（固体力学专业论文）耦合多项式基的径向点插值无网格法及其应用.pdf

硕士学位论文 摘要 本文首先介绍了无网格法的发展历史和国内外研究现状，对各种主要无网格 方法进行了回顾和评价，总结了无网格法的特点和优越性以及目前无网格法的难 点和存在的问题。 本文的无网格法中均采用耦合多项式基的径向点插值法构造形函数，消除了 纯多项式插值法引起的系统矩阵的奇异性，形函数及其导数比较简单，计算量也 较小，形函数满足k r o n e c k e 卜d e l t a 函数性质，可以直接施加本质边界条件。 基于局部径向点插值无网格法求解铁木辛哥梁，对挠度和转角分别单独插值， 建立局部p e t r o v g a l e r k i n 弱形式的离散方程。研究结果表明该方法应用于经典 浅梁，且当形函数中多项式基的阶次较高时能较好地避免剪切自锁现象。 利用最小位能原理推导了中厚板弯曲的整体弱形式的基本方程，对三个位移 变量采用分别独立插值，推导出离散方程，对m q 径向基函数中两个形状参数的 最优取值进行了讨论。在进行数值积分时，需构造背景积分网格。数值结果表明， 随着节点的增加，计算结果稳定地趋近于精确解，表现出良好的收敛性。并且在 分析薄板弯曲问题时可以避免剪切自锁现象。 最后结合双参数p a s t e r n a k 模型，进一步将整体弱形式无网格径向点插值法应 用于求解弹性地基厚板的弯曲问题。推导了弹性地基上各向同性厚板的整体弱形 式径向点插值离散方程，讨论了数值实施中的几个具体问题，最后给出了弹性地 基上各向同性厚板弯曲问题的几个算例，算例结果表明，应用整体弱形式径向点 插值法分析弹性地基中厚板问题是非常简便和有效的，而且结果精度好、收敛快。 关键词：耦合多项式基的径向点插值法；局部p e t m v g a i e r k i n 法；伽辽金整体 弱形式；铁木辛哥梁；中厚板；弹性地基 祸合多项式基的径向点插值无网格法及其应用 a b s t r a c t a tt h eb e g i n n i n go ft h i st h e s i s ，r e c e n td e v e l o p m e n t so ft h em e s h l e s sm e t h o da r e o v e r v i e w e d s e v e r a lt y p i c a lm e s h l e s sm e t h o d sa r er e v i e w e da n da p p r a i s e di nt e r mo f t h e i rd i s c r e t i z a t i o ns c h e m e c h a r a c t e r i s t i c s ，a d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so fa l lk i n d s o fm e s h l e s sm e t h o d sa r ep o i n t e do u t t h es h 印e 如n c t i o ni sc o n s t m c t e db yu s i n gt h er a d i a lb a s i sf u n c t i o n sw i t h p o l y n o m i a lb a s i sf u n c t i o n s ，t h es i n g u l a r i t yo ft h es y s t e mm a t r i x ，b e c a u s eo fu s i n g p u r ep o l y n o m i a lb a s i sf u n c t i o n s ，i so v e r c o m e t h es h a p em n c t i o na n di t sd e r i v a t i v e s a r es i l n p l e ，c o n s e q u e n t l yh a v e1 0 w e rc o m p u t a t i o n a lc o s t t h es h a p ef u n c t i o n sp o s s e s s t h ek r o n e c k e rd e l t am n c t i o np r o p e r t y a n dt h ee s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sc a nb e e a s i l yi m p o s e d t h em e s h l e s sl o c a lr a d i a lp o i n ti n t e r p o l a t i o nm e t h o dh a v eb e e nu s e dt oa n a l y z e t h eb e n d i n g p r o b l e mo ft i m o s h e n k ob e a m t h ed e f l e c t i o na n dr o t a t i o