（信号与信息处理专业论文）非均匀滤波器组的研究.pdf

摘要 摘要 数字滤波器组在很多领域都有广泛的应用，例如，通信、雷达信号处理、系 统识别、语音编码、以及图像信号处理等。近来，非均匀滤波器组由于其能够实 现对频域的灵活划分而备受青睐。本文主要对非均匀滤波器组的理论和设计问题 进行研究。 首先，我们主要研究了设计完全重构非均匀滤波器组的方法以及非均匀滤波 器组完全重构的条件。我们对完全重构滤波器组的设计方法进行了系统的分类， 并指出了各种方法的特点。在非均匀滤波器组的完全重构理论研究方面，我们总 结并进一步拓展了完全重构滤波器组的采样因子要满足的条件。基于这些分析总 结，我们提出了系统地检测非均匀滤波器组采样因子的方法。通过所提出的系统 检测，我们可以很快的排除不能使相应的滤波器组得到完全重构特性的采样因子， 从而使保留的采样因子可能实现非均匀滤波器组的完全重构。需要注意的是，非 均匀滤波器组完全重构的充分必要条件仍然是个没有攻克的难题，所以我们并不 能保证保留下的采样因子一定能够使相应的滤波器组实现完全重构。 接着，我们提出了设计具有完全重构和线性相位特性的非均匀滤波器组的方 法。该方法基于非均匀滤波器组的重组结构。在重组结构的非均匀滤波器组中， 原始均匀滤波器组的分析部分的输出被重组均匀滤波器组的综合部分按照要求的 非均匀采样因子重新组合。在该方法中，为了保证设计得到的非均匀滤波器组有 好的滤波器性能，我们给出了原始均匀滤波器组和重组均匀滤波器组要满足的匹 配条件。通过这种方法，完全重构的线性相位的非均匀滤波器组的设计就转化为 均匀的线性相位滤波器组的设计，降低了设计复杂度。 最后，我们对非均匀滤波器组的合并方法进行了研究，并把用该方法设计得 到的非均匀滤波器组应用于信号的分解和去噪。在该应用中，根据信号的能量分 布和实际应用要求，我们把均匀滤波器组通过合并的方法设计成非均匀滤波器组。 设计得到的非均匀滤波器组可以根据能量分布来有效地分割信号。而且，如果信 号的低能量部分受到窄带噪声的干扰，我们可以通过该滤波器组有效地将窄带噪 声去除。仿真结果证明了我们的方法可以有效地提取信号的主要信息部分，并有 效地去除干扰信号的窄带噪声。 关键字：非均匀滤波器组均匀滤波器组线性相位完全重构近似完全重构 a b s t r a c t a b s t r a c t d i g i t a l f i l t e rb a n k sh a v eb e e nw i d e l yu s e di nm a n ya p p l i c a t i o n s ，s u c ha s c o m m u n i c a t i o n s ，r a d a r , s y s t e mi d e n t i f i c a t i o n , s p e e c hc o d i n g ，a n di m a g es i g n a l p r o c e s s i n g ，e t c r e c e n t l y , al a r g ea m o u n to fa t t e n t i o nh a s b e e np a i dt ot h es t u d yo ft h e n o n u n i f o r mf i l t e rb a n k s ( n u f b s ) d u et ot h e i rf l e x i b i l i t yi np a r t i t i o n i n gs u b b a n d s t h i s t h e s i sm a i n l ys t u d i e st h et h e o r ya n dd e s i g no fm a x i m a l l yd e c i m a t e dn u f b s f i r s t l y , w es t u d yt h ed e s i g nm e t h o d sa n dp e r f e c t r e c o n s t r u c t i o n ( p r ) c o n d i t i o n s f o r n u f b s w eg i v et h ec l a s s i f i c a t i o no ft h ed e s i g nm e t h o d si nt h el i t e r a t u r e ，嬲w e l la s t h e i rc h a r a c t e r i s t i c s f o rt h ep rn e c e s s a r yc o n d i t i o n s w es u m m a r i z ea n de x t e n dt h e n e c e s s a r yc o n d i t i o n st h a tt h es a m p l e r so fp rn u f b sm u s ts a t i s f y b a s e do nt h e s e a n