均匀 采样值得到。 厂“) 。亏厂伙f ) s i l l c ( 型幽 ( 3 1 2 ) ，0 ) - 罗，( 七f ) s i l l c ( 璺! 冷 ( 3 1 2 ) j r 其中 f 墨吾，s i n c o ) 一墅凳堕，f o t = o 时，函数值为1 ( 3 1 2 ) 式在r 上的任何紧区间上是一致连续的( 见【4 】) ，且( 3 1 2 ) 式通 常称为基序列或w h i t t a l 【e r s h 锄o n ( w s ) 采样重构，有关( 3 1 2 ) 的一些性质， 在相关文献中都有涉及到。特别是截断、混叠、幅度误差等性质已备受研究( 见 【3 1 1 ) ，( 见【3 2 】) ，( 见【3 3 】) 。然而，。针对随机信号，不仅仅是数据丢失的频限信号， 而且含有噪音的不均匀采样信号的重构近来备受关注。当一个信号，o ) 在附加噪 音的前提下，比如考虑高斯噪音列，有如下表示式： 儿= 厂 z ) + 气，尼s ，z ( 3 1 3 ) 其中f 是采样率， 气) ：。是高斯噪音列。 对于观测到的值 y 七 ：，可以自然地建立如下重构算法 第1 3 页共6 3 页 中山大学硕士学位论文 五o ) 墨儿s i i l c ( 型幽 ( 3 1 4 ) 忍； i 但是因为对噪音插值的缘故，这一算法不能使得l i m 无o ) 一厂o ) ，显然对噪音插 值是信号重构问题的一个制约因素。事实上，对于无o ) 的近似估计是极为不完 整的，这就需要采用插值法将噪音序列进行光滑化预处理。其中本文采用两种办 法对噪音进行处理，以期达到对信号重构，第一种办法首先是将w s 重构算法应 用于( 3 1 3 ) 的基序列，最后对重构信号采用低通过滤法处理，这一种办法称为 全局过滤法，因为它对所有的值f r 进行过滤；第二种办法是首先对信号采样 集进行局部重构，再考虑用w s 插值法进行插值处理，这一种办法成为局部法， 它是对有限窗口进行光滑化预处理。下图是两种办法是实现过程图，同时在实验 中采用这两种办法( a ) 、( b ) 分别对数据进行处理，重构函数并使采样集均匀化， 以达到对信号进行周期化检测。 秒 ( a ) s h 锄o n 采样定理对均匀的频限函数进行重构，虽然今年来受到较多关注， 但现实中，由于采样数据在信息的存储，试验操作过程中难免存在丢失或失误等 问题，会造成采样数据的离散化，此时，如果采用插值方法将采样数据离散化后 再恢复信号，诚然是一个信号恢复的可行性操作方法。但是，由于噪音序列的存 在，上文已指出该插值重构方法存在缺陷。所以，如何采用b 样条函数的性质， 直接对非均匀采样的数据进行重构，对于本文的非均匀采样信号的周期性研究也 具有一定的借鉴意义。下文也将对b 样条函数的性质做简要探讨研究。 其实，所谓的采样问题主要是研究从采样集如何有效简便地进行重构的问 题，即信号厂从采样集 厂瓴) ) 肥进行重构，但是，由于实验过程的操作存在误 第1 4 页共6 3 页 中山大学硕士学位论文 差，得到的采样集 ，瓴) ：七z ) 并不十分准确( 含有噪音等) ，这就要考虑每个 采样点x j 的权值，即对采样的数据做如下处理： l f 争x i 惮 其中九 述= 1 这种采样数据方法是将函数，在x ，附近的值进行均匀化处理，反映了函数厂 在x j 的值受附近采样点集影响的特征。