（控制理论与控制工程专业论文）基于小波理论的木工机床状态监控及故障诊断仿真.pdf

摘要 本文旨在设计一种基于木工机床等复杂控制对象监控器。针对某种木工机床，应用 小波理论及逆向建模方法，对信号的去噪及故障诊断进行计算机仿真，并提取有用的状 态特征量，现场进行实验分析，从而在硬软件设计及系统实现上进行了深入浅出的研究。 f 在木工机床的故障检测与诊断领域中对于平稳随机信号的处理，采用傅立叶变换可 以具有足够的精度，但傅立叶变换难以全面反映非平稳过程的时变特性信号。为解决这 一问题，我们引进小波变换以其强有力的时频分析能力解决了这一难题。， 我们首先使_ l jm a t h w o r k s 公司的m a t l a b ：l 具软件，利用其强大且方便的数据处 理能力及小波工具箱进行了过簋熟笾基。从而在理论上证明了：1 小波理论对平稳信号 及非平稳信号的消噪处理比传统的傅立叶分析更优越。2 应用小波理论能将时域和频域 结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱。在信号处理过程中，尤其 是对非平稳信号的处理中的任意时刻附近的瞬变信号的分析，都具有很强的分辨能力。 然后，我们在现场对砂光机进行实验，利用振动及红外线温度传感器现场实时采集信号， 通过a d 采样卡送入计算机中，采用逆向建模的新方法来消除传感器零漂及a d 转换的 非线性，再以数据文件形式保存，然后在m a t l a b 中调用数据文件，应用小波函数及 工具箱对其进行处理分析，经过大量的实验及数据分析发现在不同的故障状态f ，特征 量有明显变化。从而对现场故障能做出准确判断。 关键词：木工机床，小波理论，小波包，时频分析，m a t l a b ，、击f 真，逆向建模 、锱晦够兽9 a b s t r a c t t h i si s p a p e ra i m sa td e s i g n i n gak i n do f m o n i t o rc o n t r o l l e rf o rc o m p l i c a t e dc o n t r o l o b j e c t s o nw o o d w o r k i n gm a c h i n et 0 0 1 w ea p p l yw a v e l e tt h e o r ya n di n v e r s em o d e l i n gt o s o m ew o o d w o r k i n gm a c h i n et o o la n dp u tu pc o m p u t e rs i m u l a t i o nf o rw i p i n go f fy a w pa n d f a u l td i a g n o s i s t h e nw ed i s t i l ls o m eu s e f u lc h a r a c t e rf o ra n a l y z i n go nt h es p o t ，t h e r e b yt h e d e s i g n i n go fs o f t w a r ea n dh a r d w a r ea n dt h er e l e v a n ts y s t e mi m p l e m e n ta r ea l s o r e s e a r c h e d d e e p l y a p p l y i n gf t pt r a n s f o r m a t i o nm a ya c q u i r ea d e q u a t ep r e c i s i o nf o rd e a l i n gw i t hs t e a d y v a r i a b l es i g n a li nf a u l td i a g n o s i so f w o o d w o r k i n g m a c h i n et o o lf i e l d b u tf t pt r a n s f o r m a t i o n c a n tc o m p l e t e l yr e f l e c tt i m ec h a n g ec h a r a c t e r i s t i co f s i g n a li nu n s t e a d yp r o c e s s f o rs o l v i n g t h i sp r o b l e mw ea d o p tw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o nt or e s o l v et h i sp r o b l e mb e c a u s eo fi t s s t r o n g t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i sc h a r a c t e r i s t i c f i r s tw eu s em a t l a bt o o ls o f t w a r ef r o mm a t h w o r k sc o m p a n yt o p u tu pc o m p u t e r s i m u l a t i o nb e c a u s eo fi t s s t r o n gc o n v e n i e n td a t ah a n d l i n gc a