a l y s e s ，t h es y s t e m a t i z e dt e s tf o rt h es a m p l i n gf a c t o r si sg i v e n b yt h es y s t e m a t i z e d t e s t ，w ec a l lq u i c k l yr c j e c tc e r t a i nd e c i m a t o r sf r o mb e i n gc o n s i d e r e dt ob u i l dp rn u f b s ， a n dr e m a i nt h o s ew h i c hh a v et h ep o s s i b i l i t yt oc o n s t r u c tp rn u - f b s n o t en o ta l lt h e s e r e m a i n e dd e c i m a t o r sc a nr e a l i z et h ep ro fn u f b ，b e c a u s et h es y s t e m a t i z e dt e s ti s b a s e do nt h en e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h ep rn u f b ，w h i l et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o no nd e c i m a t o rs e ti ss t i l la no p e np r o b l e m s e c o n d l y , w ep r o p o s eam e t h o df o rd e s i g n i n gn u t b sw i t hp ra n dl i n e a r - p h a s e ( l p ) p r o p e r t i e s t h em e t h o di sb a s e d o nt h er e c o m b i n a t i o ns t r u c t u r e ，w h e r et h eo u t p u t s o fau n i f o r mo r i g i n a lf i l t e rb a n k ( f b ) a r ec o m b i n e db ys y n t h e s i ss e c t i o no fa r e c o m b i n a t i o nf b w ed e d u c et h em a t c h i n gc o n d i t i o n sf o rt h eo r i g i n a l a n d r e c o m b i n a t i o nf b s ，w h i c ha r en e c e s s a r yf o rt h ec o n s t r u c t e dp rn u f b sh a v i n gg o o d f r e q u e n c yr e s p o n s e s w i t ht h o s ec o n d i t i o n sb e i n gs a t i s f i e d ，t h ed e s i g n i n go fp rl p n u f b sb e c o m e st h a to fas e to fp rl pu n i f o r l t lf b s ，r e d u c i n gt h ed e s i g nc o m p l e x i t y f i n a l l y , an o v e lm e t h o df o rs i g n a ld e c o m p o s i t i o na n dd e n o i s i n gi sp r o p o s e db a s e d o nt h en u f b w h i c hi sd e r i v e d 丘o mau n i f o r mf b ，i t ht h i sm e t h o d ，t h es i g n a li s f i r s t l yd e c o m p o s e di n t om s u b b a n d su s i n gau n i f o r mf b t h e na c c o r d i n gt ot h e i re n e r g y d i s t r i b u t i o n , t h ec o r r e s p o n d i n gc o n s e c u t i v ef i l t e r sa r em e r g e dt oc o m p o s et h en u f b w i t ht h er e s u h i n gn u f b ，t h es i g n