显然，这个处理方法并不很精确，所以这 就提出了对一些信号空间的函数进行重构的问题，而本文主要涉及平移不变空间 的局部重构问题，其中定义一个线性平移不变空间( 见【4 】) 如下： y ，( 驴) _ 薹气驴。一七) ，荟i q l ， ，1 s p ( 3 1 - 5 对于离散的有限个采样点集xc 叻，m 】，所谓对信号( 函数) 的局部重构， 就是对任何区间【聊，m 】上的函数厂完全由 ，瓴) ：七z ) 进行决定，其中 xc 忉，m 】。有限个采样点集的局部重构在信号处理应用中有着重要作用，但局 部重构问题之前并未引起学术界足够的重视( 见【4 2 】) 。舢d r o l l b i 和g r o c h e n 谵( 见 【4 3 】) 对样条生成子空问的采样局部重构问题进行了讨论，而且下文还将对平移不 变空间的生成子进行研究平移不变空间y ，( 妒) 的非均匀采样集，在以函数为生 成子的情况下，进行局部快速重构，近来也渐渐地备受关注。此空间在小波分析、 多尺度分析等研究中均有应用。对于生成子函数妒的选择，之前很多学者采用 s i n c 函数作为平移不变空间的生成子，有其局限性，比如该函数的衰减速度以及 重构的计算复杂度问题。本文采用b 样条函数作为生成子，它具有对称性、紧 支性等优点。 3 2b 样条函数的特殊性质的及其在信号重构中的应用 样条函数是一些分段多项式，对一维空间而言，可以把样条函数的定义域分 割成若干个区间，在每个区间上是一个多项式。各个多项式在不同区间上的函数 第1 5 页共6 3 页 中山大学硕士学位论文 取点值称为结点。当然也可以考虑多维变量的情况。 最基本的样条函数称为b 样条函数，其中阶数为n ( n 为正整数) 的样条 函数可以通过诱导来定义，其定义如下： 而鼠，孢的定义如： 日2 q ( 3 2 - 1 ) 或+ 。 ) = 色母b ) 一吃。一f ) e o 渺( 3 2 - 2 ： ! 。乌色。一f 渺 由( 3 1 - 2 ) 式所定义的函数类鼠，咒称为b 样条函数，其中n 是函数卷积的 阶数。 下列六图分别是阶数不同的b 样条函数图像， 阶数n - 0 第1 6 页共6 3 页 中山大学硕士学位论文 则算子t 是有界的，其伴随算子丁定义如下 r 。：日_ 9 2 ( ) ，t 厂一 0 ，给定。则对任意彳苫0 , b 芑0 ，以下性质 成立 ( 1 ) 五妒) 膨是b e s s e l 序列，其上界限是b ，当且仅当 西( ，) sb b ，a e r 【o ，1 1 笔1 9 页其6 3 页 中山大学硕上学位论文 其实，可以证明，框架相对空i 司的基所具有的优势是能够降低噪音的污染。 在本文中，我们将采用平移不变空间的特殊性质以及具有紧支性的生成子来 解决采样的重构问题。我们想要从有限个采样点集f ( x ，) 中重构函数 厂o ) y ) ，其中x ；m ，m 】，对于此特殊重构，我们是采用框架理论以及生成 子的紧支性来推导的。结果算法显示在局部区间【m ，m 】重构函数厂o ) y ( 妒) 只 需要足够采样点取自x ，【m ，m 】，与频限函数重构相反。通过对比在不同样条空 间进行重构函数厂o ) y ) ，我们可以发现算法在去噪音效果上是有效可行的。 如果驴是一个连续函数，其紧支集是 - s ，s 】，即 s u p p q ，【- s ，s 】 为了方便起见，我们不妨假设s 是正整数，且伊( s ) 一0 ，从而可以定义平移不 变空间y 仞) ( 见【4 】、【5 】) 如下： y ) - fe l 2 ( r ) ：，o ) 一气妒o 一七) ，心) e 1 2 ( z ) ( 3 3 - 1 2 ) 彪 为了保证( 3 2 1 2 ) 的稳定性，我们假设生成子妒是稳定的，即存在一个常 数c 0 满足 c 1 i c l l t ： l l s c u c | l 。