p a b i l i t ya n dw a v e l e tt o o l b o x t h e r e b yo nt h e o r yp r o v e ：1 w a v e l e tt h e o r ym o r ee x c e l l e n ti nw i p i n go f fy a w po fs t e a d y s i g n a la n du n s t e a d ys i g n a lt h a nc o n v e n t i o n a lf t pt h e o r y 2 w ec a nu n i t et i m ef i e l dw i t h f r e q u e n c yt o d e s c r i b et i m e - f r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i co fs i g n a la n dc o m p o s et i m e - f r e q u e n c y c h a r to fs i g n a l i nd i s p o s a lo f s i g n a lp r o c e s s ，e s p e c i a l l yi nd i s p o s a lo fu n s t e a d ys i g n a lp r o c e s s i t s a b i l i t yi na n a l y z i n gt h et r a n s i e n ts i g n a lo fn e i g h b o r i n ga n yt i m ei sv e r ys t r o n g a n dt h e n w ep u tu pe x p e r i m e n t sf o rg r i n d i n gm a c h i n e r yo nt h es p o t f i r s tw ec o l l e c ts i g n a l sb ys h a k e a n di n f r a r e dt e m p e r a t u r es e n s o r , t r a n s f e rt h e mt o c o m p u t e rb ya i di n s t r u m e n t ，d i s p e lz e r o e x c u r s i o no f s e n s o ra n di n - l i n e a r i t yo f a 1 9t r a n s f o r m a t i o n ，s a v et h e mi nt h ef o r mo f d a t af i l e t h e nt r a n s f e rt h e mt om a t l a b ，a n a l y z e a n dd i s p o s eb yw a v e l e tf u n c t i o na n dt o o l b o xb yl o t o fe x p e r i m e n t sa n dd a t aa n a l y s i sw ef i n dd i s t i n c tc h a n g eo ft h ec h a r a c t e ri n d i f f e r e n tf a u l t s t a t e s c o n s e q u e n t l yd i s t i n g u i s ha c c u r a t e l yt h ed i f f e r e n tf a u l ts t a t e so nt h es p o t k e y w o r d ：w o o d w o r k i n gm a c h i n et o o l ，w a v e l e tt h e o r y ，w a v e l e tp a c k e t ，t i m ea n d f r e q u e n c ya n a l y s i s ，m a t l a b ，s i m u l a t i o n ，i n v e r s em o d e li n g i l 基于小波理论的木工机床状态监控及故障诊断 1 概论 1 1 国内外木工机床的状态监控及故障诊断现状、发展及趋向 现代生产机械的自动化水平目益提高，系统规模日益增大，其复杂性也迅速增加。 人们迫切希望提高这类复杂设备的可靠性和可维护性，而状态监控与故障诊断技术为其 开辟了一条崭新的途径。目前，我国林业与木工机械行业的机电一体化水平较低，如能 将状态监控技术与故障诊断技术应用到该领域，对提高该领域的技术水平和发展木材加 工生产具有重要的理论意义和应用价值。 随着经济的发展及竞争的全球化，企业对劳动生产率及产品质量的要求越来越高， 各种生产设备日趋向大型、高速、连续和自动化发展。在术制品制造和木材加1 ：行业中 也是如此。现代化的生产设各一旦发生故障且没有被及时发现，轻者产生大量次品，重 者损坏设备，甚至造成人身伤亡事故。因此，对各种木工机床的运行状态进行自动监控， 及时发现和处理设备的故障，对于提高产品质量、保证设备安全、避免人身伤亡事故都 是非常重要的。 目前国外的木工机床与控制设备已进入全新的自动化、网络化、智能化阶段，基本 上可与其它行业同步，由于我国木工机械起步晚在各个方面都存在不足之处。