a lc a l lb er e a d i l ym a t c h e da n df l e x i b l yd e c o m p o s e d a c c o r d i n gt oi t sp o w e rs p e c t r u md i s t r i b u t i o n f u r t h e r m o r e ，t h i sm e t h o dc a nb eu s e dt o d e t e c ta n dr e m o v et h en a r r o w b a n dn o i s ef r o mt h ec o r r u p t e ds i g n a l k e yw o r d s ： n o n u n i f o r mf i l t e rb a n k u n i f o r mf i l t e rb a n k f i n e a r - p h a s e p e r f e c t r e c o n s t r u e t i o n n e a rp e r f e c t r e c o n s t r u c t i o n 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名： 奎函 日期塑! ：圣：堕 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 本人签名：查疽丑 导师签名：日期笙箜墨：壁 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景 滤波器组被广泛应用于通信、语音编码、音频编码和图像信号处理【l 。5 】。如果 系统的输出和输入的差别只是幅度成比例和存在一定的延时，这个系统就被称为 完全重构的系统。m 通道的均匀滤波器组的理论和设计已经得到广泛地研究【6 以2 1 。 在2 0 世纪9 0 年代早期， 1 3 1 6 提出了余弦调制的滤波器组的设计方法。在这种 滤波器组中，分析和综合滤波器都是通过一个原型滤波器调制得来的。因此，对 于基于余弦调制的完全重构的滤波器组的设计，其完全重构的条件只需要加在原 型滤波器上，这样就大大降低了设计的复杂度。 与均匀滤波器组相比，非均匀滤波器组由于划分频谱更灵活，因而受到更多 的青睐。许多学者在非均匀滤波器组的理论和设计方面做出了不少的贡献l l7 。3 2 1 。 【1 7 首次提出了m 通道的非均匀滤波器组的结构。另外，一种在时域里分析非均 匀滤波器组的方法由n a y e b i 等人提出【3 引。 事实上，由于优化的参数较多，设计完全重构的非均匀滤波器组是比较困难 的。在 3 4 中，设计非均匀滤波器组的两级的重组结构被提出。在这种结构中，原 始均匀滤波器组的分析滤波器的输出被重组均匀滤波器组的综合部分重新组合， 从而得到非均匀的滤波器组。由于这种合并操作，这种设计非均匀滤波器组的方 法被称作间接方法或再结合方法。x i e 在 31 1 中，用这种结构来设计并得到完全重 构的非均匀滤波器组。在 1 9 中，一种直接设计完全重构非均匀滤波器组的方法被 提出。较之间接结构，非均匀滤波器组的直接结构能够更自由地对滤波器的性能 进行控制。 在一些应用中，比如图像编码，滤波器的线性相位性质是必须的。这是因为 滤波器的线性相位特性能够避免重构图像时产生人为噪声。在设计非均匀滤波器 组的方法中，能设计得到具有线性相位的非均匀滤波器组的方法并不多【2 0 】【3 2 】 3 5 - 3 6 】。一种比较常用的设计线性相位的方法是基于直接结构的设计方法【2 0 】 3 6 - 3 7 】。 在 3 7 的设计方法中，每一个线性相位的分析和综合滤波器都是单独设计的。 3 6 是通过一种迭代算法来设计得到具有线性相位的非均匀滤波器组的。w a d a 在 2 0 中给出的方法是通过借助复系数的插值和取样滤波器来实现近似完全重构的线性 相位非均匀滤波器组的设计的。一种设计具有线性相位特性的完全重构的非均匀 滤波器组的简单方法是树形结构的方法。但是这种方法对采样率有严格的限制， 而且这种设计方法中的级联结构使设计得到的系统延时较大。我们更需要一种延 时较低、采样率灵活的具有线性相位特性的完全重构非均匀滤波器组。 2非均匀滤波器组的研究 1 2 论文的贡献 在论文的第一部分，我们对现有的设计完全重构滤波器组的方法进行了总结， 并给出了各种方法的特点。正如我们所知，如果要求设计的非均匀滤波器组的采 样因子不能从理论上使对应的滤波器组实现完全重构，那么，即使我们用设计完 全重构滤波器组的方法来设计这组滤波器，得到的系统也不会具有完全重构的特 性。因此，在总结和扩展了完全重构非均匀滤波器组的采样因子要满足的必要条 件的基础上，我们给出了针对采样因子的系统化的测试。基于这种测试，我们可 以很快的挑出那些不能实现完全重构的采样因子集合，进而，使留下的采样因子 更有可能使要设计的非均匀滤波器组具有完全重构的特性。