：( 3 3 - 1 3 ) 对所有的有限序列c - 瓴) 帽，变换算子妒( 一七) ，ke z 构成y ( 缈) 一个黎斯基 ( r i e s z ) 。从而可知，y ) 是r 僻) 的一个闭子空间。 y 佃) 空间的采样的问题是：给定一个点集x - 协，：j e z 的排列顺序 x ， o ，满足 a i i i i l 2s 黔。川，：s 口：，v fe v ( 9 ) 第2 2 页共6 3 页 ( 3 3 1 4 ) 中山大学硕士学位论文 其中采样点集满足上式就成为稳定的采样集。显然，如果上式成立，我们需要对 y ( 驴) 进行有效定义，以下引理保证了这一特性。 引理1 ：如果妒是连续的且满足条件。留m a x 珥。1 】l ，o + 七) i ，特别是如果驴是 连续的且是紧支撑的，则对所有x r ，存在一个函数墨y ( 驴) ，即 ，o ) 一 ，v ，y ) ，就称y ) 是再生核希尔伯特空间。 显然，函数鼍y ) 是可知的( 见【1 9 】) ，但是在此，我们可以不需要这些 函数。值得注意的是对核函数疋，上式的采样不等式可以改写成 彳：水，k ) 比s b i | ，i i ：，v ，嘞) ( 3 3 - 1 5 ) 即等价于集合 b ：j z ) 是y ) 的一个框架。 若u 是无限矩阵，表达式如下： u 弦一伊0 0 一七) ，其畔v ，七z 则y ) 中的采样问题可以用几种不同方法进行表示( 见【4 】) 。 引理2 ：如果伊满足引理1 的条件，则以下式子是等价的：、 1 、x 缸，：j z 】是y ( 妒) 的采样集 2 、存在正常数a ，b ，使得彳l i c l l 。：sl 陋k b | i c l l f 2 ，v c z 2 ( z ) 3 、再生核集合 ：j z 是平移不变空间y ( 伊) 的一个框架 ( 3 3 1 6 ) 注释：确定y ( 驴) 空间的采样集是有难度的，但假如生成子妒是b 样条函数，阶 数是n ，比如妒一一。，誓。，毒簟z 。，则文章( 2 ) 中的主要结论指出， 卜i ，i ll i ，；jt i ，i j + 1 引理1 成立的充要条件是连续两个采样点的距离如p 超o m x j ) 一6 1 。 3 4 对采样数据分析并给出重构算法 由引理2 可以引出几个常用的重构算法的方法。 第2 3 页共6 3 页 中山大学硕十学位论文 1 、线性代数方法 我们可以通过求解线性方程 c k q ( x s - k ) 目( x a z 、 ( 3 4 - 1 ) 的系数瓴) ，或者通过定义u 弦一9 0 j - k ) ，l z t ( ， 伪眉，从而可以得到简写 的线性方程式如下 u c 一厂l 。 ( 3 4 - 2 ) 2 、正定方程式 通常可以考虑上式线性方程的正定方程式( 见【1 0 】) 如下： u u c u f i ( 3 4 3 ) i z 该方法的优越性在于矩阵t ：u 可是z 2 ( z ) 的一个正定算子，进一步而言，如果输 入y 。，) 膨并不是真实值采样列厂y ( 伊) ，则重构函数厂一肥c t 妒( 一足) 相对 应的解系数c 一缈+ 【厂) 以u + ) ，满足最小平方误差问题。 荟卜厂槲。