当前我国 木工机械中的数控机床与控制设备共使用了数十种不同型号、地区及厂家的国内外数控 系统其中应用较多的国外系统为f a n u c ( 日本) 、s i e m e n s 系统( 德国) 、a b 系统( 美国) 、 f a g o r 系统( 西班牙) 及d y n a p a r h 系统( 美国) 等，应用较多的国内系统为m n c 8 6 2 、8 6 6 系统( 航天) 、s g 5 3 1 、5 3 2 系统( 兵器) 、m t c - 系统( 上海) 及k e r n e l 一8 0 0 0 系统( 达特) 等。这些系统所配置的木工机床与装备约三分之二处在生产第一线的关键工序和部位， 担负着国家外贸出口任务及内销配套等重要订货。 我国木工机床数控系统及可编程序逻辑控制器( p l c ) 的普遍应用、推广及普及有 一个过程。总体讲，应用状况是不平衡的。由于引进机电一体化装备比较集中、自身力 量较强、消化吸收国外先进技术较快，因此木工机床数控系统及p l c 技术应用、系统的 功能开发以及技术改造和故障诊断及维修方面做的比较好。但从全国范围来看木工机床 数控系统及p l c 技术应用、系统的功能开发、资料的消化与吸收、故障诊断与维修方面 的认识与技术水平仍有待提高。 木工机床数控系统的故障种类从性质上可分为两大类，即硬( 件) 故障与软( 件) 故障，木工机床数控系统及p l c 系统以微处理器为基础，以大规模集成电路为标志，因 此在维修技术上与传统的机械装备维修内容大不相同，诊断与检测技术己形成了“数据 域”概念。由此而产生数字电路分析仪器，如逻辑分析仪、微系统故障诊断仪、动静态 故障测试仪及逻辑状态仪等，它们可对数字电路中大量的频率为几兆赫兹( m h z ) 的“数 字流”信号进行分析、检测和故障诊断。 木工机床数控系统的故障检测中目前存在如下的问题与难点：首先，木工机床数控 系统型号及种类不仅繁多，而且由于历史原因，系统的开发随元器件的日益更新换代而 不断推陈出新造成品种、规格型号复杂、使检测及维修困难。由“时域”和“频域” 测试，转换为“数域”测试是数字电路的基本特征，因此，作为机械维修工程人员原有 l 东北林业大学硕士学位论文 的知识结构已不适应目前要求。急需要提高现场维修水平，一方面要加大对测试手段的 投入，更重要的是维修工程人员的知识更新。 其次，由于资金短缺造成检测手段更新的困难。现场故障检测所应用的测试仪器应 结构紧凑、体积小、重量轻、价格低，这样才能为用户所接受，此外在性能上应满足8 0 一9 0 以上的芯片检测，因此在这方面应做大量的调整、研究、对比工作。 由于数字电路的故障信号的一次性( 不重复) 瞬时出现特征，“扑捉”时异常困难， 通常传统的测试手段己不适应，因此更新中需要有所投入。 另外由于对木工机床的故障检测新方法的专题研究不够，造成数控机床的检测及维 护不准确、费用高等缺点。因此，急需在该方面进行研究及开发。 故障诊断理论和方法分类虽然很多，但可归纳为2 类：基于非模型的故障诊断理 论和方法，如信号空间特征、模态和信息处理方法的诊断理论与方法；基于知识推理、 人工智能、专家系统的诊断方法；基于模式识别和神经网络的诊断方法。基于系统数 学模型和现代控制理论、方法的故障诊断理论和方法，也包括相互间的结合和集成。 现代故障诊断包括3 方面的主要内容：故障检测；故障分离( 诊断) ；故障修 复。统称为故障的检测、分离和修复( f d i a ) 。故障诊断系统的性能：及时性( 速度) ； 敏感性和鲁棒性；误报率、漏报率、错报率和确诊率；全面性( 针对所有类型故 障) 。在进行故障检测之前，需做以下假设：系统中的故障导致系统参数有变化，如故障 使输出变量、状态变量、残差变量、模型参数、物理参数等其中之一或多个有变化。这 是所有故障诊断方式都必须遵守的假设条件。故障检测是指确定系统是否发生故障的过 程，即对一非正常状态的检测过程。通过不断监测系统可测量变量的变化，在标称情况 下，认为这些变量在某一不确定性下满足一已知模式，而当系统任一部件故障发生时， 这些变量偏离其标称状态。通常根据系统输出或状态变量的估计残差的特性来判断故障。 目前研究的目标是检测的及时性、准确性和可靠性及最小误报和漏报率 现代故障诊断的发展方向是与容错控制、冗余控制、监控控制和余度管理等可靠性 系统设计相结合的，是实现主动( 视情) 维修策略、监测控制、容错控制、自治控制、 可信性系统等设计中的一个关键。 诊断的鲁棒性是所有故障诊断理论、方法和系统所面临的重要问题。鲁棒故障诊断 ( r f d ) 概念首次在基于模型的故障诊断方法中提出。目前能查到的鲁棒故障诊断研究都 是基于控制系统数学模型的。特别需指出的是在整个机械系统中，包括液压系统、液压 控制系统还没有见到鲁棒故障诊断的研究报道。 基于模型的鲁棒故障诊断研究始于8 0 年代初。经过十几年的研究和发展，提出了不 少方法，也进行了一些应用研究，国内一些学者也曾在r f d 方面做过有益的研究。总的 来说，r f d 还是一新研究方向，有待深入研究。 基于人工神经网络的故障诊断，国内外已经在这方面做了许多研究。虽然ann 在 网络拓扑结构上具有原则鲁棒性，但其b p 学习算法是非鲁棒性的。就目前能查到的资料 看，对鲁棒学习算法的研究刚刚开始，提出b p 算法的非鲁棒性问题和解决途径，但还没 有有效的鲁棒算法，对鲁棒故障诊断的研究尚未见到文献报道。 传统的状态监控及诊断系统使用傅立叶分析对信号进行滤波消噪及信号的模式特 2 基于小波理论的木工机床状态监控及故障诊断 征的分析具有很大的局限性，而且效果不理想，新涌现出的小波理论弥补了其不足之处。 