（信号与信息处理专业论文）水声目标检测中随机共振方法的应用.pdf

摘要本文的主要工作是研究随机共振在信号处理领域的应用首先，本文回顾了随机共振的研究历程，概述了非线性动力学系统的基本概念，介绍了近年来随机共振的研究重点。在介绍非线性动力学系统时，着重介绍了朗之万方程，它是随机共振研究的重点，是推导随机共振各算法的依据。其次，本文介绍了随机共振的基本理论。在详细讨论其理论的基础上，给出了两种求解随机共振问题的数值计算方法：龙格库塔算法和随机微分方程二阶算法，并给出了该两种算法的具体推导过程。再次，本文分析了应用随机共振方法检测强噪声背景下的微弱周期信号时，不同系统参数条件下的检测结果的异同，并给出了调节系统参数的方法。对两种数值计算方法均给出了详细的实验结果，并对两种算法进行了比较。文中还大致介绍了混响的模拟方法。之后，将随机共振的两种数值计算方法应用于以模拟混响为背景干扰的信号检测中，并对结果进行了详细的分析。在第五章中，将以上所讨论的数值算法应用于实际的湖试混响信号。通过在其中加入j 下弦信号、方波信号等，观察其输出结果，检测该两算法的性能，并对该两算法进行了评价。最后，总结了本文的工作，并对未来的研究工作进行了展望。关键词：随机共振，混响，龙格库塔算法，随机微分方程二阶算法a b s t r a c ti nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ea p p l i c a t i o no fs t o c h a s t i cr e s o n a n c ei nt h ef i e l do fs i g n a la n di n f o r m a t i o np r o c e s s i n ga r er e s e a r c h e d f i r a t , t h i sp a p e rr e v i e w st h er e s e a r c hp h y l o g e n yo fs t o c h a s t i cr e s o a a n c e ，b r i e f l ys u m m a r i z e st h eb a s i ck n o w l e d g eo fn o n l i n e a rd y n a m i c s ，t h ee m p h a s e so fr e c e n ty e a r sr e s e a r c ho ns t o c h a s t i cr e s o n a n c ea r eb r i e f l yi n t r o d u c e dt o o w h e ni n t r o d u c et h et h e o r yo fi l o n l i n e a rd y n a m i c s ，e m p h a s i z e so nt h ee q u a t i o no fl a n g e v i n ，w h i c hi st h eb a s i so fd i f i e r e n tf l g o r i s mo f s t o c h a s t i cr e s o n a n c e n e x t ，t h i sp a p e rd e t a i l e di n t r o d u c e st h et h e o r yo fs t o e h a s t i cr e s o n a n c e b a s e do nt h et h e o r y , t w od i f i e r e n ta l g o r i s m sa r ei n t r o d u c e d ：r u n g e k u t t aa l g o f i s ma n dt h e2 r a n k e dd i 行c r e n t i a le q u a t i o na l g o r i s m 。a l s o t h ed e t a i l e dd e d u c f i o no ft h i st w oa l g o r i s m sa r eg i v e ni nt h ep a p e r n e x t ，t h i sp a p e rf o c n s e so nt h ed i f f e r e n tr e s u l t sa r o s eb yd i f r e r e n ts y s t e mp a r a m e t e r sw h e nu s i n gt h em e t h o do fs t o c h a s t i cr e s o n a n c et od e t e c tt h ew e a kp e r i o d i cs i g n a li nh e a v i l yb a c k g r o u n dh i s s ，a n dp r e s e n t st h em e t h o do nh o wt oa d j u s tt h es y s t e mp a r a m e t e r s d e t a i l e de x p e r i m e n tr e s u