要注意的是，并不是 所有留下来的采样因子集合都能使相应的非均匀滤波器组具有完全重构的特性。 这是因为，非均匀滤波器组实现完全重构时，采样因子要满足的充分必要条件仍 然是一个没有解决的难题。 接着，我们提出了一种设计具有线性相位特性的完全重构非均匀滤波器组的 方法。这种方法是基于非均匀滤波器组的重组结构的，在这种结构中，原始均匀 滤波器组的分析部分被重组均匀滤波器组的综合部分结合，从而获得非均匀的采 样。在这种方法中，为了使设计得到的滤波器性能较好，我们提出了原始均匀滤 波器组和重组均匀滤波器组之间要满足的匹配条件。当这些条件被满足的时候， 具有线性相位的完全重构的非均匀滤波器组的设计就转化成了具有线性相位的完 全重构的均匀滤波器组的设计，降低了设计的复杂度。 最后，我们提出了一种信号分解和去噪的方法，作为非均匀滤波器组在信号 处理中的一种应用。该方法中用到的非均匀滤波器组是由均匀的余弦调制滤波器 组组合而来的。利用设计碍到的非均匀滤波器组，我们可以根据信号的能量灵活 的分解信号。另外，如果信号的低能量部分被窄带噪声干扰，我们可以通过设计 得到的非均匀滤波器组有效地检测并去除噪声。为了说明该方法的有效性，论文 最后给出了一个提取音频信号主要能量并取出信号毛刺的仿真。 1 3 论文结构 以下是论文的主要结构安排： 第二章主要介绍了多速率系统和滤波器组的基础知识。 第三章致力于现有的完全重构非均匀滤波器组设计方法的分类，以及完全重 构非均匀滤波器组的采样因子要满足的必要条件的总结和拓展。基于这些工作， 我们提出了系统地检测完全重构非均匀滤波器组采样因子的方法。 在第四章中，我们提出了一种设计具有线性相位特性的完全重构非均匀滤波 器组的方法，并给出了该方法中用到的均匀滤波器组要满足的匹配条件。 第一章绪论 我们在第五章中提出了一种基于非均匀滤波器组的信号分解和去噪方法。该 方法中用到的非均匀滤波器组是由均匀的余弦调制滤波器组合并得来的。 最后，我们对现有的工作进行了总结，并对未来的工作进行了展望。 第二章多速率系统和滤波器组的基础 第二章多速率系统和滤波器组的基础 2 1 引言 这一章我们主要回顾在这篇论文中将要用到的多速率和滤波器组的基础知 识。 2 2 节中主要讲的是多速率系统的基础知识。2 3 节介绍了临界采样的m 通道 滤波器组，及其完全重构的理论。其中着重介绍了均匀滤波器组的完全重构理论， 这一理论是分析非均匀滤波器组的完全重构的基础。2 4 节对本章的内容进行了总 结。 2 2 1 上采样和下采样 2 2 多速率系统的基础 下采样和上采样是多速率数字信号处理中最基本的操作。图2 1 ( a ) 表示的 是下m 采样，图2 1 ( b ) 中表示的是上m 采样。 图2 1 ( a ) 下膨采样器( b ) 上m 采样器 下采样操作中，输入和输出在时域中的关系是 y d ( n ) = x ( m n ) ， ( b ) 在z 域中的关系是 ( z ) = 查以咖一= 童z ( 胁) z - “= 击篆x ( z l ，m 如果用频域变量表示，公式则变成 蹦) = 击鼢7 宁) ， 在时域中，上采样的输入输出关系是 y c ，z ，= x 富7 彳) 咒絮式。2 4 ， ， 频域中是 非均匀滤波器组的研究 圪( z ) = y e ( 以) z 一= x ( k ) z 一肼= x ( z m ) 式( 2 5 ) ? = - - 0 0k = - - 用翻表示则有匕( p 加) = x ( e 7 删) 。这表示y g ( e ) 是x ( p ) 在频带上压缩了m 倍。 2 2 2 多速率恒等式 当上采样m 和下采样上互质的时候，图2 2 中的两个结构是等价的。 砌) 蛔卧y 加) 工( 甩) 叫个l 叫j ，m 卜y 2 ( 刀) i _ ji _ j 图2 2 两个常用的上下采样相联系的结构，当m 和l 互质时两个结构是等价的 图2 3 中表示的是两个经典的等价关系。 图2 3 多速率等价关系 2 2 3 多相位表示 为了使对系统的分析简单，我们通常会对滤波器进行多相位分解。我们定义 吼( ，z ) = h ( n m + 七) 0 k m 一1 e i ( z ) = 这样，我们可以把h ( z ) 分解表示为 m 一1 日( z ) = z e 。( z ) 式( 2 6 ) 式( 2 7 ) 式( 2 - 8 ) 这个等式被叫作日( z ) 的t y p e 一1 多相表示，其中e ( z ) 是多相位成分。我们也 可以把式( 2 8 ) 写成 m - 1 日( z ) = z 州1 廿r t ( 2 ) k = 0 r t ( z ) = e u - 1 - t ( z ) 。 式( 2 9 ) 式( 2 1 0 ) 第二章多速率系统和滤波器组的基础 式( 2 1 0 ) 是日( z ) 的t y p e 一2 多相位表示。这里的多相位成分尺。( z ) 是巨( z ) 的移位。 2 3 完全重构滤波器组 2 3 1 最大抽取完全重构滤波器组 图2 4 表示的就是最大抽取滤波器组的结构图。 