应用小波变换的时频特性对信号进行滤波消噪及对信号的模式特征的判断及提取，不但 能较好的滤除非平稳信号中的噪声部分，还能够准确的分析有用信号的发展趋势，抑制 信号中的某一频段等，从而能及时，有效的对系统的工作状态进行判断。克服了傅立叶 分析在这一领域应用中的不足。是当今状态监控及故障诊断领域最为流行的理论及研究 方法。 以上各种先进的状态监控理论与算法在木j = 机床方面的应用远远落后于其他行业。 和金属切削机床相比，木工机床有转速较高，所加工的材料为各向异性等特点，由于木 工机床所具有的这些特性，尤其是木材加工企业的生产环境较为恶劣，影响有用信号的 提取，大量故障信号的模式特征是突变的信号。这些都决定了传统的理论与算法都不能 满足要求。因此，有必要做进一步的研究探讨。 1 2 课题的目的、意义及理论与技术经济价值 本课题主要研究木工机床、木制品加工中心、木材加工与人造板生产线运行状态的 自动监测理论和方法；探索可能用于木工机床状态监控的有用信号及其提取方法；寻求 用于噪声滤波和信号增强的数字信号处理算法：提取常用水j 一机床正常运行和各种故障 运行状态的特征参数：建立术工机床状态监控的模式分类算法。在以上研究的基础上， 组成常用的木工机床状态监控系统。 根据国内外的相关资料，各种木工机床运行中刀具完好程度的动态监测研究。对术 工铣床、木工刨床、木工圆锯及木工带锯在加工过程中不同运行条件下床身各部位的振 动、温度变化和木工刀具完好程度对所加工的产品质量的影响进行的大量实验，并对实 验结果进行的分析研究，得到了不少有用的结论。如：当刀具发生缺陷时，会引起刀具 温度发生变化，而且床身各部位的振动的频率也会发生改变，而且这种变化和刀具的缺 陷种类及刀具转数和刀具刃数有着较高的相关系数。为本课题的完成打下了一定的基础。 首先，在理论上，我们在计算机上动态模拟了现场可能的原始振动信号及噪声信号， 利用m a t l a b 强大的数据处理能力，应用当前流行的小波理论对含噪信号进行滤波消噪， 对消噪后的信号进行时频分析，由于小波理论特有的优于傅立1 1 | 变换的时频分析特性， 在消噪及信号分频后的模式分辨率等均产生理想的效果。从而理论上验证了方案的可行 性。 然后。在实践中， 我们分别在正常状态和各种故障状态下，对常用木工机床中的 砂光机运行过程中的刀具温度、各部位产生的三维震动信号进行测量分析，从中筛选出 可用于木工机床状态监控的有用信号。 由于木材加工企业的生产环境较为恶劣，有可 能影响振动信号的提取。我们应用小波理论对采样含噪信号进行滤波后进行分析，产生 了很好的效果。( 3 由于传感器零漂及a d 采样板的非线性都影响采样信号的保真性，于 是我们应用一种新的方法，逆向建模方法对信号进行还原，也收到了理想的效果。 由于有些故障信号的模式特征是突变的信号，应用传统的傅立叶分析的频谱分析不能反 映出其模式特征，于是我们应用小波理论的时频特性对信号进行分频，实践证明，经小 波理论分析的信号，对故障的模式特征分辨率更高，更准确。 3 东北林业大学硕士学位论文 在以上研究的基础上，组成的状态监控系统和以往的状态监控及故障诊断系统相比， 该系统具有以下优点； ( 1 ) 传统的状态监控及诊断系统使用傅立叶分析对信号进行滤波消噪及信号的模式特征 的分析具有很大的局限性，而且效果不理想。本系统应用小波变换的时频特性对信号进 行滤波消噪及对信号的模式特征的判断及提取，不但能较好的滤除非平稳信号中的噪声 部分还能够准确的分析有用信号的发展趋势，抑制信号中的某一频段等，从而能及时， 有效的对系统的 ：作状态进行判断。克服了傅立叶分析在这一领域应用中的不足。 ( 2 ) 课题的采样软件使用了v i s u a lb a s i c6 0 使该系统的开发周期大大的缩短。并应 用了m a t l a b 5 3 软件利用其强大的数据处理能力对该系统首先进行虚拟仿真，从而在理 论上证明其可行性。然后在现场实际实时对采集信号进行处理分析都有较好的效果。此 外由于m a t l a b5 3 优异的开放性及通用性，。从而使后续的开发人员的进一步研究工作 更易进行。 该系统在林业自动化这一领域的应用具有比较广阔的前景。预计使系统对常见木工 机床故障运行状态( 木工铣床铣刀崩刀、木工刨床刨刃缺损、木工圆锯崩齿和带锯崩齿、 木工带锯的裂纹、跑偏等) 的正确辩识率有所提高。 4 基于小波理论的木工机床状态监控及故障诊断 2 小波分析的基本理论 2 1 小波分析1 2 0 i 1 2 1 i 小波分析方法是一种窗口大小( 即窗口面积) 固定但其形状可改变，时间窗和频率 窗都可改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间 分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为数学显微 镜，正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性。 小波分析是调和分析这一数学领域半个世纪以来的工作结晶，已经和必将广泛地应 用于信号处理、图象处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、c t 成 像、机械故障诊断与监控等科技领域。原则上讲，传统上使用傅立叶分析的地方，都可 以用小波分析取代。小波分析优于傅立叶变换的地方是，它在时域和频域同时具有良好 的局部化性质。 