na r e i n t e r p o l a t e ds e p a r a t e l y ，a n dt h ed i s c r e t i z e ds y s t e me q u a t i o n sa r ee s t a b l i s h e db a s e do na 1 0 c a lp e t r o v - g a l e r k i nw e a k - f o r m r e s u l t so b t a i n e ds h o ww h e nt h ep r e s e n tm e t h o di s a p p l i e dt oc l a s s i c a lt h i nb e a m ，t h es h e a rl o c k i n gc a ne a s 订yb er e s o l v e db yu s i n gt h e h i g h e ro r d e rp o l y n o m i a li nt h eb a s i sf u n c t i o n t h ef u n d a m e n t a le q u a t i o n so fm o d e r a t e l yt h i c kp l a t eb a s e do nag a l e r k i ng l o b a l w e a k f o r ma r eo b t a i n e d u s i n gt h ee n e r g yp r i n c i p l e t h et h r e e d i s p l a c e m e n t c o n l p o n e n t sa r ei n t e r p o l a t e ds e p a r a t e l y ，t h ed i s c r e t i z e de q u a t i o n sa r ed e r i v e d ，a n dt h e t w oo p t i m a l s h a p ep a r a m e t e r so ft h em u l t i q u a d r i c s ( m q ) 如n c t i o na r es t u d i e d b a c k g r o u n di n t e g r a lc e l l si sn e e d e dt oe v a l u a t et h en u m e r i c a li n t e g r a t i o n s n u m e r i c a l r e s u l t ss h o wt h a tt h er e s u l t so b t a i n e dc o n v e 唱et ot h ee x a c ts o l u t i o n sw h e nf i e l dn o d e s i n c r e a s e t h ep r e s e n tm e t h o dh a sg o o ds t a b i l i t ya n df a s t e r c o n v e i 。g e n c e t h es h e a r l o c k i n gc a nb ea v o i d e di nt h eb e n d i n ga n a l y z i n go ft h i np l a t e s i nt h ee n do ft h et h e s i s ，b a s e do np a s t e r n a kf o u n d a t i o nm o d e l ，t h eb e n d i n g p r o b l e m sf o rt h et h i c kp l a t e so na ne l a s t i cf o u n d a t i o na r ea n a l y z e db yt h em e s h l e s s g l o b a lw e a k - f o r mr a d i a lp o i n ti n t e r p o l a t i o nm e t h o d t h eg a l e r k i ng l o b a lw e a k f o r m e q u a t i o n sf o ri s o t r o p i ct h i c kp l a t e so nt h ee l a s t i cf o u n d a t i o ni sd e r i v e db yt h er a d i a l p o i n ti n t e r p o l a t i o nm e t h o d n u m e r i c a li m p l e m e n t a t i o na r es t u d i e d s e v e r a ln u m e r i c a l e x a m p l e sf o ri s o t r o p i ct h i c kp l a t e so nt h ee l a s t i