l t sa r eg i v e ni nt h ep a p e rc o r r e s p o n d i n gt ot h et w od i t i e r e n ta l g o f i s m s b a s e do i lt h ee x p e r i m e n tr e s u l t s ，t h i sp a p e rc o m p a r e st h et w od i f i e r e n ta l g o r i s m s t h em e t h o do fh o wt os i m u l a t et h er e v e r b e r a t i o ni si n t r o d u c e di nt h ep a p e r a t i e rt h a t ,u s i n gt l l i st w oa l g o r i s m si nt h es i m u l a t e dr e v e r b e r a t i o nb a c k g r o u n ds i g n a ld e t e c t i o n 1 1 圮n g i v et h ed e t a i l e da n a l y s i so f t h er e s u l t s i nc h a p t e r5 ，t h et w oa l g o r i s m s 一- r u n g e k u t t aa l g o f i s ma n dt h e2 r a n k e dd i f i e r e n t i a le q u a t i o na l g o r i s m - - a r ea p p l i e di nt h er e a lr e v e r b e r a t i o ng a t h e r e df r o mt h el a k e d ot h ew o r k ：a d ds i ns i g n a li nt h er e v e r b e r a t i o n ，a d ds q u a r e ds i g n a li nt h er e v e r b e r a t i o n u s i n gt h et w oa l g o r i s m st os o l v ei t o b s e r v i n gi t so u t p u td a t a b a s e do nt h eo u t p u td a t a , e v a l u a t e st h ep e r f o r m a n c eo f t h et w oa l g o r i s m s f i n a l l y , s u m m a r i z et h ew o r ko f t h i sd i s s e r t a t i o na n dg i v et h ep r o s p e c to f t h ef u t u r ew o r k k e yw o r d s ：s t o c h a s t i cr e s o n a n c e ，r e v e r b e r a t i o n ，r u n g e k u t t aa l g o r i s m ，2 - r a n k e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o na l g o r i s m 1 i东南大学学位论文独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。研究生签名：i 兰拯日期：竺! ! ：! ：娼东南大学学位论文使用授权声明东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公饰( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。研究生签名：墨熟导师签名：i 垒! 竺垒日期：z 寸。a东南大学硕士学位论文1 1 引言第一章绪论非线性科学是一门研究非线性共性的基础科学，它是2 0 世纪6 0 年代以来，在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为2 0 世纪自然科学的第三次大革命。非线性科学的研究不仅具有重大的意义，而且有广泛的科学前景，它几乎涉及到自然科学和社会科学的各个领域，并正在改变着人们对现实世界的传统看法。在非线性科学的研究中，已涉及到确定性与随机性、有序与无序、偶然性与必然性、量变与质变、整体与局部等范畴和概念的重新认识，它将深刻地影响人类的思维方法，并涉及到现代科学的逻辑体系的根本问题。非线性条件下的随机力的反直观作用：随机力又称为噪声、涨落，它反映了微观粒子的随机运动对宏观变量演化的作用。一般认为，随机力只能对描述系统规律的确定性方程结果产生微小的改变，同时，由于它通常表现为微观运动对宏观演化过程的杂乱无章的作用，因此，随机力被普遍认为是有害的，它破坏序，破坏功能等等。然而，非线性科学和统计物理学的发展使人们对随机力的认识发生了根本性的转变，在一定的非线性条件下，随机力能够对系统的演化起到决定作用，甚至能完全改变系统的状态。