m i n ，荟卜j i l 吒) 1 2 ( 3 4 4 ) 3 、框架方法，引理2 ( 第三个条件) 表明可以采用框架算法来寻找重构函数， 其框架算子的定义如下 s f ( x ) 。荟 ，屹。荟厂也k 奴 其中s 是可逆的算子，逆算子的定义如下丐一s 一1 b ，j e z 。则重构的方法如 下： 荟 ，令i 荟厂o ，) 巧 ( 3 其实，我们可以观察得到，线性代数解方程和框架方法是等价的，通过定义 采样点向量的公式u c 一，i 工，则采样信号能量( 即采样点所携带的信息量) 厂y ( 驴) 是 膨f ，“) j 2 一 。：一 ，：一 ，： ( 3 4 - 7 ) 第2 4 页共6 3 页 中山大学硕士学位论文 且x 是采样集当且仅当如果u u 在z 2 ( z ) 是可逆的。 4 、迭代框架方法，在非均匀采样条件下，通常计算对偶框架是很难的，因此我 们可以采用迭代的方法来解决问题。自从r i c h a r d s o n l a n d w e b e r ( r l ) 的迭代方法 提出，其计算速度慢且需要对框架上下界的较为准确估算等缺陷，我们可以采用 框架的梯度变化来解决问题，而不需要其他附带条件，具有最优的收敛性且不需 要对参数进行估计。 在平移不变空间快速局部重构的结构性质中，下列引理虽然简洁，但在局部 重构函数厂y ) 上发挥的作用是极其重要的。其中，平移不变空间y ) 的生 成子是紧支性的。 引理1 0 ( 见【2 】) 、函数，y ( 驴) 限制在区间【m ，m 】，则，一彪q 9 ( 一七) 的系数 q ，k e 如一s ，m + s ) n z 决定了重构函数厂矿 ) 。 换而言之，函数，y ( 驴) 的局部快速重构只需要的点数m 一朋+ 签一1 个未知 系数q ，k e - s ，m + s ) n z ，通过维数的计算可知，我们只需要至少 m - - m + 荔一1 个采样点，这些采样点在区间胁，膨】上，从而就可以唯一确定系 数，而针对生成子的紧支界s 而言，重构区间m 一历的长度一般远大于s ，因而 附带的2 s 1 个系数等同于可以忽略的重复采样。 该引理给出了具有紧支撑生成子的平移不变空间的一个重要而又实用的理 论。即函数厂y ( 妒) 可以在任一单独的区间上被准确地重构，相反，频限函数的 局限性是其重构函数并不是有该区间的有限个采样点重构，但是只可以被这些采 样点逼近。该引理所体现出来的局部重构的性质是平移不变空间具有紧支撑的生 成子条件下的一个最主要结果。 由于平移不变空间的局部重构性质，重构函数完全是由系数决定的，根据以 上两个引理可知，平移不变空间函数，y ) 定义在区间【m o ，m ，】，则 肘+ s 一1 厂一yq e ( x 一七) 完全由系数气决定，其中k e 似。一s ，m ，+ s ) n z 。 k - 辱o - $ + l 从而，在实际应用中，我们主要通过计算上文给出的方法一和方法二来求解 第2 5 页共6 3 页 窆薯淄藕马羹；确馕垂薹冀霎希冀雾二霎茎塞塞雨兰耄羹 萎孽懂星篓蓁乔些冀蔷些! 冀薹萋薹i 羹萋囊；雾冀羹= 蓁 薹雾薹：譬薹季薹奏萎j 冀甭妻雾蠢篓薹耄薹茎薹菱羹。 薹鍪善囊蓁薹薹霎j 霸雾蒌耄蓁萋耄霎蓁蚕窭薹薹；薹蠢 ! 羹= 雯囊蠢霎霪善趔雾霎萋；妻蓄型雾萋霎型窭霎二 一壅霎譬一薹羹；薹雾雾茎亏i 尊雾鎏熏塞薹主霎鏊墓菱 薹薹墼羹萋鬻葡箭篱鬈奔垂蠢邕：丛醒萋蠹睁塞| 薹萋主；萋 蓁b 蓁薹薹霎爹妻茎i 誊萋萎蓁弱 蚕萋；墓羹f 霎冀蠢k 羹；蓁萋i 霎薹；霎薹萋蓁羹薹主霎 妻冀冀萋蒂型i 孝萋冀萋霸鍪鼙薹蓄一芝萋蠢笺享蠹：霪季雾丘董 譬蓁萋羹蓁薹哪萎；蒌囊霎蓁耋：霎冀妻薹蚕蓄鲢垂i 。