《高等数学》上试题及答案A卷.pdf

（高数）1 20142015 学年学年第一学期第一学期 高等数学高等数学(上上)期末期末考试试卷考试试卷（A 卷）卷） 大题 一 二 三 四 五 总分 得分 一、一、 填空题（每小题填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1、函数ln(21) x y 的定义域为 0 x 。 2、设函数 1 2 (1),0 ,0 x axx fx ex 为连续函数，则：常数a 2 。 3、极限 1 lim 1 x x x x 2 e 。 4、若 2 ( )lnf x dxxxC ，则：( )f e 3e 。 5、设函数 x yxe，则 ( ) 0 n y x n 。 6、设函数 2x yx，则dy 2 2 l n1 x xx dx 。 7、 设函数 yf x是由方程tan x yey所确定， 则：y 2 c o t x ey 。 8、设 2 2 ( )arctan 1 x f xx x ，则：函数( )f x的渐近线为： 2y 。 二、二、 单选题（每小题单选题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9、设函数lnyax与 2 yx相切，则常数a的值为：a （ C ） （A） 2 e ； （B） 2 e ； （C）2e； （D） 1 2e . 10、 当0 x时， 函数cos1x与 1 2 2 11ax等价， 则常数 a 的值为：（ B ） 得 分 得 分 （高数）2 （A）2； （B）1； （C）1； （D）2； 11、设由参数方程 2 3 1xt yt 所确定的函数，则 2 2 d y dx （ D ） 。 （A） 3 2 ； （B） 4 3 t ； （C） 3 4 t； （D） 3 4t . 12、 设函数 ( ) 0 , 20 f x x F xx x 其中：(0)1 f ， 则0 x 是函数 F x的 （ C ） 。 （A） 连续点； （B） 第一类跳跃间断点； （C） 第一类可去间断点； （D） 第二类间断点。 13、当0 x 时，若ln1 2x 与 2 x均是比x高阶的无穷小，则的取值范 围是（ B ） (A) (2,) ; (B) (1 , 2 ) ； (C) 1 ,1 2 ； （D 1 0 2 ，； 14、设( )f x的导数在xa处连续，又 ( ) lim3 xa fx xa ，则（ A ） 。 （A）xa为( )f x的极小值点； （B）xa为( )f x的极大值点； （C）(,( )af a是曲线( )f x的拐点； （D）以上答案均不对。 三、三、 计算题（每小题计算题（每小题 5 分分，共共 30 分）分） 15、求极限 1 11 lim ln1 x xx 解：原式= 1 1ln lim 1 ln x xx xx .1 分 2 1 1ln lim 1 x xx x .2 分 得 分 （高数）3 1 1 1 1 lim 212 x x x .2 分 16、求 32 43 1 limsin x xx x xx 。 解：因为：sin1x ，所以有界。 .2 分 而， 32 24 43 111 1 limlim0 1 1 xx xx xxx xx x .2 分 所以， 32 43 1 limsin0 x xx x xx .1 分 17、设函数 25 1 x yf x ，且 1 ln 3 fxx，求 2 dy dx x 。 解：由题意知： 2525 11 dyxx f dxxx .1 分 2 2125 21 1 1 xx x f x x 2 253 1 1 x f x x .2 分 2 125 ln 1 1 x x x .1 分 所以， 1 ln3 29 dy dx x .1 分 （高数）4 18、若 2 (3)yf x，求 2 2 d y dx 解： 2 2(3)yxfx .2 分 22 2(3)2(3) 2yfxxfxx .2 分 222 2(3 )4(3 )fxxfx .1 分 19、求 3 1 1 dx x 解：令， 323 ,3xt xtdxt dt .1 分 原式 2 3 1 t dt t 2 1 1 3 1 t dt t 1 31 1 tdt t .2 分 2 3 33ln1 2 tttC 3233 3 33ln1 2 xxxC.2 分 20、求 22 1 cos4sin dx xx 解：原式 22 1 cos14tan dx xx .1 分 2 1 t a n 14 t a n dx x .2 分 2 1 2tan 12tan dx x 1 arctan 2tan 2 xC .2 分 （高数）5 四、四、 解答解答题（每小题题（每小题 6 分分，共共 18 分）分） 21、求arctanxx dx 解：原式 2 1 arctan1 2 x d x .2 分 22 1 1 arctan1arctan 2 xxxdx .2 分 2 1 1 arctan 2 xxdx 2 1 1 arctan 2 xxxC .2 分 22、求函数 2 1 x y x 的极值。 解：函数的定义域为： ,11, 22 222 21212 111 xxxxxxx x y xxx 所以得驻点： 2,0 xx .2 分 当2x 时，0y，函数单调递增，当21x 时，0y，函数单调递减。 当10 x 时，0y，函数单调递减，当0 x 时，0y，函数单调递增。 2400f xff xf 极大值极小值 ，.4 分 【注】 ：单调性 2 分，极值 2 分 23、设某工厂生产某产品的固定成本为 50000 元，每生产一个单位产品，成 本增加 100 元。又已知需求函数 1 500 4 pq，其中p为价格，q为产量，这种 得 分 （高数）6 产品在市场上畅销，试问欲使所获利润最大，需如何定价？并求最大利润。 解：由题意知： 总收益： 2 11 500500 44 R qp qq qqq 总成本： 10050000C qq 总利润： 2 1 40050000 4 L qR qC qqq.2 分 由 1 4000 2 L qq，而 1 0 2 Lq ， 得驻点：800q ，且价格300(/)p 元 单位 .2 分 当价格 300p元/单位时，利润最大， 其最大值为： 110000L q 最大值 （元） .2 分 五、五、 证明题（每小题证明题（每小题 5 分分，共共 10 分）分） 24、 设函数( )f x在0, 1上二阶可导， 010ff， 设 2 ( )F xx f x， 试证，在(0, 1)内至少存在一点，使得： 0F。 证明：因为 2 F xx f x，所以 ,Fx ,Fx在0, 1上存在， 又 010FF，由罗尓定理知： 1 0, 1， 使得： 1 0F， .2 分 而 0 F 23 0 30 x x f xx fx ， .1 分 Fx 在区间 1 0,上满足罗尓定理条件， 1 0,， 使得： 0F， .2 分 得 分 （高数）7 25、设函数( )f x具有二阶导数，( )0fx，设( )(0)(1)(1)g xfxfx， 求证在区