同时，随机力也往往起着与人们直觉相反的作用，即它并不总是破坏系统的有序行为，有时它能产生相关运动，帮助系统建立有序性。例如，随机力可以改变系统的分岔特性，从而诱导出新的时空有序结构：随机力的存在能够促使一个非平衡定态到另一个非平衡定态的跃迁等。1 2 随机共振的研究历程随机共振是1 9 8 1 年由b e n z i 等人在研究地球气候的“冰川期”与“暖气候期”周期性交迁时提出的。他们认为，由地球轨道偏心率的周期变化所产生的小周期扰动在随机涨落的作用下，导致了气候的巨大变化，他们称这种现象为随机共振。1 9 8 3 年，f a u v e和h e s l o t 第一次用实验验证了随机共振的存在。1 9 8 8 年，m c n a m a r a 等人在环型双向氦氖激光器中再次证实了随机共振的存在。从此，随机共振引起了学者们的广泛关注，有关的新理论不断出现，绝热与完全非绝热状态动力学理论被提出，线性响应的近似描述也被引用来阐明随机共振。9 0 年代初，c o l l i n s 提出了非周期随机共振理论。非周期随机共振概念的提出是随机共振走向实际应用发展的标志，也是随机共振与信息理论相结合的开端，使得随机共振这一非线性现象在信号处理、通信、雷达、声纳、生物系统、医学图像处理、光学、量子物理、电子线路、化学以及电磁学等许多方面的应用不断深入。1 9 9 5 年以来，有关随机共振的科技文章每年都超过百篇；自1 9 9 1 年开始，n a t u r e杂志每年都有随机共振最新研究成果的报道。随机共振理论、实验和模型的研究确已成为近二十年来非线性科学研究的一个热点。1 3 非线性动力学系统概述一个非线性动力学系统是指其状态按照某一确定的非线性规则随时间变化的系统，且系统中不含任何随机因素。描述系统所需的状态变量的个数称之为系统的相空间维第一章绪论数，而相空间即为状态变量在其中随时问演化的空l b j 。根据系统状态的变化关于时间是否连续，可将非线性动力学系统分为离散系统与连续系统。离散的非线性动力系统也称之为非线性映射或非线性迭代，用m 维差分方程组来描述：咒+ 。= j p ( 以)1 1 = o ，1 ，2 ，( 1 1 )其中，以= 【一( 玎) ，屯( 盯) ，o ) r r “是一个m 维状态变量，它是关于时间离散的( ，l = 0 ，l ，2 ，) ：p ：r ”一r “是一个m 维非线性映射，确定了系统的非线性变化规律。通常，映射p 包含，个控制参数v l v 2 ，h ，控制参数的改变可以改变映射的性态，故有时也将( 1 1 ) 式表示为以+ = ( 以) 或以+ ，= 只( 瓦，矿) ，以表明控制参数的影响，其中，v = 【v i v 2 ，v ，】r r 。为控制参数矢量。给定初始条件r ”，经( 1 1 ) 式迭代所得序列 扎，五，五，) 称为系统的一条相空间轨道。连续时间非线性动力学系统用m 维常微分议程组来描述：百d x = f ( x )( 1 2 )其中x = x ( r ) = 【x l ( t ) ，而( f ) ，( f ) 】r r ”是时间t 的函数矢量，且关于t 是连续的，f ：m - y r ”是定义在一d ( d m ) 维流形m 上的光滑函数，称之为矢量场，一般该函数亦依赖于一个参数矢量v = 【v i v 2 ，v ，r r 。a 给定初始条件x ( o ) = x o ，可得议程组( 1 2 )的唯一解，记为m 。( x o ) = o ( x o ，1 ) ，其中中：m r “称为由矢量场f 产生的流。我们将连续点集 中( 蜀，) - o o f + ) 称为系统过点k 的相空间轨迹。作为微分议程组( 1 2 ) 式的解，o ( 托，t ) 满足国( 凰，f ) = f o ( x o ，) 】( 1 3 )并满足初始条件o ( 凰，o ) = 托( 1 4 )在( 1 2 ) 式中，矢量场不显含t ，我们把这样的连续时间动力学系统称为自治系统。但还有一类连续时间动力学系统，其矢量场f 显含，即为：掣：f ( x , t )( 1 5 )d这样的系统称为非自治系统，但任何一个m 维的非自治系统均可通过增加一个与时间t成正比的状态变量将其化为一个m + l 维的自治系统，所以( 1 2 ) 式可以作为描述连续时间非线性动力学系统的一般式。通过求解( 1 2 ) 式，可以确定系统的各种宏观行为。因此，式( 1 2 ) 又称为非线性系统的宏观确定性方程。可以在宏观方程的基础上，通过引入随机力，7 ( f ) 来描述微观运动对宏观变量动力学行为的影响：= =，玎( f ) )(16)j这是一个随机微分方a 程f 。( 由x 于它考虑了微观作用，因此，它比宏观方程包含了更多的信息。式( 1 6 ) 称这为郎之万方程。通常，一维朗之万方程可以写成如下形式：二专 = 厂( x ) + g ( x ) 占( f )( 1 7 )其中占( f ) 是高斯色噪声。当g ( x ) = l 时，噪声与随机变量x 无关，这时占( f ) 为加性噪声，加性噪声通常来源于系统的内噪声；当g ( 力是x 的某种函数时，随机力的强度将随工变化，这时s ( f ) 为乘性噪声，外噪声通常表现为乘性噪声，它是通过控制参量的随机性引入的。