霎 萎妻萋萎垂蓁囊i 囊冀霪蚕攀塑塑霎声羹蓁錾鬟；耋l 霎 委茎重霎薹攀蓁j 囊霎霉磊霾鬟雾蓁蓁萋茎霾：霎薹雾 囊薹霎；囊羹羹雾誓羹 i 萝i 4 图分别是对含有噪音条件下的 非均匀采样的模拟信号进行重构，重构的采样点集的区间是【0，481，而 为了防止边界效应，给出的局部重构区间是【4，40】，如图342所示，采用不同阶数的生 x 中山大学硕士学位论文 图3 4 1 、模拟信号非均匀采样 1 02 03 04 0 生成子的阶数n = 3 的重构图像 n = 5 图3 4 2 、模拟信号快速局部重构 n = 4 第2 7 页共6 3 页 n = 6 中山大学硕上学位论文 移不变空间中重构模拟信号，产生的边界效应相对不明显，而生成子阶数是其他 形式的，产生的边界效应明显，而且，对含有噪音的模拟信号进行去噪化处理， 再采用平移不变空间进行重构，通过相同阶数的生成子所对应的各自几幅图可以 看出，边界效应的效果降低。 第2 9 页共6 3 页 中山大学硕士学位论文 第四章数值模拟实验数据分析 日本神户大学冈村均教授于2 0 0 1 年在美国科学杂志上发表论文( 见【3 5 】) 称， 从老鼠实验中发现，老鼠的皮肤粘贴组织的纤维细胞里有大量的生物钟基因，研 究表明哺乳动物的皮肤组织里也存在生物钟，且与脑内生物钟步调致。其作用 机制相同。包括人在内的各种哺乳动物的生物钟结构与机制大致相同。另据日本 科学家( 见【3 7 】、【3 8 】) 以及犹他大学的研究者发现，人类生物钟的准确周期是2 4 小时1 8 分，与时钟具有一定的差距，这一发现对诊断由生物钟紊乱导致的各种 疾病有着重要作用。 本文主要对数据库中基因表达式的周期探针模拟信息进行研究，采用模拟信 号周期为2 4 小时，通过f i 叩方法与l s 方法检测含有高斯噪音的余弦模拟信号 的频率，其采样点数是2 4 ，对比两种方法各自的优点和局限性，以及对局限性 进行修缮，达到尽量较好的检测效果。 首先，本文对理想状况条件下的模拟信号进行采样，然后进行检测其周期性， 理想模拟信号是指在实验过程中，采样得到的数据比较充足，且采样点的时间间 隔是均匀的情况下的余弦函数模拟信号。分别用兀叩方法以及l s 方法对模拟 信号进行检测周期性，最后对比计算得两种检测周期的精确性。相对误差计算方 法如下： 纠们坠型， 一 r 其中z 是模拟信号周期真实值，z 是检测周期的测量值。 4 1 均匀采样条件下模拟信号的周期检测 4 1 1 、均匀采样下用l s 方法和m 方法检测周期 第3 0 页共6 3 页 翼坠镐掣醇孔塞一囊鬻囊薹薹蓁霉羹奏萋篓薹妻 冀薹妻雾薹冀囊薹；蓁羹冀羹冀黧蠢；鬈鬟薹鬟冀薹囊， 囊霎鏊n 壁雾雾霎萎二萋霎囊薹囊羹薹妻囊；鬟霪囊篓 雾霾霎羹；垂羹囊帝兰蓁薹妻i 茎霎耋奏鬟；茎蠹羹；鎏 羹嘉妻霪；囊篓冀垂蓁雾羹薹篓璧；藏叛墼雨羽墅些嚣； 蓁鬟 x 中山人学硕士学位论文 霎 足 u n i f o r md a t a 莹 罡 l o m bp e d o d o g r a m 图4 1 3 、均匀采样下的周期性模拟信号，以及经过l - s 方法检测并绘制的 频谱图和时域图。 如图4 1 2 所示，可以从时域图( 右下第二幅图) 直观看出，峰值所对应的 时间序列点是2 5 6 小时，相对误差是6 6 7 ，而图4 1 3 中采用l - s 方法检测的 模拟信号的周期是2 4 3 9 小时，相对误差是1 6 3 。