cf o u n d a t i o na r ep r e s e n t e d e x a m p l e s s h o wt h a tt h ea n a l y s i sf o rt h i c kp l a t e so nt h ee l a s t i cf o u n d a t i o nb yt h em e s h l e s sr a d i a l p o i n ti n t e r p o l a t i o nm e t h o dh a san u m b e ro fa d v a n t a g e s ，s u c ha st h eh i g he f f i c i e n c y a n dt h eq u i t eg o o da c c u r a c ya n de a s yt oi n l p l e m e n t 硕士学位论文 k e yw o r d s ： r a d i a l p o i n ti n t e r p o l a t i o nw i t hp o l y n o m i a lb a s i sf u n c t i o n s ； i o c a l p e t m v - g a l e r k i nm e t h o d ；t h eg a l e r “n g l o b a l w e a k f o r m ； t i m o s h e n k o b e a m ；m o d e r a t e i yt h i c kp l a t e ；e i a s t i cf o u n d a t i o n 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名： 邻辛寺 日期：2 0 0 8 年5 月6 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“) 作者签名： 导师签名： 日期：6 莎年厂月f 中日 日期： 。矿年厂月l 丫日 硕士学位论文 1 1引言 第1 章绪论 工程实际中许多力学问题和物理问题常常可以归结为数学上偏微分方程边值 和初值问题。用解析或半解析方法求这类问题的解，往往仅对几何边界规则及方 程性质简单的少数问题有效。而对于大多数问题，由于其边界复杂和问题的某些 性质是非线性的，这时往往要用各种数值方法并借助计算机技术来寻求数值解。 有限差分法【l j ( f i n i t ed i f 佗r e n c em e t h o d ：f d m ) 、有限元法【2 。4 吁f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ，f e m ) 、边界元法l 5 ，6 1 ( b o u n d a r ye l e m e mm e t h o d ：b e m ) 是目前理论和应 用都比较成熟的三种典型数值计算方法。特别是有限元法，产生的影响最为深远， 得到的应用最为广泛。 有限元法求解问题的基本思想是：先将问题的求解区域离散为有限数目并按 一定方式联结在一起的单元的组合体，利用每个单元内的近似函数( 由未知场函 数及其导数在单元节点的数值和其插值函数来表达) 来分片地表示整个求解区域 上待求未知场函数，使未知场函数及其导数在各个节点上的数值成为未知量( 即 自由度) ，使一个连续的无限自由度问题变为离散的有限自由度问题；然后应用加 权残值法或各种变分原理建立各节点量之间的关系式，并将各个单元方程组合在 一起而形成总体代数方程组，再计入边界和初始条件；最后通过一定的算法求解 此方程组便得到原问题的解。虽然有限元法通用、灵活，并被作为一种工业标准 广泛遵循，但是随着计算对象复杂程度的增加和应用工作的深入，也逐渐暴露了 其本身难以克服的一些不足，如自锁问题、所求解函数的导数精度低等，而且在 有限元法中，单元和网格既是分析解决问题的载体，同时也是对其应用的制约， 主要表现在：( 1 ) 单元网格剖分等前处理数据准备工作量大，尤其是对复杂三维 问题，其工作量往往比有限元分析本身还大；( 2 ) 在分析大变形问题时必须防止 网格畸变或缠结( m e s he n t a n g l e m e n t ) ，包括单元形状不能太“狭长”、局部内凹等； ( 3 ) 在求解裂纹扩展、液体晃动、材料相变和成形等不定边界或可动边界问题时， 需要随时找出新的边界位置，并在新的解域内重分网格( r e m e s h i n g ) ；( 4 ) 对时间 相关问题，更要按时段反复重分网格，工作量惊人，甚至使分析失败。有限差分 法、边界元法等方法也是基于单元网格的数值方法，所以也会存在类似网格制约 等问题。 针对有限元法上述的一些缺点，近年来出现了一种新的方法，即无网格法 ( m e s h l e s so rm e s h i j r e em e t h o d ) 或称无单元法( e l e m e n tf r e em e t h o d ) 。