2查塑盔兰堡主兰竺丝兰朗之万方程是随机共振研究中各种算法的主要依据，把随机共振方法应用与信号处理中，归根结底是要求解朗之万方程，因此，朗之万方程的重要性不言而喻。如上所述，通过引入随机力玎( f ) ，可以把宏观动力学的微分议程变为朗之万随机微分方程。通过求解朗之万方程可以得到运动轨迹的统计性质。f l j ( 1 7 ) 式可以推导出随机交量的概率密度p ( x ，f ) 所遵循的方程：6 - ，- j2o p ：l = - x , 1 ) = 一兰【，( x ，f ) + p g ( x ，t ) g ( x ，) 】p ( x ，) + d - - - - e g c x ，f ) 2 p ( x ，f ) 】( 1 8 )这个方程就是著明的福克一普朗克方程，它是关于概率密度的偏微分方程。目前，人们利用福克一普朗克方程研究随机力对非线性系统的动力学行为的影响，如噪声诱导非平衡相变、随机共振等，都取得了重要的成果。另外，随机共振在各种硬件电子线路中得到了广泛的应用，如s 型传递函数电路、d u f f i n g 振荡器模型电路等等，在这里就不再详细描述。1 4 近年来随机共振的研究重点1 4 1 自适应随机共振随机共振是信号、噪声和非线性系统三者之间产生的一种协同效应，通过调节输入噪声的强度或者系统的参数都可以达到随机共振。l 、噪声调节自适应随机共振许多随机共振研究都假定噪声的强度是已知的、随时间是不变化的，这种假设与很多实际情况是不符合的，噪声的强度可能是变化的。1 9 9 8 年后，m i t a i n l l i 提出噪声调节自适应随机共振的方法和理论。该方法是根据信号和噪声的抽样值，以一定的学习规则和收敛算法一信噪比的随机梯度下降法，自动调节噪声到信噪比峰值对应的最优强度值。该方法采用的学习规则、收敛算法和系统是独立的，因此，在不知道动态系统的具体形式下同样适用，这对于实际应用具有重要意义。信噪比定义为信号与噪声功率的比值：s n r = s n( 1 9 )对噪声强度的导数为：a s n r a s n ras-i一asnro n 上箜一一s n r 型( 1 1 0 )- - - - - - 一一一- - 一l_ii-c o o -a sa 盯a na o -na 盯na 盯峰值点的平衡条件为：! 箜一上型：0 sa 盯nc o o 土冀一土粤 0( 1 1 1 )s a o na o 定义学习过程中的随机误差：占；三堡一上掣( 1 1 2 2 )占= 一一1 1 1lsa o na 盯。随着系统每一步的演化，随机共振的学习规则为：o - ( 1 1 3 )“2 吒+ 以百2+ 以i 若一瓦石芋)其中，疗为迭代次数，学习率以满足：丝二兰堕丝露 c o ，以m o o( 1 1 4 )为了消除由随机梯度项罢塑引起的学习算法的不稳定，可以采用c a u c h y 噪声抑制器的方法，将学习规则变为：卸删掣o o hw ( 专鲁一击( 1 1 5 )6 d c rv 口c r其中，中( 乙) = 。2 、参数调节自适应随机共振1 9 9 2 年，a n i s h c h e n k o l 2 i 在研究蔡氏电路中的随机共振现象时提出：一个自然的、更普遍的随机共振理论就是在固定的噪声强度下调节系统参数产生随共振现象。1 9 9 5年，j u n g l 3 1 分析了阈值系统的阈值与信噪比之间的关系，并通过寻找最优的阈值门限，使系统在固定的环境噪声中具有最优的性能。1 9 9 6 年，b u l s a r a 和g a m m a i t o n i l 4 1 也强调了调节系统参数产生随机共振的思想以及其在信号处理中的应用的重要性。1 9 9 8 年后，n a f i e l 5 i 将参数调节自适应随机共振与信号检测问题结合起来，将其应用与低能耗的无线电通信设备的设计上。2 0 0 2 年，x u l 6 l 等首次引入了系统响应速度的概念，研究了系统输出信噪比、响应速度与系统参数之间的非线性关系。他指出，对于给定的输入信号和加性噪声，依掘信号处理的具体要求，可以通过调节非线性系统( 即对称双势阱) 的参数、产生适宜的系统响应速度，使系统状态处于共振峰值区或共振点上。2 0 0 3 年，杨祥龙等1 7 1 提出将非线性埘称舣势阱势垒高度a u 作为可调的权向量，采用线性随机搜索l r s 算法，在相应权空间实现权向量的迭代，最终使系统达到最佳状态。其基本思路是：对系统输出端动态采样，并计算输出信噪比，根据输出信噪比采样值检验、判断系统的状态，进而确定权向量的迭代步长。动态搜索过程表示如下1 5 1 ：a u = + e ke k + i = & + - 争a e k矿a t = s n r s n r u 0t h e ns n r m = s n r ke l s es n r u( 1 1 6 )其中，k 为迭代序列，为迭代步长，占为迭代步长的随机改变量，是一个用于控制自适应算法的速度和稳定性的常数；迭代步长是通过对迭代步长随机改变量的均方误差盯2 的估计来确定：s n r k 为系统在某状态参数下的输出信噪比，s n r m 为最大输出信噪比1 4 2 非周期随机共振1 9 9 5 年以前，尽管有关随机共振的理论和实验研究都取得了很大进展，但多数是研究周期信号下随机共振的性质。由于周期信号是通过调制携带一定信息的，从而限制了它的应用。