从数值模拟实验数据说明， 在均匀采样下模拟信号的周期检测，l - s 检测法和f f t 检测法在对余弦性质的模 拟信号数据的处理效果上是几乎等效的。 4 1 2 均匀采样下，先过滤处理，再用n 呵法检测周期 第3 2 页共6 3 页 中山大学硕士学位论文 匀采样的模拟信号进行周期检测。 我们知道，f i 叩算法的一个局限性就是f f r 算法需要均匀化的时间序列集， 但是，由于各种原因，比如实验过程中实验仪器测量误差和生物信息的内在机制 局限，导致从生物实验中采集得到的时间序列往往是非均匀的采样集。而采用 i ，s 方法检测到的模拟信号的周期性，前后相对误差率保持不变，说明了该方法 对时间序列的非均匀的容忍行是比较好的。但是，如何对非均匀采样数据进行处 理，进而采用f i 呵方法检测模拟信号的周期呢? 在下文中，可以先对非均匀采 样集进行处理，即分别采用三次样条均匀化插值法和平移不变空间的局部重构发 进行均匀化处理，再进行h 呵方法检测模拟信号的周期性。 4 2 2 非均匀采样条件下，先插值后过滤和先过滤后插值处理，再 用n 叩方法检测周期 f 鸭t l m e r p o i a t i o n s o n d f n e r p e r i o d ( h o u r c y c i e ) 图4 2 2 、采用上文提及的先捶值，再过滤的全局过滤法对模拟信号进行处理， 使模拟信号的采样集均匀化和去噪化，用f 兀方法对模拟信号检测周期。 第3 5 页共6 3 页 中山大学硕士学位论文 u n u n i f o r md a t a f i r s t f i l t e r s e c o n d i n t e r p o l a t i o n p e r i o d ( h o u r c y c l e ) 图4 2 3 、采用上文提及的先过滤，再插值的局部过滤法对模拟信号进行处理， 使模拟信号的采样集去噪化和均匀化，用h 叮方法对模拟信号检测周期。 第3 6 页共6 3 页 _ i o o k i 口；o l 囊蓁鋈羹薹雾鬟羹雾羹雾羹霾雾羹薹蓁蓁冀羹雾篓 瓣惜 ；蓁窭耄霪薹羹 囊雾妻耋 薹；善善i 霎； ；囊雾i妻鍪囊囊辇谴茎q 蓁霎翥i 雾堑l 羹鬟粪冀蚕羹薹蹙藿熏重! 薹霎羹霞彝薹姜羹嚣篓蓑蓑。黧萋| 蒌羹篓毳善委蓬氢霾霪夔 篓篱雾霎耋鼋蠢蓬薹蹩冀羹霞妻委妻囊囊；孺蠢羹姜霎建霉奏鍪妻嚣妻蚕萋喜兰耄萋薹羹薹霪蓥冀雪， i 萋囊囊l 鋈冀登蒌萋萋鼗蠢冀霎萋鼙篓 霎蓉薹薹羹鍪鍪篓霾墓萋孽差妻篓薹鎏麓霎j 薹萋霎萎薹 一萋州羔萋圣；蠹茎奏薹羹薹一萋奏羹蓉鋈霎菱羹j 嚣薹霉鏊 篓霾萋囊薹蕃蠹当霉墓型垂薹葵蒌霎羹羹菱薹萋鍪薹；霞霎 篓奏冀萋蚕翼羹薹霎篓妻要誊藿蒌墓羹薹霉羹萋羹墓霪薹耋 琴萋矍霎薹耋蒌蠹萎薹霎冀囊鋈萋蚕霪萋萋雾j 童鍪霪萋 薹蒌霎娄薹璧震薹蓁蓁蓁霎蚕冀蓁一蓁妻奏。 一霎叁常圭鏊囊霉囊羹溪墓鬟囊雾耋萋薹萋霪鋈萋 耄冀薹萋蒸羹薹蠢薹薹! 荔薹妻蠹霾羹餐霎篓薹霎霪篓 鬟薹霎囊篓熏薹妻二蠢篓雾善麦薹鍪雾篓i j 【= 篓霎墓薹妻冀薹 蓁囊薹霎菱藿萋囊萋羹萎；鋈霎霪萎薹囊要霪矍墓篓一辇羹 鬟耄薹；羹蕊鬻薹誉以萋薹囊霉羹薹薹霪茎薹蠢鍪；妻萎鏊囊 中山大学硕上学位论文 图4 3 1 、采样数据丢失下，对采样集进行过滤和均匀化插值处理图 图4 3 2 、数据丢失的采样集经过滤波和插值处理后，采用h 吓方法检测周 期的频域图和时域图。 