无网格法 耦合多项式基的径向点插值无网格法及其应用 是一类在有限元法等传统数值方法基础上并针对其网格单元存在的问题而提出的 一类新的数值方法，其本质思想是：对所考虑问题域采用一系列( 随机分布) 无 网格节点排列和一种与权函数( 或核函数) 有关的近似，使某个域上的节点可以 影响研究对象上任何一点的力学特性。这样一种在离散模型中仅基于节点点阵而 不需要划分单元或网格的数值方法，使分析问题的前处理过程变得简单，在涉及 网格畸变、网格移动和不定边界等问题中显示出明显的优势。所以，无网格方法 被认为是一种很有发展前途的数值分析方法，并成为目前国内外计算力学界的热 点研究领域之一1 6 j 。 1 2 无网格方法的发展与研究现状 1 2 1 国内外研究历史和现状 无网格方法起源于二十世纪七十年代，但其得到迅速发展是在上世纪九十年 代。1 9 9 4 年美国西北大学的著名学者b e l y t s c h k o 等【7 】提出了无单元伽辽金法 ( e l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o d ：e f g ) ，对无网格的研究作出了里程碑式的贡献。 时至今日，所提出的无网格方法已不下十几种【骱9 1 。但其常见的构造近似函数的 方法有核函数法【7 ，10 1 、移动最小二乘法【1 3 ，1 4 1 ( m o v i n gl e a s ts q u a r e ：m l s ) 、单位分 解法1 1 5 】( p a n i t i o no fu n i t y ：p u ) 和点插值法【1 6 - 1 8 】( p o i n ti n t e r p o l a t i o nm e t h o d ：p i m ) 矗盘 专子o 1 9 7 7 年l u c y 【1 1 1 和g i n g o l d 等【1 2 】分别提出的光滑粒子流体动力学( s m o o t h e d p 抓i c l eh y d r o d y n a m i c s ：s p h ) 方法是最早提出的无网格方法。s p h 是一种纯 l a g r a n g e 型的无网格粒子法( m e s h f r e ep a n i c l em e t h o d ：m p m ) ，其基本原理是：将 描述问题的场函数用“核函数( k e m e lf u n c t i o n ) 逼近”，并用一系列粒子将这个场 离散化( 即积分式的级数表达) 。近十年来，s w e g l e 【1 9 j ( 1 9 9 5 ) 、d y k a 【2 0 1 ( 1 9 9 4 ) 和c h e n 等【2 1 】( 1 9 9 9 ) 分析了s p h 法不稳定的起因并提出各种稳定化方案，j o n h s o n 等2 2 1 ( 19 9 6 ) 提出了归一化光滑函数算法和v i g n j e v i c 等【2 3 1 ( 2 0 0 0 ) 提出了克服s p h 法 零能模态的方案等，使s p h 法不断完善和成功应用于天体物理领域和复杂流体动 力学等问题上【2 4 1 。与此同时国内学者也对s p h 法进行了研究，如中科院应用数学 所张锁春【2 5 1 ( 1 9 9 6 ) 对s p h 法进行了综述和国防科大贝新源等2 6 1 ( 1 9 9 7 ) 将其应用于 高速碰撞问题等。但是，s p h 法计算效率不高，计算精度和稳定性也还存在一些 问题。 1 9 8 1 年，l a n c a s t e r 等【2 7 】为了从散乱数据点中拟合曲线和重构曲面，提出了移 动最小二乘法( m o v i n gl e a s ts q u a r e s ：m l s ) 。m l s 是无网格方法中构造近似函数 的主要方法，为无网格法的发展奠定了重要基础。 1 9 9 4 年，美国西北大学著名学者b e l ) r t s c l l k o 等【1 4 1 5 】对d e m 进行了改进，即 硕士学位论文 在计算形函数导数时保留下被n a y r o l e s 忽略掉的项，利用l a g r a n g e 乘子法施加 本质边界条件和采用高阶高斯积分完成区域积分等，提出无单元伽辽金法 ( e l e m e n t f j r e eg a l r k i nm e t h o d ：e f g m ) ，并成功地解决了一系列有限元法不能很 好解决的问题【2 8 2 9 】，引起了人们对无网格方法研究的重视和兴趣。十年来，e f g m 经过不断完善，己在结构动力分析3 0 1 、裂纹扩展与断裂【3 1 1 、弹塑性问题【3 2 - 3 3 1 、几 何非线性问题【3 4 _ 35 1 、功能梯度材料和压电材料3 6 3 7 1 、复杂流体流动和渗流问题【3 8 3 9 】 以及岩土工程【4 0 。2 1 、材料加工和表面处理【4 3 4 5 】等问题中都有很好的应用。所以， e f g m 是无网格方法中发展比较成熟、应用比较广泛的一种方法；研究表明， e f g m 精度和收敛速度都高于有限元法，而且没有体积锁死现象。 