为了能够利用随机共振传递真正有用的信息，必须将输入信号推广到具有有限带宽的非周期信号中去。h u l 8 i 等最先利用电子线路模拟研究了脉冲非周期信号的随机4查堕盔兰堡占堂堡堡奎共振现象，依据高斯噪声概率分布以及大数定律得出信息的接收率；随着噪声的不断增加，脉冲非周期信号的接收率出现了共振型峰值但是，依据高斯噪声概率分布以及大数定律得出信息成功接收率，需要在一个脉冲信号内抽取无穷多个信号数值才符合，并且发射脉冲以及恢复脉冲信号之闽的同步性问题也没涉及。c o l l i n s l 9 i 在研究可激发f h n 神经模型时首次明确地提出了非周期随机共振的概念。并使随机共振与信息理论相结合，使得随机共振的应用得到了实质性进展。由于非周期信号不再具有确定的频率，或者说信号的频率不是集中在一个或几个可数的频率上，而是分布在很宽的一段频率范围内，因此，信噪比描述非周期随机共振是不合适的。c o l l i n s提出功率范数( 或功率模) 的度量方法：c o = j ( f p ( f ) ，：一一i = i 1 7c l = c o ( f ) 】2 p ( f ) - r ( t ) 】7 2( 1 1 7 )其中，j ( r ) 为输入的非周期信号，( f ) 为平均激发率信号，c 0 ( c 1 ) 就是( 归一化)功率范数。从信号处理的角度讲，最大的归一化功率范数c l 表示输入信号与输出之间的波形匹配，而最大的功率范数c n 对应于同时考虑信号放大和波形匹配。此外，互相关函数、平均互信息量、动态熵、f i s h e r 信息、k u l l b a e k 信息、信道容量、最大似然率、信息距离和误码率等方法也相继提出用于非周期随机共振的度量i l s l 。这些描述突出一个共同的特征，噪声和非线性系统相互作用，能够优化输入和输出之间的信息传递，也能优化不同非线性系统之间的信息传递。1 4 3 耦合随机共振当非线性系统以不同的耦合方式连接在一起时，系统产生的随机共振现象具有不同的性质，耦合方式有连接的阵列、神经网络、时空协同、串联和并联系统以及集成电路等，并引入了一个新的参数，即系统耦合系数或耦合强度，主要研究内容是耦合系数与信噪比、检测概率、功率范数等测度之间的关系。例如，个线性耦合双稳态系统链：i n 屯= 一+ 。暑g ( 靠一矗) + 六( f ) + 爿c o s ( 耐)( 1 1 8 )r n = l - 0 = 2 d 瓦。( ，- t )( 1 1 9 )其中，g 是耦合强度。研究表明，由于系统响应是各个子系统的响应和，耦合系统产生的随机共振的现象更加显著。但是耦合的非线性系统或网络增加了理论分析的难度，目前主要是进行实验分析。b u l s a r a 和g a m m a i t o n i l 4 i 详细研究了耦合连接的h o p f i e l d神经元，并对它的接收性能进行了分析。他们认为，耦合连接的h o p f i e l d 神经元提高了信号检测能力，k i m l l 0 等也利用这种模型研究了视觉图像传输中的随机共振现象。耦合连接的h o p f i e l d 神经元可以表示为：，生c ：嘶= 一詈+ 矗t a n h ( 封，) + 爿s i n ( 耐) + 善( 力( 1 。2 0 1 、j - l其中，e ，r i 表示第i 个神经元的输入电容和神经元之间的电阻，坼表示神经元膜电压，z 表示耦合系数。j u n g i “1 等提出了一种由可兴奋的闽值系统所耦合而成的方阵来研究可兴奋介质中的随机共振。研究表明，当耦合强度低于临界耦合强度时，会发生时空随机共振。还有，k a p i t a n i a k t n i 研究了耦合混沌系统一d u f f i n g 振荡模型中的随机共振现象：薯+ 属毫一+ 薪= r c o s ( c o t )五十岛t 一毪+ x ；= 占+ f ( f )( 1 2 1 )5篁二兰堕丝这里届，岛，和占为常数。共振时，混沌运动得到抑制并转变为有序的运动，但随着噪声强度的继续增加，系统的运动又表现为混沌特性。这种现象通常只在混沌吸引子具有不规则结构的情况下发生。1 5 本文主要工作分本文主要研究了随机共振在信号与信息处理领域中的应用，主要内容为以下几个部一、随机共振的理论分析及其数值算法的推导。为了能在噪声干扰的条件下可靠地传输信息，并从中提取出有用信号，长期以来，已经创立了许多抗干扰接收方法，它f j 鄙足依抛信号与干扰在时域或频域特性上的某些差别，设法抑制干扰而顺利地接收信号。在这些传统的检测理论中，噪声被视为有害的消极成份，它只对有用信号起破坏作用。因此，这些理论总是力图抑制噪声。用随机共振理论进行信号处理是一个新的方法和途径，在此，噪声扮演了一个与前述截然相反的角色。在一个有微弱输入信号的非线性系统中，低噪声并不能使输出信号达到最佳状态，将噪声增加到一定强度反而能提高信噪比，从而更容易检测并还原信号。本章分析了双稳态系统中的随机共振现象，并讨论了其数值算法：r u n g e k u t t a 算法和随机微分方程二阶算法，并给出了这两种算法的具体推导过程。二、分析了混响干扰的特性，概述了其模拟算法。并把随机共振应用与模拟混响为背景干扰的信号检测。