砌，r 匝卜怔卜怔卜咂m 亟卜恒砸弘 图2 4 最大抽取滤波器组的结构图 我们用h 。( z ) 和疋( z ) ( k = 0 , 1 ，m 一1 ) ，分别表示分析和综合滤波器。第k 个 分析滤波器日。( z ) 的频带位置是万k n ：，竺毫坚】。如果输出信号曼( 力) 是输入信 圣( ，z ) = t 2 x ( - - d ) 这里c 是非零的常数，刀d 是一个正整数。这种情况下，我们就说这个系统是完 全重构的。 很明显，如果我们用到的滤波器是理想滤波器，那么图2 4 所示的系统就是完 全重构的系统。但是，事实上，由于我们设计的滤波器的长度是有限的，所以是 无法实现理想滤波器的设计的。幸运的是，一些文献，如i 3 8 3 9 ， 1 1 ， 1 3 并1 1 1 8 ， 给出了用非理想滤波器来设计完全重构滤波器组的方法。 2 3 2m 通道均匀滤波器组 如图2 4 所示的m 通道的滤波器组在通道数等于上下采样因子的情况下，即 m 。= m ，就是m 通道的均匀滤波器组。下面我们会介绍均匀滤波器组要实现完全 重构的条件【1 1 】【18 】【3 9 埘】。 非均匀滤波器组的研究 我们可以用矩阵在z 域进行分析，用i m 来表示m x m 的单位矩阵，j m 表 示反单位矩阵。h ( z ) ，f ( z ) 和e ( z ) 分别表示分析矩阵，综合矩阵和延时链，他们 的表达式如下： h ( z ) = 日o ( z ) 日l ( z ) 日j i i ，一1 ( z ) f ( z ) = r ( z ) e ( z ) 厶一，( z ) e ( z ) = 我们根据系统的结构图知道，输出信号的表达式如下 j ( z ) = 万1m 刍- 1x ( z 形7 ) m 荟- l 巩( z 形) e ( z ) 。 该表达式可以进一步写成更一般的形式： ，- l 又( z ) = a ，( z ) x ( z w7 ) 式( 2 1 4 ) 我们把x ( z w7 ) 叫做输入信号的混叠成分，而a l ( z ) ( ， 0 ) 叫做混叠传输函数。 很明显，当且仅当4 ( z ) 满足以下条件时混叠失真会被消除 a ，( z ) = 0 1 ，m l 。 式( 2 1 6 ) 这时，输出信号变成 岩( z ) = 丁( z ) x ( z ) ， 式( 2 1 7 ) 这里t ( z ) 是失真函数 酢州o ( z ) = 击静( z ) 眦) 。 如果it ( e ，m ) i 不是一个常数( 比如t ( z ) 不是全通的) ，就会有幅度失真，如果r ( z ) 不是线性相位的，就会存在相位失真。 用t y p e 一1 和t y p e 一2 的多相位表示，我们可以用矩阵的形式把 表示成 h ( z ) = e ( z 肘) e ( z ) ，f t ( z ) = e t ( z ) j j | l ，r ( z m ) 这里e ( z ) 和r ( z ) 分别是 h 。( z ) 和r ( z ) 式( 2 1 9 ) 一 1 o m z 吖 z ，i 一m 一 一 o 、，0r、j 形 0 七 日 脚 。一m j i 、，04 中 其 第二章多速率系统和滤波器组的基础 e ( z ) = i ( z ) l 巨。( z ) ： 1 - 1 - 。( z ) 毛。( z ) e o 村一。( z ) 巨1 ( z ) e 1 肌1 ( z ) - 1 】( z ) _ l 肘一1 ( z ) r ( z ) = r 。( z )风，( z ) r m 一，( z ) r l o ( z ) r 1 l ( z ) r 1 , m - i ( z ) ；i i 1 o ( z ) - l l ( z ) - l ，川( z ) 因此，我们可以重新画出m 通道均匀滤波器组的结构，如图2 5 ( a ) 所示。基于 多速率系统的恒等式，e ( z m ) 和r ( z 肘) 分别可以和下、上采样交换位置，进而得 到图2 5 ( b ) 。我们把r ( z ) 和e ( z ) 的乘积记做p ( z ) 。 ! ) 岖丑母 ， e ( 扔 岖蛩母r ( 凼 r、 il ， 吨丑咂小 4卜 _ 广 岖弘叫丝卜 + 岖卜酗 r ( z )恼 ro 。j l l c _ l 1 佩 叫个m p ( a )( b ) 图2 5 ( a ) 多相位表示的肘通道的均匀滤波器组，( b ) ( a ) 的等价结构 m 通道的均匀滤波器组当且仅当如下条件成立时是完全重构的【1 2 】 p c z ，= r c z ，e c z ，= c z 吖 z 三，i 苫7 村。村， 这里c 是非零常数，j 和丫都是整数且0 丫m 一1 。其中一种特殊的情况是 p ( z ) = r ( z ) e ( z ) = c z i 式( 2 2 1 ) 对于正交的滤波器组来说，玩( ，z ) 和五伽) 是满足时间翻转关系的18 1 ，即有 r ( z ) = z 一5 豆( z ) = z 一e ：( z ) 。因此，这种滤波器组的完全重构条件是 豆( z ) e ( z ) = c l 肘。 