1 9 9 5 年，美国西北大学计算力学学者l i uw k 等【1 7 】在s p h 法基础上并基于 g a l e r k i n 法和积分变换思想提出了再生核粒子法( r e p r o d u c i n gk e m e lp a n i c l e m e t h o d ：r k p m ) ，接着又结合小波( w a v e l e t s ) 分析的概念，提出r k p m 自适应 分析多尺度再生核粒子法【1 8 j ( m u l t i p l e s c a l er e p r o d u c i n gk e m e lp a r t i c l e m e t h o d ：m r k p m ) 。目前，r k p m 已能对大量的科学与工程问题进行数值模拟分 析，如结构力学问题【4 6 1 、应力集中问题【4 7 1 、流体动力学问题【4 8 郴】、动态断裂问题 和局部化分析【5 0 - 5 、大变形分析5 射、金属加工成形问题【5 引、中厚梁板( 5 4 】和微电 子机械系统中的应用【5 5 1 等。最近，o h s 等【5 6 】( 2 0 0 1 ) 又采用再生核函数近似和配点 法离散，提出无网格配点法( p o i n tc o l l o c a t i o nm e t h o d ：p c m ) 。r k p m 也是一种发 展比较成熟且应用广泛的无网格方法，西安交通大学周进雄等1 5 ( 2 0 0 2 ) 对r k p m 做了很好的综述。 1 9 9 5 年，美国t e x a s 大学的著名学者o d e n 和他的学生d u a n e 等【5 8 】利用移动 最小二乘法建立单位分解函数，并构造近似函数和试函数，再通过g a l e r k i n 法建 立离散模型，提出了h p 云团无网格法( h pc l o u d sm e t h o d ：h p c m ) ，并对这种 方法进行了严格的数学论证f 5 9 】。m e n d o n c c a 等f 6 0 】将该方法应用于求解铁摩辛柯梁 问题、厚板的弯曲问题【6 1 1 等，清华大学刘欣等【6 2 】将其用于平面裂纹问题的自适应 分析。后来，o d e n 等【6 3 】又将有限元形函数作为单位分解函数，提出了基于云团 法的新型h p 有限元( n e wc l o u d sb a s e dh pf e m ) 。该方法需要借助于有限元网 格，破坏了“无网格”的部分特性，但很容易进行h 、p 和h p 自适应分析。波兰学 者l i s z k a 等【“】改用配点格式，避免了g a l e r k i n 格式中用于积分计算的背景网格， 提出h p 无网格云团法( h p m e s h l e s sc l o u d sm e t h o d ：h p m c m ) ，它是一种纯无网格 方法。 1 9 9 6 年，美国计算数学著名学者b a b u s k a 与他的学生m e l e n k 等将单位分解法与 有限元法相结合，提出了单位分解有限元法孓6 6 j ( p a n i t i o no fu n i t ym e t h o d ： p u m ) ，又于2 0 0 0 年进一步提出广义有限元法【o ，j ( g e n e r a l i z e df i n i t ee l e m e m m e t h o d ：g f e m ) 。其基本思想是应用具有单位分解的形函数将局部定义的近似解 耦合多项式基的径向点插值无网格法及其应用 相互连接，构造出总体场函数的近似解该方法在标准有限元空间中加入一系列 能够反映待求边值问题特性的函数( 如由角点附近精确解的局部渐进展开而得到 的奇异函数) ，并将这些特殊函数与单位分解函数相乘后和原有的有限元函数一起 构成了新的增广协调有限元空间。用该方法求解动态裂纹扩展问题【6 8 】时，可以处 理任意裂纹形状，并且不需要重新划分网格。清华大学刘欣等【6 9 1 将p u m 用于求解 奇异问题中。 1 9 9 6 年，著名计算力学家西班牙学者o n a t e 和有限元大师z i e n k i e w i c z 等合作 口m 7 2 j ，利用基于高斯权函数带权正交m l s 来构造近似函数，并采用配点型加权残 值格式把支配方程离散成非积分的形式，再结合广义有限差分法，提出了有限点 法( f i n i t ep o i n tm e t h o d ：f p m ) ，并应用于计算流体动力学问题。1 9 9 9 年m i t c h e l l 和a l u m 【7 3 】将其应用于电渗透模拟。近年，0 n a t e 等【7 4 1 又对其提出一种稳定化技术， 并进一步应用于弹性力学问题。有限点法( f p m ) 采用配点格式对求解域进行离散， 不需要背景网格和高斯积分，计算效率高，但精度低，稳定性差。 1 9 9 8 年，美国加利佛尼亚大学的著名学者a t l u r i 和z h u 等基于移动最小二乘 近似( m l s ) 函数和局部p e t r o v g a l e r k i n 法离散，提出了无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 方法l 75 。