三、将r u n g e - k u t t a 算法及随机微分方程二阶算法应用于实际的以混响为背景干扰的信号检测中。6东南人学琐士学位论文2 1 概述第二章随机共振的理论分析及其数值算法在通讯、测量过程中，噪声作为一种无法避免的干扰常常会影响信号的传输能力、降低检测信噪比，所以人们一直致力于降噪、除噪。但是，随着非线性科学的发展，人们对噪卢的认识发生了根本性的转变一一噪声并不总是一种有害的干扰，在特定的非线性条件下，它能产生相干运动，对建立系统的有序性起到积极的、甚至创造性的作用。这在理论上和应用上都具有重大意义，使噪声成为可用之源。随机共振现象是人们从积极的角度重新认识噪声和利用噪声的一个典型实例。这一现象中，噪声对含有周期信号的非线性系统的激励不仅能激发系统响应的随机运动，也能增加系统响应的有序( 周期) 运动。并且，这种噪声增加有序的现象对于非周期信号也广泛存在。本章着重分析了双稳态系统中的随机共振现象，并简单介绍了其它非线性系统中的随机共振现象。2 2 双稳态系统中随机共振现象的分析随机共振的基本含义是指一个非线性双稳态系统，当仅在小周期信号或弱噪声驱动下都不足以使系统的输出在两个稳念之i 日j 跳跃，丽在弱噪声和小周期调制信号共同的作用下，随着输入噪声强度的增加。系统输出功率谱中调制信号的频率处出现一个峰值。当噪声强度达到某一适当值时，输出信号的峰值达到最大。以后随着噪声强度的增加，输出信号的峰值逐渐减小。显然，随机共振已不具有力学上共振的传统含义，使用“共振”一词是为了突出或强调信号、噪声及系统非线性三者之间的某种最佳匹配和协作作用。近二十年来，有关随机共振的理论以及它在众多科学领域中的应用不断得到完善和发展。在理论方面，人们主要是利用朗之万方程或相应的福克一普朗克方程讨论随机共振的各种统计性质，并逐步发展形成了随机共振的绝热近似理论和线性响应理论。其中，绝热近似是最常用的近似方法。下面先简单的介绍一下绝热近似理论。2 2 1 绝热近似理论1 9 8 9 年， l c n a m a r a ”用双向氦氖激光器实验证实了随机共振现象，并提出了绝热近似理论。绝热近似主要是指：输入信号幅值和噪声强度很小，并且，相对于两势阱之间的整体平衡来说，在单个势阱内的局部平衡行为可以认为是瞬时完成的。在绝热近似条件a “1 ，d “1 ，“1 下，系统长时日j 的演化行为可以简化为在两个定态t 或+ x m 之间( = t = 靠) 进行概率交换。定义魄p ) 为系统在时间f 进入+ 或一状态的概率：以( ，) = p r ( x ( t ) = 丘)( 2 1 )在没有周期激励的情况下，系统在两离散状态之间的噪声诱发的跃迁速率哌( 称7笙二! 些! ! 苎堡堕型丝坌塑丝! ! 茎堕墨鎏为克莱默斯速率) 为常数，在周期信号s i n ( o j o t ) 的作用下，系统在两个状态间的转移概率密度函数暇( ，) 周期地依赖于时问。两势阱之间的几率交换遵从以下主方程：尘笋一尘笋= 哪m ，) _ 睨m ( 2 2 )用标准化条件垃( f ) + n a t ) = 1 可以得到：d n a t ) ：一旦塑j 掣：f t ( ，) 一( ，眨( f ) + 畋( ，) ) ，( ，)( 2 3 )d t讲式( 2 3 ) 的解可求得为：n a t ) = g - t c o n + ( t o ) g ( t o ) + i 啦( r ) g ( r ) d r 】g ( f ) = e x p 【( 畋( r ) + 矽( f ) ) d f 】( 2 4 )令吸i t ) 具有以下形式：吸( f ) = ， p c o s ( c o o t ) )( 2 5 )其中，口是势垒相对于噪声的无量纲量，表示有关信号强度的无量纲量。对吼( ，) 以小参数万= c o s ( f ) 进行泰勒展开：吸( ，) = ( n o ：r a , p c o s ( c o o t ) + a 2 p 2c o s 2 ( f ) 千)( 2 6 )其中：- 4 a o = 厂 )圭= 等掣，删2 将( 2 6 ) 式的展开取到的一次项，并将结果代x ( 2 4 ) 式可得：，( ，i ，t o ) = 寺【e - a o ( i - t o ) ( 2 60 ，一1 - r ( f o ) ) + 1 + 茁( f ) 】r ( f ) ：a , f 1 1 c o 亍s ( 丁c o o t - 口i ) ，妒：t g 一1 ( c o o )( 2 7 )口；+ 簖这里，一( f l x o ，t o ) 是指在初始条件= x ( t o ) 下，在t 时刻x ( r ) 位于状态+ 时的条件概率。从( 2 7 ) 式出发，可以得到x ( ，) 的以下统计量：( 1 ) 均值 的周期响应 是通过遍历噪声实现集合，对初始条件为的不同类的过程x ( f ) 进行平均获得的。渐近地( t o 斗o o ) ，初始条件失去记忆， 变为时间的周期函数，系统对周期输入信号的响应可以写为：l i m 。 - x ( f ) 瓦x ( h 瓦z , r ) 气2 i ( d ) c 。s ( c o o t - 面( f ) )( 2 8 )其中，幅值为i ( d ) ，相位滞后为面( ，) ，幅值和相位偏移的估计表达式为：i ( d ) ：兰益丝d 4 暇+ 霹啾，) = t g 。