设v ( t ) l 2 ( r ) ( l 2 ( r ) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ，其傅立 叶变换为v ( ) 。当v ( u ) 满足允许条件( a d m i s s i b l ec o n d i t i o n ) ： c c 吩牛针。o 时，我们称v ( t ) 为一个基本小波或母小波( m o t h e rw a v e l e t ) 。将母函数i l ，( t ) 经伸缩和 平移后，就可以得到一个小波序列。 对于连续的情况，小波序列为 甲时( ，、：毒彳甲( 尘生、 ah r a 壬n h 口 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于离散的情况，小波序列为 甲“( ，) = 2 叫地甲( 2 - 。t 一七) j ，k e z 对于任意的函数f ( t ) l 2 ( r ) 的连续小波变换为 哆( 口，6 ) = = i 口i 。”p ( f ) w ( t - 。b ) d t 其逆变换为 邝，2 击痧啪c 等，蝴 小波变换的时频窗口特性与短时傅立叶的时频窗口不一样。其窗口形状为两个矩形 b a h v ，b + a 掣 木 ( o a ) a ，( uo + a v ) a ，窗口中心为( b ，uo a ) ， 东北林业大学硕士学位论文 时窗和频窗宽分别为a v 和、l j a 。其中b 仅仅影响窗口在相平面时间轴上的位置， 而a 不仅影响窗e l 在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。这样小波变换对不同的频率 在时域上的取样步长是调节性的，即在低频时小波变换的时间分辨率较差，而频率分辨 率较高；在高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这正符合低频信号 变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。这便是它优于经典的傅立叶变换与短时傅立叶变 换的地方。从总体上来说，小波变换比短时傅立叶变换具有更好的时频窗口特性。 小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓。它自产生以来，就一直与傅立叶分 析密切相关。它的存在证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析，二者是 相辅相成的。两者相比较主要有以下不同： ( 1 ) 傅立叶变换的实质是把能量有限信号f ( t ) 分解到以 e ) 为正交基的空间上去： 小波变换的实质是把有限能量信号f ( t ) 分解到v 。( j = l ，2 ，j ) 和v j 所构成的空间上 去。 ( 2 ) 傅立叶变换用到的基本函数只有s i n ( c o t ) ，c o s ( c o t ) ，e x p ( i a g ) ，具有唯一性；小波分析 用到的函数( 即小波函数) 则具有不唯一性，同一个工程问题用不同的小波函数进行分 析有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析应用到实际中的一个难点问题( 也是 小波分析研究的一个热点问题) ，目前往往是通过经验或不断的实验( 对结果进行对照分 析) 来选择小波函数。 ( 3 ) 在频域中，傅立叶变换具有较好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单 的确定性信号，傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式。例如， s i n ( c o l l ) + 0 3 4 5 s i n ( a 2 ，) + 4 2 3 c o s ( 0 3 f ) 但在时域中，傅立叶变换没有局部化能力，即 无法从信号f ( t ) 的傅立叶变换f ( c o ) 中看出f ( t ) 在任意时间点附近的性态。事实上， a f ( c o ) d o a 是关于频率为的谐波分量的振幅，在傅立叶展开式中，它是由f ( t ) 的整体性 态所决定的。 ( 1 ) 在小波分析中，尺度a 的值越大相当于傅立叶变换中f o 的值越小。 ( 2 ) 在短时傅立叶变换中，变换系数s ( 石，t ) 主要依赖于信号在【t 一8 ，t + 6 片段 中的情况，时间宽度是26 ( 因为6 是由窗函数g ( t ) 唯一确定，所以26 是一个定值) 。 在小波变换中，变换系数w r ( a ，b ) 主要依赖于信号在 b - a 1 i ，b e a v 片段中的情况， 时间宽度是2 a 掣，该时间宽度是随着尺度a 变化而变化，所以小波变换具有时间局部 分析能力。 ( 3 ) 若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅立叶变换不同之处在于：对短时傅 立叶变换来说，带通滤波器的带宽f 与中心频率f 无关；相反，小波变换带通滤波器 的带宽f 则正比于中心频率f 。