7 6 j ，并用于求解了带调和算子的拉普拉斯方程和泊松方程、稳态不可压流 的n a v i e r - s t o k e s 方程、应变梯度材料等问题，并对m l p g 方法进行了误差分析 【7 7 - 7 引。2 0 0 2 年和2 0 0 4 年，a t l u “等【1 1 2 ，1 1 3 1 出版了两本m l p g 方法的专著。2 0 0 2 年，a t l u r i 和s h e ns p 悼卜配】通过选取不同的近似函数及加权函数构造了六种不同的 无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 方法，并对其计算效率和精度进行了研究，拓展了 m l p g 法的理论和应用范围。国内湖南大学龙述尧等也对m l p g 方法进行了系统 地研究，并分别用于求解了弹性力学问题、地基上梁问题、弹性板、各向异性板、 弹塑性、几何非线性和动态断裂力学等问题【8 3 9 。 2 0 0 1 年，新加坡华裔学者l i ug r 等分别提出了局部径向点插值法( l r p i m ) ， 并分析了弹性静力学问题、固体结构自由振动问题、浅梁的静力和动力分析和二 维不可压缩流问题【呢母引，2 0 0 2 年，l i ug r 等又提出了局部点插值法( l p i m ) ，并 用于弹性力学问题分析l 9 7 j 。l r p i m 和l p i m 是基于m l p g 的思想并分别采用径 向点插值法和点插值法来构造无网格形函数，采用局部p e t r o v g a l e r k i n 法来离散， 形成系统方程进行求解。和m l p g 法相比，l r p i m 和l p i m 不需要采用罚函数法 等额外方法来处理本质边界条件。 此外，国内同济大学蔡永昌等【9 8 】也提出了基于v o r o n o i 结构和采用自然邻域 插值函数来近似位移函数的m l p g 方法，可以有效的减少计算所需的时间和提高 求解结果的精度。 1 9 9 9 年，清华大学陆明万等【9 9 1 采用径向基函数( r b f ) 来逼近场函数和用配 点型加权残值格式对求解域进行离散，提出径向基函数( r b f ) 无网格法，并用这 硕士学位论文 种方法求解了椭圆型边值问题；河海大学钱向东f l o o 】( 2 0 0 0 ) 用它求解二维p o i s s o n 方程；张雄等【l0 1 j ( 2 0 0 0 ) 将它用于求解二维弹性力学问题。径向基函数( i m f ) 具 有形式简单、各向同性等优点，可用于构造近似场函数，因为它具有m l s 法所不 具备的一些优点，如其构造的形函数可由影响区域内的离散点的分布唯一地确定、 形函数具有d e l t a 函数特性等，所以用其来构造近似函数的无网格法可直接施加本 质边界条件和计算效率及精度更高，是无网格法发展的一个方向。 2 0 0 1 年，清华大学张雄、陆明万等在f p m 法格式基础上引入辅助点和采用加 权残值法、最小二乘法求解，提出了最小二乘配点无网格法【加2 1 ( l e a s t s q u a r e s c o l l o c a t i o nm e s h l e s sm e t h o d ：l s c m ) 和加权最小二乘配点无网格法1 1 0 3 1 ( w e i g h t e d l e a s t s q u a r e sc o l l o c a t i o nm e s h l e s sm e t h o d ：w l s c m ) ( 2 0 0 3 ) ，同时还在子域插值 和配点法的基础上提出分阶拟合直接配点无网格法【1 0 4 1 。这三种配点型无网格法可 以很好地解决f p m 的不足，是有发展前途的无网格方法。 2 0 0 4 年，上海大学程玉民等1 1 0 5 j 提出以带权的f 交函数作为基函数来改进移动 最小二乘逼近法，并将其与弹性力学的边界积分方程方法结合，提出弹性力学的 一种边界无单元法( b o u n d a r ye l e m e n t f r e em e t h o d ：b e f m ) 。这种方法不同于原有 的边界积分方程无网格法( 边界点法b n m ) 和局部边界积分方程方法( l b i e m ) ，即 可以直接采用节点变量的真实解为基本未知量，是边界积分方程无网格直接解法， 使边界条件更容易引入和提高解的效率和精度。 1 3 无网格方法的特点及其评述 无网格方法发展至今日，已提出的无网格方法达二十余种，目前已经成为计 算力学研究领域的热点，也被广泛的应用于固体力学和流体力学等领域中。从上 面的论述可知，无网格方法按其离散方式可以分为配点型、全域g a l e r k i n 积分型 和局部p e t r o v g a l e r k i n 积分型等。在这些无网格方法中主要采用光滑粒子法 ( s p h ) 、核函数法( r k p m ) 、移动最小二乘近似法( m l s ) 、单位分解法( p u ) 、点插 值法( p i m ) 和有限点法( f p m ) 等近似方法。