( 轰)( 2 )自相关函数一一。塑坠塑堕型坚一 j 聊( 工，t + f l y ，t ) p ( y ，t i x o ，t o ) a x a y( 2 9 )从定义p ( x ，t i ，t o ) = 一( f ) j 一) + 札( f ) 艿0 + ) 出发，可以得到：= x 2 n + c t + r l ，t ) n a t i x o ，t o ) - x 2 n + ( t + r i 一，) ，l ( f i 而，f o )一，1 ( ，+ f i ，f ) ，o ( ，i x o ，t o ) + x ：n _ c t + r i 一，f ) ，l ( f i x o ，t o )= 靠2 【2 一( f + f i ，t ) - l + 2 一o + r l 一靠，t ) - t n ( t i ，t o ) _ 2 ( f + f i - x ，r ) 一1 】)在渐近态，自相关函数可简化为： x ( h r ) x ( ，) 毛。恕= ) 2 。- 8 , 1 , 1 ( 1 一f 2 ( f ) ) + r ( f + r ) j r ( r )显然，自相关函数依赖于时删h f 和t 。从统计意义上讲，白相关函数应延埘f 的平均：“工( f + f ) 工( ，) 。 = 导e 帆 。d t砷嘞一孺a ? 瑚f 1 2 ，+ 鼍笔笋( 3 ) 功率谱密度s ( e 0 1功率谱密度是自相关函数的傅立叶变换：s ( ) = 【 a l ，e - j 9 , d r = s ( ) + 岛( 国)( 2 1 1 )- ( 1 一燕) 密( 珊) = i ：i i 号喙【j ( 一嘞) + 万( 缈+ ) 】s ( m ) 来源于输出噪声，它是连续分布的噪声谱；是( 国) 来源于输出信号，它于输入信号同频。在输出信号谱& ( o j ) e p 包括两个艿函数，通常只取正珊的谱来讨论。绝热近似理论不仅可以解释离散二态系统如何产生随机共振，也可以阐明连续双稳态系统的随机共振现象。受周期激励和噪声共同作用的标准四次曲线双稳系统具有以下形式：一d x ( t ) ：一旦坠：红玎( f )d to xu ( x ，f ) = 一去盯+ k b x 4 一a x e o s ( o d o t )( 2 1 2 )易求得，= ，势垒高度【，= 哆么。在彳= o 时，克莱默斯速率为：= 掣e x p ( - a ) = 老e x p ( _ 吩在绝热近似条件下，m c n a m a r a 认为系统在两个稳态达到局部平衡的时间远小于系统整体平衡的时间，与信号变化和整体平衡相比，局部平衡时间可以忽略，并设稳态之间的交换概率也具有克莱默斯速率形式：r e , q ) = 去e x p ( 一些等堕吗1 ：1 5 较( 2 1 4 ) 式与( 2 6 ) 式，可令口= ，= 加得：f ( c t + f l c 。s ( 删) 2 去e 删卅= 2 f ( 口+ c o s ( ，) ) l ，l o = _ 4 2 _ a e 一划。( 2 1 5 )q 卅笺裟警k 一旦2 善【_ 2 阜2p - 2 a 叫。2 x 2 a x ：e , - 6 u d 旦2 ! 阜24e - 2 a 叫。s ( 缈) = ( 1 一j i 耋：! 矗多+ 戋艿( 一) ( 2 1 6 定义输出信噪比为输出总信号功率与c o = 处的单位噪声谱的平均功率的比：耻警e 删印一霉2 耋22 嚣广* 等e 驯。，j墨譬妲韶臻卢强度d图2 1 输出信噪比与噪声强度关系曲线图2 1 表示输出信噪比随噪声强度变化的函数关系图。可以看到明显的单峰响应曲线，体现了随机共振的特点。对s ( 珊) 积分，可求得输出的总功率：p 魑= f s ( r a ) d o = 2 7 r x ：( 2 1 8 )总功率与信号的幅值和频率无关。在信号功率取得峰值时，噪声输出的总功率必为最低值；输入信号的作用是将宽带的噪声背景下的功率谱转化为一具有脉冲值的功率谱密度函数。显然，随机共振具有噪声能量向信号能量转换的独特优点。这也正是随机共振理论的精华所在。2 2 2 驻留时间分稚理论驻留时间分布理论是通过将系统的输出信号x ( f ) ( 连续的随机过程) 映射为随机点的过程 ) 来对驻留在某个输出状态的时间作统计分析。图2 2 直观地表达了随时间变化系统在两个势阱l 日j 的转迁。1 0东南人学碗上学位论文令a b 表示系统从势阱a 转迁到势阱b ，转迁a b 与随后发生的转迁b a 之t lt 2t 3ja b b bbbb，0f l，2f 3f 4，5f 6t 7taa，tt t b 日图2 2 随时问演化系统扫：曲个势阱a 和b 之问的转迁间的时间问隔是系统从势阱b 逃逸所需的时丑j ，称为逃逸时间，用a b b a 代表。与此同时，从势阱b 逃逸花费的时间又可认为是系统在势阱b 中的驻留时间。做出所有这些时间间隔的概率分布就得到了驻留时间统计直方图。理论上讲，有周期激励时( t o = 2 形，) ，驻留时问分布在激励的半周期的奇数倍处月瓦2 = l ，3 ，5 ) 会出一同系列的峰值，并且，这些峰值会随着h 的增加呈指数衰减。