即 6 基于小波理论的木工机床状态监控及故障诊断 q = 等= c c 为常数 亦即滤波器有一个恒定的相对带宽，称之为等q 结构( q 为滤波器的品质因数，且 钞訾 2 2 常用小波函数【2 3 卜【2 8 】【5 6 i 与标准傅立叶变换相比，小波分析中所用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数 ( x ) 具有多样性，但小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题是最优小波基的选 择问题，这是因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前主要是通过 用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，并因此选定小 波基。 根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，这些标准通常有： a a ( 1 ) v 、甲、中、o 的支撑长度。即当时间或频率趋向无穷大时，v 、甲、中和从 一个有限值收敛到0 的速度。 ( 2 ) 对称性。它在图象处理中对于避免移相是非常有用的。 ( 3 ) k u 和o ( 如果存在的情况) 的消失矩阶数。它对压缩是非常有用的。 ( 4 ) 正则性。它对信号或图象的重构获得较好的平滑效果是非常实用的。 但在众多的小波基函数( 也称核函数) 的家族中，有一些小波函数被实践证明是非 常常用的。 h a a r 小波 h a a r 函数是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，同时也是最 简单的一个函数( 如图2 - 2 - 1 所示) 。h a a r 函数的定义为 甲= 1 0 x 1 2 11 2 x l 0 其它 7 东北林业大学硕士学位论文 图2 2 一l d a u b e c h i e s ( d b n ) 小波系 d a u b e c h i e s 函数是由世界著名的小波分析学者i n r i dd a u b e c h i e s 构造的小波函数，除了 d b l ( 即h a r r 小波) 外，其他小波没有明确的表达式，但转换函数h 的平方模是很明确的。 1 小波函数v 和尺度函数。的有效支撑长度为2 n 一1 ，小波函数掣的消失矩阶数为n 2 d b n 大多数不具有对称性；对于有些小波函数，不对称性是非常明显的。 3 正则性随着序号n 的增加而增加。 4 函数具有正交性。 在这里我们画出d b 4 和d b 8 小波的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器 图形。如图2 - 2 - 2 所示。 d a b u b e c h i e s 小波函数提供了比h a a r 函数更有效的分析和综合。d a u b e c h i e s 系中 的小波基记为d b n ，n 为序号，且n = i ，2 ，1 0 。 ：【：篓? 妻脞= 罂】：! 竺塑二m o r l e t ( m o r l ) t j 、波、m e 疵a n h a t ( 删h ) ，j 、波、m e 脚 小波、b a 1 。一。m a r i e 小波都有很好的特性，在此就不二二莓送手：“”p 敬、鹏”。 2 3 小波变换 2 3 1 连续小波变换f 3 1 】 连续小波变换具有以下重要性质： ；：釜羹篓：个耋分量信号鬯小波变换等于各个分量的小波变换之和。 2 平移不变性：若f ( t ) i l j t j 、波变换为w ，( a ，6 。，i i ；霞：。) 篙杀蒌妄萎 w f ( a ，b t ) 基于小波理论的木工机床状态监控及故障诊断 ( 3 ) 伸缩共变性：若“t ) 的小波变换为w r ( a ，b ) ，则f ( c t ) 的小波变换为 w f ( c a 。c b )c o ( 4 ) 自相似性：对应不同尺度参数a 和不同平移参数b 的连续小波变换之间是自相似的。 ( 5 ) 冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度( r e d u n d a n c y ) 。 小波变换的冗余性事实上也是自相似性的宜接反映，它主要表现在以下两个方面： ( 1 ) 由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号f ( t ) 的小波变 换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换是一一对应的。 ( 2 ) 小波变换的核函数即小波函数v “s ，( t ) 存在许多可能的选择( 例如，它们可以是非 正交小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此是线性相关的) 。 小波变换在不同的( a b ) 之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难。 因此，小波变换的冗余度应尽可能小，它是小波分析中的主要问题之一。 2 3 2 离散小波变换【3 二】 5 1 在实际应用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此，有必 要讨论连续小波1 l r “”( t ) 和连续小波变换w 。( a ，b ) 的离散化。需要强调指出的是，这一离 散都是针对连续的尺度参数a 和连续平移参数b 的，而不是针对时间变量t 的。这点 与我们以前习惯的时间离散化不同，希望大家注意。 在连续小波中，考虑函数： d 2 南甲( t - 口b ) 啪即a 剐 为方便起见，在离散化中，总限制a 只取正值，这样相容性条件就变成为 峥( - ) i c ，= f 爿疬 1 所以对应的离散小波函数 o ) 即可计作 甲( r ) ：a 州：甲( 尘生萼选) 口。