无网格法数值实施主要靠形函数逼近来 实现，形函数揭示了各种无网格方法的本质，按形函数的构造法的不同可以分为 三类：有限积分表示法；有限函数级数表示法；有限微分表示法。基于有限积分 表示法的形函数有s p h 和r k p m 等；基于有限函数级数表示法的形函数有m l s 、 p i m 和p u 等；基于有限微分表示法的形函数有f p m 等。各种无网格方法由于其 形函数的不同以及离散方式的不同各有其优缺点，在上面已经加以详述，总结起 来无网格法的共同优点主要有1 8 j ： 1 ) 避免了大量的单元网格划分工作； 2 ) 可构造任意连续的形函数，不但有利于求解高梯度场的问题，也减少了 后处理的工作量； 耦合多项式基的径向点插值无网格法及其应用 3 ) 不需要网格，抗畸变能力强，能够处理一些传统数值方法很难解决的问题， 如动态裂纹扩展问题、超大变形问题、高速撞击引起的几何畸变问题等； 4 ) 计算精度较易控制，容易进行自适应分析。 但是，无网格方法的发展还很不成熟，无网格方法中的许多关键问题有待开 展更深入的研究。而这些未曾解决的关键问题也是无网格方法的缺点，总结起来 有： 1 ) 无网格方法的误差分析、收敛性、稳定性等的严密数学证明还有待解决； 2 ) 无网格方法由于其形函数构造的复杂性，导致其计算量一般都较大； 3 ) 无网格方法实施过程中需要确定很多待定的参数，如积分域的大小，插值 域的大小，形函数中一些形状参数的选取等，对这些参数的选择一般都是由经验 确定，没有严格的数学理论基础； 4 ) 没有有效而又成熟的无网格方法商用软件，严重制约了无网格方法的进 一步推广以及实际应用。 目前，尽管无网格方法总的发展相对于有限元来说仍然落后，但由于无网格 方法内在的优越性、灵活性和多变性等特点，其所能涉及的领域将远比有限元法 广阔。现今，无网格方法正向着高精度、高效率方向发展，可以预见，随着无网 格方法的不断完善和健全，它将应用到其它传统数值方法所不能很好解决或不能 解决的领域。 1 4 论文的研究意义及研究内容 1 3 1论文的研究意义 深梁是工程中广泛采用的一种结构，在梁的高度相对于跨度不太大时，必须 考虑横向剪切变形的影响，此时梁内的横向剪切力所产生的剪切变形将引起梁的 附加挠度，并使原来垂直于中面的截面变形后不再和中面垂直，但仍保持为平面。 有限元法在分析深梁的弯曲问题时，往往采用铁木辛哥梁单元，它的基本特点是 挠度和截面的转角各自独立插值，这种梁单元是c 0 型单元，构造简单，但存在着 剪切自锁现象。当梁的高度很小时，只能得到零解，意味着梁不能发生弯曲，这 是由于约束条件未能精确满足，在梁很薄时不恰当地夸大了剪切应变能项的量级 而造成的。 无网格局部p e t r o v - 一g a l e r k i n 法，不需要任何单元或网格，是一种真正的无网 格法，具有很好的计算精度和收敛率。本文用无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法求 解铁木辛哥梁，对挠度和转角分别单独插值，能较好地避免剪切自锁现象。 目前世界科学技术的发展涉及到一系列高压、高速、高温以及特殊性能材料 问题。对于承受高压载荷的设备除提高材料强度之外，增加结构厚度是熟知的有 硕士学位论文 效方法。近代大量工程结构厚跨比早已超过经典理论( 主要是采用所谓 鼬r c h h o 傅6 】直法线”假定) 所适用范围，必须考虑和应用相应厚璧结构理论。 中厚板是考虑剪切变形影响的二维问题，中厚板方程首先由r e i s s n e r 【l0 7 j 提出。 由于采用不同的假定、要素、独立变量与推导方法，形成了各种不同的厚板理论， 主要有二大类： 一类是单挠度理论。以总的垂直挠度以及二个弯矩或剪力或转角为独立变量。 另一类是双挠度理论。将总的垂直挠度分为弯曲挠度和剪切挠度作为独立变 量。 用有限元法( f e m ) 求解中厚板弯曲问题时所面临的问题有：( 1 ) 划分单元网 格等烦琐的前处理过程，且网格划分的疏密直接影响有限元解的精度和效率；( 2 ) 内力或应力解不连续，其精度低于位移精度，且需要进行后处理分析；( 3 ) 难于 处理开孔板、裂纹板等具有应力奇异的问题。( 4 ) 往往存在着剪切和薄膜自锁问题， 所以构造薄板和中厚板通用的板单元一直是有限元法的中心问题。采用无网格法 可以很好地解决上述问题。 无网格方法因只需节点信息而不需要划分单元和其节点可以随机分布，在场 函数近似和对局部特性的描述方面具有有限元法不可比拟的优点，更便于分析不 同载荷形式下各种几何形状和边界条件的中厚板的变形问题。耦合多项式基的径 向点插值无网格法，在利用局部紧支域构造点插值形函数时，引入耦合多项式基 的径向基函数，其形函数具有k r o n e c k e r - d e l t a 函数性质，可以直接施加本质边界 条件，由于基于整体伽辽金弱形式的积分是基于整体问题域的，因此需要一个全 域的“背景网格”进行数值积分，这一积分网格在理论上是独立于场点的，但这 种方法具有计算精度高、稳定性好等优点。该方法的主要缺点包括：需要确定径 向基函数( r b f ) 的形状参数和计算效率低。