式( 2 2 2 ) 2 3 3 非均匀滤波器组 图2 4 中所示的滤波器组，在m 。不是总等于m 的情况下，就是非均匀滤波器 组。非均匀滤波器组由于其能够灵活地划分频谱，所以在很多应用中备受欢迎， 如音频编码和子带自适应滤波。因此，完全重构的非均匀滤波器组的设计备受人 们所关注。关于非均匀滤波器组的详细理论和设计我们会在第三章给出。 非均匀滤波器组的研究 2 4 总结 这一章中我们回顾了多速率系统和滤波器组的基础理论。介绍了临界采样m 通道滤波器组及其完全重构的理论。着重介绍了均匀滤波器组的完全重构理论， 这一理论是分析非均匀滤波器组的完全重构的基础。引出了非均匀滤波器组的概 念，为以后各章节讨论的展开做好了铺垫。 第三章完全重构非均匀滤波器组设计和理论的回顾 1 1 第三章完全重构非均匀滤波器组设计和理论的回顾 3 1 引言 临界采样的完全重构均匀滤波器组的理论和设计方法在很多文献中已经有了 很好地研究。1 2 】 1 4 】畔4 6 1 。但是在一些应用中，如音频编码，非均匀滤波器组由于 能灵活地划分信号，所以倍受青睐。因此，有效的设计完全重构非均匀滤波器组 的方法就被提上日程，【1 9 2 0 】 2 7 2 8 【3 1 3 3 3 4 】 3 6 4 2 4 7 5 4 中给出了一些设 计方法。在这些方法中，一些是通过把非均匀滤波器组的设计转化为均匀滤波器 组的设计来间接设计非均匀滤波器组的2 7 。2 8 】【3 1 】【3 4 】 4 2 】【4 8 】，一些是通过时域分析【3 3 】 【5 1 】或者频域分析【2 0 】【3 6 】 4 9 4 0 1 来直接设计非均匀滤波器组的。 这些设计方法的研究促进了完全重构非均匀滤波器组的进一步发展，但是只 是对设计方法的研究还是不够的。如果采样因子无法从理论上保证非均匀滤波器 组能够实现完全重构，那么，即使使用设计完全重构非均匀滤波器组的方法来设 计该组滤波器，也是无法使系统实现完全重构的。因此，在设计滤波器组之前， 首先估计采样因子能否从理论上使滤波器组实现完全重构是非常重要的。 为了保证非均匀滤波器组能够实现完全重构，【1 7 】【2 4 】【5 5 5 8 提出了一些完全 重构非均匀滤波器组的采样因子要满足的必要条件。也就是，如果非均匀滤波器 组要实现完全重构，其采样因子就必须要满足的条件。遗憾的是，到目前为止， 对于这些完全重构非均匀滤波器组的采样因子要满足的条件，并没有系统的总结， 对完全重构非均匀滤波器组采样因子的判断也没有系统化。尽管 5 8 有一定的对 这些检测的步骤的总结，但是并不系统。这一章，我们全面总结了现有的完全重 构非均匀滤波器组采样因子要满足的条件，及各条件之间的关系。并在此基础上 把对完全重构的非均匀滤波器组采样因子的检测系统化。 3 2 完全重构非均匀滤波器组设计方法的分类 在设计完全重构非均匀滤波器组的方法中，通过特殊的结构或者矩阵转换把 完全重构非均匀滤波器组的设计转化为完全重构均匀滤波器组的设计，我们称之 为间接的设计方法。在这种设计方法中，只要用到的均匀滤波器组是完全重构的， 设计得到的非均匀滤波器组也能够实现完全重构。另外一种设计方法是直接设计 方法，这种设计是根据在时域或者频域对滤波器组的系统进行直接研究，进而设 计滤波器组的方法。这种方法用到的滤波器组的系统结构相对于间接设计方法用 到的结构简单，而且更易于控制滤波器的特性。 非均匀滤波器组的研究 3 2 1 间接设计 在间接设计方法中，完全重构的非均匀滤波器组的设计，通过树形结构、间 接结构或者矩阵变化等方式，转化成完全重构的均匀滤波器组的设计。 树形结构 树形结构是通过级联均匀滤波器组来设计要求的非均匀滤波器组的一种简单 有效的方法。在树形结构中，某一级的子带可以继续被一组均匀滤波器组分解， 进而实现对频带的非均匀划分，如图3 1 所示的采样因子是( 6 ，6 ，6 ，2 ) 的非均匀 滤波器组的例子。如果树形结构中用到的均匀滤波器组是完全重构的，且在相应 的支路进行了延时补偿，那么，如此设计得到的非均匀滤波器组就具有完全重构 的性质。这种基于树形结构的方法在构造非均匀小波滤波器组中被广泛地应用【4 2 1 。 但是这种方法对采样因子的要求很苛刻，而且设计得到的系统延时较长。 l 岍习f 因册陬引i q ( z ) h 山2 个2hf ( z ) 图3 1 采样因子为 6 , 6 ，6 ，2 ) 的树形结构非均匀滤波器组 基于多路复用器的子带融合 另外一种设计完全重构非均匀滤波器组的方法是基于多路复用器的子带融合 结构的设计方法，该结构如图3 2 所示。在这个两级的间接结构中，原始均匀滤波 器组的分析部分被多路复用器的综合部分融合，进而得到非均匀的子带。 山m 上m 山m 山m 竺p 世 互恒 瓦卜隔 巩一c h a n n e l t m u x a n a l y s i sf i l t e r s 个m 卜 l 曰 鲥 量纠 囫 r t + m t - i ( ：) 叫! 丝h 垒：! 