：甲( a o - q - 肋。) t 1 0 而离散化小波变换系数则可表示为 c 时= ，( f ) 甲肚( f ) 衍= 9 东北林业大学硕士学位论文 其重构公式为 ( f ) = c c 甲时( r ) c 是一个与信号无关的常数。 然而，怎样选择，和b o ，才能够保证重构信号的精度呢? 显然，网格点应尽可能密 ( 即，和尽可能小) ，因为如果网格点越稀疏，使用的小波函数甲，i ( f ) 和离散小波 系数c s 就越少，信号重构的精确度也就会越低。 2 3 3 二进制小波变换【2 9 】1 3 0 1 5 6 1 【5 7 上面是对尺度参数a 和平移参数b 进行离散化要求。为了使小波变换具有可变化的 时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，我们很自然地需要改变a 和b 的大小， 以使小波变换具有“变焦距”的功能。换言之，在实际应用中采用的是动态的采样网格， 最常用的是二进制的动态采样网格，即a o = 2 ，6 0 = 1 ，每个网格点对应的尺度为2 7 而平 移为2 j k 由此得到的小波 i ( f ) = 2 - j 2 甲( 2 一t - k ) j ，k z 称为二进小波( d y a d i cw a v e l e t ) 。 二进小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定有一放大倍数? ，它对应为观测到 信号的某部分内容，如果想进一步观看信号更细小的细节，就需要增加放大倍数即减小 j 值；反之，若想了解信号更粗的内容，则可以减小放大倍数，即加大j 值。在这个意 义上，小波变换被称为数学显微镜。 二进小波不同于连续小波。它只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平移 参量保持连续变化，因此二进小波不破坏信号在时间域上的平移不变量，这也正是它同 正交小波基相比所具有的独特优点。 2 4 多分辨分析与小波包分析【3 3 1 【3 7 】【4 8 l 5 0 1 1 9 8 8 年s w a l l a t 在构造正交小波基时提出了多分辨分析( 1 t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ) 的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，将此之前的所 有正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变换的快速 1 0 基于小波理论的木工机床状态监控及故障诊断仿真 算法，即m a l l a t 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换算法在经典傅立叶分析 中的地位。 关于多分辨率分析的理解，我们在这里以一个三层的分解进行说明，其小波分解树 如图2 - 4 一l 所示。 图2 - 4 - 1 三层多分辨分解树结构 在理解多分辨率分析以及下一节的小波包分析，我们必须牢牢把握点，即分解的最终 目的是力求构造一个在频率上高度逼近l 2 ( r ) 空间的正交小波基( 或正交小波包基) ，这 些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。从上面的多分辨率分析 树型结构图2 - 4 - 1 可以看出，多分辨率分析只对低频空间进行进一步的分解，使频率的 分辨率变得越来越高。 短时傅立叶变换对信号的频带划分是线性等间隔的。多分辨率分析可以对信号进行 有效的时频分解，但由于其尺度是按二进制变化的，所以在高频频段其频率分辨率较差， 而在低频频段其时间分辨率较差，即对信号的频带进行指数等间隔划分( 具有等q 结构) ， 小波包分析( w a v e l e tp a c k e ta n a l y s i s ) 能够为信号提供一种更加精细的分析方法。它 将频带进行多层次划分，对多分辨率分析没有细分的高频部分进行进一步分解，并能够 根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了 时一频分辨率，因此小波包具有更广泛的应用价值。 关于小波包分析的理解我们在这里以一个三层的分解进行说明，其小波包分解树 如图2 - 4 2 所示。 东北林业大学硕士学位论文 图2 4 2 上图中，a 表示低频，d 表示高频，末尾的序号数表示小波包分解的层数( 也即尺度数) 。 分解具有关系：s = a a a 3 + d a a 3 + a d a 3 + a a d 3 + d a d 3 + a d d 3 + d d d 3 + d 1 3 a 3 。 1 2 基于小波理论的木工机床状态监控及故障诊断仿真 3 噪声滤除的m a t l a b 计算机仿真 3 1 噪声信号的小波分析特性p 叫 运用小波分析进行一维信号消噪处理是小波分析的一个重要应用之一，下面我们将 其消噪的基本原理作一个简要的说明。 一个含噪声的一维信号的模型可以表示成如下形式： s ( i ) = f ( i ) + os e ( i ) ，i = 0 ，n l 其中，f ( i ) 为真实信号，e ( i ) 为噪声信号，s ( i ) 为含噪声的信号。 