作为另外一种常用的统计方法，是研究转迁a b 与下一次转迁a b 之问的时i 日j i 日j 隔，用a b a b 代表，此时的逃逸时日j 同时包含有a 和b 两个势阱，因此，做了的驻留时间统计直方图中位于周期的整数倍处n t o ( n = l ，2 ，3 ) 会出现一个尖峰序列。在图2 2 中，表示状态转迁发生的时刻。若彩a b b a 的描述，系统穿过势垒进入一个势阱并由此势阱逃逸出来的时间间隔瓦为驻留时间：瓦= t k + l 一气( 2 1 9 )它服从泊松分布：p ( r ) = e 瓦( 2 2 0 )根据图2 2 还可以确定瞬态相位和幅度：( f ) = 万：士+ | j 石，t k r “o “i 一“( ，) = 靠s g n c o s ( o ( t ) ) 】( 2 2 1 )并由此得到平均转迁频率1 1 5 i ： m 扣舰r d ( d ( f ) 2 艘击善云羔( z 忽)2 3 数值计算方法噪声在自然界和工程技术中无处不在、无时不有，任何系统都可以认为是不可避免地“浸泡”在各种噪声之中。对于噪声背景下的非线性系统的研究，不可避免的要求解非线性随机微分方程。但是，一般情况下，非线性随机微分方程是没有解析解的。随着计算机技术的发展，人们提出了各式各样的数值计算方法，如分子动力学方法、快速方法、随机龙格库塔方法等。要推导这些数值计算方法，首先要考虑噪声的性质。考虑和研究噪声的性质及其影1 1笙三! 墼! ! 苎堑竺型丝坌塑丝茎鍪堡墨堕响是各自然科学研究领域不要回避的问题。更重要的是，揭示由噪声产生的各种效应( 如随机共振等) ，研究这些效应产生的条件、机理及其应用，也已经成为科学发展中的一个重要前沿领域。2 3 1 噪卢理论：白噪卢和色噪卢按噪声的统计性质是否具有时u j 关联性可将噪卢分为白噪声和色噪声两类，若自相关函数为d e l t a 函数则称之为白噪声，否则称为色噪声。对于白噪声，均值和自相关函数分别为： = 0 ， = 2 d g ( t j )( 2 2 3 )方差为：= 2 d 6 ( t - s ) l i 。= 2 d( 2 。2 4 )其中，d 被称为噪声强度。令f = t - s ，功率谱为自相关函数的傅立叶变换：s ( ) = ie - ) m r 2 d 6 ( r ) d r = 2 d( 2 2 5 )它是与街无关的白谱，总功率为：矿= is ( 缈) d 甜= 0 0( 2 2 6 )由于产生白噪声需要的功率是无穷大，因而对于实际的物理过程而，真正的白噪声是不存在的，但是白噪声的假设往往会带来问题分析的简化。指数相关的色噪声具有以下性质： s ( f ) 批o ， ：旦e x p ( 一竖盟)( 2 2 7 )t ct c其中，r c 称为相关时间，这种噪声可由白噪声激励的线性阻尼方程产生。方差为：旦。p ( 一生型) l 。：旦( 2 2 8 )7 0对于自相关函数有：l i m 旦e x p ( 一堡型) ：2 d s ( t - s )( 2 2 9 )o _ 。f c龟可以看出，白噪声是色噪声在相关时日j o 趋于0 的极限情况。令f = f j ，对自相关函数进行傅立叶变换：鼬) = p ”i de x p ( 一粤) 加碡2 d ( 2 3 0 )得到的功率谱为有限带宽，大体分靠在以= 0 为中心的区间( 一形，形) 内，是的色谱当m 口毖时，s ( m ) 具有均匀谱分布形式，当i i 口膨时，s ( ) 趋于o 。事实上，不可能存在具有无穷功率的噪声，所以噪声一定是有色的。而且研究发现，系统在较长相关时间色噪声作用下所表现出来的行为会与白噪声情况完全不同，因此，研究系统在色噪声作用下的行为正同益受到重视。2 3 2 白噪声通过线性系统产生色噪声白噪声在很宽的频率范围内具有恒定的功率谱密度，而色噪声不具备这个特点。将白噪声送入“染色器”，出来的噪声就带上了一定的“颜色”。一个简单的线性系统可以1 2查塑叁兰堡! ：兰堡笙塞i 鬲面石趸万面磊甬丽丽虿面磊汤疆西酝1 西丽i 摹夏的输入输出功率谱的比值恰好起到“染色器”的作用。根据线性系统理论，在某频率处的输入输出功翠谮盟比堡。尊婪辱于在该频率处的传递函数值的平方。由于白噪声的功率谱密度曲线为一直线，所以输出噪声的功率谱密度曲线完全由该线性系统的结构所决定线性系统的结构呵用如下微分方程表示：q ( f ) + q l 少一) ( ，) + 一+ a o y o ) ( f ) = x ( f )( 2 3 1 )系统的传递函数为：h ( s ) = 万瓦再1 面该系统输入信号x ( ，) 本米应该是方差为爵的白噪声，但由于龙格库塔算法步长f 的影响，它应等效为方差2 a t 的白噪声。也就是说，输入噪声的均方值盯= a 0 4 t 用输入白噪声的功率谱密度& ) 来替代输出色噪声的功率谱密度 ) ：( 国) = ) l h ( ) 1 2 =而万五面) n - i + , + c i o l 2( 2 3 3 )( 1 ) 一阶线性系统) ，( f ) + a ) ，( f ) = x ( f ) ，在这种情况下：啪) = 赤亿3 4 )将j = o 国代入，得到输出噪声的功率谱密度为：s ，( ) = 丽o t 2( 2 3 5 )通过 ) 的傅立叶反变换可以得到输出噪声的自相关函数。将( 5 ) 写成如f 形式。勘。卜器d 2 1跨= 岳击，s ) = 篆二南砖( f ) = - 一瓦- e x p ( 一旯f ) u (