塑 s y n c sf i l t e r s 图3 2 非均匀滤波器组的间接结构 卫 趣髓慨 嚣一 攀霉霉瓣 第三章完全重构非均匀滤波器组设计和理论的回顾 1 3 其中，z ，和m 分别表示多路复用器和原始均匀滤波器组的通道数。如此设计得到的 非均匀滤波器组的采样率为聊，m ( f - 0 ，三一1 ) ，上是非均匀滤波器组的通道 数。很明显，这种方法设计得到的非均匀滤波器组的采样率是很灵活的。而且， 如果原始均匀滤波器组和多路复用器是完全重构的，在相应的支路补偿了延时之 后，设计得到的非均匀滤波器组就是完全重构的。x i e 在文献 2 7 2 8 3 1 中利用这 种结构实现了对完全重构非均匀滤波器组的设计。 基于矩阵变化的子带融合 通过合并余弦调制的均匀滤波器组的子带从而得到余弦调制非均匀滤波器组 的设计方法是一种设计非均匀滤波器组的简单方法。这种方法被称为子带融合方 法。在这种方法中，非均匀滤波器组的第i 通道的滤波器日，( z ) 可以通过均匀滤波 器组中p 个相邻滤波器的线性组合得到，被组合的起始滤波器为日：( z ) ， h 如) = e ：+ ，磷+ ，( z ) k = o ，m p式( 3 - 1 ) 其中，磙，( z ) 是均匀滤波器组中相应的滤波器，仇+ ，= 一是合并系数，七是要合 并的均匀滤波器组中滤波器的起始通道，m - - 和p 分别是均匀滤波器组的通道数和要 得到鼠( z ) 需要合并的均匀滤波器组的通道数。 融合操作是通过相应的矩阵实现的。这里我们以p = 2 为例。我们用矩阵 a c 肌来表示均匀余弦调制滤波器组的分析滤波器的矩阵。我们通过矩阵运算 a ：s a 得到要设计的非均匀滤波器组的分析滤波器的矩阵a ，其中 lh o ( 0 )h o ( n - 1 ) l a = i ； i s = l 一。( o ) k 一。( 一1 ) j 1 o ；11； ；111 o 1 c 村。 这种设计得到的非均匀滤波器组继承了均匀滤波器组的很多性质，如大的阻带衰 减、完全重构的特性。在这种方法的研究上，o m a r 做出了不少的贡献【4 8 1 。但是， 这种方法设计的非均匀滤波器组会在合并得到的单条支路有大块混叠。 尽管这些间接的设计方法可以保证设计得到的非均匀滤波器组能够实现完全 重构，但仍然存在上述无法克服的问题。 非均匀滤波器组的研究 3 2 2 直接设计 与间接设计相比，直接的设计方法能够更好地控制滤波器的波形，并且得到 的系统延时较低。在直接设计方法中，滤波器组是一级结构，因此分析和综合滤 波器并不是通过合并而是直接设计得到的。 基于取样插值( d e c ，i n t ) 滤波的设计方法 正如我们所知，在滤波器组中大的混迭是由滤波器频谱的正半部分和负半部 分交叠形成的。基于取样插值滤波的设计非均匀滤波器组的方法，是用复系数的 取样插值滤波器反( z ) ，k = 0 ，m 一1 ，去除分析滤波器的频谱的负半部分，进 而避免了混迭的产生。用这种方法设计得到的系统如图3 3 所示 圳r 匝h 至m 丑伍卜匝岫 ：t i。i i i l i l 互h 互h 圈吨丑岖习岖墨上艄 图3 3 基于d e c i n t 滤波的非均匀滤波器组的结构 取样插值滤波器毋( z ) 的支撑域是和分析滤波器风( z ) 在正频率上的支撑域相同。 也就是，b ( z ) 可以滤除日。( z ) 中与正频率成分对称的负频率成分。也就是因为正 频率部分和负频率部分相对于原点是对称的，所以，输出信号的负频率部分可以 通过其正频率部分对称得到。也就是说，信号是没有信息损失的。对于分数采样 的系统思想是相似的，结构图如图3 4 所示 图3 4 基于d e c i n t 滤波的有理采样的非均匀滤波器组的一条支路 b l m t 4 9 巧。咖w a d a 2 0 1 对这种设计方法作出了不少贡献。我们要注意的是，由 于这种方法的特殊性，设计得到的滤波器组系统只能处理实信号。 在频域通过迭代直接设计滤波器 与上述消除混迭的思想不同，该方法在频域分析混迭项出现的情况后，通过 优化迭代来逐步消除产生的混迭，进而求解出满足要求的滤波器的系数。这种方 法可以用来设计图3 5 所示的一般结构的非均匀滤波器组。 第三章完全重构非均匀滤波器组设计和理论的回顾 1 5 砌，刊互h 丑屯 母 1 1 互卜叵卜伍 母 l i 亚卜匹卜恒 岖丑上如， 图1 气一船结构的临界票栏韭均匀渡游恶幺日 在该方法的优化中，优化的初始值可以由很多设计方法得到，比如最小二乘 法、r e m e z 算法以及其他的方法。分析和综合滤波器组的系数在这个迭代算法中， 交替的得到。当幅度失真和混迭失真最小的时候，算法终止。在该算法中，完全 重构约束的最小二乘误差被最小化，并没有用到非线性规划技术。这种方法能够 做到的完全重构的程度很高。但是，目标函数只是使幅度失真和混迭很小，因此， 得到的滤波器的性能并不是很好【3 6 】。 时域分析 另一种直接设计方法是在时域直接构造和分析非均匀滤波器组。这种方法是 一种新颖的设计方法，并适用于整数和分数采样。这种方法是由n a y e b i 【3 3 】 5 1 - 5 2 】 提出的。