如图4 3 1 所示，对缺失的采样集进行过滤和插值处理，处理后的模拟信号 采用h 叮方法检测周期，从图4 3 2 的第二幅图可以看出，检测到的模拟信号的 周期是2 4 ( h o u r ) ，检测效果非常精确。说明在信号遗失数据较少时，采用该处理 方法，检测周期较为精确。 第3 9 页共6 3 页 中山大学硕上学位论文 4 3 2 采样数据丢失下，直接用l s 方法检测周期 墨 砉 山 l l i e0 f d 龇a o ，) 乱 葛 邕 司 e 占 z 詈 山 图4 3 3 、对数据丢失的采样集，直接采用l s 方法检测模拟信号周期的频 谱图和时域图。 如图4 3 3 所示，采用i 广s 方法检测模拟信号，无需对缺失采样集进行处理， 检测的周期是2 4 3 9 ( h 叩r ) ，其与真实值的相对误差是1 6 3 ，对比试验结果可以 看出，该检测结果与图4 1 3 中所检测的均匀采样的模拟信号的周期是一样，相 对误差没有保持不变。 通过上述的实验数据可以发现，虽然f f r 方法在检测丢失数据的模拟信号 的周期性时，对数据丢失的容忍行是有限的。然而经过插值处理以后，弥补实验 数据的丢失，再采用f i t 方法检测模拟信号的周期，检测到的周期是2 4 ( h o u r ) ， 相对误差不明显，这说明插值处理以后的效果显著，从图4 3 2 观测知，其频谱 图的周期性显著。但是，众所周之，插值过程有事会造成难以估量的误差，所以 在周期检测中存在风险。同时，最后试验还表明，l 广s 方法检测模拟信号的周期， 对数据丢失的容忍性要比h t 方法好。 第4 0 页共6 3 页 中山大学硕士学位论文 荀 砉 i x o v o d a p i n gd a t a l o m bp e f i o d o g r a m o c o 乱 哥 邕 司 e 古 z 荀 砉 正 图4 4 2 、叠加的双周期模拟信号，采用l s 方法检测时间序列的周期性 如图4 4 1 所示，采用h 呵方法检测叠加周期的模拟信号的周期，从相应的 频域图( 右上第二幅图) 可以观察出，频谱图有两个显著的波峰，检测效果明显。 从相应右下第四幅图可以看出，检测得到的两个显著性周期分别是2 3 4 ( h o u r ) 和 5 1 2 ( h o u r ) ，检测的相对误差率分别是2 5 和6 6 7 ，检测效果理想。而图4 2 2 是采用l - s 方法检测叠加周期的模拟信号，从相应的频域图( 右上第二幅图) 可 以观察出，频谱图有也两个显著的波峰，检测效果较明显。从右下第四幅图可以 看出，检测得到的两个显著性周期分别是2 5 6 ( h o u r ) 和4 7 6 1 9 ( h o u r ) ，检测的相对 误差率分别是6 6 7 和7 9 ，检测效果也很理想。 4 5 非余弦性质的周期信号用l s 方法和f 兀 方法检测周期 i 广s 方法检测余弦性质的模拟信号，较f f r 方法更为优越，但是，对于非余 弦性质的周期信号，是否也具有检测周期的良好性质，有待于下文实验数据进行 分析，下文将采用太阳黑子的周期采样集来探讨i ，s 方法对非余弦性质的周期信 号检测的效果。 第4 2 页共6 3 页 中山大学硕士学位论文 第五章周期性检测各种方法的总结分析 l s 方法适用于周期模式的时间序列分析，在生物信息学中，对于基因的时 间序列表达式的周期检测，有着f f r 方法无法比拟的优势