另外，其形状函数难于满足全域的 相容性条件，实际上不考虑相容性的径向点插值法仍具有很好的收敛性和精度 引，因此在实际计算中多不考虑全域的相容性。所以选择研究无网格径向点插值 法及其在t i m o s h e n k o 梁和中厚板问题中的应用具有理论和实际意义。 目前，对于无网格方法在经典梁和薄板中的应用已有许多文献报道，其中有： 无网格局部边界积分法( l b i e ) ，无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法( m l p g ) 以及 无网格伽辽金法。经典梁和薄板理论都采用了“直法线”假定，均没有考虑剪切 变形的影响。但无网格方法在考虑剪切变形影响的深梁和中厚板中的应用在已有 文献中报道不多，研究也不充分和系统。本文利用耦合多项式基的径向点插值法 在紧支域中构造形函数，用局部p e t r o v g a l e r k i n 法研究了深梁剪切自锁问题，并 且用无网格伽辽金法对中厚板进行系统的分析和计算。 1 3 2 论文的研究内容 耦合多项式基的径向点插值无网格法及其应用 本文的第一章概述了无网格法的发展历史和国内外研究现状，对各种主要无 网格方法进行了回顾和评价，总结了无网格法的特点和优越性以及目前无网格法 的难点和存在的问题。 第二章介绍了t i m o s h e n k o 梁和中厚板的基本理论，包括t i m o s h e n k o 梁基本 方程和边界条件；中厚板基本方程和边界条件； 第三章介绍了耦合多项式基的径向点插值方法，讨论了形函数具有的性质， 分析了在紧支域中构造形函数时采用耦合多项式基的径向基函数的优点和缺点， 并分析了形状参数对计算精度的影响以及最佳取值范围。 第四章用耦合多项式基的局部径向点插值法推导出t i m o s h e n k o 梁的离散系 统方程，研究了t i m o s h e n k o 梁剪切自锁问题。 第五章介绍了中厚板的最小位能原理或虚位移原理，推导出伽辽金整体弱形 式积分方程；利用耦合多项式基的径向点插值近似试函数，推导出系统离散方程， 并计算了不同边界条件和载荷条件下中厚板弯曲问题。 第六章通过双参数p a s t e r n a k 模型地基板方程，推导了弹性地基上各向同性 中厚板的整体弱形式径向点插值离散方程，讨论了数值实施中的几个具体问题， 最后计算了弹性地基上各向同性中厚板几个不同边界和载荷条件下的弯曲问题。 最后对全文进行了总结并得出了一些有意义的结论，对以后的研究工作作了 一些展望。 硕士学位论文 2 1 引言 第2 章铁木辛哥梁和中厚板的基本理论 在经典梁和经典薄板理论中，均采用所谓“直法线”n 0 6 1 假定，即原来垂直轴线或 中面的截匦变形后仍和轴线或中面垂直，这种理论没有考虑剪切变形的影响。经 典理论的这些假定对于一般厚跨比不太大的均质结构而言是成立的，但是对于厚 跨比较大的结构则会产生较大的误差，应该采用相应的铁木辛哥梁理论或中厚板 理论。 2 2 铁木辛哥梁基本方程 考虑长为厶高为办的直梁。取梁的轴线为z 轴，梁的挠曲面为砂平面。对梁变 形情况作如下假定：变形前垂直梁轴线的截面，变形后仍为平面，但不再垂直轴 线。则梁有二个广义位移：一个是轴线的挠度w ( 以与少轴同向者为正) ；另一个 是截面的转角矽( 以从x 轴经9 0 0 到y 轴的转向为正) ，见图2 1 。 图2 1 坐标系，位移和广义位移的正方问 梁内任一点的位移为 麓舅三嚣1 亿， x ，y ) = 似x )j 、。 梁内的应力仍认为可由截面上的弯矩m 与剪力q 这两个内力完全决定。与 弯矩m 相对应的广义应变是相邻两截面的相对转角k ，它已不是挠曲线的曲率， 但仍称为曲率；与剪力q 相对应的广义应变是剪切角7 。它们与广义位移的关系 为 j 耦合多项式基的径向点插值无网格法及其应用 d 秒 d x ，：业一目，= 一 。 d x 内力与广义应变的关系为 m = d r q = c yj 这里d ，c 分别为梁的弯曲刚度和剪切刚度。弯曲刚度 d = e l 剪切刚度 c = 删 其中e 为弹性模量，g 为剪切模量，彳是横截面面积，是轴惯性矩， 正因子，对于矩形面积红5 6 。 将公式( 2 2 ) 代入( 2 3 ) ，得到内力与广义位移的关系 m ：一d 塑1 d x l q _ c ( 芸删j 一般情形下，铁木辛哥梁的平衡方程为 一羔雌嘲卜 一要( d 竺) 一c ( 璺一秒) ：柳 d x 、d x 7 、d x 7 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 尼是剪切修 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 其中v 是梁的挠度，秒是截面的转角，z 是横向分布载荷，m 是分布力偶矩。 梁的边界条件为下列两类典型情况，即 w = w ，秒= 目在i _ 上( 2 8 ) m ：一d 望：- ，q ：c ( 婴一日) ：酉 在r ：上 ( 2 9 ) l xu 工 其中；，否，砑，矿分别为边界上给定的挠度，转角，弯矩和剪力；在r ，上的边界条件 为位移( 本质) 边界条件，在r ，上的边界条件为力( 自然) 的边