但是问题在于，该方法中非线性约束的求解比较困难。 尽管直接设计方法能够较好的控制滤波器的性能，较之间接设计自由度较大， 但是设计得到的系统的完全重构的程度并不高。其中一个主要原因是，在设计前 并没有对采样因子进行分析，并不是所有的采样因子都能使直接结构的非均匀滤 波器组实现完全重构的。下面我们主要分析要实现完全重构时非均匀滤波器组的 采样因子要满足什么条件。 3 3 非均匀滤波器组完全重构的系统化的必要条件 上一节中所述的设计方法促进了完全重构非均匀滤波器组的进一步发展，但 是只是对设计方法的研究还是不够的。这是因为，如果采样因子无法从理论上保 证滤波器组能够实现完全重构，那么，即使用设计完全重构滤波器组的方法来设 计该组滤波器也是无法使系统实现完全重构的。因此，在设计滤波器组之前，首 先估计采样因子能否从理论上使滤波器组实现完全重构是非常重要的。 在这一节中，我们给出了对非均匀滤波器组采样因子的系统化测试。通过这 些系统化的测试，我们可以很快去除那些理论上就不能使滤波器组实现完全重构 的采样因子集合，进而，留下的采样因子实现非均匀滤波器组完全重构的几率就 非均匀滤波器组的研究 很大。为了引出对采样因子的系统化的测试，我们首先介绍一些定义，然后回顾 近年来一些学者对采样因子要满足的必要条件的研究情况。 3 - 3 1 一些基本定义 1 ) 兼容集( c o m p a t i b l es e t ) 假设数集s = ，z 。，l i ，n m - 1 ) 中的数字是按照从小到大的顺序排列的正整数， 也就是，n o 啊一。如果s 满足以下条件，我们就说s 是一个兼容集 ( c o m p a t i b l es e t ) 。 ( a ) m 枷- 1 1 n k = 1 ， ( b ) 对于每一个吩，( s 一1 ) ，都存在，( 0 一1 且吩，l ，) ，使w 一, = 嘭。 由此可知兼容集的特点是，数集中任何一个数都能在该数集中找到它的因子 ( 最大的因子是另一个最大采样因子的因子，这也就是最大的采样因子要不止一 个的原因) 。我们可以根据兼容集的特点，来判断一个数集是否为兼容集。 2 ) 不能有互质的采样因子( n oc o r p r i m es a m p l i n gf a c t o r s ) 根据完全重构的定义，我们知道，对于一个图3 5 所示的一般结构的临界采样 非均匀滤波器组来说，当且仅当以下条件成立时该系统才是完全重构系统 ( $ g o = s ( i - j ) 式( 3 2 ) 其中g 是，z ，和n j 的最大公约数。可以证明，当存在互质因子时，式( 3 2 ) 不成立。 也就是，当存在互质因子时，滤波器组系统是不可能实现完全重构的。 3 ) 强兼容集( s t r o n g e rc o m p a t i b l es e t ) 现在，我们假设采样因子组成的数集中有o 个，1 个玛，心一，个以纠， 在这个假设中以，甩( f ) 且o + l + + 心1 = m 。定义砖= l c m n ， n , 。 要使该非均匀滤波器组实现完全重构，必须满足下面的公式 m j 一1 m ，o j k 一1 ， 式( 3 3 ) 其中 m j ：l a t i n i ：t c m ( k i , k j ) ，0 s j k 一1 。 式( 3 4 ) k ： 。 。 详细证明请见参考文献 5 6 】。 第三章完全重构非均匀滤波器组设计和理论的回顾 1 7 我们以采样因子为 26 f n i ，z f 毫 ，卵二 1 01 2 1 23 03 0 的非均匀滤波器组为例 o 1234 2 2 1 11 3 01 21 062 2 561 03 0 32111 其中一1 = 2 = n o ，所以该组采样因子对应的非均匀滤波器组的系统是无法实现 完全重构的。 这里我们给出进一步的分析。其实，对于因子辫，如果它是另一个因子n ， ( i j ) 的因子，如上面例子中的1 0 、6 、2 是3 0 的因子，我们可以不对n i 在进 行强兼容集的判断，因为n ，一定会满足该条件的，证明如下： n j 邵也 j 七：口jm：mii锄(akj,kj)k：1l 托向：矗：上 j t = 口j j 2 赢。_ 卅 聊，f f 1j 要注意的是，强兼容集的判断不再适用于树形结构，具体的分析请参见文献 5 8 】。 4 ) 合理划分( f e a s i b l ep a r t i t i o n ) 假设非均匀滤波器组各通道对应的采样因子为( ，z l ，一。) ，为了避免设 计得到的非均匀滤波器组产生大的混迭，在设计之前，我们必须先分析采样因子 是不是能保证该滤波器组是合理划分的。对于一个合理划分的滤波器组来说，如 果分析和综合滤波器设计的合理，该滤波器组能够保证大块混迭的消除，进而有 可能实现完全重构。通过在频域中的分析，我们知道，为了使非均匀滤波器组是 合理划分的，采样因子必须满足如下条件【2 2 1 【2 4 1 【3 7 】 x i - 1 0 l ，z ，= 4