在这里，我们以一个最简单的噪声模型加以说明，即认为e ( i ) 为高斯白噪声n ( 0 ，1 ) ， 噪声级( n o i s el e v e l ) 为1 。在实际工程中，有用信号通常表现为低频信号或是一些比 较平滑的信号，而噪声信号则表现为高频信号，所以消噪过程可按如下方法进行处理： 首先对信号进行小波分解( 如进行三层分解，分解过程如图3 - 1 1 所示) ，则噪声部分通 常包含在c d l ，c d 2 ，c d 3 中，因而，可以以门限闽值等形式对小波系数进行处理，然后对 信号进行重构即可以达到消噪的目的。对信号s ( i ) 消噪的目的就是要抑制信号中的噪声 部分，从而在s ( i ) 中恢复出真实信号f ( i ) 图3 - 1 1 一般说来，一维信号的消噪过程可分为三个步骤进行： ( 1 ) 一维小波信号的小波分解。选择一个小波并确定一个小波分解的层次n ，然后对 信号s 进行n 层小波分解。 ( 2 ) 小波分解高频系数的阈值量化。对第- - n 第n 层的每层高频系数，选择一个 闽值进行软闽值量化处理。 ( 3 ) 一维小波重构。根据小波分解的第n 层的低频系数和经过量化处理后的第l 层 l3 东北林业大学硕士学位论文 到第n 层的高频系数，进行一维信号的小波重构。 在这三个步骤之中，晟关键的就是如何选取阈值和如何进行阈值量化，从某种程度 上来说，它直接关系到信号消噪的质量。 在上面的说明过程中，我们是以晟简单的信号模型对信号消噪进行说明， s ( i ) = f ( i ) + 0 e ( i ) ，i = o ，n 一1 在实际中，这种最基本的模型是不能直接运用的，为了求得模型的标准偏差，需要 对信号消噪的主要函数w d e n 的输入参数进行设置，该函数最简单的用法是： s d = v d e n ( s ，t p t r ，s o r h ，s c a l ，n ，w a y ) 它返回的是经过对原始信号s 进行消噪处理后的信号s d 另外，s o r h 指定软闽值 ( s o r h = s ) 或硬阈值( s o r h = h ) 的选择，t p t r 指定阈值选取的规则，n 为小波 分解的层数，w s v 指定分解时所用的小波，参数s c a l 是阈值尺度改变的比例，它有以下 三种选择，具体说明见表3 - 6 。 表3 - 1 1参数s c a 的选项 s c a l 的选项相应的模式 o n e 基本模式 s l n 位置尺度的基本模式 m l n 非白噪声的基本模式 一般说来，可以忽略噪声的层次，在小波分解的高频层c d i ( 最精细的尺度) 中，主 要是噪声的系数，它的标准偏差等于0 ；绝对标准偏差比较稳定，其估计值总是0 。这 种稳定的估计值在信号分析中很重要，主要有两个原因：第一个是如果第一层的系数中 含有信号f 的高频信息，并且信号本身是很规则的，则这种高频信息在几个高频层中都 能集中显示出来：第二个原因是可以避免信号本身的截短效应，这种截短效应是在计算 信号的边缘时，产生的无用信息。当认为噪声e 是个非白噪声时，必须在每个不同的 小波分解层次上估计噪声的层次，并由此来变换阈值尺度，即根据小波分解的层次l e v ， 来估计0m ，这种估计算法在函数w n o i s e 中实现，它是通过直接计算信号s 的小波分解 的结构来实现的，s c a l = s l n 时，只根据第一层的小波分解系数来估计噪声的层次， 并且只进行一次估计，以次来变换阈值的尺度。s c a l = m l n 时，在每个不同的小波分 解层次上都估计噪声的层次，并且变换阙值尺度。 另外一种更普遍的函数是w d e n c m p ，它可以直接对一维信号或二维信号进行消噪或 压缩处理，方法也是通过对小波分解系数进行阈值量化来实现的。它可以让用户选择自 己的阈值量化方案，其使用方式是： x d = w d e n c m p ( o p t ，w a y ，n ，t h r ，s o r c h 。k e e p a p p ) ： o p t = g b l ，并且t h r 是一个正的实数，则阈值是全局阈值。 o p t = i v d ，并且t h r 是向量，则阈值是在各层大小不同的数值。 k e e p a p p = l ，将小波分解的低频系数不作任何处理。 k e e p a p p = ( ，对小波分解的低频系数也进行阈值量化处理。 4 基于小波理论的木工机床状态监控及故障诊断仿真 x 是待处理的输入信号。 其余输入参数与w d e n 命令函数的相同。 下面我们介绍一下噪声在小波分解下的特性。 在这里，我们将噪声看成是一个普通的信号，并对它进行分析，那么有三个主要的 特征需要注意，即相关性、频谱和频率分布。 总体上来说，一个维离散的信号，它的高频部分影响的是小波分解的高频第一层， 低频部分影响的是小波分解的最深层及其低频层。如果对一个只是由白噪声组成的信号 进行小波分解，则可以看出：高频系数的幅值随着分解层次的增加而很快地衰减，并且， 高频系数的方差也很快地衰减。当通过滤波器将有色噪声引入后，该信号就不是白噪声 了。对噪声用小波分解的系数仍用c ( j ，k ) 表示，其中，j 代表小波尺度，k 代表时间， 我们可以对噪声信号引入一些常用的属性： ( 1 ) 如果分析的信号s 是一个平稳、零均值的白噪声，则其小波分解系数是不相关的。 ( 2 ) 如果s 是一个高斯噪声，则其小波分解系数是独立的，也是高斯分布的。 ( 3 ) 如果s 是一个有色、平稳、零均值的高斯噪声序列，则其小波分解系数也是高斯噪 声序列对每一个分解尺度j ，其系数是一个有色，平稳的序列。我